នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ចាស់" វាក៏ត្រូវបានគេហៅថា "ខ្សែសង្វាក់" ផងដែរ។ អញ្ចឹងបើ y = f (u) និង u = φ (x), នោះគឺ
y = f (φ (x))
ស្មុគស្មាញ - អនុគមន៍សមាសធាតុ (សមាសភាពមុខងារ) បន្ទាប់មក
កន្លែងណា 
, បន្ទាប់ពីការគណនាត្រូវបានពិចារណានៅ u = φ (x) ។
ចំណាំថានៅទីនេះយើងបានយកសមាសភាព "ផ្សេងគ្នា" ពីមុខងារដូចគ្នា ហើយលទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នាបានប្រែទៅជាធម្មជាតិអាស្រ័យលើលំដាប់នៃ "ការលាយ" ។
ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ធម្មជាតិពង្រីកដល់សមាសធាតុនៃមុខងារបី ឬច្រើន។ ក្នុងករណីនេះវានឹងមាន "តំណភ្ជាប់" បីឬច្រើននៅក្នុង "ខ្សែសង្វាក់" ដែលបង្កើតបានជាដេរីវេ។ នេះគឺជាការប្រៀបធៀបជាមួយគុណ៖ "យើងមាន" តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ; "នៅទីនោះ" - តារាងគុណ; "ជាមួយយើង" គឺជាក្បួនខ្សែសង្វាក់ ហើយ "នៅទីនោះ" គឺជាក្បួនគុណ "ជួរឈរ" ។ នៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ "ស្មុគស្មាញ" បែបនេះ គ្មានអំណះអំណាងជំនួយ (u¸v ។ នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។
. នៅទីនេះជាមួយនឹង "x" ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃ "y" ប្រតិបត្តិការប្រាំត្រូវបានអនុវត្ត នោះគឺមានសមាសភាពនៃមុខងារប្រាំ: "ខាងក្រៅ" (ចុងក្រោយនៃពួកគេ) - អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល - អ៊ី ; បន្ថែមទៀតនៅក្នុង លំដាប់បញ្ច្រាសស្ងប់ស្ងាត់។ (♦) ២ ; អំពើបាបត្រីកោណមាត្រ(); ស្ងប់ស្ងាត់។ () 3 និងចុងក្រោយលោការីត ln.()។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោមយើងនឹង "សម្លាប់សត្វស្លាបមួយគូដោយថ្មមួយ"៖ យើងនឹងអនុវត្តការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ និងបន្ថែមទៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ មុខងារបឋម. ដូច្នេះ៖
4. សម្រាប់មុខងារថាមពល - y = x α - សរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើ "មូលដ្ឋាន" ដ៏ល្បីល្បាញ អត្តសញ្ញាណលោការីត" - b = e ln b - ក្នុងទម្រង់ x α = x α ln x យើងទទួលបាន
5. ដោយឥតគិតថ្លៃ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដោយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នាយើងនឹងមាន
6. ដោយឥតគិតថ្លៃ មុខងារលោការីតដោយប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី យើងទទួលបានជាប់លាប់
.
7. ដើម្បីបែងចែកតង់សង់ (កូតង់សង់) យើងប្រើក្បួនសម្រាប់បែងចែកភាពចម្រុះ៖
ដើម្បីទទួលបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស យើងប្រើទំនាក់ទំនងដែលពេញចិត្តដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសមកវិញពីរ នោះគឺជាអនុគមន៍φ (x) និង f (x) ដែលទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង៖
នេះគឺជាសមាមាត្រ
វាមកពីរូបមន្តនេះសម្រាប់មុខងារច្រាសទៅវិញទៅមក
និង 
,
ជាចុងក្រោយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសង្ខេបទាំងនេះ និងនិស្សន្ទវត្ថុមួយចំនួនផ្សេងទៀត ដែលងាយទទួលបានផងដែរនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម។
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
ឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយប្រើរូបមន្តដេរីវេ មុខងារស្មុគស្មាញ.
នៅទីនេះយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ មុខងារខាងក្រោម:
;
;
;
;
.
ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៅក្នុង ទម្រង់ខាងក្រោម:
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
.
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងសរសេររូបមន្តនេះដូចខាងក្រោម៖
.
កន្លែងណា។
នៅទីនេះ subscripts ឬ ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាដេរីវេ បង្ហាញពីអថេរដែលភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។
ជាធម្មតានៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ x គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្លូវការ។ អថេរ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយអថេរផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះនៅពេលបែងចែកអនុគមន៍មួយពីអថេរ យើងគ្រាន់តែប្តូរនៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេរ Variable x ទៅអថេរ u ។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
.
ដំណោះស្រាយ
ចូរយើងសរសេរវាចុះ មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់សមមូល៖
.
នៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.
យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ យើងមាន៖
.
នៅទីនេះ
ចម្លើយ
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេ
.
ដំណោះស្រាយ
យើងយកថេរ 5 ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយពីតារាងដេរីវេយើងរកឃើញ:
.
.
នៅទីនេះ
ចម្លើយ
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេ
.
ដំណោះស្រាយ
យើងដកអថេរ -1
សម្រាប់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
ពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
.
យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
.
នៅទីនេះ
ចម្លើយ
ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាង
បន្ថែមទៀត ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញយើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញជាច្រើនដង។ ក្នុងករណីនេះយើងគណនាដេរីវេពីចុង។ នោះគឺយើងបំបែកមុខងារទៅជាផ្នែកសមាសភាគរបស់វា ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកសាមញ្ញបំផុតដោយប្រើ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ. យើងក៏ប្រើដែរ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក, ផលិតផល និងប្រភាគ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេ
.
ដំណោះស្រាយ
សូមគូសបញ្ជាក់ឲ្យបានច្រើនបំផុត។ ផ្នែកសាមញ្ញរូបមន្ត និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។ .
.
នៅទីនេះយើងបានប្រើសញ្ញាណ
.
យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកបន្ទាប់នៃអនុគមន៍ដើមដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖
.
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
.
នៅទីនេះ
ចម្លើយ
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
.
ដំណោះស្រាយ
ចូរយើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វាពីតារាងដេរីវេ។ .
យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
.
នៅទីនេះ
.
និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេលោការីត។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពល
យើងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេសនៃភាពខុសគ្នារបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលយើងបានគ្របដណ្ដប់ រកមើលនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញ ហើយក៏ទទួលបានស្គាល់ពីបច្ចេកទេស និងល្បិចថ្មីៗសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេទីវ ជាពិសេសជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុលោការីត។
ដល់អ្នកអានដែលមាន កំរិតទាបការរៀបចំអ្នកគួរតែយោងទៅអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ? ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវជំនាញរបស់អ្នកស្ទើរតែពីដំបូង។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវសិក្សាទំព័រដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយល់និងដោះស្រាយ ទាំងអស់។ឧទាហរណ៍ដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យ។ មេរៀននេះគឺជាតក្កវិជ្ជាទីបីជាប់ៗគ្នា ហើយបន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកនឹងបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញដោយភាពជឿជាក់។ វាមិនគួរឱ្យចង់យកតំណែង "កន្លែងណាទៀត? បាទ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយ!” ព្រោះឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានយកមកពីការពិត ការធ្វើតេស្តហើយជារឿយៗត្រូវបានជួបប្រទះនៅក្នុងការអនុវត្ត។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពាក្យដដែលៗ។ នៅមេរៀន ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយើងបានមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ កំឡុងពេលសិក្សានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកផ្សេងៗទៀត ការវិភាគគណិតវិទ្យា- អ្នកនឹងត្រូវបែងចែកជាញឹកញាប់ ហើយវាមិនតែងតែងាយស្រួល (និងមិនតែងតែចាំបាច់) ដើម្បីពណ៌នាអំពីឧទាហរណ៍យ៉ាងលម្អិត។ ដូច្នេះ យើងនឹងអនុវត្តការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្ទាល់មាត់។ "បេក្ខជន" ដែលសមរម្យបំផុតសម្រាប់ការនេះគឺជាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញបំផុត ឧទាហរណ៍៖
យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
:
នៅពេលសិក្សាប្រធានបទ matan ផ្សេងទៀតនាពេលអនាគត កំណត់ត្រាលម្អិតបែបនេះច្រើនតែមិនត្រូវបានទាមទារទេ វាត្រូវបានសន្មត់ថាសិស្សដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះនៅលើ autopilot ។ សូមស្រមៃគិតថានៅម៉ោង ៣ ទៀបភ្លឺមាន ការហៅទូរស័ព្ទ, និង សំឡេងរីករាយសួរថា "តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃតង់សង់នៃ X ពីរ?" នេះគួរតែត្រូវបានធ្វើតាមដោយការឆ្លើយតបស្ទើរតែភ្លាមៗ និងគួរសម៖ 
.
ឧទាហរណ៍ដំបូងនឹងត្រូវបានបម្រុងទុកភ្លាមៗ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ.
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុខាងក្រោមដោយផ្ទាល់មាត់ ក្នុងសកម្មភាពមួយ ឧទាហរណ៍៖ . ដើម្បីបញ្ចប់ភារកិច្ចអ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើ តារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម(ប្រសិនបើអ្នកមិនទាន់ចងចាំវា) ។ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានមេរៀនឡើងវិញ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន
និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ
បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ដែលមានមុខងារ 3-4-5 សំបុកនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនេះហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់ពីពួកគេ (នរណាម្នាក់នឹងរងទុក្ខ) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុង ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលវានឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រូវហើយ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគរបស់អ្នក។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ល្បិចមានប្រយោជន៍៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍នៃ “x” ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួស តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យចូលទៅក្នុង "ការបញ្ចេញមតិដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។
1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោមដែលមានន័យថាផលបូកគឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។
2) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖
4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:
5) នៅជំហានទីប្រាំភាពខុសគ្នា:
6) ហើយចុងក្រោយបំផុត។ មុខងារខាងក្រៅគឺជាឫសការ៉េ៖ 
រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ 
ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖
វាហាក់ដូចជាមិនមានកំហុស ...
(1) យកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។
(2) យើងយកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន 
(3) ដេរីវេនៃបីគឺសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ (គូប) ។
(4) យកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។
(5) យកដេរីវេនៃលោការីត។
(6) ហើយចុងក្រោយ យើងយកដេរីវេនៃការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។
វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តចំពោះភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់វត្ថុស្រដៀងគ្នានៅក្នុងការប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។
ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ព័ត៌មានជំនួយ៖ ជាដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់លីនេអ៊ែរ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផល
ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលតូចជាង និងស្អាតជាង។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើម្បីបង្ហាញផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែ មុខងារបី. របៀបស្វែងរកដេរីវេនៃ ផលិតផលបីមេគុណ?
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដំបូងយើងមើល តើវាអាចបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរបានទេ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។
ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល 
ពីរដង
ល្បិចគឺថាដោយ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងដោយ "ve" យើងបង្ហាញពីលោការីត: . ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើវាពិតជាមែនទេ? 
- នេះមិនមែនជាផលិតផលនៃកត្តាពីរ ហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖
ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ 
តង្កៀប៖
អ្នកនៅតែអាចត្រូវបានបង្ខូច ហើយយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែនៅក្នុង ក្នុងករណីនេះវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីទុកចម្លើយនៅក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។
ឧទាហរណ៍ដែលពិចារណាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖ 
ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយនៅក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំបូង។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
មានវិធីជាច្រើនដែលអ្នកអាចទៅទីនេះ៖
ឬដូចនេះ៖
ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួម ប្រសិនបើយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដំបូង 
យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖
ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលនោះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេលវេលា វាជាការណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលលើសេចក្តីព្រាងជានិច្ចដើម្បីមើលថាតើចម្លើយអាចត្រូវបានសាមញ្ញ? ចូរយើងកាត់បន្ថយកន្សោមនៃភាគយកទៅ កត្តាកំណត់រួមនិង ចូរយើងកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:
គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែក្នុងអំឡុងពេលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖
ឧទាហរណ៍ ៧
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា
ឧទាហរណ៍ ៨
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយដោយប្រើច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
ប៉ុន្តែជំហានដំបូងបំផុតធ្វើឱ្យអ្នកធ្លាក់ចូលទៅក្នុងភាពអស់សង្ឃឹមភ្លាមៗ - អ្នកត្រូវតែទទួលយកដេរីវេមិនរីករាយនៃ អំណាចប្រភាគហើយបន្ទាប់មកក៏មកពីប្រភាគ។
នោះហើយជាមូលហេតុដែល មុនតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកដេរីវេនៃលោការីត "ស្មុគ្រស្មាញ" វាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូងដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសាលាល្បី:
! ប្រសិនបើអ្នកមានសៀវភៅកត់ត្រាលំហាត់នៅនឹងដៃ សូមចម្លងរូបមន្តទាំងនេះដោយផ្ទាល់នៅទីនោះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានសៀវភៅកត់ត្រាទេ សូមចម្លងវាដាក់លើក្រដាសមួយ ព្រោះឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់នៃមេរៀននឹងវិលជុំវិញរូបមន្តទាំងនេះ។
ដំណោះស្រាយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
តោះផ្លាស់ប្តូរមុខងារ៖
ការស្វែងរកដេរីវេ៖ 
ការបំប្លែងមុខងារជាមុនបានធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ដូច្នេះ នៅពេលដែលលោការីតស្រដៀងគ្នាត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យ "បំបែកវាចុះ" ជានិច្ច។
ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួនសម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង:
ឧទាហរណ៍ 9
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ឧទាហរណ៍ 10
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ការបំប្លែង និងចម្លើយទាំងអស់គឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដេរីវេលោការីត
ប្រសិនបើដេរីវេនៃលោការីតគឺជាតន្ត្រីដ៏ផ្អែមល្ហែម នោះសំណួរកើតឡើង៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងករណីខ្លះដើម្បីរៀបចំលោការីតសិប្បនិម្មិត? អាច! និងសូម្បីតែចាំបាច់។
ឧទាហរណ៍ 11
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ថ្មីៗនេះ យើងបានមើលឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? អ្នកអាចអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នូវក្បួននៃភាពខុសគ្នានៃកូតានិក និងបន្ទាប់មកក្បួននៃភាពខុសគ្នារបស់ផលិតផល។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាអ្នកបញ្ចប់ដោយប្រភាគបីជាន់ដ៏ធំ ដែលអ្នកមិនចង់ដោះស្រាយទាល់តែសោះ។
ប៉ុន្តែតាមទ្រឹស្តី និងការអនុវត្តមានរឿងអស្ចារ្យដូចជាដេរីវេលោការីត។ លោការីតអាចត្រូវបានរៀបចំដោយសិប្បនិម្មិតដោយ "ព្យួរ" វានៅលើភាគីទាំងពីរ៖
ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវ "បំបែក" លោការីតនៃផ្នែកខាងស្តាំឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន (រូបមន្តមុនភ្នែករបស់អ្នក?) ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់អំពីដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិត៖
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា។
យើងបញ្ចប់ផ្នែកទាំងពីរនៅក្រោមបឋម៖
ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺសាមញ្ញណាស់; ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើវាទេព្រោះប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះអ្នកគួរតែអាចដោះស្រាយវាដោយទំនុកចិត្ត។
ចុះផ្នែកខាងឆ្វេងវិញ?
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងមាន មុខងារស្មុគស្មាញ. ខ្ញុំទាយសំណួរថា "ហេតុអ្វីបានជាមានអក្សរ "Y" នៅក្រោមលោការីត?"
ការពិតគឺថា "ល្បែងអក្សរមួយ" - វាគឺជាមុខងារមួយ(ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ទេ សូមមើលអត្ថបទដេរីវេនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល)។ ដូច្នេះលោការីតគឺជាមុខងារខាងក្រៅ ហើយ "y" គឺជាមុខងារខាងក្នុង។ ហើយយើងប្រើច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ 
:
នៅខាងឆ្វេងដូចជាវេទមន្ត ដំបងវេទមន្តយើងមានដេរីវេ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមក្បួនសមាមាត្រយើងផ្ទេរ "y" ពីភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងទៅផ្នែកខាងលើនៃផ្នែកខាងស្តាំ:
ហើយឥឡូវនេះសូមចាំថាតើមុខងារ "អ្នកលេង" ប្រភេទណាខ្លះដែលយើងបាននិយាយក្នុងអំឡុងពេលមានភាពខុសគ្នា? តោះមើលលក្ខខណ្ឌ៖ 
ចម្លើយចុងក្រោយ៖ 
ឧទាហរណ៍ 12
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ ឧទាហរណ៍នៃការរចនាគំរូ នៃប្រភេទនេះ។នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដោយប្រើដេរីវេលោការីត វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 4-7 រឿងមួយទៀតគឺថាមុខងារនៅទីនោះគឺសាមញ្ញជាង ហើយប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ដេរីវេលោការីតគឺមិនសមហេតុផលខ្លាំងណាស់។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពល
យើងមិនទាន់បានពិចារណាមុខងារនេះនៅឡើយទេ។ អនុគមន៍ power-exponential គឺជាមុខងារដែល ទាំងដឺក្រេ និងមូលដ្ឋានអាស្រ័យលើ "x". ឧទាហរណ៍បុរាណដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយឬនៅក្នុងការបង្រៀនណាមួយ:
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពល?
វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើបច្ចេកទេសដែលទើបតែបានពិភាក្សា - ដេរីវេលោការីត។ យើងព្យួរលោការីតទាំងសងខាង៖
តាមក្បួនមួយនៅខាងស្តាំដឺក្រេត្រូវបានយកចេញពីក្រោមលោការីត:
ជាលទ្ធផលនៅផ្នែកខាងស្តាំយើងមានផលិតផលនៃមុខងារពីរដែលនឹងត្រូវបានបែងចែកដោយ រូបមន្តស្តង់ដារ 
.
យើងរកឃើញដេរីវេ ដើម្បីធ្វើវា យើងបិទផ្នែកទាំងពីរនៅក្រោមការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖
សកម្មភាពបន្ថែមគឺសាមញ្ញ៖
ទីបំផុត៖ 
ប្រសិនបើការបំប្លែងណាមួយមិនច្បាស់ទេ សូមអានឡើងវិញនូវការពន្យល់នៃឧទាហរណ៍ #11 ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។
IN ភារកិច្ចជាក់ស្តែងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពលនឹងតែងតែស្មុគស្មាញជាងឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀន។
ឧទាហរណ៍ 13
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងប្រើដេរីវេលោការីត។ 
នៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងមានថេរ និងផលនៃកត្តាពីរគឺ “x” និង “លោការីតលោការីត x” (លោការីតមួយទៀតត្រូវបានដាក់នៅក្រោមលោការីត)។ នៅពេលដែលភាពខុសគ្នា ដូចដែលយើងចងចាំ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីផ្លាស់ទីថេរភ្លាមៗចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ដើម្បីកុំឱ្យវាចូលទៅក្នុងផ្លូវ។ ហើយជាការពិត យើងអនុវត្តច្បាប់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ 
:
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ដេរីវេលោការីត មិនមានល្បិច ឬល្បិចពិសេសណាមួយឡើយ ហើយការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថាមពល ជាធម្មតាមិនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង "ការធ្វើទុក្ខទោស" នោះទេ។
និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x)\) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយដែលមានចំណុច \(x_0\) ។ ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ជាការបង្កើន \(\Delta x \) ដូចដែលវាមិនទុកចន្លោះពេលនេះទេ។ ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ \(\Delta y \) (នៅពេលផ្លាស់ទីពីចំណុច \(x_0 \) ទៅចំណុច \(x_0 + \Delta x \)) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x)\)។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ចំពោះសមាមាត្រនេះនៅ \(\Delta x \rightarrow 0\) នោះដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានហៅ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។\(y=f(x) \\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 \\) ហើយបញ្ជាក់ \(f"(x_0) \\) ។
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់ដេរីវេ។ មុខងារថ្មី។ប៉ុន្តែត្រូវបានភ្ជាប់ដោយធម្មជាតិជាមួយនឹងអនុគមន៍ y = f(x) ដែលកំណត់នៅចំណុចទាំងអស់ x ដែលដែនកំណត់ខាងលើមាន។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x).
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេគឺដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអាចគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x=a ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y នោះ f(a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់ :
\(k = f"(a)\)
ចាប់តាំងពី \(k = tg(a) \\) បន្ទាប់មកសមភាព \(f"(a) = tan(a) \\) គឺពិត។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ \(x\)៖
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ដីសណ្ត x\) ។ អត្ថន័យដ៏មានអត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលលទ្ធផលមានដូចខាងក្រោម៖ ការបង្កើនមុខងារគឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅក្នុង ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ X. ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ \(y = x^2\) សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ នោះយើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ស្វែងរកវា។
ចូរយើងបង្កើតវា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x)?
1. ជួសជុលតម្លៃនៃ \(x\) ស្វែងរក \(f(x)\)
2. ផ្តល់អាគុយម៉ង់ \(x\) បង្កើន \(\Delta x\) ទៅកាន់ ចំណុចថ្មី។\\ (x+ \\ Delta x \\), ស្វែងរក \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍៖ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. បង្កើតទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។
ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M(x; f(x)) ហើយសូមចាំថា មេគុណមុំនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x)។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" បានទេ។ នៅចំណុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅចំណុច x ។
ទាំងនេះគឺជាអាគុយម៉ង់ "ដៃលើ" ។ ចូរយើងផ្តល់ហេតុផលដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) រក្សា។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះ \(\Delta x \) ទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មក \(\Delta y \) នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវានឹងបន្តនៅចំណុចនោះ។.
សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ច្រាសគឺមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចប្រសព្វ” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់មិនអាចទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះដេរីវេមិនមាននៅត្រង់ចំណុចនោះទេ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ \(y=\sqrt(x)\) គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x = 0 ។ មេគុណជម្រាលបន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ ដែលមានន័យថា \(f"(0) \) ក៏មិនមានដែរ។
ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារ - ភាពខុសគ្នា។ តើគេអាចសន្និដ្ឋានបានដោយរបៀបណាពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ថាវាខុសគ្នា?
ចម្លើយគឺពិតជាបានផ្តល់ជូនខាងលើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាអាចគូរតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។
ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជា "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលធ្វើឱ្យការងារនេះកាន់តែងាយស្រួល។ ប្រសិនបើ C - ចំនួនថេរនិង f=f(x), g=g(x) គឺជាមុខងារដែលអាចបែងចែកបានមួយចំនួន បន្ទាប់មកខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន
$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $មុខងារ ប្រភេទស្មុគស្មាញមិនតែងតែសមនឹងនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញនោះទេ។ ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = sin x − (2 − 3) · a r c t g x 5 7 x 10 − 17 x 3 + x − 11 នោះវាមិនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ មិនដូច y = sin 2 x ។
អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញពីគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់វា។ ចូរយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន។ ការប្រើប្រាស់តារាងនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា កាត់បន្ថយពេលវេលាក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។
Yandex.RTB R-A-339285-1
និយមន័យមូលដ្ឋាន
និយមន័យ ១អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ គឺជាមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ក៏ជាមុខងារផងដែរ។
វាត្រូវបានតំណាងតាមរបៀបនេះ: f (g (x)) ។ យើងមានថាអនុគមន៍ g (x) ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាអាគុយម៉ង់ f (g (x)) ។
និយមន័យ ២
ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f និងជាអនុគមន៍កូតង់សង់ នោះ g(x) = ln x គឺជាអនុគមន៍ លោការីតធម្មជាតិ. យើងរកឃើញថាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ f (g (x)) នឹងត្រូវបានសរសេរជា arctg(lnx) ។ ឬអនុគមន៍ f ដែលជាអនុគមន៍ដែលលើកទៅថាមពលទី 4 ដែល g (x) = x 2 + 2 x − 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនួនគត់ មុខងារសមហេតុផលយើងរកឃើញថា f (g (x)) = (x 2 + 2 x − 3) 4 .
ជាក់ស្តែង g(x) អាចស្មុគស្មាញ។ ពីឧទាហរណ៍ y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃ g គឺ ឫសគូបជាមួយប្រភាគ។ ការបញ្ចេញមតិនេះ។អនុញ្ញាតឱ្យត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (f 1 (f 2 (x))) ។ ពីកន្លែងដែលយើងមាន f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ f 1 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទីតាំងនៅក្រោម ឫសការេ, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 − 5 - អនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។
និយមន័យ ៣
កម្រិតនៃការដាក់សំបុកត្រូវបានកំណត់ដោយណាមួយ។ លេខធម្មជាតិហើយត្រូវបានសរសេរជា y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) ។
និយមន័យ ៤
គោលគំនិតនៃសមាសភាពមុខងារ សំដៅលើចំនួននៃអនុគមន៍ដែលបានដាក់តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ដើម្បីដោះស្រាយ សូមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់
(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)
ឧទាហរណ៍
ឧទាហរណ៍ ១រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = (2 x + 1) ២.
ដំណោះស្រាយ
លក្ខខណ្ឌបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) = 2 x + 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។
ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរ៖
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 − 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 − 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងទម្រង់ដើមសាមញ្ញនៃមុខងារ។ យើងទទួលបាន:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
ពីទីនេះយើងមានវា។
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 − 1 + 4 · 1 · x 1 − 1 = 8 x + 4
លទ្ធផលគឺដូចគ្នា។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលមុខងារនៃទម្រង់ f និង g (x) នឹងស្ថិតនៅ។
ឧទាហរណ៍ ២
អ្នកគួរតែស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = sin 2 x និង y = sin x 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ការសម្គាល់អនុគមន៍ទីមួយនិយាយថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។
y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 − 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x
ធាតុទីពីរបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ g(x) = x 2 ត្រូវបានតំណាង មុខងារថាមពល. វាដូចខាងក្រោមដែលយើងសរសេរផលិតផលនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយដូចជា
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 − 1 = 2 x cos (x 2)
រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) នឹងត្រូវបានសរសេរជា y " = f " ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . )))) · . . . fn "(x)
ឧទាហរណ៍ ៣
រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ។
ដំណោះស្រាយ
ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីការលំបាកក្នុងការសរសេរ និងកំណត់ទីតាំងនៃមុខងារ។ បន្ទាប់មក y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) បង្ហាញពីកន្លែងដែល f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស មុខងារនៃការលើក ដល់ 3 ដឺក្រេ មុខងារជាមួយលោការីត និងគោល អ៊ី អនុគមន៍អាកតង់សង់ និងលីនេអ៊ែរ។
ពីរូបមន្តសម្រាប់កំណត់មុខងារស្មុគស្មាញ យើងមាននោះ។
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
យើងទទួលបានអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងរក
- f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ជាដេរីវេនៃស៊ីនុសយោងទៅតាមតារាងដេរីវេ បន្ទាប់មក f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x))) ។
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល បន្ទាប់មក f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) ។
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ជាដេរីវេលោការីត បន្ទាប់មក f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ។
- f 3 "(f 4 (x)) ជាដេរីវេនៃ Arctangent បន្ទាប់មក f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 ។
- នៅពេលរកឃើញដេរីវេទី f 4 (x) = 2 x យក 2 ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តស្មើនឹង 1 បន្ទាប់មក f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ។
យើងបញ្ចូលគ្នានូវលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយទទួលបាននោះ។
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
ការវិភាគមុខងារបែបនេះគឺនឹកឃើញដល់តុក្កតាសំបុក។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមិនអាចតែងតែត្រូវបានអនុវត្តដោយច្បាស់លាស់ដោយប្រើតារាងដេរីវេទេ។ ជារឿយៗអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
មានភាពខុសគ្នាខ្លះរវាងរូបរាងស្មុគស្មាញ និងមុខងារស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងសមត្ថភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការបែងចែកនេះ ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនឹងមានភាពងាយស្រួលជាពិសេស។
ឧទាហរណ៍ 4
ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាលើការសម្ដែង ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា. ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 នោះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 ។ . ជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេស្មុគ្រស្មាញ៖
f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 − 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 − 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ ព្រោះវាមានផលបូកនៃ t g x 2, 3 t g x និង 1 ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ t g x 2 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលនៃទម្រង់ g (x) = x 2 និង f ដែលជាអនុគមន៍តង់សង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបែងចែកដោយបរិមាណ។ យើងទទួលបាននោះ។
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2)" + 3 cos 2 x
ចូរបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (t g x 2) ":
f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
យើងទទួលបាន y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
មុខងារនៃប្រភេទស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញខ្លួនឯងអាចជាធាតុផ្សំនៃមុខងារនៃប្រភេទស្មុគស្មាញមួយ។
ឧទាហរណ៍ 5
ឧទាហរណ៍ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
អនុគមន៍នេះអាចត្រូវបានតំណាងជា y = f (g (x)) ដែលតម្លៃនៃ f ជាអនុគមន៍នៃលោការីតគោល 3 ហើយ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរនៃទម្រង់ h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 និង k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) ។ ជាក់ស្តែង y = f (h (x) + k (x)) ។
ពិចារណាមុខងារ h(x) ។ នេះគឺជាសមាមាត្រ l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ទៅ m (x) = e x 2 + 3 3
យើងមានថា l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ n (x) = x 2 + 7 និង p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ដែល p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមេគុណលេខ 3 ហើយ p 1 គឺជាអនុគមន៍គូប។ p 2 ដោយអនុគមន៍កូស៊ីនុស p 3 (x) = 2 x + 1 ដោយអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។
យើងបានរកឃើញថា m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ q (x) = e x 2 និង r (x) = 3 3 ដែល q (x) = q 1 (q 2 (x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ q 1 ជាអនុគមន៍ដែលមានអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល q 2 (x) = x 2 ជាអនុគមន៍ថាមពល។
នេះបង្ហាញថា h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) ។ (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
នៅពេលផ្លាស់ទីទៅកន្សោមនៃទម្រង់ k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ស្មុគស្មាញ s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ជាមួយចំនួនគត់សមហេតុផល t (x) = x 2 + 1 ដែល s 1 ជាអនុគមន៍ការេ ហើយ s 2 (x) = ln x គឺជាលោការីតជាមួយ មូលដ្ឋាន e.
វាដូចខាងក្រោមថាកន្សោមនឹងយកទម្រង់ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) ។
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
ដោយផ្អែកលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃមុខងារ វាច្បាស់អំពីរបៀប និងរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលត្រូវប្រើ ដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិនៅពេលបែងចែកវាឱ្យកាន់តែច្បាស់។ សម្រាប់ព័ត៌មាន ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាហើយសម្រាប់គោលគំនិតនៃការដោះស្រាយពួកវា វាចាំបាច់ក្នុងការងាកទៅរកចំណុចនៃការបែងចែកមុខងារមួយ ពោលគឺការស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter