Tidligere har vi betragtet den integrale Fourier-transformation med kernen K(t, O = e). Fourier-transformationen er ubelejlig, idet betingelsen om absolut integrerbarhed af funktionen f(t) på hele t-aksen skal være opfyldt. Laplace transformation giver os mulighed for at frigøre os fra denne begrænsning Definition 1. Funktion Vi vil kalde en original enhver funktion med kompleks værdi f(t) af et reelt argument t, der opfylder følgende betingelser: 1. f(t) er kontinuert på hele t-aksen, bortset fra enkelte punkter, hvor f(t) har en diskontinuitet af 1. slags, og på hvert endeligt interval af aksen *kan der kun være sådanne punkter endeligt nummer; 2. funktionen f(t) er lig nul for negative værdier af t, f(t) = 0 for 3. når t stiger, stiger modulet f(t) ikke hurtigere eksponentiel funktion, det vil sige, at der er tal M > 0 og s sådan, at for alle t Det er klart, at hvis ulighed (1) er sandt for nogle s = aj, så vil det også være sandt for ALLE 82 > 8]. Det nøjagtige infimum s0 af alle tal 3, «o = infs, som ulighed (1) gælder for, kaldes vækstindekset for funktionen f(t). Kommentar. I almindelig sag uligheden holder ikke, men estimatet, hvor e > 0 er nogen, er gyldigt. Funktionen har således en væksteksponent 0 = For den holder uligheden \t\ ^ M V* ^ 0 ikke, men uligheden |f| ^ Mei. Betingelse (1) er meget mindre restriktiv end betingelse (*). Eksempel 1. Funktionen opfylder ikke betingelse ("), men betingelse (1) er opfyldt for enhver s ^ I og A/ ^ I; væksthastighed 5o = Så dette er den oprindelige funktion. På den anden side er funktionen ikke den oprindelige funktion: den har en uendelig rækkefølge af vækst, "o = +oo. Den enkleste funktion-den originale er den såkaldte enhedsfunktion Hvis en bestemt funktion opfylder betingelse 1 og 3 i definition 1, men ikke opfylder betingelse 2, så er produktet allerede en original funktion. For at forenkle notationen vil vi som regel udelade faktoren rj(t), idet vi forudsætter, at alle funktioner, som vi vil overveje, er lig med nul for negativ t, så hvis vi taler om om en eller anden funktion f(t), for eksempel om sin ty cos t, el osv., så er følgende funktioner altid underforstået (fig. 2): n=n(0 Fig. 1 Definition 2. Lad f( t) ) er den oprindelige funktion. Laplace-billedet af funktionen f(t) er funktionen F(p) af en kompleks variabel, defineret af formlen LAPLACE TRANSFORM Grundlæggende definitioner Egenskaber Konvolution af funktioner Multiplikationssætning Finde originalen fra billedet ved hjælp af inversionssætning af operationel regning Duhamels formel Integration af lineære systemer differentialligninger Med konstante koefficienter Løsning af integralligninger, hvor integralet er taget langs den positive halvakse t. Funktionen F(p) kaldes også Laplace-transformationen af funktionen /(/); transformationskerne K(t) p) = e~pt. Vi vil skrive ned, at funktionen har F(p) som sit billede Eksempel 2. Find billedet af enhedsfunktionen r)(t). Funktionen er den oprindelige funktion med væksteksponent 0 - 0. I kraft af formel (2) vil billedet af funktionen rj(t) være funktionen If, når integralet på højre side af den sidste lighed vil være konvergent , og vi får så billedet af funktionen rj(t) bliver funktion £. Som vi aftalte, vil vi skrive, at rj(t) = 1, og derefter vil det opnåede resultat blive skrevet som følger: Sætning 1. For enhver oprindelig funktion f(t) med vækstindeks 30 er billedet F(p) defineret. i halvplanet R e = s > s0 og er en analytisk funktion i dette halvplan (fig. 3). Lad For at bevise eksistensen af billedet F(p) i det angivne halvplan er det tilstrækkeligt at fastslå, at ukorrekt integral(2) konvergerer