ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺជាបញ្ហាទូទៅនៅក្នុង គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនិងផ្នែកបច្ចេកទេសផ្សេងទៀតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ សូម្បីតែដំណោះស្រាយសាមញ្ញបំផុត។ បញ្ហារាងកាយជារឿយៗវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើដោយគ្មានការគណនាជាច្រើន។ អាំងតេក្រាលសាមញ្ញ. ដូច្នេះជាមួយ អាយុសិក្សាយើងត្រូវបានបង្រៀនពីបច្ចេកទេស និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយអាំងតេក្រាល តារាងជាច្រើនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលនៃមុខងារសាមញ្ញបំផុត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយូរ ៗ ទៅអ្វីៗទាំងអស់នេះត្រូវបានបំភ្លេចចោលដោយសុវត្ថិភាពទាំងយើងមិនមានពេលវេលាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគណនាឬយើងត្រូវការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពីខ្លាំងណាស់ មុខងារស្មុគស្មាញ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ សេវាកម្មរបស់យើងនឹងមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់អ្នក ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវអាំងតេក្រាលគ្មានកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិត។

ដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

សេវាកម្មអនឡាញនៅ គេហទំព័រអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក ដោះស្រាយអាំងតេក្រាលតាមអ៊ីនធឺណិតលឿន ឥតគិតថ្លៃ និងគុណភាពខ្ពស់។ អ្នកអាចជំនួសការស្វែងរកនៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បានជាមួយនឹងសេវាកម្មរបស់យើង ដោយបញ្ចូលយ៉ាងលឿន មុខងារដែលចង់បានអ្នកនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៅក្នុងកំណែតារាង។ មិនមែនគេហទំព័រគណិតវិទ្យាទាំងអស់សុទ្ធតែអាចគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃមុខងារតាមអ៊ីនធឺណិតបានយ៉ាងរហ័ស និងមានប្រសិទ្ធភាព ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរក ទេ។ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ពីមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ឬមុខងារបែបនេះដែលមិនត្រូវបានបញ្ចូលក្នុង វគ្គសិក្សាទូទៅគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ គេហទំព័រ គេហទំព័រនិង​ជួយ ដោះស្រាយអាំងតេក្រាលតាមអ៊ីនធឺណិត និងស៊ូទ្រាំនឹងភារកិច្ច។ ដោយប្រើដំណោះស្រាយលើអ៊ីនធឺណិតនៃអាំងតេក្រាលនៅលើគេហទំព័រ អ្នកនឹងតែងតែទទួលបានចម្លើយពិតប្រាកដ។

ទោះបីជាអ្នកចង់គណនាអាំងតេក្រាលដោយខ្លួនឯងក៏ដោយ អរគុណចំពោះសេវាកម្មរបស់យើង វានឹងងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការពិនិត្យមើលចម្លើយរបស់អ្នក ស្វែងរកកំហុស ឬវាយអក្សរ ឬត្រូវប្រាកដថាកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ដោយគ្មានកំហុស។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងដោះស្រាយបញ្ហា ហើយអ្នកត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាសកម្មភាពជំនួយ ហេតុអ្វីបានជាខ្ជះខ្ជាយពេលវេលាលើសកម្មភាពទាំងនេះ ដែលអ្នកប្រហែលជាបានអនុវត្តមួយពាន់ដងរួចហើយ? លើសពីនេះទៅទៀត ការគណនាបន្ថែមអាំងតេក្រាលអាចជាមូលហេតុនៃកំហុសឆ្គង ឬកំហុសតូចតាច ដែលនាំឱ្យចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ។ គ្រាន់តែប្រើសេវាកម្មរបស់យើងហើយស្វែងរក អាំងតេក្រាលមិនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតដោយគ្មានការប្រឹងប្រែងណាមួយឡើយ។ សម្រាប់ បញ្ហាជាក់ស្តែងដោយការស្វែងរក អាំងតេក្រាលមុខងារ លើបណ្តាញម៉ាស៊ីនមេនេះមានប្រយោជន៍ណាស់។ តម្រូវឱ្យចូល មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ទទួលបាន ដំណោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ហើយប្រៀបធៀបចម្លើយជាមួយដំណោះស្រាយរបស់អ្នក។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់.
ឧទាហរណ៍លម្អិតដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងចាប់ផ្តើមសិក្សាប្រធានបទ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ហើយយើងនឹងវិភាគជាឧទាហរណ៍លម្អិតនៃដំណោះស្រាយចំពោះអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត (និងមិនសាមញ្ញ)។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំទៅអប្បបរមានៃទ្រឹស្តី ហើយឥឡូវនេះភារកិច្ចរបស់យើងគឺត្រូវរៀនពីរបៀបដោះស្រាយអាំងតេក្រាល។

តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះដើម្បីគ្រប់គ្រងសម្ភារៈដោយជោគជ័យ? ដើម្បីទប់ទល់នឹងការគណនាអាំងតេក្រាល អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ យ៉ាងហោចណាស់ នៅកម្រិតមធ្យម។ ដូច្នេះប្រសិនបើសម្ភារៈត្រូវបានចាប់ផ្តើមខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានមេរៀនដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមុនសិន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?និង ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ. វានឹងមិនមែនជាការខ្ជះខ្ជាយបទពិសោធន៍ទេ ប្រសិនបើអ្នកមានឧបករណ៍ជាច្រើន (និយមមួយរយ) ដែលបានរកឃើញដោយឯករាជ្យនៅក្រោមខ្សែក្រវ៉ាត់របស់អ្នក។ យ៉ាងហោចណាស់ អ្នកមិនគួរមានការភាន់ច្រឡំដោយភារកិច្ច ដើម្បីបែងចែកមុខងារសាមញ្ញ និងសាមញ្ញបំផុតនោះទេ។ វានឹងហាក់បីដូចជា តើនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវធ្វើអ្វីជាមួយវា ប្រសិនបើអត្ថបទនិយាយអំពីអាំងតេក្រាល?! នេះជារឿង។ ការពិតគឺថាការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ និងការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (ភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូល) គឺជាពីរទៅវិញទៅមក។ សកម្មភាពបញ្ច្រាសដូចជាការបូក/ដក ឬគុណ/ចែក។ ដូច្នេះ បើគ្មានជំនាញ (+ បទពិសោធន៍ខ្លះ) នៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ ជាអកុសល អ្នកមិនអាចបន្តទៅមុខបានទេ។

ក្នុងន័យនេះយើងនឹងត្រូវការដូចខាងក្រោម សម្ភារៈបង្រៀន: តារាងដេរីវេនិង តារាងអាំងតេក្រាល។. មគ្គុទ្ទេសក៍យោងអាចត្រូវបានបើក ទាញយក ឬបោះពុម្ពនៅលើទំព័រ រូបមន្ត និងតារាងគណិតវិទ្យា.

