Kurt Gödels ufuldstændighedssætninger var et vendepunkt i det 20. århundredes matematik. Og i hans manuskripter, udgivet efter hans død, blev et logisk bevis på Guds eksistens bevaret. Ved de sidste julelæsninger interessant rapport Lektor ved Tobolsk Theological Seminary, teologikandidat, præst Dimitry KIRYANOV, talte om denne lidet kendte arv. "NS" bad om at forklare videnskabsmandens hovedideer.
Gödels ufuldstændighedssætninger: Et hul i matematik
— Er der nogen populær måde at forklare Gödels ufuldstændighedsteoremer på? Barberen barberer kun dem, der ikke barberer sig. Barberer en barber sig selv? Det her berømt paradoks har det noget med dem at gøre?
Hovedtesen om det logiske bevis for Guds eksistens, fremsat af Kurt Gödel: "Gud eksisterer i tanken. Men eksistensen i virkeligheden er mere end eksistensen kun i tanken. Derfor må Gud eksistere." På billedet: forfatteren af ufuldstændighedsteoremet, Kurt Gödel, sammen med sin ven, forfatteren af relativitetsteorien, Albert Einstein. Priston. Amerika. 1950
- Ja, selvfølgelig gør det det. Før Gödel var der problemet med aksiomatisering af matematik og problemet med sådanne paradoksale sætninger, der formelt kan skrives på ethvert sprog. For eksempel: "Denne erklæring er falsk." Hvad er sandheden i dette udsagn? Hvis det er sandt, så er det falsk, hvis det er falsk, så er det sandt; Dette resulterer i et sprogligt paradoks. Gödel studerede aritmetik og viste i sine sætninger, at dens konsistens ikke kan bevises baseret på dens selvindlysende principper: aksiomer for addition, subtraktion, division, multiplikation osv. Vi kræver nogle yderligere antagelser for at retfærdiggøre det. Dette er på det meste den enkleste teori, men hvad med mere komplekse (fysiske ligninger osv.)! For at retfærdiggøre ethvert system af slutninger, er vi altid tvunget til at ty til en eller anden yderligere slutning, som ikke er berettiget inden for systemets rammer.
Først og fremmest indikerer dette begrænsningerne af krav menneskesind i viden om virkeligheden. Det vil sige, at vi ikke kan sige, at vi vil bygge en form for omfattende teori om universet, der vil forklare alt – sådan en teori kan ikke være videnskabelig.
— Hvordan har matematikere det nu med Gödels sætninger? Er der ingen, der forsøger at tilbagevise dem eller på en eller anden måde komme uden om dem?
"Det er som at forsøge at modbevise Pythagoras sætning." Sætningerne har strenge logiske beviser. Samtidig forsøger man at finde begrænsninger for anvendeligheden af Gödels sætninger. Men hovedsageligt drejer debatten sig om de filosofiske implikationer af Gödels teoremer.
— Hvor langt er Gödels bevis for Guds eksistens blevet udviklet? Er den færdig?
"Det blev udarbejdet i detaljer, selvom videnskabsmanden selv ikke turde offentliggøre det før sin død." Gödel udvikler ontologisk (metafysisk. - "NS") argument først foreslået af Anselm af Canterbury. I en kondenseret form kan dette argument fremføres på følgende måde: "Gud er pr. definition den, der er større end hvem intet kan forestilles. Gud eksisterer i tænkning. Men eksistensen i virkeligheden er mere end eksistensen kun i tanken. Derfor skal Gud eksistere." Anselms argument blev senere udviklet af René Descartes og Gottfried Wilhelm Leibniz. At tænke på det Højeste Perfekte Væsen, som mangler eksistens, betyder således ifølge Descartes at falde i en logisk modsigelse. I sammenhæng med disse ideer udvikler Gödel sin version af beviset, det passer bogstaveligt talt på to sider. Desværre er det umuligt at præsentere hans argument uden at introducere det grundlæggende i meget kompleks modal logik.
Naturligvis tvinger den logiske fejlfrihed i Gödels konklusioner ikke en person til at blive troende under pres fra bevisstyrken. Vi skal ikke være naive og tro, at vi kan overbevise nogen intelligent tænkende mand at tro på Gud ved hjælp af et ontologisk argument eller andre beviser. Tro er født, når en person står ansigt til ansigt med den åbenlyse tilstedeværelse af Guds højeste transcendentale virkelighed. Men vi kan nævne mindst én person, som det ontologiske bevis førte til religiøs tro, - dette er forfatteren Clive Staples Lewis, det indrømmede han selv.
Den fjerne fremtid er den fjerne fortid
— Hvordan behandlede samtiden Gödel? Var han venner med nogen af de store videnskabsmænd?
- Einsteins assistent i Princeton vidner om det den eneste person, som han var venner med de sidste år liv, var Kurt Gödel. De var forskellige i næsten alt – Einstein var omgængelig og munter, mens Gödel var yderst alvorlig, fuldstændig ensom og mistroisk. Men det havde de overordnet kvalitet: både gik direkte og oprigtigt hen imod centrale spørgsmål videnskab og filosofi. På trods af sit venskab med Einstein havde Gödel sit eget specifikke syn på religion. Han afviste ideen om Gud som et upersonligt væsen, som Gud var for Einstein. Ved denne lejlighed bemærkede Gödel: "Einsteins religion er for abstrakt, ligesom Spinozas og indisk filosofi. Spinozas Gud er mindre end en person; min Gud er mere end en person; da Gud kan spille rollen som personlighed." Der kan være ånder, der ikke har en krop, men som kan kommunikere med os og påvirke verden."
— Hvordan endte Gödel i Amerika? Flygtede fra nazisterne?
- Ja, han kom til Amerika i 1940 fra Tyskland, på trods af at nazisterne anerkendte ham som en arisk og en stor videnskabsmand, og befriede ham fra militærtjeneste. Han og hans kone Adele kom gennem Rusland langs den transsibiriske jernbane. Han efterlod sig ingen minder om denne rejse. Adele husker kun konstant frygt om natten, at de stopper og vender tilbage. Efter otte års ophold i Amerika blev Gödel amerikansk statsborger. Som alle ansøgere om statsborgerskab skulle han besvare spørgsmål vedrørende den amerikanske forfatning. Da han var en omhyggelig person, forberedte han sig meget omhyggeligt til denne eksamen. Til sidst sagde han, at han havde fundet en inkonsekvens i forfatningen: "Jeg har opdaget en logisk legitim mulighed, hvor USA kan blive et diktatur." Hans venner erkendte, at uanset de logiske fordele ved Gödels argument, var denne mulighed rent hypotetisk af natur, og advarede mod at tale længe om dette emne i eksamen.
- Brugte Gödel og Einstein hinandens ideer i videnskabeligt arbejde?
