Општи информации за права призма
Страничната површина на призмата (поточно, страничната површина) се нарекува сумаобласти на страничните лица. Вкупната површина на призмата е еднаква на збирот на страничната површина и површините на основите.
Теорема 19.1. Страничната површина на права призма е еднаква на производот на периметарот на основата и висината на призмата, т.е. должината на страничниот раб.
Доказ. Страничните лица на права призма се правоаголници. Основите на овие правоаголници се страните на многуаголникот што лежат во основата на призмата, а височините се еднакви на должината на страничните рабови. Следи дека страничната површина на призмата е еднаква на
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
каде a 1 и n се должините на основните рабови, p е периметарот на основата на призмата, а I е должината на страничните рабови. Теоремата е докажана.
Практична задача
Проблем (22) . Во наклонета призма се изведува дел, нормално на страничните ребра и вкрстувајќи ги сите странични ребра. Најдете ја страничната површина на призмата ако периметарот на пресекот е еднаков на p, а страничните рабови се еднакви на l.
Решение. Рамнината на нацртаниот пресек ја дели призмата на два дела (сл. 411). Дозволете да подлежиме еден од нив на паралелен превод, комбинирајќи ги основите на призмата. Во овој случај, добиваме права призма, чија основа е пресекот на оригиналната призма, а страничните рабови се еднакви на l. Оваа призма ја има истата странична површина како и оригиналната. Така, страничната површина на првобитната призма е еднаква на pl.
Резиме на опфатената тема
Сега да се обидеме да ја сумираме темата што ја опфативме за призмите и да се потсетиме какви својства има призмата.
Карактеристики на призмата
Прво, призмата ги има сите свои основи како еднакви многуаголници;
Второ, во призма сите нејзини странични лица се паралелограми;
Трето, во таква повеќеслојна фигура како призма, сите странични рабови се еднакви;
Исто така, треба да се запомни дека полиедрите, како што се призмите, можат да бидат прави или наклонети.
Која призма се нарекува права призма?
Ако страничниот раб на призмата се наоѓа нормално на рамнината на нејзината основа, тогаш таквата призма се нарекува права.
Не би било излишно да се потсетиме дека страничните лица на права призма се правоаголници.
Кој тип на призма се нарекува коси?
Но, ако страничниот раб на призмата не е лоциран нормално на рамнината на нејзината основа, тогаш можеме со сигурност да кажеме дека тоа е наклонета призма.
Која призма се нарекува точна?
Ако правилен многуаголник лежи во основата на права призма, тогаш таквата призма е правилна.
Сега да се потсетиме на својствата што ги има една обична призма.
Својства на правилна призма
Прво, правилните многуаголници секогаш служат како основа на правилна призма;
Второ, ако ги земеме предвид страничните страни на правилна призма, тие се секогаш еднакви правоаголници;
Трето, ако ги споредите големините на страничните ребра, тогаш во редовна призма тие се секогаш еднакви.
Четврто, правилната призма е секогаш права;
Петто, ако во правилна призма страничните лица имаат облик на квадрати, тогаш таквата фигура обично се нарекува полуправилен многуаголник.
Пресек на призма
Сега да го погледнеме пресекот на призмата:
Домашна работа
Сега да се обидеме да ја консолидираме темата што ја научивме со решавање на проблеми.
Ајде да нацртаме наклонета триаголна призма, растојанието помеѓу нејзините рабови ќе биде еднакво на: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната површина на оваа призма ќе биде еднаква на 60 cm2. Имајќи ги овие параметри, пронајдете го страничниот раб на оваа призма.
Дали знаете дека геометриските фигури постојано не опкружуваат, не само на часовите по геометрија, туку и во секојдневниот живот има предмети што личат на една или друга геометриска фигура.
Секој дом, училиште или работа има компјутер чија системска единица е обликувана како права призма.
Ако земете едноставен молив, ќе видите дека главниот дел од моливот е призма.
Одејќи по централната улица на градот, гледаме дека под нашите нозе лежи плочка која има облик на шестоаголна призма.
А. В. Погорелов, Геометрија за 7-11 одделение, Учебник за образовни институции
Различни призми се различни една од друга. Во исто време, тие имаат многу заедничко. За да ја пронајдете областа на основата на призмата, ќе треба да разберете каков тип има.
