Diskuteret i detaljer en brøks hovedegenskab, dens formulering gives, der gives et bevis og et forklarende eksempel. Anvendelsen af en brøks grundlæggende egenskab ved reduktion af brøker og reduktion af brøker til en ny nævner overvejes også.
Sidenavigation.
Hovedegenskaben ved en fraktion - formulering, bevis og forklarende eksempler
Lad os se på et eksempel, der illustrerer den grundlæggende egenskab ved en brøk. Lad os sige, at vi har en firkant opdelt i 9 "store" firkanter, og hver af disse "store" firkanter er opdelt i 4 "små" firkanter. Således kan vi også sige, at den oprindelige firkant er opdelt i 4 9 = 36 "små" felter. Lad os male 5 "store" firkanter. I dette tilfælde vil 4·5=20 "små" firkanter være skraverede. Her er en tegning, der svarer til vores eksempel.
Den skraverede del er 5/9 af det oprindelige kvadrat, eller, som er det samme, 20/36 af det oprindelige kvadrat, det vil sige, at brøkerne 5/9 og 20/36 er ens: eller. Af disse ligheder, samt af lighederne 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 og 36:4=9, følger at og .
For at konsolidere det adskilte materiale skal du overveje løsningen til eksemplet.
Eksempel.
Tælleren og nævneren for en almindelig brøk blev ganget med 62, hvorefter tælleren og nævneren for den resulterende brøk blev divideret med 2. Er den resulterende brøk lig med den oprindelige?
Løsning.
At gange tælleren og nævneren for en brøk med et hvilket som helst naturligt tal, især med 62, giver en brøk, der på grund af en brøks grundlæggende egenskab er lig med den oprindelige. Hovedegenskaben ved en brøk giver os mulighed for at angive, at efter at have divideret tælleren og nævneren af den resulterende brøk med 2, vil den resulterende brøk være lig med den oprindelige brøk.
Svar:
Ja, den resulterende brøk er lig med den oprindelige.
Anvendelse af en brøks grundlæggende egenskab
Den grundlæggende egenskab ved en brøk bruges hovedsageligt i to tilfælde: For det første når brøker reduceres til en ny nævner, og for det andet når brøker reduceres.
At reducere en brøk til en ny nævner er at erstatte den oprindelige brøk med en lige brøk, men med en større tæller og nævner. For at bringe en brøk til en ny nævner, multipliceres både brøkens tæller og nævner med et eller andet naturligt tal, og ifølge en brøks grundegenskab opnås en brøk, der er lig med den oprindelige, men med en anden tæller og nævner. Det er umuligt at undvære at reducere brøker til en ny nævner, når man udfører Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner.
Copyright af cleverstudents
Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af www.site, inklusive interne materialer og udseende, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ophavsretten.
Brøkdele af en enhed og er repræsenteret som \frac(a)(b).
Tæller for brøk (a)- tallet placeret over brøklinjen og viser antallet af andele, som enheden blev opdelt i.
Brøknævner (b)- tallet placeret under brøkens linje og viser, hvor mange dele enheden er opdelt i.
Skjul Vis
Hovedegenskaben ved en brøk
Hvis ad=bc så to brøker \frac(a)(b) Og \frac(c)(d) betragtes som ligeværdige. For eksempel vil brøkerne være lige store \frac35 Og \frac(9)(15), da 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Og \frac(24)(14), da 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Af definitionen af brøklighed følger det, at brøkerne vil være ens \frac(a)(b) Og \frac(am)(bm), da a(bm)=b(am) er et tydeligt eksempel på brugen af de associative og kommutative egenskaber ved at multiplicere naturlige tal i aktion.
Midler \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- sådan ser det ud en brøks hovedegenskab.
Med andre ord får vi en brøk lig med den givne ved at gange eller dividere tælleren og nævneren for den oprindelige brøk med det samme naturlige tal.
Reduktion af en brøkdel er processen med at erstatte en brøk, hvor den nye brøk er lig med den oprindelige, men med en mindre tæller og nævner.
Det er sædvanligt at reducere fraktioner baseret på fraktionens grundlæggende egenskab.
For eksempel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(tæller og nævner divideres med tallet 3); den resulterende fraktion kan igen reduceres ved at dividere med 5, dvs \frac(15)(20)=\frac 34.
