Mõelge PDSC-le (O, i,j,k) ruumis R 3 . Olgu  mingi tasapind ja vektor  N risti -ga. Fikseerime tasapinnal  suvalise punkti M 0 ja võtame praeguse ruumipunkti M. Tähistame ` r =
ja". r 0 =
. Siis
=`r – `r 0 , ja punkt М siis ja ainult siis, kui vektorid ` N Ja
ortogonaalne. Viimane on võimalik siis, kui

N .
= 0, st N . (`r –`r 0) = 0, (9)

seda võrrandit nimetatakse vektori võrrand lennuk. Vektor ` N helistas normaalne tasapinnaline vektor.

Kui ` N =(A, IN, KOOS), M 0 ( X 0 , juures 0 , z 0), M( X, juures, z), siis saab võrrand (9) kuju

A( X – X 0) + B( juures – juures 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Seda võrrandit nimetatakse läbiva tasandi võrrandiks see punkt antud vektoriga risti.

TO Nagu teate, saate kolme punkti kaudu joonistada ühe tasapinna. Olgu M 1 ( X 1 , juures 1 , z 1), M 3 ( X 2 , juures 2 , z 2), M 3 ( X 3 , juures 3 , z 3). Leiame selle tasandi võrrandi. Vektorvõrrandi (9) kohaselt on selle võrrandi kirjutamiseks vaja teada tasandi punkti ja normaalvektorit. Meil on punkt (näiteks M 1). Ja iga selle tasapinnaga risti olev vektor sobib normaalvektoriks. On teada, et kahe vektori vektorkorrutis on risti tasapinnaga, millel need vektorid asuvad. Seetõttu vektorite ristkorrutis
Ja
võib võtta tasapinna normaalvektorina:

` N =


Siis tasandi võrrand  in vektorvorm paistab nagu

. (

) =
.
.
= 0.

(pange tähele, et oleme saanud vektorite samatasandilisuse tingimuse
,
,
).

See võrrand kirjutatakse punktide M 1, M 2, M 3 ja M koordinaatide kaudu järgmiselt

, (11)

ja seda nimetatakse tasapinna võrrandiks, kolme etteantud punkti läbimine M 1 ( X 1 , juures 1 , z 1), M 2 ( X 2 , juures 2 , z 2), M 3 ( X 3 , juures 3 , z 3).

Vaatleme uuesti võrrandit (9) ja teisendame selle:

Oh + Wu + Cz +(–Oh 0 – Wu 0 – Cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + Cz+D = 0, kus D = (– Oh 0 – Wu 0 – Cz 0) .

Võrrand

Oh + Wu + Cz+D = 0, (12)

helistas üldvõrrand lennuk. Siin vektorN = ( A, B, C) – tasapinna normaalvektor (ehk tasandiga risti olev vektor). Teoreem on tõsi:

Teoreem 4.2.

Ruumis R3 saab muutujate suhtes lineaarselt kirjeldada mis tahes tasapinda x y, z võrrand ja vastupidi, iga esimese astme võrrand määratleb mingi tasandi.

Uurime tasapinna asukohta koordinaatsüsteemi suhtes, kasutades selle üldvõrrandit Oh + Wu + Cz+D = 0.

Kui koefitsient D = 0, siis punkti O(0, 0, 0) koordinaadid vastavad võrrandile Oh + Wu + Cz= 0, mis tähendab, et see punkt asub tasapinnal, st. tasapind võrrandiga Oh + Wu + Cz= 0 läbib alguspunkti.

Kui tasandi üldvõrrandis üks on puudu muutujatest (vastav koefitsient on null), siis on tasapind paralleelne samanimelise koordinaatteljega. Näiteks võrrand Oh + Cz + D= 0 määrab operatsioonivõimendi teljega paralleelse tasapinna. Tõepoolest, normaalvektoril on koordinaadid ` N= (A, 0, C) ja seda on lihtne kontrollida ` Nj. Aga kui tasapind ja vektor on risti sama vektoriga, siis on nad paralleelsed. Tasand võrrandiga Wu + Cz= 0, sel juhul läbib OX-telge (st see telg asub tasapinnal)

Kahe puudumine muutujad tasapinnalises võrrandis tähendab, et tasapind on paralleelne vastavaga koordinaattasand, näiteks vormi võrrand Oh + D= 0 määrab tasapinna, paralleelselt tasapinnaga UOZ. Normaalvektoril on koordinaadid ` N= (A, 0, 0), see on kollineaarne vektoriga  i, ja seetõttu on tasapind risti vektoriga  i, või paralleelselt tasapinnaga УОZ.

Koordinaattasandite võrrandid olema kujul: pl. HOU: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

Tõepoolest, XOU tasand läbib alguspunkti (D = 0) ja vektorit  k=(0, 0, 1) on selle normaalvektor. Samamoodi läbivad tasapinnad ХОZ ja УОZ koordinaatide alguspunkti (D = 0) ja vektoreid  j=(0, 1, 0) ja  i = (1,0,0) – vastavalt nende normaalväärtused.

Kui D0, siis teisendame üldvõrrandi järgmiselt

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

KOHTA bosnifiktiivne siin
,
,
, saame võrrandi
, (13)

mida nimetatakse tasapinna võrrandiks segmentides telgedel. Siin A, b, c– tasapinna poolt ära lõigatud segmentide väärtused koordinaattelgedel (joonis). Seda võrrandit on mugav kasutada koordinaatsüsteemi tasapinna koostamiseks. Lihtne on kontrollida, kas punktid ( A, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Koos) lebama lennukis. Neid punkte läbivaid sirgeid nimetatakse jälgi tasapinnad koordinaattasanditel.

Näiteks konstrueerime tasapinna

2X – 3juures + 4z –12 = 0.

Taandagem see võrrand vormiks (13), saame

D Tasapinna konstrueerimiseks koordinaatsüsteemis märkige punkt (6, 0, 0) OX-teljel, punkt (0, -4,0) OU-teljel ja (0,0,3) OZ-teljel. teljega ja ühendage need sirgete segmentidega (tasapinna jäljed). Saadud kolmnurk on osa soovitud tasapinnast, mis on suletud koordinaattelgede vahele.

Sel viisil, et leida tasapinna võrrand, piisab teadmisest

Kas selle tasandi ja selle punktide normaalvektor (võrrand (10));

Või kolm punkti, mis asuvad tasapinnal (võrrand (11)).

Lennukite vastastikune paigutus ruumis on mugav uurida neile vastavate vektorite abil. Kui  on tasapind normaalvektoriga N, siis

.

Valemi tuletamine on sarnane sellele, kuidas seda tehti tasapinna sirge jaoks. Viige see ise läbi.

Tasapinna võrrand. Kuidas kirjutada tasapinna võrrandit?
Vastastikune korraldus lennukid. Ülesanded

Ruumigeomeetria pole palju keerulisem kui “tasane” geomeetria ja meie lennud kosmoses algavad sellest artiklist. Teema valdamiseks peate sellest hästi aru saama vektorid, lisaks on soovitatav olla kursis tasapinna geomeetriaga - seal on palju sarnasusi, palju analooge, nii et teave seeditakse palju paremini. Minu õppetundide seerias avaneb 2D-maailm artikliga Tasapinna sirgjoone võrrand. Kuid nüüd on Batman lameekraanilt lahkunud ja stardib Baikonuri kosmodroomilt.

Alustame jooniste ja sümbolitega. Skemaatiliselt saab tasapinna joonistada rööpküliku kujul, mis loob ruumi mulje:

Tasapind on lõpmatu, kuid meil on võimalus kujutada sellest vaid tükki. Praktikas joonistatakse lisaks rööpkülikule ka ovaal või isegi pilv. Tehnilistel põhjustel on minu jaoks mugavam kujutada lennukit täpselt nii ja täpselt sellises asendis. Tõelised lennukid, mida me kaalume praktilisi näiteid, saab paigutada mis tahes viisil - võtke mõtteliselt joonistus oma kätes ja pöörake seda ruumis, andes tasapinnale igasuguse kalde, mis tahes nurga.

Nimetused: lennukid on tavaliselt tähistatud väikeste kreeka tähtedega, ilmselt selleks, et neid mitte segamini ajada sirgjoon tasapinnal või koos sirgjoon ruumis. Olen harjunud kirja kasutama . Joonisel on see täht “sigma”, mitte auk. Kuigi auklik lennuk on kindlasti üsna naljakas.

Mõnel juhul on lennukite tähistamiseks mugav kasutada samu sümboleid. kreeka tähed alaindeksitega, näiteks .

Ilmselgelt määrab lennuki üheselt kolm erinevaid punkte, mis ei asu samal sirgel. Seetõttu on lennukite kolmetähelised tähistused üsna populaarsed - näiteks nende juurde kuuluvate punktide järgi jne. Sageli on tähed sulgudes: , et mitte ajada tasapinda segamini mõne teise geomeetrilise kujundiga.

Kogenud lugejatele annan kiire juurdepääsu menüü:

• Kuidas luua punkti ja kahe vektori abil tasapinna võrrandit?
• Kuidas luua punkti ja normaalvektori abil tasapinna võrrandit?

ja me ei jää pikale ootamisele:

Üldtasandi võrrand

Tasapinna üldvõrrand on kujul , kus koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Hulk teoreetilisi arvutusi ja praktilisi probleeme kehtib nii tavalise ortonormaalse aluse kui ka jaoks afiinne alus tühik (kui õli on õli, naaske õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused). Lihtsuse huvides eeldame, et kõik sündmused toimuvad ortonormaalsel alusel ja Descartes'i meetodil ristkülikukujuline süsteem koordinaadid

Nüüd harjutame natuke ruumiline kujutlusvõime. Pole hullu, kui teie oma on halb, nüüd arendame seda veidi. Isegi närvidel mängimine nõuab treenimist.

Väga üldine juhtum, kui arvud ei ole nullid, lõikub tasapind kõigi kolme koordinaatteljega. Näiteks nii:

Kordan veel kord, et lennuk jätkub lõputult igas suunas ja meil on võimalus kujutada ainult osa sellest.

Vaatleme tasandite lihtsamaid võrrandeid:

Kuidas mõista antud võrrand? Mõelge sellele: "X" ja "Y" väärtuste korral on "Z" ALATI võrdne nulliga. See on "natiivse" koordinaattasandi võrrand. Tõepoolest, formaalselt saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: , kust on selgelt näha, et meid ei huvita, millised väärtused “x” ja “y” võtavad, on oluline, et “z” oleks võrdne nulliga.

Samamoodi:
– koordinaattasandi võrrand;
– koordinaattasandi võrrand.

Teeme probleemi veidi keerulisemaks, vaatleme tasapinda (siin ja edasises lõigus eeldame, et arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga). Kirjutame võrrandi ümber kujul: . Kuidas sellest aru saada? “X” on ALATI “Y” ja “Z” väärtuste puhul võrdne teatud arvuga. See tasand on paralleelne koordinaattasandiga. Näiteks tasapind on tasapinnaga paralleelne ja läbib punkti.

Samamoodi:
– koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand;
– koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand.

Lisame liikmeid: . Võrrandi saab ümber kirjutada järgmiselt: st “zet” võib olla ükskõik milline. Mida see tähendab? “X” ja “Y” on ühendatud seosega, mis tõmbab tasapinnale teatud sirge (saate teada tasapinna sirge võrrand?). Kuna "z" võib olla ükskõik milline, korratakse seda sirgjoont igal kõrgusel. Seega defineerib võrrand koordinaatteljega paralleelse tasandi

Samamoodi:
– koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand;
– koordinaatteljega paralleelse tasapinna võrrand.

Kui vabad liikmed on nullid, siis tasandid läbivad otse vastavaid telgi. Näiteks klassikaline "otsene proportsionaalsus": . Joonistage tasapinnal sirgjoon ja korrutage see vaimselt üles ja alla (kuna "Z" on suvaline). Järeldus: lennuk, võrrandiga antud, läbib koordinaattelge.

Lõpetame ülevaate: tasapinna võrrand läbib päritolu. Noh, siin on üsna ilmne, et punkt rahuldab seda võrrandit.

Ja lõpuks joonisel näidatud juhtum: - lennuk on kõigiga sõber koordinaatteljed, samas kui see "lõikab" alati ära kolmnurga, mis võib asuda ükskõik millises kaheksast oktandist.

Lineaarsed ebavõrdsused ruumis

Teabe mõistmiseks peate hästi õppima tasapinna lineaarsed ebavõrdsused, sest paljud asjad on sarnased. Lõik on lühiülevaateline ja sisaldab mitmeid näiteid, kuna materjal on praktikas üsna haruldane.

Kui võrrand määratleb tasandi, siis võrratused
küsi pooltühikud. Kui ebavõrdsus ei ole range (nimekirjas kaks viimast), siis sisaldab võrratuse lahend lisaks poolruumile ka tasapinda ennast.

Näide 5

Leidke tasapinna ühiknormaalvektor .

Lahendus: Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks. Tähistame antud vektor läbi . On täiesti selge, et vektorid on kollineaarsed:

Esiteks eemaldame tasapinna võrrandist normaalvektori: .

Kuidas leida ühikvektor? Ühikvektori leidmiseks on vaja iga jaga vektori koordinaat vektori pikkusega.

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Kontrollimine: mida oli vaja kontrollida.

Lugejad, kes õppetunni viimast lõiku hoolikalt uurisid, märkasid seda ilmselt ühikvektori koordinaadid on täpselt vektori suunakoosinused:

Teeme käsil olevast probleemist pausi: kui teile antakse suvaline nullist erinev vektor, ja vastavalt tingimusele on vaja leida selle suunakoosinused (vt tunni viimaseid ülesandeid Vektorite punktkorrutis), siis leiad tegelikult sellele ühikuvektorile kollineaarse vektori. Tegelikult kaks ülesannet ühes pudelis.

Ühikulise normaalvektori leidmise vajadus kerkib esile mõne matemaatilise analüüsi probleemi puhul.

Oleme välja mõelnud, kuidas tavalist vektorit välja püüda, vastame nüüd vastupidisele küsimusele:

Kuidas luua punkti ja normaalvektori abil tasapinna võrrandit?

See normaalvektori ja punkti jäik konstruktsioon on noolelauale hästi teada. Sirutage käsi ette ja valige mõtteliselt ruumis suvaline punkt, näiteks väike kass puhvetkapis. Ilmselgelt saate selle punkti kaudu joonistada ühe tasapinna, mis on teie käega risti.

Vektoriga risti läbiva tasandi võrrandit väljendatakse järgmise valemiga:

Pinnavõrrand ruumis

Definitsioon. Iga võrrand, mis seob pinna mis tahes punkti x, y, z koordinaate, on selle pinna võrrand.

Üldtasandi võrrand

Definitsioon. Tasand on pind, mille kõik punktid vastavad üldvõrrandile:

Ax + By + Cz + D = 0,

kus A, B, C on vektori koordinaadid

tasapinna normaalvektor. Võimalikud on järgmised erijuhud:

A = 0 – tasapind on paralleelne Ox-teljega

B = 0 - tasapind on paralleelne Oy teljega

C = 0 – tasapind on paralleelne Oz-teljega

D = 0 - tasapind läbib alguspunkti

A = B = 0 - tasapind on paralleelne xOy tasapinnaga

A = C = 0 - tasapind on paralleelne xOz tasandiga

B = C = 0 - tasapind on paralleelne yOz tasapinnaga

A = D = 0 – tasapind läbib Ox-telge

B = D = 0 - tasapind läbib Oy telge

C = D = 0 - tasapind läbib Oz-telge

A = B = D = 0 - tasapind langeb kokku xOy tasapinnaga

A = C = D = 0 - tasapind langeb kokku xOz tasandiga

B = C = D = 0 - tasapind langeb kokku yOz tasandiga

Kolme punkti läbiva tasandi võrrand

Selleks, et üks tasapind oleks tõmmatud läbi mis tahes kolme ruumipunkti, on vajalik, et need punktid ei asuks samal sirgel. Vaatleme punkte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) üldiselt Descartes'i süsteem koordinaadid Selleks, et suvaline punkt M(x, y, z) asuks samal tasapinnal punktidega M1, M2, M3, on vajalik, et vektorid oleksid tasapinnalised.

Seega

Kolme punkti läbiva tasapinna võrrand:

Tasapinna võrrand, mis on antud kahe punkti ja tasandiga kollineaarse vektori kohta

Olgu antud punktid M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) ja vektor.

Koostame võrrandi neid punkte M1 ja M2 läbiva tasapinna ja vektoriga paralleelse suvalise punkti M(x, y, z) jaoks.

Vektorid ja vektor peavad olema tasapinnalised, s.t.

Tasapinnaline võrrand:

Tasapinna võrrand, millel on üks punkt ja kaks tasapinnaga kollineaarset vektorit

Olgu antud kaks vektorit ja kollineaarsed lennukid. Seejärel suvalise punkti M(x, y, z) jaoks lennukile kuuluv, peavad vektorid olema tasapinnalised. Tasapinnaline võrrand:

Tasapinna võrrand punkti ja normaalvektori järgi

Teoreem. Kui ruumis on antud punkt M0(x0, y0, z0), siis normaalvektoriga (A, B, C) risti M0 läbiva tasandi võrrand on kujul:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Tõestus. Tasapinnale kuuluva suvalise punkti M(x, y, z) jaoks koostame vektori. Sest vektor on normaalvektor, siis on see tasandiga risti ja seega risti vektoriga. Siis skalaarkorrutis

Seega saame tasandi võrrandi

Teoreem on tõestatud.

Võib näidata, et mis tahes esimese astme võrrand Descartes'i koordinaatide suhtes x, y, z kujutab teatud tasandi võrrandit. See võrrand on kirjutatud järgmiselt:

Ax+By+Cz+D=0

ja kutsutakse üldvõrrand tasapind ja koordinaadid A, B, C siin on tasapinna normaalvektori koordinaadid.

Vaatleme erijuhtumeid üldvõrrand. Uurime, kuidas paikneb tasapind koordinaatsüsteemi suhtes, kui võrrandi üks või mitu kordaja muutub nulliks.

1. Vaba liige võrdne nulliga D= 0.

Sel juhul võtab tasapinna võrrand kuju Ax+Cy+Bz=0. Sest numbrid x=0, y=0, z=0 rahuldab tasandi võrrandit, siis läbib alguspunkti. Samamoodi, kui B= 0, siis on tasapind paralleelne teljega Oy Ja C= 0 – teljega paralleelne tasapind Oz. Seega, kui tasapinnalises võrrandis on üks koefitsient praegusel koordinaadil võrdne nulliga, siis on tasapind paralleelne vastava koordinaatide teljega.

1. Koefitsient praegusel koordinaadil ja vabaliikmel on võrdne nulliga. Näiteks, A=D= 0. Sel juhul võrrand Autor + Cz= 0 vastab koordinaatide alguspunkti läbivale tasapinnale (vastavalt punktile 1). Lisaks, võttes arvesse punkti 2, antud lennuk peab olema teljega paralleelne Ox. Seetõttu läbib tasapind telge Ox.

Samamoodi, kui B=D=0 tasapind Kirves+Cz=0 läbib telge Oy. Kell C=D=0 tasapind läbib telge Oz.

1. Kaks koefitsienti haava hetkekoordinaatidel on null. Olgu näiteks A=B=0. Siis lennuk Cz+D=0 punkti 2 tõttu on telgedega paralleelne Ox Ja Oy, ja seetõttu paralleelne koordinaattasandiga xOy, ja läbib koordinaadiga punkti. Samamoodi võrrandid Kirves+D=0 ja Autor + D=0 vastavad koordinaattasanditega paralleelsetele tasapindadele yOz Ja xOz.
2. Kaks koefitsienti jooksvatel koordinaatidel ja vabal liikmel on võrdsed nulliga. Olgu näiteks A=B=D=0. Siis on tasapinna võrrandil kuju Cz=0 või z=0. See tasapind läbib alguspunkti ja on paralleelne telgedega Ox Ja Oy, st võrrand defineerib koordinaattasandi xOy. Samamoodi x=0 – koordinaattasandi võrrand yOz Ja y=0 – tasapind xOz.

Näited.

1. Kirjutage teljega paralleelse tasapinna võrrand Oy, läbi punktide M 1(1; 0; -1), M 2(-1; 2;0).

Kuna telg Oy on paralleelne, siis tasandi võrrand Ax+Cy+D=0. Võttes arvesse, et M 1Î α, M 2О α, asendame võrrandis nende punktide koordinaadid ja saame kahest koosnevast süsteemist lineaarvõrrandid kolme tundmatuga

Panek D= 1, leiame A= 1 ja C= 2. Seetõttu on tasandi võrrandil kuju x+ 2z+1=0.

1. Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M(2;3;-4) paralleelselt tasapinnaga yOz(risti teljega Ox).

Sest yOz||α, siis on tasapinna võrrand Kirves+D=0. Teisel pool MО α seega 2A+D=0, D=-2A. Seetõttu on tasapinnal võrrand x-2=0.

Saate määrata erinevaid viise(üks punkt ja vektor, kaks punkti ja vektor, kolm punkti jne). Seda silmas pidades võib tasandi võrrandil olla erinevat tüüpi. Samuti võivad tasapinnad teatud tingimustel olla paralleelsed, risti, ristuvad jne. Me räägime sellest selles artiklis. Õpime, kuidas luua tasandi üldvõrrandit ja palju muud.

Võrrandi normaalvorm

Oletame, et on ruum R 3, millel on ristkülikukujuline XYZ koordinaatsüsteem. Defineerime vektori α, mis vabaneb algpunktist O. Läbi vektori α otsa tõmbame tasapinna P, mis on sellega risti.

Tähistame suvalist punkti P-l Q = (x, y, z). Märgistame punkti Q raadiuse vektori tähega p. Sel juhul on vektori α pikkus võrdne р=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

See on ühikvektor, mis on suunatud küljele, nagu vektor α. α, β ja γ on nurgad, mis moodustuvad vastavalt vektori Ʋ ja ruumitelgede x, y, z positiivsete suundade vahel. Mis tahes punkti QϵП projektsioon vektorile Ʋ on püsiv väärtus, mis võrdub p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ülaltoodud võrrand on mõttekas, kui p=0. Ainus asi on see, et tasapind P lõikub sel juhul punktiga O (α=0), mis on koordinaatide alguspunkt ja punktist O vabastatud ühikvektor Ʋ on P-ga risti vaatamata oma suunale, mis tähendab, et vektor Ʋ on määratud märgi täpsusega. Eelmine võrrand on meie tasandi P võrrand, mis on väljendatud vektorkujul. Kuid koordinaatides näeb see välja järgmine:

P siin on suurem kui 0 või sellega võrdne. Leidsime ruumilise tasandi võrrandi normaalkujul.

Üldvõrrand

Kui korrutame võrrandi koordinaatides mis tahes arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saame selle võrrandi, mis on samaväärne selle tasandiga. See näeb välja selline:

Siin on A, B, C arvud, mis on samaaegselt erinevad nullist. Seda võrrandit nimetatakse üldtasandi võrrandiks.

Tasapindade võrrandid. Erijuhtumid

Võrrand sisse üldine vaade saab võimaluse korral muuta lisatingimused. Vaatame mõnda neist.

Oletame, et koefitsient A on 0. See tähendab, et see tasapind on paralleelne antud Ox-teljega. Sel juhul muutub võrrandi vorm: Ву+Cz+D=0.

Samamoodi muutub võrrandi vorm järgmistel tingimustel:

• Esiteks, kui B = 0, muutub võrrand väärtuseks Ax + Cz + D = 0, mis näitab paralleelsust Oy teljega.
• Teiseks, kui C=0, siis teisendatakse võrrand väärtuseks Ax+By+D=0, mis näitab paralleelsust antud Oz-teljega.
• Kolmandaks, kui D=0, näeb võrrand välja nagu Ax+By+Cz=0, mis tähendab, et tasapind lõikub punktiga O (algopunkt).
• Neljandaks, kui A=B=0, muutub võrrand väärtuseks Cz+D=0, mis osutub paralleelseks Oxyga.
• Viiendaks, kui B=C=0, siis saab võrrandist Ax+D=0, mis tähendab, et tasapind Oyziga on paralleelne.
• Kuuendaks, kui A=C=0, siis on võrrand kujul Ву+D=0, see tähendab, et ta teatab paralleelsusest Oxzile.

Võrrandi tüüp segmentides

Kui arvud A, B, C, D erinevad nullist, võib võrrandi (0) vorm olla järgmine:

x/a + y/b + z/c = 1,

milles a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Saame tulemuseks Väärib märkimist, et see tasapind lõikub Ox-teljega punktis, mille koordinaadid (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c) ).

Võttes arvesse võrrandit x/a + y/b + z/c = 1, ei ole raske visuaalselt ette kujutada tasapinna asetust antud koordinaatsüsteemi suhtes.

Normaalvektori koordinaadid

Tasapinna P normaalvektoril n on koordinaadid, mis on selle tasandi üldvõrrandi koefitsiendid, st n (A, B, C).

Tavalise n koordinaatide määramiseks piisab antud tasandi üldvõrrandi teadmisest.

Kui kasutate lõikudes võrrandit, mille kuju on x/a + y/b + z/c = 1, nagu üldvõrrandit kasutades, saate kirjutada antud tasandi mis tahes normaalvektori koordinaadid: (1/a + 1/b + 1/ Koos).

Väärib märkimist, et normaalvektor aitab lahendada erinevaid ülesandeid. Kõige levinumad on ülesanded, mis hõlmavad tasandite risti või paralleelsuse tõestamist, tasandite vaheliste nurkade või tasandite ja sirgete vaheliste nurkade leidmise ülesandeid.

Tasapinna võrrandi tüüp punkti ja normaalvektori koordinaatide järgi

Antud tasapinnaga risti olevat nullist erinevat vektorit n nimetatakse antud tasandi normaalseks.

Oletame, et koordinaatruumis (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) on Oxyz antud:

• punkt Mₒ koordinaatidega (xₒ,yₒ,zₒ);
• nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Vaja on luua võrrand tasapinna jaoks, mis läbib punkti Mₒ, mis on risti normaalse n-ga.

Valime suvalise suvalise ruumipunkti ja tähistame seda M (x y, z). Olgu suvalise punkti M (x,y,z) raadiuse vektor r=x*i+y*j+z*k ja punkti Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) raadiuse vektor - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M kuulub antud tasapinnale, kui vektor MₒM on risti vektoriga n. Kirjutame ortogonaalsuse tingimuse skalaarkorrutise abil:

[MₒM, n] = 0.

Kuna MₒM = r-rₒ, näeb tasapinna vektorvõrrand välja järgmine:

Sellel võrrandil võib olla ka teine ​​vorm. Selleks kasutatakse skalaarkorrutise omadusi ja teisendust vasakul pool võrrandid = -. Kui tähistada seda c-ga, saame järgmise võrrandi: - c = 0 või = c, mis väljendab projektsioonide püsivust tasapinnale kuuluvate antud punktide raadiusvektorite normaalvektorile.

Nüüd saate näha kirje koordinaatide vaadet vektori võrrand meie tasapind = 0. Kuna r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ja n = A*i+B*j+C*k, meil on:

Selgub, et meil on võrrand tasapinna jaoks, mis läbib normaalse n-ga risti olevat punkti:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tasapinna võrrandi tüüp kahe punkti koordinaatide ja tasapinnaga kollineaarse vektori järgi

Määratleme kaks suvalist punkti M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) ning vektorit a (a′,a″,a‴).

Nüüd saame luua võrrandi antud tasapinna jaoks, mis läbib olemasolevaid punkte M′ ja M″, samuti mis tahes punkti M, mille koordinaadid (x, y, z) on paralleelsed antud vektoriga a.

Sel juhul peavad vektorid M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') olema vektoriga samatasandilised a=(a′,a″,a‴), mis tähendab, et (M′M, M″M, a)=0.

Niisiis, meie tasapinna võrrand ruumis näeb välja selline:

Kolme punktiga lõikuva tasandi võrrandi tüüp

Oletame, et meil on kolm punkti: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), mis ei kuulu samale reale. On vaja kirjutada etteantud kolme punkti läbiva tasandi võrrand. Geomeetria teooria väidab, et selline tasapind on tõesti olemas, kuid see on ainus ja ainulaadne. Kuna see tasapind lõikub punktiga (x',y',z'), on selle võrrandi vorm järgmine:

Siin erinevad A, B, C samal ajal nullist. Samuti lõikub antud tasand veel kahte punkti: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Sellega seoses peavad olema täidetud järgmised tingimused:

Nüüd saame koostada homogeenne süsteem tundmatu u, v, w:

Meie juhtum x,y või z ulatub välja suvaline punkt, mis rahuldab võrrandi (1). Arvestades võrrandit (1) ja võrrandisüsteemi (2) ja (3), on ülaltoodud joonisel näidatud võrrandisüsteem täidetud vektoriga N (A,B,C), mis on mittetriviaalne. Sellepärast on selle süsteemi determinant võrdne nulliga.

Saadud võrrand (1) on tasandi võrrand. See läbib täpselt 3 punkti ja seda on lihtne kontrollida. Selleks peame laiendama oma determinandi esimese rea elementideks. Alates olemasolevad omadused determinant järeldub, et meie tasapind lõikub korraga kolme algselt antud punkti (x',y',z'), (x',y',z'), (x',y',z'). See tähendab, et oleme lahendanud meile pandud ülesande.

Tasapindadevaheline kahetahuline nurk

Kahepoolne nurk tähistab ruumilist nurka geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks pooltasapinda, mis väljuvad ühest sirgest. Teisisõnu, see on osa ruumist, mida need pooltasandid piiravad.

Oletame, et meil on kaks tasandit järgmiste võrranditega:

Teame, et vektorid N=(A,B,C) ja N¹=(A¹,B1,C1) on risti vastavalt antud lennukid. Sellega seoses on vektorite N ja N¹ vaheline nurk φ võrdne nurgaga (kahekujuline), mis asub nende tasandite vahel. Skalaarkorrutis on kujul:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

just sellepärast

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Piisab, kui arvestada, et 0≤φ≤π.

Tegelikult moodustavad kaks ristuvat tasapinda kaks nurka (kahekujuline): φ 1 ja φ 2. Nende summa võrdub π-ga (φ 1 + φ 2 = π). Mis puutub nende koosinustesse, siis nende absoluutväärtused on võrdsed, kuid need erinevad märgi poolest, st cos φ 1 = -cos φ 2. Kui võrrandis (0) asendame A, B ja C numbritega -A, -B ja -C, siis saadud võrrand määrab sama tasandi, ainsa, nurga φ in cos võrrandφ=NN 1 /|N||N 1 | asendatakse π-φ-ga.

Perpendikulaarse tasandi võrrand

Tasapindu, mille vaheline nurk on 90 kraadi, nimetatakse risti. Kasutades ülaltoodud materjali, leiame teisega risti oleva tasandi võrrandi. Oletame, et meil on kaks tasapinda: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Võime öelda, et need on risti, kui cosφ=0. See tähendab, et NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Paralleeltasandi võrrand

Kaht tasapinda, mis ei sisalda ühiseid punkte, nimetatakse paralleelseks.

Tingimus (nende võrrandid on samad, mis on eelmine lõik) tähendab, et vektorid N ja N¹, mis on nendega risti, on kollineaarsed. Ja see tähendab, et need on täidetud järgmisi tingimusi proportsionaalsus:

A/A1=B/B1=C/C1.

Kui proportsionaalsuse tingimusi laiendatakse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

see näitab, et need tasapinnad langevad kokku. See tähendab, et võrrandid Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kirjeldavad ühte tasapinda.

Kaugus lennukist punktist

Oletame, et meil on tasapind P, mis on antud võrrandiga (0). Vaja on leida kaugus selleni punktist, mille koordinaadid (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Selleks peate viima tasandi P võrrandi normaalkujule:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN sel juhulρ (x,y,z) on meie punkti Q raadiuse vektor, mis asub punktil P, p on risti P pikkus, mis vabastati null punkt, v on ühikvektor, mis asub suunas a.

Mõne P-le kuuluva punkti Q = (x, y, z) erinevuse ρ-ρº raadiuse vektor, samuti antud punkti raadiuse vektor Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) on selline vektor, absoluutväärtus mille projektsioon v-le on võrdne kaugusega d, mis tuleb leida vahemikust Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) kuni P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, kuid

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Nii selgub

d=|(ρ 0,v)-р|.

Nii et leiame absoluutväärtus saadud avaldis, st soovitud d.

Kasutades parameetrite keelt, saame ilmse:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Kui Vali koht Q 0 asub teisel pool tasandit P, nagu koordinaatide alguspunkt, siis vektori ρ-ρ 0 ja v vahel paikneb seega:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.

Juhul, kui punkt Q 0 koos koordinaatide alguspunktiga asub P samal küljel, on loodud nurk terav, see tähendab:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Selle tulemusena selgub, et esimesel juhul (ρ 0 ,v)>р, teisel juhul (ρ 0 ,v)<р.

Puutujatasand ja selle võrrand

Pinna puutujatasand kokkupuutepunktis Mº on tasapind, mis sisaldab kõiki võimalikke puutujaid läbi selle pinnapunkti tõmmatud kõverate.

Seda tüüpi pinnavõrrandi F(x,y,z)=0 korral näeb puutujatasandi võrrand puutujapunktis Mº(xº,yº,zº) välja järgmine:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Kui määrate pinna selgesõnalisel kujul z=f (x,y), kirjeldatakse puutujatasandit võrrandiga:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Kahe tasapinna ristumiskoht

Koordinaatsüsteemis (ristkülikukujuline) paikneb Oxyz, antud on kaks tasandit П′ ja П″, mis lõikuvad ja ei lange kokku. Kuna iga ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis paiknev tasapind määratakse üldvõrrandiga, eeldame, et P' ja P' on antud võrranditega A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Sel juhul on tasandi P′ normaal n′ (A′,B′,C′) ja tasapinna P″ normaalne n″ (A″,B″,C″). Kuna meie tasandid ei ole paralleelsed ega lange kokku, pole need vektorid kollineaarsed. Matemaatika keelt kasutades saame selle tingimuse kirjutada järgmiselt: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Olgu sirgjoon, mis asub P′ ja P″ ristumiskohas, tähistatud tähega a, antud juhul a = P′ ∩ P″.

a on sirgjoon, mis koosneb (ühiste) tasandite P′ ja P″ kõigi punktide hulgast. See tähendab, et mis tahes joonele a kuuluva punkti koordinaadid peavad üheaegselt vastama võrranditele A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x+B'y+C'z+D'=0 . See tähendab, et punkti koordinaadid on järgmise võrrandisüsteemi osaline lahendus:

Selle tulemusel selgub, et selle võrrandisüsteemi (üldine) lahendus määrab iga joone punkti koordinaadid, mis toimivad P' ja P' lõikepunktina, ja määrab sirge. a Oxyz (ristkülikukujulises) koordinaatsüsteemis ruumis.