វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រគឺ៖ កាត់បន្ថយសមីការទៅជាសាមញ្ញបំផុត (ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ) ការណែនាំអថេរថ្មី និងកត្តាកត្តា។ សូមក្រឡេកមើលការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។ យកចិត្តទុកដាក់លើទម្រង់នៃការសរសេរដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រ។
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដោយជោគជ័យគឺចំណេះដឹងនៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ (ប្រធានបទទី 13 នៃការងារ 6) ។
ឧទាហរណ៍។
1. សមីការបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញបំផុត។
1) ដោះស្រាយសមីការ
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖
2) ស្វែងរកឫសនៃសមីការ
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖
2. សមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជា quadratic ។
1) ដោះស្រាយសមីការ 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ៖ដោយប្រើរូបមន្ត sin 2 x = 1 – cos 2 x យើងទទួលបាន
ចម្លើយ៖
2) ដោះស្រាយសមីការ cos 2x = 1 + 4 cosx ។
ដំណោះស្រាយ៖ដោយប្រើរូបមន្ត cos 2x = 2 cos 2 x − 1 យើងទទួលបាន
ចម្លើយ៖
3) ដោះស្រាយសមីការ tgx – 2ctgx + 1 = 0
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖
3. សមីការដូចគ្នា។
1) ដោះស្រាយសមីការ 2sinx – 3cosx = 0
ដំណោះស្រាយ៖ អនុញ្ញាតឱ្យ cosx = 0 បន្ទាប់មក 2sinx = 0 និង sinx = 0 – ភាពផ្ទុយគ្នាជាមួយនឹងការពិតដែលថា sin 2 x + cos 2 x = 1 ។ នេះមានន័យថា cosx ≠ 0 ហើយយើងអាចបែងចែកសមីការដោយ cosx ។ យើងទទួលបាន
ចម្លើយ៖
2) ស្រាយសមីការ 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
ដំណោះស្រាយ៖
យើងប្រើរូបមន្ត 1 = sin 2 x + cos 2 x និង sin 2x = 2 sinxcosx យើងទទួលបាន
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x − 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
អនុញ្ញាតឱ្យ cosx = 0 បន្ទាប់មក sin 2 x = 0 និង sinx = 0 – ភាពផ្ទុយគ្នាជាមួយនឹងការពិតដែលថា sin 2 x + cos 2 x = 1 ។
នេះមានន័យថា cosx ≠ 0 ហើយយើងអាចបែងចែកសមីការដោយ cos 2 x .
យើងទទួលបាន
tg 2 x − 6 tgx + 8 = 0
ចូរយើងសម្គាល់ tgx = y
y 2 − 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ក) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
ខ) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .
ចម្លើយ៖ arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, ក
4. សមីការនៃទម្រង់ ក sinx + ខ cosx = s, s≠ 0.
1) ដោះស្រាយសមីការ។
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖
5. សមីការដោះស្រាយដោយកត្តាកត្តា។
1) ដោះស្រាយសមីការ sin2x – sinx = 0 ។
ឫសគល់នៃសមីការ f (X) = φ ( X) អាចប្រើជាលេខ 0 តែប៉ុណ្ណោះ។ តោះពិនិត្យមើលវា៖
cos 0 = 0 + 1 - សមភាពគឺពិត។
លេខ 0 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការនេះ។
ចម្លើយ៖ 0.
វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមានពីរដំណាក់កាល៖ ការផ្លាស់ប្តូរសមីការដើម្បីទទួលបានវាសាមញ្ញបំផុត។ប្រភេទ (សូមមើលខាងលើ) និង ដំណោះស្រាយលទ្ធផលគឺសាមញ្ញបំផុត។ សមីការត្រីកោណមាត្រ។មានប្រាំពីរ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
1. វិធីសាស្ត្រពិជគណិត។
(វិធីសាស្រ្តជំនួសនិងជំនួសអថេរ) ។
2. កត្តា។
ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ៖អំពើបាប x+ កូស x = 1 .
ដំណោះស្រាយ ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទៅខាងឆ្វេង៖
អំពើបាប x+ កូស x – 1 = 0 ,
ចូរយើងបំប្លែងនិងធ្វើកត្តាកន្សោមចូល
ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖
ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 x+ បាប x cos x = 1.
ដំណោះស្រាយ៖ cos 2 x+ បាប x cos x– បាប ២ x– ខូស ២ x = 0 ,
អំពើបាប x cos x– បាប ២ x = 0 ,
អំពើបាប x· (cos x– អំពើបាប x ) = 0 ,
ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 x– កូស ៨ x+ cos ៦ x = 1.
ដំណោះស្រាយ៖ cos 2 x+ cos ៦ x= 1 + cos 8 x,
2 cos 4 x cos 2 x= 2 កូស² ៤ x ,
ខូស ៤ x · (cos 2 x- កូស ៤ x) = 0 ,
ខូស ៤ x · ២ បាប ៣ xអំពើបាប x = 0 ,
១). cos 4 x= 0, 2). បាប ៣ x= 0, 3). អំពើបាប x = 0 ,
3. ការកាត់បន្ថយទៅ សមីការដូចគ្នា។សមីការ ហៅ ភាពដូចគ្នាពី ទាក់ទងនឹង អំពើបាបនិង cos , ប្រសិនបើ ទាំងអស់របស់វា។ លក្ខខណ្ឌនៃសញ្ញាបត្រដូចគ្នាទាក់ទងទៅនឹង អំពើបាបនិង cosមុំដូចគ្នា។. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា អ្នកត្រូវការ៖ ក) ផ្លាស់ទីសមាជិកទាំងអស់របស់វាទៅផ្នែកខាងឆ្វេង; ខ) ដាក់កត្តាទូទៅទាំងអស់ចេញពីតង្កៀប; វ) ស្មើកត្តាទាំងអស់ និងតង្កៀបទៅសូន្យ។ ជី) វង់ក្រចកស្មើនឹងសូន្យផ្តល់ឱ្យ សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រតិចជាង ដែលគួរបែងចែកជា cos(ឬ អំពើបាបម) ក្នុងកម្រិតឧត្តមសិក្សា; ឃ) ដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផលដោយគោរពតាន់ . អំពើបាប 2 x+ ៤ បាប x cos x+ 5 កូស 2 x = 2. ដំណោះស្រាយ៖ ៣ បាប ២ x+ ៤ បាប x cos x+ 5 cos 2 x= បាប ២ x+ 2cos 2 x , បាប ២ x+ ៤ បាប x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , តាន់ ២ x+ ៤ តាន់ x + 3 = 0 , ពីទីនេះ y 2 + 4y +3 = 0 , ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ៖y 1 = - 1, y 2 = - 3 ដូច្នេះ 1) ត្នោត x= –1, 2) តាន់ x = –3, |
4. ការផ្លាស់ប្តូរទៅពាក់កណ្តាលមុំ។
តោះមើលវិធីសាស្រ្តនេះជាឧទាហរណ៍៖
ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយសមីការ៖ ៣អំពើបាប x- 5 កូស x = 7.
ដំណោះស្រាយ៖ ៦ បាប ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 sin² ( x/ ២) – ៦ បាប ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan²( x/ ២) – ៣ តាន់ ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. ការណែនាំអំពីមុំជំនួយ។
ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់:
កអំពើបាប x + ខ cos x = គ ,
កន្លែងណា ក, ខ, គ- មេគុណ;x- មិនស្គាល់។
ឥឡូវនេះ មេគុណនៃសមីការមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ពោលគឺ: modulus (តម្លៃដាច់ខាត) នៃនីមួយៗ ដែលមិនលើសពី 1, ហើយផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេគឺ 1. បន្ទាប់មកយើងអាចសម្គាល់បាន។ ពួកគេតាម របៀប cos និង sin (នៅទីនេះ - ហៅថា មុំជំនួយ) និងយកសមីការរបស់យើង។
ប្រធានបទ៖ msgstr "វិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ ។"
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
អប់រំ៖
អភិវឌ្ឍជំនាញដើម្បីបែងចែករវាងប្រភេទនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ;
ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ;
អប់រំ៖
បណ្តុះចំណាប់អារម្មណ៍នៃការយល់ដឹងនៅក្នុងដំណើរការអប់រំ;
ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការវិភាគភារកិច្ចដែលបានផ្តល់ឱ្យ;
អភិវឌ្ឍន៍៖
ដើម្បីអភិវឌ្ឍជំនាញនៃការវិភាគស្ថានភាពមួយ ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសវិធីសមហេតុផលបំផុតចេញពីវា។
ឧបករណ៍៖ផ្ទាំងរូបភាពដែលមានរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង អេក្រង់។
ចូរចាប់ផ្តើមមេរៀនដោយនិយាយឡើងវិញនូវបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការណាមួយ៖ កាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តាមរយៈការបំលែង សមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax = b សមីការ quadratic ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ពូថៅ 2 +bx +c=0។ក្នុងករណីសមីការត្រីកោណមាត្រ ចាំបាច់ត្រូវកាត់បន្ថយពួកវាទៅជាសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់៖ sinx = a, cosx = a, tgx = a ដែលអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល។
ជាដំបូង ជាការពិតសម្រាប់រឿងនេះ អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅលើផ្ទាំងរូបភាព៖ រូបមន្តបន្ថែម រូបមន្តមុំទ្វេ កាត់បន្ថយភាពពហុគុណនៃសមីការ។ យើងដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះរួចហើយ។ ចូរយើងធ្វើម្តងទៀតនូវពួកគេមួយចំនួន៖
ទន្ទឹមនឹងនេះដែរមានសមីការដែលដំណោះស្រាយទាមទារចំណេះដឹងអំពីបច្ចេកទេសពិសេសមួយចំនួន។
ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើងគឺត្រូវពិចារណាពីបច្ចេកទេសទាំងនេះ និងរៀបចំវិធីសាស្រ្តជាប្រព័ន្ធសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
1. ការបំប្លែងទៅជាសមីការបួនជ្រុងដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន អមដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។
សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនីមួយៗដែលបានរាយបញ្ជីជាមួយឧទាហរណ៍ ប៉ុន្តែសូមស្វែងយល់លម្អិតបន្ថែមទៀតលើពីរចុងក្រោយ ដោយសារយើងបានប្រើពីរដំបូងរួចហើយនៅពេលដោះស្រាយសមីការ។
1. ការបំប្លែងទៅជាសមីការបួនជ្រុងដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន។
2. ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា។
3. ការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។
សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ និងទីពីរ គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖
រៀងគ្នា (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) ។
នៅពេលដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា សូមបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ cosx សម្រាប់សមីការ (1) និងដោយ cos 2 x សម្រាប់ (2) ។ ការបែងចែកនេះគឺអាចធ្វើទៅបានដោយសារតែ sinx និង cosx មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ - ពួកគេក្លាយជាសូន្យនៅចំណុចផ្សេងគ្នា។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ និងទីពីរ។
ចូរយើងចងចាំសមីការនេះ៖ នៅពេលពិចារណាវិធីសាស្ត្របន្ទាប់ - ការណែនាំអំពីអាគុយម៉ង់ជំនួយ ចូរយើងដោះស្រាយវាតាមវិធីផ្សេង។
4. សេចក្តីផ្តើមនៃអាគុយម៉ង់ជំនួយ។
ចូរយើងពិចារណាសមីការដែលបានដោះស្រាយរួចហើយដោយវិធីសាស្ត្រមុន៖
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលទ្ធផលដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត៖
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា ជាទូទៅវាច្បាស់ណាស់នូវអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបែងចែកទៅជាសមីការដើម ដើម្បីណែនាំអំណះអំណាងជំនួយ។ ប៉ុន្តែវាអាចកើតឡើងដែលវាមិនច្បាស់ថាផ្នែកមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើស។ មានបច្ចេកទេសពិសេសមួយសម្រាប់រឿងនេះ ដែលឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្នុងន័យទូទៅ។ សូមឱ្យសមីការមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។