កម្រិតដំបូង

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ មគ្គុទ្ទេសក៍ទូលំទូលាយ (2019)

តោះស្រមៃមើលផ្លូវត្រង់ឆ្លងកាត់តំបន់ភ្នំ។ ពោល​គឺ​ឡើង​ចុះ ប៉ុន្តែ​មិន​បត់​ស្តាំ ឬ​ឆ្វេង​ទេ។ ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ដេកតាមបណ្តោយផ្លូវ និងបញ្ឈរ នោះខ្សែផ្លូវនឹងស្រដៀងនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយចំនួន៖

អ័ក្សគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃកម្ពស់សូន្យ;

ពេល​យើង​ដើរ​ទៅ​មុខ​តាម​ផ្លូវ​នោះ យើង​ក៏​រំកិល​ឡើង​ឬ​ចុះ។ យើងក៏អាចនិយាយបានដែរថា: នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ (ចលនាតាមអ័ក្ស abscissa) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ (ចលនាតាមអ័ក្សកំណត់)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតពីរបៀបដើម្បីកំណត់ "ភាពចោត" នៃផ្លូវរបស់យើង? តើតម្លៃនេះអាចជាអ្វី? វាសាមញ្ញណាស់៖ តើកម្ពស់នឹងផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលធ្វើដំណើរទៅមុខចម្ងាយជាក់លាក់មួយ។ បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់នៅលើ តំបន់ផ្សេងគ្នាផ្លូវឆ្ពោះទៅមុខ (តាមអ័ក្ស x) មួយគីឡូម៉ែត្រ យើងនឹងឡើង ឬធ្លាក់ចុះ បរិមាណផ្សេងគ្នាម៉ែត្រទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតទឹកសមុទ្រ (តាមអ័ក្សតម្រៀប) ។

ចូរបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាព (អាន "delta x") ។

អក្សរក្រិក (ដីសណ្តរ) ត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅជាបុព្វបទក្នុងគណិតវិទ្យា មានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" ។ នោះគឺ - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណ - ការផ្លាស់ប្តូរ; បន្ទាប់មកតើវាជាអ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ការផ្លាស់ប្តូរទំហំ។

សំខាន់៖ កន្សោមគឺទាំងមូលតែមួយ អថេរមួយ។ កុំបំបែក "ដីសណ្ត" ពី "x" ឬអក្សរផ្សេងទៀត! នោះជាឧទាហរណ៍។

ដូច្នេះ យើងបានឆ្ពោះទៅមុខ ផ្ដេក ដោយ។ ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបបន្ទាត់នៃផ្លូវជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នោះ តើយើងសម្គាល់ការកើនឡើងដោយរបៀបណា? ប្រាកដណាស់, ។ នោះគឺនៅពេលយើងឈានទៅមុខ យើងឡើងខ្ពស់ជាង។

តម្លៃគឺងាយស្រួលក្នុងការគណនា៖ ប្រសិនបើនៅដើមដំបូងយើងនៅកម្ពស់មួយ ហើយបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី យើងបានរកឃើញខ្លួនយើងនៅកម្ពស់មួយ ពេលនោះ។ ប្រសិនបើ ចំណុចបញ្ចប់ប្រែទៅជាទាបជាងដំបូងវានឹងអវិជ្ជមាន - នេះមានន័យថាយើងមិនឡើងទេតែចុះ។

ចូរត្រឡប់ទៅ "ចោត"៖ នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាកម្ពស់កើនឡើងប៉ុន្មាន (ចោត) នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខមួយឯកតានៃចម្ងាយ៖

ចូរយើងសន្មត់ថានៅផ្នែកខ្លះនៃផ្លូវ នៅពេលធ្វើដំណើរទៅមុខមួយគីឡូម៉ែត្រ ផ្លូវឡើងមួយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកជម្រាលនៅកន្លែងនេះគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​បើ​ផ្លូវ​ដើរ​ទៅ​មុខ​ដោយ​ម៉ែត្រ ទម្លាក់​គីឡូម៉ែត្រ? បន្ទាប់មកជម្រាលគឺស្មើគ្នា។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលកំពូលភ្នំ។ ប្រសិនបើអ្នកយកចំណុចចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្រមុនពេលកំពូល ហើយចុងបញ្ចប់ពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្របន្ទាប់ពីវា អ្នកអាចមើលឃើញថាកម្ពស់គឺស្ទើរតែដូចគ្នា។

នោះគឺយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជារបស់យើងវាប្រែថាជម្រាលនៅទីនេះគឺស្ទើរតែស្មើនឹងសូន្យដែលច្បាស់ណាស់មិនពិត។ ចម្ងាយតែគីឡូម៉ែត្រ អ្វីៗអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ តំបន់តូចៗត្រូវយកមកពិចារណា ដើម្បីឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ និង ការវាយតម្លៃត្រឹមត្រូវ។ភាពចោត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់នៅពេលអ្នកផ្លាស់ទីមួយម៉ែត្រ លទ្ធផលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវជាង។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែភាពត្រឹមត្រូវនេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើមានបង្គោលនៅកណ្តាលផ្លូវយើងអាចឆ្លងកាត់វាបាន។ តើយើងត្រូវជ្រើសរើសចម្ងាយប៉ុន្មាន? សង់ទីម៉ែត្រ? មីលីម៉ែត្រ? តិចគឺល្អ!

IN ជីវិត​ពិតការវាស់ចម្ងាយទៅមីលីម៉ែត្រជិតបំផុតគឺច្រើនជាងគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែ​អ្នក​គណិត​វិទូ​តែង​តែ​ព្យាយាម​ដើម្បី​ភាព​ល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះគំនិតត្រូវបានបង្កើតឡើង គ្មានដែនកំណត់នោះគឺតម្លៃដាច់ខាតគឺតិចជាងចំនួនណាមួយដែលយើងអាចដាក់ឈ្មោះបាន។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិយាយថា៖ មួយពាន់ពាន់លាន! តិច​ប៉ុន្មាន? ហើយអ្នកចែកលេខនេះដោយ - ហើយវានឹងតិចជាង។ ល​ល។ ប្រសិនបើយើងចង់សរសេរថាបរិមាណគឺគ្មានដែនកំណត់ យើងសរសេរដូចនេះ៖ (យើងអាន “x ទំនោរទៅសូន្យ”)។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ ថាលេខនេះមិនមែនសូន្យទេ!ប៉ុន្តែនៅជិតវា។ នេះមានន័យថាអ្នកអាចបែងចែកវាបាន។

គំនិតផ្ទុយទៅនឹង infinitesimal គឺមានទំហំធំគ្មានកំណត់ () ។ អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឆ្លងកាត់វារួចហើយ នៅពេលអ្នកកំពុងធ្វើការលើវិសមភាព៖ លេខនេះគឺម៉ូឌុលធំជាងលេខណាមួយដែលអ្នកអាចគិតបាន។ ប្រសិនបើអ្នកឡើងជាមួយនឹងចំនួនធំបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន គ្រាន់តែគុណវាដោយពីរ នោះអ្នកនឹងទទួលបានលេខធំជាងនេះ។ និងគ្មានទីបញ្ចប់ លើសពីនេះទៀត។តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង។ តាមការពិត ធំ និងតូចមិនចេះចប់ គឺជាការបញ្ច្រាសគ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺនៅ និងច្រាសមកវិញ៖ នៅ។

ឥឡូវនេះសូមត្រលប់ទៅផ្លូវរបស់យើងវិញ។ ជម្រាលដែលបានគណនាតាមឧត្ដមគតិ គឺជាជម្រាលដែលបានគណនាសម្រាប់ផ្នែកគ្មានកំណត់នៃផ្លូវ នោះគឺ៖

ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅគ្មានកំណត់ ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ក៏នឹងមិនមានកំណត់ដែរ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា infinitesimal មិនមានន័យទេ។ ស្មើនឹងសូន្យ. ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកលេខមិនកំណត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក អ្នកអាចទទួលបានច្រើន។ លេខធម្មតា។, ឧទាហរណ៍, ។ នោះគឺតម្លៃតូចមួយអាចធំជាងតម្លៃមួយទៀត។

តើទាំងអស់នេះសម្រាប់អ្វី? ផ្លូវ ផ្លូវចោត... យើងមិនជិះឡានទេ ប៉ុន្តែយើងបង្រៀនគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហៅខុសគ្នាតែប៉ុណ្ណោះ។

គំនិតនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់សម្រាប់ការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់។

កើនឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា គេហៅការផ្លាស់ប្តូរ។ វិសាលភាពដែលអាគុយម៉ង់ () ផ្លាស់ប្តូរនៅពេលវាផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់និងត្រូវបានកំណត់ថាតើមុខងារ (កម្ពស់) បានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខតាមអ័ក្សដោយចម្ងាយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនមុខងារនិងត្រូវបានកំណត់។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ គឺសមាមាត្រទៅនឹងពេលណា។ យើងសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារ ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាបឋមនៅខាងស្តាំខាងលើ៖ ឬសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តដេរីវេដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ៖

ដូចនៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្លូវ នៅទីនេះនៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺអវិជ្ជមាន។

តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​សម្រាប់​ដេរីវេ​ស្មើនឹង​សូន្យ? ពិតប្រាកដ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបើកបរលើផ្លូវផ្តេក ភាពចោតគឺសូន្យ។ ហើយវាជាការពិត កម្ពស់មិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះវាគឺជាមួយនឹងដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ (ថេរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ចាប់តាំងពីការបង្កើនមុខងារបែបនេះគឺស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់ណាមួយ។

ចូរយើងចងចាំឧទាហរណ៍នៅលើកំពូលភ្នំ។ វាបានប្រែក្លាយថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកតាមបណ្តោយ ភាគីផ្សេងគ្នាពីខាងលើ ដូច្នេះកម្ពស់នៅខាងចុងគឺដូចគ្នា ពោលគឺផ្នែកគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស៖

ប៉ុន្តែផ្នែកធំគឺជាសញ្ញានៃការវាស់វែងមិនត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងលើកផ្នែករបស់យើងឡើងស្របទៅនឹងខ្លួនវា បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងថយចុះ។

នៅទីបំផុត នៅពេលដែលយើងស្ថិតនៅកៀកកំពូលគ្មានដែនកំណត់ ប្រវែងនៃផ្នែកនឹងក្លាយទៅជាគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះ វានៅតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស ពោលគឺភាពខុសគ្នានៃកម្ពស់នៅចុងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (វាមិនមានទំនោរទៅ ប៉ុន្តែស្មើនឹង)។ ដូច្នេះដេរីវេ

នេះអាចយល់បានតាមវិធីនេះ៖ នៅពេលដែលយើងឈរនៅកំពូល ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយទៅឆ្វេង ឬស្តាំផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់របស់យើងដោយធ្វេសប្រហែស។

វាក៏មានការពន្យល់អំពីពិជគណិតសុទ្ធសាធផងដែរ៖ នៅខាងឆ្វេងនៃចំនុចកំពូល មុខងារកើនឡើង ហើយនៅខាងស្តាំវាថយចុះ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញពីមុន នៅពេលដែលមុខងារមួយកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺជាអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែវាផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងរលូនដោយគ្មានការលោត (ចាប់តាំងពីផ្លូវមិនផ្លាស់ប្តូរជម្រាលរបស់វាយ៉ាងខ្លាំងគ្រប់ទីកន្លែង) ។ ដូច្នេះរវាងអវិជ្ជមាននិង តម្លៃវិជ្ជមានប្រាកដជាមាន។ វានឹងក្លាយជាកន្លែងដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ - នៅចំណុចកំពូល។

ដូចគ្នានេះដែរគឺសម្រាប់ trough (តំបន់ដែលមុខងារនៅខាងឆ្វេងថយចុះនិងនៅខាងស្តាំកើនឡើង):

បន្តិចទៀតអំពីការកើនឡើង។

ដូច្នេះយើងប្តូរអាគុយម៉ង់ទៅជាទំហំ។ តើយើងប្តូរពីតម្លៃអ្វី? តើវា (អាគុយម៉ង់) បានក្លាយជាអ្វីឥឡូវនេះ? យើងអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងរាំពីវា។

ពិចារណាចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើនដូចគ្នា៖ យើងបង្កើនកូអរដោណេដោយ។ តើអ្វីជាអាគុយម៉ង់ឥឡូវនេះ? ងាយស្រួលណាស់៖ ។ តើអ្វីទៅជាតម្លៃនៃមុខងារឥឡូវនេះ? កន្លែងដែលអាគុយម៉ង់ទៅ មុខងារក៏ដូចគ្នាដែរ៖ . ចុះការបង្កើនមុខងារវិញ? គ្មានអ្វីថ្មីទេ៖ នេះនៅតែជាចំនួនដែលមុខងារបានផ្លាស់ប្តូរ៖

អនុវត្តការស្វែងរកការកើនឡើង៖

1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយនៅពេលដែលការបង្កើនអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង។
2. ដូចគ្នាចំពោះមុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

IN ចំណុចផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ដូចគ្នា ការបង្កើនមុខងារនឹងខុសគ្នា។ នេះមានន័យថាដេរីវេនៅចំណុចនីមួយៗគឺខុសគ្នា (យើងបានពិភាក្សារឿងនេះនៅដើមដំបូង - ភាពចោតនៃផ្លូវគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុចផ្សេងៗគ្នា) ។ ដូច្នេះ ពេល​យើង​សរសេរ​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​ត្រូវ​ចង្អុល​បង្ហាញ​ត្រង់​ចំណុច​ណា៖

មុខងារថាមពល។

អនុគមន៍ថាមពលគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់មានកម្រិតខ្លះ (ឡូជីខលមែនទេ?)

លើសពីនេះទៅទៀត - ក្នុងកម្រិតណាមួយ: .

ករណីសាមញ្ញបំផុត។- នេះគឺជាពេលដែលនិទស្សន្ត៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចមួយ។ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរពីទៅ។ តើការបង្កើនមុខងារជាអ្វី?

ការកើនឡើងគឺនេះ។ ប៉ុន្តែមុខងារមួយនៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងអាគុយម៉ង់របស់វា។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល:

ដេរីវេគឺស្មើនឹង៖

ដេរីវេនៃគឺស្មើនឹង៖

ខ) ឥឡូវពិចារណា មុខងារបួនជ្រុង (): .

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ចងចាំ​រឿង​នោះ។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃការកើនឡើងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាគ្មានដែនកំណត់ ហើយដូច្នេះវាមិនសំខាន់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃពាក្យផ្សេងទៀត៖

ដូច្នេះ, យើងបានបង្កើតច្បាប់មួយផ្សេងទៀត:

គ) យើងបន្តស៊េរីឡូជីខល៖ .

កន្សោមនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ បើកតង្កៀបទីមួយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់នៃគូបនៃផលបូក ឬធ្វើកត្តាកន្សោមទាំងមូលដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តគូប។ ព្យាយាមធ្វើវាដោយខ្លួនឯងដោយប្រើវិធីណាមួយដែលបានស្នើ។

ដូច្នេះ, ខ្ញុំទទួលបានដូចខាងក្រោម:

ហើយម្តងទៀតសូមចាំថា។ នេះមានន័យថាយើងអាចធ្វេសប្រហែសពាក្យទាំងអស់ដែលមាន៖

យើង​ទទួល​បាន: ។

ឃ) ច្បាប់ស្រដៀងគ្នាអាចទទួលបានសម្រាប់អំណាចធំៗ៖

e) វាប្រែថាច្បាប់នេះអាចត្រូវបានទូទៅសម្រាប់អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តបំពាន មិនមែនសូម្បីតែចំនួនគត់៖

(2)

ច្បាប់​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ក្នុង​ពាក្យ​ថា “ដឺក្រេ​ត្រូវ​បាន​នាំ​មក​មុខ​ជា​មេគុណ​មួយ ហើយ​បន្ទាប់​មក​កាត់​បន្ថយ​ដោយ ” ។

យើងនឹងបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនៅពេលក្រោយ (ស្ទើរតែដល់ទីបញ្ចប់)។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. (តាមពីរវិធី៖ ដោយរូបមន្ត និងការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃដេរីវេ - ដោយការគណនាការបង្កើនមុខងារ);

1. . ជឿឬមិនជឿ នេះគឺជាមុខងារថាមពល។ ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរដូចជា "តើនេះយ៉ាងម៉េច? តើសញ្ញាបត្រនៅឯណា?” សូមចាំប្រធានបទ “”!
   បាទ, បាទ, ឫសក៏ជាដឺក្រេ, តែប្រភាគ: .
   ដូច្នេះរបស់យើង។ ឫស​ការេ- នេះគ្រាន់តែជាសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករ៖
   .
   យើងរកមើលដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តដែលបានរៀនថ្មីៗនេះ៖

   បើ​ដល់​ចំណុច​នេះ​វា​មិន​ច្បាស់​ម្ដង​ទៀត សូម​លើក​ប្រធានបទ «» ឡើង​វិញ!!! (អំពីសញ្ញាបត្រជាមួយ សូចនាករអវិជ្ជមាន)

2. . ឥឡូវនេះនិទស្សន្ត៖

   ហើយឥឡូវនេះតាមរយៈនិយមន័យ (តើអ្នកភ្លេចនៅឡើយទេ?)៖
   ;
   .
   ឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងមិនអើពើនឹងពាក្យដែលមាន៖
   .

3. . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃករណីមុន: .

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ខាងក្រោមនេះយើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិតមួយពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖

ជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។

អ្នកនឹងរៀនភស្តុតាងនៅក្នុងឆ្នាំដំបូងនៃវិទ្យាស្ថាន (ហើយដើម្បីទៅដល់ទីនោះ អ្នកត្រូវឆ្លងកាត់ការប្រឡង Unified State បានយ៉ាងល្អ)។ ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​បង្ហាញ​វា​ជា​ក្រាហ្វិក៖

យើងឃើញថានៅពេលដែលមុខងារមិនមាន - ចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវបានកាត់ចេញ។ ប៉ុន្តែកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃ មុខងារកាន់តែខិតទៅជិត នេះជាអ្វីដែល “គោលបំណង”។

លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចពិនិត្យមើលច្បាប់នេះដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ បាទ/ចាស៎ កុំខ្មាស់អៀន យកម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងមិនទាន់បានប្រលងជាប់ថ្នាក់រដ្ឋនៅឡើយទេ។

ដូច្នេះសូមសាកល្បង៖ ;

កុំភ្លេចប្តូរម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់អ្នកទៅរបៀបរ៉ាដ្យង់!

ល។ យើងឃើញថាកាន់តែតិច តម្លៃកាន់តែជិតទំនាក់ទំនងទៅ

ក) ពិចារណាមុខងារ។ ដូចធម្មតា ចូរយើងស្វែងរកការកើនឡើងរបស់វា៖

ចូរបង្វែរភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសទៅជាផលិតផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត (ចងចាំប្រធានបទ ""): .

ឥឡូវនេះដេរីវេ៖

តោះធ្វើការជំនួស៖ . បន្ទាប់មកសម្រាប់ infinitesimal វាក៏ជា infinitesimal: . កន្សោម​សម្រាប់​មាន​ទម្រង់៖

ហើយឥឡូវនេះយើងចងចាំវាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។ ហើយផងដែរ ចុះយ៉ាងណាបើបរិមាណមិនកំណត់អាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងផលបូក (នោះគឺនៅ)។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន ច្បាប់បន្ទាប់:ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស:

ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន ("តារាង")។ នៅទីនេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីមួយ៖

ក្រោយមកយើងនឹងបន្ថែមពីរបីទៀតទៅពួកវា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺសំខាន់បំផុត ដោយសារពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។

ការអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ៖

1. ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃរបស់វា៖
   ;
   .
2. នៅទីនេះយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងនឹង មុខងារថាមពល. តោះព្យាយាមនាំនាងទៅ
   ទិដ្ឋភាពធម្មតា៖
   .
   ល្អណាស់ ឥឡូវអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖
   .
   .
3. . Eeeeeee..... នេះជាអ្វី????

មិនអីទេ អ្នកនិយាយត្រូវ យើងមិនទាន់ដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះទេ។ នៅទីនេះយើងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទជាច្រើននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើការជាមួយពួកគេ អ្នកត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនបន្ថែមទៀត៖

និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ។

មានអនុគមន៍មួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលដេរីវេនៃតម្លៃណាមួយស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ខ្លួនវាក្នុងពេលតែមួយ។ វាត្រូវបានគេហៅថា "និទស្សន្ត" ហើយជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មូលដ្ឋាននៃមុខងារនេះគឺថេរ - វាគ្មានកំណត់ ទសភាគនោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល (ដូចជា)។ វាត្រូវបានគេហៅថា "លេខអយល័រ" ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។

ដូច្នេះក្បួន៖

ងាយស្រួលចងចាំណាស់។

អញ្ចឹងកុំទៅណាឆ្ងាយ តោះមើលវាភ្លាម មុខងារបញ្ច្រាស. មុខងារមួយណាដែលបញ្ច្រាស់ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើវាស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដ​ណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ អ្នកតាំងពិព័រណ៍ និង លោការីតធម្មជាតិ- មុខងារគឺសាមញ្ញតែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់ភាពខុសគ្នា។

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

ច្បាប់អ្វី? ម្តងទៀត ពាក្យថ្មី។ទៀតហើយ?!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

អស់ហើយ។ តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកអាចហៅដំណើរការនេះក្នុងពាក្យមួយ? មិនមែនដេរីវេទេ... គណិតវិទូហៅឌីផេរ៉ង់ស្យែលថា ការកើនឡើងដូចគ្នានៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមានច្បាប់ចំនួន៥។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ខ្លះ ចំនួនថេរ(ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ សូមឱ្យវាក្លាយជាឬសាមញ្ញជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. នៅចំណុចមួយ;
2. នៅចំណុចមួយ;
3. នៅចំណុចមួយ;
4. នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

1. (ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ចាប់តាំងពីនេះ។ មុខងារលីនេអ៊ែរចងចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ តោះចូល មុខងារថ្មី។ហើយស្វែងរកការកើនឡើងរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ និង;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

សម្រាប់រឿងនេះយើងនឹងប្រើ ច្បាប់សាមញ្ញ:. បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្តមួយ៖ ដូចដែលវាគឺវានៅដដែល មានតែកត្តាមួយបានលេចឡើង ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺវាមិនអាចសរសេរបានទៀតទេ ក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ. ដូច្នេះហើយ យើងទុកវាក្នុងទម្រង់នេះក្នុងចំលើយ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

វាស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ អ្នកបានដឹងរួចមកហើយនូវដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកលោការីតតាមអំពើចិត្តដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវកាត់បន្ថយលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែពេលនេះទេដែលយើងនឹងសរសេរជំនួសវិញ៖

ភាគបែងគឺគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺទទួលបានយ៉ាងសាមញ្ញ៖

ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និង មុខងារលោការីតស្ទើរតែមិនដែលបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ប៉ុន្តែវាមិនឈឺចាប់ក្នុងការស្គាល់ពួកគេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាអាកតង់សង់ទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាអ្នករកឃើញលោការីតពិបាកក៏ដោយ សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្នកនឹងមិនអីទេ) ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" ទេ។

ស្រមៃមើលខ្សែក្រវាត់តូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ជាឧទាហរណ៍ ទីមួយរុំរបារសូកូឡានៅក្នុងរុំ ហើយទីពីរចងវាដោយខ្សែបូ។ លទ្ធផលគឺជាវត្ថុផ្សំមួយ៖ របារសូកូឡារុំ និងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើ សកម្មភាពបញ្ច្រាសវ លំដាប់បញ្ច្រាស.

ចូរយើងបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​លេខ​មួយ (សូកូឡា) ខ្ញុំ​រក​ឃើញ​កូស៊ីនុស​របស់​វា (រុំ) ហើយ​បន្ទាប់​មក​អ្នក​ដាក់​ការ៉េ​ដែល​ខ្ញុំ​ទទួល​បាន (ចង​វា​ដោយ​ខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះជាឧទាហរណ៍មួយ។ មុខងារស្មុគស្មាញ: នៅពេល ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងអនុវត្តសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរជាមួយនឹងអ្វីដែលជាលទ្ធផលពីដំបូង។

យើង​អាច​ធ្វើ​ជំហាន​ដូច​គ្នា​បាន​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​លំដាប់​បញ្ច្រាស៖ ដំបូង​អ្នក​ដាក់​វា​ជា​ការ៉េ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ខ្ញុំ​រក​មើល​កូស៊ីនុស​នៃ​លេខ​លទ្ធផល៖ . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ មុខងារសំខាន់មុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍ទីមួយ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពដែលយើងធ្វើចុងក្រោយនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពបានអនុវត្តមុនគេ - តាមនោះ។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណា និងខាងក្នុងមួយណា៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍មួយ។

1. តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​សកម្មភាព​អ្វី​មុន​គេ? ដំបូង​យើង​គណនា​ស៊ីនុស ហើយ​បន្ទាប់​មក​គូប។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​វា​ជា​មុខងារ​ខាងក្នុង ប៉ុន្តែ​ជា​មុខងារ​ខាង​ក្រៅ។
   ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
2. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
3. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
4. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
5. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារមួយ។

ជាការប្រសើរណាស់, ឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយករបារសូកូឡារបស់យើងហើយរកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេ មុខងារខាងក្រៅបន្ទាប់មកគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង។ ទាក់ទងទៅនឹងឧទាហរណ៍ដើម វាមើលទៅដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុត​យើង​នឹង​បង្កើត​ច្បាប់​ជា​ផ្លូវ​ការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

វាហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់វាឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេ ចាំបានទេ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ភ្លាមៗថានេះគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញបីកម្រិត៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងក៏ដកឫសចេញពីវាដែរ ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (យើងដាក់សូកូឡានៅក្នុង រុំនិងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូប) ។ ប៉ុន្តែមិនមានហេតុផលដែលត្រូវភ័យខ្លាចទេ: យើងនឹងនៅតែ "ស្រាយ" មុខងារនេះតាមលំដាប់ដូចធម្មតា: ចាប់ពីទីបញ្ចប់។

នោះ​គឺ​ជា​ដំបូង​យើង​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា​នៃ​ឫស បន្ទាប់​មក​កូស៊ីនុស ហើយ​បន្ទាប់​មក​តែ​កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​សកម្មភាព​ក្នុង​លំដាប់​ណា​ដើម្បី​គណនា​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​នេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា។ លំដាប់នៃសកម្មភាពគឺដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរយើងកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។

1. ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់។ .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីន។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីរឿងសំខាន់

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់សម្រាប់ការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់:

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ដេរីវេនៃផលិតផល៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

1. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
2. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
3. យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ដែលមានមុខងារ 3-4-5 សំបុកនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនេះហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់ពីពួកគេ (នរណាម្នាក់នឹងរងទុក្ខ) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុង ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលវានឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រូវហើយ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគរបស់អ្នក។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ល្បិចមានប្រយោជន៍៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍នៃ “x” ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួស តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យចូលទៅក្នុង "ការបញ្ចេញមតិដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។

1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោមដែលមានន័យថាផលបូកគឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។

២) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖

4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:

5) នៅជំហានទី 5 ភាពខុសគ្នាគឺ:

៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖

រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖

វាហាក់ដូចជាមិនមានកំហុសទេ៖

1) យកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។

2) យកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន

3) ដេរីវេនៃបីគឺសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ (គូប) ។

4) យកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។

6) ហើយចុងក្រោយយើងយកដេរីវេនៃការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។

វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តចំពោះភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់វត្ថុស្រដៀងគ្នានៅក្នុងការប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ.

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ព័ត៌មានជំនួយ៖ ជាដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់លីនេអ៊ែរ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលតូចជាង និងស្អាតជាង។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើម្បីបង្ហាញផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែ មុខងារបី. របៀបស្វែងរកដេរីវេនៃ ផលិតផលបីមេគុណ?

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូង​យើង​មើល តើ​វា​អាច​បង្វែរ​ផលិតផល​នៃ​មុខងារ​បី​ទៅ​ជា​ផលិតផល​នៃ​មុខងារ​ពីរ​បាន​ទេ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។

ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ពីរដង

ល្បិចគឺថាដោយ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងដោយ "ve" យើងបង្ហាញពីលោការីត: . ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើ​វា​អាច​ទៅរួច​ទេ - នេះមិនមែនជាផលិតផលនៃកត្តាពីរហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖

អ្នកនៅតែអាចត្រូវបានបង្ខូច ហើយយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែនៅក្នុង ក្នុងករណី​នេះវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីទុកចម្លើយនៅក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ដែលពិចារណាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យនៅក្នុងគំរូដែលវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំបូង។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

មានវិធីជាច្រើនដែលអ្នកអាចទៅទីនេះ៖

ឬដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួម ប្រសិនបើយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដំបូង យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖

ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលនោះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​មាន​ពេល​វេលា វា​ជា​ការ​ណែនាំ​ឱ្យ​ពិនិត្យ​មើល​លើ​សេចក្តី​ព្រាង​ជា​និច្ច​ដើម្បី​មើល​ថា​តើ​ចម្លើយ​អាច​ត្រូវ​បាន​សាមញ្ញ?

ចូរយើងកាត់បន្ថយកន្សោមនៃភាគយកទៅ កត្តា​កំណត់​រួមហើយកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:

គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ ការបង្កើតដែលមានដូចខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យ 1) អនុគមន៍ $u=\varphi (x)$ មាននៅចំណុចខ្លះ $x_0$ ដេរីវេ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) អនុគមន៍ $y=f(u)$ មាននៅ ចំណុចដែលត្រូវគ្នា។$u_0=\varphi (x_0)$ ដេរីវេ $y_(u)"=f"(u)$។ បន្ទាប់មក អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y=f\left(\varphi (x)\right)$ នៅចំណុចដែលបានរៀបរាប់ក៏មាន ដេរីវេ ស្មើនឹងផលិតផលដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(u)$ និង $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0)\right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ឬក្នុងន័យខ្លីជាងនេះ៖ $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ក្នុងផ្នែកនេះ មុខងារទាំងអស់មានទម្រង់ $y=f(x)$ (ឧ. យើងពិចារណាតែមុខងារនៃអថេរមួយ $x$)។ ដូច្នោះហើយ ក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ ដេរីវេ $y"$ ត្រូវបានគេយកទាក់ទងនឹងអថេរ $x$។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថា ដេរីវេត្រូវបានយកដោយគោរពតាមអថេរ $x$, $y"_x$ ជាញឹកញាប់ត្រូវបានសរសេរជំនួសឱ្យ $y "$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 1 លេខ 2 និងលេខ 3 គ្រោង ដំណើរការលម្អិតការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍លេខ 4 គឺមានបំណងសម្រាប់ការយល់ដឹងពេញលេញបន្ថែមទៀតអំពីតារាងដេរីវេ ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយវា។

បន្ទាប់ពីសិក្សាសម្ភារៈក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 1-3 គួរតែបន្តទៅការដោះស្រាយដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍លេខ 5 លេខ 6 និងលេខ 7 ។ ឧទាហរណ៍លេខ 5 លេខ 6 និងលេខ 7 មាន ដំណោះស្រាយខ្លីដើម្បីឱ្យអ្នកអានអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលរបស់គាត់។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=e^(\cos x)$ ។

យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y"$។ ចាប់តាំងពី $y=e^(\cos x)$ បន្ទាប់មក $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$។ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ $\left(e^(\cos x)\right)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 6 ពីតារាងដេរីវេ។ ដើម្បីប្រើរូបមន្តលេខ 6 យើងត្រូវពិចារណាថាក្នុងករណីរបស់យើង $u = \ cos x$ ។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមគឺគ្រាន់តែជំនួសកន្សោម $\cos x$ ជំនួសឱ្យ $u$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 6៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម $(\cos x)"$។ យើងបង្វែរម្តងទៀតទៅតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជ្រើសរើសរូបមន្តលេខ 10 ពីវា។ ការជំនួស $u=x$ ទៅជារូបមន្តលេខ 10 យើងមាន : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ ឥឡូវនេះ យើងបន្តភាពស្មើគ្នា (1.1) ដោយបន្ថែមវាជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលបានរកឃើញ៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

ចាប់តាំងពី $x"=1$ យើងបន្តសមភាព (1.2)៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ដូច្នេះ ពីសមភាព (1.3) យើងមាន៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$។ តាមធម្មជាតិ ការពន្យល់ និងសមភាពកម្រិតមធ្យមជាធម្មតាត្រូវបានរំលង ដោយសរសេរការស្វែងរកដេរីវេក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចនៅក្នុងសមភាព (១.៣) ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានរកឃើញ នៅសល់ទាំងអស់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ។

យើងត្រូវគណនាដេរីវេ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ថេរ (ឧ. លេខ ៩) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ឥឡូវ​យើង​បង្វែរ​ទៅ​កន្សោម $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$។ ដើម្បី​ជ្រើសរើស រូបមន្តដែលត្រូវការពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុវាកាន់តែងាយស្រួល ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោមក្នុងសំណួរក្នុងទម្រង់នេះ៖ $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ។ ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តលេខ 2 ពោលគឺ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ យើងជំនួស $ u=\arctg(4) ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ \cdot \ln x)$ និង $\alpha=12$:

ការបន្ថែមសមភាព (2.1) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ក្នុង​ស្ថានភាព​នេះ កំហុស​ច្រើន​តែ​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​អ្នក​ដោះស្រាយ​នៅ​ជំហាន​ដំបូង​ជ្រើសរើស​រូបមន្ត $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ជំនួស​ឱ្យ​រូបមន្ត $\left(u^\alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ចំណុចនោះគឺថាដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅត្រូវតែមកមុន។ ដើម្បីយល់ពីមុខងារណាមួយនឹងនៅខាងក្រៅកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ស្រមៃថាអ្នកកំពុងគណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ ក្នុងតម្លៃខ្លះ $x$ ។ ដំបូង​អ្នក​នឹង​គណនា​តម្លៃ $5^x$ រួច​គុណ​លទ្ធផល​នឹង 4 ដោយ​ទទួល​បាន $4\cdot 5^x$ ។ ឥឡូវនេះ យើងយក arctangent ពីលទ្ធផលនេះ ដោយទទួលបាន $\arctg(4\cdot 5^x)$ ។ បន្ទាប់មកយើងលើកលេខលទ្ធផលទៅថាមពលទីដប់ពីរ ដោយទទួលបាន $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ។ សកម្មភាពចុងក្រោយ, - i.e. ការកើនឡើងដល់ថាមពល 12 នឹងជាមុខងារខាងក្រៅ។ ហើយវាគឺមកពីនេះដែលយើងត្រូវចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេដែលត្រូវបានធ្វើឡើងដោយសមភាព (2.2) ។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរក $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ ។ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 19 នៃតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=4\cdot \ln x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ចូរសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលបន្តិច ដោយគិតទៅ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ។

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

សមភាព (2.2) ឥឡូវនេះនឹងក្លាយជា៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(4\cdot \ln x)"$ ។ ចូរយើងយកថេរ (ឧ. 4) នៅខាងក្រៅសញ្ញាដេរីវេ៖ $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$ ដើម្បីស្វែងរក $(\ln x)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ ៨ ដោយជំនួស $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x" $ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $. ការជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅជារូបមន្ត (2.3) យើងទទួលបាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចដែលបានសរសេរនៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយ។ ដូច្នេះនៅពេលរៀបចំការគណនាស្តង់ដារឬ ការធ្វើតេស្តវាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះក្នុងការពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយយ៉ាងលម្អិតបែបនេះ។

ចម្លើយ៖ $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 3

ស្វែងរក $y"$ នៃអនុគមន៍ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ។

ដំបូង​យើង​បំប្លែង​មុខងារ $y$ បន្តិច ដោយ​បង្ហាញ​រ៉ាឌីកាល់ (root) ជា​ថាមពល៖ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$។ ឥឡូវនេះសូមចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេ។ ចាប់តាំងពី $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ បន្ទាប់មក៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ចូរប្រើរូបមន្តលេខ 2 ពីតារាងដេរីវេដោយជំនួស $u=\sin(5\cdot 9^x)$ និង $\alpha=\frac(3)(7)$ ចូលទៅក្នុងវា៖

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" $$

ចូរយើងបន្តសមភាព (3.1) ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ឥឡូវនេះ យើងត្រូវស្វែងរក $(\sin(5\cdot 9^x))"$។ សម្រាប់វា យើងប្រើរូបមន្តលេខ 9 ពីតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=5\cdot 9^x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ដោយបានបំពេញបន្ថែមសមភាព (3.2) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(5\cdot 9^x)"$ ជាដំបូង ចូរយើងយកថេរ (លេខ $5$) នៅខាងក្រៅសញ្ញាដេរីវេ ពោលគឺ $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$ ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី $(9^x)"$ សូមអនុវត្តរូបមន្តលេខ 5 នៃតារាងដេរីវេដោយជំនួស $a=9$ និង $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(9^x )"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តសមភាព (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x ។ $$

យើងអាចត្រឡប់ពីអំណាចទៅជារ៉ាឌីកាល់ម្តងទៀត (ឧ. ឫស) សរសេរ $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ក្នុងទម្រង់ $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7))))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។ បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))។

ចម្លើយ៖ $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 4

បង្ហាញថារូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេគឺ ករណីពិសេសរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងនេះ។

រូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $u^\alpha$ ។ ការជំនួស $\alpha=-1$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 2 យើងទទួលបាន៖

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ចាប់តាំងពី $u^(-1)=\frac(1)(u)$ និង $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ បន្ទាប់មក សមភាព (4.1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ $\left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$ ។ នេះគឺជារូបមន្តលេខ 3 នៃតារាងដេរីវេ។

ចូរយើងបង្វែរម្តងទៀតទៅរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេ។ ចូរជំនួស $\alpha=\frac(1)(2)$ ទៅក្នុងវា៖

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ចាប់តាំងពី $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ និង $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ បន្ទាប់មកសមភាព (4.2) អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u)) )\cdot u" $$

សមភាពលទ្ធផល $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ គឺជារូបមន្តលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ រូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេទទួលបានពីរូបមន្តលេខ 2 ដោយជំនួសតម្លៃ $\alpha$ ដែលត្រូវគ្នា។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់ដូចជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

មុននឹងរៀនស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ចូរយើងស្វែងយល់ពីគោលគំនិតនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ តើវាជាអ្វី "អ្វីដែលវាត្រូវបានបរិភោគជាមួយ" និង "របៀបចំអិនវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ" ។

ចូរយើងពិចារណា មុខងារបំពានឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៅជ្រុងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមីការអនុគមន៍គឺជាលេខដូចគ្នា ឬកន្សោម។

ជំនួសឱ្យអថេរ យើងអាចដាក់ឧទាហរណ៍កន្សោមខាងក្រោម៖ . ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារ

ចូរ​ហៅ​កន្សោម​ថា​ជា​អាគុយម៉ង់​កម្រិត​មធ្យម ហើយ​មុខងារ​ជា​អនុគមន៍​ខាងក្រៅ។ វាមិនតឹងរ៉ឹងទេ។ គំនិតគណិតវិទ្យាប៉ុន្តែពួកគេជួយឱ្យយល់ពីអត្ថន័យនៃគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញគឺ៖

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំមួយ និងជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំ (ឬសំណុំរងរបស់វា) ជាដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ។ ចូរ​កំណត់​លេខ​ដល់​ពួកគេ​ម្នាក់ៗ។ ដូច្នេះមុខងារនឹងត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសមាសភាពមុខងារឬមុខងារស្មុគស្មាញ។

នៅក្នុងនិយមន័យនេះ ប្រសិនបើយើងប្រើវាក្យស័ព្ទរបស់យើង មុខងារខាងក្រៅគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ត្រូវបានរកឃើញដោយយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំចូលចិត្តសរសេរច្បាប់នេះដូចខាងក្រោម៖

នៅក្នុងកន្សោមនេះ ការប្រើតំណាងឱ្យមុខងារកម្រិតមធ្យម។

ដូច្នេះ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ អ្នកត្រូវការ

1. កំណត់មុខងារមួយណានៅខាងក្រៅ ហើយស្វែងរកដេរីវេដែលត្រូវគ្នាពីតារាងដេរីវេ។

2. កំណត់អំណះអំណាងកម្រិតមធ្យម។

នៅក្នុងនីតិវិធីនេះការលំបាកបំផុតគឺការស្វែងរកមុខងារខាងក្រៅ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការនេះ៖

ក. សរសេរសមីការនៃអនុគមន៍។

ខ. ស្រមៃថាអ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ x ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកជំនួសតម្លៃ x នេះទៅក្នុងសមីការនៃអនុគមន៍ និងផលិត ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ. សកម្មភាពចុងក្រោយដែលអ្នកធ្វើគឺមុខងារខាងក្រៅ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងមុខងារ

សកម្មភាពចុងក្រោយគឺនិទស្សន្ត។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម

ឧទាហរណ៍​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៃ​ការ​គណនា​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍​ស្មុគស្មាញ។

នៅទីនេះយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ មុខងារខាងក្រោម:
; ; ; ; .

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៅក្នុង ទម្រង់ខាងក្រោម:
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
.
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងសរសេររូបមន្តនេះដូចខាងក្រោម៖
.
កន្លែងណា។
នៅទីនេះ subscripts ឬ ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាដេរីវេ បង្ហាញពីអថេរដែលភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ជាធម្មតានៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ x គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្លូវការ។ អថេរ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយអថេរផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះនៅពេលបែងចែកអនុគមន៍មួយពីអថេរ យើងគ្រាន់តែប្តូរនៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេរ Variable x ទៅអថេរ u ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
.

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងសរសេរវាចុះ មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់សមមូល៖
.
នៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ យើងមាន៖
.
នៅទីនេះ

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេ
.

ដំណោះស្រាយ

យើងយកលេខថេរ 5 ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយពីតារាងដេរីវេយើងរកឃើញ:
.

.
នៅទីនេះ

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេ
.

ដំណោះស្រាយ

យើងដកអថេរ -1 សម្រាប់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
ពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
.

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
.
នៅទីនេះ

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាង

បន្ថែមទៀត ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញយើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញជាច្រើនដង។ ក្នុងករណីនេះយើងគណនាដេរីវេពីចុង។ នោះគឺយើងបំបែកមុខងារទៅជាផ្នែកសមាសធាតុរបស់វា ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកសាមញ្ញបំផុតដោយប្រើ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ. យើងក៏ប្រើដែរ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក, ផលិតផល និងប្រភាគ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេ
.

ដំណោះស្រាយ

ចូរ​គូស​បញ្ជាក់​ឲ្យ​បាន​ច្រើន​បំផុត។ ផ្នែកសាមញ្ញរូបមន្ត និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។ .

.
នៅទីនេះយើងបានប្រើសញ្ញាណ
.

យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកបន្ទាប់នៃអនុគមន៍ដើមដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖
.

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

.
នៅទីនេះ

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
.

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វាពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ .

យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
.
នៅទីនេះ
.