របៀបស្វែងរកដេរីវេនៃលេខទៅជាថាមពលស្មុគ្រស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

ជាមួយនឹងវីដេអូនេះ ខ្ញុំចាប់ផ្តើមមេរៀនដ៏វែងមួយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុ។ មេរៀននេះមានផ្នែកជាច្រើន។

ជាដំបូង ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកពីអ្វីដែលជានិស្សន្ទវត្ថុជាទូទៅ និងរបៀបរាប់វា ប៉ុន្តែមិនមែនជាភាសាសិក្សាដែលស្មុគ្រស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែជាវិធីដែលខ្ញុំយល់ដោយខ្លួនឯង និងពីរបៀបដែលខ្ញុំពន្យល់វាដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ។ ទីពីរ យើងនឹងពិចារណាពីច្បាប់សាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលយើងនឹងរកមើលដេរីវេនៃផលបូក ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយ។

យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍រួមបញ្ចូលគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ដែលអ្នកនឹងរៀនជាពិសេសថាបញ្ហាស្រដៀងគ្នាដែលទាក់ទងនឹងឫស និងសូម្បីតែប្រភាគអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល។ លើសពីនេះទៀត ពិតណាស់វានឹងមានបញ្ហាជាច្រើន និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៃកម្រិតខុសគ្នាខ្លាំងនៃភាពស្មុគស្មាញ។

ជាទូទៅ ដំបូងខ្ញុំនឹងថតវីដេអូខ្លីរយៈពេល 5 នាទី ប៉ុន្តែអ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបដែលវាបានប្រែក្លាយ។ ដូច្នេះគ្រប់គ្រាន់នៃអត្ថបទចម្រៀង - តោះចុះទៅអាជីវកម្ម។

តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ?

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមពីចម្ងាយ។ ជាច្រើនឆ្នាំមុន នៅពេលដែលដើមឈើកាន់តែបៃតង ហើយជីវិតកាន់តែសប្បាយ គណិតវិទូបានគិតអំពីរឿងនេះ៖ ពិចារណាមុខងារសាមញ្ញដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វរបស់វា ហៅវាថា $y=f\left(x\right)$។ ជាការពិតណាស់ ក្រាហ្វមិនមានដោយខ្លួនឯងទេ ដូច្នេះអ្នកត្រូវគូរអ័ក្ស $x$ ក៏ដូចជាអ័ក្ស $y$ ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងជ្រើសរើសចំណុចណាមួយនៅលើក្រាហ្វនេះ ណាមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ចូរហៅ abscissa $((x)_(1))$, ordinate ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន នឹងក្លាយជា $f\left(((x)_(1)) \right)$។

សូមក្រឡេកមើលចំណុចមួយទៀតនៅលើក្រាហ្វដូចគ្នា។ មិន​ថា​មួយ​ណា​ទេ រឿង​សំខាន់​គឺ​ខុស​ពី​ដើម។ ជាថ្មីម្តងទៀត វាមាន abscissa មួយ សូមហៅវាថា $((x)_(2))$, ហើយក៏ជា ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$ ។

ដូច្នេះ យើងមានចំណុចពីរ៖ ពួកវាមាន abscissas ផ្សេងគ្នា ហើយតម្លៃមុខងារផ្សេងគ្នា ទោះបីជាមិនចាំបាច់ក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែ​អ្វី​ដែល​សំខាន់​គឺ​យើង​ដឹង​ពី​វគ្គ Planimetry៖ តាម​រយៈ​ចំណុច​ពីរ​ដែល​អ្នក​អាច​គូស​បន្ទាត់​ត្រង់ ហើយ​លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត​មាន​តែ​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះសូមអនុវត្តវាចេញ។

ឥឡូវ​នេះ​សូម​គូស​បន្ទាត់​ត្រង់​តាម​ចំណុច​ដំបូង​របស់​ពួកវា ស្រប​នឹង​អ័ក្ស abscissa ។ យើងទទួលបានត្រីកោណកែង។ ចូរហៅវាថា $ABC$ មុំខាងស្តាំ $C$។ ត្រីកោណនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយ៖ ការពិតគឺថាមុំ $\alpha $ ពិតជាស្មើនឹងមុំដែលបន្ទាត់ត្រង់ $AB$ ប្រសព្វគ្នាជាមួយនឹងការបន្តនៃអ័ក្ស abscissa ។ វិនិច្ឆ័យដោយខ្លួនឯង៖

1. បន្ទាត់ត្រង់ $AC$ គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស $Ox$ តាមការសាងសង់
2. បន្ទាត់ $AB$ កាត់ $AC$ ក្រោម $\alpha $,
3. ដូច្នេះ $AB$ ប្រសព្វ $Ox$ ក្រោម $\alpha $ ដូចគ្នា។

តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី $\text()\!\!\alpha\!\!\text()$? គ្មានអ្វីជាក់លាក់ទេ លើកលែងតែក្នុងត្រីកោណ $ABC$ សមាមាត្រនៃជើង $BC$ ទៅជើង $AC$ គឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំនេះ។ ដូច្នេះសូមសរសេរវាចុះ៖