Irreducerbar fraktion er en brøkdel af formen \frac 34, hvor tæller og nævner er indbyrdes primtal. Hovedformålet med at reducere en fraktion er at gøre fraktionen irreducerbar.
Reduktion af brøker til en fællesnævner
Lad os tage to brøker som et eksempel: \frac(2)(3) Og \frac(5)(8) med forskellige nævnere 3 og 8. For at bringe disse brøker til en fællesnævner multiplicerer vi først brøkens tæller og nævner \frac(2)(3) inden 8. Vi får følgende resultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Derefter gange vi brøkens tæller og nævner \frac(5)(8) inden 3. Som et resultat får vi: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Så de oprindelige brøker reduceres til en fællesnævner 24.
Aritmetiske operationer på almindelige brøker
Tilføjelse af almindelige brøker
a) Hvis nævnerne er ens, lægges tælleren for den første brøk til tælleren i den anden brøk, så nævneren er den samme. Som du kan se i eksemplet:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) For forskellige nævnere reduceres brøker først til en fællesnævner, og derefter tilføjes tællere efter regel a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
At trække brøker fra
a) Hvis nævnerne er ens, subtraheres tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk, så nævneren er den samme:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Hvis nævnerne i brøkerne er forskellige, bringes først brøkerne til en fællesnævner, og derefter gentages handlingerne som i punkt a).
Multiplikation af almindelige brøker
Multiplikation af brøker overholder følgende regel:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
det vil sige, at de multiplicerer tællere og nævnere hver for sig.
For eksempel:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Opdeling af brøker
Brøker opdeles på følgende måde:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
altså en brøkdel \frac(a)(b) ganget med en brøk \frac(d)(c).
Eksempel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Gensidige tal
Hvis ab=1, så er tallet b gensidigt nummer for tallet a.
Eksempel: for tallet 9 er den gensidige \frac(1)(9), fordi 9\cdot\frac(1)(9)=1, for nummer 5 - \frac(1)(5), fordi 5\cdot\frac(1)(5)=1.
Decimaler
Decimal kaldes en egenbrøk, hvis nævner er 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.
For eksempel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Uregelmæssige tal med nævneren 10^n eller blandede tal skrives på samme måde.
For eksempel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.
Enhver almindelig brøk med en nævner, der er en divisor af en vis potens på 10, er repræsenteret som en decimalbrøk.
Eksempel: 5 er en divisor af 100, så det er en brøk \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Aritmetiske operationer på decimaler
Tilføjelse af decimaler
For at tilføje to decimalbrøker skal du arrangere dem, så der er identiske cifre under hinanden og et komma under kommaet, og derefter tilføje brøkerne som almindelige tal.
Subtrahering af decimaler
Det udføres på samme måde som addition.
Multiplikation af decimaler
Når du multiplicerer decimaltal, er det nok at gange de givne tal, uden at være opmærksom på kommaer (som naturlige tal), og i det resulterende svar adskiller et komma til højre lige så mange cifre, som der er efter decimaltegnet i begge faktorer i alt.
Lad os gange 2,7 med 1,3. Vi har 27 \cdot 13=351 . Vi adskiller to cifre til højre med et komma (første og andet tal har et ciffer efter decimalkommaet; 1+1=2). Som et resultat får vi 2,7 \cdot 1,3=3,51.
Hvis det resulterende resultat indeholder færre cifre, end der skal adskilles med et komma, skrives de manglende nuller foran, for eksempel:
For at gange med 10, 100, 1000 skal du flytte decimaltegnet 1, 2, 3 cifre til højre (om nødvendigt tildeles et vist antal nuller til højre).
For eksempel: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.
Decimal division
At dividere en decimalbrøk med et naturligt tal foregår på samme måde som at dividere et naturligt tal med et naturligt tal. Kommaet i kvotienten placeres efter opdelingen af hele delen er afsluttet.
Hvis den heltallige del af udbyttet er mindre end divisoren, så er svaret nul heltal, for eksempel:
.png)
Lad os se på at dividere en decimal med en decimal. Lad os sige, at vi skal dividere 2,576 med 1,12. Lad os først og fremmest gange brøkens udbytte og divisor med 100, dvs. flytte decimaltegnet til højre i udbyttet og divisor med lige så mange cifre, som der er i divisoren efter decimaltegnet (i dette eksempel, to). Derefter skal du dividere brøken 257,6 med det naturlige tal 112, det vil sige, at problemet er reduceret til det allerede overvejede tilfælde:
.png)
Det sker, at den sidste decimalbrøk ikke altid opnås, når man dividerer et tal med et andet. Resultatet er en uendelig decimalbrøk. I sådanne tilfælde går vi videre til almindelige brøker.
