Теорема. Волуменот на пирамидата е еднаков на производот на површината на нејзината основа и третина од нејзината висина.
Прво ја докажуваме оваа теорема за триаголна пирамида, а потоа и за полигонална.
1) Врз основа на триаголната пирамида SABC (сл. 102), ќе конструираме призма SABCDE, чија висина е еднаква на висината на пирамидата, а едниот страничен раб се совпаѓа со работ SB. Да докажеме дека волуменот на пирамидата е третина од волуменот на оваа призма. Да ја одвоиме оваа пирамида од призмата. Она што потоа ќе остане е четириаголната пирамида SADEC (која е прикажана посебно за јасност). Дозволете ни да нацртаме рамнина за сечење во неа низ темето S и дијагоналата на основата DC. Добиените две триаголни пирамиди имаат заедничко теме S и еднакви основи DEC и DAC, кои лежат во иста рамнина; Ова значи дека според пирамидалната лема докажана погоре, тие се еднакви по големина. Ајде да споредиме еден од нив, имено SDEC, со оваа пирамида. Основата на пирамидата SDEC може да се земе како \(\Delta\)SDE; тогаш неговиот врв ќе биде во точката C и неговата висина ќе биде еднаква на висината на дадената пирамида. Бидејќи \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, тогаш според истата лема пирамидите SDEC и SABC се еднакви по големина.
Призмата ABCDES ја поделивме на три пирамиди со еднаква големина: SABC, SDEC и SDAC. (Очигледно, секоја триаголна призма може да биде подложена на таква поделба. Ова е едно од важните својства на триаголната призма.) Така, збирот на волумените на три пирамиди еднакви по големина на оваа го сочинува волуменот на призмата; оттука,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
каде H е висината на пирамидата.
2) Преку некое теме E (сл. 103) на основата на полигоналната пирамида SABCDE цртаме дијагонали EB и EC.
Потоа цртаме рамнини за сечење низ работ SE и секоја од овие дијагонали. Тогаш полигоналната пирамида ќе се подели на неколку триаголни, со висина заедничка со дадената пирамида. Означување на плоштините на основите на триаголните пирамиди со б 1 , б 2 , б 3 и висина преку H, ќе имаме:
Волумен SABCDE = 1 / 3 б 1 H + 1/3 б 2H + 1/3 б 3 H = ( б 1 + б 2 + б 3) H/3 =
= (област ABCDE) H / 3 .
Последица. Ако V, B и H значат броеви кои во соодветните единици го изразуваат волуменот, основната површина и висината на која било пирамида, тогаш
Теорема. Волуменот на скратената пирамида е еднаков на збирот на волумените на три пирамиди кои имаат иста висина како висината на пресечената пирамида, а основите: едната е долната основа на оваа пирамида, другата е горната основа, а површината на основата на третата пирамида е еднаква на геометриската средина на областите на горните и долните основи.
Нека областите на основите на скратената пирамида (сл. 104) се B и б, висина H и волумен V (скратената пирамида може да биде триаголна или полигонална - не е важно).
Тоа е потребно да се докаже
V = 1/3 BH + 1/3 б H+1/3H√B б= 1/3H(B+ б+√B б ),
каде што √B бе геометриската средина помеѓу B и б.
За да го докажеме ова, да поставиме мала пирамида на помала основа што ја надополнува оваа скратена пирамида до целосна. Тогаш можеме да го сметаме волуменот на скратената пирамида V како разлика помеѓу два тома - целосната пирамида и горната дополнителна.
Ја назначивте висината на дополнителната пирамида со буквата X, ќе го најдеме тоа
V = 1/3 V (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - б)X].
Да се најде висината XДа ја искористиме теоремата од , според која можеме да ја напишеме равенката:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
За да ја поедноставиме оваа равенка, го земаме аритметичкиот квадратен корен од двете страни:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Од оваа равенка (која може да се смета како пропорција) добиваме:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
а со тоа и
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Заменувајќи го овој израз во формулата што ја изведовме за волумен V, наоѓаме:
$$ V = \frac(1)(3)\лево $$
Од Б - б= (√B + √ б) (√B - √ б), потоа со намалување на дропот за разликата √B - √ бдобиваме:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
т.е., ја добиваме формулата што требаше да се докаже.