Општа теорија
Призма е секој полиедар чии страни имаат форма на паралелограм. Покрај тоа, неговата основа може да биде кој било полиедар - од триаголник до n-аголник. Покрај тоа, основите на призмата се секогаш еднакви една со друга. Она што не важи за страничните лица е тоа што тие може значително да се разликуваат по големина.
При решавање на проблеми, не се среќава само областа на основата на призмата. Може да бара познавање на страничната површина, односно сите лица кои не се основи. Целосната површина ќе биде спој на сите лица што ја сочинуваат призмата.
Понекогаш проблемите вклучуваат висина. Тоа е нормално на основите. Дијагоналата на полиедарот е отсечка која во парови ги поврзува сите две темиња кои не припаѓаат на истото лице.
Треба да се напомене дека основната површина на права или наклонета призма не зависи од аголот помеѓу нив и страничните лица. Ако имаат исти фигури на горните и долните лица, тогаш нивните области ќе бидат еднакви.
Триаголна призма
Во својата основа има фигура со три темиња, односно триаголник. Како што знаете, може да биде различно. Ако е така, доволно е да се запамети дека неговата површина е одредена со половина од производот на нозете.
Математичката нотација изгледа вака: S = ½ av.
За да ја дознаете областа на основата воопшто, корисни се формулите: Херон и онаа во која половина од страната е земена од висината што е привлечена кон неа.
Првата формула треба да се запише на следниов начин: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Оваа нотација содржи полупериметар (p), односно збир на три страни поделени со две.
Второ: S = ½ n a * a.
Ако сакате да ја дознаете областа на основата на триаголната призма, која е правилна, тогаш триаголникот излегува дека е рамностран. Постои формула за тоа: S = ¼ a 2 * √3.
Четириаголна призма
Нејзината основа е кој било од познатите четириаголници. Може да биде правоаголник или квадрат, паралелепипед или ромб. Во секој случај, за да ја пресметате областа на основата на призмата, ќе ви треба сопствена формула.
Ако основата е правоаголник, тогаш нејзината плоштина се одредува на следниов начин: S = ab, каде што a, b се страните на правоаголникот.
Кога станува збор за четириаголна призма, плоштината на основата на правилната призма се пресметува со формулата за квадрат. Затоа што тој лежи на темелите. S = a 2.
Во случај кога основата е паралелепипед, ќе биде потребна следната еднаквост: S = a * n a. Се случува да бидат дадени страната на паралелепипед и еден од аглите. Потоа, за да ја пресметате висината, ќе треба да користите дополнителна формула: n a = b * sin A. Покрај тоа, аголот A е во непосредна близина на страната „b“, а висината n е спротивна на овој агол.
Ако има ромб на основата на призмата, тогаш за да ја одредите неговата површина ќе ви треба истата формула како и за паралелограм (бидејќи тоа е посебен случај за него). Но, можете да го користите и ова: S = ½ d 1 d 2. Овде d 1 и d 2 се две дијагонали на ромбот.
Правилна пентагонална призма
Овој случај вклучува делење на многуаголникот на триаголници, чии области полесно се откриваат. Иако се случува бројките да имаат различен број темиња.
Бидејќи основата на призмата е правилен петаголник, таа може да се подели на пет рамностран триаголници. Тогаш површината на основата на призмата е еднаква на плоштината на еден таков триаголник (формулата може да се види погоре), помножена со пет.
Правилна хексагонална призма
Користејќи го принципот опишан за пентагонална призма, можно е да се подели шестоаголникот на основата на 6 рамностран триаголници. Формулата за основната површина на таквата призма е слична на претходната. Само тоа треба да се помножи со шест.
Формулата ќе изгледа вака: S = 3/2 a 2 * √3.
Задачи
Бр. 1. Дадена е правилна права линија, нејзината дијагонала е 22 см, висината на полиедарот е 14 см. Пресметајте ја плоштината на основата на призмата и целата површина.
Решение.Основата на призмата е квадрат, но неговата страна е непозната. Неговата вредност можете да ја најдете од дијагоналата на квадратот (x), која е поврзана со дијагоналата на призмата (d) и нејзината висина (h). x 2 = d 2 - n 2. Од друга страна, овој сегмент „x“ е хипотенуза во триаголник чии краци се еднакви на страната на квадратот. Тоа е, x 2 = a 2 + a 2. Така излегува дека a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Заменете го бројот 22 наместо d и заменете го „n“ со неговата вредност - 14, излегува дека страната на квадратот е 12 cm. Сега само дознајте ја областа на основата: 12 * 12 = 144 cm 2.
