វិធីដោះស្រាយកន្សោមលោការីត។ លោការីត

ធាតុមួយនៃពិជគណិតកម្រិតបឋមគឺលោការីត។ ឈ្មោះនេះមកពីភាសាក្រិចពីពាក្យ "លេខ" ឬ "អំណាច" ហើយមានន័យថាអំណាចដែលលេខនៅក្នុងមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីស្វែងរកលេខចុងក្រោយ។

ប្រភេទនៃលោការីត

• កត់ត្រា a b - លោការីតនៃលេខ b ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
• log b – លោការីតទសភាគ (លោការីតដល់គោល ១០, a = ១០);
• ln b – លោការីតធម្មជាតិ (លោការីតដល់គោល e, a = e) ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយលោការីត?

លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលតម្រូវឱ្យ b ត្រូវបានលើកឡើងទៅមូលដ្ឋាន a ។ លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានប្រកាសដូចនេះ៖ "លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a" ។ ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាលោការីតគឺថាអ្នកត្រូវកំណត់ថាមពលដែលបានផ្តល់ឱ្យជាលេខពីលេខដែលបានបញ្ជាក់។ មានច្បាប់ជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនដើម្បីកំណត់ ឬដោះស្រាយលោការីត ក៏ដូចជាបំប្លែងសញ្ញាណដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ដោយប្រើពួកវា សមីការលោការីតត្រូវបានដោះស្រាយ ដេរីវេត្រូវបានរកឃើញ អាំងតេក្រាលត្រូវបានដោះស្រាយ និងប្រតិបត្តិការផ្សេងទៀតជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាទូទៅ ដំណោះស្រាយចំពោះលោការីតខ្លួនវាគឺជាការសម្គាល់សាមញ្ញរបស់វា។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្ត និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន៖

សម្រាប់ណាមួយ a ; a > 0; a ≠ 1 និងសម្រាប់ x ណាមួយ; y > 0 ។

• កំណត់ហេតុ a b = b – អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
• កំណត់ហេតុ a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• កត់ត្រា x/ y = កត់ត្រា x – កត់ត្រា y
• កំណត់ហេតុ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x សម្រាប់ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី។
• log a x = 1/log x a

វិធីដោះស្រាយលោការីត - ការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ដោះស្រាយ

• ដំបូងសរសេរសមីការដែលត្រូវការ។

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើលោការីតគោលគឺ 10 នោះការបញ្ចូលត្រូវបានបង្រួមជាលទ្ធផលជាលោការីតគោលដប់។ ប្រសិនបើមានលេខធម្មជាតិ e នោះយើងសរសេរវាចុះ ដោយបន្ថយវាទៅជាលោការីតធម្មជាតិ។ នេះមានន័យថាលទ្ធផលនៃលោការីតទាំងអស់គឺជាអំណាចដែលលេខគោលត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ ខ។

ដោយផ្ទាល់ ដំណោះស្រាយស្ថិតនៅក្នុងការគណនាសញ្ញាបត្រនេះ។ មុននឹងដោះស្រាយកន្សោមជាមួយលោការីត ត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅតាមច្បាប់ ពោលគឺប្រើរូបមន្ត។ អ្នកអាចស្វែងរកអត្តសញ្ញាណសំខាន់ៗដោយត្រឡប់ទៅក្រោយបន្តិចក្នុងអត្ថបទ។

នៅពេលបន្ថែម និងដកលោការីតដែលមានចំនួនពីរផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា ជំនួសដោយលោការីតមួយជាមួយនឹងផលិតផល ឬការបែងចែកលេខ b និង c រៀងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត (សូមមើលខាងលើ) ។

ប្រសិនបើអ្នកប្រើកន្សោមដើម្បីសម្រួលលោការីត វាមានដែនកំណត់មួយចំនួនដែលត្រូវពិចារណា។ ហើយនោះគឺ៖ មូលដ្ឋាននៃលោការីត a គឺគ្រាន់តែជាចំនួនវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងមួយទេ។ លេខ b ដូចជា a ត្រូវតែធំជាងសូន្យ។

មានករណីដែលតាមរយៈការធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ អ្នកនឹងមិនអាចគណនាលោការីតជាលេខបានទេ។ វាកើតឡើងថាការបញ្ចេញមតិបែបនេះមិនសមហេតុផលទេព្រោះអំណាចជាច្រើនគឺជាលេខមិនសមហេតុផល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ ទុកអំណាចនៃលេខជាលោការីត។

ពួកគេធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា។ ដូច្នេះលោការីតនៃលេខ ខផ្អែកលើ កត្រូវបានកំណត់ថាជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។

ពីរូបមន្តនេះវាធ្វើតាមការគណនា x=log a bស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ a x = b ។ឧ. កំណត់ហេតុ 2 8 = 3ដោយសារតែ 8 = 2 3 . ការបង្កើតលោការីតធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថាប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខផ្អែកលើ កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រធានបទលោការីតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងប្រធានបទនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ។

ជាមួយនឹងលោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អ្នកអាចធ្វើបាន ប្រតិបត្តិការបូកដកនិងផ្លាស់ប្តូរតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយសារតែលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទាំងស្រុង ច្បាប់ពិសេសរបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តនៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

ការបន្ថែមនិងដកលោការីត។

ចូរយកលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ a xនិង កំណត់ហេតុ y. បន្ទាប់មក​វា​អាច​ធ្វើ​ប្រតិបត្តិការ​បូក និង​ដក៖

log a x+ log a y= log a(x·y);

log a x - log a y = log a (x:y) ។

កំណត់ហេតុ ក(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = កំណត់ហេតុ a x 1 + កំណត់ហេតុ a x 2 + កំណត់ហេតុ a x 3 + ... + កំណត់ហេតុ a x k.

ពី ទ្រឹស្តីបទកូតាលោការីតទ្រព្យសម្បត្តិមួយបន្ថែមទៀតនៃលោការីតអាចទទួលបាន។ វាជាចំណេះដឹងទូទៅដែលកត់ត្រា ក 1=0 ដូច្នេះ

កំណត់ហេតុ ក 1 /ខ=កំណត់ហេតុ ក 1 - កំណត់ហេតុ ក ខ= - កំណត់ហេតុ ក ខ.

នេះមានន័យថាមានសមភាព៖

log a 1 / b = - log a b ។

លោការីតនៃលេខទៅវិញទៅមកពីរសម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នានឹងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយសញ្ញា។ ដូច្នេះ៖

កំណត់ហេតុ 3 9= - កំណត់ហេតុ 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125 ។

បញ្ហា B7 ផ្តល់នូវកន្សោមមួយចំនួនដែលចាំបាច់ត្រូវធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ លទ្ធផលគួរតែជាលេខធម្មតាដែលអាចត្រូវបានសរសេរនៅលើសន្លឹកចម្លើយ។ កន្សោមទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកជាបីប្រភេទ៖

1. លោការីត,
2. សូចនាករ
3. រួមបញ្ចូលគ្នា។

កន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតនៅក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់ពួកគេគឺមិនអាចរកឃើញបានទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការដឹងពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានគណនាគឺចាំបាច់បំផុត។

ជាទូទៅបញ្ហា B7 ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ ហើយស្ថិតនៅក្នុងសមត្ថភាពរបស់អ្នកបញ្ចប់ការសិក្សាមធ្យម។ កង្វះ​នៃ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ច្បាស់លាស់​ត្រូវ​បាន​ប៉ះប៉ូវ​ដោយ​ការ​កំណត់​ស្តង់ដារ​និង​ឯកតារបស់វា។ អ្នកអាចរៀនដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបានយ៉ាងសាមញ្ញតាមរយៈការបណ្តុះបណ្តាលច្រើន។

កន្សោមលោការីត

បញ្ហា B7 ភាគច្រើនពាក់ព័ន្ធនឹងលោការីតក្នុងទម្រង់មួយឬផ្សេងទៀត។ ប្រធានបទនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជារឿងពិបាក ចាប់តាំងពីការសិក្សារបស់វាជាធម្មតាកើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 11 ដែលជាយុគសម័យនៃការរៀបចំដ៏ធំសម្រាប់ការប្រឡងចុងក្រោយ។ ជាលទ្ធផល និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាច្រើនមានការយល់ដឹងមិនច្បាស់លាស់អំពីលោការីត។

ប៉ុន្តែ​ក្នុង​កិច្ចការ​នេះ​គ្មាន​នរណា​ម្នាក់​ទាមទារ​ចំណេះដឹង​ទ្រឹស្ដី​ស៊ីជម្រៅ​ឡើយ។ យើង​នឹង​ជួប​ប្រទះ​តែ​កន្សោម​សាមញ្ញ​បំផុត​ដែល​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ហេតុផល​សាមញ្ញ ហើយ​អាច​ធ្វើ​បាន​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ដោយ​ឯករាជ្យ។ ខាងក្រោម​នេះ​ជា​រូបមន្ត​មូលដ្ឋាន​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ដើម្បី​ទប់ទល់​នឹង​លោការីត៖

លើសពីនេះ អ្នកត្រូវតែអាចជំនួសឫស និងប្រភាគដោយអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុសមផល បើមិនដូច្នោះទេ នៅក្នុងកន្សោមខ្លះនឹងគ្មានអ្វីដែលត្រូវដកចេញពីក្រោមសញ្ញាលោការីតនោះទេ។ រូបមន្តជំនួស៖

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖
កំណត់ហេតុ ៦ ២៧០ − កំណត់ហេតុ ៦ ៧.៥
កំណត់ហេតុ ៥ ៧៧៥ − កំណត់ហេតុ ៥ ៦.២

កន្សោមពីរដំបូងត្រូវបានបំប្លែងជាភាពខុសគ្នានៃលោការីត៖
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775:6.2) = log 5 125 = 3 ។

ដើម្បីគណនាកន្សោមទីបី អ្នកនឹងត្រូវញែកអំណាច - ទាំងក្នុងមូលដ្ឋាន និងក្នុងអាគុយម៉ង់។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកលោការីតខាងក្នុង៖

បន្ទាប់មក - ខាងក្រៅ៖

ការស្ថាបនាទម្រង់ log a log b x ហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញ និងមានការយល់ច្រលំចំពោះមនុស្សជាច្រើន។ ទន្ទឹមនឹងនេះ នេះគ្រាន់តែជាលោការីត លោការីត ពោលគឺលោការីត។ កំណត់ហេតុ a (កំណត់ហេតុ b x) ។ ដំបូង លោការីតខាងក្នុងត្រូវបានគណនា (តោះដាក់ log b x = c) ហើយបន្ទាប់មករូបខាងក្រៅ៖ log a c។

ការបញ្ចេញមតិ

យើងនឹងហៅកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល សំណង់ណាមួយនៃទម្រង់ a k ដែលលេខ a និង k ជាចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត និង a > 0។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ធ្វើការជាមួយកន្សោមបែបនេះគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។

ខាងក្រោមនេះគឺជារូបមន្តមូលដ្ឋានដែលអ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹង។ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងនេះក្នុងការអនុវត្តជាក្បួនមិនបង្កបញ្ហាទេ។

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n ។

ប្រសិនបើអ្នកឆ្លងកាត់កន្សោមស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងអំណាច ហើយវាមិនច្បាស់អំពីរបៀបចូលទៅជិតវាទេ ចូរប្រើបច្ចេកទេសសកល - ការបំបែកទៅជាកត្តាសាមញ្ញ។ ជាលទ្ធផលចំនួនដ៏ធំនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃអំណាចត្រូវបានជំនួសដោយធាតុសាមញ្ញនិងអាចយល់បាន។ បន្ទាប់មកអ្វីៗដែលនៅសល់គឺត្រូវអនុវត្តរូបមន្តខាងលើ - ហើយបញ្ហានឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7:3 6:16 5, 30 6:6 5:25 ២.

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបំបែកមូលដ្ឋាននៃអំណាចទាំងអស់ទៅជាកត្តាសាមញ្ញ៖
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189 ។
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6 ។
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

ភារកិច្ចរួមបញ្ចូលគ្នា

ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់រូបមន្ត នោះកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតទាំងអស់អាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈក្នុងមួយជួរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងបញ្ហា B7 អំណាច និងលោការីតអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាដើម្បីបង្កើតជាបន្សំខ្លាំង។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ ក្រាហ្វ ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ រូបមន្តមូលដ្ឋាន ដេរីវេទីវ អាំងតេក្រាល ការពង្រីកស៊េរីថាមពល និងការតំណាងនៃអនុគមន៍ ln x ដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ

លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារ y = ln x, បញ្ច្រាសនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, x = e y, និងជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាននៃលេខ e: ln x = log e x.

លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពីព្រោះដេរីវេរបស់វាមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖ (ln x)′ = 1/ x.

ផ្អែកលើ និយមន័យមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិគឺជាលេខ អ៊ី:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ln x.

ក្រាហ្វនៃលោការីតធម្មជាតិ (មុខងារ y = ln x) ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដោយការឆ្លុះបញ្ចាំងពីកញ្ចក់ទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = x ។

លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននៃអថេរ x ។

វាកើនឡើងឯកតានៅក្នុងដែននៃនិយមន័យរបស់វា។ 0 នៅ x →

ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺដកគ្មានកំណត់ (-∞) ។

ជា x → + ∞ ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (+ ∞) ។ សម្រាប់ x ធំ លោការីតកើនឡើងយឺតណាស់។ អនុគមន៍ x a ដែលមាននិទស្សន្តវិជ្ជមាន a លូតលាស់លឿនជាងលោការីត។

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតធម្មជាតិ

ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ ភាពខ្លាំង ការកើនឡើង ការថយចុះ

លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារដែលកើនឡើងដោយឯកតោភាគី ដូច្នេះហើយវាមិនមានភាពជ្រុលនិយមទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃលោការីតធម្មជាតិត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាង។

ln x តម្លៃ

រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ

រូបមន្តខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស៖

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត និងផលវិបាករបស់វា។

រូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន

លោការីតណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលក្ខណៈលោការីតធម្មជាតិដោយប្រើរូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន៖

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "លោការីត" ។

មុខងារបញ្ច្រាស

បញ្ច្រាសលោការីតធម្មជាតិគឺជានិទស្សន្ត។

បើអញ្ចឹង

បើអញ្ចឹង។

ដេរីវេ ln x

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖
.
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិនៃម៉ូឌុល x៖
.
ដេរីវេនៃលំដាប់លេខ:
.
ការ​បង្កើត​រូបមន្ត >> >>

អាំងតេក្រាល។

អាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖
.
ដូច្នេះ

កន្សោមដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិច

ពិចារណាមុខងារនៃអថេរ z ស្មុគស្មាញ៖
.
ចូរបង្ហាញពីអថេរស្មុគស្មាញ zតាមរយៈម៉ូឌុល rនិងអាគុយម៉ង់ φ :
.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត យើងមាន៖
.
ឬ
.
អាគុយម៉ង់φមិនត្រូវបានកំណត់ជាពិសេសទេ។ ប្រសិនបើអ្នកដាក់
ដែល n ជាចំនួនគត់
វានឹងជាលេខដូចគ្នាសម្រាប់ n ។

ដូច្នេះ លោការីតធម្មជាតិ ជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ មិនមែនជាអនុគមន៍តម្លៃតែមួយទេ។

ការពង្រីកស៊េរីថាមពល

នៅពេលដែលការពង្រីកកើតឡើង៖

អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតមហាវិទ្យាល័យ, “Lan”, ឆ្នាំ ២០០៩។

ភារកិច្ចដែលដំណោះស្រាយគឺ ការបំប្លែងកន្សោមលោការីតគឺជារឿងធម្មតានៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ដើម្បីដោះស្រាយដោយជោគជ័យជាមួយនឹងពេលវេលាតិចតួចបំផុត បន្ថែមពីលើអត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន អ្នកត្រូវដឹង និងប្រើរូបមន្តមួយចំនួនទៀតឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

នេះគឺជា៖ កំណត់ហេតុ a b = b ដែល a, b> 0, a ≠ 1 (វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃលោការីត)។

log a b = log c b / log c a ឬ log a b = 1/ log b a
ដែល a, b, c> 0; a, c ≠ ១.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
ដែល a, b> 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0 ។

a log c b = b log c a
ដែល a, b, c > 0 និង a, b, c ≠ 1

ដើម្បីបង្ហាញសុពលភាពនៃសមភាពទីបួន ចូរយើងយកលោការីតនៃជ្រុងខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ មកមូលដ្ឋាន a ។ យើងទទួលបាន log a (a log with b) = log a (b log with a) ឬ log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log with b = log with b.

យើងបានបង្ហាញភាពស្មើគ្នានៃលោការីត ដែលមានន័យថាកន្សោមនៅក្រោមលោការីតក៏ស្មើគ្នាដែរ។ រូបមន្ត 4 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ១.

គណនា 81 log 27 5 log 5 4 .

ដំណោះស្រាយ។

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. ដូច្នេះហើយ.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

បន្ទាប់មក 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4 ។

អ្នកអាចបំពេញកិច្ចការខាងក្រោមដោយខ្លួនឯងបាន។

គណនា (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 ៥.

ជាជំនួយ 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; កំណត់ហេតុ 0.2 5 = −1 ។

ចម្លើយ៖ ៥.

ឧទាហរណ៍ ២.

គណនា (√11) កំណត់ហេតុ √3 ៩-កំណត់ហេតុ ១២១ ៨១ .

ដំណោះស្រាយ។

ចូរផ្លាស់ប្តូរកន្សោម៖ 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, កំណត់ហេតុ √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (រូបមន្ត 3 ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់)។

បន្ទាប់មក (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 កំណត់ហេតុ 11 3) = 121/3 ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

គណនាកំណត់ហេតុ 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 ២ .

ដំណោះស្រាយ។

យើងជំនួសលោការីតដែលមានក្នុងឧទាហរណ៍ដោយលោការីតជាមួយគោល 2 ។

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3)។

បន្ទាប់មក log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3)។

បន្ទាប់​ពី​បើក​វង់ក្រចក ហើយ​នាំ​ពាក្យ​ស្រដៀង​គ្នា យើង​ទទួល​បាន​លេខ 3។ (ពេល​សម្រួល​កន្សោម យើង​អាច​សម្គាល់​កំណត់​ហេតុ 2 3 ដោយ n និង​សម្រួល​កន្សោម

(3 + n) · (5 + n) - (6 + n)(2 + n)) ។

ចម្លើយ៖ ៣.

អ្នកអាចបំពេញកិច្ចការខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង៖

គណនា ( log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរទៅលោការីតគោល 3 និងកត្តានៃចំនួនធំទៅជាកត្តាសំខាន់។

ចម្លើយ៖ ១/២

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ផ្តល់លេខបី A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. រៀបចំពួកវាតាមលំដាប់ឡើង។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរបំប្លែងលេខ A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0.5 12 – log 0.5 3 = log 0.5 12/3 = log 0.5 4 = -2.

ចូរយើងប្រៀបធៀបពួកគេ។

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 និង log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

ឬ -២< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

ចម្លើយ។ ដូច្នេះលំដាប់នៃការដាក់លេខគឺ: C; ក; IN

ឧទាហរណ៍ 5 ។

តើចំនួនគត់មានប៉ុន្មានក្នុងចន្លោះពេល (កំណត់ហេតុ 3 1/16; កំណត់ហេតុ 2 6 48) ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងកំណត់រវាងអំណាចនៃលេខ 3 ដែលលេខ 1/16 ស្ថិតនៅ។ យើងទទួលបាន 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

ដោយសារអនុគមន៍ y = log 3 x កំពុងកើនឡើង បន្ទាប់មក log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3) ។ ចូរប្រៀបធៀបកំណត់ហេតុ 6 (4/3) និង 1/5 ។ ហើយសម្រាប់នេះយើងប្រៀបធៀបលេខ 4/3 និង 6 1/5 ។ ចូរ​លើក​លេខ​ទាំង​ពីរ​ទៅ​អំណាច​ទី ៥។ យើងទទួលបាន (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

កំណត់ហេតុ ៦ (៤/៣)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

ដូច្នេះ ចន្លោះពេល (log 3 1/16; log 6 48) រួមបញ្ចូលចន្លោះពេល [-2; 4] ហើយចំនួនគត់ -2 ត្រូវបានដាក់នៅលើវា; -1; 0; 1; ២; ៣; ៤.

ចម្លើយ៖ ៧ ចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍ ៦.

គណនា 3 lglg 2/ lg 3 - lg20 ។

ដំណោះស្រាយ។

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2 ។

បន្ទាប់មក 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1 ។

ចម្លើយ៖ -១.

ឧទាហរណ៍ ៧.

គេដឹងថា log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. រក log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2)។

ដំណោះស្រាយ។

លេខ (√3 + 1) និង (√3 – 1); (√6 − 2) និង (√6 + 2) ជាបន្សំ។

ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងនៃកន្សោមខាងក្រោម

√3 − 1 = (√3 − 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 − 2)) / (√6 − 2) = 2/(√6 − 2) ។

បន្ទាប់មក log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

កំណត់ហេតុ 2 2 – កំណត់ហេតុ 2 (√3 + 1) + កំណត់ហេតុ 2 2 – កំណត់ហេតុ 2 (√6 – 2) = 1 – កំណត់ហេតុ 2 (√3 + 1) + 1 – កំណត់ហេតុ 2 (√6 – 2) =

2 – កំណត់ហេតុ 2 (√3 + 1) – កំណត់ហេតុ 2 (√6 – 2) = 2 – A ។

ចម្លើយ៖ ២- ក។

ឧទាហរណ៍ ៨.

សម្រួល និងស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃកន្សោម (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 ។

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយលោការីតទាំងអស់ទៅជាមូលដ្ឋានទូទៅ 10 ។

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ lg 2 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើតារាង ច្បាប់ស្លាយ ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ)។

ចម្លើយ៖ ០.៣០១០ ។

ឧទាហរណ៍ 9.

គណនា log a 2 b 3 √(a 11 b -3) ប្រសិនបើ log √ a b 3 = 1. (ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ a 2 b 3 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត)។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើ log √ a b 3 = 1 នោះ 3/(0.5 log a b = 1. ហើយ log a b = 1/6 ។

បន្ទាប់មក log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ពិចារណាថា log a b = 1/ 6 យើងទទួលបាន (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1 ។

ចម្លើយ៖ ២.១.

អ្នកអាចបំពេញកិច្ចការខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង៖

គណនា log √3 6 √2.1 if log 0.7 27 = a.

ចម្លើយ៖ (៣ + ក) / (៣ ក) ។

ឧទាហរណ៍ 10 ។

គណនា 6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

ដំណោះស្រាយ។

6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​log 13 3) 2 + 6 ។

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (រូបមន្តទី 4))

យើងទទួលបាន 9 + 6 = 15 ។

ចម្លើយ៖ ១៥.

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមលោការីតមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។