Други материјалиГлавната карактеристика на секоја геометриска фигура во вселената е нејзиниот волумен. Во оваа статија ќе погледнеме што е пирамида со триаголник во основата, а исто така ќе покажеме како да го најдеме волуменот на триаголна пирамида - правилна целосна и скратена.
Што е ова - триаголна пирамида?
Сите слушнале за древните египетски пирамиди, но тие се правилни четириаголни, а не триаголни. Ајде да објасниме како да добиеме триаголна пирамида.
Да земеме произволен триаголник и да ги поврземе сите негови темиња со некоја единствена точка лоцирана надвор од рамнината на овој триаголник. Добиената фигура ќе се нарече триаголна пирамида. Тоа е прикажано на сликата подолу.
Како што можете да видите, фигурата за која станува збор е формирана од четири триаголници, кои генерално се различни. Секој триаголник е страните на пирамидата или нејзиното лице. Оваа пирамида често се нарекува тетраедар, односно тетраедрална тридимензионална фигура.
Покрај страните, пирамидата има и рабови (има 6 од нив) и темиња (од 4).
со триаголна основа
Фигурата што се добива со помош на произволен триаголник и точка во просторот ќе биде неправилна коси пирамида во општиот случај. Сега замислете дека оригиналниот триаголник има идентични страни, а точка во просторот се наоѓа точно над неговиот геометриски центар на растојание h од рамнината на триаголникот. Пирамидата конструирана со помош на овие првични податоци ќе биде точна.
Очигледно, бројот на рабовите, страните и темињата на правилната триаголна пирамида ќе биде ист како оној на пирамидата изградена од произволен триаголник.
Сепак, точната бројка има некои карактеристични карактеристики:
- неговата висина извлечена од темето точно ќе ја пресече основата во геометрискиот центар (точката на пресек на медијаните);
- страничната површина на таквата пирамида е формирана од три идентични триаголници, кои се рамнокрак или рамностран.
Правилната триаголна пирамида не е само чисто теоретски геометриски објект. Некои структури во природата имаат свој облик, на пример дијамантската кристална решетка, каде што јаглеродниот атом е поврзан со четири исти атоми со ковалентни врски, или молекула на метан, каде темињата на пирамидата се формираат од атоми на водород.
триаголна пирамида
Можете да го одредите волуменот на апсолутно секоја пирамида со произволен n-гон во основата користејќи го следниов израз:
Овде симболот S o ја означува областа на основата, h е висината на фигурата нацртана до означената основа од врвот на пирамидата.
Бидејќи плоштината на произволен триаголник е еднаква на половина од производот од должината на неговата страна a и апотемата h a паднала на оваа страна, формулата за волуменот на триаголната пирамида може да се напише во следнава форма:
V = 1/6 × a × h a × h
За општиот тип, одредувањето на висината не е лесна задача. За да се реши, најлесно е да се користи формулата за растојание помеѓу точка (теме) и рамнина (триаголна основа), претставена со општа равенка.
За правилниот, има специфичен изглед. Областа на основата (на рамностран триаголник) за него е еднаква на:
Заменувајќи го во општиот израз за V, добиваме:
V = √3/12 × a 2 × ч
Посебен случај е ситуацијата кога сите страни на тетраедар се идентични рамностран триаголници. Во овој случај, неговиот волумен може да се одреди само врз основа на познавање на параметарот на неговиот раб a. Соодветниот израз изгледа вака:
Скратена пирамида
Ако горниот дел што го содржи темето е отсечен од правилна триаголна пирамида, добивате скратена фигура. За разлика од првобитната, таа ќе се состои од две рамнострани триаголни основи и три рамнокраки трапезоиди.
Фотографијата подолу покажува како изгледа обична скратена триаголна пирамида направена од хартија.
За да го одредите волуменот на скратена триаголна пирамида, треба да ги знаете нејзините три линеарни карактеристики: секоја од страните на основите и висината на фигурата, еднаква на растојанието помеѓу горните и долните основи. Соодветната формула за волумен е напишана на следниов начин:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Овде h е висината на фигурата, A и a се должините на страните на големиот (долниот) и малиот (горниот) рамностран триаголник, соодветно.
Решението на проблемот
За да му бидат појасни информациите во написот на читателот, со јасен пример ќе покажеме како се користат некои од напишаните формули.
Нека волуменот на триаголната пирамида е 15 cm 3 . Познато е дека бројката е точна. Потребно е да се најде апотемата a b на страничниот раб ако се знае дека висината на пирамидата е 4 cm.
Бидејќи обемот и висината на фигурата се познати, можете да ја користите соодветната формула за да ја пресметате должината на страната на нејзината основа. Ние имаме:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Пресметаната должина на апотемата на фигурата се покажа дека е поголема од нејзината висина, што е точно за секаков вид пирамида.
Теорема.
Волуменот на пирамидата е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината.
Доказ:
Прво ја докажуваме теоремата за триаголна пирамида, а потоа за произволна.1. Размислете за триаголна пирамидаOABCсо волумен V, плоштина на основатаСи висина ч. Ајде да ја нацртаме оската ох (OM2- висина), разгледајте го делотA1 B1 C1пирамида со рамнина нормална на оскатаОи, според тоа, паралелно со рамнината на основата. Да означиме соXточка на апсциса М1 пресек на оваа рамнина со оската x и низS(x)- површина на пресек. Да се изразиме S(x)преку С, чИ X. Забележете дека триаголниците А1 ВО1 СО1 И АБЦ се слични. Навистина А1 ВО1 II AB, па триаголникОП 1 ВО 1 слично на триаголникот OAB. СОзатоа, А1 ВО1 : АБ=ОП 1: ОП .
Правилни триаголнициОП 1 ВО 1 и ОАВ се исто така слични (имаат заеднички остар агол со темето O). Затоа, ОП 1: ОА = О 1 М1 : OM = x: ч. ТакаА 1 ВО 1 : A B = x: ч.Слично, се докажува декаB1 C1:Сонцето = X: чИ A1 C1:AC = X: ч.Значи, триаголникA1 B1 C1И ABCслично со коефициент на сличност X: ч.Затоа, S(x): S = (x: ж)², или S(x) = S x²/ ч².
Сега да ја примениме основната формула за пресметување на волумените на телата наа= 0, б =чдобиваме
Така, волуменот на оригиналната пирамида е 1/3Sh. Теоремата е докажана.
Последица:
Волумен V на скратена пирамида чија висина е h и чии области на основата се S и S1 , се пресметуваат со формулата
h - висина на пирамидата
S врвот - површина на горната основа
S пониски - област на долната основа
Пирамидата е полиедар со многуаголник во основата. Сите лица, пак, формираат триаголници кои се спојуваат на едно теме. Пирамидите се триаголни, четириаголни итн. За да одредите која пирамида е пред вас, доволно е да го изброите бројот на агли во нејзината основа. Дефиницијата за „висина на пирамида“ многу често се наоѓа во геометриските проблеми во училишната програма. Во оваа статија ќе се обидеме да разгледаме различни начини да го најдеме.
Делови од пирамидата
Секоја пирамида се состои од следниве елементи:
- странични лица, кои имаат три агли и се спојуваат на врвот;
- апотемата ја претставува висината што се спушта од нејзиниот врв;
- врвот на пирамидата е точка што ги поврзува страничните ребра, но не лежи во рамнината на основата;
- основата е многуаголник на кој темето не лежи;
- висината на пирамидата е отсечка што го пресекува врвот на пирамидата и формира прав агол со нејзината основа.
