Üks matemaatika valdkondi, millega õpilased kõige rohkem vaeva näevad, on trigonomeetria. See pole üllatav: selle teadmiste valdkonna vabaks valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja osata kasutada arvus pi arvutused. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel kasutada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.
Trigonomeetria päritolu
Selle teadusega tutvumine peaks algama siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate mõistma, mida trigonomeetria üldiselt teeb.
Ajalooliselt on selle jaotise peamine uurimisobjekt matemaatikateadus olid täisnurksed kolmnurgad. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata kõnealuse joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.
Esimene aste
Algselt räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada kasutuspiire Igapäevane elu see matemaatika haru.
Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksete kolmnurkadega, mille järel õpilased kasutavad omandatud teadmisi füüsikas ja abstraktsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamises, mis algavad gümnaasiumis.
Sfääriline trigonomeetria
Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad erinevad reeglid ning kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. See jaotis koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada vähemalt sellepärast maa pind, ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised jäävad sisse kolmemõõtmeline ruum"kaarekujuline".
Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pange tähele – see on võtnud kaare kuju. Selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakendusvaldkondades.
Täisnurkne kolmnurk
Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.
Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. See on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.
Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.
Ülejäänud kahte külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et kolmnurga nurkade summa on ristkülikukujuline süsteem koordinaadid on 180 kraadi.
Definitsioon
Lõpuks, geomeetrilise aluse kindla mõistmisega võib pöörduda siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratluse poole.
Nurga siinus on suhe vastaspool(st soovitud nurga vastaspoolne külg) hüpotenuusile. Nurga koosinus on suhe külgnev jalg hüpotenuusile.
Pidage meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla rohkem kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim. Olenemata sellest, kui pikk on jalg, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega, mis on suurem kui 1, otsige arvutustes või põhjendustes viga. See vastus on selgelt vale.
Lõpuks on nurga puutuja suhe vastaskülg kõrvalolevale. Siinuse jagamine koosinusega annab sama tulemuse. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, seejärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama seose, mis puutuja definitsioonis.
Vastavalt sellele on kotangent nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame, kui jagame ühe puutujaga.
Niisiis, oleme vaadanud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangens definitsioone ning saame liikuda edasi valemite juurde.
Kõige lihtsamad valemid
Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Kuid just seda on vaja probleemide lahendamisel.
Esimene valem, mida trigonomeetriat õppima asudes teadma peab, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid säästab aega, kui on vaja teada pigem nurga kui külje suurust.
Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on samuti lahendamisel väga populaarne kooliülesanded: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on sama väide, mis esimeses valemis, ainult identiteedi mõlemad pooled olid jagatud koosinuse ruuduga. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe teeb seda trigonomeetriline valem täiesti tundmatu. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreeglid ja mitu põhivalemid võite igal ajal vajaliku rohkem välja võtta keerulised valemid paberitükil.
Topeltnurkade valemid ja argumentide liitmine
Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud siinuse ja koosinuse väärtustega nurkade summa ja erinevuse jaoks. Need on toodud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.
Vormis on argumentidega seotud ka valemid kahekordne nurk. Need on täielikult tuletatud eelmistest – harjutuseks proovige need ise hankida, võttes alfanurga võrdseks beetanurgaga.
Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab ümber paigutada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa võimsust.
Teoreemid
Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsasti aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.
Siinusteoreem ütleb, et kolmnurga mõlema külje pikkuse jagamisel vastasnurgaga saame sama number. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.
Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.
Ettevaatamatud vead
Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks vaatame kõige populaarsemaid.
Esiteks, te ei tohiks teisendada murde kümnendkohtadeks enne, kui olete lõpptulemuse saanud – võite jätta vastuse järgmisele harilik murd, kui tingimustes ei ole märgitud teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate oma aega mittevajalikule matemaatilised tehted. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme juur või kahe juur, sest neid leidub probleemides igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.
Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise nendevahelise nurga koosinusega, saate mitte ainult täiesti vale tulemuse, vaid demonstreerite ka täielikku arusaamatust teemast. See on hullem kui hooletu viga.
Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus on 30 kraadi võrdne koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segi ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.
Rakendus
Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle praktilist tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, mille abil saate arvutada kauguse kauged tähed, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissond teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on kõige rohkem ilmsed näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.
Lõpuks
Nii et sa oled siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.
Kogu trigonomeetria mõte taandub asjaolule, et kolmnurga teadaolevate parameetrite abil peate arvutama tundmatud. Kokku on kuus parameetrit: pikkus kolm küljed ja suurused kolm nurka. Ainus erinevus ülesannetes seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.
Nüüd teate, kuidas jalgade või hüpotenuusi teadaolevate pikkuste põhjal leida siinust, koosinust, puutujat. Kuna need terminid ei tähenda muud kui suhet ja suhe on murdosa, peamine eesmärk trigonomeetriline probleem on tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juurte leidmine. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.
Trigonomeetria on matemaatikateaduse haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreekas. Keskajal oluline panus Selle teaduse arendamisele aitasid kaasa Lähis-Ida ja India teadlased.
See artikkel on pühendatud põhimõisted ja trigonomeetria määratlused. Selles käsitletakse trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Nende tähendust selgitatakse ja illustreeritakse geomeetria kontekstis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algselt väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, kuvasuhtena täisnurkne kolmnurk.
Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus (cos α) - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja (t g α) - vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Nurga kotangent (c t g α) - külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Need määratlused on antud teravnurk täisnurkne kolmnurk!
Toome näite.
IN kolmnurk ABC nurga A täisnurga C siinusega võrdne suhtega jalg BC kuni hüpotenuus AB.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused võimaldavad teil arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.
Oluline meeles pidada!
Siinuse ja koosinuse väärtuste vahemik on -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja kotangensi väärtuste vahemik on kogu arvurida, see tähendab, et need funktsioonid võivad omandada mis tahes väärtused.
Ülaltoodud määratlused kehtivad teravnurkade kohta. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtus erinevalt teravnurgast ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadi Pöörlemisnurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga vahemikus - ∞ kuni + ∞ .
Selles kontekstis saame defineerida suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutame ette üksuse ring mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkt.
Algpunkt A koordinaatidega (1, 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti teatud nurga α kaudu ja läheb punkti A 1. Määratlus on antud punkti A 1 (x, y) koordinaatidena.
Pöörlemisnurga siinus (sinus).
Pöördenurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sin α = y
Pöörlemisnurga koosinus (cos).
Pöördenurga α koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y). cos α = x
Pöördenurga puutuja (tg).
Pöörlemisnurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x
Pöördenurga kotangent (ctg).
Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi suhe selle ordinaadiga. c t g α = x y
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest punkti abstsissi ja ordinaati saab pärast pöörlemist määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutuja on määratlemata, kui punkt pärast pööramist läheb punkti, mille abstsiss on null (0, 1) ja (0, - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat läheb nulli.
Oluline meeles pidada!
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.
Puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kootangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Otsustades praktilisi näiteidära ütle "pöördenurga α siinus". Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis viitab sellele, et kontekstist on juba selge, millest arutatakse.
Numbrid
Aga arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon, mitte pöördenurk?
Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.
Näiteks arvu 10 siinus π võrdne siinusega pöördenurk 10 π rad.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. Vaatame seda lähemalt.
Mis tahes reaalarv tühikringi punkt on seotud ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu.
Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1, 0).
Positiivne number t
Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu lähtepunkt läheb, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läheb teed t.
Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni juurde.
Siinus (patt) t-st
Arvu siinus t- numbrile vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y
Koosinus (cos) t-st
Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x
t puutuja (tg).
Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t
Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva lõigu alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt ringil numbrile vastav t, langeb kokku punktiga, kuhu lähtepunkt läheb pärast nurga võrra pööramist t radiaan.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Iga nurga α väärtus vastab konkreetne väärtus selle nurga siinus ja koosinus. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° k, vastavad k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) teatud puutuja väärtusele. Nagu eespool öeldud, on kotangent defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Võime öelda, et sin α, cos α, t g α, c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.
Samamoodi saame rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist kui arvulise argumendi funktsioonidest. Iga reaalne arv t vastab arvu siinuse või koosinuse teatud väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k, k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Samamoodi on kotangent defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k, k ∈ Z.
Trigonomeetria põhifunktsioonid
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt on kontekstist selge, milline trigonomeetrilise funktsiooni argument (nurkargument või numbriline argument), millega me tegeleme.
Tuleme tagasi alguses antud definitsioonide ja alfanurga juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Trigonomeetrilised määratlused siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on täielikult kooskõlas geomeetrilised määratlused, mis on antud täisnurkse kolmnurga kuvasuhteid kasutades. Näitame seda.
Võtke ühikring, mille keskpunkt on ristkülikukujuline Descartes'i süsteem koordinaadid Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) abstsissteljega risti. Saadud täisnurkses kolmnurgas nurk A 1 O H võrdne nurgaga pööre α, jala pikkus O H võrdub punkti A abstsissiga 1 (x, y). Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.
Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Kui koostame ühikringi, mille keskpunkt on lähtepunktis, ja seame meelevaldne väärtus argument x 0 ja loendage teljest Ox nurk x 0, siis see nurk ühikringil vastab teatud punktile A(Joonis 1) ja selle projektsioon teljele Oh tuleb punkt M. Sektsiooni pikkus OM võrdne absoluutväärtus abstsissi täpid A. See väärtus argument x 0 funktsiooni väärtus kaardistatud y=cos x 0 nagu abstsissil täpid A. Vastavalt sellele punkt IN(x 0 ;juures 0) kuulub funktsiooni graafikule juures=cos X(Joonis 2). Kui punkt A asub teljest paremal OU, Praegune siinus on positiivne, kuid vasakule jäädes on see negatiivne. Aga igatahes, punkt A ei saa ringist lahkuda. Seetõttu on koosinus vahemikus –1 kuni 1:
–1 = kos x = 1.
Täiendav pööramine mis tahes nurga all, kordne 2 lk, tagastab punkti A samasse kohta. Seetõttu funktsioon y = cos xlk:
cos( x+ 2lk) = cos x.
Kui võtame argumendi kaks väärtust, mis on absoluutväärtuses võrdsed, kuid märgilt vastupidised, x Ja - x, leida ringilt vastavad punktid A x Ja A -x. Nagu on näha joonisel fig. 3 nende projektsioon teljele Oh on sama punkt M. Sellepärast
cos (- x) = cos ( x),
need. koosinus – ühtlane funktsioon, f(–x) = f(x).
See tähendab, et saame uurida funktsiooni omadusi y=cos X segmendil , ning seejärel võta arvesse selle pariteeti ja perioodilisust.
Kell X= 0 punkti A asub teljel Oh, selle abstsiss on 1 ja seetõttu cos 0 = 1. Kasvamisega X punkt A liigub ümber ringi üles ja vasakule, selle projektsioon on loomulikult ainult vasakule ja punktis x = lk/2 koosinus võrdub 0-ga. Punkt A sel hetkel tõuseb maksimaalne kõrgus, ja jätkab seejärel liikumist vasakule, kuid juba laskudes. Selle abstsiss väheneb, kuni see jõuab madalaim väärtus, võrdne –1 at X= lk. Seega intervallil funktsioon juures=cos X väheneb monotoonselt 1-lt –1-le (joon. 4, 5).
Koosinuse paarsusest järeldub, et intervallil [– lk, 0] funktsioon suureneb monotoonselt –1-lt 1-ni, võttes nulli väärtuse at x =–lk/2. Kui võtate mitu perioodi, tekib laineline kõver (joonis 6).
Seega funktsioon y=cos x võtab punktides nullväärtusi X= lk/2 + kp, Kus k – mis tahes täisarv. Punktides saavutatakse maksimumid 1-ga X= 2kp, st. sammuga 2 lk, ja miinimumid on punktides –1 X= lk + 2kp.
Funktsioon y = sin x.
Üksuse ringi nurgal x 0 vastab punktile A(joonis 7), ja selle projektsioon teljele OU tuleb punkt N.Z funktsiooni väärtus y 0 = patt x 0 defineeritud kui punkti ordinaat A. Punkt IN(nurk x 0 ,juures 0) kuulub funktsiooni graafikule y= patt x(joonis 8). On selge, et funktsioon y = patt x perioodiline, selle periood on 2 lk:
patt ( x+ 2lk) = patt ( x).
Kahe argumendi väärtuse korral X Ja -, nende vastavate punktide projektsioonid A x Ja A -x telje kohta OU paikneb punkti suhtes sümmeetriliselt KOHTA. Sellepärast
patt (- x) = –patt ( x),
need. siinus on paaritu funktsioon, f(– x) = –f( x) (joonis 9).
Kui punkt A punkti suhtes pöörata KOHTA nurga all lk/2 vastupäeva (teisisõnu, kui nurk X võrra suurendada lk/2), siis on selle ordinaat uues asendis võrdne abstsissiga vanas. Mis tähendab
patt ( x+ lk/2) = cos x.
Vastasel juhul on siinus koosinus "hiline". lk/2, kuna mis tahes koosinusväärtust "kordatakse" siinuses, kui argument suureneb lk/2. Ja siinusgraafiku koostamiseks piisab koosinusgraafiku võrra nihutamisest lk/2 paremale (joon. 10). Äärmiselt oluline vara siinust väljendatakse võrdsusega
Võrdsuse geomeetriline tähendus on näha jooniselt fig. 11. Siin X - see on pool kaarest AB, nagu X - pool vastavast akordist. On ilmne, et punktide lähenedes A Ja IN akordi pikkus läheneb üha enam kaare pikkusele. Samalt jooniselt on lihtne tuletada ebavõrdsust
|patt x| x|, kehtib mis tahes X.
Matemaatikud nimetavad valemit (*) tähelepanuväärne piir. Eelkõige sellest järeldub, et patt X» X väikesel X.
Funktsioonid juures= tg x, y=ctg X. Ülejäänud kaks trigonomeetrilist funktsiooni, puutuja ja kotangent, on kõige hõlpsamini määratletavad kui meile juba teadaolevad siinuse ja koosinuse suhted:
Nagu siinus ja koosinus, on ka puutuja ja kotangens perioodilised funktsioonid, kuid nende perioodid on võrdsed lk, st. nad on siinuse ja koosinuse suurused poole väiksemad. Selle põhjus on selge: kui siinus ja koosinus muudavad märke, siis nende suhe ei muutu.
Kuna puutuja nimetaja sisaldab koosinust, pole puutujat määratletud nendes punktides, kus koosinus on 0 - kui X= lk/2 +kp. Kõigil muudel punktidel suureneb see monotoonselt. Otsene X= lk/2 + kp puutuja jaoks on vertikaalsed asümptoodid. Punktides kp puutuja ja kalle on vastavalt 0 ja 1 (joonis 12).
Kootangens ei ole määratletud, kui siinus on 0 (millal x = kp). Teistes punktides väheneb see monotoonselt ja sirgjooneliselt x = kp – tema vertikaalsed asümptoodid. Punktides x = p/2 +kp kotangens muutub 0-ks ja nende punktide kalle on –1 (joonis 13).
Pariteet ja perioodilisus.
Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui f(–x) = f(x). Koosinus- ja sekantfunktsioonid on paaris ning siinus-, puutuja-, kootangens- ja koossekantsfunktsioonid on paaritud:
| sin (–α) = – sin α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sek (–α) = sek α | kosek (–α) = – kosek α |
Punktide sümmeetriast tulenevad paarsusomadused P a ja R- a (joonis 14) telje suhtes X. Sellise sümmeetria korral muudab punkti ordinaat märki (( X;juures) läheb ( X; –у)). Kõik funktsioonid – perioodiline, siinus, koosinus, sekant ja koossekant – on perioodiga 2 lk, ja puutuja ja kotangent - lk:
| patt (α + 2 kπ) = sin α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | võrevoodi(α+ kπ) = cotg α |
| sek (α + 2 kπ) = sek α | kosek(α+2 kπ) = cosec α |
Siinuse ja koosinuse perioodilisus tuleneb sellest, et kõik punktid P a+2 kp, Kus k= 0, ±1, ±2,…, langevad kokku ning puutuja ja kotangensi perioodilisus tuleneb asjaolust, et punktid P a+ kp vaheldumisi jagunevad diametraalselt kaheks vastandlikud punktid ringid, mis annavad puutujateljel sama punkti.
Trigonomeetriliste funktsioonide peamised omadused saab kokku võtta tabelis:
| Funktsioon | Domeen | Mitu tähendust | Pariteet | Monotoonsed piirkonnad ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| patt x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | kummaline | suureneb koos x O((4 k – 1) lk /2, (4k + 1) lk/2), väheneb juures x O((4 k + 1) lk /2, (4k + 3) lk/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | isegi | Suureneb koos x O((2 k – 1) lk, 2kp), väheneb kell x O(2 kp, (2k + 1) lk) |
| tg x | x № lk/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | kummaline | suureneb koos x O((2 k – 1) lk /2, (2k + 1) lk /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | kummaline | väheneb kell x KOHTA ( kp, (k + 1) lk) |
| sek x | x № lk/2 + p k | (–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ ) | isegi | Suureneb koos x O(2 kp, (2k + 1) lk), väheneb kell x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ ) | kummaline | suureneb koos x O((4 k + 1) lk /2, (4k + 3) lk/2), väheneb juures x O((4 k – 1) lk /2, (4k + 1) lk /2) |
Vähendamise valemid.
Nende valemite järgi argumendi a trigonomeetrilise funktsiooni väärtus, kus lk/2 a p , saab taandada argumendifunktsiooni a väärtuseks, kus 0 a p /2, kas sellega sama või täiendavalt.
| Argument b |  -a |
+ a | lk-a | lk+ a | + a | + a | 2lk-a |
| patt b | cos a | cos a | sin a | -sin a | -cos a | -cos a | -sin a |
| cos b | sin a | -sin a | -cos a | -cos a | -sin a | sin a | cos a |
Seetõttu on trigonomeetriliste funktsioonide tabelites väärtused antud ainult teravnurkade jaoks ja piisab, kui piirdume näiteks siinuse ja puutujaga. Tabelis on toodud ainult siinuse ja koosinuse kõige sagedamini kasutatavad valemid. Nendest on lihtne saada tangensi ja kotangensi valemeid. Funktsiooni valamisel vormi argumendist kp/2 ± a, kus k– täisarv argumendi a funktsiooniks:
1) funktsiooni nimi salvestatakse, kui k isegi ja muutub "täiendavaks", kui k kummaline;
2) parempoolne märk langeb kokku punktis taandatava funktsiooni märgiga kp/2 ± a, kui nurk a on terav.
Näiteks ctg (a – lk/2) veendume, et a – lk/2 juures 0 a p /2 asub neljandas kvadrandis, kus kootangens on negatiivne ja reegli 1 kohaselt muudame funktsiooni nime: ctg (a – lk/2) = –tg a .
Lisamise valemid.
Valemid mitme nurga jaoks.
Need valemid tuletatakse otse liitmisvalemitest:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Cos 3a valemit kasutas lahendamisel François Viète kuupvõrrand. Ta oli esimene, kes leidis väljendid cos n a ja patt n a , mida hiljem saadi juurde lihtsal viisil Moivre'i valemist.
Kui valemites kahekordne argument asenda a /2-ga, saab need teisendada poolnurga valemiteks:
Universaalsed asendusvalemid.
Neid valemeid kasutades saab sama argumendi erinevaid trigonomeetrilisi funktsioone sisaldava avaldise ümber kirjutada järgmiselt ratsionaalne väljendusühest funktsioonist tg (a /2), võib see olla kasulik mõne võrrandi lahendamisel:
 |
|
 |
 |
Valemid summade toodeteks ja toodete summadeks teisendamiseks.
Enne arvutite tulekut kasutati neid valemeid arvutuste lihtsustamiseks. Arvutused tehti logaritmiliste tabelite ja hiljem - slaidireegli abil, sest Arvude korrutamiseks sobivad kõige paremini logaritmid, mistõttu viidi kõik algsed avaldised logaritmimiseks mugavasse vormi, s.t. töödele, näiteks:
2 patt a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 patt a cos b= patt ( a–b) + patt ( a+b).
Tangensi ja kotangensi funktsioonide valemeid saab ülaltoodust.
Kraadide vähendamise valemid.
Mitme argumendi valemitest tuletatakse järgmised valemid:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Kasutades neid valemeid trigonomeetrilised võrrandid saab taandada madalama astme võrranditeks. Samamoodi saame tuletada redutseerimisvalemeid rohkemate jaoks kõrged kraadid siinus ja koosinus.
| Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised ja integraalid | |
| (patt x)` = cos x; | (cos x)` = –patt x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t patt x dx= –cos x + C; | t cos x dx= patt x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|patt x| + C; |
Iga trigonomeetriline funktsioon oma määratluspiirkonna igas punktis on pidev ja lõpmatult diferentseeritav. Pealegi on trigonomeetriliste funktsioonide tuletised trigonomeetrilised funktsioonid, ja integreerimisel saadakse ka trigonomeetrilised funktsioonid või nende logaritmid. Trigonomeetriliste funktsioonide ratsionaalsete kombinatsioonide integraalid on alati elementaarfunktsioonid.
Trigonomeetriliste funktsioonide esitamine astmeridade ja lõpmatute korrutite kujul.
Kõiki trigonomeetrilisi funktsioone saab laiendada jõuseeria. Sel juhul funktsioonid pattuvad x bcos x on esitatud ridadena. koonduv kõigi väärtuste jaoks x:
Neid seeriaid saab kasutada patu ligikaudsete avaldiste saamiseks x ja cos x väikeste väärtustega x:
aadressil | x| p/2;
kell 0 x| lk
(B n – Bernoulli arvud).
patufunktsioonid x ja cos x võib esitada lõpmatute toodetena:
Trigonomeetriline süsteem 1, cos x, patt x, cos 2 x, patt 2 x,¼, cos nx, patt nx, ¼, moodustab lõigul [– lk, lk] ortogonaalne süsteem funktsioonid, mis võimaldab esitada funktsioone trigonomeetriliste ridadena.
on määratletud kui reaalse argumendi vastavate trigonomeetriliste funktsioonide analüütilised jätkud komplekstasandile. Jah, patt z ja cos z saab määrata patu seeriate abil x ja cos x, kui selle asemel x pane z:
Need seeriad koonduvad üle kogu tasapinna, nii et patt z ja cos z- terved funktsioonid.
Tangens ja kotangent määratakse valemitega:
tg funktsioonid z ja ctg z- meromorfsed funktsioonid. tg poolused z ja sek z– lihtne (1. järk) ja paikneb punktides z = p/2 + pn, poolused ctg z ja cosec z– samuti lihtne ja paikneb punktides z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Kõik valemid, mis kehtivad reaalse argumendi trigonomeetriliste funktsioonide jaoks, kehtivad ka komplekssete funktsioonide jaoks. Eriti,
patt (- z) = –patt z,
cos (- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg(- z) = –ctg z,
need. paaris ja paaritu paarsus säilivad. Samuti salvestatakse valemid
patt ( z + 2lk) = patt z, (z + 2lk) = cos z, (z + lk) = tg z, (z + lk) = ctg z,
need. säilib ka perioodilisus ja perioodid on samad, mis reaalse argumendi funktsioonide puhul.
Trigonomeetrilisi funktsioone saab väljendada puhtalt imaginaarse argumendi eksponentsiaalse funktsioonina:
Tagasi, e iz väljendatuna cos z ja patt z valemi järgi:
e iz=cos z + i patt z
Neid valemeid nimetatakse Euleri valemiteks. Leonhard Euler töötas need välja 1743. aastal.
Trigonomeetrilisi funktsioone saab väljendada ka terminites hüperboolsed funktsioonid:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
kus sh, ch ja th on hüperboolne siinus, koosinus ja puutuja.
Kompleksargumendi trigonomeetrilised funktsioonid z = x + iy, Kus x Ja y – reaalarvud, saab väljendada reaalsete argumentide trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide kaudu, näiteks:
patt ( x + iy) = patt x ptk y + i cos x sh y;
cos( x + iy) = cos x ptk y + i patt x sh y.
Kompleksse argumendi siinus ja koosinus võivad võtta tõelised väärtused, ületab absoluutväärtuses 1. Näiteks:
Kui trigonomeetriliste funktsioonide argumendina sisestatakse võrrandisse tundmatu nurk, nimetatakse võrrandit trigonomeetriliseks. Sellised võrrandid on nii levinud, et nende meetodid lahendused on väga detailsed ja hoolikalt välja töötatud. KOOS abiga erinevaid tehnikaid ja valemid taandavad trigonomeetrilised võrrandid vormi võrranditeks f(x)= a, Kus f– mis tahes lihtsamaid trigonomeetrilisi funktsioone: siinus, koosinus, puutuja või kotangens. Seejärel väljendage argumenti x seda funktsiooni teadaoleva väärtuse kaudu A.
Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, siis sama A väärtuste vahemikust on argumendi väärtusi lõputult palju ja võrrandi lahendeid ei saa kirjutada ühe funktsioonina A. Seetõttu valitakse iga peamise trigonomeetrilise funktsiooni määratluspiirkonnas jaotis, milles see võtab kõik väärtused, igaüks ainult ühe korra, ja selles jaotises on sellele pöördfunktsioon. Selliseid funktsioone tähistatakse, lisades esialgse funktsiooni nimele eesliite kaar (kaar) ja neid nimetatakse pöördtrigonomeetrilisteks. funktsioonid või lihtsalt kaarefunktsioonid.
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid.
Patu eest X, cos X, tg X ja ctg X saab määrata pöördfunktsioonid. Neid tähistatakse vastavalt arcsiniga X(loe "arcsine" x"), arcos x, arctan x ja arcctg x. Definitsiooni järgi arcsin X on selline number y, Mida
patt juures = X.
Samamoodi ka teiste pöördtrigonomeetriliste funktsioonide puhul. Kuid see määratlus kannatab teatud ebatäpsuse tõttu.
Kui peegeldad pattu X, cos X, tg X ja ctg X esimese ja kolmanda kvadrandi poolitaja suhtes koordinaattasand, siis muutuvad funktsioonid oma perioodilisuse tõttu mitmetähenduslikeks: sama siinus (koosinus, puutuja, kotangens) vastab lõpmatu arv nurgad
Ebaselgusest vabanemiseks kõvera osa laiusega lk, sel juhul on vajalik, et argumendi ja funktsiooni väärtuse vahel säiliks üks-ühele vastavus. Valitakse koordinaatide alguspunkti lähedal olevad alad. Siinuse jaoks Üks-ühele intervallina võtame lõigu [– lk/2, lk/2], millel siinus suureneb monotoonselt –1-lt 1-ni, koosinuse puhul – segment, puutuja ja kotangensi puhul vastavalt intervallid (– lk/2, lk/2) ja (0, lk). Iga intervalli kõver kajastub poolitaja suhtes ja nüüd saab määrata pöördvõrdelisi trigonomeetrilisi funktsioone. Näiteks olgu argumendi väärtus antud x 0, nii, et 0 Ј x 0 Ј 1. Seejärel funktsiooni väärtus y 0 = arcsin x 0 saab olema ainult üks tähendus juures 0 , selline, et - lk/2 Ј juures 0 Ј lk/2 ja x 0 = patt y 0 .
Seega on arsiinus arcsini funktsioon A, defineeritud intervallil [–1, 1] ja võrdsed igaühe jaoks A sellisele väärtusele, - lk/2 a p /2 et sin a = A. Seda on väga mugav kujutada ühikringi abil (joonis 15). Millal | a| 1 ringil on kaks ordinaatpunkti a, sümmeetriline telje suhtes u.Üks neist vastab nurgale a= arcsin A, ja teine on nurk p - a. KOOS siinuse perioodilisust arvestades lahendus patu võrrandid x= A on kirjutatud järgmiselt:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
Kus n= 0, ±1, ±2,...
Teisi lihtsaid trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada samal viisil:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
Kus P= 0, ±1, ±2,... (joonis 16);
tg X = a;
x= arctan a + lk n,
Kus n = 0, ±1, ±2,... (joonis 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + lk n,
Kus n = 0, ±1, ±2,... (joonis 18).
Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide põhiomadused:
arcsin X(joonis 19): määratluspiirkond – segment [–1, 1]; vahemik – [– lk/2, lk/2], monotoonselt kasvav funktsioon;
arccos X(joonis 20): määratluspiirkond – segment [–1, 1]; ulatus – ; monotoonselt vähenev funktsioon;
arctg X(joonis 21): määratluspiirkond – kõik reaalarvud; väärtuste vahemik – intervall (– lk/2, lk/2); monotoonselt suurenev funktsioon; otse juures= –lk/2 ja y = p /2 – horisontaalsed asümptoodid;
arcctg X(joonis 22): määratluspiirkond – kõik reaalarvud; väärtuste vahemik – intervall (0, lk); monotoonselt vähenev funktsioon; otse y= 0 ja y = p- horisontaalsed asümptoodid.
Kellelegi z = x + iy, Kus x Ja y on reaalarvud, kehtivad ebavõrdsused
½| e\e y–e-y| ≤|patt z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),
millest kl y® Ґ järgnevad asümptootilised valemid (ühtlaselt x)
|patt z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonomeetrilised funktsioonid ilmusid esmakordselt seoses astronoomia ja geomeetria uurimisega. Kolmnurga ja ringi lõikude suhted, mis on sisuliselt trigonomeetrilised funktsioonid, on leitud juba 3. sajandil. eKr e. Vana-Kreeka matemaatikute töödes – Euclid, Archimedes, Apollonius Pergast jt, aga need seosed ei olnud iseseisev uurimisobjekt, mistõttu nad ei uurinud trigonomeetrilisi funktsioone kui selliseid. Algselt peeti neid segmentideks ja sellisel kujul kasutasid neid Aristarchos (4. sajandi lõpp – 3. sajandi 2. pool eKr), Hipparkhos (2. sajand eKr), Menelaus (1. sajand eKr). ) ja Ptolemaios (2. sajand pKr). kerakujuliste kolmnurkade lahendamine. Ptolemaios koostas esimese akordide tabeli teravnurkade kohta iga 30" täpsusega 10 -6. See oli esimene siinuste tabel. Suhtarvuna patu funktsioon a leidub juba Aryabhatas (5. sajandi lõpp). Funktsioonid tg a ja ctg a leidub al-Battanis (9. sajandi 2. pool – 10. sajandi algus) ja Abul-Wefis (10. sajand), kes kasutab ka sec a ja cosec a. Aryabhata teadis juba valemit (sin 2 a + cos 2 a) = 1 ja ka patu valemid ja cos poolnurk, mille abil koostasin siinuste tabelid nurkade jaoks iga 3°45" järel; teadaolevad väärtused trigonomeetrilised funktsioonid kõige lihtsamate argumentide jaoks. Bhaskara (12. sajand) andis meetodi tabelite koostamiseks 1-ga, kasutades liitmisvalemeid. Valemid erinevate argumentide trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse korrutiseks teisendamiseks tuletasid Regiomontanus (15. sajand) ja J. Napier seoses viimase logaritmide leiutamisega (1614). Regiomontan andis siinusväärtuste tabeli 1". Trigonomeetriliste funktsioonide laiendamise astmeridadeks sai I. Newton (1669). kaasaegne vorm trigonomeetriliste funktsioonide teooria tutvustas L. Euler (18. sajand). Talle kuulub nende definitsioon tõeliste ja keeruliste argumentide jaoks, praegu aktsepteeritud sümboolika, seoste loomine nendega eksponentsiaalne funktsioon ja siinuste ja koosinuste süsteemi ortogonaalsus.
Mõisted siinus (), koosinus (), puutuja (), kotangens () on lahutamatult seotud nurga mõistega. Et neid esmapilgul hästi mõista, keerulised mõisted(mis tekitavad paljudes kooliõpilastes õudusseisundit) ja veendumaks, et "kurat pole nii hirmus, kui teda maalitakse", alustame algusest ja mõistame nurga mõistet.
Nurga mõiste: radiaan, kraad
Vaatame pilti. Vektor on punkti suhtes teatud määral "pöördunud". Seega on selle pöörde mõõt algpositsiooni suhtes nurk.
Mida veel peate nurga mõiste kohta teadma? No muidugi, nurgaühikud!
Nurka, nii geomeetrias kui ka trigonomeetrias, saab mõõta kraadides ja radiaanides.
Nurka (üks kraad) nimetatakse kesknurk ringis, mis põhineb ringkaarel, mis on võrdne ringi osaga. Seega koosneb kogu ring ringkaare "tükkidest" või on ringiga kirjeldatud nurk võrdne.
See tähendab, et ülaltoodud joonis näitab nurka, mis on võrdne, see tähendab, et see nurk toetub ümbermõõdu suurusele ringkaarele.
Nurk radiaanides on kesknurk ringis, mis on ümbritsetud ringkaarega, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega. Noh, kas sa said aru? Kui ei, siis mõtleme selle jooniselt välja.
Niisiis on joonisel nurk, mis on võrdne radiaaniga, see tähendab, et see nurk toetub ringkaarele, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega (pikkus võrdub pikkuse või raadiusega pikkusega võrdne kaared). Seega arvutatakse kaare pikkus järgmise valemiga:
Kus on kesknurk radiaanides.
Noh, kas saate seda teades vastata, mitu radiaani ringjoonega kirjeldatud nurgas sisaldub? Jah, selleks peate meeles pidama ümbermõõdu valemit. Siin ta on:
Noh, nüüd korreleerime need kaks valemit ja leiame, et ringiga kirjeldatud nurk on võrdne. See tähendab, et korreleerides väärtust kraadides ja radiaanides, saame selle. Vastavalt,. Nagu näete, on erinevalt "kraadidest" sõna "radiaan" välja jäetud, kuna mõõtühik on tavaliselt kontekstist selge.
Mitu radiaani seal on? See on õige!
Sain aru? Seejärel jätkake ja parandage see:
Kas teil on raskusi? Siis vaata vastuseid:
Täisnurkne kolmnurk: siinus, koosinus, puutuja, nurga kotangens
Niisiis, me mõtlesime välja nurga mõiste. Mis on aga nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens? Selgitame välja. Selleks aitab meid täisnurkne kolmnurk.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg); jalad on kaks ülejäänud külge ja (need, mis külgnevad täisnurk) ja kui arvestada jalgu nurga suhtes, siis on jalg külgnev jalg ja jalg on vastupidine. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?
Nurga siinus- see on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga koosinus- see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga puutuja- see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga kotangents- see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas.
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast: , aga nurga koosinuse saame arvutada kolmnurgast: . Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!
Alloleval joonisel kujutatud kolmnurga jaoks leiame.
Noh, kas sa said aru? Seejärel proovige seda ise: arvutage sama nurga jaoks.
Ühik (trigonomeetriline) ring
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne. Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.
Nagu sa näed, antud ring konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringi raadius võrdne ühega, samas kui ringi keskpunkt asub lähtepunktis, lähtepositsioon Raadiuse vektor on fikseeritud piki telje positiivset suunda (meie näites on see raadius).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: telje koordinaadile ja telje koordinaadile. Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Kaaluge kolmnurka. See on ristkülikukujuline, kuna see on teljega risti.
Millega võrdub kolmnurk? See on õige. Lisaks teame, et see on ühiku ringi raadius, mis tähendab . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.
Millega võrdub kolmnurk? No muidugi,! Asendage raadiuse väärtus sellesse valemisse ja saate:
Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil? No mitte kuidagi? Mis siis, kui sa sellest aru saad ja oled vaid numbrid? Millisele koordinaadile see vastab? No muidugi koordinaadid! Ja mis koordinaadile see vastab? Täpselt nii, koordinaadid! Seega punkt.
Mis siis on ja millega võrdsed? Täpselt nii, kasutame vastavaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame, et a.
Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka: nurk (nurgaga külgnevana). Millised on nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile; nurga koosinuse väärtus - koordinaat; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.
Niisiis, me teame, et raadiusvektori terve pööre ümber ringi on või. Kas raadiusvektorit on võimalik pöörata või poole? No muidugi saab! Seetõttu teeb esimesel juhul raadiuse vektor ühe täispööre ja peatub asendis või.
Teisel juhul, see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täispööret ja peatub asendis või.
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad või (kus on mis tahes täisarv), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka. Sama pilt vastab nurgale jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga või (kus on mis tahes täisarv)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk vastab koordinaatidega punktile, seega:
Ei eksisteeri;
Edasi, järgides sama loogikat, saame teada, et nurgad vastavad vastavalt koordinaatidega punktidele. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
Kuid allolevas tabelis toodud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja tuleb meeles pidada:
Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavaid väärtusi on üsna lihtne meeles pidada:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada siinuse väärtusi kõigi kolme nurga mõõtmise jaoks (), samuti nurga puutuja väärtust. Neid väärtusi teades on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
Seda teades saate väärtused taastada. Lugeja " " ühtib ja nimetaja " " ühtib. Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui saate sellest aru ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate kõiki tabelis olevaid väärtusi.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringilt on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, selle raadiust ja pöördenurka?
No muidugi saab! Võtame selle välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks.
Näiteks siin on meie ees ring:
Meile antakse, et punkt on ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud punkti kraadide kaupa pööramisel.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti koordinaat lõigu pikkusele. Lõigu pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile, see tähendab, et see on võrdne. Lõigu pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:
Siis on see punkti koordinaat.
Sama loogikat kasutades leiame punkti y-koordinaadi väärtuse. Seega
Niisiis, sisse üldine vaade Punktide koordinaadid määratakse valemitega:
Ringi keskpunkti koordinaadid,
Ringi raadius,
Vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi jaoks need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:
Noh, proovime neid valemeid, harjutades ringilt punktide leidmist?
1. Leidke ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
2. Leia ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
3. Leidke ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
4. Punkt on ringi keskpunkt. Ringi raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
5. Punkt on ringi keskpunkt. Ringi raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
Kas teil on raskusi ringi punkti koordinaatide leidmisega?
Lahenda need viis näidet (või õpi neid hästi lahendama) ja õpid neid leidma!
1.
Saate seda märgata. Kuid me teame, mis vastab lähtepunkti täielikule pöördele. Seega soovitud punkt on samas asendis kui sisselülitamisel. Seda teades leiame punkti vajalikud koordinaadid:
2. Ühikuring on tsentreeritud punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Saate seda märgata. Me teame, mis vastab lähtepunkti kahele täispöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti vajalikud koordinaadid:
Siinus ja koosinus on tabeli väärtused. Meenutame nende tähendusi ja saame:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
3. Ühikuring on tsentreeritud punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Saate seda märgata. Kujutame kõnealust näidet joonisel:
Raadius moodustab teljega võrdsed nurgad. Teades, et koosinuse ja siinuse tabeliväärtused on võrdsed, ja olles teinud kindlaks, et koosinus võtab siin negatiivne tähendus, ja siinus on positiivne, meil on:
Rohkem detaile sarnased näited mõistetakse teemas trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimise valemeid uurides.
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
4.
Vektori raadiuse pöördenurk (tingimuse järgi)
Siinuse ja koosinuse vastavate märkide määramiseks konstrueerime ühikulise ringi ja nurga:
Nagu näete, on väärtus, see tähendab, positiivne ja väärtus, see tähendab, on negatiivne. Teades vastavate trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi, saame, et:
Asendame saadud väärtused oma valemiga ja leiame koordinaadid:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
5. Selle ülesande lahendamiseks kasutame valemeid üldkujul, kus
Ringi keskpunkti koordinaadid (meie näites
Ringi raadius (tingimuse järgi)
Vektori raadiuse pöördenurk (tingimuse järgi).
Asendame kõik väärtused valemis ja saame:
ja - tabeliväärtused. Pidagem meeles ja asendame need valemiga:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID
Nurga siinus on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja on vastaskülje (kaug-) ja külgneva (lähedase) külje suhe.
Nurga kootangens on külgneva (lähedase) külje ja vastaskülje (kaugema) suhe.
Näited:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argument ja tähendus
Teranurga koosinus
Teranurga koosinus saab määrata täisnurkse kolmnurga abil - see on võrdne külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.
Näide :
1) Olgu antud nurk ja me peame määrama selle nurga koosinuse.
2) Täidame selle nurga suvalise täisnurkse kolmnurga.
3) Olles mõõtnud vajalikud küljed, saame arvutada koosinuse.
Arvu koosinus
Arvuring võimaldab määrata mis tahes arvu koosinuse, kuid tavaliselt leiate arvude koosinuse, mis on kuidagi seotud: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Näiteks arvu \(\frac(π)(6)\) puhul on koosinus võrdne \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Ja arvu \(-\)\(\frac(3π)(4)\) puhul on see võrdne \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ligikaudu \ (-0 ,71\)).
Teiste praktikas sageli esinevate arvude koosinuse kohta vt.
Koosinusväärtus jääb alati vahemikku \(-1\) kuni \(1\). Sel juhul saab koosinuse arvutada absoluutselt mis tahes nurga ja arvu jaoks.
Mis tahes nurga koosinus
Tänu numbriring Saate määrata mitte ainult teravnurga, vaid ka nüri, negatiivse ja isegi suurema kui \(360°\) (täispööre) koosinuse. Kuidas seda teha, on lihtsam üks kord näha kui \(100\) korda kuulda, seega vaadake pilti.
Nüüd selgitus: oletame, et peame määrama nurga koosinuse KOA Koos kraadi mõõt\(150°\). Punkti ühendamine KOHTA ringi keskpunkti ja küljega Okei– teljega \(x\). Pärast seda pange kõrvale \(150°\) vastupäeva. Siis punkti ordinaat A näitab meile selle nurga koosinust.
Kui meid huvitab nurk kraadiga, näiteks \(-60°\) (nurk KOV), teeme sama, kuid määrame \(60°\) päripäeva.
Ja lõpuks, nurk on suurem kui \(360°\) (nurk CBS) - kõik sarnaneb lolliga, alles pärast täispööret päripäeva läheme teisele ringile ja “saame kraadide puudumise”. Täpsemalt, meie puhul on nurk \(405°\) kujutatud kujul \(360° + 45°\).
On lihtne arvata, et nurga joonistamiseks näiteks ühikutes \(960°\) tuleb teha kaks pööret (\(360°+360°+240°\)) ja nurga jaoks \(2640 °\) - terve seitse.
Nagu võite asendada, on nii arvu koosinus kui ka suvalise nurga koosinus defineeritud peaaegu identselt. Muutub ainult ringil punkti leidmise viis.
Koosinusmärgid kvartalite kaupa
Koosinustelje (st joonisel punasega esile tõstetud abstsisstelge) abil on koosinuste märke lihtne määrata piki numbrilist (trigonomeetrilist) ringi:
Kui telje väärtused on vahemikus \(0\) kuni \(1\), on koosinusel plussmärk (I ja IV veerand – haljasala),
- kui telje väärtused on vahemikus \(0\) kuni \(-1\), on koosinusel miinusmärk (II ja III veerand - lilla ala).
Seos teiste trigonomeetriliste funktsioonidega:
- sama nurk (või number): peamine trigonomeetriline identiteet\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- sama nurk (või arv): valemiga \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- ja sama nurga (või arvu) siinus: valem \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Teiste sagedamini kasutatavate valemite kohta vt.
Võrrandi \(\cosx=a\) lahendus
Võrrandi \(\cosx=a\) lahend, kus \(a\) on arv, mis ei ole suurem kui \(1\) ja mitte väiksem kui \(-1\), s.o. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Kui \(a>1\) või \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Näide . Lahendage trigonomeetriline võrrand \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Lahendus:
Lahendame võrrandi arvuringi kasutades. Selle jaoks:
1) Ehitame teljed.
2) Ehitame ringi.
3) Märgi koosinusteljel (teljel \(y\)) punkt \(\frac(1)(2)\) .
4) Joonistage koosinusteljega risti läbi selle punkti.
5) Märgi risti ja ringi lõikepunktid.
6) Märgistame nende punktide väärtused: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Kirjutame üles kõik nendele punktidele vastavad väärtused valemiga \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Vastus: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Funktsioon \(y=\cos(x)\)
Kui joonistame nurgad radiaanides piki \(x\) telge ja nendele nurkadele vastavad koosinusväärtused piki \(y\) telge, saame järgmise graafiku:
Seda graafikut nimetatakse ja sellel on järgmised omadused:
Määratluspiirkond on mis tahes x väärtus: \(D(\cos(x))=R\)
- väärtuste vahemik – \(-1\) kuni \(1\) kaasa arvatud: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- paaris: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- perioodiline perioodiga \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- koordinaattelgede lõikepunktid:
abstsisstellg: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kus \(n ϵ Z\)
Y-telg: \((0;1)\)
- märgi püsivuse intervallid:
funktsioon on positiivne intervallidel: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kus \(n ϵ Z\)
funktsioon on negatiivne intervallidel: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kus \(n ϵ Z\)
- suurendamise ja vähendamise intervallid:
funktsioon suureneb intervallidel: \((π+2πn;2π+2πn)\), kus \(n ϵ Z\)
funktsioon väheneb intervallidel: \((2πn;π+2πn)\), kus \(n ϵ Z\)
- funktsiooni maksimumid ja miinimumid:
funktsioonil on maksimaalne väärtus \(y=1\) punktides \(x=2πn\), kus \(n ϵ Z\)
funktsioonil on minimaalne väärtus \(y=-1\) punktides \(x=π+2πn\), kus \(n ϵ Z\).