តើអ្វីជាការលំបាកក្នុងការរៀនអាំងតេក្រាលមិនកំណត់? ប្រសិនបើនៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុមានច្បាប់ចំនួន 5 យ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៃភាពខុសគ្នា តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាព បន្ទាប់មកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុសគ្នា។ មានវិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសរួមបញ្ចូលរាប់សិប។ ហើយប្រសិនបើវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដំបូងត្រូវបានជ្រើសរើសមិនត្រឹមត្រូវ (មានន័យថាអ្នកមិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយ) នោះអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបាន "ចាក់" តាមព្យញ្ជនៈជាច្រើនថ្ងៃ ដូចជាល្បែងផ្គុំរូបពិត ដោយព្យាយាមស្វែងយល់។ បច្ចេកទេសផ្សេងៗនិងល្បិច។ មនុស្សខ្លះថែមទាំងចូលចិត្តវាទៀតផង។ និយាយអញ្ចឹង នេះមិនមែនជារឿងលេងសើចទេ ខ្ញុំបានលឺជាញឹកញាប់ពីសិស្សនូវមតិមួយដូចជា "ខ្ញុំមិនដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់ ឬនិស្សន្ទវត្ថុទេ ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលគឺជាបញ្ហាខុសគ្នាទាំងស្រុង វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ តែងតែមានបំណងប្រាថ្នា។ ដើម្បី "លួច" អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ" ឈប់។ គ្រប់គ្រាន់នៃការលេងសើចងងឹត សូមបន្តទៅអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ទាំងនេះ។

ដោយសារមានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយវា ដូច្នេះកន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើមសិក្សាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់សម្រាប់តែចាន? IN ការគណនាអាំងតេក្រាល។តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ មានសសរស្តម្ភចំនួនបី ឬប្រភេទនៃ "អ័ក្ស" ដែលនៅជុំវិញអ្វីៗផ្សេងទៀតវិលជុំវិញ។ ជាដំបូង អ្នកគួរតែយល់ឱ្យបានច្បាស់អំពីអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត (អត្ថបទនេះ)។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវធ្វើការតាមរយៈមេរៀនលម្អិត។ នេះ។ បច្ចេកទេសសំខាន់បំផុត! ប្រហែលជាសូម្បីតែអត្ថបទសំខាន់បំផុតនៃអត្ថបទរបស់ខ្ញុំទាំងអស់អំពីអាំងតេក្រាល។ ហើយទីបី អ្នកគួរតែស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក ព្រោះវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីរួមបញ្ចូលថ្នាក់ធំទូលាយនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើអ្នករៀនយ៉ាងហោចណាស់មេរៀនទាំងបីនេះ នោះអ្នកនឹងមិនមានពីរទៀតទេ។ អ្នកអាចនឹងត្រូវបានអភ័យទោសចំពោះការមិនស្គាល់អាំងតេក្រាលពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អាំងតេក្រាលពីប្រភាគ អាំងតេក្រាលពីអនុគមន៍ប្រភាគ-សនិទាន អាំងតេក្រាលពីអនុគមន៍មិនសមហេតុផល (ឫស) ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកជាប់គាំងលើវិធីសាស្ត្រជំនួស ឬវិធីសាស្ត្រនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក នោះវា នឹងអាក្រក់ខ្លាំងណាស់។

ឥឡូវនេះ Demotivators គឺជារឿងធម្មតាណាស់នៅលើ RuNet ។ នៅក្នុងបរិបទនៃការសិក្សាអាំងតេក្រាល ផ្ទុយទៅវិញ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ អ្នកជម្រុញ. ដូចនៅក្នុងរឿងកំប្លែងនោះអំពី Vasily Ivanovich ដែលបានលើកទឹកចិត្តទាំង Petka និង Anka ។ ជូនចំពោះមនុស្សខ្ជិល អ្នកផ្ទុកទំនេរ និងសិស្សធម្មតាផ្សេងទៀត ត្រូវប្រាកដថាអានខាងក្រោម។ ចំណេះដឹង និងជំនាញលើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នឹងត្រូវទាមទារក្នុងការសិក្សាបន្ថែម ជាពិសេសនៅពេលសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ អាំងតេក្រាលមិនសមស្រប និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឆ្នាំទី 2 ។ តម្រូវការដើម្បីយកអាំងតេក្រាលកើតឡើងសូម្បីតែនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ! ដូច្នេះ ដោយគ្មានអាំងតេក្រាល ផ្លូវទៅកាន់វគ្គរដូវក្តៅ និងឆ្នាំទី 2 នឹងត្រូវបានបិទយ៉ាងពិតប្រាកដ. ខ្ញុំ​និយាយ​ពិត​មែន។ ការសន្និដ្ឋានគឺនេះ។ អាំងតេក្រាលកាន់តែច្រើន ប្រភេទផ្សេងៗអ្នកសម្រេចចិត្ត វានឹងកាន់តែងាយស្រួល ជីវិតនាពេលអនាគត . បាទ/ចាស វានឹងចំណាយពេលច្រើនណាស់ បាទ ពេលខ្លះអ្នកមិនចង់ បាទ/ចាស ពេលខ្លះ "ទៅឋាននរកជាមួយវា ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលនេះ ប្រហែលជាអ្នកមិនជាប់ទេ"។ ប៉ុន្តែការគិតបន្ទាប់គួរតែបំផុសគំនិត និងផ្តល់ភាពកក់ក្តៅដល់ព្រលឹងរបស់អ្នក កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់អ្នកនឹងទទួលផលពេញលេញ! អ្នកនឹងអាចបំបែកសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចជាគ្រាប់ និងងាយស្រួលដោះស្រាយជាមួយអាំងតេក្រាលដែលអ្នកនឹងជួបប្រទះនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ដោយបានយល់ច្បាស់អំពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នោះ អ្នកនឹងធ្វើជាម្ចាស់ផ្នែកជាច្រើនទៀតនៃប៉ម។

ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំគ្រាន់តែមិនអាចជួយបង្កើតបាន។ វគ្គសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងនៅលើបច្ចេកទេសនៃការរួមបញ្ចូលដែលប្រែទៅជាខ្លីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល - អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចប្រើសៀវភៅ pdf និងរៀបចំយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ប៉ុន្តែសម្ភារៈនៅលើគេហទំព័រគឺមិនអាក្រក់ជាងនេះទេ!

