Sarnased dokumendid

Kinemaatika materiaalne punkt ja jäiga keha translatsiooniline liikumine. Newtoni põhiseaduste uurimine. Aine pöörleva liikumise eripära ümber fikseeritud telje. Definitsiooni analüüs mehaaniline töö tugevus. Looduskaitseseaduste olemus on mehaanikas.

koolitusjuhend, lisatud 06.12.2015


Arvestage mehaanika põhiseadusi: universaalne gravitatsioon, impulsi ja energia jäävus, Galileo relatiivsuspõhimõte. Kinemaatikaülesannete lahendamine aastal erinevad süsteemid tagasiarvestus. Raskusjõu ja elastsusjõu töö. Võnkulise liikumise võrrand.

koolitusjuhend, lisatud 05.11.2012


Materiaalse punkti translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kinemaatika. Inertsiaalsed süsteemid tagasiarvestus. Tahkete ainete ja vedelike mehaanika elemendid, selles valdkonnas eksisteerivad seadused ja teoreemid. Mehaanilised vibratsioonid ja lained, levimise põhimõtted.

esitlus, lisatud 17.11.2013


Kinemaatika alused. Materiaalse punkti dünaamika. Interaktsioonide klassifikatsioon. Puhke, libisemise ja veeremise hõõrdumine. Materiaalsete punktide (osakeste) süsteemi dünaamika. Jäiga keha pöörleva liikumise dünaamika. Harmoonilised vibratsioonid. Resonantsi fenomen.

koolitusjuhend, lisatud 28.09.2017


Materiaalse punkti kinemaatika karakteristikud. Klassikalise dünaamika põhiseadused. Absoluutselt jäiga keha mehaanika. Translatsiooni- ja pöörlemisliigutuste dünaamika uurimine. Gravitatsioonilise interaktsiooni põhijoonte uurimine.

kasutusjuhend, lisatud 21.04.2015


Kineetiline energia ja pöörleva liikumise töö. Jäiga keha inertsimoment. Harmoonilised vibratsioonid füüsiline pendel. Translatsioonilise liikumise dünaamika. Molekulaarne jaotus ideaalne gaas kiiruse järgi. Aine molaarne soojusmahtuvus.

loengute kursus, lisatud 15.01.2016


Füüsika aine ja selle seos teiste teadustega. Ühikud füüsikalised kogused ja natuke teavet vektorite kohta. Võrdlussüsteem. Trajektoor, tee pikkus, nihkevektor. Pöörleva liikumise kinemaatika. Newtoni seadused. Galilei relatiivsusprintsiip.

loengute kursus, lisatud 08.11.2011


Jäiga keha raskuskeskme liikumine. Töö välised jõud kui see pöörleb. Keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes. Nurkmomendi jäävuse seaduse ülevaade. Jäiga keha pöörleva liikumise dünaamika võrrand fikseeritud telje suhtes.

abstraktne, lisatud 22.10.2013


Mehaanika ja elemendid eriline teooria suhtelisus. Materiaalse punkti translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kinemaatika. Töö ja mehaaniline energia. Erirelatiivsusteooria elemendid. Molekulaarfüüsika ja termodünaamika alused.

loengute kursus, lisatud 04.09.2016


Ruumi isotroopia. Nurkmomendi ja liikumise jäävuse seadus keskväljas. Rutherfordi hajumine, Kepleri probleemi lahendus. Pöörleva jäiga keha inertstensor ja energia. Jäiga keha nurkimpulss ja selle liikumise võrrand.

VENEMAA FÜÜSIKAÜLIKOOLIDE FÜÜSIKAOSAKONDADE FÖDERAALNE HARIDUSAGENTUUR
V.M. Anisimov, ON. Tretjakov Praktiline kursus füüsikud MEHAANIKA Toimetanud prof.
G.G. Spirina Kinnitatud Haridus- ja Teadusministeeriumi poolt Venemaa Föderatsioon aastal õppivatele kõrgkoolide üliõpilastele õppevahendina tehnilised valdkonnad ja erialad Moskva 2008 1

UDC 53 (075)
BBK 16.4.1 A nime saanud Venemaa Riikliku Nafta- ja Gaasiülikooli füüsikaosakond retsensendid. ei kumbagi.
Gubkina, osakonnajuhataja, tehnikadoktor. teadused, professor B.V. Nagaev, Ph.D. Füüsika ja matemaatika Teadused, dotsent A.V. Tsybulnikov, Ph.D. Füüsika ja matemaatika Teadused, dotsent V. K. Zarodov
Anisimov V.M., Tretjakova ON. Praktiline füüsika kursus. Mehaanika / all. g.g.
Spirina e ed., rev. - M VVIA im. MITTE. Žukovski,
2008. - 168 jõud. toim prof
A67
ISBN 978-5-903111-31-2 Õpik on koostatud tehnikainstituutide füüsikakursuse programmi järgi. Käsiraamat kirjeldab lühidalt teooriat, pakub probleeme, lahendusi ja ülesandeid sõltumatu otsus vastustega kõigile üldfüüsika kursusel õpitud mehaanika osadele. Tehnikaülikoolide üliõpilastele.
UDC 53 (075)
BBK 16.4.1
\
© V.M. Anisimov,
ISBN 978-5-903111-31-2 OH. Tretjakova, 2008 Õpik
Anisimov Vladimir Mihhailovitš
Tretjakova Olga Nikolaevna Füüsika praktiline kursus Mehaanika Toimetaja O.V. Bessonova Allkirjastatud avaldamiseks 07/03/2008 Formaat 60 84/ 10 625 Pl USL.P.l. Tiraaž 200 eksemplari. Telli N 959
Või trükitakse trükipressis
VVIA sai nime professor NE järgi. Žukovski
125190, Moskva, st. Planetnaja, D.
3 tel.lfaks: 251-23-88, 614-29-90 2

Eessõna Lugejale pakutav õpik on mõeldud õpilastele tehnikaülikoolid. See on singli esimene osa haridus- ja metoodiline kava Füüsika praktiline kursus, toimetanud professor G.G. Spirin, mis on loodud Venemaa Tehnikaülikoolide Füüsika Osakondade Ühenduse töö raames. Käsiraamatu iga osa algab teooria lühikokkuvõttega. Sektsiooni teoreetilise osa eesmärk ei ole loengukursuse dubleerimine ega isegi füüsikakursuse põhimõistete esitamine, vaid ainult ülesannete lahendamiseks vajalike põhimõistete, definitsioonide, seaduste ja valemite meeldetuletamine. Allpool on mõned tüüpilised ülesanded nende üksikasjaliku lahendusega. See annab õpilastele võimaluse tutvuda põhiliste probleemide lahendamise meetoditega. Seejärel pakub iga jaotis iselahendusprobleeme, mida saab kasutada praktilised tunnid, arvutustööde (PP) sooritamine, kontrolltööde ja eksamite läbiviimine ning ülesannetele vastuste andmine. Käsiraamatu lõpus on pakutud PP-valikud kõigile õpilastele, samuti juhised dirigeerimise kohta lisaklassid ebapiisavalt kõrge esialgse ettevalmistustasemega õpilastele. See hõlmab kahetasandilise õpetamismeetodiga käsiraamatu kasutamist. Seetõttu õpetatakse käsiraamatut Moskva füüsikaosakonnas lennundusinstituut(osariik tehnikaülikool) kõikide erialade üliõpilastega tehniline profiil. Autorid avaldavad sügavat tänu retsensentidele dr. Professor V.B. Nagaev, Ph.D. Dotsent A.V. Tsybulnikov ja Ph.D. Dotsent V.K. Zarodovile juhendi hoolika lugemise eest.
Autorid võtavad tänuga vastu lugejate kommentaare ja ettepanekuid, mille eesmärk on parandada raamatu sisu aadressil
125871, Moskva, Volokolamskoje shosse, Moskva Lennuinstituut, füüsika osakond, e-posti aadress [e-postiga kaitstud] või telefoni teel
8-499- 158-86-98.
3

Sissejuhatus. Mehaanika põhimõisted ja definitsioonid Üldfüüsika kursuse igas osas kirjeldamiseks füüsiline objekt või nähtused tutvustavad mõnda abstraktsed mõisted, mis võimaldab teil liikuda tõeline protsess või nähtused talle füüsiline mudel. Mehaanikas on sellisteks mõisteteks materiaalne punkt ja absoluutselt jäik keha. Materiaalne punkt on keha, mille mõõtmed võib selle probleemi tingimustes tähelepanuta jätta. Keha suurus on võrreldes läbitavate vahemaadega väike. Absoluutselt jäik keha on keha, mille kahe punkti vaheline kaugus liikumise ajal ei muutu. Keha liikumist saab kirjeldada valitud võrdlusraami suhtes. Võrdlussüsteem on võrdluskeha, sellega seotud koordinaatsüsteem ja aja mõõtmise meetod.
Trajektoor – see on joon, mida punkt (keha) kirjeldab liikumise ajal.
tasuta keeruline liikumine jäika keha saab uurida, võttes arvesse kahte peamist liikumistüüpi - translatsiooni ja pöörlemist ümber fikseeritud telje. Translatsiooniline liikumine on liikumine, mille käigus iga keha kahte punkti ühendav sirgjoon jääb liikumise ajal iseendaga paralleelseks. See tähendab, et kõik keha punktid liiguvad ühtemoodi. Seetõttu piisab jäiga keha translatsioonilise liikumise kirjeldamiseks arvestada punkti kinemaatika ja dünaamikaga. Jäiga keha pöörlemine ümber fikseeritud telje on liikumine, mille käigus kõik keha punktid liiguvad ringidena, mille keskpunktid asuvad pöörlemisteljel. Mehaaniline süsteem on materiaalsete punktide kogum ja tahked ained. Kuna tahket keha võib käsitleda punktide kogumina, millest see koosneb, nimetatakse mehaanilist süsteemi ka materiaalsete punktide süsteemiks. Vabadusastmete arv mehaaniline süsteem i on sõltumatute muutujate arv, mis tuleb sisestada, et määrata selle asukoht ruumis. Materiaalse punkti jaoks i= 3, tahke keha jaoks üldine juhtum i = 6.
4

Kinemaatika
1.1. Põhimõisted ja seadused Kinemaatikas kirjeldatakse punkti (keha) liikumist, arvestamata selle liikumise põhjustanud põhjuseid. Punkti liikumise kirjeldamiseks on kolm võimalust – vektor, koordinaat ja loomulik. Viimast kasutatakse siis, kui punkti trajektoor on teada. Esimese liikumise kirjeldamiseks teisel viisil kasutatakse sageli ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatsüsteemi (joon. 1.1).
1
z
2
z
1
y
1
2
x
2
x Joon Punkti asukoht valitud tugisüsteemis määratakse sissetõmmatud raadiusvektoriga see punkt loenduse algusest
k
z
j
y
i
x
r
r r
r r
+
+
=
k
j
i
r r
r
,
,
, Kus
- ühikvektorid (telgede suundi määravad ortid
z
y
x Liikumisseadus on võrrand või võrrandisüsteem, mis võimaldab teil igal ajal määrata punkti asukoha.
t
r
r
r r B vektorvorm sellel on vorm: Koordinaatide meetodis on liikumisseadus sellise kujuga skalaarvõrrandi süsteem
()
(Mööda etteantud kõverat trajektooril liikudes valitakse alguspunkt, liikumise suund, mis võetakse positiivseks ja punkti asukoht kõveral määratakse kaare koordinaadiga s, mis võib olla kas positiivne või negatiivne. Loodusliku meetodi korral on punkti liikumise seadus piki etteantud trajektoori kuju
(Seal on kolm peamist kinemaatilised omadused liigutused – liikumine, kiirus ja kiirendus. Lase mõneks ajaks
1 2
t
t
t
−
=
Δ
punkt on liikunud positsioonist 1 positsiooni 2 (vt joonis 1.1). Tähistame
1 1
t
r
r
r r =
,
2 2
t
r
r
r r =
5

Nihe on vektor, mis ühendab punkti algus- ja lõppasendi) ()
k
z
j
y
i
x
t
r
t
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
Δ
+
Δ
+
Δ
=
−
=
−
=
Δ
1 2
1 2
, Kus
1 2
1 2
1 vektor keskmine kiirus- see on punkti liikumisvektori ja ajaperioodi suhe, mille jooksul see saavutati
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
r r
Δ
v r
. Suund langeb kokku kiirusega (hetkkiirus on vektori suurus, võrdne nihke ajatuletisega, kus
- kiirusvektori projektsioonid koordinaattelgedele. Vektor on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt.
2 2
2
z
y
x
v
v
v
v
v
+
+
=
= Kiirusvektori moodul Kuna elementaarnihke moodul on võrdne trajektoori vastava kaarepikkusega
,
dt
ds
v
v
=
=
r
ds
s
Δ
Tee on skalaarne suurus
, võrdne kaugusega läbitud punktiga mööda trajektoori, 0
≥
Δ
s
,
∫
=
Δ
2 Keskmine maakiirus ebaühtlasega (
konst
v
≠
) liiklust selles piirkonnas
s
Δ on skalaarsuurus, mis on võrdne numbriline väärtus sellise kiirus ühtlane liikumine, milles sama palju aega kulub raja läbimisele
t
Δ , nagu antud juhul ebaühtlane liikumine
t
s
v
kolmap
Δ
Δ
=
v
v
kolmap
r
≠
2 Üldiselt
, sest Keskmine kiirendusvektor on kiirusvektori juurdekasvu suhe
1 2
t
v
t
v
v
r r
r
−
=
Δ
ajavahemikule, mille jooksul see muutus toimus
t
v
a
Δ
Δ
=
r r
a r
v r
Δ
langeb kokku suunaga Suund Kiirendus (hetkiirendus - vektori suurus
, võrdne kiiruse tuletisega ajaga, kus Kiirendusvektori moodul
τ
r
n r
τ
a r
y
a r
2 riis

2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
a
+
+
=
= Tasapinna pikiliikumise erijuhul kõverjooneline trajektoor lennukis
HOU
saate kasutusele võtta ristkülikukujulise Descartes'i saatekoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt ühtib liikuva punktiga ja teljed on määratud ühikvektorid normaalne ja puutuja
n r
τ
r
(joonis 1.2). Siis saab kiirenduse esitada kui
τ
τ
τ
τ
r r
r r
r r
r r
dt
v
d
n
R
v
a
n
a
a
a
a
n
n
+
=
+
=
+
=
2
, Kus
R
– trajektoori kõverusraadius antud punktis. Tavaline kiirendus
n
a r iseloomustab kiiruse suuna muutust ja tangentsiaalset puutujat)
τ
a r iseloomustab kiiruse muutust. Kiirendusmoodul sisse sel juhul võrdub
2 2
2 Kui jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje, on liikumise peamised kinemaatilised omadused nurknihe, nurkkiirus ja nurkkiirendus, mida tutvustatakse sarnaselt translatsioonilise liikumise vastavate omadustega. Jäiga keha asend ümber fikseeritud telje pöörlemisel määratakse pöördenurga või nurknihke järgi. Lõpmatult väike pöördenurk
ϕ
r
d
ϕ
d
vastab vektorile Pöörlemissuund ja vektori suund on seotud parempoolse kruvi reegliga (joon. Nurkkiirus (hetknurkkiirus on pöördenurga tuletis ajas Suund langeb kokku suunaga Nurkkiirendus on tuletis nurkkiirus aja suund kattub suunaga
. Kui pöörlemine toimub vastupäeva nurkkiiruse suurenemisega (
εr
ωr
d
v r
0 Joonis r
) nurkkiirenduse vektor on suunatud üles ja alla (vt joonis. Seos nurk- ja lineaarsed kogused,
7

iseloomustab jäiga keha pöörlemist ümber fikseeritud telje või materjali punkti liikumist mööda raadiusega ringi
R
(vt joon. Ringkaare pikkus

,
,
R
v
r
v
ω
=
ω
=
r Kiirus

,
,
R
a
r
a
ε
=
ε
=
τ
τ
r Tangentsiaalne kiirendus Tavaline kiirendus
,
2 2
R
a
n
R
a
n
n
ω
=
ω
−
=
r Ühtlane pöörlemine Ühtlane liikumine piki OX-i
0 0
=
=
+
=
a
konst
v
vt
x
x
0 Ühtlaselt kiirendatud liikumineÜhtlaselt kiirendatud pöörlemine
konst
a
juures
v
v
juures
t
v
x
x
=
+
=
+
+
=
0 2
0 0
2
konst
t
t
t
=
ε
ε
+
ω
=
ω
ε
+
ω
+
ϕ
=
ϕ
0 2
0 0
2 8

1.2. Näited probleemide lahendamisest
Ülesanne
1.1. Paat kiirusega
, langetab teatud ajahetkel purje ja jätkab liikumist nii, et paadi kiirus on pöördvõrdeline ajaga
t.
Näidake, et paadi kiirendus
A
selles osas on liikumiskiirus võrdeline selle kiiruse ruuduga.
0
v
0
t
t
t
v
v
0 Lahendus. Vastavalt ülesande tingimustele
(antud juhul alguspunkt t ja üks ja seesama. Siis hetkeväärtus kiirendus
0
t
0 0
2
t
v
v
a
−
=
v
t
v
t
0 0
=
2 0
0 0
0
t
t
v
t
t
v
dt
d
dt
dv
a
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
. Sest
, See
(at
). Probleem 1.2. Materjali punkti piki sirgjoont (x-telg) liikumise kinemaatiline võrrand omab kuju
3
Ct
Bt
A
x
+
+
=
, Kus
3
c mm m Ajahetkel c
2 määrake 1) punkti koordinaat, 2) hetkekiirus,
1
x
1
v
3) hetkkiirendus. Lahendus. Leiame punkti koordinaadi, mille kinemaatiline liikumisvõrrand on teada, asendades selle asemel liikumisvõrrandis seatud väärtus aeg: m 3
1 1
1
=
+
+
=
Ct
Bt
A
x
2. Leiame hetkekiiruse suvalisel ajahetkel diferentseerides ajakoordinaadi Siis on antud ajahetkel hetkkiirus cm 3
2 Miinusmärk näitab, et ajal c
2 punkti liigub negatiivses suunas koordinaatide telg.
3. Kohene kiirendus suvalisel ajahetkel leiame, võttes koordinaadi teise tuletise
x
aeg Hetkeline kiirendus antud ajahetkel on võrdne
2 cm Miinusmärk näitab, et vektor on suunatud x-koordinaatide telje vastassuunas ja selle ülesande tingimustes toimub see igal ajahetkel. Probleem 1.3. Kaks osakest (1 ja
2) liikuda kiirusega iiris) mööda kahte üksteisega risti asetsevat sirget nende lõikepunktini O. Hetkel asusid nad punktist kaugustel
KOHTA
Kui pika aja möödudes muutub osakeste vaheline kaugus minimaalseks? Esialgne kaugus osakeste vahel on
2 2
2 1
0
l
l
l
+
=
. Mõne aja pärast läbivad osakesed vahemaa ja
, ja osakeste vaheline kaugus muutub võrdseks
t
v
1
t
v
2
()
(
)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 Minimaalne kaugus osakeste vahel on siis, kui radikaali avaldis on minimaalne. Tähistame
) (
2 2
2 2
1 Uurime ekstreemumi funktsiooni
)
,
0 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 2
1
=
+
−
+
−
=
+
−
+
+
−
=
t
v
v
l
t
v
v
l
t
v
t
v
l
l
t
v
t
v
l
l
dt
d
dt
dz
)
,
2 2
2 1
2 2
1 1
min
2 2
2 1
2 2
1 Siis on osakeste vaheline minimaalne kaugus
)
)
)
)
=
+
−
−
+
+
+
−
−
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 1
min
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
l
)
)
)
)
)
)
=
+
+
−
=
+
−
+
−
=
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2
v
v
v
v
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
v
l
v
l
v
2
l
1
v r
0
l
1
l
(Riis

(
2 2
2 1
1 2
2 Ülesanne 1.4. Osake liigub ruumis nii, et selle raadiuse vektor muutub vastavalt seadusele
)
[ m 2
k
t
j
i
t
r
r r
r Leia osakeste keskmise kiiruse vektor, mis vastab ajaintervallile (
t
,
2t
). Lahendus. Definitsiooni järgi keskmise liikumiskiiruse vektor
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
t
t
t
t
=
−
=
Δ
2
,
, Kus
(
(
[ ms m r
r Seejärel Ülesanne 1.5. Kaks materiaalset punkti hakkasid korraga liikuma vastavalt seadustele
)
[ mm, Määrake punktide kiirenduste vaheline nurk hetkel pärast liikumise algust. Lahendus. A-prioor leiame kiiruse materiaalsete punktide kiiruste muutumise seadused
)
[ cm cm Saadud sõltuvusi eristades saame definitsiooni järgi ka materiaalsete punktide kiirendused igal ajal
)

2 1
c mm Tähistame
- nurgad, mis moodustavad OX-teljega kiirendusvektorid. See on ilmne
2 1
,
ϕ
ϕ
2 1
, a
a r r
2 2
6 12
tg
,
3 3
2 2
6
tg
1 2
2 2
2 1
1 Kiirenduste vaheline nurk
2
arctg
3
arctg
1 1
2 Ülesanne 1.6. Osakese raadiuse vektor ajas muutub t seaduses
)
[ härra
b
r
, Kus
- konstantne vektor,
α
-
11

v r
a r on positiivne konstant. Leidke a) kiirus ja kiirendus aja funktsioonina b) ajavahemik
t
Δ
, mille järel osake naaseb alguspunkt ja ka tee
s
, mille ta läbib samal ajal.
)
[vt Lahendus. Kiirusvektori kiirenduse vektor
[vaata neid. liikumine on ühtlaselt aeglane. Osakese naasmine alguspunkti ajahetkel tähendab
(

c
1
;
0 Läbitud vahemaa leidmiseks määrame osakese peatumise aja
)

c
2 1
;
0 2
1
;
0
α
α
=
=
−
=
ost
ost
t
t
v
Osakese nihkumine peatumise hetkel on
)
α
α
α
α
α
4 2
1 1
2 1
1
b
b
t
bt
r
ost
ost
ost
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
Δr
ja kogu läbitud vahemaa on
() ()
[ m 2
0
α
b
r
t
r
t
r
r
t
r
s
ost
ost
ost
=
Δ
=
−
Δ
+
−
=
r r
r Ülesanne 1.7. Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele
. Määrake materjali punkti kiirusvektor, kiirendusvektor ja trajektoor.
()
j
t
i
t
r
r Lahendus. Raadiusvektori komponentide leidmine
() ()
()
[
]
2
10
cos
1 Määrake kiirusvektori komponendid
() ()
t
t
v
t
t
v
y
x
10
patt
5
,
5
cos
5
β
−
=
α
=
ja kiirendusvektor
() ()
(Trajektoori võrrandi saamiseks välistame aja t võrrandisüsteemist ja
t
x
t
y
. Materiaalne punkt liigub mööda parabooli
4 3
3 Ülesanne 1.8. Osake liigub tasapinnal
HOU
kiirusega
, Kus
- XY-telgede ühikvektorid
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
j
i
r r
,
β
α
, - konstantne. IN algushetk osake oli punktis
0
=
= y
x
. Otsi
1) osakeste trajektoori võrrand хх 2) trajektoori kõverusraadius sõltuvalt
X
Lahendus. 1. Leidke osakeste liikumise võrrand sisse Descartes'i koordinaadid ja jäta neist aeg välja
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
. Tingimuste järgi
t
, kus
12

,
2 2
2 2
2
x
v
v
v
x
v
v
y
x
y
x
β
+
α
=
+
=
⎭
⎬
⎫
β
=
α
=
dt
r
d
v
r r Definitsiooni järgi
või Descartes'i koordinaatides
;
dt
dy
v
dt
dx
v
y
x
=
=
∫
∫
+
α
=
α
=
=
1
C
t
dt
dt
v
x
x
Sest
, Leiame integreerimiskonstandi algtingimuste abil
Seega
1
C
0 0
0 0
0 1
1
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
x
t
t
x
α
=
∫
∫
∫
+
αβ
=
αβ
=
β
=
=
2 2
2 Alates
, siis leiame integreerimiskonstandi sarnaselt eelmisele
0 0
0 0
0 2
2
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
y
t
2 2
1
t
y
αβ
=
Järelikult leiame trajektoori võrrandi yx)
2 2
2 2
2
x
x
y
x
t
α
β
=
α
αβ
=
α
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
αβ
=
α
=
2 Osakese trajektoor on parabool. Trajektoori graafik on näidatud joonisel fig. 1.5.
2. Trajektoori kõverusraadiuse määramiseks joonisel fig. tuleb kasutada tavakiirenduse avaldist
R
v
2
=
, kus
a
n
n
a
v
R
2
=
Normaalkiirenduse saab leida järgmistest seostest
n
a
dt
dv
a
dt
dv
a
a
a
a
dt
dv
a
a
a
a
y
y
x
x
y
x
n
=
=
+
=
=
+
=
,
,
,
,
2 2
2 2
τ
τ
βα
=
=
=
=
α
=
dt
dx
dx
dv
a
a
konst
v
y
y
x
x
,
0
,
, siis Alates aastast
, See tangentsiaalne kiirendus
2 2
2 2
x
x
dt
dx
dx
dv
a
β
+
α
β
α
=
=
τ
, ebanormaalne kiirendus
13

2 2
2 2
2 2
x
a
a
a
n
β
+
α
β
α
=
−
=
τ
2 3
2 2
2 Kumerusraadius
. Pange tähele, et normaalse kiirenduse määramiseks võite kasutada valemit
, Kus
ϕ
- vektorite vaheline nurk
a r
n
a r
ϕ
= ja.
v
v
x
=
ϕ
cos
2 2
2
cos
x
β
+
α
α
=
ϕ
, need. Nagu on näha jooniselt 2
2 Kasutades
, saame
, mis langeb kokku eelnevalt saadud valemiga. Probleem 1.9. Punkt liigub aeglustades sirgjoont kiirendusega, mille suurus sõltub selle kiirusest
v
seaduses
v
a
α
=
, Kus
α
- positiivne konstant. Algmomendil on punkti kiirus võrdne
. Mis teed
s
0
v
Kui kaua kulub peatusesse jõudmiseks?
τ
see tee läbitakse
(Lahendus. Ülesande lahendamiseks on vaja teada sõltuvusi ja Leiame sõltuvuse avaldiste abil
t
s
(Miinusmärk vastab asjaolule, et punkti kiirus aja jooksul väheneb (
0
,
0
> dv
dt
). Võrdsustades paremad küljed, saame diferentsiaalvõrrand
dt
dv
v
−
=
α
dt
v
dv
α
−
=
, eraldades muutujad, on meil Integreerime, võttes arvesse esialgsed tingimused (
0
,
0
v
v
t
=
=
)
0 0
0 0
2 1
,
2
,
0 Kvadrutades saame lõpuks
0 0
2 2
4 1
v
t
v
t
t
v
+
−
=
α
α
(Tee sõltuvuse ajast leiame kiirusmooduli valemi abil
dt
ds
v
=
, millest see järeldub
t
v
t
v
t
t
s
dt
v
t
v
t
vdt
s
t
t
0 2
0 3
2 0
0 0
2 2
0 2
12
,
4 Lähtudes sellest, et millal
0
=
= v
t
τ
, meil on
14

0 4
1 0
0 2
2
=
+
α
−
α
v
t
v
t
, Joonis, kust läbitud vahemaa on võrdne
α
=
3 2
0 Joonisel on kujutatud sõltuvuse graafik
t
v
, mis on parabool. Vajalik tee numbriliselt võrdne pindalaga varjutatud kujund. Ülesanne 1.10. Kui auto liigub, liigub selle raadiusega ratas piki raadiusega ringi Joonis 2
ωr
1
ωr
O
O′
ωr
v r
r
A
B
R
α
R horisontaaltasandil. Sel juhul on ratta keskpunkt punkt
A
liigub kaasa püsikiirus
v
. Määrake ratta nurkkiirus ja nurkkiirendus, samuti nurk, mille nurkkiiruse vektor moodustab vertikaaliga. Lahendus. Kujutagem ette ratta liikumist (joon.) summana pöörlevad liigutused nurkkiirusega ümber horisontaaltelje
AB
ja nurkkiirusega
2
ωr
1
ωr koos teljega
AB ümber vertikaalne telg
O
O Saadud nurkkiiruse vektor
2 1
ω
+
ω
=
ω
r r
r
2 2
2 1
ω
+
ω
=
ω
, ja selle moodul Võtke arvesse liikumist autoga seotud võrdlusraamis. Seejärel hakkab ratas pöörlema ​​ümber fikseeritud telje
AB
, ja rattaga kokkupuutuvatel teepunktidel on kiirus
. Kuna ratas ei libise, on selle välimised punktid kiirusega
v
v
−
=
′
v′ mooduli poolest võrdne
v
. Siis väljend for
ω
võtab vormi
2 2
2 Nurk vektori vahel
ω ja vertikaalne r
r
R
arctg arctg
1 2
=
ω
ω
=
α
εr on nurkkiiruse muutumise kiirus Nurkkiirendus
ω
r
, samas kui vektori moodul ei muutu.
15

Vektori lõpp
ωr kirjeldab raadiusega ringi horisontaaltasandil aja jooksul, mis on võrdne ratta pöörlemisperioodiga ümber oma telje
. Sellepärast
1
T
2
ω
rR
v
T
2 2
1 1
2 2
=
ω
ω
=
πω
=
ε
O
O Ülesanne 1.11. Jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje nii, et selle nurkkiirus
ω
oleneb pöördenurgast vastavalt seadusele
, kus ja on positiivsed konstandid. Ajahetkel
0
ϕ
b
ϕ
−
ω
=
ω
b
0 0
ω
0
=
ϕ
=
t
pöördenurk
. Leia ajasõltuvus: 1) pöörlemisnurgale 2) nurkkiirusele. Lahendus. Pöörleva jäiga keha pöördenurk ajas t
()
∫
ω
=
ϕ
t
dt
t
t
0
(Kus
- nurkkiiruse sõltuvus ajast. Leidma
t
ω
ϕ
ω
Kasutame sõltuvust ja eristame seda ajaga, millest saame vormi diferentsiaalvõrrandi. Lahendame selle muutujate eraldamisega Võrrandi mõlemad pooled integreerides leiame selle lahenduse kujul Tähistame
bt
C
bt
C
C
C
−
=
ω
−
=
−
ω
=
ln
;
ln ln
,
ln
1
. Kust tuleb integratsioonikonstant?
C
Leiame algseisundi. Mis ajast
t
= 0
bt
e
t
−
ω
=
ω
0 0
=
ϕ
, kuhu siis
0
ω
=
ω
ϕ
=
ω
d
dt
dt
d
ϕ
=
ω
, siis Kuna definitsiooni järgi
, integreerides selle avaldise saame
()
∫
∫
−
ω
=
ω
=
ϕ
t
bt
t
dt
e
dt
t
t
0 Lõpuks on pöördenurga sõltuvus ajast kuju
(
bt
e
b
t
−
−
ω
=
ϕ
1 0
16

OSAKONDIDE FÖDERAALNE HARIDUSAGENTUUR

VENEMAA TEHNIKAÜLIKOOLIDE FÜÜÜKUD

V.M Anisimov, O.N. Tretjakov

Füüsika praktiline kursus MEHAANIKA

Toimetanud prof. G.G. Spirina

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeeriumi poolt heaks kiidetud õppevahendina

kõrgkoolide tehnikaaladel ja erialadel õppivatele üliõpilastele

Moskva 2008

UDC 53 (075) BBK 16.4.1 A67

Arvustajad:

nime saanud Venemaa Riikliku Nafta- ja Gaasiülikooli füüsika osakond. ei kumbagi. Gubkina, pea Osakonna tehnikadoktor. Teadused, professor B.V. Nagaev, Ph.D. füüsika ja matemaatika Teadused, dotsent A.V. Tsybulnikov, Ph.D. füüsika ja matemaatika

Teadused, dotsent V. K. Zarodov

Anisimov V.M., Tretjakova O.N.

A67 Praktiline füüsika kursus. Mehaiika / pod.g.g. Spirin 5. väljaanne, muudetud. - M.: VVIA im. MITTE. Žukovski, 2008. - 168 S.: ill.

ISBN 978-5-903111-31-2

Õpik on koostatud tehnikainstituutide füüsikakursuse programmi järgi.

Käsiraamatus antakse lühidalt ülevaade teooriast, esitatakse ülesanded koos lahendustega ja ülesanded iseseisvaks lahendamiseks koos vastustega kõikidele üldfüüsika kursusel õpitud mehaanika osadele.

Tehnikaülikoolide üliõpilastele.

Õpetus

Anisimov Vladimir Mihhailovitš Tretjakova Olga Nikolaevna

Füüsika mehaanika praktiline kursus

Toimetaja O.V. Bessonova

Allkirjastatud avaldamiseks 3. juulil 2008.

Formaat 60x 84/16 10,625 P. l. 9,9 USL.P.l.

Tiraaž 200 eksemplari. Tellimus N~ 959 Või trükitud trükipressis

VVIA sai nime professor N.E. Žukovski 125190, Moskva, st. Planetnaja, D. 3

tel: 251-23-88, 614-29-90

Eessõna

Lugejale pakutav õpik on mõeldud tehnikaülikoolide üliõpilastele. Tegemist on professor G.G. toimetatud ühtse õppe- ja metoodilise kava “Praktiline füüsikakursus” esimese osaga. Spirin, mis on loodud Venemaa Tehnikaülikoolide Füüsika Osakondade Ühenduse töö raames.

Käsiraamatu iga osa algab teooria lühikokkuvõttega. Sektsiooni teoreetilise osa eesmärk ei ole loengukursuse dubleerimine ega isegi füüsikakursuse põhimõistete esitamine, vaid ainult ülesannete lahendamiseks vajalike põhimõistete, definitsioonide, seaduste ja valemite meeldetuletamine.

Seejärel esitatakse igas jaotises iseseisvaks lahendamiseks ülesanded, mida saab kasutada praktiliste tundide läbiviimisel, arvutustööde (PP) tegemisel, kontrolltööde ja eksamite läbiviimisel ning ülesannetele vastused. Käsiraamatu lõpus pakutakse välja PP-valikud kõigile õpilastele ning metoodilised soovitused lisatundide läbiviimiseks ebapiisavalt kõrge esialgse ettevalmistustasemega õpilastele. See hõlmab kahetasandilise õpetamismeetodiga käsiraamatu kasutamist.

Selle juhendi alusel toimuvad tunnid Moskva Lennuinstituudi (Riikliku Tehnikaülikooli) füüsikaosakonnas kõigi tehniliste erialade üliõpilastega.

Autorid võtavad tänulikult vastu lugejate kommentaare ja ettepanekuid raamatu sisu täiustamiseks aadressil: 125871, Moskva, Volokolamskoje Šosse, 4, MAI, füüsika osakond, e-posti teel: [e-postiga kaitstud] või telefoni teel:

8-499- 158-86-98.

Sissejuhatus. Mehaanika põhimõisted ja definitsioonid

Füüsika üldkursuse igas osas tutvustatakse füüsikalise objekti või nähtuse kirjeldamiseks mõnda abstraktset mõistet, mis võimaldab liikuda reaalse protsessi või nähtuse juurest selle füüsilise mudeli juurde. Mehaanikas on sellisteks mõisteteks materiaalne punkt ja absoluutselt jäik keha.

Materiaalne punkt on keha, mille mõõtmed võib selle probleemi tingimustes tähelepanuta jätta, s.t. Keha suurus on võrreldes läbitavate vahemaadega väike.

Absoluutselt jäik kere on keha, mille kahe punkti vaheline kaugus liikumise ajal ei muutu.

Keha liikumist saab kirjeldada valitud võrdlusraami suhtes.

Võrdlussüsteem on võrdluskeha, sellega seotud koordinaatsüsteem ja aja mõõtmise meetod.

Trajektoor on joon, mida punkt (keha) kirjeldab liikumise ajal.

Jäiga keha meelevaldset keerulist liikumist saab uurida, võttes arvesse kahte peamist liikumise tüüpi - translatsiooni ja pöörlemist ümber fikseeritud telje.

Edasi liikumine- see on liikumine, mille käigus iga keha kahte punkti ühendav sirgjoon jääb liikumise ajal iseendaga paralleelseks. See tähendab, et kõik keha punktid liiguvad ühtemoodi. Seetõttu piisab jäiga keha translatsioonilise liikumise kirjeldamiseks arvestada punkti kinemaatika ja dünaamikaga.

Jäiga keha pöörlemine ümber fikseeritud telje – See on liikumine, mille käigus kõik keha punktid liiguvad ringidena, mille keskpunktid asuvad pöörlemisteljel.

Mehaaniline süsteem on materiaalsete punktide ja tahkete kehade kogum. Kuna jäigaks kehaks võib pidada

sõltumatud muutujad, mis tuleb sisestada selle asukoha määramiseks ruumis. Materiaalse punkti puhul i = 3, jäiga keha puhul üldjuhul i = 6.

1.Kinemaatika

1.1. Põhimõisted ja seadused

Kinemaatikas on punkti (keha) liikumine

kirjeldada

selle liikumise põhjustanud põhjuste kaalumine.

Olemas

liikumise kirjeldamise viis

vektor,

koordineerida

loomulik.

Viimane

rr 2

kasutatakse

kui trajektoor

punktid on teada.

kirjeldused

liigutused esimene ja teine

meetodit kasutatakse sageli

ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem (joon. 1.1).

Punkti asukoht valitud tugisüsteemis määratakse raadiusega

vektor,

läbi viidud

algusest peale

ühikvektorid (orts) defineerivad

i, j, k

x-, y-, z-telgede suunad.

Liikumisseadus on võrrand või võrrandisüsteem, mis võimaldab teil igal ajal määrata punkti asukoha.

Vektorkujul näeb see välja r = r(t).

Koordinaatide meetodil on liikumisseadus vormi skalaarvõrrandi süsteem

x = x(t), y = y(t), z = z(t) .

Liikudes mööda etteantud kõverat trajektooril valitakse alguspunkt, liikumise suund, mis võetakse positiivseks ja punkti asukoht kõveral määratakse kaare koordinaadi s abil, mis võib olla kas positiivne või negatiivne . Loomuliku meetodi korral on punkti liikumisseadus antud trajektooril kujul s = s (t).

On kolm peamist kinemaatilist omadust

Liiguta –

r ühendab

esialgne

lõpp-punkti asukoht

r r= r r

− r r

Rr(t

)− r r (t )=

xi +

yj +

zk,

x = x2 - x1 ,

y = y2 − y1 ,

z = z2 − z1 .

Keskmise kiiruse vektor on nihkevektori suhe

lõhe juurde

kumb see on

pühendunud

t. Suund

langeb kokku

Kiirus (hetkkiirus) -

see on vektorsuurus

võrdne nihke ajatuletisega v r = dr r = v x i r

Vy r j+ vz kr ,

kus v x ,v y ,v z - kiirusvektori projektsioonid koordinaattelgedel. Vektor

suunatud tangentsiaalselt trajektoorile.

Kiirusvektori suurus v = vr =

v x 2+ v y 2+ v z 2.

Kuna

elementaarne

liigutused

trajektoori kaare pikkusele ds ,v = vastav

Tee on skalaarsuurus

s võrdne vahemaaga,

möödus punktist mööda trajektoori,

s ≥ 0,

dt.

s = ∫

Keskmine rada

kiirust

ebaühtlane

(v≠ konst.)

liiklust selles piirkonnas

see on skalaarsuurus,

sellise ühtlase liikumise kiiruse arvväärtus, koos

mis teel	võtab sama palju aega				t , as
antud ebaühtlase liikumise korral v
Üldiselt v ≠ v r		r r=
	Sest s ≠			x 2+ y 2+	z 2.

Keskmine kiirenduse vektor on kiirusvektori v = v r (t 2 ) − v r (t 1 ) juurdekasvu suhe ajavahemikusse, mille jooksul see

muutus on toimunud

Suund

ühtib suunaga

v r.

Kiirendus (hetke kiirendus) – vektorkogus a,

võrdne kiiruse tuletisega aja suhtes

a r = dv r

Ax ir + ay r j+ az kr

a x=

a z=

Kiirendusvektori moodul

a =a r = a x 2 +a y 2 +a z 2 .

Tasapinnalise liikumise erijuhtudel mööda kõverat rada sisse XOU lennuk saab kasutusele võtta ristkülikukujulise Descartes'i saatekoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt ühtib liikuva punktiga ning teljed on määratud normaalvektorite n r ja puutuja τ ühikvektoritega (joon. 1.2).

Siis saab kiirenduse esitada kui

v2r

τ =

τ , kus R on trajektoori kõverusraadius

sel hetkel. Normaalkiirendus a n iseloomustab kiiruse suuna muutust ja tangentsiaalne (tangents) a τ

iseloomustab kiiruse muutust.

Kiirendusmoodul on sel juhul võrdne a = a r = a n 2 + a τ 2 = a x 2 + a y 2.

Kui jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje, on liikumise peamisteks kinemaatilisteks karakteristikuteks nurknihe, nurkkiirus ja nurkiirendus, mis tuuakse sisse sarnaselt translatsiooniliikumise vastavatele karakteristikutele.

Jäiga keha asend ümber fikseeritud telje pöörlemisel määratakse pöördenurga või nurknihke järgi. Lõpmatult väike pöördenurk d ϕ vastab vektorile d ϕ .

Pöörlemissuund ja vektori suund on seotud parempoolse kruvi reegliga (joonis 1.3).

kiirust

(hetkeline nurk

kiirus)

pöördenurga tuletis aja suhtes ω=

Suund

dϕ.

ω ühtib suunaga

Nurkkiirendus on nurkkiiruse tuletis suhtes

ε = dt

ε = dt.

Suund

langeb kokku

suunas

d ω. Kui pöörlemine

ε > 0, ε

juhtub

peale

suureneb

kiirus (

> 0) nurgavektor

kiirendus

suunatud

ε < 0, ε

kui väheneb

nurk

lineaarne

kogused,

Füüsika. Praktiline kursus ülikooli kandidaatidele. Drabovitš K.N., Makarov V.A., Chesnokov S.S.

M.: Fizmatlit, 2006. -544 lk.

Juhend on mõeldud õpilastele lõpetavad klassid keskkoolid koos süvaõpe füüsika ja matemaatika. See põhineb füüsikaprobleemidel, mida on teaduskonna taotlejatele viimase 20 aasta jooksul pakutud arvutuslik matemaatika ja Moskva Riikliku Ülikooli küberneetika. M. V. Lomonosov. Materjal on jagatud teemadeks vastavalt programmile sisseastumiseksamid füüsikas Moskva Riiklikku Ülikooli kandideerijatele. Igale teemale eelneb põhiteema lühikokkuvõte teoreetiline teave, mis on vajalikud probleemide lahendamiseks ja on kasulikud selleks valmistumisel sisseastumiseksamid. Kokku on kollektsioonis umbes 600 probleemi, üle poole neist on ette antud üksikasjalikud lahendused ja metoodilisi juhiseid.

Koolinoortele, kes valmistuvad astuma ülikoolide füüsika- ja matemaatikateaduskondadesse.

Vorming: djvu/zip

Suurus: 4,5 MB

/Laadi fail alla

Eessõnast:

See käsiraamat on mõeldud füüsika ja matemaatika süvaõppega keskkoolide lõpetajatele. Selle eesmärk on aidata tulevastel taotlejatel iseseisvalt valmistuda klassikaliste ülikoolide, eelkõige Moskva Riikliku Ülikooli loodusteaduste teaduskondadesse sisseastumiseksamiteks. M. V. Lomonosov.

Sihipärane ettevalmistus ülikooli astumiseks peaks orgaaniliselt ühendama nii teooriaõppe kui ka probleemide lahendamise. Sellest lähtuvalt pidasime sobivaks anda iga lõigu alguses kokkuvõte teoreetiline põhiteave, mis on sisuliselt märkmed vastuste kohta füüsikaprogrammis Moskva Riiklikku Ülikooli kandideerijatele. Loodame, et meie pakutavad märkmed aitavad kandidaatidel õpitavat materjali arukalt struktureerida ja annavad teada, kuidas koostada eksamiülesannetes pakutud teemade teooria arutamise kava. Samas tuleb meeles pidada, et suulise sisseastumiseksami põhieesmärk on tuvastada taotleja sisulise mõistmise sügavus. füüsikalised nähtused ja seadused, tõlgendamisoskus füüsiline tähendus kogused ja mõisted. Seetõttu ei saa siin antud teooria lühikokkuvõte kuidagi stabiilset asendada õppevahendid soovitatav programmis Moskva Riikliku Ülikooli taotlejatele. Nende hüvede loetelu asub raamatu lõpus.

Vajalik tingimus edukas lõpetamine Sisseastumiseksam on ka oskus lahendada ülesandeid kõigis programmi osades. Sellega seoses sisaldab raamat valitud füüsikaprobleeme Moskva Riikliku Ülikooli arvutusmatemaatika ja küberneetika teaduskonna (VMK) kandidaatidele pakutavate hulgast. M.V. Lomonosov viimase 20 aasta jooksul. Kokku sisaldab kollektsioon umbes 600 erineva keerukusega ülesannet, mis on rühmitatud teemade kaupa täielikult kooskõlas Moskva Riikliku Ülikooli kandideerijate füüsikaprogrammiga. Aastatel 2003–2005 välja pakutud probleemid on paigutatud eraldi osadesse raamatu lõpus. Neid probleeme näitena kasutades saab lugeja ettekujutuse suurenemisest viimased aastad Moskva Riikliku Ülikooli taotlejatele esitatavate nõuete tase. Et hõlbustada iseseisvat tööd sisenemiseks valmistumisel,
Sisseastumiseksamite jaoks on üle poole selle kogumiku ülesannetest üksikasjalike lahendustega.

SISUKORD
Eessõna
Peatükk 1. Mehaanika
1.1. Kinemaatika
1.2. Dünaamika
1.3. Looduskaitseseadused mehaanikas
1.4. Jäik kere staatika
1.5. Vedelike ja gaaside mehaanika
1.6. Mehaanilised vibratsioonid ja lained. Heli
2. peatükk. Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
2.1. Molekulaarkineetilise teooria alused
2.2. Termodünaamika elemendid
2.3. Muuda agregatsiooni olek ained
2.4. Pind pinevus vedelikes
2.5. Tahkete ainete ja vedelike soojuspaisumine
3. peatükk. Elektrodünaamika
3.1. Elektrostaatika
3.2. D.C
3.3. Magnetism
3.4. Elektromagnetiline induktsioon
3.5. Elektromagnetilised vibratsioonid ja lained
Peatükk 4. Optika
4.1. Geomeetriline optika
4.2. Elemendid füüsiline optika
Peatükk 5. Aatom ja aatomituum
Peatükk 6. Kombineeritud ülesanded
7. peatükk. 2003. aasta eesmärgid
7.1. Mehaanika
7.2. Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
7.3. Elektrodünaamika
7.4. Optika
8. peatükk. 2004. aasta eesmärgid
8.1. Mehaanika
8.2. Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
8.3. Elektrodünaamika
8.4. Optika
9. peatükk. 2005. aasta eesmärgid
9.1. Mehaanika
9.2. Molekulaarfüüsika ja termodünaamika
9.3. Elektrodünaamika
9.4. Optika
Vastused
10. peatükk. 2003 - 2005 probleemide lahendused
Kirjandus