Какви видови многуаголници постојат? Лекција „Полигони“

Тема: многуаголници - 8 одделение:

Права од соседни отсечки кои не лежат на иста права се нарекува прекината линија.

Краевите на сегментите се врвови.

Секој сегмент е врска.

И сите збирови на должините на отсечките го сочинуваат вкупниот број должинапрекината линија На пример, AM + ME + EK + KO = должина на скршената линија

Ако сегментите се затворени, тогаш ова многуаголник(Види погоре) .

Врските во многуаголникот се нарекуваат забави.

Збир на должини на страните - периметармногуаголник.

Темињата што лежат на едната страна се соседните.

Сегмент што се поврзува соседните врвови, повикан дијагонално.

Многуаголници повикани по број на страни: петаголник, шестоаголник итн.

Сè што е внатре во полигонот е внатрешен делрамнинаи сè што е надвор - надворешниот дел на авионот.

Забелешка! На сликата подолу- ова НЕ е многуаголник, бидејќи има дополнителни заеднички точкина иста права линија за несоседни отсечки.

Конвексен многуаголниклежи на едната страна од секоја права линија. За да го одредиме ментално (или со цртеж), ја продолжуваме секоја страна.

Во многуаголник исто толку агли колку страни.

Во конвексен многуаголник збир на сите внатрешни аглиеднаква на (n-2)*180°. n е бројот на агли.

Многуаголникот се нарекува точно, ако сите негови страни и агли се еднакви. Значи, пресметката на неговите внатрешни агли се врши со помош на формулата (каде n е бројот на агли): 180° * (n-2) / n

Подолу се многуаголници, збирот на нивните агли и на кој агол е еднаков.

Надворешните агли на конвексните многуаголници се пресметуваат на следниов начин:

​​​​​​​

Во оваа лекција ќе започнеме нова темаи воведе нов концепт за нас: „полигон“. Ќе ги разгледаме основните концепти поврзани со многуаголниците: страни, агли на теме, конвексност и неконвексност. Тогаш ќе докажеме најважните факти, како што е теоремата за збирот на внатрешните агли на многуаголникот, теоремата за збирот на надворешните агли на многуаголникот. Како резултат на тоа, ќе дојдеме блиску до проучување на посебни случаи на многуаголници, кои ќе бидат разгледани во понатамошните лекции.

Тема: Четириаголници

Лекција: Многуаголници

Во курсот по геометрија, ги проучуваме својствата на геометриските фигури и веќе ги испитавме наједноставните од нив: триаголници и кругови. Во исто време, разговаравме и за конкретни посебни случаи на овие фигури, како што се правоаголни, рамнокраки и правилни триаголници. Сега е време да се зборува за поопшти и сложени фигури - многуаголници.

Со посебен случај многуаголницивеќе сме запознаени - ова е триаголник (види слика 1).

Ориз. 1. Триаголник

Самото име веќе нагласува дека се работи за фигура со три агли. Затоа, во многуаголникможе да ги има многу, т.е. повеќе од три. На пример, да нацртаме пентагон (види слика 2), т.е. фигура со пет агли.

Ориз. 2. Пентагон. Конвексен многуаголник

Дефиниција.Многуаголник- фигура која се состои од неколку точки (повеќе од две) и соодветен број на отсечки кои последователно ги поврзуваат. Овие точки се нарекуваат врвовимногуаголник, а отсечките се забави. Во овој случај, нема две соседни страни кои лежат на иста права линија и не се сечат две непосредни страни.

Дефиниција.Правилен многуаголнике конвексен многуаголник во кој сите страни и агли се еднакви.

Било кој многуаголникја дели рамнината на две области: внатрешна и надворешна. Внатрешната област се нарекува и како многуаголник.

Со други зборови, на пример, кога зборуваат за пентагон, тие значат и целиот негов внатрешен регион и неговата граница. А внатрешниот регион ги вклучува сите точки што лежат внатре во полигонот, т.е. точката се однесува и на пентагонот (види Сл. 2).

