សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រ 2 ឧទាហរណ៍។ សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា៖ គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយទូទៅ

ចាប់តាំងពីអ្នកមកទីនេះ អ្នកប្រហែលជាបានឃើញរូបមន្តនេះរួចហើយនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា

ហើយធ្វើមុខបែបនេះ៖

មិត្តកុំបារម្ភ! តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគ្រាន់តែជាការខឹងសម្បារប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកប្រាកដជាយល់គ្រប់យ៉ាង។ សំណើតែមួយគត់ - អានអត្ថបទ យ៉ាងយឺតព្យាយាមយល់គ្រប់ជំហាន។ ខ្ញុំបានសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែអ្នកនៅតែត្រូវយល់ពីគំនិតនេះ។ ហើយត្រូវប្រាកដថាដោះស្រាយភារកិច្ចពីអត្ថបទ។

តើមុខងារស្មុគស្មាញគឺជាអ្វី?

ស្រមៃថាអ្នកកំពុងផ្លាស់ទៅអាផាតមិនមួយផ្សេងទៀត ដូច្នេះហើយខ្ចប់របស់របរដាក់ក្នុងប្រអប់ធំ។ ឧបមាថាអ្នកត្រូវប្រមូលរបស់របរតូចៗមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ សម្ភារៈសរសេររបស់សាលា។ ប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែបោះវាទៅក្នុងប្រអប់ដ៏ធំ ពួកគេនឹងបាត់បង់ក្នុងចំណោមរបស់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ ជាដំបូងអ្នកដាក់ពួកវាជាឧទាហរណ៍ក្នុងថង់មួយ ដែលអ្នកបន្ទាប់មកដាក់ក្នុងប្រអប់ធំមួយ បន្ទាប់មកអ្នកបិទវា។ ដំណើរការ "ស្មុគស្មាញ" នេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងដ្យាក្រាមខាងក្រោម៖

វាហាក់ដូចជា, តើគណិតវិទ្យាមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយវា? បាទ, ទោះបីជាការពិតដែលថា មុខងារស្មុគស្មាញបង្កើតឡើងតាមរបៀបដូចគ្នា! មានតែយើងទេដែល "ខ្ចប់" មិនមែនសៀវភៅកត់ត្រា និងប៊ិចទេ ប៉ុន្តែ \(x\) ខណៈពេលដែល "កញ្ចប់" និង "ប្រអប់" គឺខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ យើងយក x និង "pack" វាទៅជាមុខងារមួយ៖

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន \(\cos⁡x\)។ នេះគឺជា "កាបូប" របស់យើង។ ឥឡូវយើងដាក់វានៅក្នុង "ប្រអប់" - ខ្ចប់វាឧទាហរណ៍ទៅជាមុខងារគូប។

តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅទីបញ្ចប់? បាទ ត្រូវហើយ វានឹងមាន "ថង់របស់របរនៅក្នុងប្រអប់មួយ" នោះគឺ "កូស៊ីនុស X cubed"។

ការរចនាលទ្ធផលគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាខុសគ្នាពីសាមញ្ញមួយនៅក្នុងនោះ។ "ផលប៉ះពាល់" ជាច្រើន (កញ្ចប់) ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ X មួយជួរហើយវាប្រែទៅជា "មុខងារពីមុខងារ" - "ការវេចខ្ចប់ក្នុងវេចខ្ចប់" ។

IN វគ្គសិក្សាសាលាមានប្រភេទ "កញ្ចប់" ទាំងនេះតិចតួចណាស់ មានតែបួនប៉ុណ្ណោះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើង "ខ្ចប់" X ជាដំបូងទៅក្នុងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋាន 7 ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ យើងទទួលបាន:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

ឥឡូវនេះសូម "ខ្ចប់" X ពីរដង អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទីមួយនៅក្នុង ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុង៖

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

សាមញ្ញមែនទេ?

ឥឡូវសរសេរមុខងារដោយខ្លួនឯង ដែល x:
- ដំបូងវាត្រូវបាន "ខ្ចប់" ទៅក្នុងកូស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយមូលដ្ឋាន \(3\);
- ទីមួយដល់អំណាចទីប្រាំហើយបន្ទាប់មកទៅតង់សង់;
- ដំបូងទៅលោការីតទៅមូលដ្ឋាន \(4\) បន្ទាប់មកទៅថាមពល \(-2\) ។

ស្វែងរកចម្លើយចំពោះកិច្ចការនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

តើយើងអាច "ខ្ចប់" X មិនមែនពីរ ប៉ុន្តែបីដងទេ? គ្មានបញ្ហា! និងបួន, ប្រាំ, ម្ភៃប្រាំដង។ ឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាមុខងារដែល x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" \(4\) ដង៖

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

ប៉ុន្តែរូបមន្តបែបនេះនឹងមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្តនៅសាលាទេ (សិស្សមានសំណាងជាង - របស់ពួកគេអាចស្មុគស្មាញជាង☺)។

"ការវេចខ្ចប់" មុខងារស្មុគស្មាញ

មើលមុខងារមុនម្តងទៀត។ តើអ្នកអាចដឹងពីលំដាប់ "វេចខ្ចប់" បានទេ? អ្វីដែល X ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងទីមួយ អ្វីបន្ទាប់មក និងបន្តរហូតដល់ទីបញ្ចប់។ នោះគឺថាតើមុខងារមួយណាត្រូវបានបង្កប់ក្នុងនោះ? យកក្រដាសមួយសន្លឹក ហើយសរសេរអ្វីដែលអ្នកគិត។ អ្នកអាចធ្វើដូចនេះដោយប្រើខ្សែសង្វាក់ដែលមានព្រួញដូចដែលយើងបានសរសេរខាងលើ ឬតាមមធ្យោបាយផ្សេងទៀត។

ឥឡូវនេះចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺ៖ ដំបូង x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" ចូលទៅក្នុងថាមពលទី \\(4\) បន្ទាប់មកលទ្ធផលត្រូវបានខ្ចប់ចូលទៅក្នុងស៊ីនុសមួយ វាត្រូវបានដាក់ចូលទៅក្នុងលោការីតទៅមូលដ្ឋាន \(2\) ហើយនៅទីបញ្ចប់ សំណង់ទាំងមូលនេះត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងថាមពលប្រាំពីរ។

នោះគឺអ្នកត្រូវស្រាយលំដាប់តាមលំដាប់បញ្ច្រាស។ ហើយនេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបធ្វើវាឱ្យកាន់តែងាយស្រួល៖ មើល X ភ្លាម អ្នកគួរតែរាំពីវា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាមុខងារ៖ \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\)។ យើងក្រឡេកមើល X - តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះវាមុនគេ? យកពីគាត់។ ហើយបន្ទាប់មក? តង់សង់នៃលទ្ធផលត្រូវបានយក។ លំដាប់នឹងដូចគ្នា៖

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ \(y=\cos⁡((x^3))\) ។ ចូរយើងវិភាគ - ដំបូងយើងកាត់ X ហើយបន្ទាប់មកយកកូស៊ីនុសនៃលទ្ធផល។ នេះមានន័យថា លំដាប់នឹងមាន៖ \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\) ។ យកចិត្តទុកដាក់ មុខងារហាក់ដូចជាស្រដៀងនឹងមុខងារទីមួយ (ដែលវាមានរូបភាព)។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាមុខងារខុសគ្នាទាំងស្រុង៖ នៅទីនេះក្នុងគូបគឺ x (នោះគឺ \(\cos⁡((x·x·x)))\) ហើយនៅក្នុងគូបគឺជាកូស៊ីនុស \(x\) ( នោះគឺ \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\))។ ភាពខុសគ្នានេះកើតឡើងពីលំដាប់ "វេចខ្ចប់" ផ្សេងៗគ្នា។

ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ (ជាមួយ ពត៌មានសំខាន់នៅក្នុងវា): \(y=\sin⁡((2x+5))\)។ វាច្បាស់ណាស់នូវអ្វីដែលពួកគេបានធ្វើនៅទីនេះមុន។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាមួយ x បន្ទាប់មកយកស៊ីនុសនៃលទ្ធផល៖ \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\) ។ ហើយនេះ ចំណុចសំខាន់: ទោះបីជាការពិតដែលថាប្រតិបត្តិការនព្វន្ធមិនមានមុខងារនៅក្នុងខ្លួនពួកគេក៏ដោយក៏នៅទីនេះពួកគេក៏ដើរតួជាវិធីនៃ "ការវេចខ្ចប់" ផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាឱ្យបានស៊ីជម្រៅបន្តិចទៅក្នុងភាពទន់ភ្លន់នេះ។

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយខាងលើនៅក្នុងមុខងារសាមញ្ញ x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" ម្តងហើយនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ - ពីរឬច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀត ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃមុខងារសាមញ្ញណាមួយ (នោះគឺផលបូក ភាពខុសគ្នា គុណ ឬចែក) មុខងារសាមញ្ញ. ឧទាហរណ៍ \(x^7\) គឺជាមុខងារសាមញ្ញ ហើយដូច្នេះគឺ \(ctg x\)។ នេះមានន័យថាបន្សំទាំងអស់របស់ពួកគេគឺជាមុខងារសាមញ្ញ៖

\(x^7+ ctg x\) - សាមញ្ញ,
\(x^7· cot x\) – សាមញ្ញ,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – សាមញ្ញ។ល។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើមុខងារមួយបន្ថែមទៀតត្រូវបានអនុវត្តចំពោះការរួមបញ្ចូលគ្នាបែបនេះ វានឹងក្លាយជាមុខងារស្មុគស្មាញ ព្រោះវានឹងមាន "កញ្ចប់" ពីរ។ សូមមើលដ្យាក្រាម៖

មិនអីទេ ទៅមុខឥឡូវនេះ។ សរសេរលំដាប់នៃមុខងារ "រុំ"៖
\(y=cos(⁡(sin⁡x)))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
ចម្លើយគឺម្តងទៀតនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

មុខងារខាងក្នុងនិងខាងក្រៅ

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវយល់ពីមុខងារ nesting? តើនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វី? ការពិតគឺថាបើគ្មានការវិភាគបែបនេះទេ យើងនឹងមិនអាចរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារដែលបានពិភាក្សាខាងលើដោយភាពជឿជាក់នោះទេ។

ហើយដើម្បីបន្តទៅមុខទៀត យើងនឹងត្រូវការគោលគំនិតពីរបន្ថែមទៀត៖ មុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ។ នេះគឺខ្លាំងណាស់ រឿងសាមញ្ញលើសពីនេះទៅទៀត តាមការពិត យើងបានវិភាគពួកវាខាងលើរួចហើយ៖ ប្រសិនបើយើងរំលឹកពីភាពស្រដៀងគ្នារបស់យើងនៅដើមដំបូង នោះមុខងារខាងក្នុងគឺជា “កញ្ចប់” ហើយមុខងារខាងក្រៅគឺជា “ប្រអប់”។ ទាំងនោះ។ អ្វីដែល X ត្រូវបាន "រុំ" ជាដំបូងគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយអ្វីដែលមុខងារខាងក្នុងត្រូវបាន "រុំ" នៅក្នុងគឺខាងក្រៅរួចហើយ។ ជាការប្រសើរណាស់, វាច្បាស់ណាស់ថាហេតុអ្វីបានជា - នាងនៅខាងក្រៅ, ដែលមានន័យថាខាងក្រៅ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ៖ \(y=tg⁡(log_2⁡x)\) មុខងារ \(\log_2⁡x\) គឺខាងក្នុង ហើយ
- ខាងក្រៅ។

ហើយនៅក្នុងនេះ៖ \(y=\cos⁡((x^3+2x+1)))\), \(x^3+2x+1\) គឺខាងក្នុង ហើយ
- ខាងក្រៅ។

បំពេញការអនុវត្តចុងក្រោយនៃការវិភាគមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ហើយចុងក្រោយសូមបន្តទៅអ្វីដែលយើងទាំងអស់គ្នាបានចាប់ផ្តើមសម្រាប់ - យើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

បំពេញចន្លោះក្នុងតារាង៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ

Bravo សម្រាប់ពួកយើង ទីបំផុតយើងបានទៅដល់ "ចៅហ្វាយ" នៃប្រធានបទនេះ - តាមពិតទៅ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយជាពិសេសគឺរូបមន្តដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចនោះតាំងពីដើមអត្ថបទ។☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

រូបមន្តនេះអានដូចនេះ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអនុគមន៍ខាងក្នុងថេរ និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង។

ហើយមើលដ្យាក្រាមញែកតាមពាក្យនោះភ្លាម ដើម្បីឱ្យអ្នកយល់ថាត្រូវធ្វើអ្វីជាមួយនឹងអ្វី៖

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាពាក្យ "ដេរីវេ" និង "ផលិតផល" មិនបង្កឱ្យមានការលំបាកណាមួយឡើយ។ "មុខងារស្មុគស្មាញ" - យើងបានតម្រៀបវារួចហើយ។ ការចាប់គឺនៅក្នុង "ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅទាក់ទងនឹងមុខងារខាងក្នុងថេរ" ។ តើវាជាអ្វី?

ចម្លើយ៖ នេះគឺជាដេរីវេធម្មតានៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ ដែលមានតែមុខងារខាងក្រៅផ្លាស់ប្តូរ ហើយផ្នែកខាងក្នុងនៅតែដដែល។ នៅតែមិនច្បាស់? មិនអីទេ ចូរយើងប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានមុខងារ \(y=\sin⁡(x^3)\) ។ វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារខាងក្នុងនៅទីនេះគឺ \(x^3\) និងខាងក្រៅ
. ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកខាងក្រៅ ដោយគោរពទៅផ្នែកខាងក្នុងថេរ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរក ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ. មេរៀនគឺជាការបន្តនៃមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?ដែលយើងពិនិត្យមើលនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងមួយចំនួនទៀត។ វិធីសាស្រ្តបច្ចេកទេសការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចមួយចំនួនក្នុងអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមមានអារម្មណ៍ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនសាមញ្ញទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

យើងក្រឡេកមើលតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ចូរយើងដោះស្រាយវា។ ជាបឋមសូមយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការចូល។ នៅទីនេះយើងមានមុខងារពីរ - និង , ហើយមុខងារដែលនិយាយជាន័យធៀបគឺស្ថិតនៅក្នុងមុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។

ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).

! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំដាក់ពាក្យ ការបញ្ចេញមតិក្រៅផ្លូវការ"មុខងារខាងក្រៅ", "ខាងក្នុង" មុខងារតែមួយគត់ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ “X” ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាកន្សោមទាំងមូល ដូច្នេះការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗពីតារាងនឹងមិនដំណើរការទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាស៊ីនុសមិនអាច "ហែកជាបំណែកៗ" បានទេ៖

IN ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។រួចហើយពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំ វាច្បាស់ណាស់ដោយវិចារណញាណថា មុខងារគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺ មុខងារខាងក្នុង(ការវិនិយោគ) និង - មុខងារខាងក្រៅ។

ជំហានដំបូងអ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញគឺដើម្បី យល់ថាតើមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាខាងក្រៅ.

ពេលណា ឧទាហរណ៍សាមញ្ញវាហាក់ដូចជាច្បាស់ណាស់ថាពហុនាមមួយត្រូវបានបង្កប់នៅក្រោមស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្វីៗមិនច្បាស់? តើត្រូវកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវថា មួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង។

ចូរស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។

តើយើងនឹងគណនាអ្វីមុនគេ? ជាដំបូងបង្អស់អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖

ទីពីរនឹងត្រូវរកឃើញ ដូច្នេះស៊ីនុស - នឹងក្លាយជាមុខងារខាងក្រៅ៖

បន្ទាប់ពីយើង លក់ហើយជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីថ្នាក់ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយចំពោះដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងភ្ជាប់កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀប ហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖

ជាដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) មើលតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយសម្គាល់ថា . រូបមន្តតារាងទាំងអស់ក៏អាចអនុវត្តបានដែរ ប្រសិនបើ "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញ, វ ក្នុងករណីនេះ:

សូមចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិនបានផ្លាស់ប្តូរ, យើងមិនប៉ះវា.

មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃការអនុវត្តរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖

មេគុណថេរជាធម្មតាដាក់នៅដើមកន្សោម៖

ប្រសិនបើមានការយល់ខុស សូមសរសេរដំណោះស្រាយលើក្រដាស ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចរាល់ដង យើងសរសេរចុះ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ពីកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្រៅ និងកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្នុង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅ . តើអ្នកគួរធ្វើអ្វីមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដូច្នេះពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖

ហើយមានតែនៅពេលនោះ និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះ មុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖

យោងតាមរូបមន្តដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ រកមើលនៅក្នុងតារាង រូបមន្តដែលត្រូវការ:. យើងនិយាយម្តងទៀត៖ ណាមួយ។ រូបមន្តតារាងមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ "x" ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញមានដូចខាងក្រោម៖

ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលដែលយើងយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងរបស់យើងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

ឥឡូវនេះនៅសល់គឺត្រូវស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកែប្រែលទ្ធផលបន្តិច៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ(ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍មួយដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមរកវាដោយខ្លួនឯង ហេតុផលថាតើមុខងារខាងក្នុងនៅឯណា ហេតុអ្វីកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបនេះ?

ឧទាហរណ៍ 5

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីបំបែកឫសគល់ វាត្រូវតែតំណាងឱ្យអំណាច។ ដូច្នេះ ជាដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថា ផលបូកនៃពាក្យទាំងបី គឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយការលើកទៅជាថាមពល គឺជាមុខងារខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងតំណាងឱ្យដឺក្រេម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់បែងចែកផលបូក៖

រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចផ្តល់កន្សោមក្នុងវង់ក្រចកទៅ កត្តាកំណត់រួមហើយសរសេរអ្វីៗទាំងអស់ជាប្រភាគ។ វាពិតជាស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែនៅពេលដែលអ្នកទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុដ៏វែងឆ្ងាយ វាល្អជាងកុំធ្វើវា (វាងាយនឹងច្របូកច្របល់ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមិនស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការពិនិត្យ) ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញអ្នកអាចប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា។ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅដូចជាការបំភាន់គួរឱ្យអស់សំណើច។ នៅទីនេះ ឧទាហរណ៍ធម្មតា។:

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃ quotient ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងផ្លាស់ទីដកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅក្នុងភាគយក៖

កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
តោះប្រើច្បាប់របស់យើង៖

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖

រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើក្បួន , ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។

ឧទាហរណ៍ 9

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

រហូតមកដល់ពេលនេះយើងបានពិនិត្យមើលករណីដែលយើងមានសំបុកតែមួយគត់នៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ចូរយើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ ចូរយើងព្យាយាមគណនាកន្សោមដោយប្រើតម្លៃពិសោធន៍។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?

ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា arcsine គឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត៖

បន្ទាប់មក arcsine នៃមួយគួរតែជាការ៉េ:

ហើយទីបំផុតយើងលើកប្រាំពីរទៅជាថាមពលមួយ៖

នោះគឺនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះយើងមានបី មុខងារផ្សេងគ្នានិងការបង្កប់ពីរ ដោយមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត

តាមក្បួនដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "X" យើងមាន កន្សោមស្មុគស្មាញដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញមានដូចខាងក្រោម៖

នៅក្រោមការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយើងមានមុខងារស្មុគស្មាញម្តងទៀត! ប៉ុន្តែវាសាមញ្ញជាងមុនទៅហើយ។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុខងារខាងក្នុងគឺ arcsine មុខងារខាងក្រៅគឺដឺក្រេ។ យោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃថាមពល។

យើងបានពិនិត្យមើលនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយបានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងបច្ចេកទេសបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចមួយចំនួនក្នុងអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមមានអារម្មណ៍ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនសាមញ្ញទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

យើងក្រឡេកមើលតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).

! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំប្រើកន្សោមក្រៅផ្លូវការ "មុខងារខាងក្រៅ" មុខងារ "ខាងក្នុង" តែប៉ុណ្ណោះដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាមានវិចារណញាណច្បាស់លាស់រួចហើយពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំថា អនុគមន៍គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (បង្កប់) និងមុខងារខាងក្រៅ។

ក្នុងករណីឧទាហរណ៍សាមញ្ញ វាហាក់បីដូចជាច្បាស់ណាស់ថាពហុនាមមួយត្រូវបានបង្កប់នៅក្រោមស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្វីៗមិនច្បាស់? តើត្រូវកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវថា មុខងារមួយណាជាខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង។

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយចំពោះដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងភ្ជាប់កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀប ហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖

សូមចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិនបានផ្លាស់ប្តូរ, យើងមិនប៉ះវា.

មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា

លទ្ធផលនៃការអនុវត្តរូបមន្ត នៅក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា វាមើលទៅដូចនេះ៖

កត្តាថេរជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅដើមកន្សោម៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចរាល់ដង យើងសរសេរចុះ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ពីកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្រៅ និងកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្នុង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅ . តើអ្នកគួរធ្វើអ្វីមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដូច្នេះពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖

ហើយមានតែនៅពេលនោះប៉ុណ្ណោះដែលនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះមុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖

យោងតាមរូបមន្ត ជាដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ ក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ យើងស្វែងរករូបមន្តដែលត្រូវការនៅក្នុងតារាង៖ . យើងនិយាយម្តងទៀត៖ រូបមន្តតារាងណាមួយមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ “X” ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

ឧទាហរណ៍ 5

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថា ផលបូកនៃពាក្យទាំងបីគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយការលើកទៅជាថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ :

រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចកាត់បន្ថយកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតាក្នុងតង្កៀប ហើយសរសេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងចុះជាប្រភាគមួយ។ វាពិតជាស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែនៅពេលដែលអ្នកទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុដ៏វែងឆ្ងាយ វាល្អជាងកុំធ្វើវា (វាងាយនឹងច្របូកច្របល់ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមិនស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការពិនិត្យ) ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញអ្នកអាចប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា។ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅដូចជាការបង្វែរមិនធម្មតា។ នេះជាឧទាហរណ៍ធម្មតា៖

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
ចូរប្រើច្បាប់របស់យើង។ :

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ 9

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា arcsine គឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត៖

បន្ទាប់មក arcsine នៃមួយគួរតែជាការ៉េ:

ហើយទីបំផុតយើងលើកប្រាំពីរទៅជាថាមពលមួយ៖

នោះគឺក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានមុខងារបីផ្សេងគ្នានិងការបង្កប់ពីរខណៈដែលមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត

យោងតាមច្បាប់ ដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "x" យើងមានកន្សោមស្មុគស្មាញ ដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះទេ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់។

ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δ x:

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែសាកល្បងប្រើរូបមន្តនេះដើម្បីគណនា និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល យើងអាចបែងចែកអ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម។ វាជាសាច់ញាតិ កន្សោមសាមញ្ញនិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនាជាយូរមកហើយបានរាយក្នុងតារាង។ មុខងារបែបនេះគឺពិតជាងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ - រួមជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

អនុគមន៍បឋមគឺជាមុខងារទាំងអស់ដែលបានរាយខាងក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀត វាមិនពិបាកទាល់តែសោះក្នុងការទន្ទេញវា - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
ថេរ	f(x) = គ, គ ∈ រ	0 (បាទ សូន្យ!)
អំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល	f(x) = x ន	ន · x ន − 1
ស៊ីនុស	f(x) = បាប x	cos x
កូស៊ីនុស	f(x) = cos x	- អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស)
តង់សង់	f(x) = tg x	1/cos 2 x
កូតង់សង់	f(x) = ctg x	១/ បាប ២ x
លោការីតធម្មជាតិ	f(x) = កំណត់ហេតុ x	1/x
លោការីតតាមអំពើចិត្ត	f(x) = កំណត់ហេតុ ក x	1/(x ln ក)
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល	f(x) = អ៊ី x	អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ)

ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖

(គ · f)’ = គ · f ’.

ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:

(2x 3)' = 2 · ( x៣)’ = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .

ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក - និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង ដែលលែងជាមុខងារសំខាន់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាផងដែរទាក់ទងនឹង ច្បាប់ជាក់លាក់. ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ f(x) និង g(x) និស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតមួយ " ធាតុអវិជ្ជមាន" ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖

f ’(x) = (x២ + បាប x)’ = (x២)’ + (អំពើបាប x)’ = 2x+ cos x;

យើងហេតុផលស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ដេរីវេនៃផលិតផល

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម">ស្មើនឹងផលិតផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែសូមប្រយ័ត្ន! ដេរីវេនៃផលិតផលមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ឈ្មោះ៖

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលជាញឹកញាប់។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .

មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) សហ x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 cos x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)

មុខងារ g(x) កត្តាទីមួយគឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែ គ្រោងការណ៍ទូទៅនេះមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ជាក់ស្តែងកត្តាដំបូងនៃមុខងារ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើងមាន:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x· (២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី x .

សូមចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបង្កាត់ជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ វាមិនចាំបាច់ត្រូវធ្វើទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីពិនិត្យមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុបន្ថែមនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានកំណត់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរដែលមានកត្តាបញ្ចេញមតិ។

ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ យើងអាចកំណត់បាន។ មុខងារថ្មី។ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖

មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? ហើយបែបនេះ! នេះគឺជាមួយក្នុងចំណោមច្រើនបំផុត រូបមន្តស្មុគស្មាញ- អ្នកមិនអាចយល់បានដោយគ្មានដប។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវានៅ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់.

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗមានអនុគមន៍បឋម ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖

យោងទៅតាមទំនៀមទម្លាប់ ចូរយើងធ្វើកត្តាភាគយក - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖

មុខងារស្មុគ្រស្មាញគឺមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រនោះទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2 + ln x. វានឹងដំណើរការ f(x) = បាប ( x 2 + ln x) - នេះគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាក៏មាននិស្សន្ទវត្ថុដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនអាចរកឃើញវាដោយប្រើច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើនោះទេ។

តើខ្ញុុំគួរធ្វើអ្វី? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖

f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).

តាមក្បួនមួយ ស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងអំពីរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយ ការពិពណ៌នាលម្អិតរាល់ជំហាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2 + ln x)

ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកវានឹងដំណើរការ មុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយប្រើរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’

ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! យើងអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ 3. យើងទទួលបាន៖

f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងវាត្រូវការជំនួស x 2 + ln x = t. យើងមាន:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (បាប t)’ · t' = ខូស t · t ’

ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + ln x. បន្ទាប់មក៖

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (២ x + 1/x).

អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពី កន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាផលបូកដេរីវេ។

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2 · អ៊ី 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "បឋម" ។ ឧទាហរណ៍ បឋមពីចំនួន ស្មើនឹងផលបូកជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។

ដូច្នេះ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុមកចុះដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលដូចគ្នានេះដោយយោងតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល៖

(x ន)’ = ន · x ន − 1

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នអាចធ្វើសកម្មភាពបានល្អ លេខប្រភាគ. ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x០.៥. ចុះបើមានអ្វីប្លែកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតលទ្ធផលនឹងជាមុខងារស្មុគស្មាញ - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យសំណង់បែបនេះ ការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយប្រើរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' · t' = 0.5 · t−0.5 · t ’.

តោះធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 · (2 x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