2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Encyklopædisk YouTube
-
1 / 5
Almindelig(eller enkel) brøk - at skrive et rationelt tal i formen ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) eller ± m/n , (\displaystyle \pm m/n,) Hvor n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) En vandret eller skråstreg angiver et divisionstegn, hvilket resulterer i en kvotient. Udbyttet kaldes tæller brøker, og divisor er nævner.
Notation for almindelige brøker
Der er flere typer af at skrive almindelige brøker i trykt form:
Korrekte og uægte fraktioner
Korrekt En brøk, hvis tæller er mindre end dens nævner, kaldes en brøk. En brøk, der ikke er rigtig, kaldes forkert, og repræsenterer et rationelt tal med et modul større end eller lig med en.
For eksempel brøker 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) og er egentlige brøker, mens 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Og 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- uægte fraktioner. Ethvert heltal, der ikke er nul, kan repræsenteres som en uægte brøk med nævneren 1.
Blandede fraktioner
En brøk skrevet som et helt tal og en egen brøk kaldes blandet fraktion og forstås som summen af dette tal og en brøk. Ethvert rationelt tal kan skrives som en blandet brøk. I modsætning til en blandet brøk kaldes en brøk, der kun indeholder en tæller og en nævner enkel.
For eksempel, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). I streng matematisk litteratur foretrækker de ikke at bruge en sådan notation på grund af ligheden mellem notationen for en blandet brøk og notationen for produktet af et heltal med en brøk, såvel som på grund af den mere besværlige notation og mindre bekvemme beregninger .
Sammensatte fraktioner
En brøk med flere etager, eller sammensat, er et udtryk, der indeholder flere vandrette (eller, mindre almindeligt, skrå) linjer:
1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3))) eller 1/2 1/3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3))) eller 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4)))(26)))Decimaler
En decimal er en positionsrepræsentation af en brøk. Det ser sådan ud:
± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )Eksempel: 3.141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).
Den del af posten, der kommer før det positionelle decimalkomma, er den heltallige del af tallet (brøk), og den del, der kommer efter decimalkommaet, er brøkdelen. Enhver almindelig brøk kan konverteres til en decimal, som i dette tilfælde enten har et begrænset antal decimaler eller er en periodisk brøk.
Generelt kan du for at skrive et tal positionelt bruge ikke kun decimaltalsystemet, men også andre (inklusive specifikke, såsom Fibonacci).
Betydningen af en brøk og hovedegenskaben for en brøk
En brøk er blot en repræsentation af et tal. Det samme tal kan svare til forskellige brøker, både almindelige og decimale.
0 , 999... = 1 (\displaystyle 0.999...=1)- to forskellige brøker svarer til det samme tal.Operationer med brøker
Dette afsnit dækker operationer på almindelige fraktioner. For operationer med decimalbrøker, se Decimalbrøk.
Reduktion til en fællesnævner
For at sammenligne, addere og trække brøker fra, skal de konverteres ( tage med) til en form med samme nævner. Lad to brøker gives: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Og c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Procedure:
Herefter falder nævnerne for begge brøker sammen (lig M). I stedet for det mindste fælles multiplum kan vi i simple tilfælde tage som M ethvert andet fælles multiplum, såsom produktet af nævnere. For et eksempel, se afsnittet Sammenligning nedenfor.
Sammenligning
For at sammenligne to fælles brøker skal du bringe dem til en fællesnævner og sammenligne tællere for de resulterende brøker. En brøk med en større tæller vil være større.
Eksempel. Lad os sammenligne 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Og 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Vi reducerer brøkerne til nævneren 20.
3 4 = 15 20; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20)))Derfor, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}
Addition og subtraktion
For at tilføje to almindelige brøker skal du reducere dem til en fællesnævner. Tilføj derefter tællere og lad nævneren være uændret:
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))Nævnernes LCM (her 2 og 3) er lig med 6. Vi giver brøken 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) til nævneren 6, hertil skal tæller og nævner ganges med 3.
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))
sket 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). Vi giver brøken 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) til samme nævner, hertil skal tæller og nævner ganges med 2. Det viste sig 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
For at få forskellen mellem brøker skal de også bringes til en fællesnævner, og derefter trække tællerne fra, så nævneren forbliver uændret:Nævnernes LCM (her 2 og 4) er lig med 4. Vi præsenterer brøken 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) til nævneren 4, hertil skal du gange tælleren og nævneren med 2. Vi får 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).
Multiplikation og division
For at gange to almindelige brøker skal du gange deres tællere og nævnere:
a b ⋅ c d = a c b d . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)Især for at gange en brøk med et naturligt tal, skal du gange tælleren med tallet og lade nævneren være den samme:
2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)Generelt er tælleren og nævneren for den resulterende brøk muligvis ikke coprime, og brøken skal muligvis reduceres, for eksempel:
5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4)).)For at dividere en almindelig brøk med en anden, skal du gange den første med den gensidige af den anden:
a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)For eksempel,
1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ frac (3)(2)).)Konverter mellem forskellige optagelsesformater
For at konvertere en brøk til en decimal skal du dividere tælleren med nævneren. Resultatet kan have et endeligt antal decimaler, men det kan også have et uendeligt antal
I matematik er en brøk et tal, der består af en eller flere dele (brøker) af en enhed. I henhold til registreringsformen opdeles brøker i almindelig (eksempel \frac(5)(8)) og decimal (f.eks. 123,45).
Definition. Almindelig brøk (eller simpel brøk)
Almindelig (simpel) brøk kaldes et tal på formen \pm\frac(m)(n), hvor m og n er naturlige tal. Tallet m kaldes tæller denne brøk, og tallet n er dens nævner.
En vandret eller skråstreg angiver et divisionstegn, det vil sige \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Almindelige fraktioner er opdelt i to typer: rigtig og uægte.
Definition. Korrekte og uægte fraktioner
Korrekt En brøk, hvis tæller er mindre end dens nævner, kaldes en brøk. For eksempel \frac(9)(11) , fordi 9
Forkert En brøk kaldes, hvor tællerens modul er større end eller lig med nævnerens modul. En sådan brøk er et rationelt tal med et modul større end eller lig med en. Et eksempel kunne være brøkerne \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)
Sammen med den uægte brøk er der en anden repræsentation af tallet, som kaldes en blandet brøk (blandet tal). Dette er ikke en almindelig brøkdel.
Definition. Blandet fraktion (blandet antal)
Blandet fraktion er en brøk skrevet som et helt tal og en egen brøk og forstås som summen af dette tal og brøken. For eksempel, 2\frac(5)(7)
(skrevet som et blandet tal) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (skrevet som en uægte brøk)
En brøk er blot en repræsentation af et tal. Det samme tal kan svare til forskellige brøker, både almindelige og decimale. Lad os danne et tegn for ligheden mellem to almindelige brøker.
Definition. Tegn på lighed af brøker
De to brøker \frac(a)(b) og \frac(c)(d) er lige, hvis a\cdot d=b\cdot c . For eksempel, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) siden 2\cdot12=3\cdot8
Fra denne attribut følger hovedegenskaben for en brøk.
Ejendom. Hovedegenskaben ved en brøk
Hvis tælleren og nævneren for en given brøk ganges eller divideres med det samme tal, ikke lig med nul, får man en brøk lig med den givne.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Ved at bruge en brøks grundegenskab kan du erstatte en given brøk med en anden brøk, der er lig med den givne, men med en mindre tæller og nævner. Denne erstatning kaldes fraktionsreduktion. For eksempel, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (her blev tælleren og nævneren først divideret med 2, og derefter med 2 mere). En brøk kan reduceres, hvis og kun hvis dens tæller og nævner ikke er indbyrdes primtal. Hvis tælleren og nævneren for en given brøk er indbyrdes primtal, så kan brøken ikke reduceres, for eksempel er \frac(3)(4) en irreducerbar brøk.
Regler for positive brøker:
Fra to fraktioner med de samme nævnere Jo større er den brøk, hvis tæller er større. For eksempel, \frac(3)(15)
Fra to fraktioner med de samme tællere Jo større er den brøk, hvis nævner er mindre. For eksempel \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
For at sammenligne to brøker med forskellige tællere og nævnere, skal du konvertere begge brøker, så deres nævnere er ens. Denne transformation kaldes at reducere brøker til en fællesnævner.
Dette emne er ret vigtigt; al yderligere matematik og algebra er baseret på brøkernes grundlæggende egenskaber. Egenskaberne for fraktioner, der betragtes, på trods af deres betydning, er meget enkle.
At forstå grundlæggende egenskaber for fraktioner Lad os overveje en cirkel.
På cirklen kan du se, at 4 dele eller er skygget ud af de mulige otte. Lad os skrive den resulterende brøk \(\frac(4)(8)\)
På den næste cirkel kan du se, at en af de to mulige dele er skraveret. Lad os skrive den resulterende brøk \(\frac(1)(2)\)
Hvis vi ser nærmere efter, vil vi se, at i det første tilfælde, at vi i det andet tilfælde har halvcirklen skraveret, så de resulterende brøker er lig med \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), dvs. det er det samme tal.
Hvordan beviser man dette matematisk? Det er meget enkelt, husk multiplikationstabellen og skriv den første brøk i faktorer.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(rød) (4))(2 \cdot \color(rød) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \farve(rød) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \farve(rød)(1) = \frac(1)(2)\)
Hvad har vi gjort? Vi faktoriserede tælleren og nævneren \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), og dividerede derefter brøkerne \(\frac(1) ) (2) \cdot \farve(rød) (\frac(4)(4))\). Fire divideret med fire er 1, og en ganget med et hvilket som helst tal er selve tallet. Det, vi gjorde i ovenstående eksempel, hedder reducerende fraktioner.
Lad os se på et andet eksempel og reducere brøken.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \farve(rød) (2))(5 \cdot \farve(rød) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \farve(rød) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \farve(rød)(1) = \frac(3)(5)\)
Vi har igen faktoriseret tælleren og nævneren og reduceret de samme tal til tællere og nævnere. Det vil sige, at to divideret med to giver én, og én ganget med et hvilket som helst tal giver det samme tal.
Hovedegenskaben ved en brøk.
Dette indebærer hovedegenskaben for en brøk:
Hvis både tælleren og nævneren for en brøk ganges med det samme tal (undtagen nul), så ændres brøkens værdi ikke.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
Du kan også dividere tælleren og nævneren med det samme tal på samme tid.
Lad os se på et eksempel:\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \farve(rød) (2))(8 \div \farve(rød) (2)) = \frac(3)(4)\)
Hvis både tælleren og nævneren for en brøk divideres med det samme tal (undtagen nul), så ændres brøkens værdi ikke.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Brøker, der har fælles primfaktorer i både tællere og nævnere, kaldes reducerbare fraktioner.
Eksempel på en reducerbar brøk: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Der er også irreducerbare fraktioner.
Irreducerbar fraktion er en brøk, der ikke har fælles primfaktorer i sine tællere og nævnere.
Eksempel på en irreducerbar brøk: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Ethvert tal kan udtrykkes som en brøk, fordi ethvert tal er deleligt med et. For eksempel:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Spørgsmål til emnet:
Tror du, at en brøkdel kan reduceres eller ej?
Svar: nej, der er reducerbare brøker og irreducerbare brøker.Tjek om ligheden er sand: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Svar: skriv brøken \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), ja det er rimeligt.Eksempel #1:
a) Find en brøk med nævneren 15 lig med brøken \(\frac(2)(3)\).
b) Find en brøk med tæller 8, der er lig med brøken \(\frac(1)(5)\).Løsning:
a) Vi skal bruge tallet 15 i nævneren Nu har nævneren tallet 3. Hvilket tal skal vi gange tallet 3 med for at få 15? Lad os huske multiplikationstabellen 3⋅5. Vi skal bruge brøkernes grundlæggende egenskab og gange både tælleren og nævneren af brøken \(\frac(2)(3)\) inden 5.\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) Vi skal bruge tallet 8 til at være i tælleren. Nu er tallet 1 i tælleren. Selvfølgelig, 1⋅8. Vi skal bruge brøkernes grundlæggende egenskab og gange både tælleren og nævneren af brøken \(\frac(1)(5)\) inden 8. Vi får:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
Eksempel #2:
Find en irreducerbar brøk lig med brøken: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).Løsning:
EN) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
Eksempel #3:
Skriv tallet som en brøk: a) 13 b)123Løsning:
EN) \(13 = \frac(13) (1)\)b) \(123 = \frac(123) (1)\)