លោការីតលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នា។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ ក្រាហ្វ ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ រូបមន្តមូលដ្ឋាន ដេរីវេ អាំងតេក្រាល ការពង្រីកនៅក្នុង ស៊េរីថាមពលនិងការតំណាងនៃអនុគមន៍ ln x ដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិច។

និយមន័យ

លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារ y = ln x, បញ្ច្រាសទៅ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, x = e y , និងជា លោការីតផ្អែកលើលេខ អ៊ី៖ ln x = log e x.

លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពីព្រោះដេរីវេរបស់វាមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖ (ln x)′ = 1/ x.

ផ្អែកលើ និយមន័យមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិគឺជាលេខ អ៊ី:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ln x.

ក្រាហ្វនៃលោការីតធម្មជាតិ (មុខងារ y = ln x) ទទួលបានពី ក្រាហ្វិកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល រូបភាពកញ្ចក់ទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = x ។

លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់នៅ តម្លៃវិជ្ជមានអថេរ x ។

វាកើនឡើងឯកតានៅក្នុងដែននៃនិយមន័យរបស់វា។ 0 នៅ x →

ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺដកគ្មានកំណត់ (-∞) ។ ជា x → + ∞ ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (+ ∞) ។ សម្រាប់ x ធំ លោការីតកើនឡើងយឺតណាស់។ ណាមួយ។មុខងារថាមពល x a sសូចនាករវិជ្ជមាន

ដឺក្រេ a លូតលាស់លឿនជាងលោការីត។

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតធម្មជាតិ

ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ ភាពខ្លាំង ការកើនឡើង ការថយចុះ

លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារដែលកើនឡើងដោយឯកតោភាគី ដូច្នេះហើយវាមិនមានភាពជ្រុលនិយមទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃលោការីតធម្មជាតិត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាង។

ln x តម្លៃ

ln 1 = 0

រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ

រូបមន្តខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស៖

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត និងផលវិបាករបស់វា។

រូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន លោការីតណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតធម្មជាតិ

ដោយប្រើរូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន៖ ភស្តុតាងនៃរូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក.

"លោការីត"

មុខងារបញ្ច្រាស បញ្ច្រាសលោការីតធម្មជាតិគឺ.

និទស្សន្ត

បើអញ្ចឹង

បើអញ្ចឹង។

ដេរីវេ ln x
.
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖
.
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិនៃម៉ូឌុល x៖
.
ដេរីវេនៃលំដាប់លេខ:

ការ​បង្កើត​រូបមន្ត >> >>

អាំងតេក្រាល។ អាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា :
.
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក

ដូច្នេះ

កន្សោមដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិច
.
ពិចារណាមុខងារនៃអថេរ z ស្មុគស្មាញ៖ ចូរបង្ហាញពីអថេរស្មុគស្មាញតាមរយៈម៉ូឌុល rនិងអាគុយម៉ង់ φ :
.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត យើងមាន៖
.
ឬ
.
អាគុយម៉ង់φមិនត្រូវបានកំណត់ជាពិសេសទេ។ ប្រសិនបើអ្នកដាក់
ដែល n ជាចំនួនគត់
វានឹងជាលេខដូចគ្នាសម្រាប់ n ។

ដូច្នេះ លោការីតធម្មជាតិ ជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ មិនមែនជាអនុគមន៍តម្លៃតែមួយទេ។

ការពង្រីកស៊េរីថាមពល

នៅពេលដែលការពង្រីកកើតឡើង៖

អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតមហាវិទ្យាល័យ, “Lan”, ឆ្នាំ ២០០៩។

យើងបន្តសិក្សាលោការីត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការគណនាលោការីតដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា លោការីត. ដំបូងយើងនឹងយល់ពីការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់ សូមមើលពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនេះយើងនឹងផ្តោតលើការគណនាលោការីតតាមរយៈដំបូង កំណត់តម្លៃលោការីតផ្សេងទៀត។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងរៀនពីរបៀបប្រើតារាងលោការីត។ ទ្រឹស្តីទាំងមូលត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ការរុករកទំព័រ។

ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ

ក្នុង​ករណី​សាមញ្ញ​បំផុត វា​អាច​ធ្វើ​បាន​យ៉ាង​លឿន និង​ងាយ​ស្រួល ការស្វែងរកលោការីតតាមនិយមន័យ. ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបដែលដំណើរការនេះកើតឡើង។

ខ្លឹមសាររបស់វាគឺតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ដែលតាមនិយមន័យលោការីត លេខ c គឺជាតម្លៃនៃលោការីត។ នោះគឺតាមនិយមន័យ ខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពខាងក្រោមត្រូវគ្នានឹងការស្វែងរកលោការីត៖ log a b=log a a c = c ។

ដូច្នេះ ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ គឺបានមករកលេខ c ដូចថា a c = b ហើយលេខ c ខ្លួនវាគឺជាតម្លៃដែលចង់បានរបស់លោការីត។

ដោយគិតគូរពីព័ត៌មានក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលលេខក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានផ្តល់ដោយអំណាចជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋានលោការីត អ្នកអាចចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវអ្វីដែលលោការីតស្មើនឹង - វា ស្មើនឹងសូចនាករដឺក្រេ។ ចូរបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកកំណត់ហេតុ 2 2 −3 ហើយគណនាលោការីតធម្មជាតិនៃលេខ អ៊ី 5,3 ផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ។

និយមន័យលោការីត អនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយភ្លាមៗថា log 2 2 −3 = −3 ។ ពិតប្រាកដណាស់ លេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាន 2 ដល់ −3 អំណាច។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញលោការីតទីពីរ៖ lne 5.3 = 5.3 ។

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 2 2 −3 = −3 និង lne 5,3 = 5,3 ។

ប្រសិនបើលេខ b នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ជាថាមពលនៃគោលនៃលោការីតទេ នោះអ្នកត្រូវមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្នដើម្បីមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរទេក្នុងការបង្ហាញលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ។ ជារឿយៗការតំណាងនេះគឺជាក់ស្តែង ជាពិសេសនៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានទៅអំណាចនៃ 1, ឬ 2, ឬ 3, ...

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត កំណត់ហេតុ 5 25 និង .

ដំណោះស្រាយ។

វាងាយស្រួលមើលថា 25=5 2 នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលោការីតទីមួយ៖ log 5 25=log 5 5 2=2។

ចូរបន្តទៅការគណនាលោការីតទីពីរ។ លេខអាចត្រូវបានតំណាងជាអំណាចនៃ 7: (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ .

ចូរយើងសរសេរលោការីតទីបីឡើងវិញនៅក្នុង ទម្រង់ខាងក្រោម. ឥឡូវនេះអ្នកអាចឃើញវា។ ដែលយើងសន្និដ្ឋាន . ដូច្នេះតាមនិយមន័យលោការីត .

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ .

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 5 25=2 , និង .

នៅពេលដែលនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតមានធំគ្រប់គ្រាន់ លេខធម្មជាតិបន្ទាប់មកវានឹងមិនឈឺចាប់ក្នុងការបំបែកវាចូលទៅក្នុង កត្តាចម្បង. ជារឿយៗវាជួយតំណាងឱ្យចំនួនដូចជាអំណាចមួយចំនួននៃមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយដូច្នេះគណនាលោការីតនេះតាមនិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ភ្លាមៗនូវតម្លៃនៃលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះរួមមានទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃឯកតា និងទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃលេខមួយ ស្មើនឹងមូលដ្ឋាន៖ log 1 1=log a 0 =0 និង log a=log a 1 =1 ។ នោះគឺនៅពេលដែលនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតមានលេខ 1 ឬលេខមួយស្មើនឹងមូលដ្ឋានលោការីត នោះក្នុងករណីទាំងនេះលោការីតគឺស្មើនឹង 0 និង 1 រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

តើលោការីត និងលោការីត១០ ស្មើនឹងអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ពីនិយមន័យនៃលោការីត វាធ្វើតាម .

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ លេខ 10 នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតស្របគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា ដូច្នេះលោការីតទសភាគដប់ ស្មើនឹងមួយ។នោះគឺ log10=lg10 1=1។

ចម្លើយ៖

និង lg10=1 ។

ចំណាំថាការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ (ដែលយើងបានពិភាក្សាក្នុង កថាខណ្ឌមុន។) បង្កប់ន័យការប្រើប្រាស់សមភាព log a p =p ដែលជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលថាជាថាមពលនៃចំនួនជាក់លាក់មួយ វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្ត ដែលត្រូវគ្នានឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកលោការីត បង្ហាញពីការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

.

លក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតដែលមិនបានរៀបរាប់ខាងលើក៏ត្រូវបានគេប្រើក្នុងការគណនាដែរ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម។

ការស្វែងរកលោការីតតាមរយៈលោការីតដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។

ព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះបន្តប្រធានបទនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតនៅពេលគណនាពួកគេ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាចំបងគឺថា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញលោការីតដើមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតមួយផ្សេងទៀត តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ការបំភ្លឺ។ ចូរនិយាយថាយើងដឹងថា log 2 3≈1.584963 បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញឧទាហរណ៍ log 2 6 ដោយធ្វើការបំប្លែងបន្តិចបន្តួចដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត៖ log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផលមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ច្រើនដងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើឃ្លាំងអាវុធធំទូលាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត ដើម្បីគណនាលោការីតដើមតាមរយៈវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីតពី 27 ទៅគោល 60 ប្រសិនបើអ្នកដឹងថា log 60 2=a និង log 60 5=b ។

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកកំណត់ហេតុ ៦០ ២៧ ។ វាងាយមើលឃើញថា 27 = 3 3 ហើយលោការីតដើម ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតនៃអំណាច អាចសរសេរឡើងវិញជា 3·log 60 3 ។

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបបង្ហាញកំណត់ហេតុ 60 3 នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតដែលគេស្គាល់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងគោលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកំណត់ហេតុសមភាព 60 60=1 ។ ម៉្យាងទៀត log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·កំណត់ហេតុ 60 2+កំណត់ហេតុ 60 3+កំណត់ហេតុ 60 5 . ដូច្នេះ 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. អាស្រ័យហេតុនេះ កំណត់ហេតុ 60 3=1−2·កំណត់ហេតុ 60 2−កំណត់ហេតុ 60 5=1−2·a−b.

ជាចុងក្រោយ យើងគណនាលោការីតដើម៖ log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ដោយឡែកវាមានតម្លៃនិយាយអំពីអត្ថន័យនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតនៃទម្រង់ . វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានណាមួយទៅលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានជាក់លាក់តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់ឬវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកពួកគេ។ ជាធម្មតា ពីលោការីតដើម ដោយប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ ពួកវាផ្លាស់ទីទៅលោការីតក្នុងគោល 2, អ៊ី ឬ 10 ចាប់តាំងពីសម្រាប់មូលដ្ឋានទាំងនេះមានតារាងលោការីតដែលអនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃរបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃ ភាពត្រឹមត្រូវ។ IN ចំណុចបន្ទាប់យើងនឹងបង្ហាញអ្នកពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ។

តារាងលោការីត និងការប្រើប្រាស់របស់វា។

សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃលោការីតអាចត្រូវបានប្រើ តារាងលោការីត. តារាងលោការីតគោល ២ ដែលប្រើជាទូទៅបំផុត តារាងលោការីតធម្មជាតិ និង លោការីតទសភាគ. នៅពេលធ្វើការនៅក្នុង ប្រព័ន្ធទសភាគសម្រាប់ការគណនាវាងាយស្រួលប្រើតារាងលោការីតដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដប់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងរៀនស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត។

តារាងដែលបានបង្ហាញអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខពី 1,000 ដល់ 9,999 (មានខ្ទង់ទសភាគបី) ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃមួយដប់ពាន់។ យើងនឹងវិភាគគោលការណ៍នៃការស្វែងរកតម្លៃលោការីតដោយប្រើតារាងលោការីតទសភាគចូលទៅក្នុង ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់- វាច្បាស់ជាងនេះ។ ចូរយើងស្វែងរកកំណត់ហេតុ 1.256 ។

នៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញពីរខ្ទង់ដំបូងនៃលេខ 1.256 នោះគឺយើងរកឃើញ 1.2 (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ខៀវសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់)។ យើងរកឃើញខ្ទង់ទីបីនៃ 1.256 (ខ្ទង់ទី 5) នៅក្នុងទីមួយ ឬ បន្ទាត់ចុងក្រោយនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ក្រហម) ។ ខ្ទង់ទីបួននៃលេខដើម 1.256 (ខ្ទង់ទី 6) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ដោយបន្ទាត់ពណ៌បៃតង)។ ឥឡូវ​នេះ យើង​រក​ឃើញ​លេខ​ក្នុង​ក្រឡា​តារាង​លោការីត​នៅ​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​ជួរ​ដេក​ដែល​បាន​សម្គាល់ និង​ជួរ​ឈរ​ដែល​បាន​សម្គាល់ (លេខ​ទាំងនេះ​ត្រូវ​បាន​បន្លិច ទឹកក្រូច) ផលបូកនៃលេខដែលបានសម្គាល់ផ្តល់តម្លៃដែលចង់បាននៃលោការីតទសភាគត្រឹមត្រូវទៅខ្ទង់ទសភាគទីបួន នោះគឺ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

តើវាអាចទៅរួចទេ ដោយប្រើតារាងខាងលើ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខដែលមានច្រើនជាងបីខ្ទង់បន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ ក៏ដូចជាតម្លៃដែលលើសពីចន្លោះពី 1 ដល់ 9.999? បាទ អ្នកអាចធ្វើបាន។ សូមបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

តោះគណនា lg102.76332។ ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរ លេខនៅក្នុង ទម្រង់ស្តង់ដារ : 102.76332=1.0276332·10 ២. បន្ទាប់ពីនេះ mantissa គួរតែត្រូវបានបង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគទីបីយើងមាន 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ខណៈពេលដែលលោការីតទសភាគដើមគឺប្រហែល ស្មើនឹងលោការីតលេខលទ្ធផល នោះគឺយើងយក log102.76332≈lg1.028·10 ២. ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត៖ lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ជាចុងក្រោយ យើងរកឃើញតម្លៃនៃលោការីត lg1.028 ពីតារាងលោការីតទសភាគ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012។ ជាលទ្ធផល ដំណើរការទាំងមូលនៃការគណនាលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

សរុបសេចក្តីមក វាគឺមានតំលៃកត់សម្គាល់ថាការប្រើតារាងនៃលោការីតទសភាគ អ្នកអាចគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលោការីតណាមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរដើម្បីទៅកាន់លោការីតទសភាគ ស្វែងរកតម្លៃរបស់ពួកគេក្នុងតារាង និងអនុវត្តការគណនាដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាកំណត់ហេតុ 2 3 ។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត យើងមាន . ពីតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញ log3≈0.4771 និង log2≈0.3010។ ដូច្នេះ .

ឯកសារយោង។

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

សេចក្តីណែនាំ

សរសេរអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យ កន្សោមលោការីត. ប្រសិនបើកន្សោមប្រើលោការីត 10 នោះសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានខ្លី ហើយមើលទៅដូចនេះ៖ lg b គឺជាលោការីតទសភាគ។ ប្រសិនបើលោការីតមានលេខ e ជាមូលដ្ឋានរបស់វា បន្ទាប់មកសរសេរកន្សោម៖ ln b – លោការីតធម្មជាតិ។ វាត្រូវបានគេយល់ថាលទ្ធផលនៃណាមួយគឺជាអំណាចដែលលេខមូលដ្ឋានត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

នៅពេលស្វែងរកផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកពួកវាពីមួយទៅមួយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផល៖ (u+v)" = u"+v";

នៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរគុណនឹងអនុគមន៍ទីមួយ៖ (u*v)" = u"*v +v"*u;

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវដកពីផលគុណនៃដេរីវេនៃភាគលាភគុណនឹងអនុគមន៍ចែកផលផលនៃដេរីវេនៃផលចែកគុណនឹងអនុគមន៍នៃភាគលាភ និងចែក ទាំងអស់នេះដោយអនុគមន៍ចែកការ៉េ។ (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ មុខងារស្មុគស្មាញបន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីគុណដេរីវេនៃ មុខងារខាងក្នុងនិងដេរីវេនៃផ្នែកខាងក្រៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ y=u(v(x)) បន្ទាប់មក y"(x)=y"(u)*v"(x)។

ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានខាងលើអ្នកអាចបែងចែកមុខងារស្ទើរតែទាំងអស់។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
វាក៏មានបញ្ហាទាក់ទងនឹងការគណនាដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=e^(x^2+6x+5) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x=1។
១) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)។

2) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្នុង ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ y"(1)=8*e^0=8

វីដេអូលើប្រធានបទ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

រៀនតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុបឋម។ នេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាយ៉ាងច្រើន។

ប្រភព៖

• ដេរីវេនៃថេរមួយ។

ដូច្នេះតើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង សមីការសមហេតុផលមកពីហេតុផល? ប្រសិនបើអថេរមិនស្គាល់គឺស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញា ឫសការ៉េបន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនសមហេតុផល។

សេចក្តីណែនាំ

វិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ភាគីទាំងពីរ សមីការចូលទៅក្នុងការ៉េមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ នេះគឺជាធម្មជាតិ រឿងដំបូងដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺកម្ចាត់សញ្ញា។ វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ពិបាក​តាម​បច្ចេកទេស​ទេ ប៉ុន្តែ​ពេល​ខ្លះ​វា​អាច​នាំ​ឱ្យ​មាន​បញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ សមីការគឺ v(2x-5)=v(4x-7)។ ដោយ​ការ​កាត់​ទាំង​សងខាង អ្នក​នឹង​ទទួល​បាន 2x-5=4x-7 ។ ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះមិនពិបាកទេ។ x=1. ប៉ុន្តែលេខ 1 នឹងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ សមីការ. ហេតុអ្វី? ជំនួសមួយទៅក្នុងសមីការជំនួសឱ្យតម្លៃនៃ x ហើយផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនឹងមានកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល។ តម្លៃនេះមិនត្រឹមត្រូវសម្រាប់ឫសការ៉េទេ។ ដូច្នេះ 1 គឺ​ជា root extraneous ហើយ​ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសទេ។

ដូច្នេះ សមីការមិនសមហេតុផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការ squaring ផ្នែកទាំងពីររបស់វា។ ហើយ​ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ហើយ​នោះ វា​ជា​ការ​ចាំបាច់​ដើម្បី​កាត់​ឫស​ដែល​មាន​សារធាតុ​បន្ថែម។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម។

ពិចារណាមួយទៀត។
2х+vх−3=0
ជា​ការ​ពិត​ណាស់ សមីការ​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​សមីការ​ដូច​គ្នា​នឹង​សមីការ​មុន។ ផ្លាស់ទីសមាសធាតុ សមីការដែល​មិន​មាន​ឫស​ការ៉េ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ប្រើ​វិធី​ការ៉េ។ ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផល និងឫសគល់។ ប៉ុន្តែ​ក៏​មួយ​ទៀត​ដែល​ស្រស់​ស្អាត​ជាង​។ បញ្ចូលអថេរថ្មី; vx=y. ដូច្នោះហើយ អ្នកនឹងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ 2y2+y-3=0។ នោះគឺធម្មតា។ សមីការ​ការ៉េ. ស្វែងរកឫសរបស់វា; y1=1 និង y2=-3/2 ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយពីរ សមីការ vх=1; vх=-3/2 ។ សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ ពីដំបូងយើងរកឃើញថា x=1។ កុំភ្លេចពិនិត្យមើលឫស។

ការដោះស្រាយអត្តសញ្ញាណគឺសាមញ្ញណាស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវធ្វើ ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណរហូតដល់គោលដៅត្រូវបានសម្រេច។ ដូច្នេះដោយមានជំនួយពីសាមញ្ញបំផុត។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធភារកិច្ចនៅក្នុងដៃនឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

អ្នកនឹងត្រូវការ

• - ក្រដាស;
• - ប៊ិច។

សេចក្តីណែនាំ

ភាពសាមញ្ញបំផុតនៃការបំប្លែងបែបនេះគឺគុណលេខអក្សរកាត់ពិជគណិត (ដូចជាការេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) គូបនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)) ។ លើសពីនេះទៀតមានច្រើននិង រូបមន្តត្រីកោណមាត្រដែលសំខាន់គឺអត្តសញ្ញាណដូចគ្នា។

ជាការពិត ការ៉េនៃផលបូកនៃពាក្យពីរ ស្មើនឹងការ៉េផលបូកទីមួយគុណនឹងផលគុណទីមួយគុណនឹងទីពីរ ហើយបូកនឹងការេទីពីរ នោះគឺ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b ^2=a^2+2ab +b^2។

សម្រួលទាំងពីរ

គោលការណ៍ទូទៅនៃដំណោះស្រាយ

ធ្វើម្តងទៀតយោងទៅតាមសៀវភៅសិក្សា ការវិភាគគណិតវិទ្យាឬ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងដែលជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ដូចដែលបានដឹងហើយថាដំណោះស្រាយ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មានអនុគមន៍មួយដែលដេរីវេផ្តល់ឱ្យនូវអាំងតេក្រាលមួយ។ មុខងារនេះ។ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ។ ដោយ គោលការណ៍នេះ។និងបង្កើតអាំងតេក្រាលសំខាន់ៗ។
កំណត់ដោយទម្រង់នៃអាំងតេក្រាលដែលអាំងតេក្រាលតារាងដែលត្រូវគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ. វាមិនតែងតែអាចកំណត់បានភ្លាមៗនោះទេ។ ជាញឹកញយ ទម្រង់តារាងអាចកត់សម្គាល់បាន លុះត្រាតែមានការផ្លាស់ប្តូរជាច្រើន ដើម្បីសម្រួលដល់ការរួមបញ្ចូល។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

ប្រសិនបើមុខងាររួមបញ្ចូលគ្នា មុខងារត្រីកោណមាត្រដែលអាគុយម៉ង់មានពហុនាមមួយចំនួន បន្ទាប់មកព្យាយាមប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន សូមជំនួសពហុនាមនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងអថេរថ្មីមួយចំនួន។ ដោយផ្អែកលើទំនាក់ទំនងរវាងអថេរថ្មី និងចាស់ កំណត់ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល។ តាមរយៈការបែងចែកកន្សោមនេះ ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលថ្មីនៅក្នុង . ដូច្នេះអ្នកនឹងទទួលបាន រូបរាងថ្មី។នៃអាំងតេក្រាលមុន នៅជិត ឬសូម្បីតែត្រូវគ្នាទៅនឹងតារាងណាមួយ។

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ ដែលជាទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃអាំងតេក្រាល នោះអ្នកនឹងត្រូវប្រើច្បាប់សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរពីអាំងតេក្រាលទាំងនេះទៅជាមាត្រដ្ឋាន។ ច្បាប់មួយគឺទំនាក់ទំនង Ostrogradsky-Gauss ។ ច្បាប់នេះ។អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកចេញពី rotor flux នៃអនុគមន៍វ៉ិចទ័រមួយចំនួនទៅអាំងតេក្រាលបីដងលើភាពខុសគ្នានៃវាលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល

បន្ទាប់ពីរកឃើញ antiderivative វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដំបូងត្រូវជំនួសតម្លៃ ដែនកំណត់ខាងលើទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ antiderivative ។ អ្នកនឹងទទួលបានលេខមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក ដកពីលេខលទ្ធផល លេខមួយទៀតដែលទទួលបានពីដែនកំណត់ទាប ទៅជា antiderivative។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មួយក្នុងចំណោមដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺគ្មានកំណត់ នោះនៅពេលជំនួសវាទៅជា មុខងារ antiderivativeវាចាំបាច់ក្នុងការចូលទៅកាន់ដែនកំណត់ ហើយស្វែងរកអ្វីដែលកន្សោមព្យាយាម។
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានពីរវិមាត្រ ឬបីវិមាត្រ នោះអ្នកនឹងត្រូវតំណាងឱ្យដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលធរណីមាត្រ ដើម្បីយល់ពីរបៀបវាយតម្លៃអាំងតេក្រាល។ ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងករណីនៃការនិយាយថា អាំងតេក្រាលបីវិមាត្រ ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចជាយន្តហោះទាំងមូលដែលកំណត់បរិមាណដែលត្រូវបានដាក់បញ្ចូល។

274. សុន្ទរកថា។

ក)ប្រសិនបើកន្សោមដែលអ្នកចង់វាយតម្លៃមាន ផលបូកឬ ភាពខុសគ្នាលេខបន្ទាប់មកពួកគេត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញដោយគ្មានជំនួយពីតារាង ការបន្ថែមធម្មតា។ឬដោយការដក។ ឧ៖

log (35 +7.24) 5 = 5 log (35 + 7.24) = 5 log 42.24 ។

ខ)ដោយដឹងពីរបៀបបញ្ចេញមតិលោការីត យើងអាច បញ្ច្រាស់ដោយ លទ្ធផលនេះ។ដោយប្រើលោការីតដើម្បីស្វែងរកកន្សោមដែលលទ្ធផលនេះត្រូវបានទទួល; ដូច្នេះប្រសិនបើ

កំណត់ហេតុ X=កំណត់ហេតុ ក+ កំណត់ហេតុ ខ- កំណត់ហេតុចំនួន ៣ ជាមួយ,

បន្ទាប់មកវាងាយស្រួលយល់

វី)មុននឹងបន្តទៅការពិចារណាលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃតារាងលោការីត យើងនឹងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីតទសភាគ i.e. លេខដែលលេខ 10 ត្រូវបានគេយកជាមូលដ្ឋាន (មានតែលោការីតបែបនេះប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនា)។

ជំពូក​ទី​ពីរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតទសភាគ។

275 . ក) ចាប់តាំងពី 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, ល។ បន្ទាប់មក log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, និងល។

មានន័យថា លោការីត​នៃ​ចំនួន​គត់​តំណាង​ដោយ​មួយ​តាម​ដោយ​លេខ​សូន្យ​គឺ​ជា​ចំនួន​គត់ លេខវិជ្ជមានដែលមានលេខសូន្យក្នុងរូបភាពលេខ។

ដូចនេះ៖ កំណត់ហេតុ 100,000 = 5, កំណត់ហេតុ 1000 000 = 6 ល។

ខ) ដោយសារតែ

កំណត់ហេតុ 0.1 = -l; កំណត់ហេតុ 0.01 = - 2; កំណត់ហេតុ 0.001 == -3; កំណត់ហេតុ 0.0001 = - 4,ល។

មានន័យថា លោការីត ទសភាគតំណាងដោយឯកតាដែលមានលេខសូន្យមុន គឺជាចំនួនគត់អវិជ្ជមានដែលមានចំនួនអវិជ្ជមានច្រើន ព្រោះថាមានលេខសូន្យក្នុងតំណាងនៃប្រភាគ រួមទាំងចំនួនគត់ 0 ។

ដូចនេះ៖ កំណត់ហេតុ 0.00001= - 5, កំណត់ហេតុ 0.000001 = -6,ល។

វី)ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកចំនួនគត់ដែលមិនត្រូវបានតំណាងដោយលេខមួយ និងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ 35 ឬលេខទាំងមូលដែលមានប្រភាគ។ ១០.៧. លោការីតនៃចំនួនបែបនេះមិនអាចជាចំនួនគត់បានទេ ចាប់តាំងពីការបង្កើន 10 ទៅជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ (វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) យើងទទួលបាន 1 ជាមួយសូន្យ (តាមលេខ 1 ឬមុនវា)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មតថាលោការីតនៃចំនួនបែបនេះគឺជាប្រភាគខ្លះ ក / ខ . បន្ទាប់មកយើងនឹងមានសមភាព

ប៉ុន្តែសមភាពទាំងនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ 10ក មាន 1s ជាមួយសូន្យ ចំណែកដឺក្រេ 35ខ និង 10,7ខ ដោយវិធានការណាមួយ។ ខ មិនអាចផ្តល់ឱ្យ 1 តាមដោយសូន្យ។ នេះមានន័យថាយើងមិនអាចអនុញ្ញាតបានទេ។ កំណត់ហេតុ ៣៥និង កំណត់ហេតុ 10.7គឺស្មើនឹងប្រភាគ។ ប៉ុន្តែពីលក្ខណៈសម្បត្តិ មុខងារលោការីតយើងដឹង () ថារាល់លេខវិជ្ជមានមានលោការីត។ ដូច្នេះ លេខនីមួយៗនៃលេខ 35 និង 10.7 មានលោការីតផ្ទាល់ខ្លួន ហើយដោយសារវាមិនអាចជាចំនួនគត់ ឬលេខប្រភាគ វាគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល ហើយដូច្នេះវាមិនអាចបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈលេខបានទេ។ លោការីតមិនសមហេតុផលជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញប្រមាណជាប្រភាគទសភាគដែលមានខ្ទង់ទសភាគជាច្រើន។ ចំនួនទាំងមូលនៃប្រភាគនេះ (ទោះបីជាវាជា "0 ចំនួនគត់") ត្រូវបានហៅ លក្ខណៈ, ក ផ្នែកប្រភាគ- mantissa នៃលោការីត។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមានលោការីត 1,5441 បន្ទាប់មកលក្ខណៈរបស់វាគឺស្មើគ្នា 1 និង mantissa គឺ 0,5441 .

ឆ)ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកចំនួនគត់ ឬចំនួនចម្រុះ។ 623 ឬ 623,57 . លោការីត​នៃ​ចំនួន​នេះ​មាន​លក្ខណៈ និង mantissa ។ វាប្រែថាលោការីតទសភាគមានភាពងាយស្រួល យើងតែងតែអាចរកឃើញលក្ខណៈរបស់ពួកគេតាមប្រភេទលេខមួយ។ . ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​រាប់​ចំនួន​ខ្ទង់​ក្នុង​ចំនួន​សរុប​ដែល​បាន​ផ្តល់ ឬ​ជា​ផ្នែក​ចំនួន​គត់ លេខចម្រុះ, នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងនៃលេខទាំងនេះ 3 . ដូច្នេះលេខនីមួយៗ 623 និង 623,57 ច្រើនជាង 100 ប៉ុន្តែតិចជាង 1000; នេះមានន័យថាលោការីតរបស់ពួកវានីមួយៗធំជាង កំណត់ហេតុ 100, ឧ 2 ប៉ុន្តែតិចជាង កំណត់ហេតុ 1000ឧ. តិច 3 (សូមចាំថាចំនួនធំក៏មានលោការីតធំជាងដែរ)។ អាស្រ័យហេតុនេះ កំណត់ហេតុ ៦២៣ = ២, ... , និង កំណត់ហេតុ 623.57 = 2, ... (ចំនុចជំនួស mantissas មិនស្គាល់) ។

ដូចនេះយើងរកឃើញ៖

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 កំណត់ហេតុ 56.7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 កំណត់ហេតុ 8634 = 3,...

អនុញ្ញាតឱ្យជាទូទៅចំនួនគត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬផ្នែកចំនួនគត់នៃចំនួនចម្រុះដែលបានផ្តល់ឱ្យមាន ម លេខ ចាប់តាំងពីចំនួនគត់តូចបំផុតដែលមាន ម លេខ បាទ 1 ជាមួយ ម - 1 សូន្យនៅចុងបញ្ចប់ បន្ទាប់មក (បង្ហាញពីលេខនេះ។ ន) យើងអាចសរសេរវិសមភាព៖

ដូច្នេះហើយ

ម - 1 < log N < ម ,

កំណត់ហេតុ N = ( ម - 1) + ប្រភាគវិជ្ជមាន .

ដូច្នេះលក្ខណៈ logN = ម - 1 .

យើងឃើញតាមរបៀបនេះ។ លក្ខណៈនៃលោការីតនៃចំនួនគត់ ឬលេខចម្រុះមានឯកតាវិជ្ជមានជាច្រើន ដោយសារមានលេខនៅក្នុងផ្នែកចំនួនគត់នៃលេខដកមួយ។

ដោយបានកត់សម្គាល់រឿងនេះ យើងអាចសរសេរដោយផ្ទាល់៖

កំណត់ហេតុ 7.205 = 0, ... ; កំណត់ហេតុ 83 = 1, ... ; កំណត់ហេតុ 720.4 = 2,...ល។

ឃ)ចូរយកប្រភាគទសភាគជាច្រើនតូចជាង 1 (ពោលគឺមាន 0 ទាំងមូល): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, ល។

ដូច្នេះ លោការីតនីមួយៗមានរវាងចំនួនគត់អវិជ្ជមានពីរដែលខុសគ្នាដោយឯកតាមួយ។ ដូច្នេះពួកវានីមួយៗស្មើនឹងចំនួនតូចជាងនៃចំនួនអវិជ្ជមានទាំងនេះ កើនឡើងដោយប្រភាគវិជ្ជមានមួយចំនួន។ ឧ. log0.0056= -3 + ប្រភាគវិជ្ជមាន. ចូរសន្មតថាប្រភាគនេះគឺ 0.7482 ។ បន្ទាប់មកវាមានន័យថា៖

កំណត់ហេតុ 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518) ។

ចំនួនទឹកប្រាក់ដូចជា - 3 + 0,7482 ដែលរួមមានចំនួនគត់អវិជ្ជមាន និងប្រភាគទសភាគវិជ្ជមាន ត្រូវបានយល់ព្រម ការគណនាលោការីតអក្សរកាត់ដូចខាងក្រោមៈ 3 ,7482 (លេខនេះអាន៖ ៣ ដក ៧៤៨២ មួយម៉ឺន.) ពោលគឺ ពួកគេដាក់សញ្ញាដកពីលើលក្ខណៈ ដើម្បីបង្ហាញថាវាពាក់ព័ន្ធតែនឹងលក្ខណៈនេះប៉ុណ្ណោះ មិនមែនចំពោះ mantissa ដែលនៅតែមានភាពវិជ្ជមាននោះទេ។ ដូច្នេះពីតារាងខាងលើវាច្បាស់ណាស់។

កំណត់ហេតុ 0.35 == 1, .... ; កំណត់ហេតុ 0.07 = 2, .... ; កំណត់ហេតុ 0.0008 = 4 ,....

អនុញ្ញាតឱ្យទាំងអស់។ . មានប្រភាគទសភាគ ដែលមុនដំបូង តួលេខសំខាន់ α ការចំណាយ ម សូន្យ រួមទាំងចំនួនគត់ 0 ។ បន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់។

- ម < log A < - (ម- 1).

ចាប់ពីចំនួនគត់ពីរ៖ - ម និង - (ម- 1) មានតិចជាង - ម , នោះ។

កំណត់ហេតុ A = - ម+ ប្រភាគវិជ្ជមាន,

ហើយដូច្នេះលក្ខណៈ កំណត់ហេតុ A = - ម (ជាមួយ mantissa វិជ្ជមាន) ។

ដូច្នេះ លក្ខណៈនៃលោការីតនៃប្រភាគទសភាគតិចជាង 1 មានចំនួនអវិជ្ជមានច្រើនដូចដែលមានលេខសូន្យក្នុងរូបភាពនៃប្រភាគទសភាគមុនខ្ទង់សំខាន់ៗដំបូង រួមទាំងចំនួនគត់សូន្យ។ mantissa នៃលោការីតបែបនេះគឺវិជ្ជមាន។

ង)តោះគុណលេខខ្លះ ន(ចំនួនគត់ឬប្រភាគ - វាមិនសំខាន់ទេ) ដោយ 10 ដោយ 100 ដោយ 1000 ... ជាទូទៅដោយ 1 ជាមួយសូន្យ។ សូមមើលពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរនេះ។ កំណត់ហេតុ N. ចាប់តាំងពីលោការីតនៃផលិតផល ស្មើនឹងផលបូកលោការីតនៃកត្តា

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;ល។

ពេលណា កំណត់ហេតុ Nយើងបន្ថែមចំនួនគត់មួយចំនួន បន្ទាប់មកយើងតែងតែអាចបន្ថែមលេខនេះទៅលក្ខណៈ ហើយមិនមែនទៅ mantissa នោះទេ។

ដូច្នេះប្រសិនបើកំណត់ហេតុ N = 2.7804 នោះ 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 ។ល។

ឬប្រសិនបើកំណត់ហេតុ N = 3.5649 បន្ទាប់មក 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649 ។ល។

នៅពេលដែលលេខមួយត្រូវបានគុណនឹង 10, 100, 1000,... ជាទូទៅដោយ 1 ជាមួយសូន្យ នោះ mantissa នៃលោការីតមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ហើយលក្ខណៈនឹងកើនឡើងដោយឯកតាជាច្រើនដូចដែលមានលេខសូន្យនៅក្នុងកត្តា .

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ដោយគិតគូរថាលោការីតនៃកូតាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃភាគលាភដោយគ្មានលោការីតនៃការបែងចែក យើងទទួលបាន៖

log N/10 = log N- log 10 = log N -1;

log N/100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3;ល។

ប្រសិនបើយើងយល់ព្រម នៅពេលដកចំនួនគត់ពីលោការីត ដើម្បីដកចំនួនគត់នេះចេញពីលក្ខណៈ ហើយទុក mantissa មិនផ្លាស់ប្តូរ នោះយើងអាចនិយាយបានថា:

ការបែងចែកលេខដោយ 1 ជាមួយសូន្យមិនផ្លាស់ប្តូរ mantissa នៃលោការីតទេ ប៉ុន្តែលក្ខណៈថយចុះដោយឯកតាច្រើនដូចដែលមានលេខសូន្យនៅក្នុងផ្នែកចែក។

276. ផលវិបាក។ពីទ្រព្យសម្បត្តិ ( អ៊ី) កូរ៉ូឡាពីរខាងក្រោមអាចត្រូវបានកាត់ចេញ៖

ក) mantissa នៃលោការីតនៃចំនួនទសភាគមិនផ្លាស់ប្តូរទេនៅពេលផ្លាស់ទីទៅចំណុចទសភាគ ដោយ​សារ​ការ​ផ្លាស់ទី​ចំណុច​ទសភាគ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ការ​គុណ​ឬ​ចែក​ដោយ 10, 100, 1000 ។ល។ ដូច្នេះ លោការីត​នៃ​លេខ៖

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

ខុសគ្នាតែនៅក្នុងលក្ខណៈប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែមិនមែននៅក្នុង mantissas ទេ (ផ្តល់ថា mantissas ទាំងអស់មានភាពវិជ្ជមាន)។

ខ) Mantisas នៃលេខមានដូចគ្នា។ ផ្នែកសំខាន់ប៉ុន្តែខុសគ្នាត្រឹមសូន្យនៅចុងបញ្ចប់គឺដូចគ្នា៖ ដូច្នេះលោការីតនៃលេខ៖ 23, 230, 2300, 23,000 ខុសគ្នាតែក្នុងលក្ខណៈប៉ុណ្ណោះ។

មតិយោបល់។ ពី លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់លោការីតទសភាគ វាច្បាស់ណាស់ថាយើងអាចរកឃើញលក្ខណៈនៃលោការីតនៃចំនួនគត់ និងប្រភាគទសភាគ ដោយគ្មានជំនួយពីតារាង (នេះគឺជាភាពងាយស្រួលដ៏អស្ចារ្យនៃលោការីតទសភាគ); ជាលទ្ធផលមានតែ mantissa មួយប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដាក់ក្នុងតារាងលោការីត។ លើសពីនេះទៀតចាប់តាំងពីការស្វែងរកលោការីតនៃប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនគត់ (លោការីតនៃប្រភាគ = លោការីតនៃភាគយកដោយគ្មានលោការីតនៃភាគបែង) mantissas លោការីតនៃចំនួនគត់ត្រូវបានដាក់ក្នុងតារាង។

ជំពូកទីបី។

ការរចនា និងការប្រើប្រាស់តារាងបួនខ្ទង់។

277. ប្រព័ន្ធលោការីត។ប្រព័ន្ធនៃលោការីតគឺជាសំណុំនៃលោការីតដែលត្រូវបានគណនាសម្រាប់ចំនួនគត់ជាប់គ្នាដោយប្រើមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ប្រព័ន្ធពីរត្រូវបានប្រើ៖ ប្រព័ន្ធលោការីតធម្មតា ឬទសភាគ ដែលលេខត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាន 10 និងប្រព័ន្ធនៃអ្វីដែលហៅថាលោការីតធម្មជាតិ ដែលក្នុងនោះចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាន (សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនដែលច្បាស់លាស់នៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា) 2,7182818 ... សម្រាប់ការគណនា លោការីតទសភាគត្រូវបានប្រើ ដោយសារភាពងាយស្រួលដែលយើងបានចង្អុលបង្ហាញនៅពេលយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតបែបនេះ។

លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា Neperov បន្ទាប់ពីអ្នកបង្កើតលោការីត ដែលជាគណិតវិទូជនជាតិស្កុតឡេន។ Nepera(1550-1617) និងលោការីតទសភាគ - Briggs ដាក់ឈ្មោះតាមសាស្រ្តាចារ្យ ប្រីហ្កា(ជាសហសម័យ និងជាមិត្តរបស់ Napier) ដែលបានចងក្រងតារាងនៃលោការីតទាំងនេះជាលើកដំបូង។

278. ការបំប្លែងលោការីតអវិជ្ជមានទៅជាមួយ ដែល mantissa មានលក្ខណៈវិជ្ជមាន និងការបំប្លែងបញ្ច្រាស។ យើងបានឃើញថាលោការីតនៃលេខតិចជាង 1 គឺអវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាពួកគេមានចរិតលក្ខណៈអវិជ្ជមាននិង mantissa អវិជ្ជមាន។ លោការីតបែបនេះតែងតែអាចផ្លាស់ប្តូរបានដើម្បីឱ្យ mantissa របស់ពួកគេមានភាពវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែលក្ខណៈនៅតែអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបន្ថែមវិជ្ជមានមួយទៅ mantissa និងអវិជ្ជមានមួយទៅលក្ខណៈ (ដែលជាការពិតណាស់មិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃលោការីត) ។

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍យើងមានលោការីត - 2,0873 បន្ទាប់មកអ្នកអាចសរសេរ៖

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

ឬអក្សរកាត់៖

ផ្ទុយទៅវិញ លោការីតណាមួយដែលមានលក្ខណៈអវិជ្ជមាន និង mantissa វិជ្ជមានអាចប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបន្ថែមអវិជ្ជមានមួយទៅ mantissa វិជ្ជមាននិងវិជ្ជមានមួយទៅលក្ខណៈអវិជ្ជមាន: ដូច្នេះអ្នកអាចសរសេរ:

279. ការពិពណ៌នាអំពីតារាងបួនខ្ទង់។សម្រាប់ការសម្រេចចិត្តភាគច្រើន បញ្ហាជាក់ស្តែងតារាងបួនខ្ទង់គឺគ្រប់គ្រាន់ណាស់ ការគ្រប់គ្រងគឺសាមញ្ញណាស់។ តារាងទាំងនេះ (ដែលមានសិលាចារឹក "លោការីត" នៅផ្នែកខាងលើ) ត្រូវបានដាក់នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅនេះ ហើយមិនមែន ភាគច្រើនពួកវា (ដើម្បីពន្យល់ពីទីតាំង) ត្រូវបានបោះពុម្ពនៅលើទំព័រនេះ។ ពួកវាមាន mantissas

លោការីត។

លោការីតនៃចំនួនគត់ទាំងអស់ពី 1 ទៅ 9999 រាប់បញ្ចូល គណនាដល់ខ្ទង់ទសភាគបួន ដោយកន្លែងចុងក្រោយនេះកើនឡើងដោយ 1 ក្នុងករណីទាំងអស់ដែលខ្ទង់ទសភាគទី 5 ត្រូវតែជា 5 ឬច្រើនជាង 5 ។ ដូច្នេះតារាង 4 ខ្ទង់ផ្តល់ឱ្យ mantissas ប្រហាក់ប្រហែល 1 / 2 ដប់ពាន់ផ្នែក (មានកង្វះឬលើស) ។

ដោយសារយើងអាចកំណត់លក្ខណៈលោការីតដោយផ្ទាល់នៃចំនួនគត់ ឬប្រភាគទសភាគ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតទសភាគ យើងត្រូវតែយកតែ mantissas ពីតារាង។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងត្រូវចងចាំថាទីតាំងនៃសញ្ញាក្បៀសនៅក្នុង លេខទសភាគក៏ដូចជាចំនួនសូន្យនៅចុងបញ្ចប់នៃលេខនោះ មិនមានផលប៉ះពាល់លើតម្លៃនៃ mantissa នោះទេ។ ដូច្នេះនៅពេលដែលរកឃើញ mantissa ដោយ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងបោះបង់សញ្ញាក្បៀសក្នុងលេខនេះ ក៏ដូចជាលេខសូន្យនៅខាងចុងរបស់វា ប្រសិនបើមាន ហើយស្វែងរក mantissa នៃចំនួនគត់ដែលបានបង្កើតឡើងបន្ទាប់ពីនេះ។ ករណីខាងក្រោមអាចកើតឡើង។

1) ចំនួនគត់មាន 3 ខ្ទង់។ជាឧទាហរណ៍ ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរក mantissa នៃលោការីតនៃលេខ 536។ ពីរខ្ទង់ដំបូងនៃលេខនេះ ពោលគឺ 53 ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងតារាងក្នុងជួរឈរបញ្ឈរទីមួយនៅខាងឆ្វេង (សូមមើលតារាង)។ ដោយបានរកឃើញលេខ 53 យើងផ្លាស់ទីពីវាតាមបន្ទាត់ផ្តេកទៅខាងស្តាំរហូតដល់បន្ទាត់នេះប្រសព្វជាមួយជួរឈរបញ្ឈរឆ្លងកាត់មួយក្នុងចំណោមលេខ 0, 1, 2, 3, ... 9 ដាក់នៅខាងលើ (និង ខាងក្រោម) នៃតារាងដែលជាខ្ទង់ទី 3 នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង លេខ 6។ នៅចំនុចប្រសព្វយើងទទួលបាន mantissa 7292 (ពោលគឺ 0.7292) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់លោការីតនៃលេខ 536។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់លេខ 508 យើងរកឃើញ mantissa 0.7059 សម្រាប់លេខ 500 យើងរកឃើញ 0.6990 ។ល។

2) ចំនួនគត់មាន 2 ឬ 1 ខ្ទង់។បន្ទាប់មកយើងកំណត់លេខសូន្យមួយឬពីរទៅលេខនេះដោយបញ្ញា ហើយស្វែងរក mantissa សម្រាប់លេខបីខ្ទង់ដែលបង្កើតឡើង។ ឧទាហរណ៍ យើងបន្ថែមសូន្យមួយទៅលេខ 51 ដែលយើងទទួលបាន 510 ហើយស្វែងរក mantissa 7070; ដល់លេខ 5 យើងកំណត់លេខសូន្យ 2 ហើយរក mantissa 6990 ។ល។

3) ចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញជា 4 ខ្ទង់។ជាឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវស្វែងរក mantissa នៃ log 5436។ បន្ទាប់មកដំបូងយើងរកឃើញនៅក្នុងតារាង ដូចដែលគ្រាន់តែបានបង្ហាញ mantissa សម្រាប់លេខដែលតំណាងដោយ 3 ខ្ទង់ដំបូងនៃលេខនេះ ពោលគឺសម្រាប់ 543 (mantissa នេះនឹងមាន 7348) ; បន្ទាប់មកយើងផ្លាស់ទីពី mantissa ដែលបានរកឃើញតាមបណ្តោយបន្ទាត់ផ្តេកទៅខាងស្តាំ (ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃតារាងដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោយបន្ទាត់បញ្ឈរក្រាស់) រហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយជួរឈរបញ្ឈរឆ្លងកាត់លេខមួយ: 1, 2 3, ។ .. 9 ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងលើ (និងនៅខាងក្រោម) នៃផ្នែកនៃតារាងនេះ ដែលតំណាងឱ្យខ្ទង់ទី 4 នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង លេខ 6 ។ នៅចំនុចប្រសព្វ យើងរកឃើញការកែតម្រូវ (លេខ 5) ដែលត្រូវតែអនុវត្តផ្លូវចិត្តទៅ mantissa នៃ 7348 ដើម្បីទទួលបាន mantissa នៃលេខ 5436; វិធីនេះយើងទទួលបាន mantissa 0.7353 ។

4) ចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខ 5 ឬច្រើនជាងនេះ។បន្ទាប់មកយើងបោះចោលខ្ទង់ទាំងអស់ លើកលែងតែលេខ 4 ដំបូង ហើយយកលេខប្រហាក់ប្រហែល 4 ខ្ទង់ ហើយបង្កើនខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខនេះដោយ 1 ក្នុងលេខនោះ។ ករណីដែលបោះបង់ខ្ទង់ទី 5 នៃលេខគឺ 5 ឬច្រើនជាង 5។ ដូច្នេះជំនួសឱ្យ 57842 យើងយក 5784 ជំនួសឱ្យ 30257 យើងយក 3026 ជំនួសឱ្យ 583263 យើងយក 5833 ។ល។ សម្រាប់​លេខ​បួន​ខ្ទង់​មូល​នេះ យើង​រក​ឃើញ mantissa ដូច​ដែល​បាន​ពន្យល់។

ណែនាំដោយគោលការណ៍ណែនាំទាំងនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកលោការីតជាឧទាហរណ៍ លេខខាងក្រោម:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

ជាដំបូងដោយមិនងាកទៅរកតុឥឡូវនេះយើងនឹងដាក់តែលក្ខណៈដោយទុកកន្លែងសម្រាប់ mantissas ដែលយើងនឹងសរសេរបន្ទាប់ពី:

log 36.5 = 1,.... log 0.00345 = 3,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0.26 = 1,.... log 3456.86 = 3,....

កំណត់ហេតុ 36.5 = 1.5623; កំណត់ហេតុ 0.00345 = 3.5378;

កំណត់ហេតុ 804.7 = 2.9057; កំណត់ហេតុ 7.2634 = 0.8611;

កំណត់ហេតុ 0.26 = 1.4150; កំណត់ហេតុ 3456.86 = 3.5387 ។

280. ចំណាំ. នៅក្នុងតារាងបួនខ្ទង់មួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ក្នុងតារាង V. Lorchenko និង N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) ការកែតម្រូវសម្រាប់ខ្ទង់ទី 4 នៃលេខនេះមិនត្រូវបានដាក់ទេ។ នៅពេលដោះស្រាយជាមួយតារាងបែបនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកការកែតម្រូវទាំងនេះដោយប្រើ ការគណនាសាមញ្ញដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើមូលដ្ឋាននៃការពិតដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើលេខលើសពី 100 ហើយភាពខុសគ្នារវាងពួកគេគឺតិចជាង 1 បន្ទាប់មកដោយគ្មានកំហុសរសើប វាអាចត្រូវបានទទួលយកថា ភាពខុសគ្នារវាងលោការីតគឺសមាមាត្រទៅនឹងភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលត្រូវគ្នា។ . ជាឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវស្វែងរក mantissa ដែលត្រូវនឹងលេខ 5367។ ពិតណាស់ mantissa នេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងលេខ 536.7 ដែរ។ យើងរកឃើញនៅក្នុងតារាងសម្រាប់លេខ 536 mantissa 7292។ ការប្រៀបធៀប mantissa នេះជាមួយ mantissa 7300 នៅជាប់នឹងខាងស្តាំ។ ដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ 537 យើងកត់សំគាល់ថាប្រសិនបើលេខ 536 កើនឡើង 1 នោះ mantissa របស់វានឹងកើនឡើង 8 ដប់ពាន់ (8 ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃតារាងរវាង mantissas ជាប់គ្នាពីរ); ប្រសិនបើលេខ 536 កើនឡើង 0.7 នោះ mantissa របស់វានឹងកើនឡើងមិនមែន 8 ដប់ពាន់ទេ ប៉ុន្តែដោយមួយចំនួន ចំនួនតូចជាងX មួយម៉ឺន ដែលយោងទៅតាមសមាមាត្រសន្មត់ ត្រូវតែបំពេញសមាមាត្រ៖

X :8 = 0.7:1; កន្លែងណា X = 8 07 = 5,6,

ដែលត្រូវបានបង្គត់ទៅ 6 ដប់ពាន់។ នេះមានន័យថា mantissa សម្រាប់លេខ 536.7 (ហើយសម្រាប់លេខ 5367) នឹងមាន: 7292 + 6 = 7298 ។

ចំណាំថាការស្វែងរកលេខមធ្យមដោយប្រើលេខពីរនៅជាប់គ្នាក្នុងតារាងត្រូវបានគេហៅថា អន្តរប៉ូល។អន្តរប៉ូលដែលបានពិពណ៌នានៅទីនេះត្រូវបានគេហៅថា សមាមាត្រចាប់តាំងពីវាត្រូវបានផ្អែកលើការសន្មត់ថាការផ្លាស់ប្តូរលោការីតគឺសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងលេខ។ វាត្រូវបានគេហៅផងដែរថាលីនេអ៊ែរព្រោះវាសន្មតថាជាក្រាហ្វិកការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអនុគមន៍លោការីតត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

281. កំហុសដែនកំណត់នៃលោការីតប្រហាក់ប្រហែល។ប្រសិនបើលេខដែលលោការីតកំពុងត្រូវបានស្វែងរកគឺជាចំនួនពិតប្រាកដ នោះដែនកំណត់នៃកំហុសនៃលោការីតរបស់វាដែលមាននៅក្នុងតារាង 4 ខ្ទង់អាចត្រូវបានគេយក ដូចដែលយើងបាននិយាយនៅក្នុងនោះ។ 1 / 2 ផ្នែកដប់ពាន់។ ប្រសិនបើលេខនេះមិនពិតប្រាកដ នោះចំពោះដែនកំណត់នៃកំហុសនេះ យើងក៏ត្រូវតែបន្ថែមដែនកំណត់នៃកំហុសផ្សេងទៀតដែលបណ្តាលមកពីភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃលេខខ្លួនឯងផងដែរ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ (យើងលុបចោលភស្តុតាងនេះ) ដែលដែនកំណត់បែបនេះអាចត្រូវបានយកទៅធ្វើជាផលិតផល

ក(ឃ +1) មួយម៉ឺន។

នៅក្នុងនោះ។ ក គឺជារឹមនៃកំហុសសម្រាប់ចំនួនមិនច្បាស់លាស់បំផុត ដោយសន្មតថា ផ្នែកចំនួនគត់របស់វាមាន 3 ខ្ទង់, ក ឃ ភាពខុសគ្នាតារាងនៃ mantissas ដែលត្រូវគ្នានឹងលេខបីខ្ទង់ជាប់គ្នាពីរ ដែលលេខមិនច្បាស់លាស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះដែនកំណត់នៃកំហុសចុងក្រោយនៃលោការីតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

1 / 2 + ក(ឃ +1) មួយម៉ឺន

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកកំណត់ហេតុ π , ទទួលយក π លេខប្រហាក់ប្រហែល 3.14 ពិតប្រាកដទៅ 1 / 2 ទីរយ។

ការផ្លាស់ទីសញ្ញាក្បៀសបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទី 3 ក្នុងលេខ 3.14 ដោយរាប់ពីខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន លេខបីខ្ទង់ 314, ពិតប្រាកដ 1 / 2 ឯកតា; នេះមានន័យថារឹមនៃកំហុសសម្រាប់លេខមិនត្រឹមត្រូវ ពោលគឺអ្វីដែលយើងកំណត់ដោយអក្សរ ក , មាន 1 / 2 ពីតារាងយើងរកឃើញ៖

កំណត់ហេតុ 3.14 = 0.4969 ។

ភាពខុសគ្នានៃតារាង ឃ រវាង mantissas នៃលេខ 314 និង 315 គឺស្មើនឹង 14 ដូច្នេះកំហុសនៃលោការីតដែលបានរកឃើញនឹងតិចជាង

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = ៨ ម៉ឺន.

ដោយសារយើងមិនដឹងអំពីលោការីត 0.4969 ថាតើវាខ្វះ ឬលើស យើងអាចធានាបានតែលោការីតពិតប្រាកដ π ស្ថិតនៅចន្លោះ 0.4969 - 0.0008 និង 0.4969 + 0.0008 ពោលគឺ 0.4961< log π < 0,4977.

282. រកលេខដោយប្រើលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ដើម្បីស្វែងរកលេខដោយប្រើលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យ តារាងដូចគ្នាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរក mantissas នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលជាងក្នុងការប្រើតារាងផ្សេងទៀតដែលមានអ្វីដែលហៅថា antilogarithms ពោលគឺលេខដែលត្រូវនឹង mantissas ទាំងនេះ។ តារាងទាំងនេះដែលចង្អុលបង្ហាញដោយសិលាចារឹកនៅផ្នែកខាងលើ "antilogarithms" ត្រូវបានដាក់នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅនេះ បន្ទាប់ពីតារាងលោការីតមួយផ្នែកតូចត្រូវបានដាក់នៅលើទំព័រនេះ (សម្រាប់ការពន្យល់)។

ឧបមាថាអ្នកត្រូវបានផ្តល់លេខ 4 ខ្ទង់ mantissa 2863 (យើងមិនយកចិត្តទុកដាក់លើលក្ខណៈ) ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួនគត់ដែលត្រូវគ្នា។ បន្ទាប់មកដោយមានតារាង antilogarithms អ្នកត្រូវប្រើវាតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានពន្យល់ពីមុនដើម្បីស្វែងរក mantissa សម្រាប់លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពោលគឺយើងរកឃើញ 2 ខ្ទង់ដំបូងនៃ mantissa នៅក្នុងជួរឈរទីមួយនៅខាងឆ្វេង។ បន្ទាប់មកយើងផ្លាស់ទីពីលេខទាំងនេះតាមបន្ទាត់ផ្តេកទៅខាងស្តាំរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយជួរឈរបញ្ឈរដែលមកពីខ្ទង់ទី 3 នៃ mantissa ដែលត្រូវតែរកមើលនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើ (ឬខាងក្រោម) ។ នៅចំណុចប្រសព្វយើងរកឃើញលេខបួនខ្ទង់ 1932 ដែលត្រូវនឹងលេខ mantissa 286។ បន្ទាប់មកពីលេខនេះយើងផ្លាស់ទីបន្ថែមទៀតតាមបន្ទាត់ផ្ដេកទៅខាងស្តាំរហូតដល់ចំនុចប្រសព្វជាមួយជួរឈរបញ្ឈរដែលមកពីខ្ទង់ទី 4 នៃ mantissa ដែលត្រូវតែ ត្រូវបានរកឃើញនៅផ្នែកខាងលើ (ឬខាងក្រោម) ក្នុងចំណោមលេខ 1, 2 ដែលដាក់នៅទីនោះ , 3,... 9. នៅចំនុចប្រសព្វ យើងរកឃើញការកែតម្រូវ 1 ដែលត្រូវតែអនុវត្ត (ក្នុងចិត្ត) ចំពោះលេខ 1032 ដែលបានរកឃើញមុននេះតាមលំដាប់លំដោយ។ ដើម្បីទទួលបានលេខដែលត្រូវគ្នានឹង mantissa 2863 ។

ដូច្នេះលេខនឹងជាឆ្នាំ 1933 ។ បន្ទាប់ពីនេះដោយយកចិត្តទុកដាក់លើចរិតលក្ខណៈអ្នកត្រូវដាក់ការកាន់កាប់នៅកន្លែងត្រឹមត្រូវក្នុងលេខ 1933 ។ ឧទាហរណ៍៖

ប្រសិនបើ កំណត់ហេតុ x = 3.2863 បន្ទាប់មក X = 1933,

„ កំណត់ហេតុ x = 1,2863, „ X = 19,33,

, កំណត់ហេតុ x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ កំណត់ហេតុ x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

នេះជាឧទាហរណ៍ច្រើនទៀត៖

កំណត់ហេតុ x = 0,2287, X = 1,693,

កំណត់ហេតុ x = 1 ,7635, X = 0,5801,

កំណត់ហេតុ x = 3,5029, X = 3184,

កំណត់ហេតុ x = 2 ,0436, X = 0,01106.

ប្រសិនបើ mantissa មាន 5 ខ្ទង់ឬច្រើនជាងនេះ នោះយើងយកតែ 4 ខ្ទង់ដំបូងដោយបោះចោល (ហើយបង្កើនខ្ទង់ទី 4 ដោយ 1 ប្រសិនបើខ្ទង់ទី 5 មានប្រាំ ឬច្រើនជាងនេះ)។ ឧទាហរណ៍ជំនួសឱ្យ mantissa 35478 យើងយក 3548 ជំនួសឱ្យ 47562 យើងយក 4756 ។

283. ចំណាំ។ការកែតម្រូវសម្រាប់លេខទី 4 និងខ្ទង់បន្តបន្ទាប់នៃ mantissa ក៏អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈការ interpolation ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ mantissa គឺ 84357 បន្ទាប់មកដោយបានរកឃើញលេខ 6966 ដែលត្រូវគ្នានឹង mantissa 843 យើងអាចហេតុផលបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ mantissa កើនឡើង 1 (ពាន់) ពោលគឺវាធ្វើឱ្យ 844 បន្ទាប់មកចំនួនដូចជា អាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតារាងនឹងកើនឡើង 16 គ្រឿង; ប្រសិនបើ mantissa កើនឡើងមិនមែន 1 (ពាន់) ប៉ុន្តែដោយ 0.57 (ពាន់) នោះចំនួននឹងកើនឡើងដោយ X ឯកតា និង X ត្រូវតែបំពេញសមាមាត្រ៖

X : 16 = 0.57: 1 មកពីណា x = 16 0,57 = 9,12.

នេះមានន័យថាលេខដែលត្រូវការនឹងមាន 6966 + 9.12 = 6975.12 ឬ (កំណត់ត្រឹមបួនខ្ទង់) 6975 ។

284. ដែនកំណត់កំហុសនៃលេខដែលបានរកឃើញ។វាត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងករណីនៅពេលដែលនៅក្នុងលេខដែលបានរកឃើញ សញ្ញាក្បៀសគឺបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទី 3 ពីខាងឆ្វេង ពោលគឺនៅពេលដែលលក្ខណៈនៃលោការីតគឺ 2 ផលបូកអាចត្រូវបានយកជាដែនកំណត់នៃកំហុស។

កន្លែងណា ក គឺជាដែនកំណត់កំហុសនៃលោការីត (បង្ហាញជាដប់ពាន់) ដែលលេខត្រូវបានរកឃើញ និង ឃ - ភាពខុសគ្នារវាង mantissas នៃចំនួនបីខ្ទង់ជាប់គ្នារវាងលេខដែលបានរកឃើញស្ថិតនៅ (ដោយសញ្ញាក្បៀសបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទី 3 ពីខាងឆ្វេង) ។ នៅពេលដែលលក្ខណៈមិនមែន 2 ប៉ុន្តែមួយចំនួនផ្សេងទៀត នោះនៅក្នុងលេខដែលបានរកឃើញ សញ្ញាក្បៀសនឹងត្រូវផ្លាស់ទីទៅខាងឆ្វេង ឬទៅខាងស្តាំ ពោលគឺ ចែក ឬគុណលេខដោយអំណាចមួយចំនួននៃ 10។ ក្នុងករណីនេះ កំហុស នៃលទ្ធផលក៏នឹងត្រូវបានបែងចែក ឬគុណដោយកម្លាំងដូចគ្នានៃ 10 ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងកំពុងស្វែងរកលេខដោយប្រើលោការីត 1,5950 ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាមានភាពត្រឹមត្រូវដល់ 3 ដប់ពាន់; នោះមានន័យថា ក = 3 . លេខដែលត្រូវគ្នានឹងលោការីតនេះ រកឃើញពីតារាង antilogarithms គឺ 39,36 . ការផ្លាស់ទីសញ្ញាក្បៀសបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទី 3 ពីខាងឆ្វេងយើងមានលេខ 393,6 , រួមបញ្ចូលរវាង 393 និង 394 . ពីតារាងលោការីតយើងឃើញថាភាពខុសគ្នារវាង mantissas ដែលត្រូវនឹងលេខទាំងពីរនេះគឺ 11 មួយម៉ឺន; មធ្យោបាយ ឃ = 11 . កំហុសនៃលេខ 393.6 នឹងតិចជាង

នេះមានន័យថាកំហុសក្នុងលេខ 39,36 វានឹងមានតិចជាង 0,05 .

285. ប្រតិបត្តិការលើលោការីតដែលមានលក្ខណៈអវិជ្ជមាន។ការបូកនិងដកលោការីតមិនបង្ហាញពីការលំបាកណាមួយទេ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

វាក៏មិនមានការលំបាកក្នុងការគុណលោការីតដោយចំនួនវិជ្ជមានដែរ ឧទាហរណ៍៖

IN ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយគុណដោយឡែកពីគ្នានូវ mantissa វិជ្ជមានដោយ 34 បន្ទាប់មក លក្ខណៈអវិជ្ជមាននៅ 34 ។

ប្រសិនបើលោការីតនៃលក្ខណៈអវិជ្ជមាន និង mantissa វិជ្ជមានត្រូវបានគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកបន្តតាមពីរវិធី៖ ទាំងលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានប្រែជាអវិជ្ជមានដំបូង ឬ mantissa និងលក្ខណៈត្រូវបានគុណដោយឡែកពីគ្នា ហើយលទ្ធផលត្រូវបានផ្សំជាមួយគ្នាឧទាហរណ៍ :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

នៅពេលបែងចែកករណីពីរអាចកើតឡើង៖ 1) លក្ខណៈអវិជ្ជមានត្រូវបានបែងចែក 2) មិនត្រូវបានបែងចែកដោយផ្នែកទេ។ ក្នុងករណីដំបូងលក្ខណៈនិង mantissa ត្រូវបានបំបែកដោយឡែកពីគ្នា:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

ក្នុងករណីទី 2 ឯកតាអវិជ្ជមានជាច្រើនត្រូវបានបន្ថែមទៅលក្ខណៈដូច្នេះលេខលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយអ្នកចែក; ចំនួនដូចគ្នានៃឯកតាវិជ្ជមានត្រូវបានបន្ថែមទៅ mantissa:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

ការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវតែធ្វើនៅក្នុងចិត្ត ដូច្នេះសកម្មភាពគឺដូចនេះ៖

286. ការជំនួសលោការីតដកដោយពាក្យ។នៅពេលគណនាមួយចំនួន កន្សោមស្មុគស្មាញដោយប្រើលោការីត អ្នកត្រូវតែបន្ថែមលោការីតមួយចំនួន ដកផ្សេងទៀត; ក្នុងករណីនេះ ក្នុងវិធីធម្មតានៃសកម្មភាព គេរកឃើញផលបូកនៃលោការីតបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា បន្ទាប់មកផលបូកនៃដក ហើយដកទីពីរពីផលបូកទីមួយ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើយើងមាន៖

កំណត់ហេតុ X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

បន្ទាប់មកការអនុវត្តសកម្មភាពធម្មតានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចជំនួសការដកដោយការបូក។ ដូច្នេះ៖

ឥឡូវអ្នកអាចរៀបចំការគណនាដូចនេះ៖

287. ឧទាហរណ៍នៃការគណនា។

ឧទាហរណ៍ ១. វាយតម្លៃការបញ្ចេញមតិ៖

ប្រសិនបើ A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127និង ឃ = 7.246 ។

ចូរយើងយកលោការីត កន្សោមនេះ។:

កំណត់ហេតុ X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

ឥឡូវនេះ ដើម្បីជៀសវាងការបាត់បង់ពេលវេលាដែលមិនចាំបាច់ និងដើម្បីកាត់បន្ថយលទ្ធភាពនៃកំហុស ជាដំបូងយើងនឹងរៀបចំការគណនាទាំងអស់ដោយមិនអនុវត្តវាឥឡូវនេះ ហើយដូច្នេះដោយមិនសំដៅលើតារាង៖

បន្ទាប់ពីនេះយើងយកតារាងហើយដាក់លោការីតនៅលើនៅសល់ កន្លែងទំនេរ:

ដែនកំណត់កំហុស។ដំបូងយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃកំហុសនៃលេខ x 1 = 194,5 , ស្មើនឹង៖

ដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ក ឧ. ដែនកំណត់កំហុសនៃលោការីតប្រហាក់ប្រហែល ដែលបានបង្ហាញជាដប់ពាន់។ ចូរយើងសន្មតថាលេខទាំងនេះ A, B, Cនិង ឃទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវ។ បន្ទាប់មកកំហុសនៅក្នុងលោការីតបុគ្គលនឹងមានដូចខាងក្រោម (ក្នុងដប់ពាន់):

វ logA.......... 1 / 2

វ ១/៣ កំណត់ហេតុ ក......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 បានបន្ថែមដោយសារតែនៅពេលបែងចែកដោយលោការីត 3 នៃ 1.9146 យើងបានបង្គត់កូតានដោយបោះបង់ខ្ទង់ទី 5 របស់វា ហើយដូច្នេះបានធ្វើឱ្យមានកំហុសតូចជាង 1 / 2 ដប់ពាន់) ។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដែនកំណត់កំហុសនៃលោការីត៖

ក = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (មួយម៉ឺន) ។

ចូរយើងកំណត់បន្ថែមទៀត ឃ . ដោយសារតែ x 1 = 194,5 បន្ទាប់មក 2 ចំនួនគត់ លេខជាប់គ្នា។រវាងអ្វីដែលកុហក x 1 នឹង 194 និង 195 . ភាពខុសគ្នានៃតារាង ឃ រវាង mantissas ដែលត្រូវគ្នានឹងលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹង 22 . នេះមានន័យថាដែនកំណត់នៃកំហុសនៃលេខគឺ x 1 មាន៖

ដោយសារតែ x = x 1 : 10 បន្ទាប់មកដែនកំណត់កំហុសនៅក្នុងលេខ x ស្មើ 0,3:10 = 0,03 . ដូច្នេះចំនួនដែលយើងបានរកឃើញ 19,45 ខុសគ្នាពីចំនួនពិតប្រាកដដោយតិចជាង 0,03 . ដោយសារយើងមិនដឹងថាតើការប៉ាន់ស្មានរបស់យើងត្រូវបានរកឃើញថាមានកង្វះខាត ឬលើសនោះ យើងគ្រាន់តែអាចធានាបាន។

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , i.e.

19,48 > X > 19,42 ,

ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើយើងទទួលយក X =19,4 បន្ទាប់មកយើងនឹងមានការប៉ាន់ប្រមាណជាមួយគុណវិបត្តិដែលមានភាពត្រឹមត្រូវរហូតដល់ 0.1 ។

ឧទាហរណ៍ ២.គណនា៖

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

ដោយសារតែ លេខអវិជ្ជមានមិនមានលោការីត បន្ទាប់មកយើងរកឃើញដំបូង៖

X" = (2,31) 3 5 √72

ដោយការរលួយ៖

កំណត់ហេតុ X"= 3 log 2.31 + 1/5 log72.

បន្ទាប់ពីការគណនាវាប្រែជា៖

X" = 28,99 ;

ហេតុនេះ

x = - 28,99 .

ឧទាហរណ៍ ៣. គណនា៖

មិន​អាច​ប្រើ​លោការីត​បន្ត​នៅ​ទីនេះ​បាន​ទេ ព្រោះ​សញ្ញា​នៃ​ឫស​គឺ c u m m a ។ ក្នុងករណីបែបនេះគណនារូបមន្តដោយផ្នែក។

ដំបូងយើងរកឃើញ ន = 5 √8 , បន្ទាប់មក ន 1 = 4 √3 ; បន្ទាប់មកដោយការបន្ថែមសាមញ្ញយើងកំណត់ ន+ ន 1 ហើយទីបំផុតយើងគណនា 3 √ន+ ន 1 ; វាប្រែថា:

N=1.514, ន 1 = 1,316 ; ន+ ន 1 = 2,830 .

កំណត់ហេតុ x= កំណត់ហេតុ 3 √ 2,830 = 1 / 3 កំណត់ហេតុ 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

ជំពូកទីបួន។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត។

288. សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងនិទស្សន្ត និង លោការីត- អ្នកដែលមិនស្គាល់ចូលនៅក្រោមសញ្ញា កំណត់ហេតុ. សមីការបែបនេះអាចដោះស្រាយបានតែក្នុងករណីពិសេសប៉ុណ្ណោះ ហើយគេត្រូវពឹងផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត និងលើគោលការណ៍ថា ប្រសិនបើលេខស្មើគ្នា នោះលោការីតរបស់វាស្មើគ្នា ហើយផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើលោការីតស្មើគ្នា នោះត្រូវគ្នា។ លេខគឺស្មើគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយសមីការ៖ 2 x = 1024 .

ចូរយើងគណនាលោការីតទាំងសងខាងនៃសមីការ៖

ឧទាហរណ៍ ២.ដោះស្រាយសមីការ៖ ក 2x - ក x = 1 . ការដាក់ ក x = នៅ យើងទទួលបានសមីការការ៉េ៖

y 2 - នៅ - 1 = 0 ,

ដោយសារតែ 1-√5 < 0 បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយគឺមិនអាចទៅរួចទេ (មុខងារ ក x វាតែងតែមានលេខវិជ្ជមាន) ហើយទីមួយផ្តល់ឱ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣.ដោះស្រាយសមីការ៖

កំណត់ហេតុ( ក + x) + កំណត់ហេតុ ( b + x) = កំណត់ហេតុ ( គ + x) .

សមីការអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

កំណត់ហេតុ[( ក + x) (b + x)] = កំណត់ហេតុ ( គ + x) .

ពីសមភាពនៃលោការីតយើងសន្និដ្ឋានថាចំនួនគឺស្មើគ្នា:

(ក + x) (b + x) = គ + x .

នេះគឺជាសមីការ quadratic ដំណោះស្រាយមិនពិបាកទេ។

ជំពូកទីប្រាំ។

ការប្រាក់រួម ការទូទាត់រយៈពេល និងការទូទាត់តាមកាលកំណត់។

289. បញ្ហាមូលដ្ឋានលើការប្រាក់រួម។តើ​រាជធានី​នឹង​ក្លាយ​ទៅ​ជា​ប៉ុន្មាន? ក rubles ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងកំណើននៅ r ការប្រាក់រួម, បន្ទាប់ពី t ឆ្នាំ ( t - ចំនួនគត់)?

ពួកគេនិយាយថា ដើមទុនត្រូវបានបង់ដោយការប្រាក់រួម ប្រសិនបើគេហៅថា “ការប្រាក់លើការប្រាក់” ត្រូវបានគេយកមកគិត ពោលគឺប្រសិនបើប្រាក់ដែលត្រូវបង់លើដើមទុនត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុននៅចុងឆ្នាំនីមួយៗ ដើម្បីបង្កើន វាជាមួយនឹងការចាប់អារម្មណ៍ក្នុងឆ្នាំបន្តបន្ទាប់។

រាល់រូប្លនៃដើមទុនដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្ងាយ r % នឹងនាំមកនូវប្រាក់ចំណេញក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ ទំ / 100 ruble ហើយដូច្នេះរាល់ ruble នៃដើមទុនក្នុងរយៈពេល 1 ឆ្នាំនឹងប្រែទៅជា 1 + ទំ / 100 ruble (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើដើមទុនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅ 5 % បន្ទាប់មករាល់រូប្លិរបស់វាក្នុងមួយឆ្នាំនឹងប្រែទៅជា 1 + 5 / 100 , ឧ 1,05 ruble) ។

សម្រាប់ភាពសង្ខេប តំណាងឱ្យប្រភាគ ទំ / 100 ឧទាហរណ៍ជាមួយអក្សរមួយ r យើង​អាច​និយាយ​បាន​ថា​រាល់​រូបិយ​ប័ណ្ណ​នៃ​ដើមទុន​ក្នុង​មួយ​ឆ្នាំ​នឹង​ប្រែ​ក្លាយ​ទៅ​ជា​ 1 + r rubles; ហេតុនេះ ក rubles នឹងត្រូវបានប្រគល់មកវិញក្នុងរយៈពេល 1 ឆ្នាំ។ ក (1 + r ) ជូត។ បន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀត ពោលគឺ 2 ឆ្នាំចាប់ពីការចាប់ផ្តើមនៃកំណើន រាល់រូបិយបណ្ណទាំងនេះ ក (1 + r ) ជូត។ នឹងទាក់ទងម្តងទៀត 1 + r ជូត។ ; នេះមានន័យថាដើមទុនទាំងអស់នឹងប្រែទៅជា ក (1 + r ) 2 ជូត។ ដូច​គ្នា​នេះ​ដែរ យើង​រក​ឃើញ​ថា បន្ទាប់​ពី​បី​ឆ្នាំ រាជធានី​នឹង​មាន ក (1 + r ) 3 ក្នុងរយៈពេលបួនឆ្នាំវានឹងមាន ក (1 + r ) 4 , ... ជាទូទៅតាមរយៈ t ឆ្នាំប្រសិនបើ t ជាចំនួនគត់ វានឹងប្រែទៅជា ក (1 + r ) tជូត។ ដូច្នេះតំណាងដោយ កដើមទុនចុងក្រោយយើងនឹងមាន រូបមន្តខាងក្រោមការប្រាក់រួម៖

ក = ក (1 + r ) tកន្លែងណា r = ទំ / 100 .

ឧទាហរណ៍។អនុញ្ញាតឱ្យ ក =2,300 ជូត។ ទំ = 4, t=20 ឆ្នាំ; បន្ទាប់មករូបមន្តផ្តល់ឱ្យ៖

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) ២០.

ដើម្បីគណនា កយើងប្រើលោការីត៖

កំណត់ហេតុ ក = log 2 300 + 20 log 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617 + 0.3400 = 3.7017 ។

A = 5031 ruble ។

មតិយោបល់។ក្នុងឧទាហរណ៍នេះយើងត្រូវ កំណត់ហេតុ 1.04គុណនឹង 20 . ចាប់តាំងពីលេខ 0,0170 មានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល កំណត់ហេតុ 1.04រហូតដល់ 1 / 2 ដប់ពាន់ផ្នែកបន្ទាប់មកផលគុណនៃលេខនេះដោយ 20 វាច្បាស់ជាមានតែរហូតដល់ 1 / 2 20 ពោលគឺរហូតដល់ 10 ដប់ពាន់ = 1 ពាន់។ ដូច្នេះសរុប 3,7017 យើង​មិន​អាច​ធានា​មិន​ត្រឹម​តែ​សម្រាប់​ចំនួន​មួយ​ម៉ឺន​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ក៏​សម្រាប់​ចំនួន​ពាន់​ដែរ។ ដូច្នេះក្នុងករណីបែបនេះវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបាន ភាពត្រឹមត្រូវកាន់តែច្រើន, ប្រសើរជាងសម្រាប់លេខ 1 + r យកលោការីតមិនមែន 4 ខ្ទង់ទេ ប៉ុន្តែជាមួយ មួយចំនួនធំលេខ, ឧ។ ៧ ខ្ទង់។ ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងបង្ហាញនៅទីនេះនូវតារាងតូចមួយដែលលោការីត 7 ខ្ទង់ត្រូវបានសរសេរចេញសម្រាប់តម្លៃទូទៅបំផុត r .

290. ភារកិច្ចចម្បងគឺសម្រាប់ការទូទាត់បន្ទាន់។មាននរណាម្នាក់បានយក ក rubles ក្នុងមួយ r % ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌក្នុងការសងបំណុល រួមជាមួយនឹងការប្រាក់ដែលត្រូវបង់លើវានៅក្នុង t ឆ្នាំ ដោយបង់ចំនួនដូចគ្នានៅចុងឆ្នាំនីមួយៗ។ តើចំនួននេះគួរជាអ្វី?

ផលបូក x ដែលត្រូវបានបង់ជារៀងរាល់ឆ្នាំក្រោមលក្ខខណ្ឌបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាការទូទាត់បន្ទាន់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ម្តងទៀតដោយអក្សរ r ប្រាក់ការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំចាប់ពី 1 ជូត។ ពោលគឺលេខ ទំ / 100 . បន្ទាប់មកនៅចុងឆ្នាំដំបូងបំណុល ក កើនឡើងដល់ ក (1 + r ), ការទូទាត់ជាមូលដ្ឋាន X វានឹងត្រូវចំណាយប្រាក់ rubles ក (1 + r )-X .

នៅចុងឆ្នាំទី 2 រាល់រូប្លនៃចំនួននេះនឹងប្រែទៅជាម្តងទៀត 1 + r rubles ហើយដូច្នេះបំណុលនឹងត្រូវបាន [ ក (1 + r )-X ](1 + r ) = ក (1 + r ) 2 - x (1 + r ) និងសម្រាប់ការទូទាត់ x rubles នឹងមានៈ ក (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . ដូចគ្នាដែរ យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថា នៅចុងឆ្នាំទី 3 បំណុលនឹងមាន

ក (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

ហើយជាទូទៅនិងចុងបញ្ចប់ t ឆ្នាំវានឹងប្រែទៅជា៖

ក (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , ឬ

ក (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

ពហុធានៅខាងក្នុងវង់ក្រចកតំណាងឱ្យផលបូកនៃពាក្យ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ; ដែលមានសមាជិកដំបូង 1 ចុងក្រោយ ( 1 + r ) t -1, និងភាគបែង ( 1 + r ) ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (ផ្នែកទី 10 ជំពូកទី 3 § 249) យើងរកឃើញ៖

និងចំនួនបំណុលបន្ទាប់ t - ការទូទាត់នឹងមានៈ

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាបំណុលគឺនៅទីបញ្ចប់ t - ឆ្នាំត្រូវស្មើនឹង 0 ; នោះហើយជាមូលហេតុ៖

កន្លែងណា

នៅពេលគណនានេះ។ រូបមន្តទូទាត់បន្ទាន់ដោយប្រើលោការីត យើងត្រូវស្វែងរកលេខជំនួយជាមុនសិន ន = (1 + r ) tដោយលោការីត៖ កំណត់ហេតុ N = tកំណត់ហេតុ(1+ r) ; បានរកឃើញ នដក 1 ចេញពីវា បន្ទាប់មកយើងទទួលបានភាគបែងនៃរូបមន្តសម្រាប់ X បន្ទាប់ពីនោះយើងរកឃើញដោយលោការីតបន្ទាប់បន្សំ៖

កំណត់ហេតុ X=កំណត់ហេតុ ក+ log N + log r - log (N - 1).

291. ភារកិច្ចចម្បងសម្រាប់ការរួមចំណែករយៈពេល។មាននរណាម្នាក់ដាក់ប្រាក់ដូចគ្នាទៅក្នុងធនាគារនៅដើមឆ្នាំនីមួយៗ។ ក ជូត។ កំណត់ថាតើដើមទុនណាមួយនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងពីការរួមចំណែកទាំងនេះបន្ទាប់ពី t ឆ្នាំប្រសិនបើធនាគារបង់ r ការប្រាក់រួម។

កំណត់ដោយ r ប្រាក់​ការ​ប្រាក់​ប្រចាំ​ឆ្នាំ​ចាប់​ពី 1 rubles, i.e. ទំ / 100 យើង​លើក​ហេតុផល​ដូចនេះ៖ នៅ​ដំណាច់​ឆ្នាំ​ដំបូង រាជធានី​នឹង​មាន ក (1 + r );

នៅដើមឆ្នាំទី 2 នឹងត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងចំនួននេះ។ ក rubles; នេះមានន័យថានៅពេលនេះដើមទុននឹងមាន ក (1 + r ) + ក . នៅចុងឆ្នាំទី 2 គាត់នឹងក្លាយជា ក (1 + r ) 2 + ក (1 + r );

នៅដើមឆ្នាំទី 3 វាត្រូវបានបញ្ចូលម្តងទៀត ក rubles; នេះមានន័យថានៅពេលនេះនឹងមានដើមទុន ក (1 + r ) 2 + ក (1 + r ) + ក ; នៅចុងបញ្ចប់នៃថ្ងៃទី 3 គាត់នឹងក្លាយជា ក (1 + r ) 3 + ក (1 + r ) 2 + ក (1 + r ) ការបន្តអំណះអំណាងទាំងនេះបន្ថែមទៀត យើងឃើញថានៅទីបញ្ចប់ t ឆ្នាំនៃដើមទុនដែលត្រូវការ កនឹង៖

នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ការរួមចំណែករយៈពេលដែលបានធ្វើឡើងនៅដើមឆ្នាំនីមួយៗ។

រូបមន្តដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយហេតុផលដូចខាងក្រោមៈ ការទូទាត់ចុះក្រោមទៅ ក rubles ពេលនៅក្នុងធនាគារ t ឆ្នាំនឹងប្រែទៅដោយរូបមន្តការប្រាក់រួម ក (1 + r ) tជូត។ ការដំឡើងទីពីរគឺនៅក្នុងធនាគារសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំតិចជាង, i.e. t - 1 អាយុ, ទំនាក់ទំនង ក (1 + r ) t- 1ជូត។ ដូចគ្នានេះដែរការដំឡើងទីបីនឹងផ្តល់ឱ្យ ក (1 + r ) t-2ល. ហើយចុងក្រោយការបង់រំលោះចុងក្រោយដោយបាននៅក្នុងធនាគារត្រឹមតែ 1 ឆ្នាំនឹងទៅ ក (1 + r ) ជូត។ នេះមានន័យថាដើមទុនចុងក្រោយ កជូត។ នឹង៖

ក= ក (1 + r ) t + ក (1 + r ) t- 1 + ក (1 + r ) t-2 + . . . + ក (1 + r ),

ដែលបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ផ្តល់នូវរូបមន្តដែលបានរកឃើញខាងលើ។

នៅពេលគណនាដោយប្រើលោការីតនៃរូបមន្តនេះ អ្នកត្រូវតែបន្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងពេលគណនារូបមន្តសម្រាប់ការទូទាត់ជាបន្ទាន់ ពោលគឺដំបូងរកលេខ N = ( 1 + r ) tដោយលោការីតរបស់វា៖ កំណត់ហេតុ N = tកំណត់ហេតុ(1 + r ) បន្ទាប់មកលេខ ន-១ហើយបន្ទាប់មកយកលោការីតនៃរូបមន្ត៖

log A = កំណត់ហេតុ ក+កំណត់ហេតុ(1+ r) + កំណត់ហេតុ (N - 1) - 1оgr

មតិយោបល់។ប្រសិនបើការរួមចំណែកជាបន្ទាន់ទៅ ក ជូត។ មិនត្រូវបានធ្វើឡើងនៅដើមដំបូងឡើយ ប៉ុន្តែនៅចុងឆ្នាំនីមួយៗ (ឧទាហរណ៍ ការទូទាត់ជាបន្ទាន់ត្រូវបានធ្វើឡើង X ដើម្បីសងបំណុល) បន្ទាប់មកការវែកញែកស្រដៀងគ្នាទៅនឹងរឿងមុន យើងឃើញថានៅទីបញ្ចប់ t ឆ្នាំនៃដើមទុនដែលត្រូវការ ក"ជូត។ នឹងត្រូវបាន (រួមទាំងការដំឡើងចុងក្រោយ ក ជូត។ ដោយមិនមានការប្រាក់)៖

ក"= ក (1 + r ) t- 1 + ក (1 + r ) t-2 + . . . + ក (1 + r ) + ក

ដែលស្មើនឹង៖

i.e. ក"បញ្ចប់នៅក្នុង ( 1 + r ) ដងតិចជាង កដែលត្រូវបានគេរំពឹងទុកចាប់តាំងពីរាល់រូប្លនៃដើមទុន ក"ស្ថិតនៅក្នុងធនាគារសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំតិចជាងប្រាក់រូប្លែដែលត្រូវគ្នានៃដើមទុន ក.