តារាង ផ្តល់ឱ្យជាដុំ មុខងារ
Murzalieva T.A. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា MBOU "សាលាអនុវិទ្យាល័យ Bor" ស្រុក Boksitogorsky តំបន់ Leningrad
គោលដៅ:
- ធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្ត្រ spline លីនេអ៊ែរសម្រាប់ការសាងសង់ក្រាហ្វដែលមានម៉ូឌុល។
- រៀនអនុវត្តវាក្នុងស្ថានភាពសាមញ្ញ។
នៅក្រោម spline(ពីភាសាអង់គ្លេស spline - plank, rail) ជាធម្មតាត្រូវបានគេយល់ថាជាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្នែក។
មុខងារបែបនេះត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះគណិតវិទូតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ ដោយចាប់ផ្តើមពីអយល័រ (១៧០៧-១៧៨៣ គណិតវិទូស្វីស អាឡឺម៉ង់ និងរុស្ស៊ី)ប៉ុន្តែការពិតការសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងរបស់ពួកគេបានចាប់ផ្តើមតែនៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 20 ប៉ុណ្ណោះ។
នៅឆ្នាំ 1946 លោក Isaac Schoenberg (1903-1990 អ្នកគណិតវិទូជនជាតិរ៉ូម៉ានី និងអាមេរិក)ជាលើកដំបូងដោយប្រើពាក្យនេះ។ ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1960 ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ ការប្រើប្រាស់ splines នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ និងការធ្វើគំរូបានចាប់ផ្តើម។
១. សេចក្តីផ្តើម
2. និយមន័យនៃ spline លីនេអ៊ែរ
3. និយមន័យម៉ូឌុល
4. ក្រាហ្វិច
5. ការងារជាក់ស្តែង
គោលបំណងសំខាន់មួយនៃមុខងារគឺដើម្បីពិពណ៌នាអំពីដំណើរការពិតដែលកើតឡើងនៅក្នុងធម្មជាតិ។
ប៉ុន្តែអស់រយៈពេលជាយូរមកហើយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ - ទស្សនវិទូនិងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិបានកំណត់អត្តសញ្ញាណដំណើរការពីរប្រភេទ៖ បន្តិចម្តងៗ ( បន្ត ) និង spasmodic ។
នៅពេលដែលរាងកាយធ្លាក់ដល់ដី វាកើតឡើងដំបូង ការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់ ល្បឿនបើកបរ ហើយនៅពេលនៃការប៉ះទង្គិចជាមួយផ្ទៃផែនដី ល្បឿនផ្លាស់ប្តូរភ្លាមៗ , ក្លាយជាសូន្យ ឬផ្លាស់ប្តូរទិសដៅ (សញ្ញា) នៅពេលដែលរាងកាយ "លោត" ពីដី (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើរាងកាយជាបាល់) ។
ប៉ុន្តែដោយសារមានដំណើរការមិនបន្តបន្ទាប់មក មធ្យោបាយនៃការពិពណ៌នាពួកគេគឺត្រូវការជាចាំបាច់។ ចំពោះគោលបំណងនេះមុខងារត្រូវបានណែនាំដែលមាន ការប្រេះឆា .
a - តាមរូបមន្ត y = h(x) ហើយយើងនឹងសន្មត់ថា អនុគមន៍នីមួយៗ g(x) និង h(x) ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x និងមិនមានការដាច់។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ g(a) = h(a) បន្ទាប់មកអនុគមន៍ f(x) មានលោតនៅ x=a; ប្រសិនបើ g(a) = h(a) = f(a) បន្ទាប់មកអនុគមន៍ "រួមបញ្ចូលគ្នា" f មិនមានការជាប់គាំងទេ។ ប្រសិនបើមុខងារទាំងពីរ g និង h ជាបឋម នោះ f ត្រូវបានគេហៅថា បឋម piecewise ។ "ទទឹង = "៦៤០" - វិធីមួយដើម្បីណែនាំការមិនបន្តបែបនេះគឺ បន្ទាប់៖
អនុញ្ញាតឱ្យ មុខងារ y = f(x)
នៅ x ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត y = g(x),
ហើយនៅពេលដែល xa - រូបមន្ត y = h(x), ហើយយើងនឹងពិចារណា ដែលមុខងារនីមួយៗ g(x) និង h(x) ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x និងមិនមានការដាច់។
បន្ទាប់មក , ប្រសិនបើ g(a) = h(a), បន្ទាប់មកមុខងារ f(x) មាននៅ x=a លោត;
ប្រសិនបើ g(a) = h(a) = f(a), បន្ទាប់មកមុខងារ "រួមបញ្ចូលគ្នា" f មិនមានការសម្រាកទេ។ ប្រសិនបើមុខងារទាំងពីរ g និង ម៉ោង បឋមសិក្សា នោះ។ f ត្រូវបានគេហៅថា បឋមសិក្សាផ្នែក។
ក្រាហ្វនៃមុខងារបន្ត
ក្រាហ្វនៃមុខងារ៖
Y=|X-1| + ១
X = 1 - ចំណុចផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត
ពាក្យ "ម៉ូឌុល"មកពីពាក្យឡាតាំង "ម៉ូឌុល" ដែលមានន័យថា "រង្វាស់" ។
ម៉ូឌុលនៃលេខ ក ហៅ ចម្ងាយ (នៅក្នុងផ្នែកតែមួយ) ពីដើមដល់ចំណុច A ( ក) .
និយមន័យនេះបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល។
ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) ចំនួនពិត កលេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ក≥ 0 និងលេខផ្ទុយ - ក, ប្រសិនបើ ក
0 ឬ x=0 y = -3x -2 at x "width="640" ក្រាហ្វនៃមុខងារ y = 3|x|-2 ។
តាមនិយមន័យនៃម៉ូឌុល យើងមាន៖ 3x – 2 នៅ x0 ឬ x=0
-3x -2 នៅ x
x n) "ទទឹង = "640" . អនុញ្ញាតឱ្យ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ 1 X 2 X ន - ចំណុចនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃរូបមន្តនៅក្នុងអនុគមន៍បឋមជាដុំ។
អនុគមន៍ f ដែលកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ piecewise ប្រសិនបើវាជាលីនេអ៊ែរនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ
ហើយក្រៅពីនេះ លក្ខខណ្ឌនៃការសម្របសម្រួលត្រូវបានបំពេញ ពោលគឺនៅចំណុចនៃការផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត មុខងារមិនទទួលរងនូវការសម្រាកនោះទេ។
មុខងារលីនេអ៊ែរបន្តបន្ទាប់គ្នា ហៅ spline លីនេអ៊ែរ . របស់នាង កាលវិភាគ មាន ប៉ូលីលីនដែលមានតំណភ្ជាប់ខ្លាំងគ្មានកំណត់ពីរ - ឆ្វេង (ត្រូវនឹងតម្លៃ x ន ) ហើយត្រូវ ( តម្លៃដែលត្រូវគ្នា x x ន )
អនុគមន៍បឋមមួយដុំអាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តច្រើនជាងពីរ
កាលវិភាគ - បន្ទាត់ខូច ជាមួយនឹងតំណភ្ជាប់ខ្លាំងគ្មានកំណត់ពីរ - ឆ្វេង (x1) ។
យ=|x| - |x–១|
ចំណុចផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖ x=0 និង x=1។
Y(0)=-1, y(1)=1។
វាងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរជាដុំៗ ចង្អុល នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ចំនុចកំពូលនៃបន្ទាត់ដែលខូច។
បន្ថែមពីលើការសាងសង់ ន កំពូលគួរតែ សាងសង់ ផងដែរ។ ពីរពិន្ទុ ៖ មួយទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចកំពូល ក 1 ( x 1; y ( x 1)) មួយទៀត - នៅខាងស្តាំខាងលើ ក ( xn ; y ( xn )).
ចំណាំថាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរដែលមិនបន្តមិនអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃម៉ូឌុលនៃ binomials .
ក្រាហ្វនៃមុខងារ y = x+ |x −2| - |X|
អនុគមន៍លីនេអ៊ែរបន្តបន្ទាប់គ្នាត្រូវបានគេហៅថា linear spline
1. ពិន្ទុសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖ X-2=0, X=2 ; X=0
2. តោះធ្វើតារាង៖
U( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
នៅ (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
បង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = |x+1| +|x| – |x -2|។
1 .ចំណុចសម្រាប់ផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖
x+1=0, x=-1 ;
x=0 ; x-2=0, x=2 ។
2 . តោះធ្វើតារាង៖
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6។
|x–1| = |x + 3|
ដោះស្រាយសមីការ៖
ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណាអនុគមន៍ y = |x −1| - |x +3|
ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ / ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ទាត់លីនេអ៊ែរ /
- ចំណុចផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖
x −1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = − 3 ។
2. តោះធ្វើតារាង៖
y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- ៥| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0 ។
y(2)=|2-1| - |2+3|=1–5=-4។
ចម្លើយ៖ -១.
1. បង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរជាដុំៗ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ដលីនេអ៊ែរ៖
y = |x − 3| + |x|;
1). ចំណុចផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖
2). តោះធ្វើតារាង៖
2. បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារដោយប្រើជំនួយការបង្រៀន "គណិតវិទ្យាផ្ទាល់" »
ក) y = |2x − 4| +|x +1|
1) ចំណុចផ្លាស់ប្តូររូបមន្ត៖
2) y() =
ខ) បង្កើតក្រាហ្វមុខងារ បង្កើតលំនាំ :
ក) y = |x − 4| ខ) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - ៣
y = |x − 3| y = |x| - ៥
y = |x + 4| y = |x| + ៤
ប្រើឧបករណ៍ចំណុច បន្ទាត់ និងព្រួញនៅលើរបារឧបករណ៍។
1. ម៉ឺនុយ "គំនូសតាង" ។
2. ផ្ទាំង "បង្កើតក្រាហ្វ" ។
.៣. នៅក្នុងបង្អួច "ម៉ាស៊ីនគិតលេខ" បញ្ចូលរូបមន្ត។
ក្រាហ្វនៃមុខងារ៖
1) យ = 2x + 4
1. Kozina M.E. គណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ៨-៩៖ ការប្រមូលមុខវិជ្ជាជ្រើសរើស។ - វ៉ុលហ្គោក្រាដ៖ គ្រូបង្រៀនឆ្នាំ ២០០៦ ។
2. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ។ ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៧ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ថ្ងៃទី ១៧ - អិមៈការអប់រំឆ្នាំ ២០១១
3. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ។ ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ថ្ងៃទី ១៧ - អិមៈការអប់រំឆ្នាំ ២០១១
4. វិគីភីឌា សព្វវចនាធិប្បាយសេរី
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
ដំណើរការពិតដែលកើតឡើងនៅក្នុងធម្មជាតិអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើមុខងារ។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកដំណើរការសំខាន់ពីរប្រភេទដែលផ្ទុយពីគ្នាទៅវិញទៅមក - ទាំងនេះគឺជា បន្តិចម្តងៗឬ បន្តនិង spasmodic(ឧទាហរណ៍មួយនឹងជាបាល់ធ្លាក់ និងលោត)។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានដំណើរការមិនបន្ត នោះមានមធ្យោបាយពិសេសសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីពួកគេ។ ចំពោះគោលបំណងនេះ មុខងារត្រូវបានណែនាំដែលមានភាពមិនដំណើរការ និងលោត ពោលគឺនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃបន្ទាត់លេខ មុខងារមានឥរិយាបទយោងទៅតាមច្បាប់ផ្សេងៗគ្នា ហើយតាមនោះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តផ្សេងៗគ្នា។ គោលគំនិតនៃចំណុចឈប់ដំណើរការ និងការមិនបន្តអាចដកចេញបានត្រូវបានណែនាំ។
ប្រាកដណាស់ អ្នកបានឆ្លងកាត់មុខងារដែលបានកំណត់ដោយរូបមន្តជាច្រើនរួចហើយ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ ឧទាហរណ៍៖
y = (x − 3 សម្រាប់ x > −3;
(-(x − 3) នៅ x< -3.
មុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បំណែកឬ បញ្ជាក់ដោយផ្នែក. អនុញ្ញាតឱ្យយើងហៅផ្នែកនៃបន្ទាត់លេខដែលមានរូបមន្តផ្សេងគ្នាសម្រាប់ការបញ្ជាក់ សមាសធាតុដែន។ ការរួបរួមនៃសមាសធាតុទាំងអស់គឺជាដែននៃមុខងារ piecewise ។ ចំណុចទាំងនោះដែលបែងចែកដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារទៅជាសមាសធាតុត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចព្រំដែន. រូបមន្តដែលកំណត់មុខងារជាដុំៗលើសមាសធាតុនីមួយៗនៃដែននិយមន័យត្រូវបានគេហៅថា មុខងារចូល. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗត្រូវបានទទួលដោយការផ្សំផ្នែកនៃក្រាហ្វដែលបានសាងសង់នៅលើចន្លោះពេលភាគនីមួយៗ។
លំហាត់។
បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារជាដុំៗ៖
1)
(-3, ជាមួយ −4 ≤ x< 0,
f (x) = (0, សម្រាប់ x = 0,
(1, នៅ 0< x ≤ 5.
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទីមួយគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច y = -3 ។ វាមានប្រភពដើមនៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (-4; -3) រត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ទៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (0; -3) ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទីពីរគឺជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (0; 0) ។ ក្រាហ្វទីបីគឺស្រដៀងនឹងទីមួយ - វាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច y = 1 ប៉ុន្តែរួចទៅហើយនៅក្នុងតំបន់ពី 0 ទៅ 5 តាមអ័ក្សអុក។
ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ១ ។
2)
(3 ប្រសិនបើ x ≤ −4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3| ប្រសិនបើ −4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 ប្រសិនបើ x > 4 ។
ចូរយើងពិចារណាមុខងារនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា ហើយបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។
ដូច្នេះ f(x) = 3 គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក ប៉ុន្តែត្រូវបង្ហាញតែក្នុងផ្ទៃដែល x ≤ −4 ប៉ុណ្ណោះ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) = |x 2 – 4|x| + ៣| អាចទទួលបានពីប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2 – 4x + 3 ។ ដោយបានសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា ផ្នែកនៃតួលេខដែលស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្សអុកត្រូវតែទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយផ្នែកដែលស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស abscissa ត្រូវតែបង្ហាញស៊ីមេទ្រីទាក់ទងគ្នា។ ទៅអ័ក្សអុក។ បន្ទាប់មកបង្ហាញផ្នែកនៃក្រាហ្វដោយស៊ីមេទ្រី
x ≥ 0 ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស Oy សម្រាប់ x អវិជ្ជមាន។ យើងទុកក្រាហ្វដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់តែនៅក្នុងតំបន់ពី -4 ទៅ 4 តាមអ័ក្ស abscissa ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទី 3 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា មែកធាងដែលត្រូវបានដឹកនាំចុះក្រោម ហើយចំនុចកំពូលស្ថិតនៅត្រង់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (4; 3) ។ យើងបង្ហាញគំនូរតែក្នុងផ្ទៃដែល x > 4 ប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ៖ រូបភាពទី 2 ។
3)
(8 − (x + 6) 2, ប្រសិនបើ x ≤ −6,
f(x) = (|x 2 − 6|x| + 8| ប្រសិនបើ −6 ≤ x< 5,
(3 ប្រសិនបើ x ≥ 5 ។
ការស្ថាបនាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយដុំដែលស្នើឡើងគឺស្រដៀងនឹងកថាខណ្ឌមុន។ នៅទីនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ពីរដំបូងគឺទទួលបានពីការបំប្លែងនៃប៉ារ៉ាបូឡា ហើយក្រាហ្វទីបីគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអុក។
ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៣ ។
4) ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x – |x| + (x–1–|x|/x) ២.
ដំណោះស្រាយ។ដែននៃអនុគមន៍នេះគឺជាចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ។ តោះពង្រីកម៉ូឌុល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាករណីពីរ៖
1) សម្រាប់ x> 0 យើងទទួលបាន y = x − x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) ២.
2) នៅ x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
ដូច្នេះ យើងមានមុខងារកំណត់ដោយឡែកមួយ៖
y = ((x − 2) 2 សម្រាប់ x > 0;
( x 2 + 2x នៅ x< 0.
ក្រាហ្វនៃមុខងារទាំងពីរគឺ ប៉ារ៉ាបូឡា ដែលសាខាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ។
ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៤ ។
5) គូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = (x + |x|/x − 1) ២.
ដំណោះស្រាយ។
វាងាយមើលឃើញថាដែននៃអនុគមន៍គឺជាចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ។ បន្ទាប់ពីពង្រីកម៉ូឌុល យើងទទួលបានមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗ៖
1) សម្រាប់ x> 0 យើងទទួលបាន y = (x + 1 − 1) 2 = x 2 ។
2) នៅ x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញ។
y = (x 2, សម្រាប់ x > 0;
((x − 2) 2 នៅ x< 0.
ក្រាហ្វនៃមុខងារទាំងនេះគឺប៉ារ៉ាបូឡា។
ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៥ ។
6) តើមានមុខងារដែលក្រាហ្វនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេមានចំណុចរួមជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ដែរឬទេ?
ដំណោះស្រាយ។
បាទ វាមាន។
ឧទាហរណ៍មួយនឹងជាអនុគមន៍ f(x) = x 3 ។ ជាការពិតណាស់ ក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាគូបប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់បញ្ឈរ x = a នៅចំនុច (a; a 3)។ ឥឡូវនេះសូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ y = kx + b ។ បន្ទាប់មកសមីការ
x 3 – kx – b = 0 មានឫសពិត x 0 (ចាប់តាំងពីពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រសេសតែងតែមានឫសពិតប្រាកដមួយយ៉ាងតិច)។ អាស្រ័យហេតុនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ y = kx + b ឧទាហរណ៍នៅចំណុច (x 0; x 0 3) ។
គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។
7
មេរៀនពិជគណិតថ្នាក់ទី 9A ដោយលោកគ្រូ Mikitchuk Zh.N. ស្ថាប័នអប់រំក្រុង "អនុវិទ្យាល័យលេខ ២៣"០៣/១៩/០៧ប្រធានបទមេរៀន៖ "មុខងារដែលបានកំណត់ជាបំណែក"
គោលដៅ៖
- ធ្វើអោយប្រសើរឡើងនូវចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាពរបស់សិស្សលើប្រធានបទដែលបានបញ្ជាក់។ បណ្តុះការយកចិត្តទុកដាក់របស់សិស្ស ការផ្តោតអារម្មណ៍ ការតស៊ូ និងទំនុកចិត្តលើចំណេះដឹងរបស់ពួកគេ; អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពគិត ការគិតឡូជីខល; វប្បធម៌ការនិយាយ សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងទ្រឹស្តី។
- គំនិតនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗ; រូបមន្តនៃមុខងារផ្សេងៗ ឈ្មោះដែលត្រូវគ្នា និងរូបភាពនៃក្រាហ្វ។
- បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗ; អានតារាង; កំណត់មុខងារវិភាគដោយប្រើក្រាហ្វ។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
I. ពេលវេលារៀបចំ និងផ្លូវចិត្ត។ ចូរចាប់ផ្តើមមេរៀនរបស់យើងជាមួយនឹងពាក្យរបស់ D.K. Fadeev “មិនថាអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាអ្វីក៏ដោយ នៅចុងបញ្ចប់ពេលវេលាដ៏រីករាយកំពុងរង់ចាំអ្នក - អារម្មណ៍រីករាយនៃភាពជោគជ័យ ការពង្រឹងជំនឿលើកម្លាំងរបស់អ្នក សូមឲ្យពាក្យទាំងនេះទទួលបានការបញ្ជាក់ពិតប្រាកដនៅក្នុងមេរៀនរបស់យើង។ II. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ។ ចូរចាប់ផ្តើមមេរៀនដូចធម្មតាដោយពិនិត្យមើល d/z - ធ្វើម្តងទៀតនូវនិយមន័យនៃអនុគមន៍មួយដុំ និងផែនការសម្រាប់សិក្សាមុខងារ 1)។ នៅលើតុគូរក្រាហ្វនៃមុខងារជាដុំៗដែលអ្នកបានបង្កើត (រូបភាព 1, 2, 3)2)។ កាត.№1។ រៀបចំលំដាប់នៃការសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ៖- ប៉ោង; គូ, សេស; ជួរ; ដែនកំណត់; monotone; ការបន្ត; តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ; ដែន។
ក) y = kx + b, k0; ខ) y = kx, k0;
ខ) y = , k0 ។
3).ការងារមាត់ . - 2 នាទី។
- តើមុខងារមួយណាដែលគេហៅថាជាផ្នែកមួយ?
- តើមុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1, 2, 3 មានមុខងារអ្វីខ្លះ? តើអ្នកស្គាល់ឈ្មោះមុខងារអ្វីទៀត? តើក្រាហ្វនៃមុខងារដែលត្រូវគ្នាហៅថាអ្វី? តើរូបដែលបង្ហាញក្នុងរូបទី 4 ជាក្រាហ្វនៃមុខងារណាមួយទេ? ហេតុអ្វី?
- ធ្វើម្តងទៀតនូវជំហាននៃការបង្កើតមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗ; អនុវត្តចំណេះដឹងទូទៅនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមិនស្តង់ដារ។
ប្រធានបទសំខាន់នៃថ្នាក់ទី 8 គឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលបង្កើតគំរូដំណើរការដែលបង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា ឧទាហរណ៍៖ រូបមន្តដែលអ្នកបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 9 សម្រាប់កំណត់ភាពធន់នៃចង្កៀងកំដៅ (R) នៅថាមពលថេរ (P) និងវ៉ុលផ្លាស់ប្តូរ (U) ។ FormulaR =
ក្រាហ្វគឺជាសាខានៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានទីតាំងនៅត្រីមាសទីមួយ។ ក្នុងរយៈពេល 3 ឆ្នាំ ចំណេះដឹងរបស់យើងអំពីមុខងារត្រូវបានពង្រឹង ចំនួននៃមុខងារដែលបានសិក្សាបានកើនឡើង ហើយសំណុំនៃកិច្ចការសម្រាប់ដោះស្រាយដែលយើងត្រូវងាកទៅរកក្រាហ្វក៏ត្រូវបានពង្រីកផងដែរ ដោយដាក់ឈ្មោះប្រភេទការងារទាំងនេះ... - ការដោះស្រាយសមីការ;- ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ;- ដោះស្រាយវិសមភាព;- ការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ។V. ការរៀបចំសិស្សសម្រាប់សកម្មភាពទូទៅ។ ចូរយើងចងចាំនូវប្រភេទនៃកិច្ចការមួយគឺ សិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ ឬអានក្រាហ្វ។ ទំព័រ 65 រូបភព 20a ពីលេខ 250 ។ លំហាត់ប្រាណ៖អានក្រាហ្វនៃមុខងារ។ នីតិវិធីសម្រាប់សិក្សាមុខងារគឺនៅចំពោះមុខយើង។ 1. ដែននៃនិយមន័យ – (-∞; +∞)2. គូ, សេស - មិនសូម្បីតែឬសេស3. monotony - កើនឡើង [-3; +∞) ថយចុះ[-5;-3], ថេរ (-∞; -5];4. ព្រំដែន - មានកំណត់ពីខាងក្រោម5. តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ – y max = 0, y max – មិនមានទេ;6. បន្ត - បន្តនៅទូទាំងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ;7. ជួរនៃតម្លៃគឺប៉ោងទាំងចុះក្រោម និងឡើង (-∞; -5] និង [-2; +∞) ។VI. ការបន្តពូជនៃចំណេះដឹងនៅកម្រិតថ្មីមួយ។ អ្នកដឹងថាការស្ថាបនា និងការសិក្សាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃការប្រឡងពិជគណិតនៅក្នុងផ្នែកមុខងារ ហើយត្រូវបានវាយតម្លៃដោយពិន្ទុ 4 និង 6 ។ ចូរបង្វែរទៅបណ្តុំនៃកិច្ចការ ទំព័រ 119 - លេខ 4.19-1 ដំណោះស្រាយ៖ 1).y = - x, - quadratic function, graph - parabola, branch down (a = -1, a 0)។ x −2 −1 0 1 2 y −4 −1 0 1 4 2) y = 3x – 10, - អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ, ក្រាហ្វ - ត្រង់ចូរយើងបង្កើតតារាងតម្លៃមួយចំនួនx ៣
3
y 0 -1 3) y = -3x -10, - អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ, ក្រាហ្វ - ត្រង់ចូរយើងបង្កើតតារាងតម្លៃមួយចំនួន x −3 −3 y 0 −1 4) ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ ហើយជ្រើសរើសផ្នែកនៃក្រាហ្វនៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកពីក្រាហ្វនៅអ្វីដែលតម្លៃនៃ x តម្លៃនៃអនុគមន៍គឺមិនអវិជ្ជមាន។ចម្លើយ៖ f(x) 0 នៅ x = 0 និងនៅ
៣ VII.ធ្វើការលើកិច្ចការមិនស្តង់ដារ។
លេខ ៤.២៩-១) ទំព័រ ១២១។ដំណោះស្រាយ៖ 1) បន្ទាត់ត្រង់ (ឆ្វេង) y = kx + b ឆ្លងកាត់ចំនុច (-4;0) និង (-2;2) ។ នេះមានន័យថា -4 k + b = 0, -2 k + b = 2; 
k = 1, b = 4, y = x+4 ។ ចម្លើយ៖ x +4 ប្រសិនបើ x −2 y = ប្រសិនបើ −2 x £3 3 ប្រសិនបើ x ៣VIII.ការគ្រប់គ្រងចំណេះដឹង។ ដូច្នេះសូមសង្ខេប។ តើយើងនិយាយឡើងវិញអ្វីខ្លះនៅក្នុងមេរៀន? សូមពិនិត្យមើលពីរបៀបដែលអ្នកបានស្ទាត់ជំនាញសម្ភារៈនេះ។ ការធ្វើតេស្តសម្រាប់ "4" - "5", "3" ខ្ញុំជម្រើសលេខ U
2 1 -1 -1 1 X
- D(f) = , ប៉ោងឡើងលើ និងចុះក្រោម , ប៉ោងឡើងលើ និងចុះក្រោម , ថយចុះនៅលើ ________ កំណត់ដោយ _____________________ នៅ naim មិនមានទេ នៅ naib =_____ បន្តទូទាំងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ E(f) = ____________ ប៉ោង ទាំងចុះក្រោម និងឡើងលើតំបន់និយមន័យទាំងមូល
ការចាត់តាំងមុខងារវិភាគ
អនុគមន៍ %%y = f(x), x \in X%% ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នៅក្នុងវិធីវិភាគច្បាស់លាស់ប្រសិនបើបានផ្តល់រូបមន្តដែលបង្ហាញពីលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដែលត្រូវតែអនុវត្តជាមួយអាគុយម៉ង់ %%x%% ដើម្បីទទួលបានតម្លៃ %%f(x)%% នៃអនុគមន៍នេះ។
ឧទាហរណ៍
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
- %% y = \frac(1)(x − 5), x \neq 5%%;
- %% y = \\ sqrt(x), x \geq 0%% ។
ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងរូបវិទ្យា ជាមួយនឹងចលនា rectilinear ដែលមានការបង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា ល្បឿននៃរាងកាយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត %%v = v_0 + a t%% និងរូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទី %%s%% នៃរាងកាយដែលមានការបង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា។ ចលនាក្នុងរយៈពេលពី %%0%% ទៅ %% t%% ត្រូវបានសរសេរជា: %%s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.
មុខងារដែលបានកំណត់ជាបំណែក
ពេលខ្លះមុខងារនៅក្នុងសំណួរអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តជាច្រើនដែលដំណើរការនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងគ្នានៃដែននិយមន័យរបស់វា ដែលអាគុយម៉ង់នៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ។ ឧទាហរណ៍៖ $$ y = \begin(cases) x^2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
មុខងារនៃប្រភេទនេះជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា សមាសធាតុឬ បញ្ជាក់ដោយផ្នែក. ឧទាហរណ៍នៃមុខងារបែបនេះគឺ %%y = |x|%%
ដែនមុខងារ
ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងវិធីវិភាគច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត ប៉ុន្តែដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ក្នុងទម្រង់នៃសំណុំ %%D%% មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេនោះដោយ %%D%% យើងនឹងតែងតែមានន័យថាសំណុំ នៃតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ %%x%% ដែលរូបមន្តនេះមានន័យ។ ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ %%y = x^2%% ដែននៃនិយមន័យគឺជាសំណុំ %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% ចាប់តាំងពីអាគុយម៉ង់ %%x%% អាចយកតម្លៃណាមួយនៅលើ បន្ទាត់លេខ. ហើយសម្រាប់មុខងារ %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% ដែននៃនិយមន័យនឹងជាសំណុំនៃតម្លៃ %%x%% ដែលបំពេញនូវវិសមភាព %%1 - x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1, 1)%% ។
គុណសម្បត្តិនៃការបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់នូវមុខងារមួយដោយវិភាគ
ចំណាំថាវិធីសាស្ត្រវិភាគច្បាស់លាស់នៃការបញ្ជាក់មុខងារគឺតូចចង្អៀតណាស់ (រូបមន្តជាក្បួនប្រើចន្លោះតិចតួច) ងាយស្រួលក្នុងការផលិតឡើងវិញ (រូបមន្តមិនពិបាកសរសេរ) ហើយស័ក្តិសមបំផុតសម្រាប់អនុវត្តប្រតិបត្តិការ និងបំប្លែងគណិតវិទ្យា។ នៅលើមុខងារ។
ប្រតិបត្តិការទាំងនេះមួយចំនួន - ពិជគណិត (បន្ថែម គុណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រនេះមិនតែងតែច្បាស់លាស់ទេ ព្រោះធម្មជាតិនៃការពឹងផ្អែករបស់មុខងារលើអាគុយម៉ង់មិនតែងតែច្បាស់លាស់ ហើយជួនកាលការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញគឺត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃមុខងារ (ប្រសិនបើពួកគេចាំបាច់)។
ការចាត់តាំងមុខងារមិនច្បាស់លាស់
មុខងារ %%y = f(x)%% បានកំណត់ នៅក្នុងវិធីវិភាគដោយប្រយោល។ប្រសិនបើបានផ្តល់ទំនាក់ទំនង $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ ភ្ជាប់តម្លៃនៃអនុគមន៍ %%y%% និងអាគុយម៉ង់ %%x %% ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ បន្ទាប់មកដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ %%y%% ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃជាក់លាក់នៃ %%x%%, អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ %%(1)%% សម្រាប់ %% y%% នៅតម្លៃជាក់លាក់នេះនៃ %%x%% ។
ដោយគិតពីតម្លៃ %%x%%, សមីការ %%(1)%% ប្រហែលជាគ្មានដំណោះស្រាយ ឬមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ។ ក្នុងករណីទីមួយ តម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ %%x%% មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោលទេ ហើយក្នុងករណីទីពីរវាបញ្ជាក់ មុខងារពហុគុណតម្លៃដែលមានអត្ថន័យច្រើនជាងមួយសម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចំណាំថាប្រសិនបើសមីការ %%(1)%% អាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងច្បាស់លាស់ទាក់ទងនឹង %%y = f(x)%% នោះយើងទទួលបានមុខងារដូចគ្នា ប៉ុន្តែបានបញ្ជាក់រួចហើយនៅក្នុងវិធីវិភាគច្បាស់លាស់។ ដូច្នេះ សមីការ %%x + y^5 - 1 = 0%%
និងសមភាព %%y = \sqrt(1 - x)%% កំណត់មុខងារដូចគ្នា។
ការបញ្ជាក់មុខងារប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
នៅពេលដែលការពឹងផ្អែកនៃ %%y%% លើ %%x%% មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្ទាល់ទេ ប៉ុន្តែជំនួសមកវិញការពឹងផ្អែកនៃអថេរទាំងពីរ %%x%% និង %%y%% នៅលើអថេរជំនួយទីបីមួយចំនួន %%t%% ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក្នុងទម្រង់
$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~ (2) $$ អ្វីដែលពួកគេនិយាយអំពី ប៉ារ៉ាម៉ែត្រវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់មុខងារ;
បន្ទាប់មកអថេរជំនួយ %%t%% ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ប្រសិនបើអាចលុបប៉ារ៉ាម៉ែត្រ %%t%% ចេញពីសមីការ %%(2)%% នោះយើងមកដល់មុខងារដែលកំណត់ដោយការវិភាគច្បាស់លាស់ ឬដោយប្រយោលនៃ %%y%% លើ %%x%% . ឧទាហរណ៍ ពីទំនាក់ទំនង $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ លើកលែងតែ សម្រាប់ % ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ %t%% យើងទទួលបានភាពអាស្រ័យ %%y = 2 x + 2%% ដែលកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងប្លង់ %%xOy%% ។
វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក
ឧទាហរណ៍នៃនិយមន័យមុខងារក្រាហ្វិក
ឧទាហរណ៍ខាងលើបង្ហាញថាវិធីសាស្ត្រវិភាគនៃការបញ្ជាក់មុខងារត្រូវគ្នានឹងរបស់វា។ រូបភាពក្រាហ្វិកដែលអាចចាត់ទុកថាជាទម្រង់ងាយស្រួល និងមើលឃើញនៃការពិពណ៌នាមុខងារមួយ។ ពេលខ្លះបានប្រើ វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកការបញ្ជាក់មុខងារនៅពេលដែលការពឹងផ្អែកនៃ %%y%% លើ %%x%% ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ %%xOy%%. ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទោះបីជាមានភាពច្បាស់លាស់ទាំងអស់ក៏ដោយ ក៏វាបាត់បង់ភាពត្រឹមត្រូវដែរ ដោយសារតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ និងតម្លៃមុខងារដែលត្រូវគ្នាអាចទទួលបានពីក្រាហ្វត្រឹមតែប្រមាណប៉ុណ្ណោះ។ កំហុសជាលទ្ធផលគឺអាស្រ័យលើមាត្រដ្ឋាន និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងនៃ abscissa និងការចាត់តាំងនៃចំណុចនីមួយៗនៅលើក្រាហ្វ។ នៅពេលអនាគត យើងនឹងចាត់តាំងក្រាហ្វមុខងារត្រឹមតែតួនាទីបង្ហាញឥរិយាបថនៃមុខងារប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះហើយយើងនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងក្នុងការសាងសង់ "គំនូរព្រាង" នៃក្រាហ្វដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃមុខងារ។
វិធីសាស្រ្តតារាង
ចំណាំ វិធីសាស្រ្តតារាង function assignments នៅពេលដែលតម្លៃអាគុយម៉ង់មួយចំនួន និងតម្លៃអនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានដាក់ក្នុងតារាងក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ នេះជារបៀបដែលតារាងល្បីនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ តារាងលោការីត ។ល។ ទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណដែលបានវាស់វែងក្នុងការសិក្សាពិសោធន៍ ការសង្កេត និងការធ្វើតេស្តជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាតារាង។
គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ដោយផ្ទាល់នូវតម្លៃមុខងារសម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមិនត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងតារាង។ ប្រសិនបើមានទំនុកចិត្តថាតម្លៃអាគុយម៉ង់មិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាងជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍នៅក្នុងសំណួរនោះ តម្លៃអនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានគណនាប្រមាណដោយប្រើ interpolation និង extrapolation ។
ឧទាហរណ៍
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
ក្បួនដោះស្រាយ និងពាក្យសំដីនៃការបញ្ជាក់មុខងារ
មុខងារអាចត្រូវបានកំណត់ ក្បួនដោះស្រាយ(ឬ កម្មវិធី) នៅក្នុងវិធីមួយដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការគណនាកុំព្យូទ័រ។
ទីបំផុតវាអាចត្រូវបានកត់សម្គាល់ ពិពណ៌នា(ឬ ពាក្យសំដី) វិធីដើម្បីបញ្ជាក់អនុគមន៍ នៅពេលដែលច្បាប់សម្រាប់ការផ្គូផ្គងតម្លៃមុខងារទៅនឹងតម្លៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបង្ហាញជាពាក្យ។
ឧទាហរណ៍ មុខងារ %%[x] = m~\forall (x \in)