Фигурата формирана од три зраци кои произлегуваат од една точка О и не лежат во иста рамнина, и три дела од рамнините затворени меѓу овие зраци, се нарекува триедарски агол (сл. 352).
Точката О се нарекува теме на аголот, зраците a, b, c се неговите рабови, делови од рамнините. Лицата се рамни агли, наречени и рамни агли на даден триедарски агол. Аглите помеѓу рамните лица се нарекуваат диедрални агли на даден триедарски агол.
Теорема 1. Во триедарски агол, секој рамнински агол е помал од збирот на другите два.
Доказ. Доволно е да се докаже теоремата за најголемиот од рамнинските агли. Нека најголемиот рамнински агол на триедарниот агол на Сл. 353. Да конструираме агол во рамнината еднаков на аголот што неговата страна b го минува внатре во аголот (најголемиот од рамнинските агли!).
Да ги ставиме линиите c и b any еднакви сегментиДозволете ни да нацртаме произволна рамнина низ точките, пресекувајќи ги зраците a и b во точките N и M, соодветно.
Триаголниците се еднакви како да имаат еднакви аглисклучен меѓу еднакви страни. Да покажеме дека аголот со теме O во е поголем од аголот со исто теме во. Навистина, овие агли се содржани помеѓу парови еднакви страни, третата страна е поголема во триаголникот
Ова покажува дека збирот на два рамни агли е поголем од третиот агол на рамнина, што требаше да се докаже.
Теорема 2. Збирот на рамните агли на триедарен агол е помал од четири прави агли.
Доказ. Да земеме три точки A, B и C на рабовите на триедралниот агол и да нацртаме рамнина за сечење низ нив, како што е прикажано на сл. 354. Збирот на аглите на триаголникот ABC е еднаков на Затоа, збирот на шесте агли OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA е поголем отколку според претходната теорема. Но, збирот на аглите на трите триаголници OAB, OBC, OCA во лицата на триедарен агол е еднаков на . Така, уделот на рамни агли на триедарен агол останува помал од четири прави: . Оваа сума може да биде произволно мала („триедрална шпилка“) или произволно блиску до ако ја намалиме висината на пирамидата SABC на сл. 355, зачувувајќи ја својата основа, тогаш збирот на рамни агли на темето S ќе има тенденција да
Збирот на диедралните агли на триедарниот агол исто така има граници. Јасно е дека секој од диедралните агли и затоа нивниот збир е помал од . За истата пирамида на сл. 355 оваа сума се приближува до својата граница бидејќи висината на пирамидата се намалува.
Така, за рамни и диедрални агли на триедарски агол, важат следните неравенки:
Постои значителна сличност помеѓу геометријата на триаголник на рамнина и геометријата на триедарен агол. Во овој случај, може да се направи аналогија помеѓу аглите на триаголникот и диедралните агли на триедарниот агол, од една страна, и помеѓу страните на триаголникот и рамните агли на триедарниот агол, од друга страна. На пример, со посочената замена на концептите, теоремата за еднаквоста на триаголниците останува валидна. Паралелно да ги претставиме соодветните формулации:
Меѓутоа, два триедрални агли чии соодветни диедрални агли се еднакви се складни. Во меѓувреме, два триаголници чии агли се соодветно еднакви се слични, но не мора да се еднакви. За триедарските агли, како и за триаголниците, се поставува задача да се реши триедарен агол, односно задача да се најдат некои негови елементи од други дадени. Да дадеме пример за таква задача.
Задача. Дадени се рамните агли на триедарен агол. Најдете ги неговите диедрални агли.
Решение. Дозволете ни да поставиме отсечка на работ a и да нацртаме нормален пресек ABC на диедралниот агол a. Од правоаголен триаголник OAV наоѓаме Имаме и ние
За BC наоѓаме со косинусовата теорема применета на триаголникот BAC (за краткост ги означуваме рамните агли едноставно како ab, ac, bc, диедрални агли - a, b, c)
Сега ја применуваме косинусната теорема на триаголникот BOC:
Од тука наоѓаме
и слично
Користејќи ги овие формули, можете да најдете диедрални агли, знаејќи ги рамни агли. Да ја забележиме, без доказ, извонредната врска
наречена теорема на синусите.
Објаснувањето на длабоката аналогија помеѓу геометријата на триедарниот агол и геометријата на триаголникот не е тешко да се добие ако ја извршиме следната конструкција. Дозволете ни да го поставиме центарот на сферата со единечен радиус на темето на триедралниот агол O (сл. 357).
Тогаш рабовите ќе ја сечат површината на сферата во три точки A, B, C, а рабовите на аголот ќе пресечат лакови на сферата големи кругови AC, AB, BC. На сферата се формира фигура ABC, наречена сферичен триаголник. Лаците („страните“ на триаголникот) се мерат со рамните агли на триедралниот агол, аглите на темињата се рамни агли на диедралните агли. Според тоа, решението на триедарските агли не е ништо друго освен решение на сферични триаголници, што е предмет на сферична тригонометрија. Односите (243.1) и (243.2) се меѓу основните односи на сферичната тригонометрија. Сферична тригонометријаТоа има важноза астрономијата. Така, теоријата на триедарски агли е теорија на сферични триаголници и затоа е на многу начини слична на теоријата за триаголник на рамнина. Разликата помеѓу овие теории е во тоа што: 1) во сферичен триаголник и аглите и страните се мерат во аголна мерка, затоа, на пример, во теоремата на синусите не се појавуваат страните, туку синусите на страните АБ. , AC, BC;
Полиедрален агол дел од просторот ограничен со една полиедарна празнина конусна површина, чиј правец е рамен многуаголник без самопресеци. Лицата на оваа површина се нарекуваат лица на мозаикот, а врвот се нарекува врв на мозаикот. М. у. се нарекува правилен ако сите негови линеарни агли и сите негови диедрални агли се еднакви. Мерој М. у. е областа ограничена со сферичниот многуаголник добиен со пресекот на лицата на многуаголникот, сфера со радиус еднакво на еден, и со центар на темето на M. y. Видете исто Цврст агол.
Големо Советска енциклопедија. - М.: Советска енциклопедија. 1969-1978 .
Погледнете што е „полиедрален агол“ во другите речници:
Видете цврст агол... Големо енциклопедиски речник
Видете цврст агол. * * * ПОСЛОВЕН АГОЛ ПОЛОВИДЕН АГОЛ, видете Цврст агол (види Цврсти АГОЛ) ... енциклопедиски речник
Дел од просторот ограничен со една шуплина на полиедарски конус. површина насочена кон рој рамен многуаголник без самопресеци. Лицата на оваа површина се нарекуваат. рабовите на M. u., врвот на врвот на M. u. Полиедарен агол се нарекува точно... Математичка енциклопедија
Видете Цврст агол... Природна наука. енциклопедиски речник
полиедарен агол- математика. Дел од просторот ограничен со неколку рамнини кои минуваат низ една точка (теме на агол) ... Речник на многу изрази
ПОВЕЌЕСТРАН, повеќеслоен, повеќеслоен (книга). 1. Имајќи неколку лица или страни. Повеќеслоен камен. Полиедарски агол (дел од просторот ограничен со неколку рамнини што се сечат во една точка; мат.). 2. трансфер... ... РечникУшакова
- (подлога.). Ако нацртаме прави OA и 0B од точката O на дадена рамнина, добиваме агол AOB (сл. 1). Глупости. 1. Повикана е точка 0 темето на аголот, а правите ОА и 0В како страни на аголот. Да претпоставиме дека се дадени два агли ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1 да ги наметнеме така што... ...
- (подлога.). Ако нацртаме прави OA и 0B од точката O на дадена рамнина, добиваме агол AOB (сл. 1). Глупости. 1. Повикана е точка 0 темето на аголот, а правите ОА и 0В како страни на аголот. Да претпоставиме дека се дадени два агли ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Да ги препоставиме така што темињата О... Енциклопедиски речник Ф.А. Брокхаус и И.А. Ефрон
Овој термин има и други значења, видете Агол (значења). Агол ∠ Димензија ° SI единици Радијан ... Википедија
Рамен, геометриска фигура, формирани од два зраци (страни на површината) кои произлегуваат од една точка (темето на површината). Секое U. кое има теме во центарот O на некоја кружница (централно U.), дефинира на кругот лак AB ограничен со... ... Голема советска енциклопедија
Слајд 1
Фигурата формирана од наведената површина и еден од двата дела на просторот ограничен со неа се нарекува полиедарски агол. Заедничкото теме S се нарекува теме на многуедрален агол. Зраците SA1, ..., SAn се нарекуваат рабови на многуедарниот агол, а самите рамни агли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 се нарекуваат лица на полиедарниот агол. Полиедарен агол се означува со буквите SA1...An, означувајќи го темето и точките на неговите рабови. Површина формирана од конечно множество рамни агли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 со заедничко теме S, во која соседните агли немаат заеднички точки, освен точките на заеднички зрак и агли кои не се соседни немам заеднички точки, покрај заедничкото теме, ќе се нарекува и полиедарна површина.
Слајд 2
Во зависност од бројот на лица, полиедарните агли се триедарски, тетраедарски, петагонални итн.
Слајд 3
ТРОЈДЕЛНИ АГЛИ
Теорема. Секој рамен агол на триедарен агол е помал од збирот на неговите два други рамни агли. Доказ: Размислете за триедарниот агол SABC. Нека најголемиот од неговите рамни агли е агол ASC. Тогаш се задоволуваат неравенките ASB ASC
Слајд 4
Имотот. Збирот на рамнините агли на триедарен агол е помал од 360°. Слично, за триедарни агли со темиња B и C, важат следните неравенки: ABC
Слајд 5
КОНВЕКСНИ ПОЛИЕДНИ АГЛИ
Полиедарниот агол се нарекува конвексен ако е конвексна фигура, т.е., заедно со кои било од неговите точки, тој целосно го содржи сегментот што ги поврзува. Својство: Збирот на сите рамни агли на конвексен полиедарски агол е помал од 360°. Доказот е сличен на доказот за соодветното својство за триедрален агол.
Слајд 6
Вертикални полиедарски агли
На сликите се прикажани примери на триедарски, тетраедарски и пентаедарски вертикални агли. Вертикални аглисе еднакви.
Слајд 7
Мерење на полиедарни агли
Бидејќи вредноста на степенот на развиениот диедрален агол се мери со степенот вредност на соодветниот линеарен аголи е еднаква на 180°, тогаш ќе претпоставиме дека вредноста на степенот на целиот простор, кој се состои од два расклопени диедрални агли, е еднаква на 360°. Големината на полиедарниот агол, изразена во степени, покажува колку простор зафаќа даден полиедарски агол. На пример, триедарниот агол на коцката зафаќа една осмина од просторот и, според тоа, неговата вредност на степенот е 360°: 8 = 45°. Триаголен аголво десната страна n-гонална призма еднакво на половинадиедрален агол на страничниот раб. Имајќи предвид дека ова диедрален аголеднаков, откриваме дека триедарниот агол на призмата е еднаков.
Слајд 8
Мерење на триаголни агли*
Дозволете ни да изведеме формула која ја изразува големината на триедарниот агол во однос на неговите диедрални агли. Дозволете ни да опишеме единична сфера во близина на темето S на триедралниот агол и да ги означиме точките на пресек на рабовите на триедралниот агол со оваа сфера како A, B, C. Рамнините на лицата на триедралниот агол ја делат оваа сфера на шест парови еднакви сферични дигони што одговараат на диедралните агли на овој триедарски агол. Сферични триаголник ABCа симетричниот сферичен триаголник A"B"C" се пресек на три дигони. Затоа, двапати од збирот на диедралните агли е еднаков на 360o плус четирикратен триедарски агол, или SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.
Слајд 9
Мерење полиедарски агли*
Нека SA1…An е конвексен агол со n-фацети. Поделувајќи го на триедарски агли, цртајќи дијагонали A1A3, ..., A1An-1 и применувајќи ја добиената формула на нив, ќе имаме: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… Ан. Полиедарните агли може да се мерат и со бројки. Навистина, триста и шеесет степени од целиот простор одговараат на бројот 2π. Поместувајќи се од степени до броеви во добиената формула, ќе имаме: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Слајд 10
Вежба 1
Дали може да има триедрален агол со рамни агли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Нема одговор; б) не; в) да.
Слајд 11
Вежба 2
Наведи примери за многуедри чии лица, вкрстувајќи се на темињата, формираат само: а) триедарски агли; б) тетраедарски агли; в) пентагонални агли. Одговор: а) Тетраедар, коцка, додекаедрон; б) октаедар; в) икозаедрон.
Слајд 12
Вежба 3
Двата рамни агли на триедарниот агол се 70° и 80°. Кои се границите на третиот агол на рамнина? Одговор: 10o
Слајд 13
Вежба 4
Рамнинските агли на триедарниот агол се 45°, 45° и 60°. Најдете го аголот помеѓу рамнините на рамни агли од 45°. Одговор: 90o.
Слајд 14
Вежба 5
Во триедарски агол, два рамни агли се еднакви на 45°; диедралниот агол меѓу нив е правилен. Најдете го третиот агол на рамнина. Одговор: 60o.
Слајд 15
Вежба 6
Рамнинските агли на триедарниот агол се 60°, 60° и 90°. На неговите рабови од темето се поставени еднакви отсечки OA, OB, OC. Најдете го диедралниот агол помеѓу аголната рамнина од 90° и рамнината ABC. Одговор: 90o.
Слајд 16
Вежба 7
Секој рамен агол на триедарен агол е 60°. На еден од неговите рабови одозгора е отпуштен сегмент еднаков на 3 см, а од неговиот крај до спротивната страна се спушта нормална. Најдете ја должината на оваа нормална. Одговор: види
Слајд 17
Вежба 8
Најдете локус внатрешни точкитриедарен агол подеднакво оддалечен од неговите лица. Одговор: Зрак чие теме е теме на триедарски агол, кој лежи на линијата на пресек на рамнините што ги делат диедралните агли на половина.
Слајд 18
Вежба 9
Најдете го локусот на внатрешните точки на триедарен агол што е еднакво оддалечен од неговите рабови. Одговор: Зрак чие теме е теме на триедарен агол, кој лежи на линијата на пресек на рамнините што минуваат низ симетралите на рамни агли и нормално на рамнинитеовие агли.
Слајд 19
Вежба 10
За диедралните агли на тетраедарот имаме: , од каде 70o30". За триедарните агли на тетраедарот имаме: 15o45". Одговор: 15o45". Најдете ги приближните вредности на триедарните агли на тетраедарот.
Слајд 20
Вежба 11
Најдете приближни вредности на тетраедарните агли на октаедарот. За диедралните агли на октаедарот имаме: , од каде 109о30". За тетраедарните агли на октаедарот имаме: 38о56". Одговор: 38o56".
Слајд 21
Вежба 12
Најдете приближни вредности на пентаедралните агли на икозаедронот. За диедралните агли на икозаедронот имаме: , од каде 138о11". За пентаедралните агли на икозаедронот имаме: 75о28". Одговор: 75o28".
Слајд 22
Вежба 13
За диедралните агли на додекаедронот имаме: , од каде 116o34". За триедарните агли на додекаедронот имаме: 84o51". Одговор: 84o51". Најдете ги приближните вредности на триедарните агли на додекаедронот.
Слајд 23
Вежба 14
Во правилна четириаголна пирамида SABCD, страната на основата е 2 cm, висината е 1 cm Најдете го тетраедарскиот агол на врвот на оваа пирамида. Решение: Дадените пирамиди ја делат коцката на шест еднакви пирамиди со темињата во центарот на коцката. Следствено, 4-страниот агол на врвот на пирамидата е една шестина од аголот од 360°, т.е. еднакво на 60o. Одговор: 60o.
Слајд 24
Вежба 15
Во десната страна триаголна пирамида странични ребраеднакво на 1, агли на теме 90°. Најдете го триедралниот агол на темето на оваа пирамида. Решение: Посочените пирамиди го делат октаедарот на осум еднакви пирамиди со темиња во центарот O на октаедронот. Според тоа, 3-страниот агол на врвот на пирамидата е една осмина од аголот од 360°, т.е. еднакво на 45o. Одговор: 45o.
Слајд 25
Вежба 16
Во правилна триаголна пирамида, страничните рабови се еднакви на 1, а висината Најдете го триедралниот агол на темето на оваа пирамида. Решение: Посочените пирамиди се скршени редовен тетраедарод четири еднакви пирамидисо темиња во центарот на Отетраедронот. Следствено, 3-страниот агол на врвот на пирамидата е една четвртина од аголот од 360°, т.е. еднакво на 90o. Одговор: 90o.
Прикажи ги сите слајдови
ТЕКСТ ТРАНСКРИПТ НА ЧАСОТ:
Во планиметријата, еден од предметите на проучување е аголот.
Агол е геометриска фигура која се состои од точка - темето на аголот и два зраци кои произлегуваат од оваа точка.
Два агли, од кои едната страна е заедничка, а другите два се продолжение еден на друг, се нарекуваат соседни во планиметријата.
Компасот може да се замисли како модел на рамнински агол.
Да се потсетиме на концептот на диедрален агол.
Ова е фигура формирана од права линија a и две полурамнини c заедничка границаА, неприпаѓањето на иста рамнина во геометријата се нарекува диедрален агол. Полурамнините се лица на диедрален агол. Правата линија a е раб на диедрален агол.
Покривот на куќата јасно го покажува диедралниот агол.
Но, покривот на куќата на слика два е направен во форма на фигура формирана од шест рамни агли со заедничко теме, така што аглите се земаат во по одреден редоследи секој пар соседни агли, вклучувајќи го првиот и последниот, има заедничка страна. Како се нарекува овој облик на покривот?
Во геометријата, фигура составена од агли
А аглите од кои е направен овој агол се нарекуваат рамни агли. Страните на рамните агли се нарекуваат рабови на полиедарен агол. Точката О се нарекува теме на аголот.
Примери на полиедарски агли може да се најдат во тетраедарот и паралелепипедот.
Лицата на тетраедарот DBA, ABC, DBC го формираат полиедарниот агол BADC. Почесто се нарекува триедрален агол.
Во паралелепипед, лицата AA1D1D, ABCD, AA1B1B го формираат триедралниот агол AA1DB.
Па, покривот на куќата е направен во форма на хексагонален агол. Се состои од шест рамни агли.
Голем број својства се точни за полиедарен агол. Да ги формулираме и да ги докажеме. Тука се вели дека изјавата
Прво, за секој конвексен полиедарски агол постои рамнина што ги пресекува сите негови рабови.
За доказ, земете го полиедарниот агол OA1A2 A3…An.
По услов, тој е конвексен. Аголот се нарекува конвексен ако лежи на едната страна од рамнината на секој од неговите рамни агли.
Бидејќи, по услов, овој агол е конвексен, тогаш точките O, A1, A2, A3, An лежат на едната страна од рамнината OA1A2
Ајде да спроведеме средната линија KM од триаголникот OA1A2 и изберете од рабовите OA3, OA4, OAn работ што го формира најмалиот диедрален агол со рамнината ОКМ. Нека ова е работ OAi.(оа вкупно)
Да ја разгледаме полурамнината α со границата CM, делејќи го диедралниот агол OKMAi на два диедрални агли. Сите темиња од A до An лежат на едната страна од рамнината α, а точката O на другата страна. Според тоа, рамнината α ги пресекува сите рабови на полиедарниот агол. Изјавата е докажана.
Конвексните полиедарски агли имаат уште една важна особина.
Збирот на рамни агли на конвексен полиедарски агол е помал од 360°.
Размислете за конвексен полиедарски агол со теме во точката O. Врз основа на докажаната изјава, постои рамнина што ги пресекува сите нејзини рабови.
Да нацртаме таква рамнина α, нека ги пресекува рабовите на аголот во точките A1, A2, A3 и така натаму An.
Рамнината α од надворешниот регион на рамниниот агол ќе го отсече триаголникот. Збирот на аглите е 180°. Добиваме дека збирот на сите рамни агли од A1OA2 до AnOA1 е еднаков на изразот, го трансформираме овој израз, ги преуредуваме членовите, добиваме
ВО овој израззбировите означени во загради се збирови на рамни агли на триедарен агол и како што е познато тие се поголеми од третиот рамнински агол.
Оваа неравенка може да се запише за сите триедарски агли кои формираат даден полиедарски агол.
Следствено, го добиваме следното продолжение на еднаквоста
Одговорот докажува дека збирот на рамните агли на конвексен полиедарски агол е помал од 360 степени.
20. Повеќестепена студија на повеќеедарски агли, својства на рамни агли на триедарски агол и многуедрален агол.
Основно ниво на:
Атанасјан
Го разгледува само Диедралниот агол.
Погорелов
Прво, тој го разгледува диедралниот агол, а потоа веднаш триедарните и полиедарните агли.
Да разгледаме три зраци a, b, c, кои произлегуваат од иста точка и лежат во иста рамнина. Триедарен агол (abc) е фигура составена од три рамни агли (ab), (bc) и (ac) (сл. 400). Овие агли се нарекуваат лица на триедарски агол, а нивните страни се нарекуваат рабови. Заедничкото теме на рамни агли се нарекува теме на триедарен агол. Диедралните агли формирани од лицата на триедарниот агол се нарекуваат диедрални агли на триедрален агол.
Концептот на полиедарски агол е воведен слично (сл. 401).
Сл. 400 и сл. 401
П 
ниво на профил(А.Д. Алексндров, А.Л. Вернер, В.И. Рижих):
Оставајќи ја дефиницијата и проучувањето на произволните полиедарски агли до § 31, сега ќе ги разгледаме наједноставните од нив - триедарните агли. Ако во стереометријата диедралните агли може да се сметаат за аналози на рамни агли, тогаш триедарските агли може да се сметаат за аналози на рамни триаголници, а во следните параграфи ќе видиме како тие се природно поврзани со сферичните триаголници.
Можете да конструирате (а со тоа и конструктивно да дефинирате) триедрален агол како овој. Земете кои било три зраци a, b, c, кои имаат општ почетокО и не лежи во иста рамнина (сл. 150). Овие зраци се страни на три конвексни рамни агли: агол α со страни b, c, агол β со страни a, c и агол γ со страни a, b. Соединувањето на овие три агли α, β, γ се нарекува триедарски агол Oabc (или, накратко, триедрален агол O). Зраците a, b, c се нарекуваат рабови на триедарниот агол Oabc, а рамните агли α, β, γ се неговите лица. Точката О се нарекува теме на триедарен агол.
3 Забелешка Би можело да се дефинира триедарен агол со неконвексно лице (сл. 151), но нема да ги разгледаме таквите триедарски агли. 
За секој раб на триедрален агол, се одредува соодветен диедрален агол, оној чиј раб го содржи соодветниот раб на триедралниот агол, а чии лица ги содржат лицата на триедралниот агол во непосредна близина на овој раб.
Вредностите на диедралните агли на триедарниот агол Oabc на рабовите a, b, c ќе бидат означени соодветно со a^, b^, c^ (капчиња директно над буквите).
Три лица α, β, γ на триедралниот агол Oabc и неговите три диедрални агли на ребра а, б, с, како и величините α, β, γ и а^, b^, с^ ќе ги наречеме елементи од триедарски агол. (Запомнете дека елементите на рамниот триаголник се неговите страни и неговите агли.)
Наша задача е да изразиме некои елементи на триедарниот агол преку неговите други елементи, односно да изградиме „тригонометрија“ на триедарски агли.
1) Да почнеме со изведување на аналог на косинусовата теорема. Прво, земете го триедарниот агол Oabc, кој има најмалку две лица, на пример α и β, остри агли. Да ја земеме точката C на нејзиниот раб c и да нацртаме од неа во лица α и β нормални CB и CA до работ c додека не се вкрстат со рабовите a и b во точките A и B (сл. 152). Да го изразиме растојанието AB од триаголниците OAB и CAB користејќи ја косинусната теорема.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) и AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
Одземајќи го првото од второто равенство, добиваме:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Бидејќи триаголниците OSV и OCA се правоаголни, потоа AC 2 -AC 2 =OS 2 и OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
Затоа, од (1) и (2) следува дека OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
тие. 
Но 
,
,
,
. Затоа
(3) – аналог на косинусова теорема за триедарски агли - косинус формула.
Двете лица α и β се тапи агли.
Еден од аглите α и β, на пример α, е остар, а другиот, β, е тап.
Најмалку 1 од аглите α или β е исправен.
Знаци на еднаквост на триедарните аглислично на знаците за еднаквост на триаголниците. Но, постои разлика: на пример, два триедрални агли се еднакви ако нивните диедрални агли се соодветно еднакви. Запомнете дека два рамни триаголници чии соодветни агли се еднакви се слични. И за триедарските агли, слична состојба не води до сличност, туку до еднаквост.
Триедарски агли имаат извонреден имотшто се нарекува двојност. Ако во некоја теорема за триедарниот агол Oabc замениме вредности a, b, од до π-α, π-β, π-γ и, обратно, заменете ги α, β, γ со π-a^, π-b^, π-c^, тогаш повторно добиваме вистинска изјава за триедарските агли, двојна на првобитната една теорема. Точно, ако се направи таква замена во теоремата на синусите, тогаш повторно доаѓаме до теоремата на синусите (таа е двојна за себе). Но, ако го направиме ова во косинусната теорема (3), добиваме нова формула
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Зошто настанува такво двојност, ќе стане јасно ако за триедрален агол конструираме триедрален агол двоен на него, чии рабови се нормални на лицата на првобитниот агол (види дел 33.3 и слика 356).
Некои од наједноставните површини се полиедарни агли. Тие се составени од обични агли (таквите агли сега често ќе ги нарекуваме рамни агли), исто како што затворената скршена линија е составена од отсечки. Имено, дадена е следнава дефиниција:
Полиедарен агол се нарекувафигура формирана од рамни агли така што се исполнети следните услови:
1) Ниту еден агли нема заеднички точки освен нивното заедничко теме или целата страна.
2) За секој од овие агли, секоја негова страна е заедничка со еден и само еден друг таков агол.
3) Од секој агол можете да одите до секој агол по аглите кои имаат заеднички страни.
4) Не лежат два агли со заедничка страна во иста рамнина (сл. 324).
Под оваа состојба, рамните агли кои формираат полиедарски агол се нарекуваат негови лица, а нивните страни се нарекуваат негови рабови.
Под оваа дефиницијаПогоден е и диедрален агол. Тој е составен од два расклопени рамни агли. Нејзиното теме може да се смета за која било точка на нејзиниот раб, и оваа точка го дели работ на два рабови кои се среќаваат на темето. Но, поради оваа несигурност во положбата на темето, диедралниот агол е исклучен од бројот на полиедарните агли.
П 
Концептот на полиедарски агол е важен, особено во проучувањето на полиедрите - во теоријата на полиедарите. Структурата на полиедарот се карактеризира со тоа од какви лица е направен и како тие се спојуваат на темињата, т.е. кои полиедарни агли има таму.
Размислете за полиедарните агли на различни полиедри.
Забележете дека лицата на полиедарните агли можат да бидат и неконвексни агли.