Многуаголниците понекогаш се нарекуваат и n-аголници за да се нагласи дека се разгледува општиот случај на присуство на некој непознат број агли (n парчиња).

Дефиниција. Периметар на многуаголник- збирот на должините на страните на многуаголникот.

Сега треба да се запознаеме со типовите на многуаголници. Тие се поделени на конвексниИ неконвексни. На пример, многуаголникот прикажан на сл. 2 е конвексен, а на сл. 3 неконвексни.

Ориз. 3. Неконвексен многуаголник

Дефиниција 1. Многуаголникповикани конвексни, ако при цртање права линија низ која било од неговите страни, целата многуаголниклежи само на едната страна од оваа права линија. Неконвекснисе сите други многуаголници.

Лесно е да се замисли дека при проширување на која било страна од пентагонот на Сл. 2 сето тоа ќе биде на едната страна од оваа права линија, т.е. тој е конвексен. Но, кога се повлекува права линија низ четириаголник на Сл. 3 веќе гледаме дека ја дели на два дела, т.е. не е конвексен.

Но, постои уште една дефиниција за конвексноста на многуаголникот.

Дефиниција 2. Многуаголникповикани конвексни, ако при изборот на која било од неговите внатрешни точки и поврзувањето со отсечка, сите точки на отсечката се и внатрешни точки на многуаголникот.

Демонстрација на употребата на оваа дефиниција може да се види во примерот на конструирање сегменти на сл. 2 и 3.

Дефиниција. Дијагоналана многуаголник е која било отсечка што поврзува две несоседни темиња.

За да се опишат својствата на многуаголниците, постојат две најважните теоремиза нивните агли: Теорема за збир на внатрешниот агол конвексен многуаголник И теорема за збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник. Ајде да ги погледнеме.

Теорема. На збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).

Каде е бројот на неговите агли (страни).

Доказ 1. Да прикажеме на сл. 4 конвексни n-аголник.

Ориз. 4. Конвексен n-аголник

Од темето ги цртаме сите можни дијагонали. Тие го делат n-аголникот на триаголници, бидејќи секоја од страните на многуаголникот формира триаголник, освен страните соседни на темето. Лесно е да се види од сликата дека збирот на аглите на сите овие триаголници ќе биде точно еднаков на збирот на внатрешните агли на n-аголникот. Бидејќи збирот на аглите на кој било триаголник е , тогаш збирот на внатрешните агли на n-аголник е:

Q.E.D.

Доказ 2. Можен е уште еден доказ за оваа теорема. Ајде да нацртаме сличен n-аголник на сл. 5 и поврзете која било од неговите внатрешни точки со сите темиња.

Ориз. 5.

Добивме поделба на n-аголникот на n триаголници (толку страни колку што има триаголници). Збирот на сите нивни агли е еднаков на збирот на внатрешните агли на многуаголникот и збирот на аглите на внатрешна точка, и ова е аголот. Ние имаме:

Q.E.D.

Докажано.

Според докажаната теорема, јасно е дека збирот на аглите на n-аголник зависи од бројот на неговите страни (на n). На пример, во триаголник, а збирот на аглите е . Во четириаголник, а збирот на аглите е итн.

Теорема. На збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).

Каде е бројот на неговите агли (страни), а , …, се надворешните агли.

Доказ. Дозволете ни да прикажеме конвексен n-аголник на Сл. 6 и назначете ги неговите внатрешни и надворешни агли.

Ориз. 6. Конвексен n-аголник со назначени надворешни агли

Бидејќи надворешен аголповрзани со внатрешните како соседни, тогаш а слично и за останатите надворешни агли. Потоа:

При трансформациите ја користевме веќе докажаната теорема за збирот на внатрешните агли на n-аголник.

Докажано.

Од докажаната теорема следува интересен факт, дека збирот на надворешните агли конвексен n-аголникеднаква на на бројот на неговите агли (страни). Патем, за разлика од збирот на внатрешните агли.

Библиографија

1. Александров А.Д. и други Геометрија, 8-мо одделение. - М.: Образование, 2006 година.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрија, 8 одделение. - М.: Образование, 2011 година.
3. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир С.М. Геометрија, 8-мо одделение. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 година.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашна работа

Својства на многуаголниците

Многуаголник е геометриска фигура, обично се дефинира како затворена скршена линија без самопресеци (прост многуаголник (сл. 1а)), но понекогаш се дозволени самопресеци (тогаш многуаголникот не е едноставен).

Темињата на многуаголникот се нарекуваат темиња на многуаголникот, а отсечките страни на многуаголникот. Темињата на многуаголникот се нарекуваат соседни ако се краеви на една негова страна. Отсечките што ги поврзуваат несоседните темиња на многуаголникот се нарекуваат дијагонали.

Агол (или внатрешен агол) на конвексен многуаголник на дадено теме е аголот формиран од неговите страни што се спојуваат на ова теме, а аголот се пресметува од страната на многуаголникот. Особено, аголот може да надмине 180° ако многуаголникот е неконвексен.

Надворешниот агол на конвексен многуаголник на дадено теме е аголот во непосредна близина на внатрешниот агол на многуаголникот на ова теме. ВО општ случајНадворешниот агол е разликата помеѓу 180° и внатрешниот агол. Од секое теме на триаголникот за > 3 има 3 дијагонали, т.е вкупен бројДијагоналите на триаголникот се еднакви.

Многуаголник со три темиња се нарекува триаголник, со четири - четириаголник, со пет - петаголник итн.

Многуаголник со nнаречени темиња n-квадрат.

Рамен многуаголник е фигура која се состои од многуаголник и конечен дел од областа ограничена со него.

Многуаголникот се нарекува конвексен ако е исполнет еден од следниве (еквивалентни) услови:

• 1. лежи на едната страна од која било права линија што ги поврзува нејзините соседни темиња. (т.е., продолжетоците на страните на многуаголникот не ги сечат неговите други страни);
• 2. тоа е раскрсница (т.е. заеднички дел) неколку полурамнини;
• 3. која било отсечка со краеви на точки кои припаѓаат на многуаголникот целосно му припаѓа.

Конвексниот многуаголник се нарекува правилен ако сите негови страни се еднакви и сите агли се еднакви, на пример рамностран триаголник, квадрат и пентагон.

За конвексен многуаголник се вели дека е ограничен на круг ако сите негови страни допираат некој круг

Правилен многуаголник е многуаголник во кој сите агли и сите страни се еднакви.

Својства на многуаголниците:

1 Секоја дијагонала на конвексен -аголник, каде што >3, ја разложува на два конвексни многуаголници.

2 Збирот на сите агли на конвексен триаголник е еднаков.

Д-во: Теоремата ја докажуваме користејќи го методот математичка индукција. На = 3 е очигледно. Да претпоставиме дека теоремата е точна за -гон, каде <, и докаже за -гон.

Нека е даден многуаголник. Да ја нацртаме дијагоналата на овој многуаголник. Според теорема 3, многуаголникот се распаѓа на триаголник и конвексен триаголник (сл. 5). Со хипотезата за индукција. На другата страна, . Додавајќи ги овие еднаквости и земајќи го предвид тоа (- внатрешен аголен зрак ) И (- внатрешен аголен зрак ), добиваме Кога ќе добиеме: .

3 Околу секој правилен многуаголник можете да опишете круг, и тоа само еден.

D-vo: Нека е правилен многуаголник, и и се симетралите на аглите, и (сл. 150). Оттогаш, затоа, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ЗА.Да го докажеме тоа О = ОП 2 = ЗА =… = ОП П . Тријаголник ЗАрамнокрак, затоа ЗА= ЗА. Според вториот критериум за еднаквост на триаголниците, значи, ЗА = ЗА. Слично, се докажува дека ЗА = ЗАитн. Значи поентата ЗАе еднакво оддалечено од сите темиња на многуаголникот, па круг со центар ЗАрадиус ЗАе ограничен околу многуаголникот.

