រូប, កំណត់ដោយកាលវិភាគមុខងារមិនអវិជ្ជមានបន្ត $f(x)$ នៅលើផ្នែក $$ និងបន្ទាត់ត្រង់ $y=0, \x=a$ និង $x=b$ ត្រូវបានគេហៅថា curvilinear trapezoid។
តំបន់ដែលត្រូវគ្នា។ trapezoid កោងគណនាដោយរូបមន្ត៖
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx)។$ (*)
យើងនឹងបែងចែកបញ្ហាតាមលក្ខខណ្ឌដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ទៅជាប្រភេទ $4$។ សូមក្រឡេកមើលប្រភេទនីមួយៗឱ្យបានលំអិត។
ប្រភេទ I៖ រាងចតុកោណកែងត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់។បន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្ត (*) ភ្លាមៗ។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកតំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=4-(x-2)^(2)$ និងបន្ទាត់ $y=0, \x=1$ និង $x =3$។
ចូរយើងគូររូបរាងចតុកោណកែងនេះ។
ដោយប្រើរូបមន្ត (*) យើងរកឃើញតំបន់នៃ curvilinear trapezoid នេះ។
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 - \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (units$^(2)$)។
ប្រភេទ II: រាងចតុកោណកោងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល។ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ត្រង់ $x=a, \x=b$ ជាធម្មតាមិនបានបញ្ជាក់ ឬបញ្ជាក់ដោយផ្នែកទេ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ និង $y=0$។ ពិន្ទុទាំងនេះនឹងជាពិន្ទុ $a$ និង $b$។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=1-x^(2)$ និង $y=0$។
ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងធ្វើសមតុល្យផ្នែកខាងស្តាំនៃមុខងារ។
ដូច្នេះ $a=-1$ និង $b=1$។ ចូរយើងគូររូបរាងចតុកោណកែងនេះ។
ចូរយើងស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid កោងនេះ។
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2-\frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$)។
ប្រភេទ III៖ ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយចំនុចប្រសព្វនៃអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមានបន្តពីរ។តួលេខនេះនឹងមិនមែនជារាងចតុកោណដែលមានន័យថាអ្នកមិនអាចគណនាផ្ទៃរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត (*) ទេ។ តើនេះអាចទៅជាយ៉ាងណា?វាប្រែថាតំបន់នៃតួលេខនេះអាចត្រូវបានរកឃើញថាជាភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃ curvilinear trapezoids ចងដោយអនុគមន៍ខាងលើ និង $y=0$ ($S_(uf)$) និងមុខងារខាងក្រោម និង $y =0$ ($S_(lf)$) ដែលតួនាទីរបស់ $x=a, \x=b$ ត្រូវបានលេងដោយកូអរដោនេ $x$ នៃចំនុចប្រសព្វនៃមុខងារទាំងនេះ i.e.
$S=S_(uf)-S_(lf)$ ។ (**)
អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅពេលគណនាតំបន់បែបនេះគឺមិនត្រូវ "ខកខាន" ជាមួយនឹងជម្រើសនៃមុខងារខាងលើនិងខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍ $y=x^(2)$ និង $y=x+6$ ។
ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វទាំងនេះ៖
យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
នោះគឺ $a=-2,\b=3$។ តោះគូររូប៖
ដូច្នេះ មុខងារខាងលើគឺ $y=x+6$ ហើយមុខងារខាងក្រោមគឺ $y=x^(2)$។ បន្ទាប់មក យើងរកឃើញ $S_(uf)$ និង $S_(lf)$ ដោយប្រើរូបមន្ត (*)។
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (ឯកតា$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (ឯកតា$^(2)$)។
ចូរជំនួសអ្វីដែលយើងបានរកឃើញនៅក្នុង (**) ហើយទទួលបាន៖
$S=32.5-\frac(35)(3)=\frac(125)(6)$ (ឯកតា$^(2)$)។
ប្រភេទ IV: ផ្ទៃរូបភាព, មុខងារមានកំណត់(s) ដែលមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌមិនអវិជ្ជមាន។ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខបែបនេះ អ្នកត្រូវស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស $Ox$ ( នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតដាក់ "minuses" នៅពីមុខមុខងារ) បង្ហាញផ្ទៃហើយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានរៀបរាប់នៅក្នុងប្រភេទ I - III ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបានបង្ហាញ។ តំបន់នេះនឹងក្លាយជាតំបន់ដែលត្រូវការ។ ដំបូង អ្នកប្រហែលជាត្រូវស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វមុខងារ។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=x^(2)-1$ និង $y=0$។
ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វមុខងារ៖
ទាំងនោះ។ $a=-1$, និង $b=1$។ តោះគូរតំបន់។
ចូរបង្ហាញតំបន់ដោយស៊ីមេទ្រី៖
$y=0 \\ ព្រួញស្តាំ \\ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \\ ស្ដាំ \\ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$ ។
លទ្ធផលគឺជារាងចតុកោណកែងដែលជាប់នឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=1-x^(2)$ និង $y=0$។ នេះគឺជាបញ្ហាក្នុងការស្វែងរករាងកោងនៃប្រភេទទីពីរ។ យើងបានដោះស្រាយរួចហើយ។ ចម្លើយគឺ៖ $S = 1\frac(1)(3)$ (units $^(2)$)។ នេះមានន័យថាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង:
$S=1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$)។
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ trapezoid កោងដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់, 
,
និងខ្សែកោង 
.
តោះបំបែកផ្នែក 
ដូមីណា 
ផ្នែកបឋម, ប្រវែង 
ផ្នែកទី 
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្តារការកាត់កែងពីចំណុចនៃការបែងចែកនៃផ្នែកទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយខ្សែកោង 
, អនុញ្ញាតឱ្យ 
. ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន 
trapezoids បឋម ផលបូកនៃតំបន់របស់ពួកគេគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹងផលបូកនៃ trapezoid curvilinear ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះបឋមនីមួយៗនៅលើចន្លោះពេលដំបូងនេះគឺ 
, នៅថ្ងៃទីពីរ 
ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តោះគណនាចំនួន
ផលបូកទីមួយតំណាងឱ្យផ្ទៃដីដែលបានពិពណ៌នាទាំងអស់ ទីពីរគឺជាតំបន់នៃចតុកោណកែងទាំងអស់ដែលចារឹកក្នុងរាងចតុកោណកែង។
វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូកទីមួយផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃតំបន់នៃ trapezoid "ជាមួយនឹងការលើស" ទីពីរ - "ជាមួយនឹងកង្វះ" ។ ផលបូកទីមួយត្រូវបានគេហៅថាផលបូក Darboux ខាងលើ ទីពីរ - អាស្រ័យហេតុនេះផលបូក Darboux ទាប។ ដូច្នេះតំបន់នៃ trapezoid កោងគឺ 
បំពេញវិសមភាព 
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលផលបូក Darboux មានឥរិយាបទនៅពេលដែលចំនួននៃភាគថាសនៃផ្នែកកើនឡើង 
. សូមឱ្យចំនួននៃភាគថាសកើនឡើងមួយ ហើយទុកវានៅចំកណ្តាលចន្លោះពេល 
.
ឥឡូវនេះលេខគឺដូច 
ចតុកោណដែលចារឹក និងគូសរង្វង់បានកើនឡើងមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលផលបូក Darboux ទាបបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជំនួសឱ្យការ៉េ 
th ចតុកោណដែលចារឹកស្មើនឹង 
យើងទទួលបានផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងពីរ 
ចាប់តាំងពីប្រវែង 
មិនអាចតិចទេ។ 
តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅ 
. នៅម្ខាងទៀត 
, ដោយសារតែ 
មិនអាចមានទៀតទេ 
តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល . ដូច្នេះ ការបន្ថែមចំណុចថ្មីដើម្បីបំបែកផ្នែកមួយបង្កើនតម្លៃនៃផលបូក Darboux ទាប និងបន្ថយផលបូក Darboux ខាងលើ។ ក្នុងករណីនេះ ផលបូក Darboux ទាប ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនភាគថាស មិនអាចលើសពីតម្លៃនៃផលបូកខាងលើណាមួយឡើយ ព្រោះផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលបានពិពណ៌នាគឺតែងតែច្រើនជាងចំនួន
តំបន់នៃចតុកោណដែលចារឹកជារាងចតុកោណកោង។
ដូច្នេះ លំដាប់នៃផលបូក Darboux ទាប កើនឡើងជាមួយនឹងចំនួននៃចំណុចនៃភាគថាសនៃផ្នែក និងត្រូវបានចងពីខាងលើនេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទល្បី វាមានដែនកំណត់។ ដែនកំណត់នេះគឺជាតំបន់នៃ trapezoid កោងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ដូចគ្នានេះដែរ លំដាប់នៃផលបូក Darboux ខាងលើថយចុះជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនពិន្ទុនៃភាគថាសនៃចន្លោះពេល ហើយត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោមដោយផលបូក Darboux ទាបណាមួយ ដែលមានន័យថាវាក៏មានដែនកំណត់ ហើយវាក៏ស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃ រាងចតុកោណកែង។ 
ដូច្នេះដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ trapezoid កោងវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ 
ភាគថាសនៃចន្លោះពេល កំណត់ផលបូក Darboux ទាប ឬខាងលើ ហើយបន្ទាប់មកគណនា 
.
, ឬ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាបែបនេះ សន្មតថាសម្រាប់ណាមួយ តាមអំពើចិត្តចំនួនធំ 
ភាគថាស
ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយនៅលើចន្លោះបឋមនីមួយៗ ដែលជាកិច្ចការដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្ម។
ដំណោះស្រាយដ៏សាមញ្ញមួយត្រូវបានទទួលដោយប្រើផលបូកអាំងតេក្រាល Riemann ដែលជា 
ចំណុចខ្លះនៃចន្លោះបឋមនីមួយៗ នោះគឺ 
. ដូច្នេះ ផលបូកអាំងតេក្រាល Riemann គឺជាផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ហើយ 
. ដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើដែនកំណត់នៃផលបូក Darboux ខាងលើនិងខាងក្រោមគឺដូចគ្នានិងស្មើទៅនឹងតំបន់នៃ trapezoid កោង។ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ (ច្បាប់ប៉ូលីសពីរ) យើងទទួលបានវាសម្រាប់ផ្នែកណាមួយនៃផ្នែក។ 
និងការជ្រើសរើសចំណុច 
តំបន់នៃ trapezoid កោងអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត 
.
ថយក្រោយ
យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ ការងារនេះ។សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។
ពាក្យគន្លឹះ៖អាំងតេក្រាល, curvilinear trapezoid, តំបន់នៃតួលេខដែលចងដោយផ្កាលីលី
បរិក្ខារ: បន្ទះសម្គាល់ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុព័ត៌មាន
ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀន - មេរៀន
គោលបំណងនៃមេរៀន:
- អប់រំ៖បង្កើតវប្បធម៌ ការងារផ្លូវចិត្តបង្កើតស្ថានភាពនៃភាពជោគជ័យសម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗ បង្កើតការលើកទឹកចិត្តជាវិជ្ជមានសម្រាប់ការរៀនសូត្រ។ អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការនិយាយ និងស្តាប់អ្នកដទៃ។
- អភិវឌ្ឍន៍៖ការបង្កើតការគិតឯករាជ្យរបស់សិស្សក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងនៅក្នុង ស្ថានភាពផ្សេងគ្នាសមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ និងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន ការអភិវឌ្ឍន៍តក្កវិជ្ជាការអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការដាក់សំណួរបានត្រឹមត្រូវ និងស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកគេ។ ធ្វើអោយប្រសើរឡើងនូវការបង្កើតជំនាញកុំព្យូទ័រ និងជំនាញកុំព្យូទ័រ អភិវឌ្ឍការគិតរបស់សិស្សក្នុងវគ្គនៃការបំពេញកិច្ចការដែលបានស្នើឡើង អភិវឌ្ឍវប្បធម៌ algorithmic ។
- អប់រំ៖ បង្កើតគោលគំនិតអំពី curvilinear trapezoid, អាំងតេក្រាល, ស្ទាត់ជំនាញនៃការគណនាតំបន់ តួលេខរាបស្មើ
វិធីសាស្រ្តបង្រៀន៖ការពន្យល់និងឧទាហរណ៍។
វឌ្ឍនភាពមេរៀន
នៅក្នុងថ្នាក់មុន ៗ យើងបានរៀនដើម្បីគណនាផ្នែកនៃតួលេខដែលព្រំដែនរបស់វាខូច។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាមានវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយខ្សែកោង។ តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា curvilinear trapezoids ហើយតំបន់របស់វាត្រូវបានគណនាដោយប្រើ antiderivatives ។
Curvilinear trapezoid ( ស្លាយ 1)
រាងចតុកោណកែងគឺជាតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ( sh.m.), ត្រង់ x = កនិង x = ខនិងអ័ក្ស x
ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ trapezoids កោង ( ស្លាយ 2)
យើងកំពុងពិចារណា ប្រភេទផ្សេងៗ curvilinear trapezoids និងការកត់សម្គាល់: មួយនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺ degenerate ទៅចំណុចមួយ, តួនាទីនៃមុខងារកំណត់ត្រូវបានលេងដោយបន្ទាត់ត្រង់
តំបន់នៃរាងចតុកោណកោង (ស្លាយទី ៣)
ចូរយើងជួសជុលចុងខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេល កនិងត្រឹមត្រូវ។ Xយើងនឹងផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺយើងផ្លាស់ទីជញ្ជាំងខាងស្ដាំនៃរាងចតុកោណកែង ហើយទទួលបានតួលេខផ្លាស់ប្តូរ។ តំបន់នៃអថេរ curvilinear trapezoid ចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាវត្ថុប្រឆាំងដេរីវេ ចសម្រាប់មុខងារ f
ហើយនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយមុខងារ f,គឺស្មើនឹងការកើនឡើងនៃ antiderivative នៃមុខងារនេះ៖
កិច្ចការទី 1៖
ស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលចងដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ៖ f (x) = x 2និងត្រង់ y = 0, x = 1, x = 2 ។
ដំណោះស្រាយ៖ ( យោងតាមស្លាយ 3)
តោះគូរក្រាហ្វនៃមុខងារ និងបន្ទាត់
ចូរយើងស្វែងរកមួយក្នុងចំណោម មុខងារប្រឆាំងដេរីវេ f (x) = x 2 :
ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯងនៅលើស្លាយ
អាំងតេក្រាល។
ពិចារណាលើរាងពងក្រពើដែលកំណត់ដោយមុខងារ fនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ចូរបំបែកផ្នែកនេះទៅជាផ្នែកជាច្រើន។ តំបន់នៃ trapezoid ទាំងមូលនឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាផលបូកនៃតំបន់នៃ trapezoids កោងតូចជាង។ ( ស្លាយ 5). trapezoid នីមួយៗអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាចតុកោណ។ ផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងទាំងនេះផ្តល់នូវគំនិតប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃទាំងមូលនៃរាងចតុកោណកែង។ តូចជាងយើងបែងចែកផ្នែក [ ក; ខ] យើងគណនាផ្ទៃដីបានកាន់តែត្រឹមត្រូវ
ចូរយើងសរសេរអាគុយម៉ង់ទាំងនេះក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត។
បែងចែកផ្នែក [ ក; ខ] ទៅជា n ផ្នែកដោយចំនុច x 0 = a, x1,…, xn = b ។ប្រវែង k-ទី តំណាងដោយ xk = xk – xk-1. ចូរយើងបង្កើតផលបូក
តាមធរណីមាត្រ ផលបូកនេះតំណាងឱ្យផ្ទៃនៃរូបភាពដែលមានស្រមោលនៅក្នុងរូប ( sh.m.)
ផលបូកនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់អនុគមន៍ f. (sh.m.)
ផលបូកអាំងតេក្រាលផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃ។ តម្លៃពិតប្រាកដត្រូវបានទទួលដោយឆ្លងកាត់ដែនកំណត់។ ចូរយើងស្រមៃថាយើងកំពុងកែលម្អផ្នែកនៃផ្នែក [ ក; ខ] ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែកតូចៗទាំងអស់មានទំនោរទៅសូន្យ។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួរលេខដែលបានផ្សំនឹងចូលទៅជិតតំបន់នៃ trapezoid កោង។ យើងអាចនិយាយបានថាផ្ទៃនៃ trapezoid កោងគឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល។ Sc.t. (sh.m.)ឬអាំងតេក្រាល ឧ.
និយមន័យ៖
អាំងតេក្រាលនៃមុខងារមួយ។ f(x)ពី កទៅ ខហៅថាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល
= (sh.m.)
រូបមន្ត Newton-Leibniz ។
យើងចាំថាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដែលមានន័យថាយើងអាចសរសេរបាន៖
Sc.t. = (sh.m.)
ម៉្យាងវិញទៀត តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
S k.t. (sh.m.)
ប្រៀបធៀបរូបមន្តទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖
= (sh.m.)សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Newton-Leibniz ។
ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការគណនា រូបមន្តត្រូវបានសរសេរជា៖
= = (sh.m.)កិច្ចការ៖ (ម៉ោង)
1. គណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz: ( ពិនិត្យមើលស្លាយ 5)
2. ផ្សំអាំងតេក្រាលយោងទៅតាមគំនូរ ( ពិនិត្យមើលស្លាយ 6)
3. ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខ, កំណត់ដោយបន្ទាត់៖ y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( ស្លាយ ៧)
ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ ( ស្លាយ ៨)
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលមិនមែនជា trapezoids កោង?
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក្រាហ្វដែលអ្នកឃើញនៅលើស្លាយ . (sh.m.)ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលមានស្រមោល . (sh.m.). តើតួលេខដែលចោទជារូបរាងជារាងចតុកោណទេ? តើអ្នកអាចស្វែងរកតំបន់របស់វាដោយរបៀបណា ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្ថែមនៃតំបន់? ពិចារណារាងជ្រុងពីរ ហើយដកផ្ទៃម្ខាងទៀតចេញពីផ្ទៃមួយក្នុងចំណោមនោះ ( sh.m.)
តោះបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់ដោយប្រើចលនានៅលើស្លាយ៖
- មុខងារក្រាហ្វ
- ព្យាករចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វលើអ័ក្ស x
- ដាក់ស្រមោលតួលេខដែលទទួលបាននៅពេលក្រាហ្វប្រសព្វគ្នា។
- ស្វែងរករាងចតុកោណកែងដែលចំនុចប្រសព្វ ឬសហជីពគឺជាតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
- គណនាផ្ទៃដីនៃពួកវានីមួយៗ
- ស្វែងរកភាពខុសគ្នា ឬផលបូកនៃតំបន់
ភារកិច្ចផ្ទាល់មាត់: របៀបដើម្បីទទួលបានផ្ទៃនៃតួលេខដែលមានស្រមោល (ប្រាប់ដោយប្រើចលនា, ស្លាយ ៨ និង ៩)
កិច្ចការផ្ទះ៖ធ្វើការតាមរយៈកំណត់ចំណាំ លេខ ៣៥៣(ក) លេខ៣៦៤(ក)។
ឯកសារយោង
- ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩-១១ ពេលល្ងាច (ប្តូរវេន) សាលារៀន / ed. G.D. កញ្ចក់។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨៣។
- Bashmakov M.I. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១ នៃអនុវិទ្យាល័យ / Bashmakov M.I. - M: ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ១៩៩១។
- Bashmakov M.I. គណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នចាប់ផ្តើម។ និងថ្ងៃពុធ សាស្រ្តាចារ្យ ការអប់រំ / M.I. Bashmakov ។ - M: Academy, ឆ្នាំ 2010 ។
- Kolmogorov A.N. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១។ ស្ថាប័នអប់រំ / A.N. Kolmogorov ។ - M: ការអប់រំ, 2010 ។
- Ostrovsky S.L. របៀបធ្វើបទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន?/ S.L. Ostrovsky ។ - អិមៈ ថ្ងៃទី ០១ ខែ កញ្ញា ឆ្នាំ ២០១០។
ឧទាហរណ៍ ១ . គណនាផ្ទៃនៃរូបដែលជាប់នឹងបន្ទាត់៖ x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = −3, និង x = 2
ចូរយើងសង់រូបមួយ (មើលរូប) យើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ x + 2y – 4 = 0 ដោយប្រើចំនុចពីរ A(4;0) និង B(0;2) ។ បង្ហាញ y ដល់ x យើងទទួលបាន y = -0.5x + 2 ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (1) ដែល f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2 យើងរកឃើញ
S = = [-0.25=11.25 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ ២. គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖ x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 និង y = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្កើតរូប។
ចូរសង់បន្ទាត់ត្រង់ x − 2y + 4 = 0: y = 0, x = − 4, A(−4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2) ។
ចូរសង់បន្ទាត់ត្រង់ x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5)។
ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
x = 2, y = 3; M(2; 3) ។
ដើម្បីគណនាផ្ទៃដែលត្រូវការ យើងបែងចែកត្រីកោណ AMC ទៅជាត្រីកោណពីរ AMN និង NMC ចាប់តាំងពីពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរពី A ទៅ N តំបន់ត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយនៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរពី N ទៅ C - ដោយបន្ទាត់ត្រង់។
សម្រាប់ត្រីកោណ AMN យើងមាន៖ ; y = 0.5x + 2, i.e. f(x) = 0.5x + 2, a = − 4, b = 2 ។
សម្រាប់ត្រីកោណ NMC យើងមាន៖ y = − x + 5, i.e. f(x) = − x + 5, a = 2, b = 5 ។
ដោយគណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណនីមួយៗ និងបន្ថែមលទ្ធផល យើងរកឃើញ៖
sq ។ ឯកតា
sq ។ ឯកតា
9 + 4, 5 = 13.5 sq ។ ឯកតា ពិនិត្យ: = 0.5AC = 0.5 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ ៣. គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់៖ y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3 ។
IN ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវគណនាផ្ទៃនៃ trapezoid កោង, កំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2 , បន្ទាត់ត្រង់ x = 2 និង x = 3 និងអ័ក្សអុក (សូមមើលរូប) ដោយប្រើរូបមន្ត (1) យើងរកឃើញតំបន់នៃ curvilinear trapezoid
== 6 sq. ឯកតា
ឧទាហរណ៍ 4 ។ គណនាផ្ទៃនៃរូបដែលជាប់នឹងបន្ទាត់ ៖ y = − x 2 + 4 និង y = 0
ចូរយើងបង្កើតរូប។ ផ្ទៃដែលត្រូវការត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងប៉ារ៉ាបូឡា y = - x 2 + ៤ និងអ័ក្សអុក។
ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្សអុក។ ដោយសន្មត់ថា y = 0 យើងរកឃើញ x = ដោយសារតួលេខនេះស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស Oy យើងគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំអ័ក្ស Oy ហើយលទ្ធផលដែលទទួលបានទ្វេដង៖ = +4x] sq ។ ឯកតា 2 = 2 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ 5 ។ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖ y 2 = x, yx = 1, x = 4
នៅទីនេះអ្នកត្រូវគណនាផ្ទៃដីនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយសាខាខាងលើនៃប៉ារ៉ាបូឡា 2 = x អ័ក្សអុក និងបន្ទាត់ត្រង់ x = 1 និង x = 4 (មើលរូប)
យោងតាមរូបមន្ត (1) ដែល f(x) = a = 1 និង b = 4 យើងមាន = (= sq. units ។
ឧទាហរណ៍ ៦ . គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់៖ y = sinx, y = 0, x = 0, x= ។
តំបន់ដែលត្រូវការត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលរលកនៃ sinusoid និងអ័ក្ស Ox (សូមមើលរូបភាព) ។
យើងមាន - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ ៧. គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖ y = − 6x, y = 0 និង x = 4 ។
តួលេខមានទីតាំងនៅក្រោមអ័ក្សអុក (សូមមើលរូប) ។
ដូច្នេះ យើងរកឃើញតំបន់របស់វាដោយប្រើរូបមន្ត (3)
= =
ឧទាហរណ៍ ៨. គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់៖ y = និង x = 2. សង់ខ្សែកោង y = ដោយចំនុច (មើលរូប)។ ដូច្នេះយើងរកឃើញផ្ទៃនៃរូបដោយប្រើរូបមន្ត (4)
ឧទាហរណ៍ ៩ .
X 2 + យ 2 = r 2 .
នៅទីនេះអ្នកត្រូវគណនាតំបន់ រុំព័ទ្ធដោយរង្វង់ X 2 + យ 2 = r 2 ពោលគឺតំបន់នៃរង្វង់កាំ r ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម។ ចូរយើងស្វែងរកផ្នែកទីបួននៃតំបន់នេះដោយយកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលពី 0
មុន; យើងមាន៖ 1 = = [
អាស្រ័យហេតុនេះ 1 =
ឧទាហរណ៍ 10 ។ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់៖ y=x 2 និង y = 2x
តួលេខនេះ។កំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 2x (សូមមើលរូប) ដើម្បីកំណត់ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ x 2 - 2x = 0 x = 0 និង x = 2
ដោយប្រើរូបមន្ត (5) ដើម្បីស្វែងរកតំបន់យើងទទួលបាន
= }