Како да се најде висината на пирамидата ако е познат нејзиниот волумен
Преку формулата V = (S*h)/3 (во формулата V е волуменот, S е плоштината на основата, h е висината на пирамидата) откриваме дека h = (3*V)/ С. За да го консолидираме материјалот, веднаш да го решиме проблемот. Триаголната основа е 50 cm 2 , додека нејзиниот волумен е 125 cm 3 . Висината на триаголната пирамида е непозната, што е она што треба да го најдеме. Сè е едноставно овде: ги вметнуваме податоците во нашата формула. Добиваме h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Како да се најде висината на пирамидата ако се познати должината на дијагоналата и нејзините рабови
Како што се сеќаваме, висината на пирамидата формира прав агол со нејзината основа. Ова значи дека висината, работ и половина од дијагоналата заедно формираат Многумина, се разбира, се сеќаваат на Питагоровата теорема. Знаејќи две димензии, нема да биде тешко да се најде третата количина. Да се потсетиме на добро познатата теорема a² = b² + c², каде што a е хипотенузата, а во нашиот случај работ на пирамидата; б - првиот крак или половина од дијагоналата и c - соодветно, вториот крак или висината на пирамидата. Од оваа формула c² = a² - b².
Сега проблемот: во правилна пирамида дијагоналата е 20 см, кога должината на работ е 30 см. Треба да ја пронајдете висината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Оттука c = √ 500 = околу 22,4.
Како да ја пронајдете висината на скратена пирамида
Тоа е многуаголник со пресек паралелен на неговата основа. Висината на скратената пирамида е сегментот што ги поврзува нејзините две основи. Висината може да се најде за правилна пирамида ако се познати должините на дијагоналите на двете основи, како и на работ на пирамидата. Нека дијагоналата на поголемата основа е d1, додека дијагоналата на помалата основа е d2, а работ има должина l. За да ја пронајдете висината, можете да ги спуштите висините од двете горните спротивни точки на дијаграмот до неговата основа. Гледаме дека имаме два правоаголни триаголници, останува само да ја најдеме должината на нивните нозе. За да го направите ова, одземете ја помалата од поголемата дијагонала и поделете ја со 2. Така ќе најдеме една катета: a = (d1-d2)/2. После тоа, според Питагоровата теорема, се што треба да направиме е да го најдеме вториот крак, кој е висината на пирамидата.
Сега да ја погледнеме целата оваа работа во пракса. Имаме задача пред нас. Скратената пирамида има квадрат во основата, дијагоналната должина на поголемата основа е 10 cm, додека помалата е 6 cm, а работ е 4 cm. Треба да ја пронајдете висината. Прво, наоѓаме една нога: a = (10-6)/2 = 2 cm Една нога е еднаква на 2 cm, а хипотенузата е 4 cm. Излегува дека втората нога или висина ќе биде еднаква на 16- 4 = 12, односно h = √12 = околу 3,5 см.
Пирамиданаречен полиедар, чија основа е произволен многуаголник, а сите лица се триаголници со заедничко теме, кое е врвот на пирамидата.
Пирамидата е тродимензионална фигура. Затоа доста често е неопходно да се најде не само неговата површина, туку и нејзиниот волумен. Формулата за волуменот на пирамидата е многу едноставна:
каде што S е плоштината на основата, а h е висината на пирамидата.
Висинапирамида се нарекува права линија што се спушта од нејзиниот врв до основата под прав агол. Според тоа, за да се најде волуменот на пирамидата, неопходно е да се одреди кој многуаголник лежи во основата, да се пресмета неговата површина, да се дознае висината на пирамидата и да се најде нејзиниот волумен. Да разгледаме пример за пресметување на волуменот на пирамидата.
Проблем: дадена е правилна четириаголна пирамида. 
Страните на основата се a = 3 cm, сите странични рабови се b = 4 cm. Најдете го волуменот на пирамидата.
Прво, запомнете дека за да го пресметате волуменот ќе ви треба висината на пирамидата. Можеме да го најдеме користејќи ја Питагоровата теорема. За да го направите ова, потребна ни е должината на дијагоналата, или подобро кажано, половина од неа. Тогаш знаејќи две од страните на правоаголен триаголник, можеме да ја најдеме висината. Прво, пронајдете ја дијагоналата: 
Ајде да ги замениме вредностите во формулата: 
Ја наоѓаме висината h користејќи d и работ b: 
Сега да најдеме