Сега да докажеме дека има само еден ограничен круг. Размислете за три темиња на многуаголник, на пример, А 2 , . Бидејќи само еден круг поминува низ овие точки, тогаш околу многуаголникот … Не можете да опишете повеќе од еден круг.

• 4 Можете да впишете круг во кој било правилен многуаголник, и тоа само еден.
• 5 Круг впишан во правилен многуаголник ги допира страните на многуаголникот во нивните средни точки.
• 6 Центарот на кругот опфатен околу правилен многуаголник се совпаѓа со центарот на кругот впишан во истиот многуаголник.
• 7 Симетрија:

Тие велат дека фигурата има симетрија (симетрична) ако има такво движење (не идентично) што ја преведува оваа фигура во себе.

• 7.1. Општ триаголник нема оски или центри на симетрија, тој е асиметричен. Рамнокрак (но не рамностран) триаголник има една оска на симетрија: нормална симетрала на основата.
• 7.2. Рамностран триаголник има три оски на симетрија (нормални симетрали на страните) и ротациона симетрија околу центарот со агол на ротација од 120°.

7.3 Секој правилен n-аголник има n оски на симетрија, а сите минуваат низ неговиот центар. Исто така, има ротациона симетрија околу центарот со агол на ротација.

Кога дури nНекои оски на симетрија минуваат низ спротивни темиња, други низ средните точки на спротивните страни.

За чудно nсекоја оска минува низ врвот и средината на спротивната страна.

Центарот на правилен многуаголник со парен број страни е неговиот центар на симетрија. Правилен многуаголник со непарен број страни нема центар на симетрија.

8 Сличност:

Со сличност и -gon оди во -gon, полурамнина во полурамнина, затоа конвексен n-аголот станува конвексен n-гон.

Теорема: Ако страните и аглите на конвексните многуаголници ги задоволуваат еднаквостите:

каде е коефициентот на подиумот

тогаш овие многуаголници се слични.

• 8.1 Односот на периметрите на два слични многуаголници е еднаков на коефициентот на сличност.
• 8.2. Односот на плоштините на два конвексни слични многуаголници е еднаков на квадратот на коефициентот на сличност.

Теорема за периметар на многуаголник на триаголник

Делот од рамнината ограничен со затворена скршена линија се нарекува многуаголник.

Се нарекуваат отсечките од оваа скршена линија забавимногуаголник. AB, BC, CD, DE, EA (сл. 1) се страните на многуаголникот ABCDE. Збирот на сите страни на многуаголникот се нарекува негов периметар.

Многуаголникот се нарекува конвексни, ако се наоѓа на едната страна од која било од неговите страни, неодредено проширен надвор од двете темиња.

Многуаголникот MNPKO (сл. 1) нема да биде конвексен, бидејќи се наоѓа на повеќе од едната страна на правата линија KR.

Ќе разгледаме само конвексни многуаголници.

Аглите формирани од две соседни страни на многуаголникот се нарекуваат негови внатрешенаглите, а нивните врвови се темиња на многуаголникот.

Права отсечка што поврзува две несоседни темиња на многуаголник се нарекува дијагонала на многуаголникот.

AC, AD - дијагонали на многуаголникот (слика 2).

Аглите во непосредна близина на внатрешните агли на многуаголникот се нарекуваат надворешни агли на многуаголникот (сл. 3).

Во зависност од бројот на агли (страни), многуаголникот се нарекува триаголник, четириаголник, петаголник итн.

За два многуаголници се вели дека се складни ако можат да се спојат заедно со преклопување.

Впишани и ограничени многуаголници

Ако сите темиња на многуаголникот лежат на круг, тогаш многуаголникот се нарекува впишаниво круг, а кругот - опишанво близина на многуаголникот (сл).

Ако сите страни на многуаголникот се тангентни на круг, тогаш многуаголникот се нарекува опишаноколу круг, а кругот се нарекува впишаниво многуаголник (сл.).

Сличност на многуаголниците

Два истоимени многуаголници се нарекуваат слични ако аглите на едниот од нив се соодветно еднакви со аглите на другиот, а сличните страни на многуаголниците се пропорционални.

Многуаголниците со ист број страни (агли) се нарекуваат истоимени многуаголници.

Страните на сличните многуаголници што ги поврзуваат темињата на соодветно еднаквите агли се нарекуваат слични (сл.).

Така, на пример, за многуаголникот ABCDE да биде сличен на многуаголникот A'B'C'D'E', потребно е: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' и, дополнително, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Однос на периметри на слични многуаголници

Прво, разгледајте го својството на низа еднакви соодноси. Дозволете ни, на пример, да ги имаме следните соодноси: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Да го најдеме збирот на претходните членови на овие односи, потоа збирот на нивните последователни членови и да го најдеме односот на добиените суми, добиваме:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Истото го добиваме ако земеме низа од некои други релации, на пример: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Да го најдеме збирот на претходните членови од овие односи и збирот на следните, а потоа да го најдеме односот на овие збирови, добиваме:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Во двата случаи, збирот на претходните членови на низа еднакви односи се однесува на збирот на следните членови од истата серија, исто како што претходниот член на која било од овие односи се однесува на неговата наредна.

Ние го изведевме ова својство со разгледување на голем број нумерички примери. Може да се изведе строго и во општа форма.

Сега разгледајте го односот на периметрите на слични многуаголници.

Нека многуаголникот ABCDE е сличен на многуаголникот A’B’C’D’E’ (сл.).

Од сличноста на овие многуаголници произлегува дека

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Врз основа на својствата што ги изведовме за низа еднакви соодноси, можеме да напишеме:

Збирот на претходните членови на односите што ги земавме го претставува периметарот на првиот многуаголник (P), а збирот на следните членови од овие односи го претставува периметарот на вториот многуаголник (P'), што значи P / P ' = AB / A'B'.

Оттука, Периметрите на сличните многуаголници се поврзани со нивните слични страни.

Однос на плоштини на слични многуаголници

Нека ABCDE и A’B’C’D’E се слични многуаголници (сл.).

Познато е дека ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' и ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Освен тоа,

;

Бидејќи вторите соодноси на овие пропорции се еднакви, што произлегува од сличноста на многуаголниците, тогаш

Користејќи го својството на низа еднакви соодноси, добиваме:

Или

каде што S и S’ се плоштините на овие слични многуаголници.

Оттука, Областите на слични многуаголници се поврзани како квадрати на слични страни.

Резултирачката формула може да се претвори во оваа форма: S / S' = (AB / A'B') 2

Областа на произволен многуаголник

Нека биде неопходно да се пресмета плоштината на произволен четириаголник ABC (сл.).

Да нацртаме дијагонала во неа, на пример АД. Добиваме два триаголници ABD и ACD, чии плоштини можеме да ги пресметаме. Потоа го наоѓаме збирот на плоштините на овие триаголници. Добиената сума ќе ја изрази областа на овој четириаголник.

Ако треба да ја пресметате плоштината на пентагон, тогаш го правиме истото: цртаме дијагонали од едно од темињата. Добиваме три триаголници, чии плоштини можеме да ги пресметаме. Ова значи дека можеме да ја најдеме областа на овој пентагон. Ние го правиме истото кога ја пресметуваме плоштината на кој било многуаголник.

Проектирана површина на полигон

Да потсетиме дека аголот помеѓу права и рамнина е аголот помеѓу дадена права и нејзината проекција на рамнината (сл.).

Теорема. Областа на ортогоналната проекција на многуаголник на рамнина е еднаква на плоштината на проектираниот многуаголник помножена со косинус на аголот формиран од рамнината на многуаголникот и проекциската рамнина.

Секој многуаголник може да се подели на триаголници чиј збир на плоштини е еднаков на плоштината на многуаголникот. Затоа, доволно е да се докаже теоремата за триаголник.

Нека ΔАВС се проектира на рамнината Р. Да разгледаме два случаи:

а) една од страните ΔABC е паралелна со рамнината Р;

б) ниту една од страните ΔABC не е паралелна Р.

Ајде да размислиме првиот случај: нека [AB] || Р.