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលតារាងអាំងតេក្រាល។ ដូចនៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងកត់សំគាល់ក្បួនរួមបញ្ចូលមួយចំនួន និងតារាងនៃអាំងតេក្រាលពីមួយចំនួន មុខងារបឋម. វាងាយស្រួលមើលថា អាំងតេក្រាលតារាងណាមួយ (ហើយពិតជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ណាមួយ) មានទម្រង់៖

ចូរ​យើង​យល់​ភ្លាមៗ​នូវ​ការ​សម្គាល់ និង​លក្ខខណ្ឌ៖

- រូបតំណាងអាំងតេក្រាល។

- មុខងាររួមបញ្ចូលគ្នា (សរសេរដោយអក្សរ "s") ។

- រូបតំណាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ នៅពេលសរសេរអាំងតេក្រាល និងកំឡុងពេលដំណោះស្រាយ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវបាត់បង់រូបតំណាងនេះទេ។ វានឹងមានគុណវិបត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

- កន្សោមអាំងតេក្រាល ឬ "ការបំពេញ" នៃអាំងតេក្រាល

– មុខងារ antiderivative.

- មុខងារដើមជាច្រើន។ មិនចាំបាច់ត្រូវបានផ្ទុកច្រើនជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនោះទេ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនោះគឺថានៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ណាមួយ ថេរត្រូវបានបន្ថែមទៅចម្លើយ។

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមានន័យថាការស្វែងរក មុខងារជាក់លាក់ដោយប្រើច្បាប់ បច្ចេកទេស និងតារាងមួយចំនួន។

សូមក្រឡេកមើលធាតុម្តងទៀត៖

សូមក្រឡេកមើលតារាងអាំងតេក្រាល។

តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? យើងមានផ្នែកខាងឆ្វេង ក្លាយ​ទៅ​ជាទៅមុខងារផ្សេងទៀត៖ .

ចូរធ្វើឱ្យនិយមន័យរបស់យើង។

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មានន័យថា បំប្លែងវាទៅជាមុខងារច្បាស់លាស់ ដោយប្រើច្បាប់ បច្ចេកទេស និងតារាងមួយចំនួន។

យកឧទាហរណ៍តារាងអាំងតេក្រាល។ . តើមានអ្វីកើតឡើង? ប្រែទៅជាមុខងារ។

ដូចនៅក្នុងករណីនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកអាំងតេក្រាល អ្នកមិនចាំបាច់យល់ដឹងអំពី តើអ្វីទៅជាអាំងតេក្រាលមុខងារប្រឆាំងដេរីវេពីទស្សនៈទ្រឹស្តី។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ផ្លូវការមួយចំនួន។ ដូច្នេះក្នុងករណី វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះក្នុងការយល់ពីមូលហេតុដែលអាំងតេក្រាលប្រែទៅជា . សម្រាប់ពេលនេះ យើងអាចយករូបមន្តនេះ និងរូបមន្តផ្សេងទៀតសម្រាប់យល់ស្រប។ មនុស្សគ្រប់គ្នាប្រើប្រាស់អគ្គិសនី ប៉ុន្តែមានមនុស្សតិចណាស់ដែលគិតអំពីរបៀបដែលអេឡិចត្រុងធ្វើដំណើរតាមខ្សែ។

ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលគឺជាប្រតិបត្តិការផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះសម្រាប់ antiderivative ណាមួយដែលត្រូវបានរកឃើញ ត្រូវហើយ។ខាងក្រោមនេះជាការពិត:

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកចំលើយត្រឹមត្រូវ នោះអ្នកត្រូវតែទទួលបានអនុគមន៍អាំងតេក្រាលដើម។

ចូរយើងត្រលប់ទៅអាំងតេក្រាលតារាងដដែល .

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃរូបមន្តនេះ។ យើងយកដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំ៖

គឺជាមុខងាររួមដើម។

ដោយវិធីនេះ វាបានកាន់តែច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជាថេរមួយតែងតែត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យមុខងារមួយ។ នៅ​ពេល​ដែល​មាន​ភាព​ខុស​គ្នា ថេរ​តែង​តែ​ប្រែ​ទៅ​សូន្យ។

ដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនកំណត់- មានន័យថាស្វែងរក មួយ​បាច់ គ្រប់គ្នា antiderivatives និងមិនត្រឹមតែមុខងារមួយ។ ក្នុងឧទាហរណ៍តារាងដែលកំពុងពិចារណា , , , ល។ – មុខងារទាំងអស់នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះអាំងតេក្រាល មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់ ដូច្នេះយើងសរសេរវាដោយសង្ខេប៖

ដូច្នេះ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ណាមួយគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ (មិនដូចឧបករណ៍និស្សន្ទទេ ដែលការត្រួតពិនិត្យល្អអាចធ្វើបានតែដោយប្រើ កម្មវិធីគណិតវិទ្យា) នេះគឺជាសំណងមួយចំនួនសម្រាប់អាំងតេក្រាលមួយចំនួនធំនៃប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។

ចូរយើងបន្តពិចារណា ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់. ចូរចាប់ផ្តើមដូចនៅក្នុងការសិក្សាពីដេរីវេ។
ជាមួយនឹងច្បាប់ពីរនៃការរួមបញ្ចូល, ហៅផងដែរថា លក្ខណៈសម្បត្តិលីនេអ៊ែរ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

