សមីការជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក។ សមីការដែលអាចបំបែកបាន។

ជារឿយៗការលើកឡើងអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវអារម្មណ៍មិនសប្បាយចិត្ត។ ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ដោយសារតែនៅពេលសិក្សាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃសម្ភារៈ គម្លាតចំណេះដឹងកើតឡើង ដោយសារតែការដែលសិក្សាបន្ថែមទៅលើឧបករណ៍បំពងសំឡេងបានក្លាយទៅជាការធ្វើទារុណកម្ម។ វាមិនច្បាស់ថាត្រូវធ្វើអ្វី របៀបសម្រេចចិត្ត ចាប់ផ្តើមពីណា?

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញអ្នកថា ឧបករណ៍បំពងសំឡេងមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ពីសាលាយើងដឹងពីសមីការសាមញ្ញបំផុតដែលយើងត្រូវស្វែងរក x ដែលមិនស្គាល់។ ជាការពិត សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីពួកគេ - ជំនួសឱ្យអថេរ X អ្នកត្រូវស្វែងរកមុខងារនៅក្នុងពួកគេ។ y(x) ដែលនឹងប្រែក្លាយសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែង។ នេះមិនមែនជាគណិតវិទ្យាអរូបី ដែលមិនមានទំនាក់ទំនងជាមួយពិភពលោកជុំវិញយើងនោះទេ។ ដំណើរការធម្មជាតិពិតជាច្រើនត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍ ការរំញ័រនៃខ្សែអក្សរ ចលនានៃលំយោលអាម៉ូនិក ដោយប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងបញ្ហាមេកានិច ស្វែងរកល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃរាងកាយ។ ផងដែរ។ ឌូត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងជីវវិទ្យា គីមីវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និងវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនទៀត។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ឌូ) គឺជាសមីការដែលមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ y(x) មុខងារខ្លួនវា អថេរឯករាជ្យ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀតនៅក្នុងបន្សំផ្សេងៗ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានច្រើនប្រភេទ៖ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអនាមិក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ និងខ្ពស់ជាង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ល។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារដែលប្រែវាទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ មានដំណោះស្រាយទូទៅ និងពិសេសនៃការបញ្ជាពីចម្ងាយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសំណុំទូទៅនៃដំណោះស្រាយដែលបំប្លែងសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។ ដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាដំណោះស្រាយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលបានបញ្ជាក់ដំបូង។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។គឺជាសមីការដែលមានអថេរឯករាជ្យមួយ។

ចូរយើងពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីមួយ។ វាដូចជា:

សមីការបែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្រាន់តែបញ្ចូលផ្នែកខាងស្តាំរបស់វា។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការបែបនេះ៖

សមីការដែលអាចបំបែកបាន។

ជាទូទៅ សមីការប្រភេទនេះមើលទៅដូចនេះ៖

នេះជាឧទាហរណ៍៖

នៅពេលដោះស្រាយសមីការបែបនេះ អ្នកត្រូវបំបែកអថេរ ដោយនាំវាទៅជាទម្រង់៖

បន្ទាប់ពីនេះវានៅសល់ដើម្បីបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនិងទទួលបានដំណោះស្រាយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

សមីការបែបនេះមើលទៅ៖

នៅទីនេះ p(x) និង q(x) គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអថេរឯករាជ្យ ហើយ y = y(x) គឺជាអនុគមន៍ដែលចង់បាន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការបែបនេះ៖

នៅពេលដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ភាគច្រើនពួកគេប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរថេរតាមអំពើចិត្ត ឬតំណាងឱ្យអនុគមន៍ដែលចង់បានជាផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរផ្សេងទៀត y(x)=u(x)v(x) ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ការរៀបចំជាក់លាក់ត្រូវបានទាមទារ ហើយវានឹងពិបាកណាស់ក្នុងការយកពួកវា "មើលមួយភ្លែត"។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ដូច្នេះយើងមើលទៅប្រភេទសាមញ្ញបំផុតនៃការបញ្ជាពីចម្ងាយ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយចំពោះមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ សូមឲ្យនេះជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

បន្ទាប់មកយើងបែងចែកអថេរ ពោលគឺនៅក្នុងផ្នែកមួយនៃសមីការ យើងប្រមូល "ខ្ញុំ" ទាំងអស់ ហើយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀត - "X's":

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ:

យើងរួមបញ្ចូល និងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះ៖

ជាការពិតណាស់ ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសិល្បៈមួយប្រភេទ។ អ្នកត្រូវតែអាចយល់ថាតើប្រភេទសមីការប្រភេទណា ហើយក៏ត្រូវរៀនមើលថាតើការបំប្លែងអ្វីខ្លះដែលត្រូវធ្វើជាមួយវា ដើម្បីនាំទៅរកទម្រង់មួយ ឬទម្រង់ផ្សេងទៀត មិនមែននិយាយពីសមត្ថភាពក្នុងការបែងចែក និងបញ្ចូលគ្នានោះទេ។ ហើយដើម្បីទទួលបានជោគជ័យក្នុងការដោះស្រាយ DE អ្នកត្រូវការការអនុវត្ត (ដូចនៅក្នុងអ្វីគ្រប់យ៉ាង) ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនមានពេលវេលាដើម្បីយល់ពីរបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានដោះស្រាយ ឬបញ្ហា Cauchy បានជាប់គាំងដូចជាឆ្អឹងនៅក្នុងបំពង់ករបស់អ្នក ឬអ្នកមិនដឹងពីរបៀបរៀបចំបទបង្ហាញឱ្យបានត្រឹមត្រូវ សូមទាក់ទងអ្នកនិពន្ធរបស់យើង។ ក្នុងពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងផ្តល់ជូនអ្នកនូវដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច និងលម្អិត ព័ត៌មានលម្អិតដែលអ្នកអាចយល់បានគ្រប់ពេលវេលាដែលងាយស្រួលសម្រាប់អ្នក។ ក្នុងពេលនេះ យើងស្នើឱ្យមើលវីដេអូលើប្រធានបទ "របៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល"៖

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានត្រូវបានពិចារណា។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយលម្អិតនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

មាតិកា

ការបង្កើតបញ្ហា

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
(i) ,
ដែល f ជាអនុគមន៍ a, b, c ជាថេរ, b ≠ 0 .
សមីការនេះកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ

តោះធ្វើការជំនួស៖
u = អ័ក្ស + ដោយ + គ
នៅទីនេះ y គឺជាមុខងារនៃអថេរ x ។ ដូច្នេះ u ក៏ជាមុខងារនៃអថេរ x ។
បែងចែកដោយគោរព x
u′ = (អ័ក្ស + ដោយ + គ)′ = a + ដោយ′
ចូរជំនួស (i)
u′ = a + by′ = a +b f (ax + by + c) = a + b f (u)
ឬ៖
(ii)
ចូរញែកអថេរ។ គុណនឹង dx ហើយចែកដោយ a + b f (u). ប្រសិនបើ a + b f (u) ≠ 0, នោះ។

ការរួមបញ្ចូល យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដើម (i)ក្នុងបួនជ្រុង៖
(iii) .

សរុបសេចក្តីមក ពិចារណាករណី
(iv) a + b f (u) = 0.
ឧបមាថាសមីការនេះមានឫស u = r i , a + b f (ri) = 0, ខ្ញុំ = 1, 2, ... ន. ដោយសារអនុគមន៍ u = r i គឺថេរ ដេរីវេរបស់វាទាក់ទងទៅនឹង x គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ u = r i គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (ii).
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ Eq ។ (ii)មិនស្របគ្នានឹងសមីការដើម (i)ហើយប្រហែលជាមិនមែនដំណោះស្រាយទាំងអស់ u = r i បង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរ x និង y បំពេញសមីការដើមទេ (i).

ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមគឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅ (iii)និងឫសខ្លះនៃសមីការ (iv).

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន

ដោះស្រាយសមីការ
(1)

តោះធ្វើការជំនួស៖
u = x − y
យើងបែងចែកដោយគោរពតាម x និងអនុវត្តការបំប្លែង៖
;

គុណនឹង dx និងចែកដោយ u 2 .

ប្រសិនបើអ្នក ≠ 0បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:

យើងអនុវត្តរូបមន្តពីតារាងអាំងតេក្រាល៖

គណនាអាំងតេក្រាល។

បន្ទាប់មក
;
, ឬ

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖
.

ឥឡូវពិចារណាករណី u = 0 , ឬ u = x − y = 0 , ឬ
y = x ។
ចាប់តាំងពី y′ = (x)′ = ១បន្ទាប់មក y = x គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម (1) .

;
.

ឯកសារយោង៖
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានអថេរបំបែកត្រូវបានសរសេរជា៖ (1). ក្នុងសមីការនេះ ពាក្យមួយអាស្រ័យតែលើ x ហើយមួយទៀតអាស្រ័យតែលើ y ប៉ុណ្ណោះ។ ការរួមបញ្ចូលពាក្យសមីការនេះតាមពាក្យ យើងទទួលបាន៖
គឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅរបស់វា។

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ៖
.

ដំណោះស្រាយ៖ សមីការនេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដាច់ដោយឡែក។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ឬ
ចូរយើងសម្គាល់
. បន្ទាប់មក
- អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សមីការដែលអាចបំបែកបានមានទម្រង់ (2). សមីការ (២) អាចកាត់បន្ថយបានយ៉ាងងាយទៅជាសមីការ (១) ដោយបែងចែកវាតាមពាក្យ
. យើងទទួលបាន:

- អាំងតេក្រាលទូទៅ។

ឧទាហរណ៍៖ដោះស្រាយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ៖ បំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖ . ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

ដំណោះស្រាយគឺការបញ្ចេញមតិ៖
ទាំងនោះ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។ សមីការ Bernoulli ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ។

សមីការនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា, ប្រសិនបើ
និង
- មុខងារដូចគ្នានៃលំដាប់ដូចគ្នា (វិមាត្រ) ។ មុខងារ
ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ (ការវាស់វែង) ប្រសិនបើនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់នីមួយៗរបស់វាត្រូវបានគុណដោយកត្តាបំពាន មុខងារទាំងមូលត្រូវបានគុណនឹង , i.e.
=
.

សមីការដូចគ្នាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់
. ការប្រើប្រាស់ការជំនួស
(
) សមីការដូចគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានទាក់ទងនឹងមុខងារថ្មី .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
.

វិធីសាស្រ្ត Bernoulli

ការដោះស្រាយសមីការ
ត្រូវបានស្វែងរកជាផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងទៀត i.e. ដោយប្រើការជំនួស
(
).

ឧទាហរណ៍៖រួមបញ្ចូលសមីការ
.

យើងជឿ
. បន្ទាប់មក, i.e. . ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការ
=0:

.

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយសមីការ
ទាំងនោះ។

. ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះគឺ
ទាំងនោះ។

សមីការ J. Bernoulli

សមីការនៃទម្រង់, កន្លែងណា
ហៅ សមីការ Bernoulli ។ សមីការនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Bernoulli ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរគឺជាសមីការនៃទម្រង់ (1) , កន្លែងណា និង អចិន្ត្រៃយ៍។

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយដោយផ្នែកនៃសមីការ (1) ក្នុងទម្រង់
, កន្លែងណា ទៅ- ចំនួនជាក់លាក់។ ភាពខុសគ្នានៃមុខងារនេះពីរដង និងជំនួសកន្សោមសម្រាប់
ទៅក្នុងសមីការ (1) យើងទទួលបាននោះ ឬ
(2) (
).

សមីការ 2 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលក្ខណៈនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ (២) ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន។

ករណីទី១.ឫស និង សមីការ (២) គឺពិត និងខុសគ្នា៖

និង

.

ករណីទី២.ឫស និង សមីការ (២) គឺពិត និងស្មើ៖
. ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការ (1) គឺជាមុខងារ
និង
. ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (1) មានទម្រង់
.

ករណីទី៣.ឫស និង សមីការ (២) ស្មុគស្មាញ៖
,
. ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការ (1) គឺជាមុខងារ
និង
. ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (1) មានទម្រង់

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយសមីការ
.

ដំណោះស្រាយ៖តោះបង្កើតសមីការលក្ខណៈ៖
. បន្ទាប់មក
. ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះ។
.

ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម។

ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

និយមន័យ។ចំណុច M (x អូ , y អូ ) ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) មុខងារz= f(x, y) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុច M នោះសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ (x, y) ពីសង្កាត់នេះ វិសមភាព
(
)

នៅក្នុងរូបភព។ 1 ពិន្ទុ ក
- មានចំណុចអប្បបរមា និងចំណុចមួយ។ IN
- ចំណុចអតិបរមា។

ចាំបាច់លក្ខខណ្ឌជ្រុលគឺជា analogue ពហុវិមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ Fermat ។

ទ្រឹស្តីបទ។សូមឱ្យចំណុច
- គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន។z= f(x, y) បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក
និង
វនៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ចំណុចដែលលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុតត្រូវបានពេញចិត្ត z= f(x, y)ទាំងនោះ។ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក z" x និង z" y ស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា រិះគន់ឬ ស្ថានី។

សមភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទៅសូន្យបង្ហាញតែលក្ខខណ្ឌចាំបាច់មួយ ប៉ុន្តែមិនមានលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អតិបរមានៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

នៅក្នុងរូបភព។ អ្វីដែលគេហៅថា ចំណុចកៀប M (x អូ , y អូ ). និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក
និង
គឺស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែជាក់ស្តែងគ្មានចំណុចខ្លាំងទេ។ ម(x អូ , y អូ ) ទេ

ចំនុចកៀបបែបនេះគឺជា analogues ពីរវិមាត្រនៃចំនុច inflection នៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ បញ្ហាប្រឈមគឺបំបែកពួកគេចេញពីចំណុចខ្លាំង។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតអ្នកត្រូវដឹង គ្រប់គ្រាន់ស្ថានភាពធ្ងន់ធ្ងរ។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ)។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារz= f(x, y):ក) បានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចសំខាន់ (x អូ , y អូ ), ម្ល៉ោះ
=0 និង
=0 ;

ខ) មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៃលំដាប់ទីពីរនៅចំណុចនេះ។
;

;
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ ∆ = AC-B 2 >0, បន្ទាប់មកនៅចំណុច (x អូ , y អូ ) មុខងារz= f(x, y) មានភាពជ្រុលនិយម ហើយប្រសិនបើក<0 - អតិបរមាប្រសិនបើ A>0 - អប្បបរមា។ ក្នុងករណី ∆ = AC-B 2 <0, функция z= f(x, y) មិនមានជ្រុល។ ប្រសិនបើ ∆ = AC-B 2 =0 បន្ទាប់មកសំណួរអំពីវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅតែបើកចំហ។

ការសិក្សាអំពីមុខងារនៃអថេរពីរនៅកម្រិតខ្លាំងមួយ។វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យអនុវត្តដូចខាងក្រោម ដ្យាក្រាម៖

ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ z" x និង z" y .

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ z" x =0, z" y =0 និងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ។

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីពីរ គណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចសំខាន់នីមួយៗ ហើយដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីវត្តមានរបស់ extrema ។

ស្វែងរក extrema (តម្លៃខ្លាំង) នៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ

ដំណោះស្រាយ។ 1. ការស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែក

2. យើងរកឃើញចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ពីប្រព័ន្ធសមីការ៖

មានដំណោះស្រាយចំនួនបួន (1; 1), (1; -1), (-1; 1) និង (-1; -1) ។

3. ស្វែងរកដេរីវេតាមផ្នែកលំដាប់ទីពីរ៖

;
;
, យើងគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុចសំខាន់នីមួយៗ និងពិនិត្យមើលការបំពេញនូវលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់នៅវា។

ឧទាហរណ៍នៅចំណុច (1; 1) ក= z"(1; 1) = -1; B=0; C= -1 ។ ដោយសារតែ ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 និង A=-1<0, បន្ទាប់មកចំណុច (1; 1) គឺជាចំណុចអតិបរមា។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងកំណត់ថា (-1; -1) គឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយនៅចំនុច (1; -1) និង (-1; 1) ដែលនៅក្នុងនោះ ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. រកផ្នែកខ្លាំងនៃអនុគមន៍ z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម។ វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrange ។

ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាជាក់លាក់មួយចំពោះមុខងារនៃអថេរជាច្រើន នៅពេលដែលភាពខ្លាំងរបស់វាត្រូវបានស្វែងរកមិននៅលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ប៉ុន្តែលើសពីសំណុំដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយ។

ចូរយើងពិចារណាមុខងារ z = f(x, y), អាគុយម៉ង់ Xនិង នៅដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ g(x,y)= ជាមួយ,ហៅ សមីការនៃការតភ្ជាប់។

និយមន័យ។ចំណុច
ហៅថាចំណុចមួយ។អតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ (អប្បបរមា), ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ ដែលសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ (x,y) ពីសង្កាត់នេះ បំពេញលក្ខខណ្ឌg (x, y) = C, វិសមភាពកាន់កាប់

(
).

នៅក្នុងរូបភព។ ចំណុចអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបង្ហាញ
. ជាក់ស្តែង វាមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ z = f(x, y) (នៅក្នុងរូបភាពនេះគឺជាចំណុចមួយ។
).

មធ្យោបាយដ៏សាមញ្ញបំផុតដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងបំផុតតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរពីរគឺដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ចូរយើងសន្មតថាសមីការការតភ្ជាប់ g (x, y) = ជាមួយគ្រប់គ្រងដើម្បីដោះស្រាយដោយគោរពទៅមួយនៃអថេរឧទាហរណ៍ដើម្បីបង្ហាញ នៅតាមរយៈ X៖
. ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាមុខងារនៃអថេរពីរ យើងទទួលបាន z = f(x, y) =
, ទាំងនោះ។ មុខងារនៃអថេរមួយ។ ភាពខ្លាំងរបស់វានឹងក្លាយជាភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ z = f(x, y).

ឧទាហរណ៍។ X 2 + y 2 បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ 3x +2y = 11.

ដំណោះស្រាយ។ ពីសមីការ 3x + 2y = 11 យើងបង្ហាញអថេរ y តាមរយៈអថេរ x ហើយជំនួសលទ្ធផល
ដើម្បីដំណើរការ z ។ យើងទទួលបាន z= x 2 +2
ឬ z =
. មុខងារនេះមានអប្បបរមាតែមួយគត់នៅ = 3. តម្លៃមុខងារដែលត្រូវគ្នា។
ដូច្នេះ (3; 1) គឺជាចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌ (អប្បបរមា)។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា, សមីការ coupling g(x, y) = គប្រែទៅជាលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះវាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយគោរពតាមអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីស្មុគស្មាញជាងនេះ វាមិនអាចធ្វើបានទេ។

ដើម្បីស្វែងរកភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌនៅក្នុងករណីទូទៅ យើងប្រើ វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrange ។

ពិចារណាមុខងារនៃអថេរបី

មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lagrange,ក - មេគុណ Lagrange ។ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណុច
គឺជាចំណុចខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារz = f(x, y) បានផ្តល់ឱ្យនោះ។g (x, y) = C បន្ទាប់មកមានតម្លៃ ចំណុចបែបនេះ
គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារអិល{ x, y, ).

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃមុខងារ z = f(x,y)បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ g(x, y) = គត្រូវការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ

នៅក្នុងរូបភព។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃលក្ខខណ្ឌរបស់ Lagrange ត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាត់ g(x,y)= C ចំនុច បន្ទាត់កម្រិត g(x, y) = សំណួរ មុខងារ z = f(x, y) រឹង។

ពីរូបភព។ ធ្វើតាមនោះ។ នៅចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ បន្ទាត់កម្រិតមុខងារ z = f(x, y) ប៉ះបន្ទាត់g(x, y) = ស.

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ z = X 2 + y 2 បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ 3x +2y = 11 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ។

ដំណោះស្រាយ។ ការចងក្រងមុខងារ Lagrange អិល= x 2 + 2 យូ 2 +

សមីការនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែករបស់វាទៅសូន្យ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់វា (x=3, y=1, =-2). ដូច្នេះចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌអាចជាចំណុច (3;1) ប៉ុណ្ណោះ។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថានៅចំណុចនេះមុខងារ z= f(x, y) មានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា។

អង់គ្លេស៖វិគីភីឌាកំពុងធ្វើឱ្យគេហទំព័រកាន់តែមានសុវត្ថិភាព។ អ្នកកំពុងប្រើកម្មវិធីរុករកតាមអ៊ីនធឺណិតចាស់ ដែលនឹងមិនអាចភ្ជាប់ទៅ Wikipedia នាពេលអនាគត។ សូមអាប់ដេតឧបករណ៍របស់អ្នក ឬទាក់ទងអ្នកគ្រប់គ្រង IT របស់អ្នក។

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT)។

ភាសាអេស្ប៉ាញ៖វិគីភីឌា está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro ។ Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más Abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

បារាំង៖ Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site។ Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin ។ Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ??? IT情報は以下に英語で提供しています。

អាល្លឺម៉ង់៖ Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite ។ Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird ។ Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache ។

អ៊ីតាលី៖ Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro ។ Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico។ Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

ម៉ាហ្គាយ៉ា៖ Biztonságosabb lesz និង Wikipedia ។ A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak ។ Alább olvashatod និង részletesebb magyarázatot (angolul) ។

Svenska៖វិគីភីឌា gör sidan mer säker ។ Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

យើងកំពុងដកការគាំទ្រសម្រាប់កំណែពិធីការ TLS ដែលមិនមានសុវត្ថិភាព ជាពិសេស TLSv1.0 និង TLSv1.1 ដែលកម្មវិធីកម្មវិធីរុករកតាមអ៊ីនធឺណិតរបស់អ្នកពឹងផ្អែកលើដើម្បីភ្ជាប់ទៅគេហទំព័ររបស់យើង។ នេះជាធម្មតាបណ្តាលមកពីកម្មវិធីរុករកដែលហួសសម័យ ឬស្មាតហ្វូន Android ចាស់ៗ។ ឬវាអាចជាការជ្រៀតជ្រែកពីកម្មវិធី "សុវត្ថិភាពគេហទំព័រ" សាជីវកម្ម ឬផ្ទាល់ខ្លួន ដែលពិតជាទម្លាក់ចំណាត់ថ្នាក់សុវត្ថិភាពការតភ្ជាប់។

អ្នកត្រូវតែដំឡើងកំណែកម្មវិធីរុករកបណ្ដាញរបស់អ្នកឬបើមិនដូច្នេះទេជួសជុលបញ្ហានេះដើម្បីចូលប្រើគេហទំព័ររបស់យើង។ សារនេះនឹងនៅតែមានរហូតដល់ថ្ងៃទី 1 ខែមករា ឆ្នាំ 2020។ បន្ទាប់ពីកាលបរិច្ឆេទនោះ កម្មវិធីរុករកតាមអ៊ីនធឺណិតរបស់អ្នកនឹងមិនអាចបង្កើតការតភ្ជាប់ទៅម៉ាស៊ីនមេរបស់យើងបានទេ។

និយមន័យ ៧.សមីការនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាសមីការជាមួយ អថេរដែលអាចបំបែកបាន។.

សមីការនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដោយបែងចែកលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការដោយផលិតផល។

ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ដេរីវេគឺស្មើគ្នា ដែលមានន័យថា

ការបំបែកអថេរយើងទទួលបាន៖

ឥឡូវយើងរួមបញ្ចូល៖

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដំណោះស្រាយ។ នេះគឺជាសមីការលំដាប់ទីមួយដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ដើម្បីបំបែកអថេរនៃសមីការនេះក្នុងទម្រង់ ហើយបែងចែកវាតាមពាក្យទៅក្នុងផលិតផល។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន ឬ

ការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការចុងក្រោយ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ

arcsin y = arcsin x + C

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូងទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ យើងទទួលបាន

; មកពីណា C=0

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយពិសេសមានទម្រង់ arc sin y = arc sin x ប៉ុន្តែ sines នៃ arcs ស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា។

sin(arcsin y) = sin(arcsin x) ។

ពីនោះតាមនិយមន័យនៃ arcsine វាធ្វើតាមថា y = x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។

និយមន័យ ៨.សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ដែលអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា.

ដើម្បីរួមបញ្ចូលសមីការបែបនេះ ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរត្រូវបានធ្វើឡើងដោយសន្មត់ . ការជំនួសនេះបណ្តាលឱ្យមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ x និង t ដែលអថេរត្រូវបានបំបែកចេញពីគ្នា បន្ទាប់ពីនោះសមីការអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ អថេរ t ត្រូវតែត្រូវបានជំនួសដោយ .

ឧទាហរណ៍,ដោះស្រាយសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការដូចនេះឡើងវិញ៖

យើងទទួលបាន:

បន្ទាប់ពីលុបចោលដោយ x 2 យើងមាន:

ជំនួស t ជាមួយ៖

ពិនិត្យមើលសំណួរ

1 តើសមីការមួយណាដែលហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែល?

2 ដាក់ឈ្មោះប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

3 ពន្យល់អំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សមីការដែលមានឈ្មោះទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ៖យើងសរសេរឡើងវិញនូវដេរីវេក្នុងទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ៖

យើងវាយតម្លៃថាតើអាចបំបែកអថេរបានទេ? អាច។ យើងផ្លាស់ទីពាក្យទីពីរទៅផ្នែកខាងស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា:

ហើយយើងផ្ទេរមេគុណដោយអនុលោមតាមវិធាននៃសមាមាត្រ៖

អថេរត្រូវបានបំបែកចេញ ចូរយើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ៖

ខ្ញុំត្រូវតែព្រមានអ្នក ថ្ងៃជំនុំជំរះជិតមកដល់ហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនបានសិក្សាល្អ។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់បានដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួន បន្ទាប់មកមិនមានកន្លែងដែលត្រូវទៅទេ - អ្នកនឹងត្រូវធ្វើជាម្ចាស់វាឥឡូវនេះ។

អាំងតេក្រាលនៃផ្នែកខាងឆ្វេងគឺងាយស្រួលរក យើងដោះស្រាយជាមួយអាំងតេក្រាលនៃកូតង់សង់ដោយប្រើបច្ចេកទេសស្តង់ដារដែលយើងមើលក្នុងមេរៀន ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រឆ្នាំមុន:

នៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងមានលោការីត យោងទៅតាមការណែនាំបច្ចេកទេសដំបូងរបស់ខ្ញុំ ក្នុងករណីនេះ ថេរក៏គួរតែត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមលោការីតផងដែរ។

ឥឡូវនេះយើងព្យាយាមធ្វើឱ្យសាមញ្ញអាំងតេក្រាលទូទៅ។ ដោយសារយើងមានលោការីត វាពិតជាអាចទៅរួច (និងចាំបាច់) ដើម្បីកម្ចាត់ពួកវា។ យើង "ខ្ចប់" លោការីតឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ការវេចខ្ចប់ត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិបី:

សូមចម្លងរូបមន្តទាំងបីនេះទៅក្នុងសៀវភៅការងាររបស់អ្នក ពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់នៅពេលដោះស្រាយការសាយភាយ។

ខ្ញុំនឹងពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយយ៉ាងលម្អិត៖

ការវេចខ្ចប់ត្រូវបានបញ្ចប់ យកលោការីតចេញ៖

តើវាអាចបង្ហាញពី "ហ្គេម" ទេ? អាច។ វាចាំបាច់ក្នុងការកាត់ផ្នែកទាំងពីរ។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើបែបនេះទេ។

គន្លឹះបច្ចេកទេសទីបី៖ប្រសិនបើដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ វាត្រូវការដើម្បីលើកឡើងទៅកាន់អំណាចឬចាក់ឬស, បន្ទាប់មក ក្នុងករណីភាគច្រើនអ្នកគួរតែបដិសេធពីសកម្មភាពទាំងនេះ ហើយទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។ ការពិតគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅនឹងមើលទៅគួរឱ្យខ្លាចនិងគួរឱ្យភ័យខ្លាច - ដោយមានឫសធំសញ្ញា។

ដូច្នេះ យើងសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការអនុវត្តល្អដើម្បីបង្ហាញអាំងតេក្រាលទូទៅក្នុងទម្រង់ ពោលគឺនៅខាងស្តាំ ប្រសិនបើអាច ទុកតែថេរ។ មិនចាំបាច់ធ្វើបែបនេះទេ ប៉ុន្តែវាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការផ្គាប់ចិត្តសាស្ត្រាចារ្យ ;-)

ចម្លើយ៖អាំងតេក្រាលទូទៅ៖

ចំណាំ៖ អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរតាមវិធីច្រើនជាងមួយ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើលទ្ធផលរបស់អ្នកមិនស្របគ្នានឹងចម្លើយដែលបានដឹងពីមុន នេះមិនមានន័យថាអ្នកបានដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមត្រូវនោះទេ។

អាំងតេក្រាលទូទៅក៏ងាយស្រួលពិនិត្យផងដែរ រឿងសំខាន់គឺអាចស្វែងរកបាន។ ដេរីវេនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល។. ចូរយើងបែងចែកចម្លើយ៖

យើងគុណពាក្យទាំងពីរដោយ៖

ហើយបែងចែកដោយ៖

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមត្រូវបានគេទទួលបានយ៉ាងពិតប្រាកដ ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាបញ្ហា Cauchy មានពីរដំណាក់កាល៖
1) ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។
2) ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់។

ការត្រួតពិនិត្យក៏ត្រូវបានអនុវត្តជាពីរដំណាក់កាលផងដែរ (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 2) អ្នកត្រូវ៖
1) ត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយពិសេសដែលបានរកឃើញពិតជាបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។
2) ពិនិត្យមើលថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់ជាទូទៅបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

ដំណោះស្រាយ៖ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅមួយ។ សមីការនេះមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រៀមរួចជាស្រេចហើយ ដូច្នេះដំណោះស្រាយត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ យើងបែងចែកអថេរ៖

ចូរយើងបញ្ចូលសមីការ៖

អាំងតេក្រាលនៅខាងឆ្វេងគឺជាតារាង អាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំត្រូវបានយក វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល:

អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានទទួល តើអាចបង្ហាញដំណោះស្រាយទូទៅដោយជោគជ័យបានទេ? អាច។ យើងព្យួរលោការីត៖

(ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកទាំងអស់គ្នាយល់ពីការផ្លាស់ប្តូរ រឿងបែបនេះគួរតែដឹងរួចហើយ)

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅជំនួសឱ្យ "X" យើងជំនួសសូន្យហើយជំនួសឱ្យ "Y" យើងជំនួសលោការីតនៃពីរ:

ការរចនាដែលស្គាល់កាន់តែច្រើន៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃថេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ។

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ពិនិត្យ៖ ជាដំបូង សូមពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានបំពេញ៖
- អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ។

ឥឡូវនេះ សូមពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបានរកឃើញបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែរឬទេ។ ការស្វែងរកដេរីវេ៖

តោះមើលសមីការដើម៖ - វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីពិនិត្យ។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីដេរីវេដែលបានរកឃើញ៖

ចូរយើងជំនួសដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបានរកឃើញ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើម :

យើងប្រើអត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការត្រួតពិនិត្យគឺត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនិងស្គាល់កាន់តែច្រើន: ពីសមីការ ចូរបង្ហាញពីដេរីវេ ដើម្បីធ្វើដូចនេះ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងអស់ដោយ៖

ហើយចូលទៅក្នុង DE ដែលបានផ្លាស់ប្តូរ យើងជំនួសដំណោះស្រាយផ្នែកដែលទទួលបាន និងដេរីវេដែលបានរកឃើញ។ ជាលទ្ធផលនៃភាពសាមញ្ញ សមភាពត្រឹមត្រូវក៏គួរតែត្រូវបានទទួលផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ បង្ហាញចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

តើការលំបាកអ្វីខ្លះដែលកំពុងរង់ចាំនៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន?

1) វាមិនតែងតែច្បាស់ទេ (ជាពិសេសចំពោះតែទឹកតែ) ដែលអថេរអាចបំបែកបាន។ តោះពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ . នៅទីនេះអ្នកត្រូវយកកត្តាចេញពីតង្កៀប៖ និងបំបែកឫស៖ . វាច្បាស់ថាត្រូវធ្វើអ្វីបន្ទាប់។

2) ភាពលំបាកជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលខ្លួនឯង។ អាំងតេក្រាលជារឿយៗមិនមែនជារឿងសាមញ្ញបំផុតនោះទេ ហើយប្រសិនបើមានគុណវិបត្តិនៅក្នុងជំនាញនៃការស្វែងរក អាំងតេក្រាលមិនកំណត់បន្ទាប់មកវានឹងពិបាកជាមួយ diffusers ជាច្រើន។ លើសពីនេះ តក្កវិជ្ជា "ចាប់តាំងពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺសាមញ្ញ ដូច្នេះសូមឱ្យអាំងតេក្រាលកាន់តែស្មុគស្មាញ" គឺពេញនិយមក្នុងចំណោមអ្នកចងក្រងបណ្តុំ និងសៀវភៅណែនាំបណ្តុះបណ្តាល។

3) ការផ្លាស់ប្តូរដោយថេរ។ ដូចដែលអ្នកគ្រប់គ្នាបានកត់សម្គាល់ អ្នកអាចធ្វើអ្វីៗស្ទើរតែទាំងអស់ដោយថេរក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ហើយការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះមិនតែងតែអាចយល់បានចំពោះអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងឡើយ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌមួយទៀត៖ . វាត្រូវបានណែនាំឱ្យគុណពាក្យទាំងអស់ដោយ 2: . ថេរលទ្ធផលគឺជាប្រភេទនៃថេរមួយចំនួន ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ៖ . បាទ/ចាស ហើយដោយសារមានលោការីតនៅខាងស្ដាំ ដូច្នេះគួរសរសេរថេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នៃថេរមួយទៀត៖ .

បញ្ហាគឺថាពួកគេជារឿយៗមិនធុញទ្រាន់នឹងលិបិក្រមនិងប្រើអក្សរដូចគ្នា។ ហើយជាលទ្ធផល កំណត់ត្រាដំណោះស្រាយមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

តើនេះជាអ្វីទៅ? ក៏មានកំហុសផងដែរ។ ជាផ្លូវការបាទ។ ប៉ុន្តែក្រៅផ្លូវការ - មិនមានកំហុសទេ វាត្រូវបានគេយល់ថានៅពេលបំប្លែងថេរ ថេរមួយចំនួនទៀតនៅតែទទួលបាន។

ឬឧទាហរណ៍នេះ ឧបមាថានៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការ អាំងតេក្រាលទូទៅមួយត្រូវបានទទួល។ ចម្លើយនេះមើលទៅអាក្រក់ ដូច្នេះគួរប្តូរសញ្ញានៃកត្តាទាំងអស់៖ . ជាផ្លូវការ យោងទៅតាមការថតមានកំហុសម្តងទៀត វាគួរតែត្រូវបានសរសេរចុះ។ ប៉ុន្តែក្រៅផ្លូវការវាត្រូវបានគេយល់ថាវានៅតែថេរខ្លះទៀត (លើសពីនេះវាអាចទទួលយកតម្លៃណាមួយ) ដូច្នេះការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃថេរមិនមានន័យទេហើយអ្នកអាចប្រើអក្សរដូចគ្នា។

ខ្ញុំនឹងព្យាយាមជៀសវាងវិធីសាស្រ្តដែលមិនចេះខ្វល់ខ្វាយ ហើយនៅតែកំណត់សន្ទស្សន៍ផ្សេងគ្នាទៅថេរនៅពេលបំប្លែងពួកវា។

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

ដំណោះស្រាយ៖សមីការនេះអនុញ្ញាតឱ្យបែងចែកអថេរ។ យើងបែងចែកអថេរ៖

ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថេរនៅទីនេះជាលោការីតទេ ព្រោះគ្មានអ្វីមានប្រយោជន៍នឹងមកជាមួយនេះ។

ចម្លើយ៖អាំងតេក្រាលទូទៅ៖

ពិនិត្យ៖ បែងចែកចម្លើយ (មុខងារបង្កប់ន័យ)៖

យើងកម្ចាត់ប្រភាគដោយគុណពាក្យទាំងពីរដោយ៖

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយរបស់ DE ។
,

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ អត្ថាធិប្បាយតែមួយគត់គឺថានៅទីនេះអ្នកទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅ ហើយបើនិយាយឱ្យត្រឹមត្រូវជាងនេះទៀត អ្នកត្រូវបង្កើតគំនិតដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ប៉ុន្តែ អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក. ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ នៅក្នុងការសាយភាយជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន មិនមែនអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុតលេចឡើងជាញឹកញាប់នោះទេ។ ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ ខ្ញុំណែនាំអ្នកគ្រប់គ្នាឱ្យដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 9-10 ដោយមិនគិតពីកម្រិតនៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជំនាញរបស់ពួកគេក្នុងការស្វែងរកអាំងតេក្រាល ឬបំពេញចន្លោះនៃចំណេះដឹង។

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

សូមចងចាំថាមានវិធីច្រើនជាងមួយដើម្បីសរសេរអាំងតេក្រាលទូទៅ ហើយរូបរាងនៃចម្លើយរបស់អ្នកអាចខុសពីរូបរាងនៃចម្លើយរបស់ខ្ញុំ។ ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

រីករាយប្រូម៉ូសិន!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។ យើងបែងចែកអថេរ៖

ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:

អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានទទួល យើងកំពុងព្យាយាមធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ ចូរខ្ចប់លោការីត ហើយកម្ចាត់វាចោល៖

យើងបង្ហាញមុខងារយ៉ាងច្បាស់ដោយប្រើ .
ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង .
វិធីសាស្រ្តទី 1 ជំនួសឱ្យ "X" យើងជំនួស 1 ជំនួសឱ្យ "Y" យើងជំនួស "e":
.
វិធីទី ២៖

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃថេរ ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ។
ចម្លើយ៖ ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ពិនិត្យ៖ យើងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌដំបូងពិតជាពេញចិត្តឬអត់៖
បាទ លក្ខខណ្ឌដំបូង រួចរាល់។
យើងពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយពិសេសពេញចិត្តឬអត់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេ៖

ចូរយើងជំនួសដំណោះស្រាយលទ្ធផលជាក់លាក់ និងដេរីវេដែលបានរកឃើញ ទៅក្នុងសមីការដើម :

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ៦៖ដំណោះស្រាយ៖ សមីការនេះអនុញ្ញាតឱ្យបែងចែកអថេរ។ យើងបែងចែកអថេរ និងរួមបញ្ចូល៖

ចម្លើយ៖ អាំងតេក្រាលទូទៅ៖

ចំណាំ៖ នៅទីនេះអ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ៖

ប៉ុន្តែបើតាមការណែនាំបច្ចេកទេសទីបីរបស់ខ្ញុំ វាមិនគួរធ្វើបែបនេះទេ ព្រោះវាមើលទៅដូចជាចម្លើយមិនស្អាត។

ឧទាហរណ៍ ៨៖ដំណោះស្រាយ៖ ការបញ្ជាពីចម្ងាយនេះអនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកអថេរ។ យើងបែងចែកអថេរ៖

ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:

អាំងតេក្រាលទូទៅ៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ . ជំនួសដំណោះស្រាយទូទៅ និង៖

ចម្លើយ៖ អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក៖
ជាគោលការណ៍ ចម្លើយអាចត្រូវបានសិតសក់ ហើយអ្នកទទួលបានអ្វីដែលកាន់តែបង្រួម។ .