Дозволете ни да нацртаме рамнина низ (AB) Р 1 || Ри проектирајте ортогонално ΔАВС на Р 1 и натаму Р(ориз.); добиваме ДАВС 1 и ΔА'В'С'.

По својството на проекција имаме ΔАВС 1 (конг) ΔА'В'С', и затоа

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Да нацртаме ⊥ и отсечката D 1 C 1 . Тогаш ⊥ , a \(\ overbrace(CD_1C_1)\) = φ е вредноста на аголот помеѓу рамнината ΔABC и рамнината Р 1 . Затоа

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | ЦД 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

и затоа S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Ајде да продолжиме да размислуваме втор случај. Ајде да нацртаме авион Р 1 || Рниз тоа теме ΔАВС, растојанието од кое до рамнината Рнајмалиот (нека ова е темето А).

Да го проектираме ΔАВС во авионот Р 1 и Р(ориз.); неговите проекции нека бидат соодветно ΔАВ 1 С 1 и ΔА'В'С'.

Нека (BC) ∩ стр 1 = D. Потоа

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Други материјали

Триаголник, квадрат, шестоаголник - овие бројки се познати на речиси сите. Но, не секој знае што е правилен многуаголник. Но, сите се исти Правилен многуаголник е оној кој има еднакви агли и страни. Има многу такви фигури, но сите имаат исти својства и за нив важат истите формули.

Својства на правилни многуаголници

Секој правилен многуаголник, било да е тоа квадрат или октагон, може да се впише во круг. Ова основно својство често се користи при конструирање фигура. Покрај тоа, круг може да биде впишан во многуаголник. Во овој случај, бројот на точки за контакт ќе биде еднаков на бројот на неговите страни. Важно е кругот впишан во правилен многуаголник да има заеднички центар со него. Овие геометриски фигури подлежат на истите теореми. Секоја страна на правилен n-аголник е поврзана со радиусот на кругот R што го опкружува, затоа, може да се пресмета со следнава формула: a = 2R ∙ sin180°. Преку можете да ги најдете не само страните, туку и периметарот на полигонот.

Како да се најде бројот на страни на правилен многуаголник

Секој од нив се состои од одреден број на сегменти еднакви еден на друг, кои, кога се поврзани, формираат затворена линија. Во овој случај, сите агли на добиената фигура имаат иста вредност. Многуаголниците се делат на едноставни и сложени. Првата група вклучува триаголник и квадрат. Сложените многуаголници имаат повеќе страни. Тука спаѓаат и фигурите во форма на ѕвезда. За сложени правилни многуаголници, страните се наоѓаат со нивно впишување во круг. Ајде да дадеме доказ. Нацртајте правилен многуаголник со произволен број на страни n. Нацртајте круг околу него. Поставете го радиусот R. Сега замислете дека ви е даден n-аголник. Ако точките на неговите агли лежат на кругот и се еднакви една со друга, тогаш страните може да се најдат со формулата: a = 2R ∙ sinα: 2.

Наоѓање на бројот на страни на впишан правилен триаголник

Рамностран триаголник е правилен многуаголник. За него важат истите формули како за квадрат и n-аголник. Триаголникот ќе се смета за правилен ако неговите страни се еднакви по должина. Во овој случај, аглите се 60⁰. Да конструираме триаголник со дадена должина на страна a. Знаејќи ја неговата средина и висина, можете да ја најдете вредноста на неговите страни. За да го направиме ова, ќе го користиме методот за наоѓање преку формулата a = x: cosα, каде што x е медијана или висина. Бидејќи сите страни на триаголникот се еднакви, добиваме a = b = c. Тогаш ќе биде точно следново тврдење: a = b = c = x: cosα. Слично, можете да ја најдете вредноста на страните во рамнокрак триаголник, но x ќе биде дадената висина. Во овој случај, треба да се проектира строго на основата на фигурата. Значи, знаејќи ја висината x, ја наоѓаме страната a на рамнокрак триаголник користејќи ја формулата a = b = x: cosα. Откако ќе ја пронајдете вредноста на a, можете да ја пресметате должината на основата c. Да ја примениме Питагоровата теорема. Ќе ја бараме вредноста на половина од основата c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Тогаш c = 2xtanα. На овој едноставен начин можете да го најдете бројот на страни на кој било впишан многуаголник.

Пресметување на страните на квадрат впишан во круг

Како и секој друг впишан правилен многуаголник, квадратот има еднакви страни и агли. За него важат истите формули како и за триаголник. Можете да ги пресметате страните на квадрат користејќи ја дијагоналната вредност. Ајде да го разгледаме овој метод подетално. Познато е дека дијагоналата дели агол на половина. Првично неговата вредност беше 90 степени. Така, по поделбата, се формираат два нивните агли во основата ќе бидат еднакви на 45 степени. Според тоа, секоја страна на квадратот ќе биде еднаква, односно: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, каде што e е дијагонала на квадратот или основата на правоаголен триаголник формиран по поделба. Ова не е единствениот начин да се најдат страните на квадрат. Ајде да ја впишеме оваа фигура во круг. Знаејќи го радиусот на овој круг R, ја наоѓаме страната на квадратот. Ќе го пресметаме на следниов начин: a4 = R√2. Радиусите на правилните многуаголници се пресметуваат со формулата R = a: 2tg (360 o: 2n), каде што a е должината на страната.

Како да се пресмета периметарот на n-аголник

Периметарот на n-аголник е збир на сите негови страни. Лесно е да се пресмета. За да го направите ова, треба да ги знаете значењата на сите страни. За некои типови на многуаголници постојат посебни формули. Тие ви дозволуваат да го пронајдете периметарот многу побрзо. Познато е дека секој правилен многуаголник има еднакви страни. Затоа, за да се пресмета неговиот периметар, доволно е да се знае барем еден од нив. Формулата ќе зависи од бројот на страни на сликата. Во принцип, изгледа вака: P = an, каде што a е страничната вредност, а n е бројот на агли. На пример, за да го пронајдете периметарот на правилен октагон со страна од 3 cm, треба да го помножите со 8, односно P = 3 ∙ 8 = 24 cm за шестоаголник со страна од 5 cm и тоа: P = 5 ∙ 6 = 30 cm И така за секој многуаголник.

Наоѓање на периметар на паралелограм, квадрат и ромб

Во зависност од тоа колку страни има правилен многуаголник, се пресметува неговиот периметар. Ова ја прави задачата многу полесна. Навистина, за разлика од другите фигури, во овој случај не треба да ги барате сите негови страни, доволно е една. Користејќи го истиот принцип, го наоѓаме периметарот на четириаголниците, односно квадрат и ромб. И покрај фактот дека ова се различни фигури, формулата за нив е иста: P = 4a, каде што a е страната. Да дадеме пример. Ако страната на ромб или квадрат е 6 cm, тогаш го наоѓаме периметарот на следниов начин: P = 4 ∙ 6 = 24 cm за паралелограм, само спротивните страни се еднакви. Затоа, неговиот периметар се наоѓа со помош на различен метод. Значи, треба да ги знаеме должината a и ширината b на сликата. Потоа ја применуваме формулата P = (a + b) ∙ 2. Паралелограм во кој сите страни и агли меѓу нив се еднакви се нарекува ромб.

Наоѓање на периметарот на рамностран и правоаголен триаголник

Периметарот на правилната може да се најде со помош на формулата P = 3a, каде што a е должината на страната. Ако е непознато, може да се најде преку медијаната. Во правоаголен триаголник, само две страни имаат еднаква вредност. Основата може да се најде преку Питагоровата теорема. Откако ќе се знаат вредностите на сите три страни, го пресметуваме периметарот. Може да се најде со користење на формулата P = a + b + c, каде што a и b се еднакви страни, а c е основата. Потсетиме дека во рамнокрак триаголник a = b = a, што значи a + b = 2a, потоа P = 2a + c. На пример, страната на рамнокрак триаголник е 4 cm, ајде да ја најдеме неговата основа и периметар. Вредноста на хипотенузата ја пресметуваме со помош на Питагоровата теорема со = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Сега пресметајте го периметарот P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Како да се најдат аглите на правилен многуаголник

Правилен многуаголник се појавува во нашите животи секој ден, на пример, правилен квадрат, триаголник, октагон. Се чини дека нема ништо полесно отколку сами да ја изградите оваа бројка. Но, ова е едноставно само на прв поглед. За да конструирате кој било n-аголник, треба да ја знаете вредноста на неговите агли. Но, како да ги најдете? Дури и античките научници се обиделе да конструираат правилни полигони. Тие сфатија како да ги вклопат во кругови. И тогаш на неа беа означени потребните точки и поврзани со прави линии. За едноставни фигури проблемот со изградбата беше решен. Добиени се формули и теореми. На пример, Евклид, во неговото познато дело „Почеток“, се занимаваше со решавање проблеми за 3-, 4-, 5-, 6- и 15-аголници. Тој најде начини да ги конструира и да најде агли. Ајде да погледнеме како да го направите ова за 15-гони. Прво треба да го пресметате збирот на неговите внатрешни агли. Неопходно е да се користи формулата S = 180⁰(n-2). Значи, ни е даден 15-аголник, што значи дека бројот n е 15. Ги заменуваме податоците што ги знаеме во формулата и добиваме S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Го најдовме збирот на сите внатрешни агли на 15-аголник. Сега треба да ја добиете вредноста на секоја од нив. Вкупно има 15 агли Пресметката ја правиме 2340⁰: 15 = 156⁰. Ова значи дека секој внатрешен агол е еднаков на 156⁰, сега со помош на линијар и компас можете да конструирате правилен 15-аголник. Но, што е со посложените n-гони? Со векови, научниците се бореле да го решат овој проблем. Бил пронајден дури во 18 век од Карл Фридрих Гаус. Тој беше во можност да конструира 65537-гони. Оттогаш, проблемот официјално се смета за целосно решен.

Пресметка на агли на n-гони во радијани

Се разбира, постојат неколку начини да се најдат аглите на многуаголниците. Најчесто тие се пресметуваат во степени. Но, тие можат да се изразат и во радијани. Како да се направи тоа? Треба да продолжите на следниов начин. Прво, го дознаваме бројот на страни на правилен многуаголник, а потоа одземаме 2 од него. Сега останува само да се подели добиениот производ со бројот на агли во n-аголникот. Ајде да ги разгледаме овие пресметки користејќи го истиот декагон како пример. Значи, бројот n е 15. Да ја примениме формулата S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ова, се разбира, не е единствениот начин да се пресмета аголот во радијани. Можете едноставно да го поделите аголот во степени со 57,3. На крајот на краиштата, ова е колку степени се еквивалентни на еден радијан.

Пресметка на агли во степени

Покрај степените и радијаните, можете да се обидете да ги најдете аглите на правилен многуаголник во степени. Ова е направено на следниов начин. Одземете 2 од вкупниот број на агли и поделете ја добиената разлика со бројот на страни на правилен многуаголник. Пронајдениот резултат го множиме со 200. Патем, таква единица за мерење на аглите како степени практично не се користи.

Пресметка на надворешни агли на n-аголници

За секој правилен многуаголник, покрај внатрешниот, можете да го пресметате и надворешниот агол. Неговата вредност се наоѓа на ист начин како и за другите фигури. Значи, за да го пронајдете надворешниот агол на правилен многуаголник, треба да ја знаете вредноста на внатрешниот. Понатаму, знаеме дека збирот на овие два агли е секогаш еднаков на 180 степени. Затоа, пресметките ги правиме на следниов начин: 180⁰ минус вредноста на внатрешниот агол. Ја наоѓаме разликата. Тоа ќе биде еднакво на вредноста на аголот во непосредна близина на него. На пример, внатрешниот агол на квадрат е 90 степени, што значи дека надворешниот агол ќе биде 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Како што можеме да видиме, не е тешко да се најде. Надворешниот агол може да има вредност од +180⁰ до -180⁰, соодветно.