– កត្តាថេរអាច (និងគួរ) ត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

- អាំងតេក្រាលនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹង ផលបូកពិជគណិតអាំងតេក្រាលពីរនៃមុខងារនីមួយៗដាច់ដោយឡែក។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។មានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនលក្ខខណ្ឌណាមួយ។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ច្បាប់ជាមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងឧបករណ៍ចម្លង។

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការសរសេរវាឡើងវិញនៅលើក្រដាស។

(1) អនុវត្តច្បាប់ . កុំភ្លេចសរសេរនិមិត្តសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្រោមអាំងតេក្រាលនីមួយៗ។ ហេតុអ្វីបានជានៅក្រោមគ្នា? - នេះគឺជាមេគុណពេញលេញប្រសិនបើយើងពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនោះ ជំហានដំបូងគួរតែសរសេរដូចនេះ៖

(2) យោងទៅតាមច្បាប់ យើងយកថេរទាំងអស់នៅខាងក្រៅសញ្ញាអាំងតេក្រាល។ សូមចំណាំថាពាក្យចុងក្រោយគឺជាថេរយើងក៏ដកវាចេញ។
លើសពីនេះទៀតនៅលើ ជំហាននេះ។យើងរៀបចំឬសគល់ និងអំណាចសម្រាប់សមាហរណកម្ម។ ក្នុង​វិធី​ដូចគ្នា​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា​ដែរ ឫស​ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ក្នុង​ទម្រង់។ ផ្លាស់ទីឬស និងអំណាចដែលស្ថិតនៅក្នុងភាគបែងឡើងលើ។

! ចំណាំ៖ មិនដូចនិស្សន្ទវត្ថុទេ ឫសនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនគួរតែងតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នោះទេ ប៉ុន្តែដឺក្រេគួរតែត្រូវបានផ្ទេរទៅខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ នេះ​ជា​តារាង​អាំងតេក្រាល​ដែល​ត្រៀម​រួច​ជា​ស្រេច​ ហើយ​ល្បិច​ចិន​គ្រប់​ប្រភេទ​ដូច​ជា មិនចាំបាច់ទាំងស្រុង។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖ - អាំងតេក្រាលតារាងផងដែរ វាគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការតំណាងឱ្យប្រភាគក្នុងទម្រង់នោះទេ។ សិក្សាតារាងដោយប្រុងប្រយ័ត្ន!

(3) អាំងតេក្រាលរបស់យើងទាំងអស់គឺជាតារាង។ យើងអនុវត្តការបំប្លែងដោយប្រើតារាងដោយប្រើរូបមន្ត៖ , និង។
ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសខ្ញុំងាកទៅរករូបមន្តសម្រាប់បញ្ចូលមុខងារថាមពល វាកើតឡើងជាញឹកញាប់ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវា។ គួរកត់សម្គាល់ថាអាំងតេក្រាលតារាងគឺ ករណីពិសេសរូបមន្តដូចគ្នា៖ .
វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមថេរម្តងនៅចុងបញ្ចប់នៃកន្សោម (ហើយមិនត្រូវដាក់វាបន្ទាប់ពីអាំងតេក្រាលនីមួយៗ).
(4) យើងសរសេរលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងទម្រង់បង្រួមជាងមុន ដឺក្រេទាំងអស់នៃទម្រង់ត្រូវបានតំណាងម្តងទៀតក្នុងទម្រង់ឫស ដឺក្រេជាមួយ សូចនាករអវិជ្ជមាន- កំណត់វាឡើងវិញទៅភាគបែង។

ការប្រឡង។ ដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ អ្នកត្រូវបែងចែកចម្លើយដែលបានទទួល៖

បានទទួលដំបូង អាំងតេក្រាល។ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។ អ្វី​ដែល​ពួក​គេ​បាន​រាំ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​ពួក​គេ​បាន​ត្រឡប់​មក​វិញ​។ អ្នកដឹងទេ វាល្អណាស់នៅពេលដែលរឿងមួយដែលមានអាំងតេក្រាលបញ្ចប់តាមរបៀបនេះ។

ពីពេលមួយទៅពេលមួយមានវិធីសាស្រ្តខុសគ្នាបន្តិចក្នុងការត្រួតពិនិត្យអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ មិនមែនដេរីវេមកពីចម្លើយទេ ប៉ុន្តែឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

អ្នកដែលយល់តាំងពីឆមាសទី១ យល់ហើយ ប៉ុន្តែពេលនេះអ្វីដែលសំខាន់សម្រាប់យើង មិនមែនជាទ្រឹស្តីបទទេ ប៉ុន្តែអ្វីដែលសំខាន់គឺត្រូវធ្វើអ្វីបន្ទាប់ជាមួយនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។ វាត្រូវតែបង្ហាញឱ្យឃើញ ហើយតាមទស្សនៈបច្ចេកទេសផ្លូវការ នេះគឺស្ទើរតែដូចគ្នានឹងការស្វែងរកដេរីវេ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលបើក តាមវិធីខាងក្រោម៖ យករូបតំណាងចេញ ដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើតង្កៀប បន្ថែមកត្តាទៅចុងបញ្ចប់នៃកន្សោម៖

បានទទួលដើម អាំងតេក្រាល។ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ខ្ញុំចូលចិត្តវិធីសាស្ត្រទីពីរនៃការត្រួតពិនិត្យតិច ព្រោះខ្ញុំត្រូវគូសតង្កៀបធំ ហើយអូសរូបតំណាងឌីផេរ៉ង់ស្យែលរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃការត្រួតពិនិត្យ។ ទោះបីជាវាត្រឹមត្រូវជាង ឬ "គួរឱ្យគោរពជាង" ឬអ្វីមួយក៏ដោយ។

តាមពិតទៅ ខ្ញុំអាចនៅស្ងៀមអំពីវិធីផ្ទៀងផ្ទាត់ទីពីរទាំងអស់គ្នា។ ចំណុច​មិន​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​វិធីសាស្ត្រ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ត្រង់​ថា​យើង​បាន​រៀន​បើក​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ម្តងទៀត។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:

1) យករូបតំណាងចេញ;
2) នៅខាងស្តាំខាងលើតង្កៀបយើងដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល (តំណាងនៃដេរីវេ);
3) នៅចុងបញ្ចប់នៃកន្សោមយើងផ្តល់កត្តាមួយ។

ឧទាហរណ៍:

ចងចាំរឿងនេះ។ យើងនឹងត្រូវការបច្ចេកទេសនេះក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

នៅពេលដែលយើងរកឃើញអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងព្យាយាមពិនិត្យជានិច្ចលើសពីនេះទៅទៀត មានឱកាសដ៏ល្អសម្រាប់រឿងនេះ។ មិនមែនគ្រប់ប្រភេទនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់គឺជាអំណោយពីទស្សនៈនេះទេ។ វាមិនសំខាន់ទេជាញឹកញាប់ កិច្ចការសាកល្បងមិនចាំបាច់មានការផ្ទៀងផ្ទាត់ទេ គ្មាននរណាម្នាក់កំពុងពិនិត្យវា ហើយគ្មានអ្វីរារាំងវាពីការអនុវត្តលើសេចក្តីព្រាងនោះទេ។ ករណីលើកលែងអាចធ្វើឡើងបានលុះត្រាតែមិនមានពេលគ្រប់គ្រាន់ (ឧទាហរណ៍ អំឡុងពេលធ្វើតេស្ត ឬប្រឡង)។ ដោយផ្ទាល់ ខ្ញុំតែងតែពិនិត្យមើលអាំងតេក្រាល ហើយខ្ញុំចាត់ទុកការខ្វះខាតនៃការត្រួតពិនិត្យថាជាការងារ hack និងការងារដែលបានបញ្ចប់មិនបានល្អ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

ដំណោះស្រាយ៖ ការវិភាគអាំងតេក្រាល យើងឃើញថាយើងមានផលគុណនៃអនុគមន៍ពីរ ហើយសូម្បីតែនិទស្សន្តនៃកន្សោមទាំងមូល។ ជាអកុសល នៅក្នុងវិស័យនៃការប្រយុទ្ធគ្នាមិនមានរូបមន្តល្អ និងងាយស្រួលសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលផលិតផល និងជាពិសេស , .

ដូច្នេះហើយ នៅពេលដែលផលិតផល ឬកូតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វាតែងតែសមហេតុផលដើម្បីមើលថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការបំលែងអាំងតេក្រាលទៅជាផលបូកដែរឬទេ?

ឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺជាករណីនៅពេលដែលវាអាចទៅរួច។ ដំបូងខ្ញុំនឹងនាំមក ដំណោះស្រាយពេញលេញ, មតិយោបល់នឹងមាននៅខាងក្រោម។

(1) យើង​ប្រើ​រូបមន្ត​ចាស់​ល្អ​នៃ​ការេ​នៃ​ផលបូក​ដោយ​កម្ចាត់​ដឺក្រេ​។

(2) យើងដាក់វានៅក្នុងតង្កៀបកម្ចាត់ផលិតផល។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយខ្លួនឯង។ ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយពេញលេញគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

IN ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។អាំងតេក្រាលគឺជាប្រភាគ។ នៅពេលដែលយើងឃើញប្រភាគនៅក្នុងអាំងតេក្រាល គំនិតដំបូងគួរតែជាសំណួរ៖ តើវាអាចទៅរួចដោយវិធីណាដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគនេះ ឬយ៉ាងហោចណាស់ធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ?

យើងកត់សំគាល់ថាភាគបែងមានឫសតែមួយនៃ "X" ។ មួយក្នុងវាលមិនមែនជាអ្នកចម្បាំងទេ ដែលមានន័យថាយើងអាចបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ៖

សកម្មភាពជាមួយ អំណាចប្រភាគខ្ញុំ​មិន​ធ្វើ​អត្ថាធិប្បាយ​ទេ ចាប់​តាំង​ពី​ពួក​គេ​ត្រូវ​បាន​គេ​ពិភាក្សា​ជា​ច្រើន​ដង​ក្នុង​អត្ថបទ​អំពី​អនុគមន៍​ដេរីវេ។ ប្រសិនបើអ្នកនៅតែងឿងឆ្ងល់ចំពោះឧទាហរណ៍បែបនេះ ហើយអ្នកមិនអាចទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ នោះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យងាកទៅ សៀវភៅសិក្សារបស់សាលា. នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ប្រភាគ និងប្រតិបត្តិការជាមួយពួកវាត្រូវបានជួបប្រទះនៅគ្រប់ជំហាន។

សូមចំណាំផងដែរថាដំណោះស្រាយគឺបាត់មួយជំហានគឺការអនុវត្តច្បាប់ , . ជាធម្មតា សូម្បីតែក្នុងអំឡុងពេលបទពិសោធន៍ដំបូងនៃការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានទទួលយក និងមិនត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិតទេ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយខ្លួនឯង។ ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយពេញលេញគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ជាទូទៅ អ្វីៗមិនសាមញ្ញប៉ុន្មានទេ ជាមួយនឹងប្រភាគក្នុងអាំងតេក្រាល សម្ភារៈបន្ថែមនៅលើការរួមបញ្ចូលប្រភាគនៃប្រភេទមួយចំនួនអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ ការរួមបញ្ចូលប្រភាគមួយចំនួន.

! ប៉ុន្តែ មុន​នឹង​បន្ត​ទៅ​អត្ថបទ​ខាង​លើ អ្នក​ត្រូវ​ស្គាល់​ខ្លួន​អ្នក​ជាមួយ​នឹង​មេរៀន វិធីសាស្រ្តជំនួសក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់. ចំនុចនោះគឺថាការបញ្ចូលអនុគមន៍នៅក្រោមវិធីសាស្រ្តជំនួសឌីផេរ៉ង់ស្យែលឬអថេរគឺ ចំណុចសំខាន់ នៅក្នុងការសិក្សានៃប្រធានបទនេះ ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែ "នៅក្នុងកិច្ចការសុទ្ធលើវិធីសាស្រ្តជំនួស" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រភេទអាំងតេក្រាលជាច្រើនទៀតផងដែរ។

ខ្ញុំពិតជាចង់ដាក់បញ្ចូលឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀតនៅក្នុងមេរៀននេះ ប៉ុន្តែខ្ញុំកំពុងអង្គុយនៅទីនេះ ដោយវាយអត្ថបទនេះនៅក្នុង Verde ហើយកត់សំគាល់ថាអត្ថបទនេះបានកើនឡើងដល់ទំហំសមរម្យហើយ។
ហើយ​ដូច្នេះ វគ្គសិក្សាណែនាំអាំងតេក្រាលសម្រាប់អត់ចេះសោះបានដល់ទីបញ្ចប់ហើយ។