— I 1949 udtrykte Gödel sine kosmologiske ideer i et matematisk essay, som ifølge Albert Einstein var et vigtigt bidrag til den generelle relativitetsteori. Gödel mente, at tiden - "den mystiske og på samme tid selvmodsigende essens, der danner grundlaget for verden og vores egen eksistens" - med tiden ville blive den største illusion. Det "en dag" vil ophøre med at eksistere, og en anden form for eksistens vil komme, som kan kaldes evighed. Denne idé om tid førte den store logiker til en uventet konklusion. Han skrev: "Jeg er overbevist om et liv efter døden, uanset teologi. Hvis verden er intelligent designet, så må der være et liv efter døden."
- "Tid er en selvmodsigende enhed." Lyder mærkeligt; den har nogle fysisk betydning?
— Gödel viste, at det inden for rammerne af Einsteins ligning er muligt at konstruere en kosmologisk model med lukket tid, hvor den fjerne fortid og den fjerne fremtid falder sammen. I denne model bliver tidsrejser teoretisk mulige. Det lyder mærkeligt, men det er matematisk udtrykligt – det er meningen. Denne model kan have eller ikke have eksperimentelle implikationer. Det er en teoretisk konstruktion, der kan være nyttig til at konstruere nye kosmologiske modeller – eller kan vise sig at være unødvendig. Moderne teoretisk fysik, især kvantekosmologi, har et sådant kompleks matematisk struktur at disse strukturer er meget svære at give en entydig filosofisk forståelse. Desuden er nogle af dets teoretiske design hidtil utestbare eksperimentelt af den simple grund, at deres verifikation kræver påvisning af meget højenergipartikler. Husk, hvordan folk var alarmerede over lanceringen af Large Hadron Collider: betyder massemedier konstant skræmte mennesker med verdens ende, der nærmer sig. Faktisk blev det taget alvorligt videnskabeligt eksperiment om modelkontrol kvantekosmologi og de såkaldte "grand unified theories". Hvis det var muligt at detektere de såkaldte Higgs-partikler, ville dette være næste skridt i vores forståelse af de mest tidlige stadier eksistensen af vores univers. Men selvom der ikke er nogen eksperimentelle data, fortsætter konkurrerende modeller af kvantekosmologi med at forblive blot matematiske modeller.
Tro og intuition
— “...Min Gud er mere end en person; siden Gud kan spille rollen som en person...” Alligevel er Gödels tro langt fra den ortodokse bekendelse?
- Meget få af Gödels udtalelser om hans tro har overlevet; de er blevet samlet lidt efter lidt. På trods af, at de første udkast egen version Gödel fremsatte dette argument tilbage i 1941; indtil 1970, af frygt for latterliggørelse fra sine kolleger, talte han ikke om det. I februar 1970, da han mærkede, at døden nærmede sig, lod han sin assistent kopiere en version af sit bevis. Efter Gödels død i 1978 blev en lidt anden version af det ontologiske argument opdaget i hans papirer. Kurt Gödels kone, Adele, sagde to dage efter sin mands død, at Gödel, "selv om han ikke gik i kirke, var religiøs og læste i Bibelen i sengen hver søndag morgen."
Når vi taler om videnskabsmænd som Gödel, Einstein eller for eksempel Galileo eller Newton, er det vigtigt at understrege, at de ikke var ateister. De så, at der bag universet er et sind, en slags højere magt. For mange videnskabsmænd er troen på eksistensen Højeste intelligens var en af konsekvenserne af deres videnskabelige refleksion, og denne refleksion førte ikke altid til, at der opstod en dyb religiøs forbindelse mellem mennesket og Gud. I forhold til Gödel kan vi sige, at han følte behov for denne forbindelse, eftersom han understregede, at han var teist og tænkte på Gud som person. Men hans tro kan selvfølgelig ikke kaldes ortodoks. Han var så at sige en "hjemmelutheraner".
- Du kan give historiske eksempler: hvordan kommer forskellige videnskabsmænd til at tro på Gud? Her er genetikeren Francis Collins, ifølge hans bekendelser førte studiet af DNA-strukturen ham til tro på Gud...
— Naturlig kundskab om Gud i sig selv er ikke tilstrækkelig til kundskab om Gud. Det er ikke nok at opdage Gud ved at studere naturen, det er vigtigt at lære ham at kende gennem den åbenbaring, som Gud gav mennesket. En persons komme til tro, uanset om han er videnskabsmand eller ej, er altid afhængig af noget, der går ud over blot logiske eller videnskabelige argumenter. Francis Collins skriver, at han kom til tro i en alder af 27 efter en lang intellektuel debat med sig selv og under indflydelse af Clive Staples Lewis. To mennesker er i den samme historiske situation, i de samme begyndelsesbetingelser: den ene bliver troende, den anden ateist. For det første fører studiet af DNA til troen på Guds eksistens. En anden undersøgelser og kommer ikke til denne konklusion. To mennesker ser på et billede: den ene synes, det er smukt, og den anden siger: "Så som så, et almindeligt billede!" Den ene har smag, intuition, og den anden har ikke. Professor i ortodokse St. Tikhon's humanitært universitet Vladimir Nikolaevich Katasonov, læge filosofiske videnskaber, en matematiker af uddannelse, siger: "Intet bevis i matematik er muligt uden intuition: Matematikeren ser først billedet og formulerer derefter beviset."
Spørgsmålet om en persons komme til tro er altid et spørgsmål, der går ud over blot logiske ræsonnementer. Hvordan kan du forklare, hvad der førte dig til tro? Manden svarer: Jeg gik til templet, tænkte, læste dit og dat, så universets harmoni; men det vigtigste, det mest exceptionelle øjeblik, hvor en person pludselig ved, at han har mødt Guds nærvær, kan ikke udtrykkes. Det er altid et mysterium.
- Man kan identificere problemer, man ikke kan løse moderne videnskab?
— Videnskaben er jo en tilstrækkelig sikker, selvstændig og veludviklet virksomhed til at udtale sig så hårdt. Det er et godt og meget nyttigt værktøj i menneskehænder. Siden Francis Bacons tid er viden virkelig blevet en kraft, der har ændret verden. Videnskaben udvikler sig i overensstemmelse med dens interne love: videnskabsmanden stræber efter at forstå universets love, og der er ingen tvivl om, at denne søgen vil føre til succes. Men samtidig er det nødvendigt at anerkende videnskabens grænser. Man skal ikke forveksle videnskab og de ideologiske spørgsmål, der kan rejses i forbindelse med videnskab. De vigtigste problemer i dag er ikke så meget relateret til den videnskabelige metode som til værdiorientering. Videnskab i det lange tyvende århundrede blev af mennesker opfattet som et absolut gode, der bidrager til menneskehedens fremskridt; og vi ser, at det tyvende århundrede blev det mest grusomme med hensyn til menneskelige tab. Og her opstår spørgsmålet om værdier videnskabelige fremskridt, viden generelt. Etiske værdier følger ikke af videnskaben selv. En genial videnskabsmand kan opfinde et våben til at ødelægge hele menneskeheden, og dette rejser et spørgsmål om videnskabsmandens moralske ansvar, som videnskaben ikke kan svare på. Videnskaben kan ikke vise mennesket meningen og formålet med dets eksistens. Videnskaben vil aldrig være i stand til at besvare spørgsmålet, hvorfor er vi her? Hvorfor eksisterer universet? Disse spørgsmål løses på et andet vidensniveau, såsom filosofi og religion.