ជាការពិតណាស់ $AC$ ក្នុងករណីនេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួល៖

ដូចគ្នាដែរសម្រាប់ $BC$៖

ម្យ៉ាងទៀត យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text()=\frac(f\left(((x)_(2))\right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

ឥឡូវ​នេះ​យើង​ទទួល​បាន​អ្វី​ទាំង​អស់​ហើយ សូម​ត្រឡប់​ទៅ​តារាង​របស់​យើង ហើយ​មើល​ចំណុច​ថ្មី $B$។ ចូរ​លុប​តម្លៃ​ចាស់ ហើយ​យក $B$ ទៅ​កន្លែង​ជិត $((x)_(1))$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ abscissa របស់វាម្តងទៀតដោយ $((x)_(2))$ ហើយការចាត់តាំងរបស់វាដោយ $f\left(((x)_(2)) \right)$ ។

សូមក្រឡេកមើលត្រីកោណតូចរបស់យើងម្តងទៀត $ABC$ និង $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ នៅខាងក្នុងវា។ វាច្បាស់ណាស់ថាវានឹងជាមុំខុសគ្នាទាំងស្រុង តង់ហ្សង់ក៏នឹងខុសគ្នាដែរ ដោយសារប្រវែងនៃផ្នែក $AC$ និង $BC$ បានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង ប៉ុន្តែរូបមន្តសម្រាប់តង់ហ្សង់នៃមុំមិនបានផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ - នេះនៅតែជាទំនាក់ទំនងរវាងការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ និងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។

ជាចុងក្រោយ យើងបន្តផ្លាស់ទី $B$ ឱ្យកាន់តែជិតទៅនឹងចំណុចដើម $A$ ជាលទ្ធផល ត្រីកោណនឹងកាន់តែតូចជាងមុន ហើយបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានផ្នែក $AB$ នឹងមើលទៅកាន់តែដូចតង់សង់ទៅក្រាហ្វ។ មុខងារ។

ជាលទ្ធផល ប្រសិនបើយើងបន្តនាំចំណុចមកជិតគ្នា ពោលគឺកាត់បន្ថយចម្ងាយទៅសូន្យ នោះបន្ទាត់ត្រង់ $AB$ នឹងប្រែទៅជាតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ នឹងបំប្លែងពីធាតុត្រីកោណធម្មតាទៅមុំរវាងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $Ox$។

ហើយនៅទីនេះយើងបន្តយ៉ាងរលូនទៅកាន់និយមន័យនៃ $f$ ពោលគឺ ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុច $((x)_(1))$ គឺជាតង់សង់នៃមុំ $\alpha $ រវាងតង់ហ្សង់ទៅ ក្រាហ្វនៅចំណុច $((x)_( 1))$ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $Ox$៖

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text()\!\!\alpha\!\!\text()\]

ត្រឡប់ទៅក្រាហ្វរបស់យើងវិញ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាចំណុចណាមួយនៅលើក្រាហ្វអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជា $((x)_(1))$ ។ ជាឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចដកជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅចំណុចដែលបង្ហាញក្នុងរូប។

ចូរហៅមុំរវាងតង់សង់ និងទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $\beta$ ។ ដូច្នោះហើយ $f$ ក្នុង $((x)_(2))$ នឹងស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំនេះ $\beta $ ។

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text()\!\!\beta\!\!\text()\]

ចំនុចនីមួយៗនៅលើក្រាហ្វនឹងមានតង់សង់របស់វា ហើយដូច្នេះតម្លៃមុខងាររបស់វាផ្ទាល់។ ក្នុងករណីនីមួយៗ បន្ថែមពីលើចំណុចដែលយើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា ឬផលបូក ឬដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល វាចាំបាច់ក្នុងការយកចំណុចមួយទៀតដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយខ្លះពីវា ហើយបន្ទាប់មកដឹកនាំ។ ចំណុច​នេះ​ទៅ​ចំណុច​ដើម​មួយ ហើយ​ជា​ការ​ពិត​ណាស់​រក​មើល​ថា​តើ​នៅ​ក្នុង​ដំណើរ​ការ​ចលនា​បែប​នេះ​នឹង​ផ្លាស់​ប្តូរ​តង់សង់​នៃ​មុំ​ទំនោរ។

ដេរីវេនៃមុខងារថាមពល

ជាអកុសល និយមន័យបែបនេះមិនសមនឹងយើងទាល់តែសោះ។ រូបមន្ត រូបភាព មុំទាំងអស់នេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវគំនិតតិចតួចបំផុតនៃរបៀបគណនាដេរីវេពិតប្រាកដនៅក្នុងបញ្ហាពិតប្រាកដនោះទេ។ ដូច្នេះ ចូរយើងដកថយបន្តិចពីនិយមន័យផ្លូវការ ហើយពិចារណាអំពីរូបមន្ត និងបច្ចេកទេសដែលមានប្រសិទ្ធភាពបន្ថែមទៀត ដែលអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងបានហើយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសំណង់សាមញ្ញបំផុត ពោលគឺមុខងារនៃទម្រង់ $y=((x)^(n))$, i.e. មុខងារថាមពល។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$ ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដឺក្រេដែលមាននៅក្នុងនិទស្សន្តត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងមេគុណខាងមុខ។ ហើយនិទស្សន្តខ្លួនវាត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយឯកតាឧទាហរណ៍៖

\[\begin(align)&y=((x)^(2)) \\&(y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

នេះជាជម្រើសមួយផ្សេងទៀត៖

\[\begin(align)&y=((x)^(1)) \\&(y)"=((\left(x\right))^(\prime))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\&((\left(x\right))^(\prime))=1 \\\end(align)\]

ដោយប្រើច្បាប់សាមញ្ញទាំងនេះ ចូរយើងព្យាយាមលុបការប៉ះនៃឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

\[((\left(((x)^(6)) \\right))^(\prime))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

ឥឡូវយើងដោះស្រាយកន្សោមទីពីរ៖

\[\begin(align)&f\left(x\right)=((x)^(100)) \\&((\left(((x)^(100)) \right))^(\ បឋម ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ជាការពិតណាស់ ទាំងនេះគឺជាកិច្ចការដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាពិតប្រាកដគឺស្មុគស្មាញជាង ហើយវាមិនត្រូវបានកំណត់ត្រឹមកម្រិតនៃមុខងារនោះទេ។

ដូច្នេះ វិធានលេខ ១ - ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នៃពីរផ្សេងទៀត នោះដេរីវេនៃផលបូកនេះគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

\[(((\left(f+g\right))^(\prime))=(f)"+(g)"\]

ដូចគ្នានេះដែរ ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេទីវៈ

\[((\left(f-g \right))^(\prime))=(f)"-(g)"\]

\[(((\left(((x)^(2))+x\right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))\right))^(\ បឋម ))+(((\left(x\right)))^(\prime))=2x+1\]

លើសពីនេះ មានច្បាប់សំខាន់មួយទៀត៖ ប្រសិនបើ $f$ ខ្លះនាំមុខដោយ $c$ ថេរ ដែលមុខងារនេះត្រូវបានគុណ នោះ $f$ នៃសំណង់ទាំងមូលនេះត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

\[(((\left(c\cdot f \right))^(\prime))=c\cdot (f)"\]

\[(((\left(3((x)^(3)))\right))^(\prime))=3(((\left(((x)^(3)))\right))^(\ បឋម ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

ជាចុងក្រោយ ច្បាប់សំខាន់មួយទៀត៖ នៅក្នុងបញ្ហា ជារឿយៗមានពាក្យដាច់ដោយឡែកដែលមិនមាន $x$ ទាល់តែសោះ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចសង្កេតការណ៍នេះនៅក្នុងកន្សោមរបស់យើងសព្វថ្ងៃនេះ។ ដេរីវេនៃថេរមួយ ពោលគឺ លេខដែលមិនអាស្រ័យតាមវិធីណាមួយនៅលើ $x$ គឺតែងតែស្មើនឹងសូន្យ ហើយវាមិនមានបញ្ហាអ្វីទាល់តែសោះថា $c$ ថេរគឺស្មើនឹង៖

\[((\left(c\right))^(\prime))=0\]

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ៖

\[((\left(1001\right))^(\prime))=((\left(\frac(1)(1000)\right))^(\prime))=0\]

ចំណុចសំខាន់ម្តងទៀត៖

1. ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺតែងតែស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖ $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. សម្រាប់ហេតុផលស្រដៀងគ្នា ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេពីរ៖ $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. ប្រសិនបើអនុគមន៍មានកត្តាថេរ នោះថេរនេះអាចត្រូវបានយកចេញជាសញ្ញាដេរីវេ៖ $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. ប្រសិនបើមុខងារទាំងមូលជាថេរ នោះដេរីវេរបស់វាតែងតែសូន្យ៖ $((\left(c\right))^(\prime ))=0$ ។

តោះមើលពីរបៀបដែលវាដំណើរការជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះ៖

យើងសរសេរចុះ៖

\[\begin(align)&((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime )))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime))-((\left(3((x)^(2)))\right))^(\prime))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2))\right))^(\prime))+0=5((x) ^(4))-6x \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងឃើញទាំងដេរីវេនៃផលបូក និងដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា។ សរុបមក ដេរីវេគឺស្មើនឹង $5((x)^(4))-6x$។

ចូរបន្តទៅមុខងារទីពីរ៖

តោះសរសេរដំណោះស្រាយ៖

\[\begin(align)&((\left(3((x)^(2))-2x+2\right))^(\prime ))=((\left(3((x))^( 2)) \right))^(\prime))-(((\left(2x\right)))^(\prime))+(2)"= \\&=3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

នៅទីនេះយើងបានរកឃើញចម្លើយ។

ចូរបន្តទៅមុខងារទីបី - វាកាន់តែធ្ងន់ធ្ងរ៖

\[\begin(align)&((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \\right)) ^(\prime))=((\left(2((x)^(3))\right))^(\prime))-(((\left(3((x)^(2))))\right ))^(\prime )))+((\left(\frac(1)(2)x\right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime))-3((\left(((x)^(2))\right))^(\prime))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

យើងបានរកឃើញចម្លើយហើយ។

ចូរបន្តទៅកន្សោមចុងក្រោយ - ស្មុគស្មាញបំផុត និងវែងបំផុត៖

ដូច្នេះយើងពិចារណា៖

\[\begin(align)&((\left(6((x)^(7)))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime)))=( (\left(6((x)^(7))\right))^(\prime))-((\left(14((x)^(3))\right))^(\prime)) +((\left(4x\right)))^(\prime))+(5)"= \\&=6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយមិនបញ្ចប់ត្រឹមហ្នឹងទេ ព្រោះយើងមិនគ្រាន់តែត្រូវដកចេញដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនោះទេ ប៉ុន្តែដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចជាក់លាក់មួយ ដូច្នេះយើងជំនួស −1 ជំនួសឱ្យ $x$ ទៅក្នុងកន្សោម៖

\[(y)"\left(-1\right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

ចូរបន្តទៅមុខទៀត ហើយបន្តទៅឧទាហរណ៍ដែលស្មុគស្មាញ និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បន្ថែមទៀត។ ការពិតគឺថារូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយដេរីវេថាមពល $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ មានវិសាលភាពធំទូលាយជាងការជឿធម្មតា។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រភាគ ឫស។ល។ នេះជាអ្វីដែលយើងនឹងធ្វើឥឡូវនេះ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម សូមសរសេររូបមន្តម្តងទៀត ដែលនឹងជួយយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល៖

ហើយឥឡូវនេះ ការយកចិត្តទុកដាក់៖ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានចាត់ទុកតែលេខធម្មជាតិជា $n$ ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីរារាំងយើងពីការពិចារណាប្រភាគ និងសូម្បីតែលេខអវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

\[\begin(align)&\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\&(((\left(\sqrt(x) \\right)))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2)))\right))^(\prime))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x))) \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ ដូច្នេះសូមមើលពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះនឹងជួយយើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍៖

តោះសរសេរដំណោះស្រាយ៖

\[\begin(align)&\left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x)\right)=((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime))+((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime)) \\& ((\ ឆ្វេង(\sqrt(x)\right))^(\prime))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\&(((\left(\sqrt(x)\right)))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))\right))^(\prime))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2))))) \\& (( \left(\sqrt(x)\right))^(\prime))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime)) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

សូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើងហើយសរសេរ៖

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2)))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

នេះគឺជាការសម្រេចចិត្តដ៏លំបាកមួយ។

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ទីពីរ - មានតែពីរពាក្យប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែពួកវានីមួយៗមានទាំងសញ្ញាបត្របុរាណ និងឫសគល់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល ដែលលើសពីនេះទៀតមានឫស៖

\[\begin(align)&((\left(((x)^(3))\sqrt((((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2)))\right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3)))\right))^(\prime))= \\&=(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \\right))^(\prime))=((\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \right))^(\prime))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x)\right))^(\prime )))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3)))\right))^(\prime)))=((\left(((x)^(7\frac(1))(3 ))) \right))^(\prime))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានគណនា ហើយនៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \\cdot ((x)^(6)) \\cdot \\ sqrt(x)\]

យើង​បាន​រក​ឃើញ​ចម្លើយ។

ដេរីវេនៃប្រភាគតាមរយៈមុខងារថាមពល

ប៉ុន្តែលទ្ធភាពនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមិនបញ្ចប់នៅទីនោះទេ។ ការពិតគឺថាដោយមានជំនួយរបស់វាអ្នកអាចគណនាមិនត្រឹមតែឧទាហរណ៍ជាមួយឫសប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងប្រភាគផងដែរ។ នេះពិតជាឱកាសដ៏កម្រដែលជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍បែបនេះបានយ៉ាងងាយ ប៉ុន្តែជារឿយៗមិនត្រឹមតែត្រូវបានមិនអើពើដោយសិស្សប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងដោយគ្រូទៀតផង។

ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងព្យាយាមបញ្ចូលគ្នានូវរូបមន្តពីរក្នុងពេលតែមួយ។ នៅលើដៃមួយ, ដេរីវេបុរាណនៃមុខងារថាមពលមួយ។

\[((\left(((x)^(n)) \\right))^(\prime))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងដឹងថាកន្សោមនៃទម្រង់ $\frac(1)(((x)^(n)))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $((x)^(-n))$ ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

\[\left(\frac(1)(((x)^(n)))\right)"=((\left((((x)^(-n)))\right))^(\prime) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x)\right))^(\prime))=\left((((x)^(-1))\right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2))))\]

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃប្រភាគសាមញ្ញ ដែលភាគយកជាចំនួនថេរ ហើយភាគបែងជាដឺក្រេ ក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តបុរាណផងដែរ។ តោះមើលរបៀបដែលវាដំណើរការក្នុងការអនុវត្ត។

ដូច្នេះមុខងារទីមួយ៖

\[(((\left(\frac(1)(((x)^(2))))\right))^(\prime)))=((\left(((x)^(-2))) \ ស្តាំ))^(\prime))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3))))\]

ឧទាហរណ៍ទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយ ចូរបន្តទៅទីពីរ៖

\[\begin(align)&((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \\right))^(\prime))=\ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))))\right))^(\prime))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime))+((\left(2((x)^(3)))\right))^(\prime)))-((\left( 3((x)^(4)) \\right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))) \\right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))))\right))^(\prime))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4))\right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4\right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))^ (3))) \right))^(\prime))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3)))) \right) )^(\prime))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)))\right))^(\prime))=\frac(2)( 3) \\ cdot ឆ្វេង (-3 \\ ស្តាំ) \\ cdot ((x) ^ (-4)) = \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & (( \\ ឆ្វេង ( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\&((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\&((\ ឆ្វេង(3((x)^(4)) \\right))^(\prime))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]...

ឥឡូវនេះយើងប្រមូលពាក្យទាំងអស់នេះទៅជារូបមន្តតែមួយ៖

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

យើង​បាន​ទទួល​ចម្លើយ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុននឹងបន្ត ខ្ញុំចង់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកចំពោះទម្រង់នៃការសរសេរកន្សោមដើមដោយខ្លួនឯង៖ ក្នុងកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរ $f\left(x \right)=...$, នៅទីពីរ៖ $y =...$ សិស្សជាច្រើនបានវង្វេងនៅពេលដែលពួកគេឃើញទម្រង់នៃការថតផ្សេងៗគ្នា។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $f\left(x\right)$ និង $y$? គ្មានអ្វីពិតប្រាកដទេ។ ពួកគេគ្រាន់តែជាធាតុផ្សេងគ្នាដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នា។ វាគ្រាន់តែថានៅពេលដែលយើងនិយាយថា $f\left(x\right)$ យើងកំពុងនិយាយ ជាដំបូងអំពីមុខងារមួយ ហើយនៅពេលដែលយើងនិយាយអំពី $y$ យើងច្រើនតែមានន័យថាក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ បើមិនដូច្នោះទេ នេះគឺដូចគ្នា ឧ. ដេរីវេនៅក្នុងករណីទាំងពីរត្រូវបានចាត់ទុកថាដូចគ្នា។

បញ្ហាស្មុគស្មាញជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុ

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញមួយចំនួនដែលប្រើអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបានពិចារណានៅថ្ងៃនេះ។ ពួកវាមានឫស ប្រភាគ និងផលបូក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះនឹងមានភាពស្មុគ្រស្មាញក្នុងការបង្រៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ពីព្រោះមុខងារដេរីវេដ៏ស្មុគស្មាញពិតប្រាកដនឹងកំពុងរង់ចាំអ្នកនៅខាងមុខ។

ដូច្នេះ ផ្នែកចុងក្រោយនៃមេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ រួមមានកិច្ចការពីរបញ្ចូលគ្នា។ តោះចាប់ផ្តើមជាមួយពួកគេដំបូង៖

\[\begin(align)&((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \\right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3))\right))^(\prime))-(((\left(\frac(1)(((x))^(3)) )) \right))^(\prime))+\left(\sqrt(x)\right) \\&((\left(((x)^(3))\right))^(\prime) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3)))) \\right))^(\prime ))=((\ ឆ្វេង(((x)^(-៣)) ស្តាំ))^(\prime))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& (((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime)))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))) \right))^(\prime))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹង៖

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x))^ (2))))\]

ឧទាហរណ៍ដំបូងត្រូវបានដោះស្រាយ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាទីពីរ៖

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរយើងបន្តស្រដៀងគ្នានេះ:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3))) )) \right))^(\prime )))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))\right))^(\prime)))+((\left (\sqrt(x) \\right))^(\prime)))+((\left(\frac(4)(x\cdot\sqrt(((x)^(3)))))\right))^ (\បឋម))\]

ចូររាប់ពាក្យនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖

\[\begin(align)&((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))\right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-៤)) \right))^(\prime))=-2\cdot \left(-4\right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(៥))) \\&((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime )))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))) \\& ((\ ឆ្វេង(\frac(4)(x\cdot\sqrt(((x)^(3)))))\right))^(\prime))=((\left(\frac(4)(x\cdot)" ((x)^(\frac(3)(4))))\right))^(\prime))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))))\right))^( \prime ))= \\&=4\cdot \left(-1\frac(3)(4)\right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4)\right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt ((x)^(3)))) \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ត្រូវបានគណនា។ ឥឡូវនេះ យើងត្រឡប់ទៅរូបមន្តដើមវិញ ហើយបន្ថែមពាក្យទាំងបីជាមួយគ្នា។ យើងទទួលបានថា ចម្លើយចុងក្រោយនឹងមានដូចនេះ៖

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(២))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់។ នេះជាមេរៀនដំបូងរបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោម យើងនឹងពិនិត្យមើលការសាងសង់ស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត ហើយក៏ស្វែងយល់ពីមូលហេតុដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវការជាដំបូង។

ភ័ស្តុតាង និងដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (e ទៅ x អំណាច) និងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (a ដល់ x អំណាច) ។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ e^2x, e^3x និង e^nx ។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។

ដេរីវេនៃនិទស្សន្តគឺស្មើនឹងនិទស្សន្តខ្លួនវា (ដេរីវេនៃ e ទៅ x អំណាចគឺស្មើនឹង e ទៅ x អំណាច):
(1) (e x)′ = e x.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ខ្លួនវាគុណនឹងលោការីតធម្មជាតិនៃ a:
(2) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អ៊ី ទៅ x អំណាច

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹងចំនួន e ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
.
នៅទីនេះវាអាចជាលេខធម្មជាតិ ឬចំនួនពិត។ បន្ទាប់យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ដេរីវេនៃរូបមន្តដេរីវេអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ពិចារណាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អ៊ី ទៅ x អំណាច៖
y = e x ។
មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរ x ។ តាមនិយមន័យ ដេរីវេមានដែនកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
(3) .

ចូរបំប្លែងកន្សោមនេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយវាទៅជាលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្បួនគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការការពិតដូចខាងក្រោម:
ក)ទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត៖
(4) ;
ខ)ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖
(5) ;
IN)ភាពបន្តនៃលោការីត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារបន្តមួយ៖
(6) .
នេះគឺជាមុខងារមួយចំនួនដែលមានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់នេះគឺវិជ្ជមាន។
ឆ)អត្ថន័យនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ:
(7) .

ចូរយើងអនុវត្តការពិតទាំងនេះទៅដែនកំណត់របស់យើង (3) ។ យើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ (4):
;
.

ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក ;
.
.
ដោយសារតែការបន្តនៃនិទស្សន្ត។
.

ដូច្នេះនៅពេលដែល, ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
.

ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក។
នៅ , ។
.

ហើយយើងមាន៖
.
ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត (៥)៖
.

. បន្ទាប់មក

ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ (6) ។ ដោយសារមានដែនកំណត់វិជ្ជមាន ហើយលោការីតគឺបន្ត ដូច្នេះ៖

នៅទីនេះយើងក៏បានប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ (7) ។ បន្ទាប់មក
(8)
ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឥឡូវនេះយើងទាញយករូបមន្ត (2) សម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a ។ យើងជឿថានិង។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
;
.
ចូរបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងនឹងប្រើ
.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

និងលោការីត។
(14) .
(1) .

ដូច្នេះ យើងបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ទៅជាទម្រង់ខាងក្រោម៖
;
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃ e ទៅ x power
.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងនេះ។ សូមក្រឡេកមើលនិទស្សន្តជាមុនសិន៖

យើងឃើញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ (14) គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ (14) ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ភាពខុសគ្នា (1) យើងទទួលបានដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបី:
.
នេះបង្ហាញថាដេរីវេនៃលំដាប់ទី 9 ក៏ស្មើនឹងមុខងារដើមដែរ៖
(15) .

ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
;
.

ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a៖
.

យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយរបស់វា៖

ភាពខុសគ្នា (15) យើងទទួលបានដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបី: យើងឃើញថាភាពខុសគ្នានីមួយៗនាំទៅដល់ការគុណនៃអនុគមន៍ដើមដោយ . ដូច្នេះ ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 3 មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
និយមន័យនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពល។ ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាដេរីវេរបស់វា។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពលត្រូវបានវិភាគយ៉ាងលម្អិត។
អនុគមន៍​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ថាមពល
គឺជាមុខងារដែលមានទម្រង់នៃអនុគមន៍ថាមពល y = u v ,ដែលមូលដ្ឋាន u និងនិទស្សន្ត v គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអថេរ x៖ y = u v ,.
u = យូ (x); v = វ

មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរ។
.
អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬ។.

ចំណាំថាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពលអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថាផងដែរ។
(2) ,
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគ្រស្មាញ
ការគណនាដោយប្រើដេរីវេលោការីត
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(3) .
កន្លែងណា និងជាមុខងាររបស់អថេរ។ ច្បាប់សម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញនិងធ្វើការ៖
;
.

យើងជំនួសដោយ (3):
.
ពី​ទីនេះ
.

ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖
(1) .
ប្រសិនបើនិទស្សន្តគឺថេរ នោះ . បន្ទាប់មកដេរីវេគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលស្មុគ្រស្មាញ៖
.
ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺថេរ។ បន្ទាប់មកដេរីវេគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគស្មាញ៖
.
នៅពេល និងជាអនុគមន៍ x នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ និងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ការគណនាដេរីវេដោយកាត់បន្ថយទៅជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគស្មាញ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(2) ,
បង្ហាញវាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគស្មាញ៖
(4) .

តោះបែងចែកផលិតផល៖
.
យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

.
ហើយយើងទទួលបានរូបមន្ត (1) ម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រោម៖
.

ដំណោះស្រាយ

យើង​គណនា​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ​លោការីត។ ចូរយើងគណនាលោការីតមុខងារដើម៖
(A1.1) .

ពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.
ដោយប្រើរូបមន្តដេរីវេផលិតផល យើងមាន៖
.
យើងបែងចែក (A1.1)៖
.
ដោយសារតែ
,
នោះ។
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
.

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងគណនាលោការីតមុខងារដើម៖
(A2.1) .

ការគណនាដេរីវេ- ប្រតិបត្តិការដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខាងក្រោមនេះជាតារាងសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។ សម្រាប់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញ សូមមើលមេរៀនផ្សេងទៀត៖

• តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត

ប្រើរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យជាតម្លៃយោង។ ពួកគេនឹងជួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងបញ្ហា។ នៅក្នុងរូបភាព នៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ មាន "សន្លឹកបន្លំ" នៃករណីសំខាន់ៗនៃការស្វែងរកដេរីវេនៅក្នុងទម្រង់ដែលអាចយល់បានសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ នៅក្បែរនោះគឺជាការពន្យល់សម្រាប់ករណីនីមួយៗ។

ដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃលេខមួយគឺសូន្យ
ស´ = ០
ឧទាហរណ៍៖
5´ = 0

ការពន្យល់:
ដេរីវេបង្ហាញអត្រាដែលតម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយសារលេខមិនផ្លាស់ប្តូរតាមលក្ខខណ្ឌណាមួយ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វាតែងតែសូន្យ។

2. ដេរីវេនៃអថេរមួយ។ស្មើនឹងមួយ។
x´ = ១

ការពន្យល់:
ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ (x) ដោយមួយតម្លៃនៃអនុគមន៍ (លទ្ធផលនៃការគណនា) កើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នា។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ y = x គឺពិតជាស្មើនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់។

3. ដេរីវេនៃអថេរ និងកត្តាមួយស្មើនឹងកត្តានេះ។
sx´ = ស
ឧទាហរណ៍៖
(3x)´ = ៣
(2x)´ = ២
ការពន្យល់:
ក្នុងករណីនេះ រាល់ពេលដែលអាគុយម៉ង់មុខងារផ្លាស់ប្តូរ ( X) តម្លៃរបស់វា (y) កើនឡើងនៅក្នុង ជាមួយម្តង។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃតម្លៃមុខងារទាក់ទងនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់គឺពិតជាស្មើនឹងតម្លៃ ជាមួយ.

ពីណាមក
(cx + b)" = គ
នោះគឺឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ y = kx + b គឺស្មើនឹងជម្រាលនៃបន្ទាត់ (k) ។

4. ដេរីវេនៃម៉ូឌុលនៃអថេរស្មើនឹង quotient នៃអថេរនេះទៅនឹងម៉ូឌុលរបស់វា។
|x|"= x / |x| បានផ្តល់ថា x ≠ 0
ការពន្យល់:
ដោយសារដេរីវេនៃអថេរ (សូមមើលរូបមន្តទី 2) គឺស្មើនឹងមួយ ដេរីវេនៃម៉ូឌុលមានភាពខុសគ្នាតែនៅក្នុងនោះតម្លៃនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនៃប្រភពដើម (សាកល្បងគូរក្រាហ្វ នៃ​អនុគមន៍ y = |x| ហើយ​មើល​ដោយ​ខ្លួន​ឯង នេះ​ជា​តម្លៃ​ពិត​ប្រាកដ ហើយ​ត្រឡប់​កន្សោម x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - មួយ។ នោះគឺសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ តម្លៃនៃអនុគមន៍ថយចុះដោយតម្លៃដូចគ្នាពិតប្រាកដ ហើយសម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាន ផ្ទុយទៅវិញវាកើនឡើង ប៉ុន្តែតម្លៃដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ .

5. ដេរីវេនៃអថេរទៅជាថាមពលស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនថាមពលនេះ និងអថេរចំពោះថាមពលដែលកាត់បន្ថយដោយមួយ។
(x c)"= cx c-1បានផ្តល់ថា x c និង cx c-1 ត្រូវបានកំណត់ និង c ≠ 0
ឧទាហរណ៍៖
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ដើម្បីចងចាំរូបមន្ត:
រំកិលដឺក្រេនៃអថេរចុះក្រោមជាកត្តាមួយ ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយដឺក្រេដោយខ្លួនឯងដោយមួយ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ x 2 - ពីរគឺនាំមុខ x ហើយបន្ទាប់មកថាមពលកាត់បន្ថយ (2-1 = 1) គ្រាន់តែផ្តល់ឱ្យយើង 2x ។ រឿងដដែលនេះបានកើតឡើងសម្រាប់ x 3 - យើង "រំកិលចុះក្រោម" បីដងកាត់បន្ថយវាមួយហើយជំនួសឱ្យគូបយើងមានការ៉េមួយពោលគឺ 3x 2 ។ តិចតួច "មិនវិទ្យាសាស្រ្ត" ប៉ុន្តែងាយស្រួលចងចាំណាស់។

6.ដេរីវេនៃប្រភាគ 1/x
(1/x)" = − 1/x 2
ឧទាហរណ៍៖
ដោយសារប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការបង្កើនថាមពលអវិជ្ជមាន
(1/x)" = (x -1)" បន្ទាប់មកអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5 នៃតារាងដេរីវេ
(x −1)" = −1x −2 = − 1 / x 2

7. ដេរីវេនៃប្រភាគ ជាមួយនឹងអថេរនៃសញ្ញាបត្របំពាននៅក្នុងភាគបែង
(1/x c)" = - គ / x គ + ១
ឧទាហរណ៍៖
(1 / x 2)" = − 2 / x 3

8. ដេរីវេនៃឫស(ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសការ៉េ)
(√x)" = 1 / (2√x)ឬ 1/2 x −1/2
ឧទាហរណ៍៖
(√x)" = (x 1/2)" មានន័យថាអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5
(x 1/2)" = 1/2 x −1/2 = 1 / (2√x)

9. ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសនៃសញ្ញាបត្របំពាន
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយ (x ទៅអំណាចនៃ a) ។ ដេរីវេពីឫសនៃ x ត្រូវបានពិចារណា។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អំណាចលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ដេរីវេនៃ x ទៅអំណាចនៃ a គឺស្មើនឹង x ទៅអំណាចនៃដកមួយ:
(1) .

ដេរីវេនៃឫសទី n នៃ x ទៅអំណាច mth គឺ៖
(2) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយ។

ករណី x > 0

ពិចារណាមុខងារថាមពលនៃអថេរ x ជាមួយនិទស្សន្ត a៖
(3) .
នេះគឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។ ចូរយើងពិចារណាករណីដំបូង។

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ (3) យើងប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ថាមពល ហើយបំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
.

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេដោយប្រើ៖
;
.
នៅទីនេះ

រូបមន្ត (1) ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃឫសនៃដឺក្រេ n នៃ x ទៅដឺក្រេនៃ m

ឥឡូវពិចារណាមុខងារដែលជាឫសគល់នៃទម្រង់ខាងក្រោម៖
(4) .

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ យើងបំលែងឫសទៅជាមុខងារថាមពល៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយរូបមន្ត (៣) យើងឃើញថា
.
បន្ទាប់មក
.

ដោយប្រើរូបមន្ត (១) យើងរកឃើញដេរីវេ៖
(1) ;
;
(2) .

នៅក្នុងការអនុវត្ត មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្ត (2) នោះទេ។ វាកាន់តែងាយស្រួលជាងមុនក្នុងការបំប្លែងឫសទៅជាមុខងារថាមពល ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកដេរីវេរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត (1) (សូមមើលឧទាហរណ៍នៅចុងបញ្ចប់នៃទំព័រ)។

ករណី x = 0

ប្រសិនបើ នោះអនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃនៃអថេរ x = 0 . ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ (3) នៅ x = 0 . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ៖
.

ចូរជំនួស x = 0 :
.
ក្នុង​ករណី​នេះ តាម​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​មាន​ន័យ​ថា ដែនកំណត់​ខាង​ស្តាំ​ដៃ​ដែល .

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញ៖
.
ពីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ .
នៅ , ។
នៅ , ។
លទ្ធផលនេះក៏ទទួលបានពីរូបមន្ត (១)៖
(1) .
ដូច្នេះរូបមន្ត (1) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ x = 0 .

ករណី x< 0

ពិចារណាមុខងារ (៣) ម្តងទៀត៖
(3) .
សម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់នៃថេរ a វាក៏ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ។ ពោល​គឺ​ទុក​ឲ្យ​ជា​លេខ​សនិទាន។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន៖
,
ដែល m និង n គឺជាចំនួនគត់ដែលមិនមានចែកចែកទូទៅ។

ប្រសិនបើ n ជាសេស នោះអនុគមន៍ថាមពលក៏ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ។ ឧទាហរណ៍នៅពេលដែល n = 3 និង m = 1 យើងមានឫសគូបនៃ x៖
.
វាក៏ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល (3) សម្រាប់ និងសម្រាប់តម្លៃសមហេតុផលនៃថេរ a ដែលវាត្រូវបានកំណត់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចូរយើងតំណាង x ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់មក ,
.
យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុដោយដាក់ថេរនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

.
នៅទីនេះ
.
ប៉ុន្តែ
.
បន្ទាប់មក
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក
(1) .

នោះគឺរូបមន្ត (1) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់៖

និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង
(3) .
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាងនៃមុខងារថាមពល
.

យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញដំបូងរួចហើយ៖
.
ដោយយកថេរនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរ៖
;

.

ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី និងទីបួន៖ ពីនេះវាច្បាស់ណាស់។ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 0 បំពាន
.

បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា ប្រសិនបើ a គឺជាលេខធម្មជាតិបន្ទាប់មក ដេរីវេទី n គឺថេរ៖
.
បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ៖
,
នៅ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុ

ឧទាហរណ៍

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
.

ដំណោះស្រាយ

តោះបំប្លែងឫសទៅជាថាមពល៖
;
.
បន្ទាប់មកមុខងារដើមមានទម្រង់៖
.

ការស្វែងរកដេរីវេនៃអំណាច៖
;
.
ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ៖
.