ខ្ញុំសូមជូនពរឱ្យអ្នកទទួលបានជោគជ័យ!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖ ដំណោះស្រាយ:

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ ដំណោះស្រាយ:

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងបានប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់

ឧទាហរណ៍ ៦៖ ដំណោះស្រាយ:

ខ្ញុំបានពិនិត្យរួចរាល់ហើយ ចុះអ្នកវិញ? ;)

ការពិនិត្យឡើងវិញនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញ។ វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗនៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានពិចារណា ដែលរួមមានការរួមបញ្ចូលផលបូក និងភាពខុសគ្នា ការដាក់ថេរនៅខាងក្រៅសញ្ញាអាំងតេក្រាល ជំនួសអថេរមួយ និងការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ពិចារណាផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តពិសេសនិងបច្ចេកទេសសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគ ឫស ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល.

អង់ទីករដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

Antiderivative F(x) នៃអនុគមន៍ f(x) គឺជាអនុគមន៍ដែលដេរីវេនៃ f(x)៖
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
កន្លែងណា Δ - រយៈពេលដែលវាត្រូវបានអនុវត្ត សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ.

សំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា indefinite integral:
,
ដែល C ជាថេរឯករាជ្យនៃអថេរ x ។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូល

តារាងអាំងតេក្រាល។

គោលដៅចុងក្រោយការគណនានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ - តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ កាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាកន្សោមដែលមានអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត ឬតារាង។
សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាល >>>

ច្បាប់សម្រាប់ការរួមបញ្ចូលផលបូក (ភាពខុសគ្នា)

ផ្លាស់ទីថេរនៅខាងក្រៅសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

អនុញ្ញាតឱ្យ c ជាថេរឯករាជ្យនៃ x ។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

ការជំនួសអថេរ

អនុញ្ញាតឱ្យ x ជាអនុគមន៍នៃអថេរ t, x = φ(t) បន្ទាប់មក
.
ឬផ្ទុយមកវិញ t = φ(x) ,
.

ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ អ្នកមិនត្រឹមតែអាចគណនាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងធ្វើឱ្យការគណនាស្មុគស្មាញថែមទៀត។

ការរួមបញ្ចូលដោយច្បាប់ផ្នែក

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគ (អនុគមន៍សនិទាន)

ចូរយើងណែនាំការសម្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យ P k (x), Q m (x), R n (x) បង្ហាញពហុនាមនៃដឺក្រេ k, m, n រៀងគ្នាដោយគោរពទៅនឹងអថេរ x ។

ចូរយើងពិចារណាអាំងតេក្រាលដែលមានប្រភាគនៃពហុនាម (ហៅថា មុខងារសមហេតុផល):

ប្រសិនបើ k ≥ n នោះដំបូងអ្នកត្រូវជ្រើសរើសផ្នែកទាំងមូលនៃប្រភាគ៖
.
អាំងតេក្រាលនៃពហុធា S k-n (x) ត្រូវបានគណនាដោយប្រើតារាងអាំងតេក្រាល។

អាំងតេក្រាលនៅសល់៖
ដែលជាកន្លែងដែល m< n .
ដើម្បីគណនាវា អាំងតេក្រាលត្រូវបំបែកទៅជាប្រភាគសាមញ្ញ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកឫសនៃសមីការ៖
Q n (x) = 0 ។
ដោយប្រើឫសដែលទទួលបាន អ្នកត្រូវតំណាងឱ្យភាគបែងជាផលិតផលនៃកត្តា៖
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
នេះគឺជាមេគុណសម្រាប់ x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

បន្ទាប់ពីនេះ បំបែកប្រភាគទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា៖

ការរួមបញ្ចូល យើងទទួលបានកន្សោមដែលមានអាំងតេក្រាលសាមញ្ញជាង។
អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់

ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាតារាងជំនួស t = x - a ។

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល៖

តោះបំលែងលេខភាគ៖
.
ការជំនួសទៅក្នុងអាំងតេក្រាល យើងទទួលបានកន្សោមដែលរួមបញ្ចូលអាំងតេក្រាលពីរ៖
,
.
ទីមួយដោយការជំនួស t = x 2 + ex + f ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាតារាងមួយ។
ទីពីរយោងតាមរូបមន្តកាត់បន្ថយ៖

ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាល។

ចូរកាត់បន្ថយភាគបែងរបស់វាទៅជាផលបូកនៃការ៉េ៖
.
បន្ទាប់មកដោយការជំនួស អាំងតេក្រាល

ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​តារាង​ផង​ដែរ​។

ការរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផល

ចូរយើងណែនាំការសម្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យ R (u 1, u 2, ..., u n) មានន័យថាអនុគមន៍សមហេតុផលនៃអថេរ u 1, u 2, ..., u n ។ នោះគឺជា
,
ដែល P, Q គឺជាពហុនាមនៅក្នុងអថេរ u 1, u 2, ..., u n ។

ភាពមិនសមហេតុផលលីនេអ៊ែរប្រភាគ

តោះពិចារណាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
កន្លែងណា - លេខសមហេតុផល, m 1 , n 1 , ... , m s , n s - ចំនួនគត់។
អនុញ្ញាតឱ្យ n - កត្តា​កំណត់​រួមលេខ r 1, ..., r s ។
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដោយការជំនួស៖
.

អាំងតេក្រាលពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល binomials

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល៖
,
ដែល m, n, p គឺជាលេខសមហេតុផល, a, b - ចំនួនពិត.
អាំងតេក្រាលបែបនេះកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាននៅក្នុងករណីបី។

1) ប្រសិនបើ p ជាចំនួនគត់។ ជំនួស x = t N ដែល N ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ m និង n ។
2) ប្រសិនបើ - ចំនួនគត់។ ជំនួស a x n + b = t M ដែល M ជាភាគបែងនៃចំនួន p ។
3) ប្រសិនបើ - ចំនួនគត់។ ជំនួស a + b x − n = t M ដែល M ជាភាគបែងនៃចំនួន p ។

ប្រសិនបើគ្មានលេខទាំងបីជាចំនួនគត់ទេនោះ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Chebyshev អាំងតេក្រាលនៃប្រភេទនេះមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយការរួមបញ្ចូលកំណត់នៃអនុគមន៍បឋមនោះទេ។

ក្នុងករណីខ្លះវាមានប្រយោជន៍ដំបូងក្នុងការកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅនឹងតម្លៃដែលងាយស្រួលជាង m និង p ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ:
;
.

អាំងតេក្រាលដែលមានឫសការ៉េនៃត្រីកោណការ៉េ

នៅទីនេះយើងពិចារណាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,

ការជំនួសអយល័រ

អាំងតេក្រាលបែបនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាននៃការជំនួសអយល័រមួយក្នុងចំណោមបី៖
, សម្រាប់ a > 0;
, សម្រាប់ c> 0 ;
ដែល x 1 ជាឫសនៃសមីការ a x 2 + b x + c = 0 ។ ប្រសិនបើសមីការនេះមាន ឫសពិត.

ការជំនួសត្រីកោណមាត្រ និងអ៊ីពែរបូល

វិធីសាស្រ្តផ្ទាល់

ក្នុងករណីភាគច្រើន ការជំនួសអយល័រនាំឱ្យមានការគណនាយូរជាងវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់។ ដោយប្រើវិធីផ្ទាល់ អាំងតេក្រាលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ដែលបានរាយខាងក្រោម។

ប្រភេទ I

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
ដែល P n (x) ជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n ។

អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ មេគុណមិនច្បាស់លាស់ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណ៖

ការបែងចែកសមីការនេះ និងសមីការផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ យើងរកឃើញមេគុណ A i ។

ប្រភេទ II

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
ដែល P m (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ m ។

ការជំនួស t = (x − α) -1អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមុន។ ប្រសិនបើ m ≥ n នោះប្រភាគគួរតែមានផ្នែកចំនួនគត់។

ប្រភេទ III

ប្រភេទទីបីនិងស្មុគស្មាញបំផុត៖
.

នៅទីនេះអ្នកត្រូវធ្វើការជំនួស៖
.
បន្ទាប់ពីនោះអាំងតេក្រាលនឹងមានទម្រង់៖
.
បន្ទាប់មក ថេរ α, β ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស ដែលមេគុណសម្រាប់ t ក្លាយជាសូន្យ៖
B = 0, B 1 = 0 ។
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលរលាយទៅជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរប្រភេទ៖
;
,
ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលរៀងគ្នាដោយការជំនួស៖
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t −2 ។

ករណីទូទៅ

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអនុគមន៍វិសាលភាព (ត្រីកោណមាត្រ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)

ចូរយើងកត់សំគាល់ជាមុនថាវិធីសាស្រ្តទាំងនោះដែលអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក៏អាចអនុវត្តបានសម្រាប់ មុខងារអ៊ីពែរបូល. សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងនឹងមិនពិចារណាលើការរួមបញ្ចូលមុខងារអ៊ីពែរបូលដាច់ដោយឡែកនោះទេ។

ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសនិទាននៃ cos x និង sin x

ចូរយើងពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃទម្រង់៖
,
ដែល R ជាអនុគមន៍សមហេតុផល។ នេះក៏អាចរួមបញ្ចូលតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ ដែលគួរតែត្រូវបានបំប្លែងដោយប្រើស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

នៅពេលរួមបញ្ចូលមុខងារបែបនេះ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការរក្សាច្បាប់ចំនួនបីក្នុងចិត្ត៖
1) ប្រសិនបើ R ( cos x, sin x)គុណនឹង -1 ពីការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាមុនបរិមាណមួយ។ cos xឬ sin xបន្ទាប់មក វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការកំណត់អត្តសញ្ញាណផ្សេងទៀតនៃពួកគេដោយ t ។
2) ប្រសិនបើ R ( cos x, sin x)មិនផ្លាស់ប្តូរដោយសារតែការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលដូចគ្នាពីមុន cos xនិង sin xបន្ទាប់មកវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដាក់ tg x = tឬ គ្រែ x = t.
3) ការជំនួសក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់នាំទៅរកអាំងតេក្រាលនៃ ប្រភាគសមហេតុផល. ជាអកុសល ការជំនួសនេះបណ្តាលឱ្យមានការគណនាយូរជាងកំណែមុន ប្រសិនបើអាចអនុវត្តបាន។

ផលិតផលនៃអនុគមន៍ថាមពលនៃ cos x និង sin x

តោះពិចារណាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖

ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខសមហេតុផល នោះការជំនួសមួយ t = sin xឬ t = cos xអាំងតេក្រាលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល binomial ។

ប្រសិនបើ m និង n ជាចំនួនគត់ នោះអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ក្នុងករណីនេះវាប្រែចេញ តាមរូបមន្តតួសម្តែង៖

;
;
;
.

ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក

ការអនុវត្តរូបមន្តអយល័រ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងមុខងារមួយ។
cos axឬ ស៊ីណាក់បន្ទាប់មក វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តរបស់ អយល័រ៖
អ៊ី iax = cos ax + isin ax(កន្លែងដែលខ្ញុំ 2 = - 1 ),
ការជំនួសមុខងារនេះជាមួយ អ៊ី iaxនិងបន្លិចធាតុពិត (នៅពេលជំនួស cos ax) ឬផ្នែកស្រមើលស្រមៃ (នៅពេលជំនួស ស៊ីណាក់) ពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន។

ឯកសារយោង៖
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល - កិច្ចការងាយស្រួលប៉ុន្តែសម្រាប់តែមួយចំនួនដែលបានជ្រើសរើសប៉ុណ្ណោះ។ អត្ថបទនេះគឺសម្រាប់អ្នកដែលចង់រៀនយល់ពីអាំងតេក្រាល ប៉ុន្តែមិនដឹងអ្វីទាំងអស់ ឬស្ទើរតែគ្មានអ្វីអំពីពួកគេ។ អាំងតេក្រាល... ហេតុអ្វីចាំបាច់? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាវា? តើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងគ្មានកំណត់ជាអ្វី? ប្រសិនបើការប្រើប្រាស់តែមួយគត់ដែលអ្នកដឹងសម្រាប់អាំងតេក្រាលគឺត្រូវប្រើទំពក់ដែលមានរាងដូចរូបតំណាងអាំងតេក្រាល ដើម្បីទទួលបានអ្វីដែលមានប្រយោជន៍ចេញពីកន្លែងដែលពិបាកទៅដល់នោះ សូមស្វាគមន៍! ស្វែងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយអាំងតេក្រាល និងមូលហេតុដែលអ្នកមិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានវា។