— Udover Gödels sætninger, er der andre beviser for, at den videnskabelige metode har sine grænser? Indrømmer videnskabsmænd selv dette?
— Allerede i begyndelsen af det 20. århundrede påpegede filosofferne Bergson og Husserl relativ værdi videnskabelig viden natur. Det er nu blevet næsten universel tro blandt videnskabsfilosoffer, at videnskabelige teorier repræsenterer hypotetiske modeller til at forklare fænomener. En af skaberne kvantemekanik— Det sagde Erwin Schrödinger elementære partikler er kun billeder, men dem kan vi sagtens undvære. Ifølge filosoffen og logikeren Karl Popper er videnskabelige teorier som et net, hvorigennem vi forsøger at fange verden, de er ikke som fotografier. Videnskabelige teorier er beliggende i konstant udvikling og ændre. Skaberne af kvantemekanikken, såsom Pauli, Bohr og Heisenberg, talte om grænserne for den videnskabelige metode. Pauli skrev: "... Fysik og psyke kan betragtes som yderligere aspekter af den samme virkelighed" - og understregede irreducerbarheden højere niveauer være til de lavere. De forskellige forklaringer dækker kun ét aspekt af materien ad gangen, men en omfattende teori vil aldrig blive opnået.
Universets skønhed og harmoni forudsætter muligheden for at kende det videnskabelige metoder. Samtidig har kristne altid forstået det uforståelige i mysteriet bag dette materielle univers. Universet har ingen basis i sig selv og peger på den perfekte kilde til eksistens – Gud.
Ethvert system af matematiske aksiomer startende fra et vist niveau kompleksitet er enten internt modstridende eller ufuldstændig.
I 1900 afholdtes Mathematicians World Conference i Paris, hvor David Hilbert (1862-1943) i form af afhandlinger præsenterede de 23 efter hans mening vigtigste problemer, som teoretikere i det kommende tyvende århundrede skulle løse. Nummer to på hans liste var en af dem simple opgaver, hvorpå svaret virker indlysende, indtil du graver lidt dybere. Taler moderne sprog, det var et spørgsmål: er matematik selvforsynende? Hilberts anden opgave kogte ned til behovet for strengt at bevise, at systemet aksiomer- grundlæggende udsagn taget som grundlag i matematik uden bevis - er perfekt og fuldstændig, det vil sige, at det giver mulighed for matematisk at beskrive alt, hvad der eksisterer. Det var nødvendigt at bevise, at det var muligt at definere et sådant system af aksiomer, at de for det første ville være gensidigt konsistente, og for det andet kunne man ud fra dem drage en konklusion om sandheden eller falskheden af ethvert udsagn.
Lad os tage et eksempel fra skolens geometri. Standard Euklidisk planimetri(plangeometri) kan man ubetinget bevise, at udsagnet "summen af vinklerne i en trekant er 180°" er sandt, og udsagnet "summen af vinklerne i en trekant er 137°" er falsk. I det væsentlige er ethvert udsagn i euklidisk geometri enten falsk eller sandt, og der er ingen tredje mulighed. Og i begyndelsen af det tyvende århundrede troede matematikere naivt, at den samme situation skulle observeres i ethvert logisk konsistent system.
Og så, i 1931, udgav en brilleglasset wiener-matematiker Kurt Gödel en kort artikel, der simpelthen forstyrrede hele verden af såkaldt "matematisk logik". Efter lange og komplekse matematiske og teoretiske præambler fastslog han bogstaveligt talt følgende. Lad os tage ethvert udsagn som: "Antagelse nr. 247 i dette system af aksiomer kan logisk ikke bevises" og kalde det "udsagn A." Så Gödel beviste simpelthen følgende fantastisk ejendom nogen aksiomsystemer:
"Hvis du kan bevise påstand A, så kan du bevise påstand ikke-A."
Med andre ord, hvis det er muligt at bevise gyldigheden af udsagnet "antagelse 247 Ikke beviselig", så er det muligt at bevise gyldigheden af udsagnet "antagelse 247 beviselig" Det vil sige, at vende tilbage til formuleringen af Hilberts andet problem, hvis et system af aksiomer er komplet (det vil sige, at ethvert udsagn i det kan bevises), så er det selvmodsigende.
Den eneste vej ud af denne situation er at acceptere et ufuldstændigt system af aksiomer. Det vil sige, at vi må affinde os med det faktum, at vi i forbindelse med ethvert logisk system stadig vil have "type A" udsagn, der åbenlyst er sande eller falske - og vi kan kun bedømme deres sandhed uden for rammerne for den aksiomatik, vi har vedtaget. Hvis der ikke er sådanne udsagn, så er vores aksiomatik selvmodsigende, og inden for dens rammer vil der uundgåeligt være formuleringer, der både kan bevises og modbevises.
Altså ordlyden først,eller svag Gödels ufuldstændighedssætninger: "Ethvert formelt system af aksiomer indeholder uafklarede antagelser." Men Gödel stoppede ikke der, formulerede og beviste anden, eller stærk Gödels ufuldstændighedssætning: “Den logiske fuldstændighed (eller ufuldstændighed) af ethvert system af aksiomer kan ikke bevises inden for rammerne af dette system. For at bevise eller modbevise det kræves yderligere aksiomer (styrker systemet).
Det ville være mere sikkert at tro, at Gödels sætninger er abstrakte af natur og ikke vedrører os, men kun områder af sublim matematisk logik, men faktisk viste det sig, at de er direkte relateret til strukturen af den menneskelige hjerne. Den engelske matematiker og fysiker Roger Penrose (f. 1931) viste, at Gödels sætninger kan bruges til at bevise eksistensen af fundamentale forskelle mellem den menneskelige hjerne og en computer. Betydningen af hans ræsonnement er enkel. Computeren handler strengt logisk og er ikke i stand til at afgøre, om udsagn A er sand eller falsk, hvis den går ud over aksiomatikken, og sådanne udsagn eksisterer ifølge Gödels sætning uundgåeligt. En person, der står over for en sådan logisk ubeviselig og uigendrivelig udtalelse A, er altid i stand til at bestemme dens sandhed eller falskhed - baseret på hverdagserfaring. I hvert fald i dette menneskelig hjerne overlegen en computer bundet af ren logiske kredsløb. Den menneskelige hjerne er i stand til at forstå den fulde dybde af sandheden indeholdt i Gödels sætninger, men det kan computerhjernen aldrig. Derfor er den menneskelige hjerne alt andet end en computer. Han er dygtig beslutninger, og Turing-testen vil bestå.
Jeg spekulerer på, om Hilbert havde nogen idé om, hvor langt hans spørgsmål ville bringe os?
Kurt Godel, 1906-78
østrigsk, dengang amerikansk matematiker. Født i Brünn (nu Brno, Tjekkiet). Han dimitterede fra universitetet i Wien, hvor han forblev lærer i afdelingen for matematik (siden 1930 - professor). I 1931 udgav han en teorem, der senere fik hans navn. Da han var en rent apolitisk person, havde han det ekstremt svært med mordet på sin ven og afdelingskollega af en nazistisk studerende og faldt i en dyb depression, hvis tilbagefald forfulgte ham resten af livet. I 1930'erne emigrerede han til USA, men vendte tilbage til sit hjemland Østrig og blev gift. I 1940, på toppen af krigen, blev han tvunget til at flygte til Amerika på transit gennem USSR og Japan. Han arbejdede i nogen tid på Princeton Institute for Advanced Study. Desværre kunne videnskabsmandens psyke ikke holde det ud, og han døde på en psykiatrisk klinik af sult og nægtede at spise, fordi han var overbevist om, at de ville forgifte ham.
Ethvert system af matematiske aksiomer, der starter fra et vist niveau af kompleksitet, er enten internt modstridende eller ufuldstændigt.
I 1900 afholdtes Mathematicians World Conference i Paris, hvor David Hilbert (1862-1943) i form af teser præsenterede de 23 efter hans mening vigtigste problemer, som teoretikere i det kommende tyvende århundrede skulle løse. Nummer to på hans liste var et af de simple problemer, hvis svar virker indlysende, indtil du graver lidt dybere. I moderne termer var dette spørgsmålet: er matematik selvforsynende? Hilberts anden opgave bunder i behovet for strengt at bevise, at systemet af aksiomer - grundlæggende udsagn accepteret i matematikken som grundlag uden bevis - er perfekt og komplet, det vil sige, at det giver mulighed for matematisk at beskrive alt, hvad der eksisterer. Det var nødvendigt at bevise, at det var muligt at definere et sådant system af aksiomer, at de for det første ville være gensidigt konsistente, og for det andet kunne man ud fra dem drage en konklusion om sandheden eller falskheden af ethvert udsagn.
Lad os tage et eksempel fra skolens geometri. I standard euklidisk planimetri (geometri på en plan) kan det bevises uden tvivl, at udsagnet "summen af vinklerne i en trekant er 180°" er sandt, og udsagnet "summen af vinklerne i en trekant er 137 °” er falsk. I det væsentlige er ethvert udsagn i euklidisk geometri enten falsk eller sandt, og der er ingen tredje mulighed. Og i begyndelsen af det tyvende århundrede troede matematikere naivt, at den samme situation skulle observeres i ethvert logisk konsistent system.
Og så, i 1931, udgav en brilleglasset wiener-matematiker Kurt Gödel en kort artikel, der simpelthen forstyrrede hele verden af såkaldt "matematisk logik". Efter lange og komplekse matematiske og teoretiske præambler fastslog han bogstaveligt talt følgende. Lad os tage ethvert udsagn som: "Antagelse nr. 247 i dette system af aksiomer kan logisk ikke bevises" og kalde det "udsagn A." Så Gödel beviste simpelthen følgende fantastiske egenskab ved ethvert system af aksiomer:
"Hvis du kan bevise påstand A, så kan du bevise påstand ikke-A."
Med andre ord, hvis sandheden af udsagnet "antagelse 247 er ubeviselig" kan bevises, så kan sandheden af udsagnet "antagelse 247 kan bevises" også bevises. Det vil sige, at vende tilbage til formuleringen af Hilberts andet problem, hvis et system af aksiomer er komplet (det vil sige, at ethvert udsagn i det kan bevises), så er det selvmodsigende.
Den eneste vej ud af denne situation er at acceptere et ufuldstændigt system af aksiomer. Det vil sige, at vi må affinde os med det faktum, at vi i forbindelse med ethvert logisk system stadig vil have "type A" udsagn, der åbenlyst er sande eller falske - og vi kan kun bedømme deres sandhed uden for rammerne af den aksiomatik, vi har. accepteret. Hvis der ikke er sådanne udsagn, så er vores aksiomatik selvmodsigende, og inden for dens rammer vil der uundgåeligt være formuleringer, der både kan bevises og modbevises.
Så formuleringen af Gödels første, eller svage, ufuldstændige sætning: "Ethvert formelt system af aksiomer indeholder uafklarede antagelser." Men Gödel stoppede ikke der, idet han formulerede og beviste Gödels anden, eller stærke, ufuldstændige sætning: "Den logiske fuldstændighed (eller ufuldstændighed) af ethvert system af aksiomer kan ikke bevises inden for rammerne af dette system. For at bevise eller modbevise det kræves yderligere aksiomer (styrker systemet).
Det ville være mere sikkert at tro, at Gödels sætninger er abstrakte af natur og ikke vedrører os, men kun områder af sublim matematisk logik, men faktisk viste det sig, at de er direkte relateret til strukturen af den menneskelige hjerne. Den engelske matematiker og fysiker Roger Penrose (f. 1931) viste, at Gödels sætninger kan bruges til at bevise eksistensen af fundamentale forskelle mellem den menneskelige hjerne og en computer. Betydningen af hans ræsonnement er enkel. Computeren handler strengt logisk og er ikke i stand til at afgøre, om udsagn A er sand eller falsk, hvis den går ud over aksiomatikken, og sådanne udsagn eksisterer ifølge Gödels sætning uundgåeligt. En person, der står over for en sådan logisk ubeviselig og uigendrivelig udtalelse A, er altid i stand til at bestemme dens sandhed eller falskhed - baseret på hverdagserfaring. I det mindste i denne henseende er den menneskelige hjerne overlegen i forhold til en computer, der er begrænset af rene logiske kredsløb. Den menneskelige hjerne er i stand til at forstå den fulde dybde af sandheden indeholdt i Gödels teoremer, men det kan en computerhjerne aldrig. Derfor er den menneskelige hjerne alt andet end en computer. Han er i stand til at træffe beslutninger og teste Turing vil bestå succesfuldt.
Jeg spekulerer på, om Hilbert havde nogen idé om, hvor langt hans spørgsmål ville bringe os?
Kurt GÖDEL
Kurt Godel, 1906–78
østrigsk, dengang amerikansk matematiker. Født i Brünn (nu Brno, Tjekkiet). Han dimitterede fra universitetet i Wien, hvor han forblev lærer i afdelingen for matematik (siden 1930 - professor). I 1931 udgav han en teorem, der senere fik hans navn. Da han var en rent apolitisk person, havde han det ekstremt svært med mordet på sin ven og afdelingskollega af en nazistisk studerende og faldt i en dyb depression, hvis tilbagefald forfulgte ham resten af livet. I 1930'erne emigrerede han til USA, men vendte tilbage til sit hjemland Østrig og blev gift. I 1940, på toppen af krigen, blev han tvunget til at flygte til Amerika på transit gennem USSR og Japan. Han arbejdede i nogen tid på Princeton Institute for Advanced Study. Desværre kunne videnskabsmandens psyke ikke holde det ud, og han døde på en psykiatrisk klinik af sult og nægtede at spise, fordi han var overbevist om, at de ville forgifte ham.
| Kommentarer: 0 |
Hvordan den videnskabelige model udvikler sig i naturvidenskab? Daglig eller videnskabelig erfaring akkumuleres, dens milepæle er omhyggeligt formuleret i form af postulater og danner grundlaget for modellen: et sæt udsagn, der accepteres af alle, der arbejder inden for rammerne af denne model.
Anatoly Wasserman
I 1930 beviste Kurt Gödel to sætninger, der, oversat fra matematisk sprog til menneskeligt sprog, betyder omtrent følgende: Ethvert system af aksiomer, der er rige nok til at blive brugt til at definere aritmetik, vil enten være ufuldstændige eller modstridende. Ikke komplet system- det betyder, at det i systemet er muligt at formulere et udsagn, der hverken kan bevises eller afkræftes ved hjælp af dette system. Men Gud er per definition den sidste årsag til alle årsager. Ud fra et matematisk synspunkt betyder det, at indførelsen af aksiomet om Gud gør hele vores aksiomatik komplet. Hvis der er en Gud, så kan ethvert udsagn enten bevises eller modbevises ved at henvise til Gud på den ene eller anden måde. Men ifølge Gödel er det komplette system af aksiomer uundgåeligt selvmodsigende. Det vil sige, at hvis vi tror, at Gud eksisterer, så er vi tvunget til at komme til den konklusion, at modsætninger er mulige i naturen. Og da der ikke er nogen modsætninger, ellers ville hele vores verden smuldre af disse modsætninger, må vi komme til den konklusion, at Guds eksistens er uforenelig med naturens eksistens.
Sosinsky A.B.
Gödels sætning, sammen med opdagelserne af relativitet, kvantemekanik og DNA, anses generelt for at være den største videnskabelig præstation XX århundrede. Hvorfor? Hvad er dens essens? Hvad er dens betydning? Disse spørgsmål i hans foredrag som en del af projektet " Offentlige foredrag"Polit.ru" afslører Alexey Bronislavovich Sosinsky, matematiker, professor ved Det Uafhængige Moskva Universitet, officer af Order of Academic Palms i Den Franske Republik, vinder af den russiske regerings pris inden for uddannelse i 2012. Især blev der givet flere forskellige formuleringer af det, tre tilgange til dets bevis blev beskrevet (Kolmogorov, Chaitin og Gödel selv), og dets betydning for matematik, fysik, computer videnskab og filosofi.
Uspensky V.A.
Foredraget er helliget den syntaktiske version af Gödels Ufuldstændighedssætning. Gödel beviste selv den syntaktiske version ved at bruge en stærkere antagelse end konsistens, nemlig den såkaldte omega-konsistens.
Uspensky V.A.
Forelæsninger sommer skole « Moderne matematik", Dubna.
En af de mest berømte teoremer i matematisk logik er heldig og uheldig på samme tid. Heri ligner den Einsteins specielle relativitetsteori. På den ene side har næsten alle hørt noget om dem. På den anden side, i den populære fortolkning, Einsteins teori som bekendt, "siger at alt i verden er relativt". Og Gödels sætning om ufuldstændighed (i det følgende blot TGN), i omtrent samme frie folkelige formulering, "beviser, at der er ting, der er uforståelige for det menneskelige sind". Og så forsøger nogle at tilpasse det som et argument mod materialismen, mens andre tværtimod beviser med dens hjælp, at der ikke er nogen Gud. Det sjove er ikke kun, at begge sider ikke kan have ret på samme tid, men også at hverken den ene eller den anden gider finde ud af, hvad denne sætning egentlig siger.
Og hvad så? Nedenfor vil jeg forsøge at fortælle dig om det "på fingrene". Min præsentation vil selvfølgelig være ikke-streng og intuitiv, men jeg vil bede matematikere om ikke at dømme mig strengt. Det er muligt, at for ikke-matematikere (som jeg faktisk er en af), vil der være noget nyt og brugbart i det, der er beskrevet nedenfor.
Matematisk logik er faktisk en ret kompleks videnskab, og vigtigst af alt, ikke særlig velkendt. Det kræver omhyggelige og strenge manøvrer, hvor det er vigtigt ikke at forveksle det, der faktisk er blevet bevist, med det, der "allerede er klart." Jeg håber dog, at for at forstå følgende "skitse af et bevis for TGN" vil læseren kun have brug for viden om skolematematik/datalogi, færdigheder logisk tænkning og 15-20 minutters tid.
Noget forenklet hævder TGN, at der på tilstrækkeligt komplekse sprog er udsagn, der ikke kan bevises. Men i denne sætning kræver næsten hvert ord forklaring.
Lad os starte med at prøve at finde ud af, hvad et bevis er. Lad os tage et regneproblem i skolen. Lad os f.eks. sige, at du skal bevise rigtigheden af følgende enkle formel: " " (lad mig minde dig om, at symbolet læser "for enhver" og kaldes den "universelle kvantifier"). Du kan bevise det ved at transformere det identisk, f.eks. sådan:
Overgangen fra en formel til en anden sker efter visse velkendte regler. Overgangen fra den 4. formel til den 5. skete, for eksempel, fordi hvert tal er lig med sig selv - dette er et aritmetisk aksiom. Og hele bevisproceduren oversætter således formlen til den boolske værdi TRUE. Resultatet kunne også være en LØGN - hvis vi modbeviste en eller anden formel. I dette tilfælde ville vi bevise dets benægtelse. Man kan forestille sig et program (og sådanne programmer er faktisk blevet skrevet), der ville bevise lignende (og mere komplekse) udsagn uden menneskelig indgriben.
Lad os sige det samme lidt mere formelt. Antag, at vi har et sæt bestående af strenge af tegn af et eller andet alfabet, og der er regler, hvorefter vi fra disse strenge kan vælge en delmængde af den såkaldte udsagn- altså grammatisk meningsfulde sætninger, som hver især er sande eller falske. Vi kan sige, at der er en funktion, der forbinder udsagn med en af to værdier: TRUE eller FALSE (det vil sige at kortlægge dem til et boolesk sæt af to elementer).
Lad os kalde sådan et par - et sæt udsagn og en funktion fra til - "udsagnssprog". Bemærk, at sprogbegrebet i daglig forstand er noget bredere. For eksempel den russiske sætning "Kom her!" hverken sandt eller falsk, det vil sige ud fra den matematiske logiks synspunkt er det ikke et udsagn.
Til det følgende har vi brug for begrebet en algoritme. Jeg vil ikke give en formel definition af det her - det ville bringe os ret langt på afveje. Jeg vil begrænse mig til uformelle: "algoritme" er en sekvens af utvetydige instruktioner ("program"), der bag endeligt nummer trin konverterer kildedata til resultater. Det, der står i kursiv, er fundamentalt vigtigt - hvis programmet sløjfer på nogle indledende data, så beskriver det ikke algoritmen. For nemheds skyld og i anvendelsen til vores tilfælde kan læseren overveje, at en algoritme er et program skrevet i et hvilket som helst programmeringssprog, han kender, og som for enhver inputdata fra en given klasse garanteres at fuldføre sit arbejde og producere et boolsk resultat.
Lad os spørge os selv: for hver funktion er der en "bevisalgoritme" (eller kort sagt, "deduktiv"), svarende til denne funktion, det vil sige at transformere hver sætning til nøjagtig den samme boolske værdi som den? Det samme spørgsmål kan formuleres mere kortfattet som følger: er hver funktion over et sæt af udsagn beregnelige? Som du allerede har gættet, følger det af gyldigheden af TGN, at nej, ikke alle funktioner - der er uberegnelige funktioner af denne type. Med andre ord, ikke alle sande udsagn kan bevises.
Det er meget muligt, at denne udtalelse vil forårsage en intern protest i dig. Dette skyldes flere forhold. For det første, når vi bliver undervist skole matematik, så er der nogle gange et falsk indtryk af næsten fuldstændig identitet af sætningerne "sætningen er sand" og "sætningen kan bevises eller verificeres." Men hvis du tænker over det, er dette slet ikke indlysende. Nogle teoremer bevises ganske enkelt (for eksempel ved at prøve et lille antal muligheder), mens andre er meget vanskelige. Overvej for eksempel Fermats berømte sidste sætning:
hvis bevis blev fundet kun tre og et halvt århundrede efter den første formulering (og det er langt fra elementært). Det er nødvendigt at skelne mellem sandheden af et udsagn og dets bevisbarhed. Det følger ingen steder fra, at der ikke er sande, men ubeviselige (og ikke fuldt verificerbare) udsagn.
Det andet intuitive argument mod TGN er mere subtilt. Lad os sige, at vi har en eller anden ubeviselig (inden for rammerne af denne deduktive) udsagn. Hvad forhindrer os i at acceptere det som et nyt aksiom? Derfor vil vi komplicere vores bevissystem lidt, men det er ikke skræmmende. Dette argument ville være fuldstændig korrekt, hvis der var et begrænset antal ubeviselige udsagn. I praksis kan følgende ske: Efter at have postuleret et nyt aksiom, støder du på en ny, ubeviselig udtalelse. Hvis du accepterer det som et andet aksiom, vil du snuble over det tredje. Og så videre i det uendelige. De siger, at fradraget forbliver ufuldstændig. Vi kan også tvinge bevisalgoritmen til at afslutte i et begrænset antal trin med et vist resultat for enhver ytring af sproget. Men samtidig vil han begynde at lyve - hvilket fører til sandheden for ukorrekte udsagn, eller til løgne - for de troende. I sådanne tilfælde siger de, at fradrag modstridende. En anden formulering af TGN lyder således: "Der er propositionelle sprog, for hvilke fuldstændig konsistent deduktivitet er umulig" - deraf navnet på sætningen.
Nogle gange kaldet "Gödels sætning", er udsagnet, at enhver teori indeholder problemer, der ikke kan løses inden for selve teoriens rammer og kræver dens generalisering. På en måde er dette sandt, selvom denne formulering har en tendens til at sløre spørgsmålet frem for at afklare det.
Jeg vil også bemærke, at hvis vi talte om velkendte funktioner, der kortlægger et sæt reelle tal ind i det, så ville "ikke-beregneligheden" af funktionen ikke overraske nogen (bare ikke forveksle "beregnelige funktioner" og "beregnelige tal". ” - det er forskellige ting). Ethvert skolebarn ved, at man for eksempel i tilfælde af en funktion skal være meget heldig med argumentet for at kunne beregne den nøjagtige decimalrepræsentation Værdien af denne funktion endte i et begrænset antal trin. Men højst sandsynligt vil du beregne det ved hjælp af en uendelig række, og denne udregning vil aldrig føre til et nøjagtigt resultat, selvom det kan komme så tæt på, som du vil - simpelthen fordi værdien af sinus af de fleste argumenter er irrationel. TGN fortæller os blot, at selv blandt funktioner, hvis argumenter er strenge, og hvis værdier er nul eller én, er der også ikke-beregnelige funktioner, selvom de er struktureret på en helt anden måde.
Til yderligere formål vil vi beskrive "sproget for formel aritmetik". Overvej en klasse af tekststrenge af endelig længde, bestående af arabiske tal, variabler (bogstaver latinske alfabet), modtager naturværdier, mellemrum, tegn aritmetiske operationer, lighed og ulighed, kvantificerere ("eksisterer") og ("for enhver") og måske nogle andre symboler (deres nøjagtige antal og sammensætning er ligegyldige for os). Det er tydeligt, at ikke alle sådanne linjer er meningsfulde (f.eks. er " " nonsens). Delmængden af meningsfulde udtryk fra denne klasse (det vil sige strenge, der er sande eller falske set fra almindelig aritmetik) vil være vores sæt af udsagn.
Eksempler på formelle aritmetiske udsagn:
etc. Lad os nu kalde en "formel med en fri parameter" (FSP) for en streng, der bliver til en erklæring, hvis et naturligt tal erstattes med denne parameter. Eksempler på FSP (med parameter):
etc. Med andre ord, FSP'er svarer til naturlige argumentfunktioner med boolske værdier.
Lad os betegne sættet af alle FSP'er med bogstavet. Det er klart, at det kan bestilles (f.eks. skriver vi først etbogstavsformler ordnet alfabetisk, efterfulgt af tobogstavsformler osv.; det er ikke vigtigt for os, hvilket alfabet rækkefølgen vil finde sted). Enhver FSP svarer således til dens nummer i den bestilte liste, og vi vil betegne det .
Lad os nu gå videre til en skitse af beviset for TGN i følgende formulering:
- For den formelle aritmetiks propositionssprog findes der ikke noget fuldstændigt konsistent deduktivt system.
Vi vil bevise det ved modsigelse.
Så lad os antage, at et sådant deduktivt system eksisterer. Lad os beskrive følgende hjælpealgoritme, som tildeler en boolsk værdi til et naturligt tal som følger:
Kort sagt resulterer algoritmen i værdien TRUE, hvis og kun hvis resultatet af at erstatte sit eget nummer i FSP på vores liste giver en falsk erklæring.
Her kommer vi til det eneste sted, hvor jeg vil bede læseren tage mit ord for det.
Det er indlysende, at under forudsætningen ovenfor kan enhver FSP sammenlignes med en algoritme, der indeholder et naturligt tal ved input og en boolsk værdi ved output. Det modsatte er mindre indlysende:
Beviset for dette lemma ville som minimum kræve en formel snarere end intuitiv definition af begrebet en algoritme. Men hvis man tænker sig lidt om, er det ret plausibelt. Faktisk er algoritmer skrevet ind algoritmiske sprog, blandt hvilke der er sådanne eksotiske som for eksempel Brainfuck, bestående af otte ord på ét tegn, hvorpå en hvilken som helst algoritme ikke desto mindre kan implementeres. Det ville være mærkeligt, hvis det rigere sprog af formler for formel aritmetik, som vi beskrev, viste sig at være fattigere - selvom det uden tvivl ikke egner sig særlig godt til almindelig programmering.
Efter at have passeret dette glatte sted, når vi hurtigt enden.
Så ovenfor har vi beskrevet algoritmen. Ifølge det lemma, jeg bad dig om at tro, findes der en tilsvarende FSP. Den har et eller andet nummer på listen - f.eks. Lad os spørge os selv, hvad er lig med? Lad dette være SANDHEDEN. I henhold til algoritmens konstruktion (og derfor funktionen svarende til den), betyder dette, at resultatet af at substituere et tal i funktionen er FALSK. Det modsatte afkrydses på samme måde: fra FALSK følger TRUE. Vi er nået til en modsigelse, som betyder, at den oprindelige antagelse er forkert. Der er således ikke noget fuldstændigt konsistent deduktivt system for formel aritmetik. Q.E.D.
Her er det passende at minde om Epimenides (se portrættet i titlen), der som bekendt erklærede, at alle kretensere er løgnere, idet han selv er kretenser. I en mere kortfattet formulering kan hans udtalelse (kendt som "løgnerparadokset") siges som følger: "Jeg lyver." Det er netop denne slags udsagn, som selv forkynder sin falskhed, vi brugte til bevis.
Afslutningsvis vil jeg bemærke, at TGN ikke påstår noget særligt overraskende. I sidste ende har alle længe været vant til, at ikke alle tal kan repræsenteres som et forhold mellem to heltal (husk, denne erklæring har et meget elegant bevis, der er mere end to tusinde år gammelt?). Og rødderne af polynomier med rationelle koefficienter Det er heller ikke alle tal. Og nu viser det sig, at ikke alle funktioner i et naturligt argument er beregnelige.
Skitsen af det givne bevis var til formel aritmetik, men det er let at se, at TGN kan anvendes på mange andre propositionelle sprog. Selvfølgelig er ikke alle sprog sådan. Lad os f.eks. definere et sprog som følger:
- "Enhver sætning kinesisk sprog er et sandt udsagn, hvis det er indeholdt i kammerat Mao Zedongs citatbog, og forkert, hvis det ikke er indeholdt."
Så ser den tilsvarende komplette og konsistente bevisalgoritme (man kunne kalde det "dogmatisk deduktiv") sådan her ud:
- "Blad gennem kammerat Mao Zedongs citatbog, indtil du finder det ordsprog, du leder efter. Findes det, så er det rigtigt, men hvis citatbogen er slut, og udsagnet ikke findes, så er det forkert.”
Det, der redder os her, er, at enhver citatbog naturligvis er begrænset, så processen med at "bevise" vil uundgåeligt ende. TGN er således ikke anvendelig til sproget i dogmatiske udsagn. Men vi talte om komplekse sprog, ikke?
om emnet: "GODEL'S SÆTNING"
Kurt Gödel
Kurt Gödel er en førende ekspert i matematisk logik– født 28. april 1906 i Brunn (nu Brno, Tjekkiet). Han dimitterede fra universitetet i Wien, hvor han forsvarede sin doktorafhandling, og var adjunkt i 1933–1938. Efter Anschluss emigrerede han til USA. Fra 1940 til 1963 arbejdede Gödel på Princeton Institute højere studier. Gödel - æresdoktor fra Yale og Harvard Universiteter, medlem National Academy Sciences of the USA og American Philosophical Society.
I 1951 blev Kurt Gödel tildelt den højeste videnskabelig pris USA - Einstein-prisen. I en artikel dedikeret til denne begivenhed skrev en anden stor matematiker i vor tid, John von Neumann: "Kurt Gödels bidrag til moderne logik er virkelig monumentalt. Dette er mere end blot et monument. Dette er en milepæl, der adskiller to epoker... Uden nogen overdrivelse kan det siges, at Gödels arbejde radikalt ændrede selve emnet logik som videnskab."
Faktisk viser selv en tør liste over Gödels præstationer inden for matematisk logik, at deres forfatter i det væsentlige lagde grundlaget for hele dele af denne videnskab: modelteori (1930; den såkaldte sætning om fuldstændigheden af snæver prædikatregning, der viser groft sagt, tilstrækkeligheden af midlerne til "formel logik" "til at bevise alle sande sætninger udtrykt i dets sprog), konstruktiv logik (1932-1933; resulterer i muligheden for at reducere visse klasser af sætninger af klassisk logik til deres intuitionistiske analoger, hvilket lagde grundlag for systematisk brug af "indlejringsoperationer", der muliggør en sådan reduktion af div logiske systemer hinanden), formel aritmetik (1932-1933; resultater om muligheden for at reducere klassisk aritmetik til intuitionistisk aritmetik, hvilket på en måde viser sammenhængen mellem den første i forhold til den anden), teorien om algoritmer og rekursive funktioner (1934; definition) på den ene side af begrebet en generel rekursiv funktion, som spillede en afgørende rolle i etableringen af den algoritmiske uløselighed af en række af matematikkens vigtigste problemer, og i implementeringen af logisk-matematiske problemer på elektroniske computere. andet), aksiomatisk mængdelære (1938; bevis for den relative konsistens af valgaksiomet og Cantors kontinuumhypotese fra aksiomatisk mængdelære, som lagde grundlaget for en række vigtige resultater om den relative konsistens og uafhængighed af mængdeteoretiske principper ).
Gödels ufuldstændighedssætning
Introduktion
I 1931, i en af de tyske videnskabelige tidsskrifter en relativt lille artikel dukkede op med den ret skræmmende titel "On Formally Unecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems." Dens forfatter var en femogtyve-årig matematiker fra Universitetet i Wien Kurt Gödel, som senere arbejdede på Princeton Institute for Advanced Study. Dette arbejde spillede en afgørende rolle i logikkens og matematikkens historie. I Harvard Universitys beslutning om at tildele Gödel en hædersbevisning doktorgrad(1952) blev hun karakteriseret som en af største præstationer moderne logik.
Men på udgivelsestidspunktet, hverken navnet på Gödels værk. Heller ikke indholdet betød noget for de fleste matematikere. Principia Mathematica, der nævnes i titlen, er en monumental afhandling i tre bind af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell om matematisk logik og matematikkens grundlag; bekendtskab med afhandlingen var på ingen måde en nødvendig betingelse Til succesfuldt arbejde i de fleste grene af matematikken. Interessen for de problemstillinger, der behandles i Gödels arbejde, har altid været forbeholdt en meget lille gruppe videnskabsmænd. Samtidig var ræsonnementet fra Gödel i sine beviser så usædvanligt for sin tid. At for at forstå dem fuldt ud krævede enestående beherskelse af emnet og kendskab til litteraturen om disse meget specifikke problemer.
Første ufuldstændighedssætning
Gödels første ufuldstændighedssætning, tilsyneladende, er det mest betydningsfulde resultat i matematisk logik. Det lyder sådan her:
For en vilkårlig konsistent formel og beregnelig teori, hvor grundlæggende aritmetiske udsagn kan bevises, kan en sand aritmetisk udsagn konstrueres, hvis sandhed ikke kan bevises inden for teoriens rammer. Med andre ord, enhver fuldstændig brugbar teori, tilstrækkelig til at repræsentere aritmetik, kan ikke være både konsistent og fuldstændig.
Her betyder ordet "teori" " uendeligt sæt"udsagn, hvoraf nogle menes at være sande uden bevis (sådanne udsagn kaldes aksiomer), mens andre (sætninger) kan udledes af aksiomerne og derfor menes (bevist) at være sande. Udtrykket "teoretisk beviselig" betyder "afledt fra teoriens aksiomer og primitiver (konstante symboler i alfabetet) ved hjælp af standard (første ordens) logik." En teori er konsistent (konsistent), hvis det er umuligt at bevise et modstridende udsagn i den. Udtrykket "kan konstrueres" betyder, at der er en eller anden mekanisk procedure (algoritme), der kan konstruere et udsagn baseret på aksiomer, primitiver og førsteordenslogik. "Elementær aritmetik" består af operationerne addition og multiplikation på naturlige tal. Det resulterende sande, men ubeviselige udsagn omtales ofte for en given teori som en "Gödel-sekvens", men der er et uendeligt antal andre udsagn i teorien, som har den samme egenskab: ubeviselig sandhed i teorien.
Antagelsen om, at en teori er beregnelig, betyder, at det i princippet er muligt at implementere en computeralgoritme ( computerprogram), som (hvis lov til at beregne i en vilkårlig lang tid, op til uendeligt) vil beregne en liste over alle teoriens sætninger. Faktisk er det nok kun at beregne listen over aksiomer, og alle teoremer kan effektivt opnås fra en sådan liste.
Den første ufuldstændighedssætning fik titlen "Sætning VI" i Gödels papir fra 1931 Om formelt uafklarelige påstande i Principia Mathematica og relaterede systemer I. I Gödels originale optagelse lød det som:
"Den generelle konklusion om eksistensen af uafklarelige påstande er denne:
Sætning VI .
For hver ω-konsistente rekursive klasse k FORMEL der er rekursive SKILT r sådan at hverken (v Gen r), heller ikke ¬( v Gen r)hører ikke til Flg (k)(hvor v er GRATIS VARIABEL r ) ».
Betegnelse Flg kommer fra ham. Folgerungsmenge- mange sekvenser, Gen kommer fra ham. Generalisering- generalisering.
Groft sagt Gödels udtalelse G siger: "sandheden G kan ikke bevises." Hvis G kunne bevises inden for teoriens rammer, så ville teorien i dette tilfælde indeholde en sætning, der modsiger sig selv, og derfor ville teorien være selvmodsigende. Men hvis G ubeviselig, så er det sandt, og derfor er teorien ufuldstændig (udsagn G kan ikke udledes i det).
Dette er en forklaring på almindeligt engelsk naturligt sprog, og derfor ikke helt matematisk stringent. For at give et strengt bevis nummererede Gödel udsagnene ved hjælp af naturlige tal. I dette tilfælde hører teorien, der beskriver tal, også til sættet af udsagn. Spørgsmål om bevisligheden af udsagn kan i dette tilfælde repræsenteres i form af spørgsmål om egenskaberne ved naturlige tal, som skal kunne beregnes, hvis teorien er komplet. I disse termer siger Gödels udtalelse, at der ikke er noget nummer med en bestemt egenskab. Et tal med denne egenskab vil være bevis på teoriens inkonsistens. Hvis et sådant tal eksisterer, er teorien inkonsekvent, i modsætning til den oprindelige antagelse. Så hvis man antager, at teorien er konsistent (som antaget i sætningens præmis), viser det sig, at et sådant tal ikke eksisterer, og Gödels udsagn er sand, men inden for teoriens rammer er det umuligt at bevise det ( derfor er teorien ufuldstændig). En vigtig begrebsmæssig pointe er, at det er nødvendigt at antage, at teorien er konsistent for at erklære Gödels udsagn for sand.
Gödels anden ufuldstændighedssætning
Gödels anden ufuldstændighedssætning lyder som følger:
For enhver formelt rekursivt optallig (det vil sige effektivt genereret) teori T, herunder grundlæggende aritmetiske sandhedsudsagn og visse formelle bevislighedsudsagn, denne teori T inkluderer et selvkonsistenskrav, hvis og kun hvis teorien T er inkonsistent.
Med andre ord kan konsistensen af en tilstrækkelig rig teori ikke bevises ved hjælp af denne teori. Det kan dog godt vise sig, at konsistensen af en specifik teori kan installeres ved hjælp af en anden, mere kraftfuld formel teori. Men så opstår spørgsmålet om konsistensen af denne anden teori osv.
Brug denne sætning til at bevise det intelligent aktivitet Det kommer ikke ned til beregninger, mange har forsøgt. For eksempel, tilbage i 1961, kom den berømte logiker John Lucas med et lignende program. Hans ræsonnement viste sig at være ret sårbart – dog satte han opgaven bredere. Roger Penrose har en lidt anderledes tilgang, som er skitseret i bogen fuldstændigt, "fra bunden."
Diskussioner
Konsekvenserne af teoremerne påvirker matematikkens filosofi, især de formalismer, der bruger formel logik til at definere deres principper. Vi kan omformulere den første ufuldstændighedssætning som følger: " det er umuligt at finde et altomfattende system af aksiomer, der ville være i stand til at bevise Alle matematiske sandheder, og ikke en eneste løgn" På den anden side har denne omformulering ud fra et strengt formelt synspunkt nej særlig betydning, da det antager, at begreberne "sandhed" og "falsk" er defineret i en absolut forstand snarere end i en relativ forstand for hvert specifikt system.