За да ја дознаете површината на целата површина, треба да додадете двапати од основната површина и четирикратно да ја зголемите страничната површина. Вториот може лесно да се најде со помош на формулата за правоаголник: помножете ја висината на полиедарот и страната на основата. Тоа е, 14 и 12, овој број ќе биде еднаков на 168 cm 2. Вкупната површина на призмата се покажува дека е 960 cm 2.
Одговори.Површината на основата на призмата е 144 cm 2. Целата површина е 960 cm2.
бр 2. Даден Во основата има триаголник со страна од 6 cm Во овој случај дијагоналата на страничното лице е 10 cm Пресметај ги плоштините: основата и бочната површина.
Решение.Бидејќи призмата е правилна, нејзината основа е рамностран триаголник. Според тоа, неговата површина излегува дека е еднаква на 6 квадрат, помножена со ¼ и квадратен корен од 3. Едноставна пресметка води до резултат: 9√3 cm 2. Ова е областа на една основа на призмата.
Сите странични лица се исти и се правоаголници со страни од 6 и 10 см.За да ги пресметате нивните површини, само помножете ги овие бројки. Потоа помножете ги со три, бидејќи призмата има точно толку странични страни. Тогаш површината на страничната површина на раната се покажува дека е 180 cm 2.
Одговори.Површини: основа - 9√3 cm 2, странична површина на призмата - 180 cm 2.
Призма елементи
| Име | Дефиниција | Ознаки на цртежот | Цртеж |
| Причини | Две лица кои се складни многуаголници кои лежат во паралелни рамнини. | АБВДЕ , КЛМНП | |
| Странични лица | Сите рабови освен основите. Секое странично лице е нужно паралелограм. | АБЛК , БВМЛ , ВДНМ , ДЕПН , ЕАКП | |
| Странична површина | Спојување странични лица. | ||
| Целосна површина | Комбинирање на основите и страничната површина. | ||
| Странични ребра | Заеднички страни на страничните лица. | АК , БЛ , ВМ , ДН , ЕП | |
| Висина | Отсечка што ги поврзува основите на призмата и е нормална на нив. | КР | |
| Дијагонала | Отсечка што поврзува две темиња на призма кои не припаѓаат на истото лице. | БП | |
| Дијагонална рамнина | Рамнина што минува низ страничниот раб на призмата и дијагоналата на основата. | ||
| Дијагонален пресек | Пресек на призма и дијагонална рамнина. Во пресекот се формира паралелограм, вклучувајќи ги и неговите посебни случаи - ромб, правоаголник, квадрат. | ЕБЛП | |
| Нормален пресек | Пресек на призма и рамнина нормална на нејзиниот страничен раб. |
Карактеристики на призмата
- 1. Основите на призмата се еднакви многуаголници.
- 2. Страничните лица на призмата се паралелограми.
- 3. Страничните рабови на призмата се паралелни и еднакви.
- 4. Волумен на призматаеднаков на производот на неговата висина и површината на нејзината основа:
- 5. Вкупната површина на призмата е еднаква на збирот на површината на нејзината странична површина и двојно поголема од површината на основата.
Видови призми
Има призми директноИ наклонети.
Права призма- призма во која сите странични рабови се нормални на основата.
Странична површинаправата линија на призмата е еднаква на производот на периметарот на основата и висината.Коси призма- призма во која барем еден страничен раб не е нормален на основата.
Странична површинана навалената призма е еднаква на производот на периметарот на нормалниот пресек и должината на страничниот раб. Волумен на навалена призмаеднаков на производот на нормалната површина на пресекот и страничниот раб.Правилна призма- права призма чија основа е правилен многуаголник.
Својства на правилна призма
- 1. Основите на правилната призма се правилни многуаголници.
- 2. Страничните лица на правилната призма се еднакви правоаголници.
- 3. Страничните рабови на правилна призма се еднакви.
исто така види
Врски
| Полиедра | |
|---|---|
| Точно (Платонски цврсти материи) |
|
| Редовни не-конвексни | Ѕвезден полиедар (Ѕвездена октаедар, Ѕвездена додекаедрон, Ѕвездена икосаедар, Ѕвездена икосидодекаедрон) |
| Конвексен | |
| Формули, теореми, теории | |
| Друго | |
Фондацијата Викимедија. 2010 година.
Погледнете што е „Призма (математика)“ во другите речници:
- (почеток) „Математика во девет книги“ (кинески трад. 九章算術 ... Википедија
Гранка од математиката која се занимава со проучување на својствата на различни фигури (точки, прави, агли, дводимензионални и тродимензионални предмети), нивните големини и релативни положби. За полесно предавање, геометријата е поделена на планиметрија и стереометрија. ВО…… Енциклопедија на Колиер
Земљаков, Александар Николаевич Датотека:Zemlyakov.jpg Александар Николаевич Земљаков (17 април 1950 година (19500417), Бологоје, 1 јануари 2005 година, Черноголовка) математичар, извонреден советски и руски учител, автор на едукативна педагошка педагошка ...
Александар Николаевич Земљаков (17 април 1950 година (19500417), Бологоје, 1 јануари 2005 година, Черноголовка) математичар, извонреден советски и руски учител, автор на едукативна литература. Биографија Дипломирал во 1967 година со златен медал... ... Википедија
Додекаедар Правилен полиедар или платонски цврст е конвексен полиедар кој се состои од идентични правилни многуаголници и има просторна симетрија ... Википедија
Овој термин има и други значења, видете Пирамидатсу (значења). Веродостојноста на овој дел од статијата е доведена во прашање. Мора да ја потврдите точноста на фактите наведени во овој дел. Може да има објаснувања на страницата за разговор... Википедија
Во просторната геометрија, при решавање на проблеми со призми, проблемот често се јавува со пресметување на површината на страните или лицата што ги формираат овие волуметриски фигури. Оваа статија е посветена на прашањето за одредување на површината на основата на призмата и нејзината странична површина.
Фигура на призма
Пред да продолжите да разгледувате формули за основната површина и површината на призмата од еден или друг тип, треба да разберете за каква фигура зборуваме.
Призма во геометријата е просторна фигура која се состои од два паралелни многуаголници кои се еднакви еден на друг и неколку четириаголници или паралелограми. Бројот на вториот е секогаш еднаков на бројот на темиња на еден многуаголник. На пример, ако фигурата е формирана од две паралелни n-аголници, тогаш бројот на паралелограми ќе биде n.
Паралелограмите што ги поврзуваат n-аголниците се нарекуваат странични страни на призмата, а нивната вкупна површина е плоштината на страничната површина на сликата. Самите n-гони се нарекуваат бази.
Сликата погоре покажува пример на призма направена од хартија. Жолтиот правоаголник е неговата горна основа. Фигурата стои на втора слична основа. Црвените и зелените правоаголници се страничните лица.
Какви видови призми постојат?
Постојат неколку видови на призми. Сите тие се разликуваат едни од други во само два параметри:
- типот на n-гон што ја формира основата;
- аголот помеѓу n-аголникот и страничните страни.
На пример, ако основите се триаголници, тогаш призмата се нарекува триаголна, ако е четириаголна, како на претходната слика, тогаш фигурата се нарекува четириаголна призма итн. Покрај тоа, n-аголник може да биде конвексен или конкавен, тогаш ова својство се додава и на името на призмата.
Аголот помеѓу страничните лица и основата може да биде исправен, акутен или тап. Во првиот случај тие зборуваат за правоаголна призма, во вториот - за наклонета или коси.
Правилните призми се класифицирани како посебен вид фигури. Тие имаат најголема симетрија меѓу другите призми. Ќе биде правилен само ако е правоаголен и неговата основа е правилен n-аголник. Сликата подолу покажува збир на правилни призми во кои бројот на страни на n-аголник варира од три до осум.
Површина на призма
Површината на фигурата од произволен тип што се разгледува се подразбира како збир на сите точки што припаѓаат на лицата на призмата. Удобно е да се проучува површината на призмата со испитување на нејзиниот развој. Подолу е пример за таков развој на триаголна призма.
Се гледа дека целата површина е формирана од два триаголници и три правоаголници.
Во случај на општа призма, неговата површина ќе се состои од две n-гонални основи и n четириаголници.
Да го разгледаме подетално прашањето за пресметување на површината на призмите од различни типови.
Основната површина на редовна призма
Можеби наједноставниот проблем при работа со призми е проблемот со наоѓање на површината на основата на редовната фигура. Бидејќи е формиран од n-аголник чии агли и должини на страните се сите исти, секогаш може да се подели на идентични триаголници чии агли и страни се познати. Вкупната површина на триаголниците ќе биде плоштината на n-аголникот.
