ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងដោយប្រើគ្រោងការណ៍ Horner ។ សមីការក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងឫសសនិទាននៃពហុនាម

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• បង្រៀនសិស្សឱ្យចេះដោះស្រាយសមីការ សញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner;
• អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាគូ;
• បង្កើត ដោយភ្ជាប់ជាមួយផ្នែកសំខាន់ៗនៃវគ្គសិក្សា ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពរបស់សិស្ស។
• ជួយសិស្សឱ្យវាយតម្លៃសក្តានុពលរបស់គាត់ អភិវឌ្ឍចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា សមត្ថភាពក្នុងការគិត និងនិយាយចេញពីប្រធានបទ។

ឧបករណ៍៖កាតសម្រាប់ការងារជាក្រុម ផ្ទាំងរូបភាពជាមួយដ្យាក្រាមរបស់ Horner ។

វិធីសាស្រ្តបង្រៀន៖ការបង្រៀន, រឿង, ការពន្យល់, ការអនុវត្តការបណ្តុះបណ្តាល។

ទម្រង់នៃការគ្រប់គ្រង៖ត្រួតពិនិត្យភារកិច្ច ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ, ការងារឯករាជ្យ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពេលរៀបចំ

2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្ស

ទ្រឹស្ដីមួយណាដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ថាតើលេខជាឫស? សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ(បង្កើតទ្រឹស្តីបទ)?

ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាម P(x) ដោយ binomial x-c គឺស្មើគ្នា P(c) លេខ c ត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃពហុធា P(x) ប្រសិនបើ P(c)=0។ ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាត ដោយមិនធ្វើប្រតិបត្តិការបែងចែក ដើម្បីកំណត់ថាតើ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យឫសនៃពហុធា។

តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍អ្វីខ្លះដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកឫស?

ក) ប្រសិនបើមេគុណនាំមុខនៃពហុធា ស្មើនឹងមួយ។បន្ទាប់មកឫសនៃពហុនាមគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមផ្នែកនៃពាក្យសេរី។

ខ) ប្រសិនបើផលបូកនៃមេគុណនៃពហុនាមគឺ 0 នោះឫសមួយគឺ 1 ។

គ) ប្រសិនបើផលបូកនៃមេគុណនៅកន្លែងគូគឺស្មើនឹងផលបូកនៃមេគុណនៅកន្លែងសេស នោះឫសមួយគឺស្មើនឹង -1 ។

ឃ) ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់គឺវិជ្ជមាន នោះឫសនៃពហុនាមគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។

ង) ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ឫសពិត.

3. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

នៅពេលដោះស្រាយចំនួនគត់ សមីការពិជគណិតអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃឫសនៃពហុធា។ ប្រតិបត្តិការនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់ប្រសិនបើការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយពិសេសដែលហៅថាគ្រោងការណ៍ Horner ។ សៀគ្វីនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអង់គ្លេស William George Horner ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺជាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាចំនួនកូតា និងនៅសល់នៃការបែងចែកពហុធា P(x) ដោយ x-c ។ សង្ខេបពីរបៀបដែលវាដំណើរការ។

អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាមបំពាន P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ការបែងចែកពហុនាមនេះដោយ x-c គឺជាតំណាងរបស់វាក្នុងទម្រង់ P(x)=(x-c)g(x) + r(x) ។ g(x)ដោយផ្នែក=ក្នុង 0 x n-1 + ក្នុង n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1 ដែលក្នុង 0 =a 0 ក្នុង n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1។ នៅសល់ r(x)= st n-1 +a n ។ វិធីសាស្រ្តគណនានេះត្រូវបានគេហៅថាគ្រោងការណ៍ Horner ។ ពាក្យ "គ្រោងការណ៍" នៅក្នុងឈ្មោះនៃក្បួនដោះស្រាយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការប្រតិបត្តិរបស់វាជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការ។ តាមវិធីខាងក្រោម. ដំបូងគូរតារាង 2(n+2)។ នៅ​ក្នុង​ក្រឡា​ខាង​ឆ្វេង​ខាង​ក្រោម​សរសេរ​លេខ c ហើយ​នៅ​ជួរ​ខាង​លើ មេគុណ​ពហុធា P(x)។ ក្នុង​ករណី​នេះ ក្រឡា​ខាង​លើ​ត្រូវ​បាន​ទុក​ឱ្យ​ទទេ។

	ក្នុង 0 = a 0	ក្នុង 1 = st 1 + a 1	ក្នុង 2 = sv 1 + ក 2		នៅក្នុង n-1 = st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

លេខដែលបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិក្បួនដោះស្រាយ ប្រែថាត្រូវបានសរសេរក្នុងក្រឡាខាងក្រោមខាងស្តាំ គឺជាចំនួនដែលនៅសល់នៃការបែងចែកពហុធា P(x) ដោយ x-c ។ លេខផ្សេងទៀតនៅក្នុង 0, ក្នុង 1, ក្នុង 2, ... នៅក្នុងបន្ទាត់ខាងក្រោមគឺជាមេគុណនៃកូតា។

ឧទាហរណ៍៖ ចែកពហុនាម P(x) = x 3 -2x+3 ដោយ x-2 ។

យើងទទួលបាននោះ x 3 −2x + 3 = (x −2) (x 2 + 2x + 2) + 7 ។

4. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សា

ឧទាហរណ៍ 1៖បញ្ចូលពហុធា P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ទៅជាកត្តាដែលមានមេគុណចំនួនគត់។

យើងកំពុងស្វែងរកឫសគល់ទាំងមូលក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ -1: 1; -១. តោះធ្វើតារាង៖

X = -1 - ឫស

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

តោះពិនិត្យមើល 1/2 ។

					X = 1/2 - ឫស

ដូច្នេះ ពហុធា P(x) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ឧទាហរណ៍ 2៖ដោះស្រាយសមីការ 2x 4 − 5x 3 + 5x 2 – 2 = 0

ដោយសារផលបូកនៃមេគុណនៃពហុនាមដែលសរសេរនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺ 1។ ចូរប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

						X = 1 - ឫស

យើងទទួលបាន P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) ។ យើង​នឹង​ស្វែងរក​ឫសគល់​ក្នុង​ចំណោម​ផ្នែក​នៃ​ពាក្យ​សេរី 2 ។

យើងបានរកឃើញថាមិនមានឫសគល់នៅដដែល។ តោះពិនិត្យមើល 1/2; -1/2 ។

					X = -1/2 - ឫស

ចម្លើយ៖ ១; -1/2 ។

ឧទាហរណ៍ 3៖ដោះស្រាយសមីការ 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 –3x+ 5 = 0 ។

យើង​នឹង​ស្វែងរក​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​នេះ​ក្នុង​ចំណោម​ផ្នែក​នៃ​ពាក្យ​សេរី 5:1;-1;5;-5 ។ x=1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណគឺសូន្យ។ តោះប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

សូមបង្ហាញសមីការជាផលគុណនៃកត្តាបី៖ (x-1) (x-1) (5x 2 −7x + 5) = 0 ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5x 2 -7x + 5=0 យើងទទួលបាន D=49-100=-51 មិនមានឫសគល់ទេ។

កាត 1

1. កត្តាពហុនាម៖ x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ 27x 3 −15x 2 +5x–1=0

កាត 2

1. កត្តាពហុនាម៖ x 4 − x 3 −7x 2 +13x–6
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ x 4 + 2x 3 -13x 2 -38x-24=0

កាត ៣

1. កត្តាចូលទៅក្នុង៖ 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ x 3 −2x 2 +4x–8=0

កាត ៤

1. កត្តាចូលទៅក្នុង៖ 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. សង្ខេប

ការធ្វើតេស្តចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយជាគូត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងថ្នាក់ដោយទទួលស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃសកម្មភាពនិងឈ្មោះនៃចម្លើយ។

កិច្ចការ​ផ្ទះ:

ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) x 4 −3x 3 +4x 2 −3x+1=0

ខ) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

គ) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

ឃ) x 4 +2x 3 -x-2=0

អក្សរសិល្ប៍

1. N.Ya. Vilenkin et al., ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, ថ្នាក់ទី 10 ( ការសិក្សាស៊ីជម្រៅគណិតវិទ្យា)៖ ការត្រាស់ដឹង, ២០០៥។
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់: វ៉ុលហ្គោក្រាដ, 2007 ។
3. S.B. Gashkov ប្រព័ន្ធលេខ និងកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។

ល។ មានលក្ខណៈអប់រំទូទៅ និងមាន សារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យដើម្បីសិក្សាវគ្គសិក្សា ENTIRE គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង. ថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយឡើងវិញនូវសមីការ "សាលា" ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រាន់តែ "សាលា" នោះទេ - ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវបានរកឃើញនៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅក្នុង កិច្ចការផ្សេងៗ vyshmat ។ ដូចធម្មតា រឿងនឹងត្រូវបានប្រាប់តាមរបៀបអនុវត្ត ពោលគឺឧ។ ខ្ញុំនឹងមិនផ្តោតលើនិយមន័យ និងចំណាត់ថ្នាក់ទេ ប៉ុន្តែនឹងចែករំលែកជាមួយអ្នកយ៉ាងពិតប្រាកដ បទពិសោធន៍​ផ្ទាល់ខ្លួនដំណោះស្រាយ។ ព័ត៌មាន​ត្រូវ​បាន​បម្រុង​ទុក​ជា​ចម្បង​សម្រាប់​អ្នក​ចាប់ផ្តើម​ដំបូង ប៉ុន្តែ​អ្នក​អាន​ដែល​ជឿនលឿន​ជាង​នេះ​ក៏​នឹង​រក​ឃើញ​ច្រើន​សម្រាប់​ខ្លួន​គេ​ដែរ។ គ្រាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍. ហើយជាការពិតណាស់នឹងមាន សម្ភារៈថ្មី។, ទៅហួស វិទ្យាល័យ.