យើងសិក្សាគំនិតនៃ "អាំងតេក្រាល"

សមាហរណកម្មត្រូវបានគេដឹងត្រឡប់មកវិញ អេ​ស៊ី​ប​បុរាណ. ជាការពិតណាស់មិននៅក្នុង ទម្រង់ទំនើប, ប៉ុន្តែ​នៅតែ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក គណិតវិទូបានសរសេរសៀវភៅជាច្រើនលើប្រធានបទនេះ។ ជាពិសេសបានសម្គាល់ខ្លួនឯង ញូតុន និង លីបនីស ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៃអ្វីៗមិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីអាំងតេក្រាលពីទទេ? គ្មានផ្លូវទេ! ដើម្បីយល់ពីប្រធានបទនេះអ្នកនឹងនៅតែត្រូវការ ចំណេះ​ដឹង​មូលដ្ឋានមូលដ្ឋាន ការវិភាគគណិតវិទ្យា. វាគឺជាព័ត៌មានមូលដ្ឋាននេះ ដែលអ្នកនឹងរកឃើញនៅលើប្លក់របស់យើង។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានមុខងារមួយចំនួន f(x) .

មុខងារអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ f(x) មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា F(x) ដែលដេរីវេគឺស្មើនឹងមុខងារ f(x) .

ម្យ៉ាងវិញទៀត អាំងតេក្រាល គឺជា ដេរីវេទីវ នៅក្នុង បញ្ច្រាស ឬ ប្រឆាំង ដេរីវេ។ ដោយវិធីនេះសូមអានអំពីរបៀបនៅក្នុងអត្ថបទរបស់យើង។

ថ្នាំប្រឆាំងមេរោគមានសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា មុខងារបន្ត. ដូចគ្នានេះផងដែរជាញឹកញាប់សញ្ញាថេរមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅ antiderivative ចាប់តាំងពីដេរីវេនៃមុខងារដែលខុសគ្នាដោយការស្របគ្នាថេរ។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖

ដើម្បីកុំឱ្យគណនាគុណវុឌ្ឍិនៃអនុគមន៍បឋម វាងាយស្រួលដាក់ក្នុងតារាង ហើយប្រើតម្លៃដែលត្រៀមរួចជាស្រេច៖

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

នៅពេលនិយាយអំពីគំនិតនៃអាំងតេក្រាលមួយ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងបរិមាណគ្មានកំណត់។ អាំងតេក្រាល​នឹង​ជួយ​គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ ម៉ាស​នៃ​តួ​អង្គ​មិន​ដូចគ្នា ចម្ងាយ​ដែល​បាន​ធ្វើ​ដំណើរ​នៅ ចលនាមិនស្មើគ្នាផ្លូវនិងច្រើនទៀត។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថាអាំងតេក្រាលគឺជាផលបូកគ្មានកំណត់ បរិមាណដ៏ច្រើន។លក្ខខណ្ឌគ្មានកំណត់។

ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃមើលក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន។ របៀបស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខ, កំណត់ដោយកាលវិភាគមុខងារ?

ការប្រើប្រាស់អាំងតេក្រាល! ចូរបំបែកវាចុះ trapezoid កោងកំណត់ដោយអ័ក្សកូអរដោណេ និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ទៅជាផ្នែកតូចៗគ្មានកំណត់។ វិធីនេះតួរលេខនឹងត្រូវបែងចែកជាជួរឈរស្តើង។ ផលបូកនៃតំបន់នៃជួរឈរនឹងជាតំបន់នៃ trapezoid នេះ។ ប៉ុន្តែសូមចាំថាការគណនាបែបនេះនឹងផ្តល់ឱ្យ លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចម្រៀកតូចជាង និងតូចជាង ការគណនានឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងកាត់បន្ថយពួកវាក្នុងកម្រិតមួយដែលប្រវែងមានទំនោរទៅសូន្យ នោះផលបូកនៃផ្នែកនៃផ្នែកនឹងមានទំនោរទៅតំបន់នៃតួរលេខ។ នេះគឺជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ចំណុច a និង b ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

Bari Alibasov និងក្រុម "Integral"

និយាយ​អញ្ចឹង! សម្រាប់អ្នកអានរបស់យើងឥឡូវនេះមានការបញ្ចុះតម្លៃ 10% នៅលើ

ច្បាប់សម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលសម្រាប់អត់ចេះសោះ

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនកំណត់? នៅទីនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

• ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

• ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

• អាំងតេក្រាលនៃផលបូក ស្មើនឹងផលបូកអាំងតេក្រាល។ នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

• លីនេអ៊ែរ៖

• សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាល ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ៖

• នៅ ណាមួយ។ពិន្ទុ ក, ខនិង ជាមួយ:

យើងបានរកឃើញរួចហើយថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាដែនកំណត់នៃផលបូក។ ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទទួលបាន អត្ថន័យជាក់លាក់នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍? សម្រាប់នេះមានរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល។

ខាងក្រោមនេះយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យស្វែងយល់ពីភាពស្មុគ្រស្មាញនៃដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ហើយប្រសិនបើមានអ្វីមួយមិនច្បាស់លាស់ សូមសួរសំណួរនៅក្នុងមតិយោបល់។

ដើម្បីពង្រឹងសម្ភារៈ សូមមើលវីដេអូអំពីរបៀបដែលអាំងតេក្រាលត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងការអនុវត្ត។ កុំអស់សង្ឃឹមប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភ្លាមៗ។ សួរហើយពួកគេនឹងប្រាប់អ្នកនូវអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលពួកគេដឹងអំពីការគណនាអាំងតេក្រាល។ ដោយមានជំនួយរបស់យើង បីដង ឬ អាំងតេក្រាល curvilinearនៅលើផ្ទៃបិទជិតអ្នកនឹងអាចធ្វើវាបាន។