Друг начин да се одреди делот од површината на призмата (основата) е да се користи добро позната формула. Изгледа вака:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Односно, областа S n на n-аголник е уникатно одредена врз основа на знаење за должината на неговата страна a. Одредена тешкотија при пресметувањето со помош на формулата може да биде пресметката на котангенсот, особено кога n>4 (за n≤4 вредностите на котангенсот се табеларни податоци). Се препорачува да се користи калкулатор за да се одреди оваа тригонометриска функција.
Кога поставувате геометриски проблем, треба да бидете внимателни, бидејќи можеби ќе треба да ја пронајдете областа на основата на призмата. Тогаш вредноста добиена од формулата треба да се помножи со два.
Основна површина на триаголна призма
Користејќи го примерот на триаголна призма, ајде да погледнеме како можете да ја пронајдете областа на основата на оваа фигура.
Ајде прво да разгледаме едноставен случај - редовна призма. Површината на основата се пресметува со помош на формулата дадена во параграфот погоре; треба да замените n=3 во неа. Добиваме:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Останува да се заменат специфичните вредности на должината на страната a на рамностран триаголник во изразот за да се добие плоштината на една основа.
Сега да претпоставиме дека постои призма чија основа е произволен триаголник. Познати се неговите две страни a и b и аголот меѓу нив α. Оваа бројка е прикажана подолу.
Како во овој случај да се најде плоштината на основата на триаголна призма? Неопходно е да се запамети дека површината на кој било триаголник е еднаква на половина од производот на страната и висината спуштена на оваа страна. На сликата, висината h е нацртана на страната b. Должината h одговара на производот од синусот на аголот алфа и должината на страната a. Тогаш плоштината на целиот триаголник е:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)
Ова е основната област на прикажаната триаголна призма.
Странична површина
Разгледавме како да ја пронајдеме областа на основата на призмата. Страничната површина на оваа бројка секогаш се состои од паралелограми. За прави призми, паралелограмите стануваат правоаголници, така што нивната вкупна површина е лесно да се пресмета:
S = ∑ i=1 n (a i *b)
Овде b е должината на страничниот раб, a i е должината на страната на i-тиот правоаголник, што се совпаѓа со должината на страната на n-аголникот. Во случај на правилна n-гонална призма, добиваме едноставен израз:
Ако призмата е наклонета, тогаш за да се одреди површината на нејзината странична површина, треба да се направи нормално сечење, да се пресмета неговиот периметар P sr и да се помножи со должината на страничниот раб.
Сликата погоре покажува како треба да се направи овој рез за навалена пентагонална призма.
Има уште неколку едноставни проблеми со призмата што треба да ги решите. Размислете за права призма со правоаголен триаголник во основата. Се поставува прашањето за наоѓање на волуменот или површината. Формула за волумен на призмата:
Формула на површината на призмата (општо):
*За права призма, страничната површина се состои од правоаголници и е еднаква на производот од периметарот на основата и висината на призмата. Треба да ја запомните формулата за плоштината на триаголник. Во овој случај, имаме правоаголен триаголник - неговата површина е еднаква на половина од производот на нозете. Ајде да ги разгледаме задачите:
Основата на правата триаголна призма е правоаголен триаголник со катети 10 и 15, страничниот раб е 5. Најдете ја волуменот на призмата.
Основната површина е плоштина на правоаголен триаголник. Тоа е еднакво на половина од плоштината на правоаголник со страни 10 и 15).
Така, потребниот волумен е еднаков на:
Одговор: 375
Основата на правата триаголна призма е правоаголен триаголник со катети 20 и 8. Волуменот на призмата е 400. Најдете го неговиот бочен раб.
Задачата е спротивна од претходната.
Волумен на призмата:
Основната област е плоштина на правоаголен триаголник:
Така
Одговор: 5
Основата на правата триаголна призма е правоаголен триаголник со катети 5 и 12, висината на призмата е 8. Најдете ја неговата површина.
Површината на призмата е збир на површините на сите лица - тоа се две основи со еднаква површина и странична површина.
За да се најдат плоштините на сите лица, потребно е да се најде третата страна на основата на призмата (хипотенузата на правоаголен триаголник).
Според Питагоровата теорема:
Сега можеме да ја најдеме основната површина и страничната површина. Областа на основата е:
Областа на страничната површина на призмата со периметарот на основата е еднаква на:
*Можете без формулата и едноставно да ги соберете плоштините на три правоаголници: