រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

ខ្ញុំនឹងមិនព្យាយាមបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកឱ្យសរសេរសន្លឹកបន្លំទេ។ សរសេរ! រួមទាំងសន្លឹកបន្លំនៅលើត្រីកោណមាត្រ។ ក្រោយមក ខ្ញុំមានគម្រោងពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាត្រូវការសន្លឹកបន្លំ និងហេតុអ្វីបានជាសន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍។ ហើយនេះគឺជាព័ត៌មានអំពីរបៀបមិនរៀន ប៉ុន្តែត្រូវចងចាំរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន។ ដូច្នេះ - ត្រីកោណមាត្រដោយគ្មានសន្លឹកបន្លំយើងប្រើសមាគមសម្រាប់ទន្ទេញចាំ។

1. រូបមន្តបន្ថែម៖

កូស៊ីនុសតែងតែ "មកជាគូ"៖ កូស៊ីនុស-កូស៊ីនុស, ស៊ីនុ-ស៊ីនុស។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ កូស៊ីនុសគឺ "មិនគ្រប់គ្រាន់" ។ "អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនត្រឹមត្រូវ" សម្រាប់ពួកគេ ដូច្នេះពួកគេផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា: "-" ទៅ "+" និងច្រាសមកវិញ។

ប្រហោងឆ្អឹង - "លាយ": ស៊ីនុ-កូស៊ីនុស, កូស៊ីនុស-ស៊ីនុស។

2. រូបមន្តបូក និងភាពខុសគ្នា៖

កូស៊ីនុសតែងតែ "មកជាគូ" ។ ដោយបន្ថែមកូស៊ីនុសពីរ - "koloboks" យើងទទួលបានកូស៊ីនុសមួយគូ - "koloboks" ។ ហើយដោយការដក យើងប្រាកដជាមិនទទួលបាន koloboks ណាមួយឡើយ។ យើងទទួលបានស៊ីនុសពីរបី។ ផងដែរជាមួយនឹងដកនៅខាងមុខ។

ប្រហោងឆ្អឹង - "លាយ" :

3. រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងផលិតផលទៅជាផលបូក និងភាពខុសគ្នា។

តើយើងទទួលបានគូកូស៊ីនុសនៅពេលណា? នៅពេលយើងបន្ថែមកូស៊ីនុស។ នោះហើយជាមូលហេតុ

តើនៅពេលណាដែលយើងទទួលបានស៊ីនុសពីរ? នៅពេលដកកូស៊ីនុស។ ពីទីនេះ៖

"ការលាយ" ត្រូវបានទទួលទាំងនៅពេលបូក និងដកស៊ីនុស។ តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ការ​សប្បាយ​ជាង​នេះ​: បូក​ឬ​ដក​? ត្រូវហើយ បត់។ ហើយសម្រាប់រូបមន្តពួកគេយកបន្ថែម៖

នៅក្នុងរូបមន្តទីមួយ និងទីបី ផលបូកគឺនៅក្នុងវង់ក្រចក។ ការរៀបចំកន្លែងនៃលក្ខខណ្ឌមិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកទេ។ លំដាប់គឺសំខាន់សម្រាប់តែរូបមន្តទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ ក្នុងរូបមន្តទាំងបីក្នុងតង្កៀបទីមួយ យើងយកភាពខុសគ្នា

និងទីពីរ - ចំនួនទឹកប្រាក់

សន្លឹកបន្លំនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នកផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវសន្តិភាពនៃចិត្ត: ប្រសិនបើអ្នកភ្លេចរូបមន្ត អ្នកអាចចម្លងវាបាន។ ហើយពួកគេផ្តល់ទំនុកចិត្តដល់អ្នក៖ ប្រសិនបើអ្នកបរាជ័យក្នុងការប្រើប្រាស់សន្លឹកបន្លំ អ្នកអាចចងចាំរូបមន្តបានយ៉ាងងាយស្រួល។

យើងបន្តការសន្ទនារបស់យើងអំពីរូបមន្តដែលប្រើច្រើនបំផុតក្នុងត្រីកោណមាត្រ។ សំខាន់បំផុតនៃពួកគេគឺរូបមន្តបន្ថែម។

និយមន័យ ១

រូបមន្តបន្ថែមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្ហាញមុខងារនៃភាពខុសគ្នាឬផលបូកនៃមុំពីរដោយប្រើ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមុំទាំងនេះ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយយើងនឹងផ្តល់ឱ្យ បញ្ជីពេញលេញរូបមន្តបន្ថែម បន្ទាប់មកយើងនឹងបង្ហាញពួកវា និងវិភាគឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

Yandex.RTB R-A-339285-1

រូបមន្តបន្ថែមជាមូលដ្ឋានក្នុងត្រីកោណមាត្រ

មានរូបមន្តមូលដ្ឋានចំនួនប្រាំបី៖ ស៊ីនុសនៃផលបូក និងស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នានៃមុំពីរ កូស៊ីនុសនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃផលបូក និងភាពខុសគ្នារៀងគ្នា។ ខាងក្រោមនេះគឺជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងការគណនារបស់ពួកគេ។

1. ស៊ីនុសនៃផលបូកនៃមុំពីរអាចទទួលបាន ដូចខាងក្រោម:

យើងគណនាផលិតផលនៃស៊ីនុសនៃមុំទីមួយ និងកូស៊ីនុសទីពីរ;

គុណកូស៊ីនុសនៃមុំទីមួយដោយស៊ីនុសនៃទីមួយ;

បន្ថែមតម្លៃលទ្ធផល។

ការសរសេរក្រាហ្វិកនៃរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. ស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នាត្រូវបានគណនាស្ទើរតែដូចគ្នា មានតែផលិតផលលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលមិនគួរត្រូវបានបន្ថែម ប៉ុន្តែត្រូវដកពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះ យើងគណនាផលិតផលនៃស៊ីនុសនៃមុំទីមួយ និងកូស៊ីនុសនៃមុំទីពីរ និងកូស៊ីនុសនៃមុំទីមួយ និងស៊ីនុសនៃទីពីរ ហើយរកឃើញភាពខុសគ្នារបស់វា។ រូបមន្តត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖ sin (α − β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. កូស៊ីនុសនៃផលបូក។ សម្រាប់វា យើងរកឃើញផលិតផលនៃកូស៊ីនុសនៃមុំទីមួយដោយកូស៊ីនុសនៃទីពីរ និងស៊ីនុសនៃមុំទីមួយដោយស៊ីនុសនៃទីពីរ រៀងគ្នា ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ៖ cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. កូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា៖ គណនាផលិតផលនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះ ដូចពីមុន ហើយបន្ថែមពួកវា។ រូបមន្ត៖ cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β

5. តង់សង់នៃផលបូក។ រូបមន្តនេះត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគ ភាគយកដែលជាផលបូកនៃតង់សង់នៃមុំដែលត្រូវការ ហើយភាគបែងគឺជាឯកតាដែលផលគុណនៃតង់សង់នៃមុំដែលចង់បានត្រូវបានដក។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ពីសញ្ញាណក្រាហ្វិករបស់វា៖ t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. តង់សង់នៃភាពខុសគ្នា។ យើងគណនាតម្លៃនៃភាពខុសគ្នា និងផលិតផលនៃតង់សង់នៃមុំទាំងនេះ ហើយបន្តជាមួយពួកគេ។ តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា. នៅក្នុងភាគបែងយើងបន្ថែមទៅមួយ ហើយមិនផ្ទុយមកវិញ៖ t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. កូតង់សង់នៃផលបូក។ ដើម្បីគណនាដោយប្រើរូបមន្តនេះ យើងនឹងត្រូវការផលិតផល និងផលបូកនៃកូតង់សង់នៃមុំទាំងនេះ ដែលយើងបន្តដូចខាងក្រោម៖ c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. កូតង់សង់នៃភាពខុសគ្នា . រូបមន្តគឺស្រដៀងនឹងលេខមុន ប៉ុន្តែភាគយក និងភាគបែងគឺដក មិនមែនបូក c t g (α − β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β ។

អ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ឃើញថារូបមន្តទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នាជាគូ។ ដោយប្រើសញ្ញា ± (បូក-ដក) និង ∓ (ដក-បូក) យើងអាចដាក់ជាក្រុមសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការថត៖

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = − 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

ដូច្នោះហើយ យើងមានរូបមន្តកត់ត្រាមួយសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃតម្លៃនីមួយៗ គ្រាន់តែក្នុងករណីមួយ យើងយកចិត្តទុកដាក់លើសញ្ញាខាងលើ មួយទៀត - ទៅសញ្ញាទាប។

និយមន័យ ២

យើងអាចយកមុំណាមួយ α និង β ហើយរូបមន្តបន្ថែមសម្រាប់កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនឹងដំណើរការសម្រាប់ពួកគេ។ ប្រសិនបើយើងអាចកំណត់បានត្រឹមត្រូវនូវតម្លៃនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំទាំងនេះ នោះរូបមន្តបន្ថែមសម្រាប់តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នឹងមានសុពលភាពសម្រាប់ពួកវាផងដែរ។

ដូចគោលគំនិតភាគច្រើននៅក្នុងពិជគណិត រូបមន្តបន្ថែមអាចត្រូវបានបញ្ជាក់។ រូបមន្តដំបូងដែលយើងនឹងបង្ហាញគឺភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តកូស៊ីនុស។ ភស្តុតាងដែលនៅសល់អាចត្រូវបានកាត់ចេញយ៉ាងងាយស្រួលពីវា។

ចូរយើងពន្យល់ពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។ យើងនឹងត្រូវការ រង្វង់ឯកតា. វានឹងដំណើរការប្រសិនបើយើងយកចំណុច A ជាក់លាក់មួយ ហើយបង្វិលមុំ α និង β ជុំវិញកណ្តាល (ចំណុច O) ។ បន្ទាប់មកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ O A 1 → និង O A → 2 នឹងស្មើនឹង (α - β) + 2 π · z ឬ 2 π - (α - β) + 2 π · z (z គឺជាចំនួនគត់ណាមួយ) ។ វ៉ិចទ័រលទ្ធផលបង្កើតជាមុំដែលស្មើនឹង α - β ឬ 2 π - (α - β) ឬវាអាចខុសគ្នាពីតម្លៃទាំងនេះដោយចំនួនគត់ បដិវត្តន៍ពេញលេញ. សូមទស្សនារូបភាព៖

យើងបានប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ ហើយទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

cos ((α − β) + 2 π z) = cos (α − β) cos (2 π − (α − β) + 2 π z) = cos (α − β)

លទ្ធផល៖ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ O A 1 → និង O A 2 → គឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំ α - β ដូច្នេះ cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) ។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ ស៊ីនុសគឺជាមុខងារនៃមុំ ស្មើនឹងសមាមាត្រជើងនៃមុំផ្ទុយទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស កូស៊ីនុស គឺជាស៊ីនុសនៃមុំបំពេញ។ ដូច្នេះចំណុច ក ១និង ក ២មានកូអរដោណេ (cos α, sin α) និង (cos β, sin β) ។

យើងទទួលបានដូចខាងក្រោមៈ

O A 1 → = (cos α, sin α) និង O A 2 → = (cos β, sin β)

ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ទេសូមមើលកូអរដោនេនៃចំនុចដែលមានទីតាំងនៅដើមនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹង 1 ពីព្រោះ យើងមានរង្វង់ឯកតា។

តោះមើលវាឥឡូវនេះ ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រ O A 1 → និង O A 2 → ។ នៅក្នុងកូអរដោណេវាមើលទៅដូចនេះ៖

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

ពីនេះយើងអាចទទួលបានសមភាព៖

cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β

ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តកូស៊ីនុសត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងបញ្ជាក់ រូបមន្តខាងក្រោម- កូស៊ីនុសនៃផលបូក។ នេះងាយស្រួលជាងព្រោះយើងអាចប្រើការគណនាពីមុន។ ចូរយកតំណាង α + β = α - (- β) ។ យើងមាន៖

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

នេះគឺជាភស្តុតាងនៃរូបមន្តបូកកូស៊ីនុស។ បន្ទាត់ចុងក្រោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ជ្រុងទល់មុខ.

រូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុសនៃផលបូកអាចមកពីរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា។ ចូរយើងយករូបមន្តកាត់បន្ថយសម្រាប់នេះ៖

ប្រភេទ sin(α + β) = cos (π 2 (α + β)) ។ ដូច្នេះ
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 − α) - β) = = cos (π 2 − α) cos β + sin (π 2 − α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

ហើយនេះគឺជាភស្តុតាងនៃភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តស៊ីនុស៖

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
ចំណាំការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំទល់មុខក្នុងការគណនាចុងក្រោយ។

បន្ទាប់យើងត្រូវការភស្តុតាងនៃរូបមន្តបន្ថែមសម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់។ ចូរយើងចងចាំនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន (តង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅកូស៊ីនុស ហើយកូតង់សង់គឺផ្ទុយមកវិញ) ហើយយករូបមន្តដែលបានមករួចហើយជាមុន។ យើងទទួលបាននេះ៖

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

យើងបានធ្វើវា ប្រភាគស្មុគស្មាញ. បន្ទាប់មកយើងត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងរបស់វាដោយ cos α · cos β ដោយផ្តល់ឱ្យថា cos α ≠ 0 និង cos β ≠ 0 យើងទទួលបាន៖
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

ឥឡូវនេះយើងកាត់បន្ថយប្រភាគហើយទទួលបានរូបមន្ត ប្រភេទខាងក្រោម: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β ។
យើងទទួលបាន t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β ។ នេះគឺជាភស្តុតាងនៃរូបមន្តបន្ថែមតង់សង់។

រូបមន្តបន្ទាប់ដែលយើងនឹងបង្ហាញគឺតង់សង់នៃរូបមន្តភាពខុសគ្នា។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងការគណនា:

t g (α − β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

រូបមន្តសម្រាប់កូតង់សង់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា៖
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = − 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
បន្ទាប់៖
c t g (α − β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β