absolut for en > Ved at bruge (3), opnår vi, som beviser den absolutte konvergens af integral (2). Samtidig opnåede vi et estimat for Laplace-transformationen F(p) i konvergenshalvplanet. Differentiering af udtryk (2) formelt under integraltegnet med hensyn til p, finder vi Eksistensen af integral (5) etableres på samme måde som eksistensen af integral (2) blev fastslået. Ved at anvende integration af dele for F"(p), får vi et skøn, hvoraf det følger absolut konvergens integral (5). (Det ikke-integrale led,0.,- ved t +oo har en grænse lig nul). I et hvilket som helst halvplan Rep ^ sj > o konvergerer integral (5) ensartet med hensyn til p, da det er majoriseret af et konvergent integral uafhængigt af p. Følgelig er differentiering med hensyn til p lovlig, og lighed (5) er sand. Da den afledte F"(p) eksisterer, er Laplace-transformationen F(p) overalt i halvplanet Rep = 5 > 5® en analytisk funktion. Ulighed (4) indebærer konsekvensen. Hvis p har en tendens til uendelig, så Re p = s stiger uden begrænsning , derefter Eksempel 3. Lad os også finde repræsentationen af funktionen, et hvilket som helst komplekst tal Eksponenten af funktionen /(()) er lig med a. 4 I betragtning af Rep = i > a, får vi Således , For a = 0 får vi igen formlen Lad os være opmærksomme på, at billedet af funktionen eat er en analytisk funktion af argumentet p ikke kun i halvplanet Rep > a, men også i alle punkter p , bortset fra punktet p = a, hvor dette billede har en simpel pol. I fremtiden vil vi mødes mere end én gang med lignende situation, når billedet F(p) vil være en analytisk funktion i hele planen af den komplekse variabel p, med undtagelse af isolerede singulære punkter. Der er ingen modsætning til sætning 1. Sidstnævnte angiver kun, at i halvplanet Rep > o har funktionen F(p) ingen entalspunkter: alle viser sig at ligge enten til venstre for linjen Rep = so eller på selve denne linje. Læg ikke mærke til det. I operationel beregning bruges Heaviside-repræsentationen af funktionen f(f), som er defineret af ligheden og adskiller sig fra Laplace-repræsentationen med faktoren p. §2. Egenskaber ved Laplace-transformationen I det følgende vil vi betegne de oprindelige funktioner og deres Laplace-billeder Af definitionen af et billede følger, at hvis Sætning 2 (enhed). £biw dee kontinuerlige funktioner) har det samme billede, så er de identisk lige. Teopewa 3 (p'ieiost* Laplaces forvandling). Hvis funktionerne er originaler, så for eventuelle komplekse konstanter α Udsagnets gyldighed følger af linearitetsegenskaben for integralet, der definerer billedet: , er henholdsvis funktionernes vækstindikatorer). Baseret på denne egenskab opnår vi På samme måde finder vi det og yderligere sætning 4 (ligheder). Hvis f(t) er den oprindelige funktion, og F(p) er dens Laplace-billede, så for enhver konstant a > O. Indstilling til = m, har vi. Ved at bruge denne sætning får vi fra formlerne (5) og (6) sætning 5 (om differentiering af originalen). Lad være den oprindelige funktion med billedet F(p) og lad være også de oprindelige funktioner, og hvor er vækstindekset for funktionen Så og generelt Her mener vi den rigtige grænseværdi Lad. Lad os finde det billede, vi har. Ved at integrere med dele får vi Ud-af-integralleddet på højre side af (10) forsvinder som k. For Rc р = s > з har vi substitutionen t = Odets -/(0) . Det andet led til højre i (10) er lig med pF(p). Relation (10) antager således formen, og formel (8) er bevist. Især hvis For at finde billedet f(n\t) skriver vi hvorfra, ved at integrere n gange med dele, får vi eksempel 4. Brug sætningen om differentiering af originalen, find billedet af funktionen f(t) = synd2 t. Lad derfor, sætning 5 fastslår vidunderlig ejendom integreret transformation Laplace: det (som Fourier-transformationen) transformerer differentieringsoperationen til algebraisk operation gange med s. Inklusionsformel. Hvis de er originale funktioner, så i kraft af konsekvensen af sætning 1, har hvert billede en tendens til at nulstilles ved. Det betyder, at inklusionsformlen følger (sætning 6 (om differentiering af et billede). Differentiering af et billede reduceres til multiplikation med originalen. Da funktionen F(p) i halvplanet så er analytisk, kan den differentieres med hensyn til s. Vi har Det sidste betyder blot, at Eksempel 5. Ved hjælp af sætning 6, find billedet af funktionen 4 Som det er kendt, Derfor (ved at anvende sætning 6 igen, finder vi generelt sætning 7 (integration af Integration af originalen reduceres til at dividere billedet med Let Det er let at kontrollere, at hvis der er en original funktion, så vil det være den originale funktion, og Let. På grund af det På den anden side, hvorfra F= Sidstnævnte svarer til den sammenhæng, der bevises (13) Eksempel 6. Find billedet af funktionen M B I dette tilfælde, Altså. Derfor sætning 8 (billedintegration). Hvis integralet også konvergerer, så tjener det som et billede af funktionen ^: LAPLACE TRANSFORM Grunddefinitioner Egenskaber Konvolution af funktioner Multiplikationssætning Find originalen fra et billede Brug af inversionssætningen for operationel regning Duhamels formel Integrering af systemer af lineære differentialligninger med konstant koefficienter Løsning af integralligninger Faktisk, hvis vi antager, at integrationsvejen ligger på halvplanet, så vi kan ændre integrationsrækkefølgen Den sidste lighed betyder, at det er et billede af funktionen Eksempel 7. Find billedet af funktionen M Som bekendt,. Derfor, da vi antager, at vi får £ = 0, hvornår. Derfor antager relation (16) formen Eksempel. Find billedet af funktionen f(t), angivet grafisk (fig. 5). Lad os skrive udtrykket for funktionen f(t) i følgende formular: Dette udtryk kan fås på denne måde. Overvej funktionen og træk funktionen fra den Forskellen vil være lig med én for. Til den resulterende forskel tilføjer vi funktionen, som følge heraf får vi funktionen f(t) (fig. 6 c), så vi herfra ved hjælp af forsinkelsessætningen finder sætning 10 (forskydning). så for enhver komplekst tal ro Faktisk gør sætningen det muligt at bruge kendte billeder af funktioner til at finde billeder af de samme funktioner ganget med en eksponentiel funktion, for eksempel 2.1. Funktion foldning. Multiplikationssætning Lad funktionerne f(t) være definerede og kontinuerte for alle t. Konvolutionen af disse funktioner kaldes ny funktion på t, defineret ved lighed (hvis dette integral eksisterer). For originale funktioner er operationsconvolve altid mulig, og (17) 4 Faktisk er produktet af originale funktioner som funktion af m en finit funktion, dvs. forsvinder uden for et eller andet endeligt interval (i dette tilfælde uden for segmentet. For finite kontinuerte funktioner er foldningsoperationen mulig, og vi får formlen Det er ikke svært at verificere, at foldningsoperationen er kommutativ, sætning 11 (multiplikation). , så har foldningen t) et billede Det er ikke svært at verificere, at foldningen (af de oprindelige funktioner er den oprindelige funktion med væksteksponenten » hvor er henholdsvis funktionernes væksteksponenter Lad os finde billedet af foldningen. Ved at bruge det, vi har. Ændring af integrationsrækkefølgen i integralet til højre (en sådan operation er lovlig) og anvendelse af retardationssætningen, får vi. Således finder vi fra (18) og (19) at multiplikation af billeder svarer til foldningen af originalerne, Prter 9. Find billedet af funktionen En funktion V(0) er foldning af funktioner I kraft af multiplikationssætningen Opgave Lad funktionen /(ξ) være periodisk med periode T , er den oprindelige funktion Vis at dets Laplace-billede F(p) er givet ved formel 3. Find originalen ud fra billedet Opgaven stilles som følger: givet funktionen F(p) skal vi finde funktionen /(<)>hvis billede er F(p). Lad os formulere betingelser, der er tilstrækkelige til, at funktionen F(p) af en kompleks variabel p kan fungere som et billede. Sætning 12. Hvis en funktion F(p) analytisk i halvplanet så 1) har tendens til nul som i enhver halvplan R s0 ensartet med hensyn til arg p; 2) integralet konvergerer absolut, så er F(p) billedet af en eller anden original funktion Problem. Kan funktionen F(p) = tjene som et billede af en original funktion? Vi vil angive nogle måder at finde originalen fra et billede på. 3.1. At finde originalen ved hjælp af billedtabeller Først og fremmest er det værd at bringe funktionen F(p) til en enklere "tabel"-form. For eksempel i det tilfælde, hvor F(p) - rationel brøkfunktion argument p, dekomponeres det i elementære brøker, og de passende egenskaber for Laplace-transformationen anvendes. Eksempel 1. Find originalen for Vi skriver funktionen F(p) på formen Ved hjælp af forskydningssætningen og linearitetsegenskaben for Laplace-transformationen får vi Eksempel 2. Find originalen for funktionen 4 Vi skriver F(p) i formen Derfor 3.2. Brug af inversionssætningen og dens følger Sætning 13 (inversion). Hvis funktionen fit) er den oprindelige funktion med væksteksponent s0, og F(p) er dens billede, så er relationen opfyldt på et hvilket som helst punkt af kontinuitet af funktionen f(t), hvor integralet er taget langs en ret linje og er forstået i betydningen af hovedværdien, dvs. som Formel (1) kaldes Laplace eller Mellins formel. Faktisk, lad for eksempel f(t) være stykkevis glat på hvert endeligt segment.
Som et resultat får vi originalen:
y(t) = 0,85 – 0,18 e -2,54 t – 2 e -0,18 t .
Definition. En original funktion er enhver funktion med kompleks værdi f (t) af et reelt argument t, der opfylder betingelserne:
1 0 f (t) er integrerbar på ethvert endeligt interval af t-aksen;
20 for alle negative t: f(t)=0;
3 0 f (t) stiger ikke hurtigere end eksponentialfunktionen, det vil sige, der er konstanter og sådan at ligheden gælder for alle t
Vis for eksempel, at en funktion er den oprindelige funktion.
Faktisk er funktionen f(t) lokalt integrerbar, dvs.
Betingelse 2 0 er også opfyldt.
Tilstand 3 0:.
Den enkleste funktion - originalen er den såkaldte Heaviside enhedsfunktion
Heaviside-funktion (enhedstrinfunktion, enhedsspringfunktion, inkluderet enhed) er en stykkevis konstant funktion, lig med nul Til negative værdier argument og enhed - for positive. Ved nul er denne funktion generelt set ikke defineret, men den suppleres normalt på dette tidspunkt med et vist tal, således at funktionens definitionsdomæne indeholder alle punkter på den reelle akse. Oftest er det lige meget, hvilken værdi funktionen tager ved nul, så de kan bruges forskellige definitioner Heaviside-funktioner, praktiske af den ene eller anden grund, for eksempel:
Heaviside-funktionen er meget brugt i matematiske apparater kontrolteori og signalbehandlingsteori til at repræsentere signaler, der bevæger sig på et bestemt tidspunkt fra en tilstand til en anden. I matematisk statistik Denne funktion bruges f.eks. til at optage empirisk funktion distributioner. Opkaldt efter Oliver Heaviside.
Definition. Laplace-billedet af en funktion f (t) er en funktion F(p) af en kompleks variabel defineret af ligheden
Hvis F(p) er billedet af funktionen f (t), så skriv det sådan:
Find F(p) for:
Ligeledes
Grundlæggende egenskaber ved Laplace-transformationen
10 . Linearitetsegenskab.
Til enhver kompleks permanent og
20. Lighedssætning.
Find billedet af funktionen f (at), hvor a >0
For eksempel,
Ligeledes,
tredive. Differentiering af originalen.
Hvis funktionerne er funktioner - originaler og så
Lad os bevise det.
Ja,
Beviset er det samme for de resterende afledte.
4 0 . Billeddifferentiering.
Differentiering af et billede reduceres til multiplikation med (- t) af originalen
Omvendt Laplace transformation
For at gendanne den originale f (t) fra et givet billede F (p), bruges i de simpleste tilfælde en tabel med billeder (se tabel 1). Yderligere anvendelser billedegenskaber giver dig mulighed for betydeligt at udvide mulighederne for at gendanne originalen fra et givet billede.
Sætning (Riemann-Mellin). Lad funktionen f (t) være originalen med vækstindekset, og F (p) være dens billede. Så på et hvilket som helst punkt t er kontinuiteten af den oprindelige f (t) gyldig, Riemann-Mellin formlen er omvendt til formlen og kaldes den inverse Laplace transformation.
I det punkt, hvor funktionen f (t) er et diskontinuitetspunkt af 1. slags, er højre side af Riemann-Mellin formlen lig med
Direkte anvendelse af inversionsformlen til at genoprette den oprindelige f (t) fra billedet F (p) er vanskelig. For at finde originalen bruges sædvanligvis dekomponeringssætninger.
Sætning (første dekomponeringssætning). Hvis funktionen F (p) i et område af et punkt kan repræsenteres som en Laurent-række
så er funktionen originalen med billedet F (p):
Den anden dekomponeringssætning kan formuleres som følger.
Sætning (anden dekomponeringssætning). Hvis det rationelle er korrekt irreducerbar fraktion, prime eller multiple nuller af nævneren Q (p), så er den oprindelige f (t), svarende til billedet F (p), bestemt af formlen
Især hvis nævneren er simple poler, så er funktionen
er originalen med billedet F(p).
Sætning. Lad F (p) være en funktion af en kompleks variabel p med følgende egenskaber:
1) funktion F (p), oprindeligt defineret i halvplanet og opfylder betingelserne i det:
a) F (p) - analytisk funktion i et halvt plan;
b) i området har funktionen F(p) tendens til nul ved ensartet relativ;
c) for alle konvergerer det ukorrekte integral;
d) kan analytisk udvides til hele det komplekse plan.
2) den analytiske fortsættelse af funktionen F (p) i halvplanet opfylder betingelserne for Jordan-lemmaet.
Så gælder følgende forhold:
hvor t >0 og enkeltstående punkter(poler, i det væsentlige entalspunkter) af en funktion, der er en analytisk fortsættelse af F (p) ind i halvplanet, .
Lad funktionen f (t) være en original med en væksteksponent og have et endeligt antal ekstrema. Så kan vi skrive Fourier-integralet for det. I dette tilfælde finder formlen sted:
I betragtning af at i Laplace-integralet er parameteren og valgt til konvergensen af integralet, kan vi skrive:
Sammenligner man det resulterende Laplace-integral med Fourier-transformationen, er det klart, at billedet er en direkte Fourier-transformation for funktionen.
Undersøgelsen af ASR er væsentligt forenklet, når der anvendes anvendt matematiske metoder operationel regning, da den giver dig mulighed for at gå fra at løse differentialligninger til at løse algebraiske ligninger. For eksempel er funktionen af et bestemt system beskrevet af en differentialligning af formen
hvor x og y er input- og outputmængder. Hvis i givet ligning i stedet for x(t) og y(t) erstatter funktionerne X(s) og Y(s) af en kompleks variabel s, således at
Og 
, (2.2)
derefter den originale fjernbetjening på nul begyndelsesbetingelser svarende til lineær algebraisk ligning
a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).
En sådan overgang fra en differentialligning til en algebraisk ligning kaldes Laplace transformation , henholdsvis formler (2.2). Laplace transformationsformler , og den resulterende ligning er operatorligning .
De nye funktioner X(s) og Y(s) kaldes billeder x(t) og y(t) er Laplace, mens x(t) og y(t) er originaler i forhold til X(s) og Y(s).
Overgangen fra en model til en anden er ret enkel og består i at erstatte fortegnene for differentialer med operatorer s n , fortegnene for integraler med faktorer , og x(t) og y(t) selv med billederne X(s) og Y(s) ).
Tabel 1.1 - Laplace-transformationer
| Original x(t) | Billede X(er) |
| d-funktion | |
| t | |
| t 2 | |
| tn | |
| spise | |
| en. x(t) | en. X(er) |
| x(t - a) | X(er). e-a s |
| s n. X(er) | |
Tabel 1.2 - Formler omvendt konvertering Laplace (tillæg)
For at vende overgangen fra operatorligningen til tidsfunktioner anvendes metoden omvendt Laplace transformation . Generel formel omvendt Laplace transformation:
, (2.3)
hvor f(t) er originalen, F(jw) er billedet ved s = jw, j er den imaginære enhed, w er frekvensen.
Denne formel er ret kompleks, så der er udviklet specielle tabeller (se tabel 1.1 og 1.2), som opsummerer de hyppigst forekommende funktioner F(s) og deres originaler f(t). De giver dig mulighed for at nægte direkte brug formler (2.3). Mere fulde borde Laplace-transformationer kan f.eks. findes i.
Der er flere Laplace-transformationssætninger.
Sætning 1. Linearitetssætning. Billedet af en sum af funktioner er lig med summen af billeder, det vil sige, hvis f 1 har et billede F 1 (s) (eller kortere f 1 " F 1 (s)), f 2 " F 2 (s) ), osv., så
en 1. f 1 + a 2 . f 2 + … + a n. f n « a 1 . F1(s) + a2. F 2 (s) + … + a n . Fn(er).
Sætning 2. Differentieringssætning. Hvis f(t) har billedet F(s), så under nul begyndelsesbetingelser (dvs. for f(0) = 0, f'(0) = 0 osv.) vil de afledte af f(t) have billeder :
f’(t) «s . F(s) – for den første afledte,
f ”(t) “ s 2. F(s) – for den anden afledte,
f (n) (t) « s n . F(s) – for den n'te afledede.
For startbetingelser, der ikke er nul:
f’(t) «s . F(s) – f(0) – for den første afledte,
f ”(t) “ s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – for den anden afledte,
f (n) (t) « s n. F(s) – s n-1. f(0)-sn-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – for den n'te.
Sætning 3. Forskydningssætning.
f(t). e a × t « F(s - a).
For eksempel, hvis 1(t) « (se tabel 1.1), så 1 . e a × t « .
Sætning 4. Forsinkelsessætning.
f(t - t) « F(s) . e - t × s,
hvor t er tidsforsinkelsen.
For eksempel, hvis 1(t) « , så 1(t - t) « .
Sætning 5. Integrationssætning.
.
Sætning 6. Om start- og slutværdier.
,
,
hvor f(0) er startværdien af funktionen (ved t = 0),
f sæt – endelig (værdi i steady state).
Loven om ændring af udgangssignalet er normalt en funktion, der skal findes, og indgangssignalet er normalt kendt. Nogle typiske inputsignaler blev diskuteret i afsnit 2.3. Her er deres billeder:
en enkelttrinshandling har billedet X(s) = ,
deltafunktion X(er) = 1,
lineær påvirkning X(s) = .
Eksempel. Løsning af DE ved hjælp af Laplace-transformationer.
Antag, at indgangssignalet har form af en enkelttrinseffekt, dvs. x(t) = 1. Så har billedet af indgangssignalet, ifølge tabel 1.1, formen X(s) =.
Vi transformerer den oprindelige differentialligning ifølge Laplace og erstatter X(er):
s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),
s 2 × Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,
Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.
Udtrykket for Y er defineret:
.
Originalen af den modtagne funktion er ikke i tabellen over originaler og billeder. For at løse problemet med at finde den opdeles brøken i summen simple brøker under hensyntagen til, at nævneren kan repræsenteres som s(s + 2)(s + 3):
= 
= - + .
Bruger nu tabel funktioner(se tabel 1.1 og 1.2), bestemmes den oprindelige outputfunktion:
y(t) = 2-4. e-2t+2. e -3 t. ¨
Når man løser differentialligninger ved hjælp af Laplace-transformationer, opstår ofte det mellemliggende problem med at dividere en brøk i en sum af simple brøker. Der er to måder at løse dette problem på:
Ved at løse et ligningssystem for tællernes koefficienter,
Ved at beregne tællerkoefficienterne ved hjælp af kendte formler.
Generel algoritme opdeling af en brøk i en sum af simple brøker:
trin 1– rødderne af nævneren s i bestemmes (brøkens nævner er lig med nul, og den resulterende ligning er løst for s);
trin 2– hver rod er forbundet med en simpel brøkdel af formen , hvor M i er en ukendt koefficient; hvis der er en multipel rod med multiplicitet k, så er den forbundet med k fraktioner af formen 
;
trin 3– koefficienterne M i bestemmes ved hjælp af en af beregningsmulighederne.
Første mulighed. Bestemmelse af M i ved hjælp af et ligningssystem.
Alle brøker reduceres til den samme nævner, derefter ved at sammenligne koefficienterne lige grader s af tælleren for den resulterende brøk og tælleren for den oprindelige brøk bestemmes af et system af n ligninger, hvor n er graden af nævneren (antallet af rødder s i og koefficienterne M i). Løsning af systemet med hensyn til M i giver de nødvendige koefficienter.
Eksempel. Fraktionsnedbrydning fra det foregående eksempel. I den oprindelige brøk n = 3 giver løsning af ligningen s 3 + 5s 2 + 6s = 0 derfor 3 rødder: s 0 = 0, s 1 = -2 og s 2 = -3, som svarer til nævnerne for simple brøker af formen s, (s – s 1) = (s + 2) og (s – s 2) = (s + 3). Den oprindelige fraktion dekomponeres i tre fraktioner:
= = + + .
Ved at sammenligne den resulterende brøk med den oprindelige, kan du oprette et system af tre ligninger med tre ubekendte (ved 2. potens er s i den oprindelige brøk 0, ved 1. er det 2, det frie led er 12):
M 0 + M 1 + M 2 = 0 M 0 = 2
5 . M 0 + 3. M 1 + 2. M2 = 2 à M1 = -4
6. M 0 = 12 M 2 = 2
Derfor kan en brøk repræsenteres som summen af tre brøker:
= - + .¨
Anden mulighed. Bestemmelse af koefficienter M i ved hjælp af formler.
Ligesom i 1. mulighed er det nødvendigt at finde rødderne til nævneren af den oprindelige brøkdel af formen. For at bestemme M i er der formler for hver type rødder:
For nulroden s i = 0 kan nævneren for den oprindelige brøk skrives som A(s) = s. A1 (s); så kan koefficienten M i defineres som 
.
For en ikke-nul ikke-multipel rod (reel eller kompleks) s i.