ដូច្នេះ សមីការ... មនុស្សជាច្រើនចងចាំពាក្យនេះដោយញាប់ញ័រ។ តើសមីការ "ស្មុគ្រស្មាញ" ដែលមានឫសគល់មានតម្លៃ ...... បំភ្លេចវាទៅ! ដោយសារតែបន្ទាប់មកអ្នកនឹងជួប "អ្នកតំណាង" ដែលមិនបង្កគ្រោះថ្នាក់បំផុតនៃប្រភេទនេះ។ ឬគួរឱ្យធុញ សមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយរាប់សិប។ និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំពិតជាមិនចូលចិត្តពួកគេទេ... កុំភ័យខ្លាច! - បន្ទាប់មកភាគច្រើន "dandelions" កំពុងរង់ចាំអ្នកជាមួយនឹងដំណោះស្រាយជាក់ស្តែងក្នុង 1-2 ជំហាន។ ទោះបីជា "burdock" ជាប់ពាក់ព័ន្ធក៏ដោយអ្នកត្រូវតែមានគោលបំណងនៅទីនេះ។

ចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ហើយ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ វាជារឿងធម្មតាច្រើនក្នុងការដោះស្រាយសមីការបឋមដូចជា លីនេអ៊ែរសមីការ

តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការដោះស្រាយសមីការនេះ? នេះមានន័យថាការស្វែងរកតម្លៃនៃ "x" (root) ដែលប្រែវាទៅជា សមភាពពិត. ចូរបោះ "បី" ទៅខាងស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា:

ហើយទម្លាក់ "ពីរ" ទៅខាងស្តាំ (ឬរឿងដូចគ្នា - គុណទាំងសងខាងដោយ) :

ដើម្បីពិនិត្យមើល ចូរយើងជំនួសពានរង្វាន់ដែលឈ្នះទៅក្នុងសមីការដើម៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺពិតជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។ ឬដូចដែលពួកគេនិយាយផងដែរ បំពេញសមីការនេះ។

សូមចំណាំថា root ក៏អាចសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។ ទសភាគ:
ហើយព្យាយាមកុំប្រកាន់ខ្ជាប់នូវស្ទីលអាក្រក់នេះ! ខ្ញុំបាននិយាយឡើងវិញនូវហេតុផលច្រើនជាងម្តង ជាពិសេសនៅមេរៀនដំបូងបំផុតនៅលើ ពិជគណិតខ្ពស់ជាង.

ដោយវិធីនេះសមីការក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយ "ជាភាសាអារ៉ាប់"៖

ហើយអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត - ធាតុនេះ។ស្របច្បាប់ទាំងស្រុង! ប៉ុន្តែ​បើ​អ្នក​មិន​មែន​ជា​គ្រូ​ទេ នោះ​មិន​គួរ​ធ្វើ​បែប​នេះ​ទេ ព្រោះ​ភាព​ដើម​មាន​ទោស​នៅ​ទីនេះ =)

ហើយឥឡូវនេះបន្តិចអំពី

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក

សមីការមានទម្រង់ និងឫសគល់របស់វា។ "X" សំរបសំរួល ចំណុចប្រសព្វ ក្រាហ្វមុខងារលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងកាលវិភាគ មុខងារលីនេអ៊ែរ (អ័ក្ស x):

វានឹងហាក់បីដូចជាឧទាហរណ៍នេះមានលក្ខណៈបឋមដែលមិនមានអ្វីច្រើនទៀតដើម្បីវិភាគនៅទីនេះ ប៉ុន្តែភាពមិននឹកស្មានដល់មួយទៀតអាចត្រូវបាន "ច្របាច់" ចេញពីវា៖ សូមបង្ហាញសមីការដូចគ្នាក្នុងទម្រង់ និងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ៖

ម្ល៉ោះហើយ សូមកុំច្រឡំគំនិតទាំងពីរ៖ សមីការ គឺជាសមីការ និង មុខងារ- នេះជាមុខងារ! មុខងារ ជួយតែប៉ុណ្ណោះស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។ ក្នុងចំណោមនោះអាចមានពីរ បី បួន ឬច្រើនគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ជិតស្និទ្ធបំផុតក្នុងន័យនេះគឺល្បី សមីការ​ការ៉េ, ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដែលបានទទួលកថាខណ្ឌដាច់ដោយឡែកមួយ។ រូបមន្តសាលា "ក្តៅ". ហើយនេះមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេ! ប្រសិនបើអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការ quadratic និងដឹង ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រដូច្នេះ គេអាចនិយាយបានថា "ពាក់កណ្តាលនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះគឺនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នករួចហើយ" =) ជាការបំផ្លើស ប៉ុន្តែមិនឆ្ងាយពីការពិតទេ!

ដូច្នេះ ចូរយើងកុំខ្ជិល ហើយដោះស្រាយសមីការ quadratic មួយចំនួនដោយប្រើ ក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ:

ដែលមានន័យថាសមីការមានពីរផ្សេងគ្នា ត្រឹមត្រូវ។ឫស៖

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាតម្លៃដែលបានរកឃើញទាំងពីរពិតជាបំពេញសមីការនេះ៖

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើអ្នកស្រាប់តែភ្លេចក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ ហើយគ្មានមធ្យោបាយ/ជំនួយនៅក្នុងដៃ? ស្ថានភាពនេះអាចកើតឡើងជាឧទាហរណ៍ អំឡុងពេលធ្វើតេស្ត ឬប្រឡង។ យើងប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក! ហើយមានវិធីពីរយ៉ាង៖ អ្នកអាចធ្វើបាន បង្កើតចំណុចដោយចំណុចប៉ារ៉ាបូឡា ដោយហេតុនេះការស្វែងរកកន្លែងដែលវាប្រសព្វអ័ក្ស (ប្រសិនបើវាឆ្លងកាត់ទាំងអស់). ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការធ្វើអ្វីមួយដែលមានល្បិចកលជាងមុន៖ ស្រមៃមើលសមីការក្នុងទម្រង់ គូរក្រាហ្វបន្ថែមទៀត មុខងារសាមញ្ញ- និង កូអរដោនេ "X"ចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់!


ប្រសិនបើវាប្រែថាបន្ទាត់ត្រង់ប៉ះប៉ារ៉ាបូឡា នោះសមីការមានឫសពីរដែលត្រូវគ្នា (ច្រើន)។ ប្រសិនបើវាប្រែថាបន្ទាត់ត្រង់មិនប្រសព្វប៉ារ៉ាបូឡាទេនោះមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះជាការពិតណាស់អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពសាងសង់ ក្រាហ្វនៃមុខងារបឋមប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ សូម្បីតែសិស្សសាលាក៏អាចធ្វើជំនាញទាំងនេះបានដែរ។

ហើយម្តងទៀត - សមីការគឺជាសមីការ ហើយមុខងារ គឺជាមុខងារដែល ទើបតែបានជួយដោះស្រាយសមីការ!

ហើយនៅទីនេះ ដោយវិធីនេះ វាជាការសមរម្យក្នុងការចងចាំរឿងមួយបន្ថែមទៀត៖ ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់នៃសមីការត្រូវបានគុណដោយលេខមិនមែនសូន្យ នោះឫសរបស់វានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។.

ដូច្នេះឧទាហរណ៍សមីការ មានឫសដូចគ្នា។ ជា "ភ័ស្តុតាង" ដ៏សាមញ្ញ ខ្ញុំនឹងដកថេរចេញពីតង្កៀប៖
ហើយខ្ញុំនឹងយកវាចេញដោយគ្មានការឈឺចាប់ (ខ្ញុំនឹងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ "ដកពីរ"):

តែ!ប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារ បន្ទាប់មកអ្នកមិនអាចកម្ចាត់ថេរនៅទីនេះបានទេ! វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យយកមេគុណចេញពីតង្កៀបប៉ុណ្ណោះ៖ .

មនុស្សជាច្រើនមើលស្រាលវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក ដោយពិចារណាថាវាជាអ្វីដែល "មិនថ្លៃថ្នូរ" ហើយអ្នកខ្លះថែមទាំងភ្លេចទាំងស្រុងអំពីលទ្ធភាពនេះ។ ហើយនេះជាការខុសជាមូលដ្ឋាន ដោយហេតុថាការគូសក្រាហ្វិកពេលខ្លះគ្រាន់តែជួយសង្រ្គោះស្ថានភាពប៉ុណ្ណោះ!

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ ឧបមាថាអ្នកមិនចាំឫសគល់នៃសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត៖ . រូបមន្តទូទៅគឺនៅក្នុង សៀវភៅសិក្សារបស់សាលានៅក្នុងសៀវភៅយោងទាំងអស់នៅលើ គណិតវិទ្យាបឋមប៉ុន្តែពួកគេមិនមានសម្រាប់អ្នកទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការដោះស្រាយសមីការគឺសំខាន់ណាស់ (ហៅថា "ពីរ") ។ មានច្រកចេញ! - បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ៖


បន្ទាប់មកយើងសរសេរដោយស្ងប់ស្ងាត់នូវកូអរដោនេ "X" នៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ៖

មានឫសច្រើនមិនចេះចប់ ហើយនៅក្នុងពិជគណិតសញ្ញាណ condensed របស់វាត្រូវបានទទួលយក៖
, កន្លែងណា ( – សំណុំនៃចំនួនគត់) .

ហើយដោយគ្មាន "ទៅឆ្ងាយ" ពាក្យពីរបីអំពីវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយអថេរមួយ។ គោលការណ៍គឺដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺ "x" ណាមួយ ពីព្រោះ sinusoid ស្ទើរតែទាំងស្រុងនៅក្រោមបន្ទាត់ត្រង់។ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព គឺជាសំណុំនៃចន្លោះពេល ដែលបំណែកនៃ sinusoid ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ (អ័ក្ស x):

ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖

ប៉ុន្តែនេះគឺជាដំណោះស្រាយជាច្រើនចំពោះវិសមភាព៖ ទទេចាប់តាំងពីគ្មានចំនុចនៃ sinusoid ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់។

តើមានអ្វីដែលអ្នកមិនយល់ទេ? ប្រញាប់សិក្សាមេរៀនអំពី សំណុំនិង ក្រាហ្វិកមុខងារ!

តោះ​ក្តៅៗ៖

លំហាត់ 1

ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រខាងក្រោមជាក្រាហ្វិក៖

ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដើម្បីសិក្សា វិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដមិនចាំបាច់បង្ខិតរូបមន្ត និងសៀវភៅយោងទេ! លើសពីនេះទៅទៀត នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តដែលមានកំហុសជាមូលដ្ឋាន។

ដូចដែលខ្ញុំបានធានាអ្នករួចហើយនៅដើមដំបូងនៃមេរៀន សមីការត្រីកោណមាត្រស្មុគស្មាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្តង់ដារនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ត្រូវតែត្រូវបានដោះស្រាយកម្រណាស់។ ភាពស្មុគ្រស្មាញទាំងអស់ ជាក្បួនបញ្ចប់ដោយសមីការដូចជា ដំណោះស្រាយដែលជាក្រុមឫសគល់ពីរដែលកើតចេញពីសមីការសាមញ្ញបំផុត និង . កុំ​បារម្ភ​ខ្លាំង​ពេក​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​រឿង​ក្រោយ​ទៀត – មើល​ក្នុង​សៀវភៅ ឬ​រក​វា​តាម​អ៊ីនធឺណិត =)

វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកក៏អាចជួយក្នុងករណីដែលមិនសូវសំខាន់ផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ "ragtag" ខាងក្រោម៖

ការរំពឹងទុកសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់វាមើលទៅ ... មិនមើលទៅដូចអ្វីទាំងអស់ ប៉ុន្តែអ្នកគ្រាន់តែត្រូវស្រមៃមើលសមីការក្នុងទម្រង់ បង្កើត ក្រាហ្វិកមុខងារហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងប្រែទៅជាសាមញ្ញមិនគួរឱ្យជឿ។ មានគំនូរមួយនៅកណ្តាលអត្ថបទអំពី មុខងារគ្មានកំណត់ (នឹងបើកនៅក្នុងផ្ទាំងបន្ទាប់).

ដូចគ្នា វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកអ្នកអាចដឹងថាសមីការមានឫសពីររួចហើយ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ស្មើនឹងសូន្យនិងមួយទៀត ជាក់ស្តែង មិនសមហេតុផលនិងជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ បានផ្ដល់ជា rootអាចត្រូវបានគណនាប្រហែលឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តតង់សង់. ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន វាកើតឡើងដែលអ្នកមិនចាំបាច់ស្វែងរកឬសនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវស្វែងរក តើពួកគេមានទាំងអស់ទេ?. ហើយនៅទីនេះផងដែរ គំនូរអាចជួយបាន - ប្រសិនបើក្រាហ្វមិនប្រសព្វគ្នា នោះគ្មានឫសទេ។

ឫសសនិទាននៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់។
គ្រោងការណ៍ Horner

ហើយឥឡូវនេះខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យបង្វែរការសម្លឹងរបស់អ្នកទៅកាន់មជ្ឈិមសម័យ ហើយមានអារម្មណ៍ថាមានបរិយាកាសពិសេសនៃពិជគណិតបុរាណ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីសម្ភារៈ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានយ៉ាងហោចណាស់បន្តិច លេខស្មុគស្មាញ.

ពួកគេគឺល្អបំផុត។ ពហុនាម។

វត្ថុនៃការចាប់អារម្មណ៍របស់យើងនឹងជាពហុនាមទូទៅបំផុតនៃទម្រង់ជាមួយ ទាំងមូលមេគុណ លេខធម្មជាតិហៅ ដឺក្រេនៃពហុនាមលេខ - មេគុណនៃកំរិតខ្ពស់បំផុត (ឬគ្រាន់តែជាមេគុណខ្ពស់បំផុត)ហើយមេគុណគឺ សមាជិកឥតគិតថ្លៃ.

ខ្ញុំនឹងបញ្ជាក់ដោយសង្ខេបពីពហុនាមនេះដោយ .

ឫសគល់នៃពហុនាមហៅឫសនៃសមីការ

ខ្ញុំចូលចិត្តតក្កវិជ្ជាដែក =)

ជាឧទាហរណ៍ សូមចូលទៅកាន់ដើមអត្ថបទ៖

មិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមនៃដឺក្រេទី 1 និងទី 2 នោះទេប៉ុន្តែនៅពេលដែលអ្នកបង្កើនភារកិច្ចនេះកាន់តែពិបាក។ ទោះបីជាផ្ទុយទៅវិញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាង! ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលផ្នែកទីពីរនៃមេរៀននឹងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់។

ទីមួយ ពាក់កណ្តាលអេក្រង់នៃទ្រឹស្តី៖

1) យោងតាមកូរ៉ូឡារី ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតពហុនាមសញ្ញាប័ត្រមានយ៉ាងពិតប្រាកដ ស្មុគស្មាញឫស។ ឫសខ្លះ (ឬសូម្បីតែទាំងអស់) អាចជាពិសេស ត្រឹមត្រូវ។. លើសពីនេះទៅទៀត ក្នុងចំណោមឫសពិត អាចមានឫសដូចគ្នា (ច្រើន) (អប្បបរមាពីរបំណែកអតិបរមា).

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចមួយចំនួនគឺជាឫសនៃពហុធា នោះ រួមលេខរបស់គាត់ក៏ជា root ផងដែរ។ ពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ផ្សំ ឫសស្មុគស្មាញមើលទៅដូចជា ).

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។គឺ​ជា​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​លេច​ចេញ​ជា​លើក​ដំបូង​នៅ​ក្នុង​លេខ ៨ (ចូលចិត្ត)ថ្នាក់ ហើយទីបំផុតយើង "បានបញ្ចប់" នៅក្នុងប្រធានបទ លេខស្មុគស្មាញ. ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក៖ សមីការបួនជ្រុងមានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា ឬឫសច្រើន ឬឫសស្មុគស្មាញ។

2) ពី ទ្រឹស្តីបទ Bezoutវាធ្វើតាមថា ប្រសិនបើលេខជាឫសគល់នៃសមីការ នោះពហុធាដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានធ្វើជាកត្តា៖
ដែលជាកន្លែងដែលពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ។

ហើយម្តងទៀតរបស់យើង។ ឧទាហរណ៍ចាស់៖ ព្រោះជាឫសគល់នៃសមីការ ដូច្នេះ . បន្ទាប់ពីនោះវាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានការពង្រីក "សាលា" ដ៏ល្បីល្បាញនោះទេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout មានផ្នែកធំ តម្លៃជាក់ស្តែង៖ ប្រសិនបើយើងដឹងពីឫសគល់នៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 នោះយើងអាចតំណាងវាជាទម្រង់ និងពី សមីការ​ការ៉េវាងាយស្រួលក្នុងការសម្គាល់ឫសដែលនៅសល់។ ប្រសិនបើយើងដឹងពីឫសគល់នៃសមីការនៃដឺក្រេទី 4 នោះវាអាចពង្រីកផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាផលិតផល។ល។

ហើយមានសំណួរពីរនៅទីនេះ៖

សំណួរទីមួយ. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឫសនេះ? ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់លក្ខណៈរបស់វា៖ នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើននៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរក សមហេតុផល, ជាពិសេស ទាំងមូលឫសគល់នៃពហុធា ហើយក្នុងន័យនេះ យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍ជាចម្បងលើពួកវា.... ល្អមើលណាស់ ឡូយណាស់ ចង់រកអោយឃើញ! =)

រឿងដំបូងដែលចូលមកក្នុងគំនិតគឺវិធីសាស្ត្រជ្រើសរើស។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ។ ការចាប់នៅទីនេះគឺនៅក្នុងពាក្យឥតគិតថ្លៃ - ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យនោះអ្វីៗនឹងល្អ - យើងយក "x" ចេញពីតង្កៀបហើយឫសខ្លួនឯង "ធ្លាក់ចេញ" ទៅលើផ្ទៃ:

ប៉ុន្តែពាក្យឥតគិតថ្លៃរបស់យើងគឺស្មើនឹង "បី" ដូច្នេះហើយយើងចាប់ផ្តើមជំនួសសមីការ។ លេខផ្សេងគ្នាដោយអះអាងថាជា "ឫសគល់" ។ ជាបឋមការជំនួសណែនាំខ្លួនឯង តម្លៃតែមួយ. តោះជំនួស៖

បានទទួល មិន​ត្រឹមត្រូវសមភាព ដូច្នេះ អង្គភាព "មិនសម" ។ មិនអីទេ តោះជំនួស៖

បានទទួល ពិតសមភាព! នោះគឺតម្លៃគឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 មាន វិធីសាស្រ្តវិភាគ (រូបមន្តដែលហៅថា Cardano)ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ យើងចាប់អារម្មណ៍លើកិច្ចការខុសគ្នាបន្តិច។

ដោយសារ - គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមរបស់យើង ពហុធាអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ និងកើតឡើង សំណួរទីពីរ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរក "ប្អូនប្រុស"?

ការពិចារណាពិជគណិតដ៏សាមញ្ញបំផុតណែនាំថាដើម្បីធ្វើដូច្នេះយើងត្រូវបែងចែកដោយ . តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបែងចែកពហុធាដោយពហុធា? ដូចគ្នា វិធីសាស្រ្តសាលាចែករំលែក លេខធម្មតា។- "នៅក្នុងជួរឈរ"! វិធីសាស្រ្តនេះ។ខ្ញុំបានពិភាក្សាវាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូងនៃមេរៀន ដែនកំណត់ស្មុគស្មាញហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Horner.

ដំបូងយើងសរសេរពហុនាម "ខ្ពស់បំផុត" ជាមួយអ្នករាល់គ្នា រួមទាំងមេគុណសូន្យ:
បន្ទាប់ពីនោះយើងបញ្ចូលមេគុណទាំងនេះ (យ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់លំដោយ) ទៅក្នុងជួរខាងលើនៃតារាង៖

យើងសរសេរឫសនៅខាងឆ្វេង៖

ខ្ញុំនឹងធ្វើការកក់ទុកភ្លាមៗ ដែលគ្រោងការណ៍របស់ Horner ក៏ដំណើរការផងដែរ ប្រសិនបើលេខ "ក្រហម" ទេ។គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយកុំប្រញាប់ប្រញាល់។

យើងដកមេគុណនាំមុខពីខាងលើ៖

ដំណើរការនៃការបំពេញកោសិកាខាងក្រោមគឺនឹកឃើញខ្លះនៃការប៉ាក់ដែល "ដកមួយ" គឺជាប្រភេទនៃ "ម្ជុល" ដែលជ្រាបចូលទៅក្នុងជំហានជាបន្តបន្ទាប់។ យើងគុណលេខ "អនុវត្តចុះក្រោម" ដោយ (–1) ហើយបន្ថែមលេខពីក្រឡាខាងលើទៅផលិតផល៖

យើងគុណតម្លៃដែលបានរកឃើញដោយ "ម្ជុលក្រហម" ហើយបន្ថែមមេគុណសមីការខាងក្រោមទៅផលិតផល៖

ហើយទីបំផុតតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបាន "ដំណើរការ" ម្តងទៀតជាមួយ "ម្ជុល" និងមេគុណខាងលើ៖

លេខសូន្យនៅក្នុងក្រឡាចុងក្រោយប្រាប់យើងថាពហុធាត្រូវបានបែងចែកទៅជា ដោយគ្មានដាន (ដូចដែលវាគួរតែ)ខណៈពេលដែលមេគុណពង្រីកត្រូវបាន "ដកចេញ" ដោយផ្ទាល់ពីបន្ទាត់ខាងក្រោមនៃតារាង៖

ដូច្នេះពីសមីការដែលយើងបានផ្លាស់ទីទៅ សមីការសមមូលហើយជាមួយនឹងឫសពីរដែលនៅសល់អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ (វ ក្នុងករណី​នេះយើងទទួលបានឫសស្មុគស្មាញផ្សំ).

ដោយវិធីនេះសមីការក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយជាក្រាហ្វិកផងដែរ: គ្រោង "រន្ទះ" ហើយមើលថាក្រាហ្វឆ្លងកាត់អ័ក្ស x () នៅចំណុច។ ឬល្បិច "ល្បិច" ដូចគ្នា - យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់គូរ ក្រាហ្វិកបឋមនិងរកឃើញកូអរដោនេ "X" នៃចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។

ដោយវិធីនេះ ក្រាហ្វនៃមុខងារ-ពហុកោណនៃដឺក្រេទី 3 ប្រសព្វអ័ក្សយ៉ាងហោចណាស់ម្តង ដែលមានន័យថាសមីការដែលត្រូវគ្នាមាន យ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ត្រឹមត្រូវ។ឫស។ ការពិតនេះ។មានសុពលភាពសម្រាប់អនុគមន៍ពហុធានៃដឺក្រេសេស។

ហើយនៅទីនេះខ្ញុំក៏ចង់ស្នាក់នៅ ចំណុចសំខាន់ ដែលទាក់ទងនឹងវាក្យស័ព្ទ៖ ពហុនាមនិង មុខងារពហុធា – វាមិនមែនជារឿងដូចគ្នាទេ។! ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ពួកគេច្រើនតែនិយាយជាឧទាហរណ៍អំពី "ក្រាហ្វនៃពហុនាម" ដែលជាការពិត គឺជាការធ្វេសប្រហែស។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសូមត្រលប់ទៅគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ដូចដែលខ្ញុំបានលើកឡើងនាពេលថ្មីៗនេះគ្រោងការណ៍នេះដំណើរការសម្រាប់លេខផ្សេងទៀតប៉ុន្តែប្រសិនបើលេខ ទេ។គឺជាឫសគល់នៃសមីការ បន្ទាប់មកការបន្ថែមមិនមែនសូន្យ (នៅសល់) លេចឡើងក្នុងរូបមន្តរបស់យើង៖

ចូរ "រត់" តម្លៃ "មិនជោគជ័យ" យោងទៅតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលប្រើតារាងដូចគ្នា - សរសេរ "ម្ជុល" ថ្មីនៅខាងឆ្វេងផ្លាស់ទីមេគុណនាំមុខពីខាងលើ។ (ព្រួញពណ៌បៃតងខាងឆ្វេង)ហើយយើងទៅ៖

ដើម្បីពិនិត្យ សូមបើកវង់ក្រចក ហើយបង្ហាញ ពាក្យស្រដៀងគ្នា:
, យល់ព្រម។

វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សំគាល់ថានៅសល់ (“ប្រាំមួយ”) គឺពិតជាតម្លៃនៃពហុនាមនៅ . ហើយការពិត - តើវាមានលក្ខណៈដូចម្តេច៖
និងសូម្បីតែស្អាតជាងនេះ - ដូចនេះ៖

ពីការគណនាខាងលើវាងាយស្រួលយល់ថាគ្រោងការណ៍របស់ Horner អនុញ្ញាតឱ្យមិនត្រឹមតែកត្តាពហុនាមប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងអនុវត្តការជ្រើសរើស "អរិយធម៌" នៃឫសផងដែរ។ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកបង្រួបបង្រួមក្បួនដោះស្រាយការគណនាដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងកិច្ចការតូចមួយ៖

កិច្ចការទី 2

ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner សូមស្វែងរក ឫសទាំងមូលសមីការ និងកត្តាពហុនាមដែលត្រូវគ្នា។

ម៉្យាងទៀត នៅទីនេះអ្នកត្រូវពិនិត្យលេខ 1, –1, 2, –2, … – រហូតទាល់តែសូន្យនៅសល់ត្រូវបាន "គូរ" នៅក្នុងជួរចុងក្រោយ។ នេះនឹងមានន័យថា "ម្ជុល" នៃបន្ទាត់នេះគឺជាឫសគល់នៃពហុធា

វាងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំការគណនាក្នុងតារាងតែមួយ។ ដំណោះស្រាយលម្អិត និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសគឺល្អសម្រាប់ទាក់ទង ករណីសាមញ្ញប៉ុន្តែប្រសិនបើមេគុណ និង/ឬដឺក្រេនៃពហុនាមមានទំហំធំ នោះដំណើរការអាចចំណាយពេលយូរជាងនេះ។ ឬប្រហែលជាមានតម្លៃមួយចំនួនពីបញ្ជីដូចគ្នា 1, –1, 2, –2 ហើយគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការពិចារណាទេ? ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ឫសអាចប្រែទៅជាប្រភាគ ដែលនឹងនាំទៅដល់ការជ្រៀតចូលដោយមិនមានវិទ្យាសាស្រ្តទាំងស្រុង។

ជាសំណាងល្អ មានទ្រឹស្តីបទដ៏មានអានុភាពពីរដែលអាចកាត់បន្ថយយ៉ាងខ្លាំងនូវការស្វែងរកតម្លៃ "បេក្ខជន" នៅក្នុង ឫសសនិទាន:

ទ្រឹស្តីបទ ១ចូរយើងពិចារណា មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ប្រភាគ, កន្លែងណា។ ប្រសិនបើលេខជាឫសគល់នៃសមីការ នោះពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបែងចែកដោយ ហើយមេគុណនាំមុខត្រូវបានបែងចែកដោយ។

ជាពិសេសប្រសិនបើមេគុណនាំមុខគឺ នោះឫសសនិទាននេះគឺជាចំនួនគត់៖

ហើយយើងចាប់ផ្តើមទាញយកទ្រឹស្តីបទដោយគ្រាន់តែព័ត៌មានលម្អិតដ៏ឆ្ងាញ់នេះ៖

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការវិញ។ ដោយសារមេគុណនាំមុខរបស់វាគឺ នោះឫសសនិទានសនិទានភាពអាចជាចំនួនគត់ទាំងស្រុង ហើយពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវតែបែងចែកជាឫសទាំងនេះដោយមិនចាំបាច់នៅសល់។ ហើយ "បី" អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា 1, -1, 3 និង -3 ប៉ុណ្ណោះ។ នោះ​គឺ​យើង​មាន “បេក្ខជន​ជា root” ត្រឹម​តែ ៤ នាក់​ប៉ុណ្ណោះ។ ហើយយោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទ ១, ផ្សេងទៀត លេខសមហេតុផលមិនអាចជាឫសគល់នៃសមីការនេះនៅក្នុង PRINCIPLE ។

មាន "គូប្រជែង" តិចតួចបន្ថែមទៀតនៅក្នុងសមីការ៖ ពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបែងចែកទៅជា 1, –1, 2, – 2, 4 និង –4 ។

សូមចំណាំថាលេខ 1, –1 គឺជា "ទៀងទាត់" នៃបញ្ជីឫសដែលអាចមាន (លទ្ធផលជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ)និងភាគច្រើន ជម្រើស​ដ៏​ល្អ​បំផុតសម្រាប់ការពិនិត្យអាទិភាព។

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ដ៏មានអត្ថន័យបន្ថែមទៀត៖

បញ្ហា ៣

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារមេគុណនាំមុខគឺ ដូច្នេះឫសសនិទានសនិទានភាពអាចគ្រាន់តែជាចំនួនគត់ ហើយពួកវាត្រូវតែជាផ្នែកនៃពាក្យសេរី។ "ដកសែសិប" ត្រូវបានបែងចែកជាគូនៃលេខខាងក្រោម៖
– បេក្ខជន​សរុប​ចំនួន ១៦ នាក់។

ហើយនៅទីនេះ គំនិតដ៏គួរឱ្យទាក់ទាញមួយលេចឡើងភ្លាមៗ: តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការកំចាត់ចោលនូវឫសអវិជ្ជមានទាំងអស់ ឬវិជ្ជមានទាំងអស់? ក្នុងករណីខ្លះវាអាចទៅរួច! ខ្ញុំនឹងបង្កើតសញ្ញាពីរ៖

1) ប្រសិនបើ ទាំងអស់។ប្រសិនបើមេគុណនៃពហុធាមិនអវិជ្ជមាន នោះវាមិនអាចមានឫសវិជ្ជមានបានទេ។ ជាអកុសល នេះមិនមែនជាករណីរបស់យើងទេ (ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើយើងត្រូវបានគេផ្តល់សមីការ - បាទ នៅពេលជំនួសតម្លៃនៃពហុធាណាមួយ តម្លៃនៃពហុធាគឺវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង ដែលមានន័យថាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង លេខវិជ្ជមាន (និងមិនសមហេតុផលផងដែរ)មិនអាចជាឫសគល់នៃសមីការបានទេ។

2) ប្រសិនបើមេគុណសម្រាប់អំណាចសេសគឺមិនអវិជ្ជមាន ហើយសម្រាប់អំណាចសូម្បីតែទាំងអស់ (រួមទាំងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ)គឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកពហុធាមិនអាចមាន ឫសអវិជ្ជមាន. នេះជាករណីរបស់យើង! ក្រឡេកមើលឱ្យជិតបន្តិច អ្នកអាចមើលឃើញថានៅពេលជំនួស "X" អវិជ្ជមានណាមួយទៅក្នុងសមីការ ខាងឆ្វេងនឹងមានអវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ដែលមានន័យថាឫសអវិជ្ជមាននឹងរលាយបាត់

ដូច្នេះ នៅសល់ ៨ លេខសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ៖

យើង "គិតប្រាក់" ពួកវាជាបន្តបន្ទាប់តាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកបានស្ទាត់ជំនាញរួចហើយ ការគណនាផ្លូវចិត្ត:

សំណាងបានរង់ចាំយើងនៅពេលសាកល្បង "ពីរ" ។ ដូច្នេះហើយ គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា និង

វានៅសល់ដើម្បីសិក្សាសមីការ . នេះងាយស្រួលធ្វើតាមរយៈអ្នករើសអើង ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងធ្វើតេស្ដសូចនាករដោយប្រើគ្រោងការណ៍ដូចគ្នា។ ទីមួយ ចូរយើងកត់សំគាល់ថាពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺស្មើនឹង 20 ដែលមានន័យថា ទ្រឹស្តីបទ ១លេខ 8 និង 40 ទម្លាក់ចេញពីបញ្ជីនៃឫសដែលអាចកើតមានដោយបន្សល់ទុកនូវតម្លៃសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ (មួយត្រូវបានលុបចោលយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner).

យើងសរសេរមេគុណនៃ trinomial នៅជួរខាងលើនៃតារាងថ្មី និង យើងចាប់ផ្តើមពិនិត្យជាមួយ "ពីរ" ដូចគ្នា. ហេតុអ្វី? ហើយដោយសារឫសអាចគុណបាន សូម៖ - សមីការនេះមាន 10 ឫសដូចគ្នា។. ប៉ុន្តែ​យើង​កុំ​ឲ្យ​រំខាន៖

ហើយនៅទីនេះ ជាការពិត ខ្ញុំនិយាយកុហកបន្តិច ដោយដឹងថាឫសមានហេតុផល។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើពួកវាមិនសមហេតុផល ឬស្មុគ្រស្មាញ នោះខ្ញុំនឹងត្រូវប្រឈមមុខជាមួយនឹងការត្រួតពិនិត្យមិនជោគជ័យនៃចំនួនដែលនៅសល់ទាំងអស់។ ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្តត្រូវដឹកនាំដោយអ្នករើសអើង។

ចម្លើយ៖ ឫសសនិទានៈ ២, ៤, ៥

យើងមានសំណាងក្នុងបញ្ហាដែលយើងវិភាគព្រោះ៖ ក) ពួកគេបានធ្លាក់ភ្លាមៗ តម្លៃអវិជ្ជមាននិង ខ) យើងបានរកឃើញឫសយ៉ាងឆាប់រហ័ស (ហើយតាមទ្រឹស្តីយើងអាចពិនិត្យមើលបញ្ជីទាំងមូល)។

ប៉ុន្តែ​តាម​ការ​ពិត ស្ថានភាព​កាន់​តែ​អាក្រក់។ ខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យមើល ល្បែងគួរឱ្យរំភើបមានចំណងជើងថា " វីរបុរសចុងក្រោយ»:

បញ្ហា ៤

ស្វែងរកឫសសនិទាននៃសមីការ

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយ ទ្រឹស្តីបទ ១តួលេខនៃសម្មតិកម្ម ឫសសនិទានត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ (យើងអានថា "ដប់ពីរត្រូវបានបែងចែកដោយអេល")ហើយភាគបែងត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌ។ ដោយផ្អែកលើនេះយើងទទួលបានបញ្ជីពីរ:

"បញ្ជី el":
និង "រាយបញ្ជី"៖ (សំណាងល្អលេខនៅទីនេះគឺធម្មជាតិ).

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតបញ្ជីនៃឫសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ ដំបូងយើងបែងចែក "បញ្ជីឈ្មោះ" ដោយ . វាច្បាស់ណាស់ថាលេខដូចគ្នានឹងត្រូវបានទទួល។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងតុមួយ៖

ប្រភាគជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលបណ្តាលឱ្យតម្លៃដែលមាននៅក្នុង "បញ្ជីវីរបុរស" រួចហើយ។ យើងបន្ថែមតែ "អ្នកថ្មី"៖

ដូចគ្នានេះដែរយើងបែងចែក "បញ្ជី" ដូចគ្នាដោយ:

ហើយទីបំផុតនៅលើ

ដូច្នេះក្រុមអ្នកចូលរួមនៅក្នុងហ្គេមរបស់យើងត្រូវបានបញ្ចប់៖


ជាអកុសល ពហុនាមនៅក្នុងបញ្ហានេះមិនបំពេញតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ "វិជ្ជមាន" ឬ "អវិជ្ជមាន" ទេ ដូច្នេះហើយយើងមិនអាចបោះបង់ជួរខាងលើ ឬខាងក្រោមបានទេ។ អ្នកនឹងត្រូវធ្វើការជាមួយលេខទាំងអស់។

តើ​អ្នក​មាន​អារ​ម្ម​ណ៏​យ៉ាងណា? ចូរក្រោកឡើង - មានទ្រឹស្តីបទមួយទៀតដែលអាចហៅថាជា "ទ្រឹស្តីបទឃាតករ"… ... "បេក្ខជន" ពិតណាស់ =)

ប៉ុន្តែដំបូងអ្នកត្រូវរមូរតាមដ្យាក្រាមរបស់ Horner យ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ទាំងអស់លេខ។ ជាប្រពៃណី ចូរយើងយកមួយ។ នៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើ យើងសរសេរមេគុណនៃពហុធា ហើយអ្វីៗគឺដូចធម្មតា៖

ដោយសារលេខបួនច្បាស់មិនមែនជាសូន្យ តម្លៃមិនមែនជាឫសគល់នៃពហុនាមនៅក្នុងសំណួរនោះទេ។ ប៉ុន្តែនាងនឹងជួយយើងច្រើន។

ទ្រឹស្តីបទ ២ប្រសិនបើសម្រាប់អ្នកខ្លះ ជាទូទៅតម្លៃនៃពហុធាគឺមិនសូន្យ៖ បន្ទាប់មកឫសសនិទានរបស់វា។ (ប្រសិនបើពួកគេ)បំពេញលក្ខខណ្ឌ

ក្នុងករណីរបស់យើងហើយដូច្នេះឫសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ (សូម​ហៅ​វា​ថា​លក្ខខណ្ឌ​លេខ ១). ទាំងបួននេះនឹងក្លាយជា "ឃាតករ" នៃ "បេក្ខជន" ជាច្រើន។ ជាការបង្ហាញ ខ្ញុំនឹងពិនិត្យមើលការពិនិត្យមួយចំនួន៖

ចូរយើងពិនិត្យមើល "បេក្ខជន" ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ សូម​ឲ្យ​យើង​តំណាង​វា​ដោយ​សិប្បនិម្មិត​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ប្រភាគ ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា . ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នានៃការធ្វើតេស្ត៖ . បួនត្រូវបានបែងចែកដោយ "ដកពីរ"៖ ដែលមានន័យថាឫសដែលអាចមានបានឆ្លងកាត់ការសាកល្បង។

តោះពិនិត្យមើលតម្លៃ។ នៅទីនេះភាពខុសគ្នានៃការធ្វើតេស្តគឺ: . ជាការពិតណាស់ហើយដូច្នេះ "ប្រធានបទ" ទីពីរក៏នៅតែមាននៅក្នុងបញ្ជី។

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិន​បើ​អ្នក​ចាប់​អារម្មណ៍ ការងារ​នេះសូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀនក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់ និងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងបឋម។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• ណែនាំសិស្សអំពីគោលគំនិតនៃឫសនៃពហុនាម ហើយបង្រៀនពួកគេពីរបៀបស្វែងរកពួកគេ។ កែលម្អជំនាញក្នុងការប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner សម្រាប់ការពង្រីកពហុនាមដោយអំណាច និងការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial ។
• រៀនស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។
• អភិវឌ្ឍការគិតអរូបី។
• ជំរុញវប្បធម៌កុំព្យូទ័រ។
• ការអភិវឌ្ឍទំនាក់ទំនងអន្តរកម្មសិក្សា។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពេលរៀបចំ។

ប្រាប់ប្រធានបទនៃមេរៀន បង្កើតគោលដៅ។

2. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ។

3. សិក្សាសម្ភារៈថ្មី។

អនុញ្ញាតឱ្យ Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - ពហុនាមសម្រាប់ x នៃដឺក្រេ n ដែល a 0 , a 1 ,...,a n ត្រូវបានផ្តល់លេខ ហើយ 0 មិនស្មើនឹង 0។ ប្រសិនបើពហុនាម F n (x) ត្រូវបានបែងចែកជាមួយនៅសល់ដោយ លេខពីរ x-aបន្ទាប់មក quotient (កូតាមិនពេញលេញ) គឺជាពហុនាម Q n-1 (x) នៃដឺក្រេ n-1 នៅសល់ R គឺជាលេខ ហើយសមភាពគឺពិត F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) + R ។ពហុធា F n (x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x-a) តែក្នុងករណី R=0 ប៉ុណ្ណោះ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ នៅសល់ R ពីការបែងចែកពហុនាម F n (x) ដោយ binomial (x-a) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាម F n (x) នៅ x = a, i.e. R=Pn(a)។

ប្រវត្តិបន្តិច។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ទោះបីជាភាពសាមញ្ញ និងភាពជាក់ស្តែងរបស់វាក៏ដោយ គឺជាផ្នែកមួយនៃ ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីពហុនាម។ ទ្រឹស្តីបទនេះទាក់ទងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិពិជគណិតនៃពហុនាម (ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការជាមួយពហុនាមជាចំនួនគត់) ជាមួយនឹងពួកវា លក្ខណៈសម្បត្តិមុខងារ(ដែលអនុញ្ញាតឱ្យពហុនាមត្រូវបានចាត់ទុកជាមុខងារ)។ វិធីមួយដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់ជាងគឺ កត្តាពហុធា នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ ការគណនាមេគុណនៃពហុធា និងនៅសល់ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់តារាងដែលហៅថា គ្រោងការណ៍ Horner ។

គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺជាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបែងចែកពហុនាម ដែលសរសេរសម្រាប់ករណីពិសេស នៅពេលដែល quotient គឺស្មើនឹង binomial x–a.

Horner William George (1786 - 1837) គណិតវិទូអង់គ្លេស។ ការស្រាវជ្រាវចម្បងទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីនៃសមីការពិជគណិត។ បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការនៃដឺក្រេណាមួយ។ នៅឆ្នាំ 1819 គាត់បានណែនាំវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយសម្រាប់ពិជគណិតនៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial x - a (គ្រោងការណ៍របស់ Horner) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន រូបមន្តទូទៅសម្រាប់គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ការបែងចែកពហុនាម f(x) ជាមួយនៅសល់ដោយ binomial (x-c) មានន័យថាការស្វែងរកពហុនាម q(x) និងលេខ r ដូចជា f(x)=(x-c)q(x)+r

ចូរយើងសរសេរសមភាពនេះឱ្យបានលំអិត៖

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

ចូរយើងគណនាមេគុណនៅដឺក្រេដូចគ្នា៖

xn៖	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1៖	f 1 = q 1 − c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2៖	f 2 = q 2 − c q 1	=> q 2 = f 2 + c q ១
...		...
x0៖	f n = q n − c q n − 1	=> q n = f n + c q n-1.

ការបង្ហាញនៃសៀគ្វី Horner ដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

លំហាត់ 1 ។ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner យើងបែងចែកពហុធា f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ជាមួយនៅសល់ដោយ binomial x-2 ។

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 − 5x 2 + 8 = (x-2)(x 2 -3x-6)-4, ដែល g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 នៅសល់។

ការពង្រីកពហុនាមនៅក្នុងអំណាចនៃ binomial ។

ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner យើងពង្រីកពហុនាម f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 នៅក្នុងអំណាចនៃ binomial (x+2) ។

ជាលទ្ធផល យើងគួរតែទទួលបាន ការពង្រីក f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12=(x+2)3 -3( x+2) 2 -2(x+2)+12

គ្រោងការណ៍របស់ Horner ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេទីបី ទីបួន និងខ្ពស់ជាង នៅពេលដែលវាងាយស្រួលក្នុងការពង្រីកពហុនាមទៅជា binomial x-a ។ ចំនួន កហៅ ឫសនៃពហុធា F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n ប្រសិនបើនៅ x=aតម្លៃនៃពហុនាម F n (x) គឺស្មើនឹងសូន្យ: F n (a) = 0, i.e. ប្រសិនបើពហុធាត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial x-a ។

ឧទាហរណ៍ លេខ 2 គឺជាឫសនៃពហុនាម F 3 (x) = 3x 3 -2x-20 ចាប់តាំងពី F 3 (2) = 0 ។ វា​មាន​ន័យ​ថា។ កត្តាដែលបង្កើតពហុនាមនេះមានកត្តា x-2 ។

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10)។

ពហុធាណាមួយ F n(x) នៃដឺក្រេ ន 1 មិនអាចមានទៀតទេ នឫសពិត។

ឫសចំនួនគត់ណាមួយនៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃរបស់វា។

ប្រសិនបើមេគុណនាំមុខនៃសមីការគឺ 1 នោះឫសសនិទានទាំងអស់នៃសមីការប្រសិនបើមានគឺជាចំនួនគត់។

ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈសិក្សា។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈថ្មី សិស្សត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យបំពេញលេខពីសៀវភៅសិក្សា 2.41 និង 2.42 (ទំ. 65)។

( សិស្ស 2 នាក់​ដោះស្រាយ​នៅ​ក្ដារខៀន ហើយ​សិស្ស​ដែល​នៅ​សល់​បាន​សម្រេច​ចិត្ត សូម​ពិនិត្យ​មើល​កិច្ចការ​ក្នុង​សៀវភៅ​កំណត់​ហេតុ​ជាមួយ​នឹង​ចម្លើយ​នៅលើ​ក្ដារខៀន ) ។

ការសង្ខេប។

ដោយបានយល់ពីរចនាសម្ព័ន្ធ និងគោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការនៃគ្រោងការណ៍ Horner វាក៏អាចប្រើក្នុងមេរៀនវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រផងដែរ នៅពេលដែលបញ្ហានៃការបំប្លែងចំនួនគត់ពីប្រព័ន្ធលេខទសភាគទៅជាប្រព័ន្ធគោលពីរ និងច្រាសមកវិញត្រូវបានពិចារណា។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ផ្ទេរពីប្រព័ន្ធលេខមួយទៅលេខមួយទៀតគឺទ្រឹស្តីបទទូទៅខាងក្រោម

ទ្រឹស្តីបទ។ដើម្បីបំប្លែងលេខទាំងមូល អាពី ទំ- ប្រព័ន្ធលេខ ary ទៅប្រព័ន្ធលេខមូលដ្ឋាន ឃចាំបាច់ អាចែកជាលំដាប់ជាមួយចំនួនដែលនៅសល់ ឃបានសរសេរដូចគ្នា។ ទំ-ary system រហូតដល់លទ្ធផល quotient ក្លាយជាស្មើសូន្យ។ នៅសល់ពីការបែងចែកនឹងមាន ឃ- តួលេខ ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មចាប់ផ្តើមពីប្រភេទក្មេងជាងគេ រហូតដល់មនុស្សចាស់ជាងគេ។ សកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវតែអនុវត្តនៅក្នុង ទំ- ប្រព័ន្ធលេខ។ សម្រាប់មនុស្សម្នាក់ច្បាប់នេះគឺងាយស្រួលតែនៅពេលដែល ទំ= 10, i.e. នៅពេលបកប្រែ ពីប្រព័ន្ធទសភាគ។ ចំពោះកុំព្យូទ័រវិញ ផ្ទុយទៅវិញ វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់វាក្នុងការអនុវត្តការគណនា ប្រព័ន្ធគោលពីរ. ដូច្នេះ ដើម្បីបំប្លែង “2 ដល់ 10” ការបែងចែកតាមលំដាប់ដោយដប់ក្នុងប្រព័ន្ធគោលពីរត្រូវបានប្រើ ហើយ “10 ទៅ 2” គឺជាការបន្ថែមអំណាចនៃដប់។ ដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការគណនានៃនីតិវិធី "10 ក្នុង 2" កុំព្យូទ័រប្រើគ្រោងការណ៍គណនាសេដ្ឋកិច្ចរបស់ Horner ។

កិច្ចការ​ផ្ទះ។ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីបំពេញកិច្ចការពីរ។

ទី 1 ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner សូមបែងចែកពហុនាម f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ដោយ binomial (x-3) ។

ទី 2 ។ រកឫសចំនួនគត់នៃពហុនាម f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (ពិចារណាថាឫសចំនួនគត់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកនៃពាក្យទំនេររបស់វា)។

អក្សរសិល្ប៍។

1. Kurosh A.G. "វគ្គសិក្សាពិជគណិតជាន់ខ្ពស់"
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. និងផ្សេងៗទៀត ថ្នាក់ទី១០ “ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា”។
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907 ។

ស្លាយ ៣

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - គណិតវិទូអង់គ្លេស។ កើតនៅ Bristol ។ គាត់បានសិក្សា និងធ្វើការនៅទីនោះ បន្ទាប់មកនៅសាលានៅ Bath ។ ការងារជាមូលដ្ឋានលើពិជគណិត។ នៅឆ្នាំ 1819 បានបោះពុម្ពវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសពិតនៃពហុធា ដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Ruffini-Horner (វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះជនជាតិចិននៅសតវត្សទី 13) បន្ទាប់ពី Horner ។

ស្លាយ 4

គ្រោងការណ៍ HORNER

វិធីសាស្រ្តបែងចែក nth polynomialដឺក្រេ​លើ​ទ្វេ​នាម​លីនេអ៊ែរ - a ផ្អែកលើ​ការពិត​ថា​មេគុណ​នៃ​កូតា​មិន​ពេញលេញ និង​នៅសល់​ទាក់ទង​នឹង​មេគុណ​នៃ​ពហុនាម​ចែក​បាន និង​ជាមួយ​រូបមន្ត៖

ស្លាយ ៥

ការគណនាតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ត្រូវបានដាក់ក្នុងតារាង៖

ឧទាហរណ៍ 1. បែងចែក កូតាផ្នែកគឺ x3-x2+3x − 13 ហើយនៅសល់គឺ 42=f(-3)។

ស្លាយ ៦

អត្ថប្រយោជន៍ចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺការបង្រួមនៃការថតនិងសមត្ថភាព ការបែងចែកលឿនពហុធា ទៅ ទ្វេ នាម ។ តាមការពិត គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺជាទម្រង់មួយផ្សេងទៀតនៃការកត់ត្រាវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម ទោះបីជាមិនដូចវិធីចុងក្រោយក៏ដោយ វាមិនអាចមើលឃើញទាំងស្រុង។ ចម្លើយ (កត្តាកត្តា) គឺទទួលបាននៅទីនេះដោយខ្លួនវា ហើយយើងមិនឃើញដំណើរការនៃការទទួលបានវាទេ។ យើងនឹងមិនចូលរួមក្នុងការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់នៃគ្រោងការណ៍របស់ Horner នោះទេ ប៉ុន្តែនឹងបង្ហាញតែពីរបៀបដែលវាដំណើរការប៉ុណ្ណោះ។

ស្លាយ ៧

ឧទាហរណ៍ ២.

ចូរបង្ហាញថាពហុធា P(x)=x4-6x3+7x-392 ត្រូវបានបែងចែកដោយ x-7 ហើយស្វែងរកកូតានៃការបែងចែក។ ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner យើងរកឃើញ P(7)៖ ពីទីនេះយើងទទួលបាន P(7)=0, i.e. នៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមដោយ x-7 គឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយដូច្នេះពហុនាម P(x) គឺជាពហុគុណនៃ (x-7) លើសពីនេះទៅទៀត លេខនៅជួរទីពីរនៃតារាងគឺជាមេគុណនៃ កូតានៃ P(x) ចែកដោយ (x-7) ដូច្នេះ P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56)។

ស្លាយ ៨

កត្តាពហុធា x3 – 5x2 – 2x + 16 ។

ពហុនាមនេះមានមេគុណចំនួនគត់។ ប្រសិនបើចំនួនគត់គឺជាឫសនៃពហុនាមនេះ នោះវាគឺជាផ្នែកចែកនៃលេខ 16។ ដូច្នេះប្រសិនបើពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសចំនួនគត់ នោះទាំងនេះអាចជាលេខ ±1 ប៉ុណ្ណោះ។ ±2; ±4; ±8; ±16. តាមរយៈការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ យើងជឿជាក់ថាលេខ 2 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមនេះ នោះគឺ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x) ដែល Q(x) ជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ

ស្លាយ ៩

លេខលទ្ធផល 1, −3, −8 គឺជាមេគុណនៃពហុនាម ដែលត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកពហុនាមដើមដោយ x − 2 ។ នេះមានន័យថាលទ្ធផលនៃការបែងចែកគឺ៖ 1 x2 + (–3) x + ( –8) = x2 – 3x – 8. កម្រិតនៃពហុនាមដែលកើតចេញពីការបែងចែកគឺតែងតែ 1 តិចជាងកម្រិតនៃលេខដើម។ ដូច្នេះ៖ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x − 2)(x2 – 3x – 8) ។

គ្រោងការណ៍របស់ Horner - វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពហុធា

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

នៅលើលេខគោលពីរ $x-a$ ។ អ្នកនឹងត្រូវធ្វើការជាមួយតារាង ដែលជួរទីមួយមានមេគុណនៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ធាតុទីមួយនៃជួរទីពីរនឹងជាលេខ $a$ ដែលយកចេញពីលេខពីរ $x-a$៖

បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 0 ដោយ binomial $x-a$ យើងទទួលបានពហុនាមដែលមានសញ្ញាបត្រតិចជាងមួយ ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹង $n-1$ ។ ការអនុវត្តដោយផ្ទាល់នៃគ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺងាយស្រួលបំផុតក្នុងការបង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ចែក $5x^4+5x^3+x^2-11$ ដោយ $x-1$ ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ចូរយើងបង្កើតតារាងពីរជួរ៖ ក្នុងជួរទីមួយ យើងសរសេរមេគុណនៃពហុធា $5x^4+5x^3+x^2-11$ រៀបចំតាមលំដាប់ចុះនៃអំណាចនៃអថេរ $x$។ ចំណាំថាពហុនាមនេះមិនមាន $x$ ដល់សញ្ញាប័ត្រទីមួយទេ ឧ។ មេគុណនៃ $x$ ទៅថាមពលទីមួយគឺ 0។ ដោយសារយើងបែងចែកដោយ $x-1$ យើងសរសេរមួយក្នុងជួរទីពីរ៖

ចូរចាប់ផ្តើមបំពេញក្រឡាទទេនៅក្នុងជួរទីពីរ។ នៅក្នុងក្រឡាទីពីរនៃជួរទីពីរ យើងសរសេរលេខ $5$ ដោយគ្រាន់តែផ្លាស់ទីវាពីក្រឡាដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ៖

តោះបំពេញក្រឡាបន្ទាប់តាមគោលការណ៍នេះ៖ $1\cdot 5+5=10$:

តោះបំពេញក្រឡាទីបួននៃជួរទីពីរតាមរបៀបដូចគ្នា៖ $1\cdot 10+1=11$:

សម្រាប់ក្រឡាទីប្រាំ យើងទទួលបាន: $1\cdot 11+0=11$:

ហើយចុងក្រោយ សម្រាប់ក្រឡាទីប្រាំមួយចុងក្រោយ យើងមាន៖ $1\cdot 11+(-11)=0$:

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ នៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ លេខដែលមានទីតាំងនៅជួរទីពីរ (រវាងមួយ និងសូន្យ) គឺជាមេគុណនៃពហុនាមដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីចែក $5x^4+5x^3+x^2-11$ ដោយ $x-1$។ តាមធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីដឺក្រេនៃពហុនាមដើម $5x^4+5x^3+x^2-11$ គឺស្មើនឹងបួន ដឺក្រេនៃពហុនាមលទ្ធផល $5x^3+10x^2+11x+11$ គឺមួយ តិច ឧ.. ស្មើនឹងបី។ លេខចុងក្រោយក្នុងជួរទីពីរ (សូន្យ) មានន័យថានៅសល់ពេលបែងចែកពហុនាម $5x^4+5x^3+x^2-11$ ដោយ $x-1$។ ក្នុងករណីរបស់យើងនៅសល់គឺសូន្យ i.e. ពហុធាគឺអាចបែងចែកបានស្មើៗគ្នា។ លទ្ធផលនេះក៏អាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖ តម្លៃនៃពហុនាម $5x^4+5x^3+x^2-11$ សម្រាប់ $x=1$ គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ការសន្និដ្ឋានក៏អាចត្រូវបានរៀបចំជាទម្រង់នេះផងដែរ៖ ចាប់តាំងពីតម្លៃនៃពហុនាម $5x^4+5x^3+x^2-11$ នៅ $x=1$ គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះឯកភាពគឺជាឫសគល់នៃពហុនាម $5x^4+5x^3+ x^2-11$។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

ចែកពហុនាម $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ដោយ $x+3$ ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ភ្លាមៗថាកន្សោម $x+3$ ត្រូវតែបង្ហាញក្នុងទម្រង់ $x-(-3)$ ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner នឹងពាក់ព័ន្ធយ៉ាងពិតប្រាកដ $-3$ ។ ចាប់តាំងពីដឺក្រេនៃពហុនាមដើម $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ គឺស្មើនឹងបួន បន្ទាប់មកជាលទ្ធផលនៃការបែងចែកយើងទទួលបានពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីបី៖

លទ្ធផលមានន័យថា

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

ក្នុងស្ថានភាពនេះ នៅសល់ពេលបែងចែក $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ដោយ $x+3$ គឺ $4។ ឬអ្វីដែលដូចគ្នា តម្លៃនៃពហុនាម $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ សម្រាប់ $x=-3$ គឺស្មើនឹង $4។ ដោយវិធីនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យពីរដងដោយជំនួសដោយផ្ទាល់ $x=-3$ ទៅក្នុងពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$

ទាំងនោះ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner អាចត្រូវបានប្រើប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃពហុនាមនៅ កំណត់តម្លៃអថេរ។ ប្រសិនបើគោលដៅរបស់យើងគឺស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃពហុនាម នោះគ្រោងការណ៍របស់ Horner អាចត្រូវបានអនុវត្តច្រើនដងជាប់ៗគ្នា រហូតដល់យើងអស់ឫសទាំងអស់ ដូចដែលបានពិភាក្សាក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 3 ។

ឧទាហរណ៍លេខ 3

ស្វែងរកឫសចំនួនគត់នៃពហុនាម $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

មេគុណនៃពហុនាមដែលកំពុងពិចារណាគឺជាចំនួនគត់ និងមេគុណមុន។ សញ្ញាបត្រជាន់ខ្ពស់អថេរ (ឧ. មុន $x^6$) គឺស្មើនឹងមួយ។ ក្នុងករណីនេះ ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមត្រូវតែស្វែងរកក្នុងចំនោមអ្នកបែងចែកនៃពាក្យសេរី ពោលគឺឧ។ ក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃលេខ 45។ សម្រាប់ពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឫសបែបនេះអាចជាលេខ $45; \; ១៥; \; ៩; \; ៥; \; ៣; \; 1$ និង $45; \; -១៥; \; -៩; \; -៥; \; -៣; \; -1$។ តោះពិនិត្យឧទាហរណ៍ លេខ $1$៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ តម្លៃនៃពហុនាម $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ជាមួយ $x=1$ គឺស្មើនឹង $192$ (លេខចុងក្រោយ នៅក្នុងជួរទីពីរ) និងមិនមែន $0 $ ដូច្នេះការរួបរួមមិនមែនជាឫសគល់នៃពហុនាមនេះទេ។ ដោយ​សារ​តែ​ការ​ពិនិត្យ​មួយ​មិន​បាន​សម្រេច សូម​ពិនិត្យ​តម្លៃ $x=-1$ ។ តារាងថ្មី។ចំពោះគោលបំណងនេះយើងនឹងមិនចងក្រងទេប៉ុន្តែនឹងបន្តប្រើតារាង។ លេខ 1 បន្ថែមបន្ទាត់ថ្មី (ទីបី) ទៅវា។ បន្ទាត់ទីពីរ ដែលតម្លៃ $1$ ត្រូវបានគូសធីក នឹងត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហម ហើយនឹងមិនត្រូវបានប្រើក្នុងការពិភាក្សាបន្ថែមទៀតទេ។

ជា​ការ​ពិត អ្នក​អាច​សរសេរ​តារាង​ម្ដង​ទៀត​បាន ប៉ុន្តែ​ការ​បំពេញ​វា​ដោយ​ដៃ​នឹង​ចំណាយ​ពេល​ច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀត វាអាចមានលេខជាច្រើនដែលការផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងបរាជ័យ ហើយវាពិបាកក្នុងការសរសេរតារាងថ្មីរាល់ពេល។ នៅពេលគណនា "នៅលើក្រដាស" បន្ទាត់ក្រហមអាចត្រូវបានកាត់ចេញ។

ដូច្នេះតម្លៃនៃពហុនាម $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ នៅ $x=-1$ គឺស្មើនឹងសូន្យ ឧ. លេខ $-1$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមនេះ។ បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាម $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ដោយទ្វេនាម $x-(-1)=x+1$ យើងទទួលបានពហុនាម $x ^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ មេគុណដែលយកពីជួរទីបីនៃតារាង។ លេខ 2 (សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 1) ។ លទ្ធផលនៃការគណនាក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះ៖

\begin(សមីការ)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(សមីការ)

ចូរបន្តការស្វែងរកឫសចំនួនគត់។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវរកមើលឫសនៃពហុនាម $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ។ ជាថ្មីម្តងទៀត ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមនេះត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមផ្នែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃរបស់វា គឺលេខ $45$។ តោះសាកឆែកមើលលេខ $-1$ ម្ដងទៀត។ យើងនឹងមិនបង្កើតតារាងថ្មីទេ ប៉ុន្តែនឹងបន្តប្រើតារាងមុន។ លេខ 2, i.e. តោះបន្ថែមមួយជួរទៀតទៅវា៖

ដូច្នេះ លេខ $-1$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាម $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ។ លទ្ធផលនេះអាចសរសេរដូចនេះ៖

\begin(សមីការ)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(សមីការ)

ដោយគិតពីសមភាព (2) សមភាព (1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

\begin(សមីការ)\begin(តម្រឹម) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(តម្រឹម)\end(សមីការ)

ឥឡូវនេះ យើងត្រូវរកមើលឫសគល់នៃពហុនាម $x^4-22x^2+24x+45$ តាមធម្មជាតិ ក្នុងចំណោមផ្នែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃរបស់វា (លេខ $45$)។ តោះពិនិត្យមើលលេខ $-1$ ម្តងទៀត៖

លេខ $-1$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាម $x^4-22x^2+24x+45$ ។ លទ្ធផលនេះអាចសរសេរដូចនេះ៖

\begin(សមីការ)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(សមីការ)

ដោយគិតពីសមភាព (4) យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (3) ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

\begin(សមីការ)\begin(តម្រឹម) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(តម្រឹម)\end(សមីការ)

ឥឡូវនេះ យើងកំពុងស្វែងរកឫសគល់នៃពហុនាម $x^3-x^2-21x+45$។ តោះពិនិត្យមើលលេខ $-1$ ម្តងទៀត៖

ការត្រួតពិនិត្យបានបញ្ចប់ដោយការបរាជ័យ។ ចូររំលេចបន្ទាត់ទីប្រាំមួយជាពណ៌ក្រហម ហើយព្យាយាមពិនិត្យមើលលេខផ្សេងទៀត ឧទាហរណ៍ លេខ $3$៖

នៅសល់គឺសូន្យ ដូច្នេះលេខ $3$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមនៅក្នុងសំណួរ។ ដូច្នេះ $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$ ។ ឥឡូវនេះសមភាព (5) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម។