ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
ផែនការ
1. តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
2. សញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
3. សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ក) ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយពិន្ទុនៅលើយន្តហោះដោយយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖ ក + ប៊ី = ម ( ក ; ខ ) (រូបទី 1) ។
រូបភាពទី 1
ខ) ចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានតំណាងដោយវ៉ិចទ័រដែលចាប់ផ្តើមនៅចំណុចអំពី និងចុងបញ្ចប់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 2) ។
រូបភាពទី 2
ឧទាហរណ៍ 7. ចំណុចស្ថាបនាតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច៖1; - ខ្ញុំ ; - 1 + ខ្ញុំ ; 2 – 3 ខ្ញុំ (រូបទី 3) ។
រូបភាពទី 3
សញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
លេខស្មុគស្មាញz = ក + ប៊ី អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើវ៉ិចទ័រកាំ ជាមួយនឹងកូអរដោនេ( ក ; ខ ) (រូបទី 4) ។
រូបភាពទី 4
និយមន័យ . ប្រវែងវ៉ិចទ័រ តំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចz ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃលេខនេះ ហើយត្រូវបានតំណាង ឬr .
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចz ម៉ូឌុលរបស់វា។r = | z | ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តតែមួយគត់ .
និយមន័យ . ទំហំនៃមុំរវាងទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្សពិត និងវ៉ិចទ័រ តំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចនេះ ហើយត្រូវបានតាងក rg z ឬφ .
អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិចz = 0 មិនកំណត់។ អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិចz≠ 0 - បរិមាណពហុគុណតម្លៃ ហើយត្រូវបានកំណត់ក្នុងរយៈពេលមួយ2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , កន្លែងណាarg z - តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ដែលមានក្នុងចន្លោះពេល(-π; π] នោះគឺ-π < arg z ≤ π (ជួនកាលតម្លៃដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលត្រូវបានយកជាតម្លៃសំខាន់នៃអាគុយម៉ង់ .
រូបមន្តនេះនៅពេលr =1 ជារឿយៗគេហៅថារូបមន្តរបស់ Moivre៖
(cos φ + i sin φ) ន = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
ឧទាហរណ៍ 11: គណនា(1 + ខ្ញុំ ) 100 .
ចូរយើងសរសេរចំនួនកុំផ្លិច1 + ខ្ញុំ ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + ខ្ញុំធ្វើបាប )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ខ្ញុំធ្វើបាប · 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = − ២ 50 .
4) ការស្រង់ចេញឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិច។
នៅពេលយកឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិចក + ប៊ី យើងមានករណីពីរ៖
ប្រសិនបើខ
> o
, នោះ។ 
;
3.1. កូអរដោនេប៉ូឡា
ជារឿយៗប្រើនៅលើយន្តហោះ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ . វាត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើចំណុច O ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា បង្គោលហើយកាំរស្មីដែលចេញពីបង្គោល (សម្រាប់យើងនេះគឺជាអ័ក្ស Ox) - អ័ក្សប៉ូល។ទីតាំងនៃចំណុច M ត្រូវបានជួសជុលដោយលេខពីរ៖ កាំ (ឬវ៉ិចទ័រកាំ) និងមុំφរវាងអ័ក្សប៉ូលនិងវ៉ិចទ័រ។មុំφត្រូវបានគេហៅថា មុំប៉ូល; វាស់ជារ៉ាដ្យង់ និងរាប់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាពីអ័ក្សប៉ូល
ទីតាំងនៃចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូលត្រូវបានផ្តល់ដោយលេខគូលំដាប់ (r; φ) ។ នៅប៉ូល។ r = 0,ហើយφមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ សម្រាប់ចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់។ r > 0,និង φ ត្រូវបានកំណត់រហូតដល់ពាក្យដែលជាពហុគុណនៃ 2π ។ ក្នុងករណីនេះ លេខគូ (r; φ) និង (r 1 ; φ 1) ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំណុចដូចគ្នា ប្រសិនបើ .
សម្រាប់ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ xOyកូអរដោនេ Cartesian នៃចំណុចមួយត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេប៉ូលរបស់វាដូចខាងក្រោម:
3.2. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
ចូរយើងពិចារណាប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ xOy.
ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ z=(a, b) ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំនុចមួយនៅលើយន្តហោះដែលមានកូអរដោណេ ( x, y) កន្លែងណា កូអរដោនេ x = a, i.e. ផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយកូអរដោណេ y = bi គឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។
យន្តហោះដែលពិន្ទុជាចំនួនកុំផ្លិចគឺជាយន្តហោះស្មុគស្មាញ។
នៅក្នុងរូបភាពចំនួនកុំផ្លិច z = (a, ខ)ត្រូវនឹងចំណុចមួយ។ M(x, y).
លំហាត់ប្រាណ។គូរលេខស្មុគ្រស្មាញនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ៖
3.3. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
ចំនួនកុំផ្លិចនៅលើយន្តហោះមានកូអរដោនេនៃចំណុចមួយ។ M(x; y). ក្នុងនោះ៖
ការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច 
- ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
លេខ r ត្រូវបានហៅ ម៉ូឌុល
ចំនួនកុំផ្លិច zនិងត្រូវបានកំណត់។ ម៉ូឌុលគឺជាចំនួនពិតដែលមិនអវិជ្ជមាន។ សម្រាប់ 
.
ម៉ូឌុលគឺសូន្យប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ z = 0, i.e. a = b = 0.
លេខ φ ត្រូវបានហៅ អាគុយម៉ង់ z និងត្រូវបានកំណត់. អាគុយម៉ង់ z ត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់ ដូចជាមុំប៉ូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធប៉ូលកូអរដោណេ ពោលគឺរហូតដល់ពាក្យដែលជាពហុគុណនៃ 2π។
បន្ទាប់មកយើងទទួលយក៖ ដែល φ គឺជាតម្លៃតូចបំផុតនៃអាគុយម៉ង់។ វាច្បាស់ណាស់។
.
នៅពេលសិក្សាប្រធានបទឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ អាគុយម៉ង់ជំនួយ φ* ត្រូវបានណែនាំ ដូចនេះ
ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ដំណោះស្រាយ។ 1) ពិចារណាម៉ូឌុល: ;
2) ស្វែងរក φ: 
;
៣) ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖ 
ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច 
.
នៅទីនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីជំនួសតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងបំប្លែងកន្សោម៖
ឧទាហរណ៍ ៣.ស្វែងរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច;
1) 
;
2) ; φ - ក្នុង 4 ត្រីមាស:
3.4. ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
· ការបូកនិងដកវាកាន់តែងាយស្រួលធ្វើជាមួយលេខស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ពិជគណិត៖
· គុណ- ដោយប្រើការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា នៅពេលគុណ ម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម៖ ;
២.៣. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ជាក់នៅលើប្លង់ស្មុគស្មាញដោយលេខ .
អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយφមុំរវាងអ័ក្សពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាន Ox និងវ៉ិចទ័រ (មុំφត្រូវបានចាត់ទុកថាវិជ្ជមានប្រសិនបើវាត្រូវបានវាស់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាហើយអវិជ្ជមានបើមិនដូច្នេះទេ) ។
ចូរយើងកំណត់ប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយ r ។ បន្ទាប់មក។ យើងក៏បញ្ជាក់ផងដែរ។
ការសរសេរចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ z ក្នុងទម្រង់
ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច z ។ លេខ r ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z ហើយលេខ φ ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចនេះ ហើយត្រូវបានតាងដោយ Arg z ។
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច - (រូបមន្តអយល័រ) - ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖
ចំនួនកុំផ្លិច z មានអំណះអំណាងជាច្រើនគ្មានកំណត់៖ ប្រសិនបើφ0 គឺជាអាគុយម៉ង់ណាមួយនៃលេខ z នោះអ្វីៗផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច អាគុយម៉ង់ និងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
ដូច្នេះអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖
(3)
តម្លៃ φ នៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច z ដែលបំពេញវិសមភាពត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃសំខាន់ ហើយត្រូវបានតាងដោយ arg z ។
អាគុយម៉ង់ Arg z និង arg z ត្រូវបានទាក់ទងដោយ
, (4)
រូបមន្ត (5) គឺជាផលវិបាកនៃប្រព័ន្ធ (3) ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ទាំងអស់នៃចំនួនកុំផ្លិចបំពេញសមភាព (5) ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់ដំណោះស្រាយ φ នៃសមីការ (5) គឺជាអាគុយម៉ង់នៃលេខ z ។
តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យត្រូវបានរកឃើញតាមរូបមន្ត៖
រូបមន្តសម្រាប់គុណ និងចែកលេខកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមានដូចខាងក្រោម៖
. (7)
នៅពេលបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលធម្មជាតិ រូបមន្ត Moivre ត្រូវបានប្រើ៖
នៅពេលស្រង់ឫសនៃចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖
, (9)
ដែល k=0, 1, 2, …, n-1 ។
បញ្ហា 54. គណនាកន្លែងដែល .
ចូរយើងបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះកន្សោមនេះក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ .
បើអញ្ចឹង។
បន្ទាប់មក , 
. ដូច្នេះហើយ 
និង 
, កន្លែងណា។
ចម្លើយ៖ , នៅ .
បញ្ហា 55. សរសេរចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
ក) ; ខ) ; វី); ជី); ឃ) ; ង) 
; និង)។
ដោយសារទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺ ដូច្នេះ៖
ក) ក្នុងចំនួនកុំផ្លិច៖ .
,
នោះហើយជាមូលហេតុដែល 
ខ) 
, កន្លែងណា ,
ឆ) 
, កន្លែងណា ,
ង) 
.
និង) 
, ក 
, នោះ។
នោះហើយជាមូលហេតុដែល 
ចម្លើយ៖ 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
បញ្ហា 56. រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
.
អនុញ្ញាតឱ្យ, 
.
បន្ទាប់មក , 
, .
ចាប់តាំងពី និង 
, , បន្ទាប់មក , និង
ដូច្នេះ, ដូច្នេះ
ចម្លើយ៖ 
, កន្លែងណា។
បញ្ហា 57. ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច អនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម៖ .
តោះស្រមៃមើលលេខ និង 
ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
1) កន្លែងណា 
បន្ទាប់មក
ស្វែងរកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ចម្បង៖
ចូរជំនួសតម្លៃ ហើយចូលទៅក្នុងកន្សោម យើងទទួលបាន 
2) ដែលជាកន្លែងដែលបន្ទាប់មក 
បន្ទាប់មក 
3) ចូរយើងស្វែងរកការដកស្រង់
ដោយសន្មត់ថា k=0, 1, 2 យើងទទួលបានតម្លៃបីផ្សេងគ្នានៃឫសដែលចង់បាន៖
បើអញ្ចឹង 
ប្រសិនបើ នោះ 
ប្រសិនបើ នោះ 
.
ចម្លើយ៖៖
:
: .
បញ្ហា 58. ចូរឱ្យ , , , ជាចំនួនកុំផ្លិចផ្សេងគ្នា និង 
. បញ្ជាក់
ក) លេខ 
គឺជាចំនួនវិជ្ជមានពិតប្រាកដ;
ខ) សមភាពទទួលបាន៖
ក) ចូរតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចទាំងនេះក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
ដោយសារតែ។
ចូរយើងធ្វើពុតថា។ បន្ទាប់មក 
.
កន្សោមចុងក្រោយគឺជាលេខវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីសញ្ញាស៊ីនុសមានលេខពីចន្លោះពេល។
ចាប់តាំងពីលេខ ពិតនិងវិជ្ជមាន។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើ a និង b គឺជាចំនួនកុំផ្លិច ហើយពិតប្រាកដ និងធំជាងសូន្យ នោះ .
ក្រៅពីនេះ
ដូច្នេះ សមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។
បញ្ហា 59. សរសេរលេខក្នុងទម្រង់ពិជគណិត 
.
ចូរតំណាងឱ្យលេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកទម្រង់ពិជគណិតរបស់វា។ យើងមាន 
. សម្រាប់ 
យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖
នេះបង្ហាញពីសមភាព៖ 
.
ការអនុវត្តរូបមន្តរបស់ Moivre៖ ,
យើងទទួលបាន
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានរកឃើញ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងសរសេរលេខនេះជាទម្រង់ពិជគណិត៖
.
ចម្លើយ៖ 
.
បញ្ហា 60. រកផលបូក , ,
តោះពិចារណាបរិមាណ
ការអនុវត្តរូបមន្តរបស់ Moivre យើងរកឃើញ
ផលបូកនេះគឺជាផលបូកនៃ n លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 
និងសមាជិកដំបូង 
.
ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពបែបនេះយើងមាន
ញែកផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងរកឃើញ
ការបំបែកផ្នែកពិត យើងក៏ទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោម៖ , , .
បញ្ហាទី ៦១ រកផលបូក៖
ក) 
; ខ) ។
យោងតាមរូបមន្តរបស់ញូតុនសម្រាប់និទស្សន្តយើងមាន
ដោយប្រើរូបមន្ត Moivre យើងរកឃើញ៖
ដោយស្មើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ យើងមាន៖
និង 
.
រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់បង្រួមដូចខាងក្រោមៈ
,
តើផ្នែកចំនួនគត់នៃលេខ a នៅឯណា។
បញ្ហា 62. ស្វែងរកទាំងអស់ ដែល .
ដោយសារតែ 
បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត
, 
ដើម្បីទាញយកឫសយើងទទួលបាន 
,
អាស្រ័យហេតុនេះ 
, 
,
, 
.
ចំនុចដែលត្រូវគ្នានឹងលេខមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃការ៉េដែលចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ 2 ដែលមានចំនុចកណ្តាលនៅចំណុច (0;0) (រូបភាព 30)។
ចម្លើយ៖ , ,
, .
បញ្ហា 63. ដោះស្រាយសមីការ 
, .
តាមលក្ខខណ្ឌ; ដូច្នេះសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះវាស្មើនឹងសមីការ។
ដើម្បីឱ្យលេខ z ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ លេខត្រូវតែជាឫសទី n នៃលេខ 1 ។
ពីទីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាសមីការដើមមានឫសគល់ដែលបានកំណត់ពីសមភាព
, 
ដូច្នេះ 
,
i.e. 
,
ចម្លើយ៖ 
.
បញ្ហា 64. ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ដោយសារលេខមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះ ដូច្នេះសម្រាប់សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ
នោះគឺសមីការ។
ឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការនេះត្រូវបានទទួលពីរូបមន្ត (សូមមើលបញ្ហាទី ៦២)៖
; 
; ; 
; 
.
បញ្ហា 65. គូរលើប្លង់ស្មុគ្រស្មាញនូវសំណុំនៃចំនុចដែលបំពេញវិសមភាព៖ 
. (វិធីទី ២ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ៤៥)
អនុញ្ញាតឱ្យ 
.
ចំនួនកុំផ្លិចដែលមានម៉ូឌុលដូចគ្នាបេះបិទនឹងចំនុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលដេកលើរង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម ដូច្នេះវិសមភាព 
បំពេញគ្រប់ចំនុចនៃរង្វង់បើកចំហដែលចងដោយរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលទូទៅនៅប្រភពដើម និងកាំ និង (រូបភាពទី 31)។ សូមឱ្យចំណុចខ្លះនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវគ្នានឹងលេខ w0 ។ ចំនួន 
មានម៉ូឌុលមួយតូចជាងម៉ូឌុល w0 ច្រើនដង ហើយអាគុយម៉ង់ធំជាងអាគុយម៉ង់ w0 ។ តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ ចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹង w1 អាចទទួលបានដោយប្រើភាពដូចគ្នាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើម និងមេគុណ ក៏ដូចជាការបង្វិលទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើមដោយមុំច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងទាំងពីរនេះទៅនឹងចំនុចនៃសង្វៀន (រូបភាពទី 31) ក្រោយមកទៀតនឹងបំប្លែងទៅជារង្វង់ដែលចងដោយរង្វង់ដែលមានចំនុចកណ្តាលដូចគ្នា និងកាំ 1 និង 2 (រូបភាព 32)។
ការបំប្លែង 
អនុវត្តដោយប្រើការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលទៅវ៉ិចទ័រ។ ដោយការផ្ទេរចិញ្ចៀនជាមួយកណ្តាលនៅចំណុចទៅវ៉ិចទ័រដែលបានចង្អុលបង្ហាញយើងទទួលបានចិញ្ចៀនដែលមានទំហំដូចគ្នាជាមួយកណ្តាលនៅចំណុច (រូបភាព 22) ។
វិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងដែលប្រើគំនិតនៃការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រនៃយន្តហោះគឺប្រហែលជាមិនសូវងាយស្រួលក្នុងការពណ៌នានោះទេ ប៉ុន្តែមានភាពឆើតឆាយ និងមានប្រសិទ្ធភាពបំផុត។
បញ្ហា 66. ស្វែងរកប្រសិនបើ 
.
អនុញ្ញាតឱ្យ បន្ទាប់មក និង . សមភាពដំបូងនឹងមានទម្រង់ 
. ពីលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន , ដែល , . ដូច្នេះ, ។
តោះសរសេរលេខ z ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
, កន្លែងណា , ។ យោងតាមរូបមន្តរបស់ Moivre យើងរកឃើញ។
ចម្លើយ៖ – ៦៤។
បញ្ហា 67. សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច ស្វែងរកចំនួនកុំផ្លិចទាំងអស់ដូចនោះ និង 
.
ចូរយើងតំណាងលេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖
. ពីទីនេះ, ។ សម្រាប់លេខដែលយើងទទួលបាន អាចស្មើនឹង ឬ .
ក្នុងករណីដំបូង 
, នៅក្នុងទីពីរ
.
ចម្លើយ៖ , 
.
បញ្ហា 68. រកផលបូកនៃលេខដែល . សូមចង្អុលបង្ហាញលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ។
ចំណាំថាពីទម្រង់នៃបញ្ហា វាអាចយល់បានថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការអាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនចាំបាច់គណនាឫសខ្លួនឯង។ ជាការពិត ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ 
គឺជាមេគុណសម្រាប់ , យកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទូទៅ), i.e.
សិស្ស, ឯកសារសាលា, ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពីកម្រិតនៃភាពជាម្ចាស់នៃគំនិតនេះ។ សង្ខេបការសិក្សាអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃការគិតគណិតវិទ្យា និងដំណើរការនៃការបង្កើតគំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្ត។ ការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យ៖ ដំណាក់កាលទី ១ ។ ការសន្ទនានេះធ្វើឡើងជាមួយគ្រូគណិតវិទ្យាដែលបង្រៀនពិជគណិត និងធរណីមាត្រនៅថ្នាក់ទី១០។ ការសន្ទនានេះបានធ្វើឡើងក្រោយពេលមួយរយៈកន្លងមកតាំងពីដើមមក…
Resonance" (!)) ដែលរួមបញ្ចូលផងដែរនូវការវាយតម្លៃអំពីអាកប្បកិរិយារបស់បុគ្គលម្នាក់ 4. ការវាយតម្លៃយ៉ាងសំខាន់នៃការយល់ដឹងរបស់មនុស្សម្នាក់អំពីស្ថានភាព (ការសង្ស័យ) 5. ជាចុងក្រោយការប្រើប្រាស់អនុសាសន៍ពីចិត្តវិទ្យាផ្នែកច្បាប់ (មេធាវីយកទៅក្នុងគណនីផ្លូវចិត្ត ទិដ្ឋភាពនៃសកម្មភាពវិជ្ជាជីវៈដែលបានអនុវត្ត - ការត្រៀមលក្ខណៈផ្លូវចិត្តប្រកបដោយវិជ្ជាជីវៈ) ចូរយើងពិចារណាការវិភាគផ្លូវចិត្តនៃអង្គហេតុផ្លូវច្បាប់...
គណិតវិទ្យានៃការជំនួសត្រីកោណមាត្រ និងការធ្វើតេស្តប្រសិទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្តបង្រៀនដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ដំណាក់កាលនៃការងារ៖ 1. ការអភិវឌ្ឍន៍វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តលើប្រធានបទ៖ "ការដាក់ពាក្យជំនួសត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត" ជាមួយសិស្សក្នុងថ្នាក់ដែលមានគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ 2. ដំណើរការវគ្គសិក្សាជ្រើសរើសដែលបានអភិវឌ្ឍ។ 3. ធ្វើតេស្តរោគវិនិច្ឆ័យ...
កិច្ចការយល់ដឹងគឺមានបំណងតែបំពេញបន្ថែមជំនួយការបង្រៀនដែលមានស្រាប់ ហើយត្រូវតែមានការរួមបញ្ចូលគ្នាដ៏សមស្របជាមួយនឹងមធ្យោបាយប្រពៃណី និងធាតុផ្សំទាំងអស់នៃដំណើរការអប់រំ។ ភាពខុសគ្នារវាងបញ្ហាអប់រំក្នុងការបង្រៀនមនុស្សសាស្ត្រ និងបញ្ហាពិតប្រាកដ ពីបញ្ហាគណិតវិទ្យា គឺមានតែនៅក្នុងបញ្ហាប្រវត្តិសាស្ត្រប៉ុណ្ណោះ មិនមានរូបមន្ត ក្បួនដោះស្រាយតឹងរ៉ឹង ជាដើម ដែលធ្វើឲ្យស្មុគស្មាញដល់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ...
លេខស្មុគស្មាញ XI
§ 256. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
សូមឱ្យចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ O.A.> ជាមួយកូអរដោនេ ( ក, ខ ) (សូមមើលរូប 332)។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយ r និងមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស X , តាមរយៈ φ . តាមនិយមន័យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖
ក / r =cos φ , ខ / r = បាប φ .
នោះហើយជាមូលហេតុដែល ក = r cos φ , ខ = r អំពើបាប φ . ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី អាចត្រូវបានសរសេរជា:
a + ប៊ី = r cos φ + អ៊ី អំពើបាប φ = r (cos φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ).
ដូចដែលអ្នកដឹង ការ៉េនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល r 2 = ក 2 + ខ 2, ពីណា r = √ ក 2 + ខ 2
ដូច្នេះ លេខស្មុគស្មាញណាមួយ។ a + ប៊ី អាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ :
a + ប៊ី = r (cos φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ), (1)
ដែលជាកន្លែងដែល r = √ ក 2 + ខ 2 និងមុំ φ ត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
ទម្រង់នៃការសរសេរលេខស្មុគស្មាញនេះត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណមាត្រ.
ចំនួន r នៅក្នុងរូបមន្ត (1) ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុល, និងមុំ φ - អាគុយម៉ង់, ចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី .
ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ម៉ូឌុលរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ a + ប៊ី = 0 បន្ទាប់មក a = ខ = 0 ហើយបន្ទាប់មក r = 0.
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចណាមួយត្រូវបានកំណត់តែមួយ។
ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (2) ប្រាកដភាពត្រឹមត្រូវទៅមុំចែកដោយ 2 π . ប្រសិនបើ a + ប៊ី = 0 បន្ទាប់មក a = ខ = 0. ក្នុងករណីនេះ r = 0. ពីរូបមន្ត (1) វាងាយស្រួលយល់ថាជាអាគុយម៉ង់ φ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចជ្រើសរើសមុំណាមួយ: បន្ទាប់ពីទាំងអស់សម្រាប់ណាមួយ។ φ
0 (កូស φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ) = 0.
ដូច្នេះ អាគុយម៉ង់ null មិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច r ពេលខ្លះតំណាងឱ្យ | z |, និង argument arg z . សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ឧទាហរណ៍។ ១. 1 + ខ្ញុំ .
ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុល r និងអាគុយម៉ង់ φ លេខនេះ។
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
ដូច្នេះអំពើបាប φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, មកពីណា φ = π / 4 + 2នπ .
ដូច្នេះ
1 + ខ្ញុំ = √ 2 ,
កន្លែងណា ទំ - ចំនួនគត់ណាមួយ។ ជាធម្មតា ពីសំណុំតម្លៃគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច មួយត្រូវបានជ្រើសរើសដែលមានចន្លោះពី 0 និង 2 π . ក្នុងករណីនេះតម្លៃនេះគឺ π / ៤. នោះហើយជាមូលហេតុដែល
1 + ខ្ញុំ = √ 2 (cos π / 4 + ខ្ញុំ អំពើបាប π / 4)
ឧទាហរណ៍ ២.សរសេរចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ √ 3 - ខ្ញុំ . យើងមាន:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ ៣/២, បាប φ = - 1 / 2
ដូច្នេះរហូតដល់មុំបែងចែកដោយ 2 π , φ = 11 / 6 π ; ហេតុនេះ
√ 3 - ខ្ញុំ = 2 (cos 11/6 π + ខ្ញុំ បាប ១១/៦ π ).
ឧទាហរណ៍ ៣សរសេរចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ខ្ញុំ
លេខស្មុគស្មាញ ខ្ញុំ ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ O.A.> បញ្ចប់នៅចំនុច A នៃអ័ក្ស នៅ ជាមួយនឹងការតែងតាំង 1 (រូបភាព 333) ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺ 1 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x គឺស្មើនឹង π / ២. នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ខ្ញុំ =cos π / 2 + ខ្ញុំ អំពើបាប π / 2 .
ឧទាហរណ៍ 4 ។សរសេរលេខកុំផ្លិច 3 ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
លេខស្មុគស្មាញ 3 ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ O.A. > X abscissa 3 (រូបភព 334) ។
ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺ 3 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x គឺ 0 ។ ដូច្នេះ
3 = 3 (cos 0 + ខ្ញុំ អំពើបាប 0),
ឧទាហរណ៍ 5 ។សរសេរលេខកុំផ្លិច -5 ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
លេខកុំផ្លិច -5 ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ O.A.> បញ្ចប់នៅចំនុចអ័ក្ស X ជាមួយ abscissa -5 (រូបភាព 335) ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺ 5 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x គឺស្មើនឹង π . នោះហើយជាមូលហេតុដែល
5 = 5 (cos π + ខ្ញុំ អំពើបាប π ).
លំហាត់
2047. សរសេរលេខកុំផ្លិចទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោយកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ៖
1) 2 + 2√3 ខ្ញុំ , 4) 12ខ្ញុំ - 5; 7).3ខ្ញុំ ;
2) √3 + ខ្ញុំ ; 5) 25; 8) -2ខ្ញុំ ;
3) 6 - 6ខ្ញុំ ; 6) - 4; 9) 3ខ្ញុំ - 4.
2048. ចង្អុលបង្ហាញនៅលើយន្តហោះនូវសំណុំនៃចំណុចដែលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច ដែលម៉ូឌុល r និងអាគុយម៉ង់ φ បំពេញលក្ខខណ្ឌ៖
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. តើលេខក្នុងពេលដំណាលគ្នាអាចជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចបានទេ? r និង - r ?
2050. តើអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងពេលដំណាលគ្នាអាចជាមុំបានទេ? φ និង - φ ?
បង្ហាញចំនួនកុំផ្លិចទាំងនេះក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោយកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ៖
២០៥១*។ 1 + cos α + ខ្ញុំ អំពើបាប α . ២០៥៤*។ 2 (cos 20° - ខ្ញុំ អំពើបាប 20°) ។
២០៥២*។ អំពើបាប φ + ខ្ញុំ cos φ . ២០៥៥*។ 3(- cos 15° - ខ្ញុំ sin 15°)។