សមីការ cos x a ។ ទំនាក់ទំនងជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត។

នៅសតវត្សរ៍ទីប្រាំមុនគ្រឹស្តសករាជ ទស្សនវិទូក្រិកបុរាណ Zeno of Elea បានបង្កើត aporias ដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ ដែលល្បីល្បាញបំផុតនោះគឺ "Achilles and the Tortoise" aporia ។ នេះជាអ្វីដែលវាស្តាប់ទៅដូចជា៖

ឧបមាថា Achilles រត់លឿនជាងសត្វអណ្តើកដប់ដង ហើយនៅខាងក្រោយវាមួយពាន់ជំហាន។ ក្នុងអំឡុងពេលដែលវាត្រូវការ Achilles ដើម្បីរត់ចម្ងាយនេះ អណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ នៅពេលដែល Achilles រត់មួយរយជំហាន អណ្តើកវារដប់ជំហានទៀត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនេះនឹងបន្តផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់ Achilles នឹងមិនតាមទាន់សត្វអណ្តើកទេ។

ហេតុផលនេះបានក្លាយជាការតក់ស្លុតឡូជីខលសម្រាប់មនុស្សជំនាន់ក្រោយៗទាំងអស់។ Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... ពួកគេទាំងអស់បានចាត់ទុក aporia របស់ Zeno តាមរបៀបមួយឬផ្សេងទៀត។ ការ​តក់​ស្លុត​ខ្លាំង​ណាស់​»។ ...ការពិភាក្សាបន្តរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ ដើម្បីឈានទៅដល់ការយល់ឃើញទូទៅអំពីខ្លឹមសារនៃភាពផ្ទុយគ្នា។ សហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្ររហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ វា​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ… យើង​បាន​ចូល​រួម​ក្នុង​ការ​សិក្សា​អំពី​បញ្ហា​នេះ។ ការវិភាគគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីកំណត់, រូបវិទ្យាថ្មី និង វិធីសាស្រ្តទស្សនវិជ្ជា; គ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេក្លាយជាដំណោះស្រាយដែលទទួលយកជាទូទៅចំពោះបញ្ហា..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia" មនុស្សគ្រប់គ្នាយល់ថាពួកគេកំពុងត្រូវបានបោកបញ្ឆោត ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់យល់ពីអ្វីដែលការបោកបញ្ឆោតនោះទេ។

តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា Zeno នៅក្នុង aporia របស់គាត់បានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីបរិមាណទៅ . ការផ្លាស់ប្តូរនេះបង្កប់ន័យកម្មវិធីជំនួសឱ្យអចិន្ត្រៃយ៍។ តាមខ្ញុំយល់ ឧបករណ៍គណិតវិទ្យាការប្រើប្រាស់ឯកតារង្វាស់អថេរមិនទាន់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ឬវាមិនត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ aporia របស់ Zeno ទេ។ ការអនុវត្តតក្កវិជ្ជាធម្មតារបស់យើងនាំយើងចូលទៅក្នុងអន្ទាក់។ យើង ដោយសារនិចលភាពនៃការគិត អនុវត្តឯកតាថេរនៃពេលវេលាទៅនឹងតម្លៃទៅវិញទៅមក។ ជាមួយ ចំណុចរាងកាយតាមទស្សនៈ វាហាក់បីដូចជាពេលវេលាថយចុះរហូតដល់វាឈប់ទាំងស្រុងនៅពេល Achilles ចាប់អណ្តើក។ ប្រសិនបើពេលវេលាឈប់ នោះ Achilles មិនអាចលើសពីអណ្តើកទៀតទេ។

ប្រសិនបើ​យើង​បង្វែរ​តក្កវិជ្ជា​ធម្មតា​របស់​យើង​មក​វិញ នោះ​អ្វីៗ​នឹង​ចូល​មក​ក្នុង​កន្លែង។ Achilles រត់ជាមួយ ល្បឿនថេរ. ផ្នែកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃផ្លូវរបស់គាត់គឺខ្លីជាងផ្នែកមុនដប់ដង។ ដូច្នោះហើយ ពេលវេលាដែលចំណាយលើការយកឈ្នះវាគឺតិចជាងដប់ដង។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តគោលគំនិតនៃ "ភាពមិនចេះរីងស្ងួត" នៅក្នុងស្ថានភាពនេះ នោះវានឹងជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការនិយាយថា "Achilles នឹងចាប់បានអណ្តើកយ៉ាងលឿនឥតកំណត់"។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជៀសវាងអន្ទាក់ឡូជីខលនេះ? ស្នាក់នៅ ឯកតាថេរការវាស់វែងពេលវេលា និងកុំទៅបរិមាណទៅវិញទៅមក។ នៅក្នុងភាសារបស់ Zeno វាមើលទៅដូចនេះ:

នៅពេលដែលវាត្រូវ Achilles រត់មួយពាន់ជំហាន អណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ សម្រាប់ចន្លោះពេលបន្ទាប់ ស្មើនឹងទីមួយ Achilles នឹងរត់មួយពាន់ជំហានទៀត ហើយអណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហាន។ ឥឡូវនេះ Achilles គឺប្រាំបីរយជំហាននៅពីមុខអណ្តើក។

វិធីសាស្រ្តនេះពិពណ៌នាឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់នូវការពិតដោយគ្មានភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខល។ ប៉ុន្តែវាមិនមែនទេ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញបញ្ហា។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Einstein អំពីភាពមិនអាចទ្រាំទ្របាននៃល្បឿននៃពន្លឺគឺស្រដៀងទៅនឹង aporia របស់ Zeno "Achilles and the Tortoise" ។ យើងនៅតែត្រូវសិក្សា គិតឡើងវិញ និងដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ហើយដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកមិនមែនក្នុងចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ទេ ប៉ុន្តែជាឯកតារង្វាស់។

aporia គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀតនៃ Zeno ប្រាប់អំពីព្រួញហោះ:

ព្រួញហោះគឺគ្មានចលនាទេ ព្រោះរាល់ពេលដែលវាសម្រាក ហើយដោយសារវាសម្រាកគ្រប់ពេល វាតែងតែសម្រាក។

នៅក្នុង aporia នេះ ភាពផ្ទុយគ្នានៃឡូជីខលត្រូវបានយកឈ្នះយ៉ាងសាមញ្ញ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថារាល់ពេលដែលព្រួញហោះបានសម្រាកនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហដែលតាមពិតគឺជាចលនា។ ចំណុចមួយទៀតត្រូវកត់សម្គាល់នៅទីនេះ។ ពីរូបថតមួយសន្លឹកនៃឡាននៅលើផ្លូវ វាមិនអាចកំណត់ពីការពិតនៃចលនារបស់វា ឬចម្ងាយទៅវាបានទេ។ ដើម្បី​កំណត់​ថា​តើ​រថយន្ត​កំពុង​ផ្លាស់ទី​ឬ​អត់ អ្នក​ត្រូវ​ការ​រូបថត​ពីរ​សន្លឹក​ដែល​ថត​ពី​ចំណុច​ដូចគ្នា​ចូល ពេលផ្សេងគ្នាពេលវេលា ប៉ុន្តែចម្ងាយមិនអាចកំណត់ពីពួកវាបានទេ។ ដើម្បីកំណត់ចម្ងាយទៅឡាន អ្នកត្រូវការរូបថតពីរសន្លឹកដែលថតពី ចំណុចផ្សេងគ្នាលំហនៅចំណុចមួយក្នុងពេលមួយ ប៉ុន្តែវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ការពិតនៃចលនាពីពួកវា (តាមធម្មជាតិ ទិន្នន័យបន្ថែមនៅតែត្រូវការសម្រាប់ការគណនា ត្រីកោណមាត្រនឹងជួយអ្នក)។ អ្វីដែលខ្ញុំចង់ចង្អុលបង្ហាញ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសគឺថា ចំណុចពីរនៅក្នុងពេលវេលា និងពីរចំណុចនៅក្នុងលំហ គឺជារឿងផ្សេងគ្នាដែលមិនគួរច្រឡំនោះទេ ព្រោះវាផ្តល់ឱកាសខុសៗគ្នាសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ។

ថ្ងៃពុធ ទី៤ ខែកក្កដា ឆ្នាំ២០១៨

ភាពខុសគ្នារវាង set និង multiset ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អនៅលើ Wikipedia ។ សូម​មើល។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ "មិនអាចមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទពីរនៅក្នុងសំណុំមួយ" ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទនៅក្នុងសំណុំនោះ សំណុំបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា "ពហុសិត" ។ មនុស្សសមហេតុសមផលនឹងមិនយល់ពីតក្កវិជ្ជាមិនសមហេតុផលបែបនេះទេ។ នេះគឺជាកម្រិត សេកនិយាយនិង​ស្វា​ដែល​បាន​បង្ហាត់​បង្រៀន​ដែល​គ្មាន​ប្រាជ្ញា​ពី​ពាក្យ​«​ទាំង​ស្រុង​»។ គណិតវិទូដើរតួជាអ្នកបង្ហាត់ធម្មតា ដោយអធិប្បាយដល់យើងនូវគំនិតមិនសមហេតុផលរបស់ពួកគេ។

មានពេលមួយ វិស្វករដែលសាងសង់ស្ពាននោះ បានជិះទូកនៅក្រោមស្ពាន ខណៈពេលកំពុងធ្វើតេស្តស្ពាន។ ប្រសិនបើស្ពានដួលរលំ វិស្វករមធ្យមបានស្លាប់នៅក្រោមគំនរបាក់បែកនៃការបង្កើតរបស់គាត់។ ប្រសិនបើស្ពានអាចទប់ទល់នឹងបន្ទុកបាន វិស្វករដែលមានទេពកោសល្យបានសាងសង់ស្ពានផ្សេងទៀត។

មិន​ថា​គណិត​វិទូ​លាក់​មុខ​ឃ្លា​ថា “ខ្សឹប​ខ្ញុំ ខ្ញុំ​នៅ​ផ្ទះ” ឬ “សិក្សា​គណិតវិទ្យា គំនិតអរូបី", មានទងផ្ចិតមួយដែលអាចភ្ជាប់ពួកវាជាមួយការពិត។ ទងផ្ចិតនេះគឺជាប្រាក់។ ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាកំណត់ចំពោះគណិតវិទូខ្លួនឯង។

យើង​បាន​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​បាន​យ៉ាង​ល្អ ហើយ​ឥឡូវ​យើង​កំពុង​អង្គុយ​នៅ​បញ្ជី​ប្រាក់​ដោយ​ផ្តល់​ប្រាក់​ខែ។ ដូច្នេះ​គណិត​វិទូ​មក​រក​យើង​ដើម្បី​លុយ​គាត់។ យើងរាប់ចំនួនសរុបទៅគាត់ ហើយដាក់វានៅលើតុរបស់យើងក្នុងគំនរផ្សេងៗគ្នា ដែលក្នុងនោះយើងដាក់វិក័យប័ត្រនៃនិកាយដូចគ្នា។ បន្ទាប់​មក​យើង​យក​វិក្កយបត្រ​មួយ​ពី​ជង់​នីមួយៗ ហើយ​ប្រគល់​ទៅ​ឲ្យ​គណិត​វិទូ»។ សំណុំគណិតវិទ្យាប្រាក់បៀវត្សរ៍។ យើងពន្យល់គណិតវិទ្យាថា គាត់នឹងទទួលបានវិក្កយបត្រដែលនៅសល់ លុះត្រាតែគាត់បង្ហាញថា សំណុំដែលគ្មានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ មិនស្មើនឹងសំណុំដែលមានធាតុដូចគ្នាទេ។ នេះជាកន្លែងដែលភាពសប្បាយរីករាយចាប់ផ្តើម។

ជាដំបូង តក្កវិជ្ជារបស់តំណាងរាស្រ្តនឹងដំណើរការ៖ "នេះអាចអនុវត្តចំពោះអ្នកដទៃ ប៉ុន្តែមិនមែនចំពោះខ្ញុំទេ!" បន្ទាប់មកពួកគេនឹងចាប់ផ្តើមធានាយើងឡើងវិញថាវិក្កយបត្រនៃនិកាយដូចគ្នាមានលេខវិក្កយបត្រផ្សេងៗគ្នា ដែលមានន័យថាពួកគេមិនអាចចាត់ទុកថាជាធាតុដូចគ្នាបានទេ។ មិនអីទេ តោះរាប់ប្រាក់ខែជាកាក់ - មិនមានលេខនៅលើកាក់ទេ។ នៅទីនេះ គណិតវិទូនឹងចាប់ផ្តើមចងចាំរូបវិទ្យាយ៉ាងក្លៀវក្លា៖ នៅលើកាក់ផ្សេងៗមាន បរិមាណផ្សេងគ្នាភក់ រចនាសម្ព័ន្ធគ្រីស្តាល់ហើយ​ការ​រៀប​ចំ​អាតូម​ក្នុង​កាក់​នីមួយៗ​គឺ​មាន​លក្ខណៈ​ប្លែក​ពី​គេ...

ហើយឥឡូវនេះខ្ញុំមានច្រើនបំផុត ចំណាប់អារម្មណ៍ សួរ៖ តើ​បន្ទាត់​លើស​ពី​ណា​ដែល​ធាតុ​នៃ​សំណុំ​ច្រើន​ប្រែ​ទៅ​ជា​ធាតុ​នៃ​សំណុំ និង​ច្រាសមកវិញ? បន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចដោយ shamans វិទ្យាសាស្ត្រមិនជិតនឹងនិយាយកុហកនៅទីនេះទេ។

មើល​នេះ។ យើងជ្រើសរើសកីឡដ្ឋានបាល់ទាត់ដែលមានផ្ទៃដីដូចគ្នា។ តំបន់នៃវាលគឺដូចគ្នា - ដែលមានន័យថាយើងមានសំណុំច្រើន។ ប៉ុន្តែ​បើ​យើង​មើល​ឈ្មោះ​កីឡដ្ឋាន​ដូច​គ្នា​នេះ​យើង​ទទួល​បាន​ច្រើន​ព្រោះ​ឈ្មោះ​ខុស​គ្នា។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសំណុំនៃធាតុដូចគ្នាគឺទាំងសំណុំនិងសំណុំច្រើន។ តើមួយណាត្រឹមត្រូវ? ហើយនៅទីនេះ គណិតវិទូ-shaman-sharpist ទាញសន្លឹកអាត់ចេញពីដៃអាវរបស់គាត់ ហើយចាប់ផ្តើមប្រាប់យើងអំពីឈុតមួយ ឬច្រើនឈុត។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយគាត់នឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងថាគាត់និយាយត្រូវ។

ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែល shamans សម័យទំនើបដំណើរការជាមួយនឹងទ្រឹស្តីសំណុំដោយចងវាទៅនឹងការពិតវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរមួយ: តើធាតុនៃសំណុំមួយខុសគ្នាពីធាតុនៃសំណុំមួយផ្សេងទៀតយ៉ាងដូចម្តេច? ខ្ញុំ​នឹង​បង្ហាញ​អ្នក​ដោយ​មិន​មាន "អាច​យល់​បាន​ថា​មិន​មែន​ជា​ការ​ទាំងមូល" ឬ "មិន​អាច​យល់​បាន​ដូច​ជា​ទាំងមូល" ។

ថ្ងៃអាទិត្យ ទី១៨ ខែមីនា ឆ្នាំ២០១៨

ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខគឺជាការរាំរបស់ shamans ជាមួយនឹង tambourine ដែលមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យា។ មែនហើយ នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា យើងត្រូវបានបង្រៀនឱ្យស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនមួយ ហើយប្រើវា ប៉ុន្តែនោះជាមូលហេតុដែលពួកគេជា shamans ដើម្បីបង្រៀនកូនចៅរបស់ពួកគេនូវជំនាញ និងប្រាជ្ញារបស់ពួកគេ បើមិនដូច្នេះទេ shamans នឹងស្លាប់។

តើអ្នកត្រូវការភស្តុតាងទេ? បើកវិគីភីឌា ហើយព្យាយាមស្វែងរកទំព័រ "ផលបូកនៃលេខមួយ"។ នាងមិនមានទេ។ មិនមានរូបមន្តនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលអាចប្រើដើម្បីរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនណាមួយនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញលេខគឺ និមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកដោយ​មាន​ជំនួយ​ដែល​យើង​សរសេរ​លេខ និង​ជា​ភាសា​គណិតវិទ្យា កិច្ចការ​ស្តាប់​ទៅ​ដូច​នេះ៖ “រក​ផល​បូក​នៃ​សញ្ញា​ក្រាហ្វិក​តំណាង​ឲ្យ​លេខ​ណា​មួយ”។ គណិតវិទូមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហានេះបានទេ ប៉ុន្តែ shamans អាចធ្វើវាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើយើងធ្វើអ្វី និងរបៀបដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃលេខ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ដូច្នេះហើយ សូមឲ្យយើងមានលេខ 12345។ តើត្រូវធ្វើអ្វីដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខនេះ? ចូរយើងពិចារណាជំហានទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ។

1. សរសេរលេខនៅលើក្រដាសមួយ។ តើយើងបានធ្វើអ្វី? យើងបានបំប្លែងលេខទៅជានិមិត្តសញ្ញាលេខក្រាហ្វិក។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

2. យើងកាត់រូបភាពលទ្ធផលមួយទៅជារូបភាពជាច្រើនដែលមានលេខរៀងៗខ្លួន។ ការកាត់រូបភាពមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

3. បំប្លែងនិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកនីមួយៗទៅជាលេខ។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

4. បន្ថែមលេខលទ្ធផល។ ឥឡូវនេះនេះគឺជាគណិតវិទ្យា។

ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខ 12345 គឺ 15 ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ។

តាម​ទស្សនៈ​គណិត​វិទ្យា វា​មិន​សំខាន់​ទេ​ថា​យើង​សរសេរ​លេខ​ប្រព័ន្ធ​មួយ​ណា​។ ដូច្នេះនៅក្នុង ប្រព័ន្ធផ្សេងគ្នានៅក្នុងការគណនាផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនដូចគ្នានឹងខុសគ្នា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រព័ន្ធលេខត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរតូចនៅខាងស្តាំនៃលេខ។ ជាមួយ មួយចំនួនធំ 12345 ខ្ញុំ​មិន​ចង់​បោក​ក្បាល​ខ្ញុំ​ទេ សូម​មើល​លេខ ២៦ ពី​អត្ថបទ​អំពី។ ចូរយើងសរសេរលេខនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលពីរ គោលដប់ប្រាំបី ទសភាគ និងគោលដប់ប្រាំមួយ។ យើងនឹងមិនមើលគ្រប់ជំហាននៅក្រោមមីក្រូទស្សន៍ទេ យើងបានធ្វើរួចហើយ។ តោះមើលលទ្ធផល។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខផ្សេងគ្នាផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដូចគ្នាគឺខុសគ្នា។ លទ្ធផលនេះមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ វាដូចគ្នានឹងប្រសិនបើអ្នកកំណត់ផ្ទៃដីនៃចតុកោណជាម៉ែត្រ និងសង់ទីម៉ែត្រ នោះអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលខុសគ្នាទាំងស្រុង។

សូន្យមើលទៅដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទាំងអស់ ហើយមិនមានផលបូកនៃខ្ទង់ទេ។ នេះគឺជាអំណះអំណាងមួយផ្សេងទៀតនៅក្នុងការពេញចិត្តនៃការពិតដែលថា។ សំណួរ​សម្រាប់​គណិត​វិទ្យា៖ តើ​អ្វី​ដែល​មិន​មែន​ជា​លេខ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ដោយ​របៀប​ណា? ចុះសម្រាប់គណិតវិទូវិញ គ្មានអ្វីក្រៅពីលេខទេ? ខ្ញុំអាចអនុញ្ញាតឱ្យវាសម្រាប់ shamans ប៉ុន្តែមិនមែនសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទេ។ ការពិតមិនមែនគ្រាន់តែជាលេខទេ។

លទ្ធផលដែលទទួលបានគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភស្តុតាងដែលថាប្រព័ន្ធលេខគឺជាឯកតានៃការវាស់វែងសម្រាប់លេខ។ យ៉ាងណាមិញ យើងមិនអាចប្រៀបធៀបលេខជាមួយបានទេ។ ឯកតាផ្សេងគ្នាការ​វាស់។ ប្រសិនបើសកម្មភាពដូចគ្នាជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ផ្សេងគ្នានៃបរិមាណដូចគ្នានាំទៅរកលទ្ធផលផ្សេងគ្នាបន្ទាប់ពីការប្រៀបធៀបពួកវា នោះវាមិនមានអ្វីទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។

តើគណិតវិទ្យាពិតគឺជាអ្វី? នេះគឺជាពេលដែលលទ្ធផល ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាមិនអាស្រ័យលើទំហំនៃចំនួន ឯកតារង្វាស់ដែលបានប្រើ និងអ្នកដែលអនុវត្តសកម្មភាពនោះទេ។

ចុះហត្ថលេខាលើទ្វារ គាត់បើកទ្វារហើយនិយាយថា៖

អូ! តើនេះមិនមែនជាបន្ទប់ទឹករបស់ស្ត្រីទេឬ?
- នារី​វ័យក្មេង! នេះជាមន្ទីរពិសោធន៍សម្រាប់សិក្សាអំពីភាពបរិសុទ្ធនៃព្រលឹង ក្នុងអំឡុងពេលឡើងទៅកាន់ឋានសួគ៌! Halo នៅលើកំពូលហើយព្រួញឡើងលើ។ តើបង្គន់អ្វីទៀត?

ស្រី... សសរពីលើ និងព្រួញចុះក្រោម ជាប្រុស។

ប្រសិន​បើ​ការងារ​សិល្បៈ​រចនា​បែប​នេះ​លេច​មុខ​អ្នក​ច្រើន​ដង​ក្នុង​មួយ​ថ្ងៃ។

បន្ទាប់មកវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលអ្នកស្រាប់តែឃើញរូបតំណាងចម្លែកនៅក្នុងឡានរបស់អ្នក៖

ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំខិតខំប្រឹងប្រែងដើម្បីមើលសញ្ញាដកបួនដឺក្រេនៅក្នុងមនុស្សដែលមានលាមក (រូបភាពមួយ) (សមាសភាពនៃរូបភាពជាច្រើន: សញ្ញាដកលេខ 4 ការកំណត់ដឺក្រេ) ។ ហើយ​ខ្ញុំ​មិន​គិត​ថា​ស្រី​ម្នាក់​នេះ​ល្ងង់​នោះ​ទេ។ មានចំណេះដឹងផ្នែករូបវិទ្យា. នាង​គ្រាន់​តែ​មាន​ទម្រង់​នៃ​ការ​យល់​ឃើញ រូបភាពក្រាហ្វិក. ហើយគណិតវិទូបង្រៀនយើងគ្រប់ពេល។ នេះជាឧទាហរណ៍មួយ។

1A មិនមែនជា "ដកបួនដឺក្រេ" ឬ "មួយ a" ទេ។ នេះគឺជា "មនុស្សល្មោភកាម" ឬលេខ "ម្ភៃប្រាំមួយ" នៅក្នុងសញ្ញាគោលដប់ប្រាំមួយ។ មនុស្សទាំងនោះដែលធ្វើការឥតឈប់ឈរនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខនេះ ដឹងដោយស្វ័យប្រវត្តិនូវលេខ និងអក្សរជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកតែមួយ។

យើងដឹងថាតម្លៃកូស៊ីនុសស្ថិតនៅក្នុងជួរ [-1; 1], ឧ។ −1 ≤ cos α ≤ 1. ដូចេនះេបើ |a| > 1 បន្ទាប់មកសមីការ cos x = a មិនមានឫសទេ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ cos x = -1.5 មិនមានឫសគល់ទេ។

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាមួយចំនួន។

ដោះស្រាយសមីការ cos x = 1/2 ។

ដំណោះស្រាយ។

សូមចាំថា cos x គឺជា abscissa នៃចំនុចនៅលើរង្វង់ដែលមានកាំស្មើនឹង 1 ដែលទទួលបានដោយការបង្វិលចំនុច P (1; 0) ដោយមុំ x ជុំវិញដើម។

abscissa 1/2 ស្ថិតនៅចំណុចពីរនៃរង្វង់ M 1 និង M 2 ។ ចាប់តាំងពី 1/2 = cos π/3 យើងអាចទទួលបានចំណុច M 1 ពីចំណុច P (1; 0) ដោយបង្វិលដោយមុំ x 1 = π/3 ក៏ដូចជាដោយមុំ x = π/3 + 2πk ដែល k = +/-1, +/-2, …

ចំណុច M 2 ត្រូវបានទទួលពីចំណុច P (1; 0) ដោយបង្វិលដោយមុំ x 2 = -π/3 ក៏ដូចជាដោយមុំ -π/3 + 2πk ដែល k = +/-1, +/-2 ,...

ដូច្នេះឫសទាំងអស់។ សមីការ cos x = 1/2 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

រូបមន្ត​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ពីរ​អាច​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ជា​មួយ​:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z ។

ដោះស្រាយសមីការ cos x = −1/2 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចំនុចពីរនៃរង្វង់ M 1 និង M 2 មាន ​​abscissa ស្មើនឹង – 1/2 ។ ចាប់តាំងពី -1/2 = cos 2π/3 បន្ទាប់មកមុំ x 1 = 2π/3 ហើយដូច្នេះមុំ x 2 = −2π/3 ។

អាស្រ័យហេតុនេះ ឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការ cos x = -1/2 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = +/-2π/3 + 2πk, k€ Z ។

ដូច្នេះសមីការនីមួយៗ cos x = 1/2 និង cos x = -1/2 មាន សំណុំគ្មានកំណត់ឫស។ នៅចន្លោះពេល 0 ≤ x ≤ π សមីការនីមួយៗមានឫសតែមួយ៖ x 1 = π/3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ cos x = 1/2 និង x 1 = 2π/3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ cos x = −1/2 ។

លេខ π/3 ត្រូវបានគេហៅថា arccosine នៃលេខ 1/2 ហើយត្រូវបានសរសេរថា: arccos 1/2 = π/3 ហើយលេខ 2π/3 ត្រូវបានគេហៅថា arccosine នៃលេខ (-1/2) ហើយត្រូវបានសរសេរ : arccos (-1/2) = 2π/3 ។

ជាទូទៅសមីការ cos x = a ដែល -1 ≤ a ≤ 1 មានឫសតែមួយនៅលើចន្លោះពេល 0 ≤ x ≤ π ។ ប្រសិនបើ ≥ 0 នោះឫសត្រូវបានផ្ទុកក្នុងចន្លោះពេល ; ប្រសិនបើ ក< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

ដូច្នេះ ធ្នូ កូស៊ីនុសនៃលេខ a € [-1; 1] គឺជាលេខ € ដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង a:

arccos а = α ប្រសិនបើ cos α = а និង 0 ≤ а ≤ π (1) ។

ឧទាហរណ៍ arccos √3/2 = π/6 ចាប់តាំងពី cos π/6 = √3/2 និង 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6 ចាប់តាំងពី cos 5π/6 = -√3/2 និង 0 ≤ 5π/6 ≤ π ។

តាមរបៀបដូចគ្នា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា 1 និង 2 វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាឫសទាំងអស់នៃសមីការ cos x = a ដែលជាកន្លែងដែល |a| ≤ 1 បង្ហាញដោយរូបមន្ត

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2) ។

ដោះស្រាយសមីការ cos x = −0.75 ។

ដំណោះស្រាយ។

ដោយប្រើរូបមន្ត (2) យើងរកឃើញ x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z ។

តម្លៃ Arcos (-0.75) អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ប្រហែល​ក្នុង​រូប​ដោយ​ការ​វាស់​មុំ​ដោយ​ប្រើ protractor ។ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ arc cosine ក៏អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើតារាងពិសេស (Bradis tables) ឬ microcalculator ។ ឧទាហរណ៍ តម្លៃនៃ arccos (-0.75) អាចត្រូវបានគណនានៅលើ microcalculator ដោយផ្តល់ឱ្យ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែល២.៤១៨៨៥៨៣. ដូច្នេះ arccos (-0.75) ≈ 2.42 ។ ដូច្នេះ arccos (-0.75) ≈ 139° ។

ចម្លើយ៖ arccos (-0.75) ≈ 139° ។

ដោះស្រាយសមីការ (4cos x − 1)(2cos 2x + 1) = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z ។

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = −1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z ។

ចម្លើយ។ x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ € [-1; 1] រូបមន្ត arccos (-а) = π – arccos а (3) គឺត្រឹមត្រូវ។

រូបមន្ត​នេះ​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​បង្ហាញ​តម្លៃ​នៃ arc cosines លេខអវិជ្ជមានតាមរយៈតម្លៃកូស៊ីនុសធ្នូ លេខវិជ្ជមាន. ឧទាហរណ៍:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

ពីរូបមន្ត (2) វាដូចខាងក្រោមថាឫសនៃសមីការ cos x = a សម្រាប់ a = 0, a = 1 និង a = -1 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញជាងនេះ៖

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = −1 x = π + 2πn, n € Z (6) ។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ឧទាហរណ៍:

\\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\\(\cos⁡2=-0.416…\)

អាគុយម៉ង់និងអត្ថន័យ

កូស៊ីនុសនៃមុំស្រួច

កូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចអាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ប្រើ​ត្រីកោណ​កែង - វា​ស្មើ​នឹង​សមាមាត្រ​នៃ​ជើង​នៅ​ជាប់​នឹង​អ៊ីប៉ូតេនុស។

ឧទាហរណ៍ :

1) សូមឱ្យមុំមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយយើងត្រូវកំណត់កូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបំពេញត្រីកោណកែងណាមួយនៅលើមុំនេះ។

3) ដោយបានវាស់ជ្រុងដែលត្រូវការ យើងអាចគណនាកូស៊ីនុសបាន។

កូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។

រង្វង់លេខអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កូស៊ីនុសនៃលេខណាមួយ ប៉ុន្តែជាធម្មតាអ្នករកឃើញកូស៊ីនុសនៃលេខដែលទាក់ទងនឹង៖ \(\frac(π)(2)\), \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\) ។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខ \(\frac(π)(6)\) - កូស៊ីនុសនឹងស្មើនឹង \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ។ ហើយសម្រាប់លេខ \(-\)\(\frac(3π)(4)\) វានឹងស្មើនឹង \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ប្រហែល\ (-0 ,71\)) ។

សម្រាប់កូស៊ីនុសសម្រាប់លេខផ្សេងទៀតដែលជារឿយៗជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តសូមមើល។

តម្លៃកូស៊ីនុសតែងតែស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី \(-1\) ដល់ \(1\) ។ ក្នុងករណីនេះ កូស៊ីនុសអាចគណនាបានតាមមុំ និងលេខណាមួយ។

កូស៊ីនុសនៃមុំណាមួយ។

អរគុណ​ចំពោះ រង្វង់លេខអ្នកអាចកំណត់កូស៊ីនុសមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះទេ មុំ​ស្រួចប៉ុន្តែក៏មាន blunt អវិជ្ជមាន និងសូម្បីតែធំជាង \(360°\) ( វេនពេញ) របៀប​ធ្វើ​នេះ​គឺ​ងាយ​ស្រួល​មើល​ម្តង​ជាង​ស្តាប់ \(100\) ដង ដូច្នេះ​មើល​រូប។

ឥឡូវនេះការពន្យល់៖ ឧបមាថាយើងត្រូវកំណត់កូស៊ីនុសនៃមុំ KOAជាមួយ រង្វាស់ដឺក្រេក្នុង \(150°\) ។ ការរួមបញ្ចូលចំណុច អំពីជាមួយកណ្តាលនៃរង្វង់និងចំហៀង យល់ព្រម- ជាមួយអ័ក្ស \(x\) ។ បន្ទាប់ពីនេះ ដាក់មួយឡែក \(150°\) ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ បន្ទាប់មកការចាត់តាំងនៃចំណុច កនឹងបង្ហាញយើងពីកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។

ប្រសិនបើយើងចាប់អារម្មណ៍លើមុំដែលមានរង្វាស់ដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ក្នុង \(-60°\) (មុំ KOV) យើងធ្វើដូចគ្នា ប៉ុន្តែយើងកំណត់ \(60°\) តាមទ្រនិចនាឡិកា។

ហើយចុងក្រោយ មុំធំជាង \(360°\) (មុំ ស៊ី.ប៊ី.អេស) - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងនឹងមនុស្សឆោតល្ងង់ លុះត្រាតែដើរតាមទ្រនិចនាឡិកាមួយវេនពេញមួយ យើងទៅរង្វង់ទីពីរហើយ "ទទួលបានដឺក្រេ" ។ ជាពិសេស ក្នុងករណីរបស់យើង មុំ \(405°\) ត្រូវបានកំណត់ជា \(360° + 45°\) ។

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការទាយថា ដើម្បីគូរមុំឧទាហរណ៍ក្នុង \(960°\) អ្នកត្រូវបត់ពីរ (\(360°+360°+240°\)) និងសម្រាប់មុំក្នុង \(2640 °\) - ទាំងប្រាំពីរ។

ដូចដែលអ្នកអាចជំនួសបាន ទាំងកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ និងកូស៊ីនុសនៃមុំបំពានត្រូវបានកំណត់ស្ទើរតែដូចគ្នា។ មានតែវិធីដែលចំណុចត្រូវបានរកឃើញនៅលើរង្វង់ផ្លាស់ប្តូរ។

កូស៊ីនុសសញ្ញាដោយត្រីមាស

ដោយ​ប្រើ​អ័ក្ស​កូស៊ីនុស (នោះ​គឺ​អ័ក្ស abscissa ដែល​រំលេច​ជា​ពណ៌​ក្រហម​ក្នុង​រូប) វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​កំណត់​សញ្ញា​នៃ​កូស៊ីនុស​តាម​រង្វង់​លេខ (ត្រីកោណមាត្រ)៖

ដែលតម្លៃនៅលើអ័ក្សពី \(0\) ទៅ \(1\) កូស៊ីនុសនឹងមានសញ្ញាបូក (I និង IV ត្រីមាស - តំបន់បៃតង)
- ដែលតម្លៃនៅលើអ័ក្សចាប់ពី \(0\) ទៅ \(-1\) កូស៊ីនុសនឹងមានសញ្ញាដក (II និង III ត្រីមាស - តំបន់ពណ៌ស្វាយ)។

ទាក់ទងទៅនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត៖

- មុំដូចគ្នា (ឬលេខ): មេ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ\\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- មុំដូចគ្នា (ឬលេខ)៖ ដោយរូបមន្ត \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- និងស៊ីនុសនៃមុំដូចគ្នា (ឬលេខ)៖ រូបមន្ត \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
សម្រាប់រូបមន្តផ្សេងទៀតដែលប្រើជាទូទៅបំផុត សូមមើល។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ \(\cos⁡x=a\)

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ \(\cos⁡x=a\) ដែល \(a\) ជាចំនួនមិនធំជាង \(1\) និងមិនតិចជាង \(-1\), i.e. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

ប្រសិនបើ \(a>1\) ឬ \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\)។
ដំណោះស្រាយ៖

ចូរដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរង្វង់លេខ។ សម្រាប់​ការ​នេះ:
1) ចូរយើងបង្កើតអ័ក្ស។
2) ចូរយើងបង្កើតរង្វង់មួយ។
៣) នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស (អ័ក្ស \(y\)) សម្គាល់ចំណុច \(\frac(1)(2)\) ។
4) គូរកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សកូស៊ីនុសតាមរយៈចំណុចនេះ។
5) សម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃកាត់កែងនិងរង្វង់។
៦) ចូរយើងចុះហត្ថលេខាលើតម្លៃនៃចំនុចទាំងនេះ៖ \(\frac(π)(3)\),\(-\)\(\frac(π)(3)\) ។
៧) ចូរយើងសរសេរតម្លៃទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងចំណុចទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត \(x=t+2πk\), \(k∈Z\)៖
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

ចម្លើយ៖ \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

អនុគមន៍ \(y=\cos(x)\)

ប្រសិនបើយើងគូរមុំជារ៉ាដ្យង់តាមអ័ក្ស \(x\) ហើយតម្លៃកូស៊ីនុសដែលត្រូវគ្នានឹងមុំទាំងនេះតាមអ័ក្ស \(y\) យើងទទួលបានក្រាហ្វខាងក្រោម៖

ក្រាហ្វនេះត្រូវបានគេហៅថា និងមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

ដែននៃនិយមន័យគឺជាតម្លៃណាមួយនៃ x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- ជួរតម្លៃ - ពី \(-1\) ដល់ \(1\) រួមបញ្ចូល៖ \(E(\cos(x)))=[-1;1]\)
- គូ៖ \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖
អ័ក្ស abscissa៖ \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ដែល \(n ϵ Z\)
អ័ក្ស Y៖ \((0;1)\)
- ចន្លោះពេលនៃសញ្ញាណៈ
មុខងារគឺវិជ្ជមាននៅចន្លោះពេល៖ \\((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \\) ដែល \(n ϵ Z\)
មុខងារគឺអវិជ្ជមាននៅចន្លោះពេល៖ \\((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ដែល \(n ϵ Z\)
- ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ៖
មុខងារកើនឡើងនៅចន្លោះពេល៖ \((π+2πn;2π+2πn)\) ដែល \(n ϵ Z\)
មុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេល៖ \((2πn;π+2πn)\) ដែល \(n ϵ Z\)
- អតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ៖
មុខងារមានតម្លៃអតិបរមា \(y=1\) នៅចំណុច \(x=2πn\) ដែល \(n ϵ Z\)
អនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមា \(y=-1\) នៅចំនុច \(x=π+2πn\) ដែល \(n ϵ Z\) ។

ឧទាហរណ៍:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

វិធីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ៖

សមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយគួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទខាងក្រោម៖

\\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

ដែល \(t\) គឺជាកន្សោមដែលមាន x, \(a\) គឺជាលេខ។ សមីការត្រីកោណមាត្របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សាមញ្ញបំផុត។. ពួកគេអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើ () ឬរូបមន្តពិសេស៖

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\)។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \(\left[\begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(ប្រមូលផ្តុំ)\right។\) \(k,n∈Z\)

តើនិមិត្តសញ្ញានីមួយៗមានន័យយ៉ាងណានៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការត្រីកោណមាត្រ សូមមើល។

យកចិត្តទុកដាក់!សមីការ \(\sin⁡x=a\) និង \(\cos⁡x=a\) មិនមានដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើ \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\)។ ពីព្រោះស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសសម្រាប់ x ណាមួយធំជាង ឬស្មើនឹង \(-1\) និងតិចជាង ឬស្មើ \(1\)៖

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(\cos⁡x=-1,1\) ។
ដំណោះស្រាយ៖ \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
ចម្លើយ ៖ គ្មានដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ tg\(⁡x=1\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចូរដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរង្វង់លេខ។ សម្រាប់​ការ​នេះ: 1) បង្កើតរង្វង់ 2) សង់អ័ក្ស \(x\) និង \(y\) និងអ័ក្សតង់សង់ (វាឆ្លងកាត់ចំនុច \((0;1)\) ស្របទៅនឹងអ័ក្ស \(y\)) ។ 3) នៅលើអ័ក្សតង់សង់ សម្គាល់ចំណុច \(1\) ។ 4) ភ្ជាប់ចំណុចនេះនិងប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ - បន្ទាត់ត្រង់។ 5) សម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះ និងរង្វង់លេខ។ ៦) ចូរយើងចុះហត្ថលេខាលើតម្លៃនៃចំនុចទាំងនេះ៖ \(\frac(π)(4)\),\(\frac(5π)(4)\) 7) ចូរយើងសរសេរតម្លៃទាំងអស់នៃចំណុចទាំងនេះ។ ដោយសារពួកវាស្ថិតនៅចំងាយពិតប្រាកដ \(π\) ពីគ្នាទៅវិញទៅមក តម្លៃទាំងអស់អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងរូបមន្តមួយ៖

ចម្លើយ៖ \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\) ។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

តោះប្រើរង្វង់លេខម្តងទៀត។ 1) សង់រង្វង់អ័ក្ស \(x\) និង \(y\) ។ 2) នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស (\(x\)) សម្គាល់ \(0\) ។ 3) គូរកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សកូស៊ីនុសតាមរយៈចំណុចនេះ។ 4) សម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃកាត់កែងនិងរង្វង់។ ៥) ចូរយើងចុះហត្ថលេខាលើតម្លៃនៃចំណុចទាំងនេះ៖ \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) យើងសរសេរតម្លៃទាំងមូលនៃចំណុចទាំងនេះ ហើយស្មើនឹងកូស៊ីនុស (ទៅអ្វីដែលនៅខាងក្នុងកូស៊ីនុស)។ \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) ដូចធម្មតា យើងនឹងបង្ហាញ \(x\) ក្នុងសមីការ។ កុំភ្លេចព្យាបាលលេខជាមួយ \(π\) ក៏ដូចជា \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) ជាដើម។ ទាំងនេះគឺជាលេខដូចគ្នាទៅនឹងលេខផ្សេងទៀត។ គ្មានការរើសអើងលេខ! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( ៤)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

ចម្លើយ៖ \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\), \(k∈Z\)។

ការកាត់បន្ថយសមីការត្រីកោណមាត្រទៅជាសាមញ្ញបំផុតគឺជាការងារច្នៃប្រឌិតមួយ នៅទីនេះអ្នកត្រូវប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងពីរ និងពិសេសសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ៖
- វិធីសាស្រ្ត (ពេញនិយមបំផុតក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម) ។
- វិធីសាស្រ្ត។
- វិធីសាស្រ្តនៃអាគុយម៉ង់ជំនួយ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រការ៉េ

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
ដំណោះស្រាយ៖

\\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	ចូរធ្វើការជំនួស \(t=\cos⁡x\) ។
	សមីការរបស់យើងបានក្លាយជាធម្មតា។ អ្នកអាចដោះស្រាយវាបានដោយប្រើ។
\\(D=25-4 \\cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\); \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។
\\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \\(\cos⁡x=2\)	យើងដោះស្រាយសមីការទីមួយដោយប្រើរង្វង់លេខ។ សមីការទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេព្រោះ \(\cos⁡x∈[-1;1]\) និងមិនអាចស្មើនឹងពីរសម្រាប់ x ណាមួយឡើយ។
	ចូរយើងសរសេរលេខទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅត្រង់ចំណុចទាំងនេះ។

ចម្លើយ៖ \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងការសិក្សា ODZ៖

ឧទាហរណ៍ (ប្រើ) . ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	មានប្រភាគ ហើយមានកូតង់សង់ មានន័យថាយើងត្រូវសរសេរវាចុះ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា កូតង់សង់គឺពិតជាប្រភាគ៖ ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) ដូច្នេះ ODZ សម្រាប់ ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) ។
ODZ៖ ctg\(x ≠0\); \\(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	ចូរយើងគូសសញ្ញា "មិនមែនដំណោះស្រាយ" នៅលើរង្វង់លេខ។
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ចូរ​កម្ចាត់​ភាគបែង​ក្នុង​សមីការ​ដោយ​គុណ​នឹង ctg\(x\) ។ យើង​អាច​ធ្វើ​វា​បាន ព្រោះ​យើង​បាន​សរសេរ​ខាង​លើ​ថា ctg\(x ≠0\)។
\\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	តោះអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេសម្រាប់ស៊ីនុស៖ \\(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\)។
\\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	បើ​ដៃ​ឯង​ឈោង​ទៅ​ចែក​ដោយ​កូស៊ីនុស ទាញ​មក​វិញ! អ្នកអាចបែងចែកដោយកន្សោមជាមួយអថេរ ប្រសិនបើវាពិតជាមិនស្មើនឹងសូន្យ (ឧទាហរណ៍ ទាំងនេះ៖ \(x^2+1.5^x\))។ ជំនួសមកវិញ ចូរយើងយក \(\cos⁡x\) ចេញពីតង្កៀប។
\\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	ចូរយើង "បំបែក" សមីការជាពីរ។
\\(\cos⁡x=0\); \\(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	ចូរដោះស្រាយសមីការទីមួយដោយប្រើរង្វង់លេខ។ ចូរបែងចែកសមីការទីពីរដោយ \(2\) ហើយផ្លាស់ទី \(\sin⁡x\) ទៅខាងស្តាំ។
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) ។ \\(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ឫសលទ្ធផលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុង ODZ ទេ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​មិន​សរសេរ​ពួកគេ​ជា​ការ​ឆ្លើយតប​ទេ។ សមីការទីពីរគឺធម្មតា។ ចូរបែងចែកវាដោយ \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) មិនអាចជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបានទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះ \(\cos⁡x=1\) ឬ \(\cos⁡ x=-1\)) ។
	យើងប្រើរង្វង់ម្តងទៀត។
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ឫសទាំងនេះមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលដោយ ODZ ទេ ដូច្នេះអ្នកអាចសរសេរវានៅក្នុងចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\) ។

សមីការត្រីកោណមាត្រមិនមែនជាប្រធានបទងាយស្រួលនោះទេ។ ពួកវាចម្រុះពេក។) ឧទាហរណ៍ ទាំងនេះ៖

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π/4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ល...

ប៉ុន្តែសត្វចម្លែកត្រីកោណមាត្រទាំងនេះ (និងទាំងអស់ផ្សេងទៀត) មានលក្ខណៈធម្មតា និងជាកាតព្វកិច្ចពីរ។ ទីមួយ - អ្នកនឹងមិនជឿទេ - មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងសមីការ។) ទីពីរ៖ កន្សោមទាំងអស់ដែលមាន x ត្រូវបានរកឃើញ។ នៅក្នុងមុខងារដូចគ្នាទាំងនេះ។ហើយមានតែនៅទីនោះ! ប្រសិនបើ X លេចឡើងនៅកន្លែងណាមួយ។ នៅខាងក្រៅ,ឧទាហរណ៍, sin2x + 3x = 3,នេះនឹងជាសមីការនៃប្រភេទចម្រុះរួចហើយ។ សមីការបែបនេះទាមទារវិធីសាស្រ្តបុគ្គល។ យើងនឹងមិនពិចារណាពួកគេនៅទីនេះទេ។

យើងនឹងមិនដោះស្រាយសមីការអាក្រក់នៅក្នុងមេរៀននេះទេ។) នៅទីនេះយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។ហេតុអ្វី? បាទព្រោះដំណោះស្រាយ ណាមួយ។សមីការត្រីកោណមាត្រមានពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលទី 1 សមីការអាក្រក់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញមួយតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងៗ។ ទីពីរ សមីការសាមញ្ញបំផុតនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្មានវិធីផ្សេងទេ។

ដូច្នេះ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​មាន​បញ្ហា​នៅ​ដំណាក់​កាល​ទី​ពីរ នោះ​ដំណាក់​កាល​ទី​មួយ​មិន​មាន​ន័យ​ច្រើន​ទេ)។

តើសមីការត្រីកោណមាត្របឋមមើលទៅដូចអ្វី?

sinx = ក

cosx = ក

tgx = ក

ctgx = ក

នៅទីនេះ ក តំណាងឱ្យលេខណាមួយ។ ណាមួយ។

និយាយអីញ្ចឹង នៅខាងក្នុងមុខងារប្រហែលជាមិនមាន X សុទ្ធទេ ប៉ុន្តែប្រភេទនៃការបញ្ចេញមតិមួយចំនួនដូចជា៖

cos(3x+π /3) = 1/2

ល។ នេះធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់ជីវិត ប៉ុន្តែមិនប៉ះពាល់ដល់វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ?

សមីការត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយ៖ ដោយប្រើតក្កវិជ្ជា និងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ យើងនឹងមើលផ្លូវនេះនៅទីនេះ។ វិធីទីពីរ - ការប្រើការចងចាំ និងរូបមន្ត - នឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។

វិធីទីមួយគឺច្បាស់លាស់ អាចទុកចិត្តបាន និងពិបាកបំភ្លេច។) វាល្អសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ វិសមភាព និងប្រភេទនៃឧទាហរណ៍មិនស្តង់ដារដ៏លំបាកទាំងអស់។ តក្កវិជ្ជាខ្លាំងជាងការចងចាំ!)

ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

យើងរួមបញ្ចូលតក្កវិជ្ជាបឋម និងលទ្ធភាពប្រើប្រាស់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ... អ្នកនឹងមានការលំបាកក្នុងត្រីកោណមាត្រ...) ប៉ុន្តែវាមិនមានបញ្ហាទេ។ សូមទស្សនាមេរៀន "រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ......តើវាជាអ្វី?" និង "វាស់មុំនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។" អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនោះ។ ខុសពីសៀវភៅសិក្សា...)

អូដឹងទេ!? ហើយថែមទាំងស្ទាត់ជំនាញ "ការងារជាក់ស្តែងជាមួយរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ"!? សូមអបអរសាទរ។ ប្រធានបទនេះនឹងមានភាពស្និទ្ធស្នាល និងអាចយល់បានសម្រាប់អ្នក។) អ្វីដែលជាការពេញចិត្តជាពិសេសនោះគឺថា រង្វង់ត្រីកោណមាត្រមិនខ្វល់ពីសមីការដែលអ្នកដោះស្រាយនោះទេ។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាសម្រាប់គាត់។ មានគោលការណ៍ដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដូច្នេះយើងយកសមីការត្រីកោណមាត្របឋមណាមួយ។ យ៉ាងហោចណាស់នេះ៖

cosx = 0.5

យើងត្រូវស្វែងរក X ។ និយាយជាភាសាមនុស្ស អ្នកត្រូវការ រកមុំ (x) ដែលកូស៊ីនុសគឺ 0.5 ។

តើយើងប្រើរង្វង់ពីមុនដោយរបៀបណា? យើងគូរមុំនៅលើវា។ ជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់។ ហើយភ្លាមៗ ឃើញ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំនេះ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងធ្វើផ្ទុយពីនេះ។ ចូរគូរកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ស្មើ 0.5 ហើយភ្លាមៗ យើងនឹងឃើញ ជ្រុង។ នៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ។) បាទ បាទ!

គូររង្វង់មួយហើយសម្គាល់កូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ។ ជាការពិតណាស់នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស។ ដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគូរមុំដែលកូស៊ីនុសនេះផ្តល់ឱ្យយើង។ ដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព (ឬប៉ះរូបភាពនៅលើកុំព្យូទ័របន្ទះរបស់អ្នក) និង អ្នកនឹងឃើញជ្រុងនេះណាស់។ X.

កូស៊ីនុសនៃមុំមួយណាគឺ 0.5?

x = π / 3

cos 60°= cos( π / ៣) = 0,5

មនុស្សមួយចំនួននឹងសើចចំអកដោយសង្ស័យ បាទ... ដូចជា តើវាសមនឹងបង្កើតរង្វង់ទេ នៅពេលដែលអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់រួចហើយ... អ្នកអាចនិយាយលេងបាន...) ប៉ុន្តែការពិតគឺថា នេះគឺជាចម្លើយខុស។ ឬផ្ទុយទៅវិញ មិនគ្រប់គ្រាន់។ អ្នកស្គាល់រង្វង់យល់ថាមានមុំទាំងមូលផ្សេងទៀតនៅទីនេះ ដែលផ្តល់កូស៊ីនុស 0.5 ផងដែរ។

ប្រសិនបើអ្នកបង្វែរផ្នែកផ្លាស់ទី OA វេនពេញចំណុច A នឹងត្រឡប់ទៅទីតាំងដើមវិញ។ ជាមួយនឹងកូស៊ីនុសដូចគ្នាស្មើនឹង 0.5 ។ ទាំងនោះ។ មុំនឹងផ្លាស់ប្តូរដោយ 360° ឬ 2π រ៉ាដ្យង់ និង កូស៊ីនុស - ទេ។មុំថ្មី 60° + 360° = 420° ក៏នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរបស់យើងដែរ ពីព្រោះ

ចំនួនមិនកំណត់នៃបដិវត្តន៍ពេញលេញបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឡើង... ហើយមុំថ្មីទាំងអស់នេះនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង។ ហើយពួកគេទាំងអស់ត្រូវសរសេរចុះក្នុងការឆ្លើយតប។ ទាំងអស់។បើមិនដូច្នេះទេ ការសម្រេចចិត្តមិនរាប់បញ្ចូលទេ បាទ...)

គណិតវិទ្យាអាចធ្វើបានយ៉ាងសាមញ្ញ និងឆើតឆាយ។ សរសេរក្នុងចម្លើយខ្លីមួយ។ សំណុំគ្មានកំណត់ការសម្រេចចិត្ត។ នេះជាអ្វីដែលវាមើលទៅសម្រាប់សមីការរបស់យើង៖

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ខ្ញុំនឹងបកស្រាយវា។ នៅតែសរសេរ ប្រកបដោយអត្ថន័យវា​សប្បាយ​ជាង​ការ​សរសេរ​អក្សរ​អាថ៌កំបាំង​ដោយ​ឆោតល្ងង់​មែនទេ?)

π / ៣ - នេះគឺជាជ្រុងដូចគ្នាដែលយើង ឃើញនៅលើរង្វង់និង កំណត់នេះបើយោងតាមតារាងកូស៊ីនុស។

2π គឺជាបដិវត្តពេញលេញមួយនៅក្នុងរ៉ាដ្យង់។

ន - នេះគឺជាចំនួនពេញលេញ, i.e. ទាំងមូល rpm វាច្បាស់ណាស់នោះ។ ន អាចស្មើនឹង 0, ±1, ±2, ±3.... ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់ដោយធាតុខ្លី៖

n ∈ Z

ន ជាកម្មសិទ្ធិ ( ∈ ) សំណុំនៃចំនួនគត់ ( Z ) ដោយវិធីនេះជំនួសឱ្យលិខិត ន អក្សរអាចប្រើបានល្អ k, m, t ល។

សញ្ញាណនេះមានន័យថាអ្នកអាចយកចំនួនគត់ណាមួយ។ ន . យ៉ាងហោចណាស់ -3 យ៉ាងហោចណាស់ 0 យ៉ាងហោចណាស់ +55 ។ មិន​ថា​អី​្វ​ដែល​អ្នក​ចង់​បាន។ ប្រសិនបើអ្នកជំនួសលេខនេះទៅក្នុងចំលើយ អ្នកនឹងទទួលបានមុំជាក់លាក់មួយ ដែលពិតជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដ៏អាក្រក់របស់យើង។)

ឬម្យ៉ាងទៀត x = π / 3 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសំណុំគ្មានកំណត់។ ដើម្បីទទួលបានឫសផ្សេងទៀតទាំងអស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមចំនួនបដិវត្តពេញលេញណាមួយទៅπ / 3 ( ន ) ជារ៉ាដ្យង់។ ទាំងនោះ។ 2 π ន រ៉ាដ្យង់។

ទាំងអស់? ទេ ខ្ញុំពន្យារភាពរីករាយដោយចេតនា។ ដើម្បីចងចាំកាន់តែប្រសើរ។) យើងបានទទួលតែផ្នែកនៃចម្លើយចំពោះសមីការរបស់យើង។ ខ្ញុំនឹងសរសេរផ្នែកដំបូងនៃដំណោះស្រាយដូចនេះ៖

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x ១ - មិន​មែន​ត្រឹម​តែ​ឫស​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ស៊េរី​ឫស​ទាំងមូល​ដែល​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​ទម្រង់​ខ្លីៗ។

ប៉ុន្តែក៏មានមុំដែលផ្តល់កូស៊ីនុស ០.៥ ផងដែរ!

ចូរយើងត្រលប់ទៅរូបភាពរបស់យើងដែលយើងបានសរសេរចម្លើយ។ នៅទីនេះនាង៖

ដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព និង យើង​ឃើញមុំមួយទៀតនោះ។ ក៏ផ្តល់ឱ្យកូស៊ីនុសនៃ 0.5 ។តើអ្នកគិតថាវាស្មើនឹងអ្វី? ត្រីកោណ​ក៏​ដូច​គ្នា… បាទ! វាស្មើនឹងមុំ X ពន្យារពេលតែក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នេះគឺជាជ្រុង -X. ប៉ុន្តែយើងបានគណនា x ។ π / 3 ឬ 60° ដូច្នេះយើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖

x 2 = − π / 3

ជាការពិតណាស់ យើងបន្ថែមមុំទាំងអស់ដែលទទួលបានតាមរយៈបដិវត្តន៍ពេញលេញ៖

x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z

នោះហើយជាទាំងអស់ឥឡូវនេះ។) នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រយើង ឃើញ(ពិតណាស់អ្នកណាយល់)) ទាំងអស់។មុំដែលផ្តល់កូស៊ីនុសនៃ 0.5 ។ ហើយ​យើង​សរសេរ​មុំ​ទាំងនេះ​ក្នុង​ទម្រង់​គណិតវិទ្យា​ខ្លី។ ចម្លើយ​បាន​បណ្តាល​ឲ្យ​មាន​ឫស​មិន​ដាច់​ចំនួន​ពីរ៖

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ក្តីសង្ឃឹម គោលការណ៍ទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រការប្រើរង្វង់គឺច្បាស់។ យើងសម្គាល់កូស៊ីនុស (ស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់) ពីសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើរង្វង់មួយ គូរមុំដែលត្រូវគ្នានឹងវា ហើយសរសេរចម្លើយ។ប្រាកដ​ណាស់ យើង​ត្រូវ​ស្វែង​យល់​ថា​យើង​នៅ​ជ្រុង​ណា​ខ្លះ ឃើញនៅលើរង្វង់។ ពេលខ្លះវាមិនសូវច្បាស់ទេ។ ខ្ញុំបាននិយាយថាតក្កវិជ្ជាគឺចាំបាច់នៅទីនេះ។ )

ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលសមីការត្រីកោណមាត្រមួយទៀត៖

សូមពិចារណាថាលេខ 0.5 មិនមែនជាលេខដែលអាចធ្វើទៅបានក្នុងសមីការទេ!) វាងាយស្រួលជាងសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការសរសេរវាជាងឫស និងប្រភាគ។

យើងធ្វើការតាមគោលការណ៍ទូទៅ។ យើងគូសរង្វង់មួយសម្គាល់ (នៅលើអ័ក្សស៊ីនុស!) 0.5 ។ យើងគូរមុំទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងស៊ីនុសនេះក្នុងពេលតែមួយ។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ៖

ចូរដោះស្រាយមុំជាមុនសិន X នៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ យើងរំលឹកតារាងស៊ីនុស និងកំណត់តម្លៃនៃមុំនេះ។ វាជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយ៖

x = π / ៦

យើងចងចាំអំពីវេនពេញលេញ ហើយដោយមនសិការច្បាស់លាស់ សូមសរសេរចម្លើយស៊េរីទីមួយ៖

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ការងារពាក់កណ្តាលត្រូវបានធ្វើ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវកំណត់ ជ្រុងទីពីរ...វាល្បិចជាងការប្រើកូស៊ីនុស បាទ... ប៉ុន្តែតក្កវិជ្ជានឹងជួយសង្រ្គោះយើង! របៀបកំណត់មុំទីពីរ តាមរយៈ x? បាទស្រួល! ត្រីកោណក្នុងរូបភាពគឺដូចគ្នា ហើយជ្រុងក្រហម X ស្មើនឹងមុំ X . មានតែវាត្រូវបានរាប់ពីមុំπក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាមានពណ៌ក្រហម។) ហើយសម្រាប់ចម្លើយយើងត្រូវការមុំមួយ ដែលវាស់បានត្រឹមត្រូវពីពាក់កណ្តាលអ័ក្សវិជ្ជមាន OX, i.e. ពីមុំ 0 ដឺក្រេ។

យើងដាក់ទស្សន៍ទ្រនិចលើគំនូរ ហើយមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។ ខ្ញុំបានដកជ្រុងទីមួយចេញ ដើម្បីកុំឱ្យរូបភាពមានភាពស្មុគស្មាញ។ មុំដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ (គូរជាពណ៌បៃតង) នឹងស្មើនឹង៖

π − x

X យើងដឹងរឿងនេះ π / ៦ . ដូច្នេះមុំទីពីរនឹងមានៈ

π − π / 6 = 5π / 6

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងចងចាំអំពីការបន្ថែមបដិវត្តន៍ពេញលេញ ហើយសរសេរចម្លើយស៊េរីទីពីរ៖

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

អស់ហើយ។ ចម្លើយពេញលេញមានពីរស៊េរីនៃឫស៖

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

សមីការតង់សង់ និងកូតង់សង់អាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើគោលការណ៍ទូទៅដូចគ្នាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីរបៀបគូរតង់សង់ និងកូតង់សង់នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ខ្ញុំបានប្រើតារាងតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ ០.៥។ ទាំងនោះ។ អត្ថន័យមួយក្នុងចំណោមអត្ថន័យទាំងនោះដែលសិស្សដឹង ត្រូវតែ។ឥឡូវនេះសូមពង្រីកសមត្ថភាពរបស់យើងទៅ តម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់។សម្រេចចិត្ត ដូច្នេះសម្រេចចិត្ត!)

ដូច្នេះ ឧបមាថា យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រនេះ៖

មិនមានតម្លៃកូស៊ីនុសបែបនេះនៅក្នុងតារាងខ្លីទេ។ យើងព្រងើយកន្តើយចំពោះការពិតដ៏អាក្រក់នេះ។ គូររង្វង់មួយ សម្គាល់ 2/3 នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស ហើយគូរមុំដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ។

សូមក្រឡេកមើលដំបូងនៅមុំក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ បើយើងដឹងថា x ស្មើនឹងអ្វី យើងនឹងសរសេរចម្លើយភ្លាមៗ! យើងមិនដឹងទេ… បរាជ័យ!? ស្ងប់ស្ងាត់! គណិតវិទ្យា​មិន​ទុក​ឲ្យ​ប្រជាជន​ខ្លួន​ជួប​បញ្ហា! នាងបានមកជាមួយ arc cosines សម្រាប់ករណីនេះ។ មិនដឹង? ដោយឥតប្រយោជន៍។ ស្វែងយល់ វាងាយស្រួលជាងអ្នកគិតច្រើន។ មិនមានអក្ខរាវិរុទ្ធតែមួយអំពី "អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស" នៅលើតំណភ្ជាប់នេះទេ... នេះគឺលើសលុបនៅក្នុងប្រធានបទនេះ។

ប្រសិនបើអ្នកដឹង គ្រាន់តែនិយាយទៅកាន់ខ្លួនអ្នកថា "X គឺជាមុំដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង 2/3"។ ហើយភ្លាមៗដោយនិយមន័យនៃ arc cosine យើងអាចសរសេរបាន៖

យើងចងចាំអំពីបដិវត្តន៍បន្ថែម ហើយសរសេរដោយស្ងប់ស្ងាត់នូវស៊េរីដំបូងនៃសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង៖

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ស៊េរីទីពីរនៃឫសសម្រាប់មុំទីពីរគឺស្ទើរតែសរសេរដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែ X (arccos 2/3) នឹងមានដកមួយ៖

x 2 = − arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ហើយនោះហើយជាវា! នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សូម្បីតែងាយស្រួលជាងតម្លៃតារាង។ មិនចាំបាច់ចាំអ្វីទាំងអស់) ដោយវិធីនេះ អ្នកយកចិត្តទុកដាក់បំផុតនឹងសម្គាល់ឃើញថារូបភាពនេះបង្ហាញពីដំណោះស្រាយតាមរយៈ arc cosine នៅក្នុងខ្លឹមសារមិនខុសពីរូបភាពសម្រាប់សមីការ cosx = 0.5 ទេ។

យ៉ាង​ពិតប្រាកដ! គោលការណ៍ទូទៅគឺអញ្ចឹង! ខ្ញុំ​បាន​គូរ​រូប​ពីរ​ដែល​ស្ទើរតែ​ដូចគ្នា​ដោយ​ចេតនា។ រង្វង់បង្ហាញយើងពីមុំ X ដោយកូស៊ីនុសរបស់វា។ ថាតើវាជាកូស៊ីនុសតារាងឬអត់គឺមិនស្គាល់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ តើមុំប្រភេទនេះជាអ្វី π / 3 ឬអ្វីដែលជាអ័ក្សកូស៊ីនុស - នោះអាស្រ័យលើយើងក្នុងការសម្រេចចិត្ត។

បទចម្រៀងដូចគ្នាជាមួយស៊ីនុស។ ឧទាហរណ៍:

គូសរង្វង់ម្តងទៀត សម្គាល់ស៊ីនុសស្មើ 1/3 គូរមុំ។ នេះជារូបភាពដែលយើងទទួលបាន៖

ហើយម្តងទៀតរូបភាពគឺស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងសមីការ sinx = 0.5 ។ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចាប់ផ្តើមពីជ្រុងនៅត្រីមាសទីមួយ។ តើ X ស្មើនឹងអ្វី ប្រសិនបើស៊ីនុសរបស់វាគឺ 1/3? គ្មាន​បញ្ហា!

ឥឡូវនេះកញ្ចប់ដំបូងនៃឫសគឺរួចរាល់:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយមុំទីពីរ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលមានតម្លៃតារាង ០.៥ វាស្មើនឹង៖

π − x

នៅទីនេះក៏ដូចគ្នាដែរ! មានតែ x ប៉ុណ្ណោះដែលខុសគ្នា, arcsin 1/3 ។ អីចឹង!? អ្នកអាចសរសេរកញ្ចប់ទីពីរនៃឫសដោយសុវត្ថិភាព៖

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ទោះបីជាវាមើលទៅមិនសូវស្គាល់ក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់ ខ្ញុំសង្ឃឹមថា។ )

នេះជារបៀបដែលសមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរង្វង់។ ផ្លូវនេះគឺច្បាស់ហើយអាចយល់បាន។ វាគឺជាគាត់ដែលរក្សាទុកនៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងការជ្រើសរើសឫសនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងវិសមភាពត្រីកោណមាត្រ - ជាទូទៅពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយស្ទើរតែជារង្វង់។ សរុបមក ក្នុងកិច្ចការណាដែលពិបាកជាងការងារស្តង់ដារ។

តោះយកចំណេះដឹងទៅអនុវត្ត?)

ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ៖

ទីមួយ សាមញ្ញជាង ត្រង់ពីមេរៀននេះ។

ឥឡូវនេះវាកាន់តែស្មុគស្មាញ។

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកនឹងត្រូវគិតអំពីរង្វង់។ ផ្ទាល់ខ្លួន។ )

ហើយឥឡូវនេះពួកគេមានលក្ខណៈសាមញ្ញខាងក្រៅ ... ពួកគេក៏ត្រូវបានគេហៅថាករណីពិសេសផងដែរ។

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះ អ្នកត្រូវស្វែងយល់ក្នុងរង្វង់មួយដែលមានចម្លើយពីរស៊េរី និងកន្លែងណាមានមួយ... និងរបៀបសរសេរមួយជំនួសឱ្យចម្លើយពីរស៊េរី។ បាទ/ចាស ដើម្បីកុំឱ្យឫសតែមួយពីចំនួនគ្មានកំណត់ត្រូវបាត់បង់!)

ជាការប្រសើរណាស់, សាមញ្ញណាស់):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកត្រូវដឹងថាតើ arcsine និង arccosine ជាអ្វី? អ្វី​ទៅ​ជា arctangent, arccotangent? និយមន័យសាមញ្ញបំផុត។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ចងចាំតម្លៃតារាងណាមួយទេ!)

ចម្លើយគឺពិតជារញ៉េរញ៉ៃ)៖

x ១= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x ២= π - arcsin0.3 + 2

អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? កើតឡើង។ អានមេរៀនម្តងទៀត។ តែប៉ុណ្ណោះ ដោយគិត(មានពាក្យហួសសម័យបែបនេះ...) ហើយធ្វើតាមតំណ។ តំណភ្ជាប់សំខាន់គឺអំពីរង្វង់។ បើគ្មានវាទេ ត្រីកោណមាត្រគឺដូចជាការឆ្លងកាត់ផ្លូវបិទជិត។ ពេលខ្លះវាដំណើរការ។ )

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។