Eksempler på at gange simple brøker med forskellige nævnere. Multiplicere og dividere brøker

Sidste gang lærte vi at lægge til og trække brøker fra (se lektionen "At tilføje og trække brøker fra"). Den sværeste del af disse handlinger var at bringe brøker til en fællesnævner.

Nu er det tid til at beskæftige sig med multiplikation og division. Den gode nyhed er, at disse operationer er endnu enklere end addition og subtraktion. Lad os først overveje det enkleste tilfælde, når der er to positive brøker uden en adskilt heltalsdel.

For at gange to brøker skal du gange deres tællere og nævnere hver for sig. Det første tal vil være tælleren for den nye brøk, og det andet vil være nævneren.

For at dividere to brøker skal du gange den første brøk med den "omvendte" anden brøk.

Betegnelse:

Af definitionen følger det, at dividere brøker reduceres til multiplikation. For at "vende" en brøk, skal du bare bytte tæller og nævner. Derfor vil vi i løbet af lektionen hovedsageligt overveje multiplikation.

Som et resultat af multiplikation kan der opstå en reducerbar brøk (og ofte opstår) - den skal selvfølgelig reduceres. Hvis fraktionen efter alle reduktionerne viser sig at være forkert, skal hele delen fremhæves. Men det, der absolut ikke vil ske med multiplikation, er reduktion til en fællesnævner: ingen metoder på kryds og tværs, største faktorer og mindst fælles multipla.

Per definition har vi:

Multiplicer brøker med hele dele og negative brøker

Hvis brøker indeholder en heltalsdel, skal de konverteres til ukorrekte - og først derefter ganges i henhold til skemaerne skitseret ovenfor.

Hvis der er et minus i tælleren af en brøk, i nævneren eller foran den, kan det tages ud af multiplikationen eller fjernes helt efter følgende regler:

Plus ved minus giver minus;
To negativer gør en bekræftende.

Indtil nu har man kun stødt på disse regler ved addering og fratrækning af negative brøker, hvor det var nødvendigt at slippe af med hele delen. For et arbejde kan de generaliseres for at "brænde" flere ulemper på én gang:

Vi krydser negativerne ud i par, indtil de helt forsvinder. I ekstreme tilfælde kan et minus overleve - den, som der ikke var nogen makker til;
Hvis der ikke er minusser tilbage, er operationen fuldført - du kan begynde at gange. Hvis det sidste minus ikke er streget over, fordi der ikke var et par for det, tager vi det uden for multiplikationsgrænserne. Resultatet er en negativ brøkdel.

Opgave. Find betydningen af udtrykket:

Vi konverterer alle brøker til uægte, og tager så minusserne ud af multiplikationen. Vi multiplicerer, hvad der er tilbage efter de sædvanlige regler. Vi får:

Lad mig endnu en gang minde dig om, at minus, der vises foran en brøk med en fremhævet hel del, refererer specifikt til hele brøken, og ikke kun til hele dens del (dette gælder for de sidste to eksempler).

Vær også opmærksom på negative tal: Når du multiplicerer, er de indesluttet i parentes. Dette gøres for at adskille minusserne fra multiplikationstegnene og gøre hele notationen mere nøjagtig.

Reduktion af fraktioner i farten

Multiplikation er en meget arbejdskrævende operation. Tallene her viser sig at være ret store, og for at forenkle problemet kan man prøve at reducere fraktionen yderligere før multiplikation. Faktisk er tællere og nævnere af brøker almindelige faktorer, og derfor kan de reduceres ved at bruge den grundlæggende egenskab for en brøk. Tag et kig på eksemplerne:

Opgave. Find betydningen af udtrykket:

Per definition har vi:

I alle eksempler er de tal, der er blevet reduceret, og hvad der er tilbage af dem markeret med rødt.

Bemærk venligst: i det første tilfælde blev multiplikatorerne reduceret fuldstændigt. I stedet for er der enheder, som generelt set ikke behøver at blive skrevet. I det andet eksempel var det ikke muligt at opnå en fuldstændig reduktion, men den samlede mængde af beregninger faldt alligevel.

Brug dog aldrig denne teknik, når du tilføjer og trækker brøker! Ja, nogle gange er der lignende tal, som du bare vil reducere. Se her:

Det kan du ikke!

Fejlen opstår, fordi tælleren af en brøk, når man adderer, producerer en sum, ikke et produkt af tal. Det er derfor umuligt at anvende den grundlæggende egenskab for en brøk, da denne egenskab specifikt omhandler multiplikation af tal.

Der er simpelthen ingen andre grunde til at reducere fraktioner, så den korrekte løsning på det forrige problem ser sådan ud:

Korrekt løsning:

Som du kan se, viste det rigtige svar sig ikke at være så smukt. Generelt skal du være forsigtig.

En anden operation, der kan udføres med almindelige brøker, er multiplikation. Vi vil forsøge at forklare dens grundlæggende regler, når vi løser problemer, vise, hvordan en almindelig brøk ganges med et naturligt tal, og hvordan man korrekt ganger tre almindelige brøker eller mere.

Lad os først skrive grundreglen ned:

Definition 1

Hvis vi multiplicerer en almindelig brøk, så vil tælleren af den resulterende brøk være lig med produktet af tællere af de oprindelige brøker, og nævneren vil være lig med produktet af deres nævnere. I bogstavelig form kan dette for to brøker a / b og c / d udtrykkes som a b · c d = a · c b · d.

Lad os se på et eksempel på, hvordan man korrekt anvender denne regel. Lad os sige, at vi har et kvadrat, hvis side er lig med en numerisk enhed. Så vil arealet af figuren være 1 kvadrat. enhed. Hvis vi deler kvadratet i lige store rektangler med sider lig med 1 4 og 1 8 numeriske enheder, får vi, at det nu består af 32 rektangler (fordi 8 4 = 32). Derfor vil arealet af hver af dem være lig med 1 32 af arealet af hele figuren, dvs. 132 kvm. enheder.

Vi har et skraveret fragment med sider svarende til 5 8 numeriske enheder og 3 4 numeriske enheder. For at beregne dets areal skal du derfor gange den første brøk med den anden. Det vil være lig med 5 8 · 3 4 sq. enheder. Men vi kan simpelthen tælle, hvor mange rektangler der er inkluderet i fragmentet: der er 15 af dem, hvilket betyder, at det samlede areal er 15 32 kvadratenheder.

Da 5 3 = 15 og 8 4 = 32, kan vi skrive følgende lighed:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Det bekræfter den regel, vi formulerede for at gange almindelige brøker, som udtrykkes som a b · c d = a · c b · d. Det fungerer på samme måde for både rigtige og uægte fraktioner; Det kan bruges til at gange brøker med både forskellige og identiske nævnere.

Lad os se på løsninger på flere problemer, der involverer multiplikation af almindelige brøker.

Eksempel 1

Gang 7 11 med 9 8.

Løsning

Lad os først beregne produktet af tællere af de angivne brøker ved at gange 7 med 9. Vi fik 63. Så udregner vi produktet af nævnerne og får: 11 · 8 = 88. Lad os komponere to tal, og svaret er: 63 88.

Hele løsningen kan skrives sådan:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Svar: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Hvis vi får en reduktionsbrøk i vores svar, skal vi færdiggøre beregningen og udføre dens reduktion. Hvis vi får en ukorrekt brøk, skal vi skille hele delen fra den.

Eksempel 2

Beregn produkt af fraktioner 4 15 og 55 6 .

Løsning

Ifølge reglen, der er studeret ovenfor, skal vi gange tælleren med tælleren og nævneren med nævneren. Løsningsposten vil se sådan ud:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Vi fik en reducerbar brøk, dvs. en der er delelig med 10.

Lad os reducere fraktionen: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Som et resultat fik vi en ukorrekt brøk, hvorfra vi vælger hele delen og får et blandet tal: 22 9 = 2 4 9.

Svar: 4 15 55 6 = 2 4 9.

For at lette beregningen kan vi også reducere de oprindelige brøker, før vi udfører multiplikationsoperationen, for hvilken vi skal reducere brøken til formen a · c b · d. Lad os dekomponere værdierne af variablerne i simple faktorer og reducere de samme.

Lad os forklare, hvordan det ser ud ved at bruge data fra en bestemt opgave.

Eksempel 3

Beregn produktet 4 15 55 6.

Løsning

Lad os nedskrive beregningerne ud fra multiplikationsreglen. Vi får:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Da 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 og 6 = 2 3, så 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Svar: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Et numerisk udtryk, hvor almindelige brøker ganges, har en kommutativ egenskab, det vil sige, om nødvendigt, kan vi ændre rækkefølgen af faktorerne:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Sådan ganges en brøk med et naturligt tal

Lad os skrive grundreglen ned med det samme, og så forsøge at forklare den i praksis.

Definition 2

For at gange en almindelig brøk med et naturligt tal, skal du gange tælleren for den brøk med det tal. I dette tilfælde vil nævneren for den endelige brøk være lig med nævneren for den oprindelige brøk. Multiplikation af en bestemt brøk a b med et naturligt tal n kan skrives som formlen a b · n = a · n b.

Det er let at forstå denne formel, hvis du husker, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som en almindelig brøk med en nævner lig med en, dvs.

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Lad os forklare vores idé med specifikke eksempler.

Eksempel 4

Beregn produktet 2 27 gange 5.

Løsning

Som et resultat af at gange tælleren for den oprindelige brøk med den anden faktor, får vi 10. I kraft af reglen nævnt ovenfor vil vi få 10 27 som resultat. Hele løsningen er givet i dette indlæg:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Svar: 2 27 5 = 10 27

Når vi gange et naturligt tal med en brøk, skal vi ofte forkorte resultatet eller repræsentere det som et blandet tal.

Eksempel 5

Tilstand: beregn produktet 8 gange 5 12.

Løsning

Ifølge reglen ovenfor gange vi det naturlige tal med tælleren. Som et resultat får vi, at 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Den sidste brøk har tegn på delelighed med 2, så vi skal reducere den:

LCM (40, 12) = 4, så 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Nu mangler vi bare at vælge hele delen og skrive det færdige svar ned: 10 3 = 3 1 3.

I denne post kan du se hele løsningen: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Vi kunne også reducere brøken ved at faktorisere tælleren og nævneren i primfaktorer, og resultatet ville være nøjagtigt det samme.

Svar: 5 12 8 = 3 1 3.

Et numerisk udtryk, hvor et naturligt tal ganges med en brøk, har også egenskaben forskydning, det vil sige, at rækkefølgen af faktorerne ikke påvirker resultatet:

a b · n = n · a b = a · n b

Sådan ganges tre eller flere almindelige brøker

Vi kan udvide til handlingen med at gange almindelige brøker med de samme egenskaber, som er karakteristiske for multiplikation af naturlige tal. Dette følger af selve definitionen af disse begreber.

Takket være viden om de kombinerende og kommutative egenskaber kan du gange tre eller flere almindelige brøker. Det er acceptabelt at omarrangere faktorerne for større bekvemmelighed eller arrangere parenteserne på en måde, der gør det lettere at tælle.

Lad os vise med et eksempel, hvordan dette gøres.

Eksempel 6

Gang de fire almindelige brøker 1 20, 12 5, 3 7 og 5 8.

Løsning: Lad os først optage arbejdet. Vi får 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Vi skal gange alle tællere og alle nævnerne sammen: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Før vi begynder at gange, kan vi gøre tingene lidt nemmere for os selv og indregne nogle tal i primfaktorer for yderligere reduktion. Dette vil være lettere end at reducere den resulterende fraktion, der allerede er klar.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

Svar: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Eksempel 7

Gang 5 tal 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Løsning

For nemheds skyld kan vi gruppere brøken 7 8 med tallet 8 og tallet 12 med brøken 5 36, da fremtidige forkortelser vil være indlysende for os. Som et resultat vil vi få:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 310 3 = 7 5 10 3 = 7 5 10 3 2 3

Svar: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Multiplikation af almindelige brøker

Lad os se på et eksempel.

Lad der være $\frac(1)(3)$ del af et æble på en tallerken. Vi skal finde $\frac(1)(2)$-delen af den. Den nødvendige del er resultatet af at gange brøkerne $\frac(1)(3)$ og $\frac(1)(2)$. Resultatet af at gange to fælles brøker er en fælles brøk.

Multiplicer to almindelige brøker

Regel for at gange almindelige brøker:

Resultatet af at gange en brøk med en brøk er en brøk, hvis tæller er lig med produktet af tællere af de brøker, der ganges, og nævneren er lig med produktet af nævnerne:

Eksempel 1

Udfør multiplikation af almindelige brøker $\frac(3)(7)$ og $\frac(5)(11)$.

Løsning.

Lad os bruge reglen til at gange almindelige brøker:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Svar:$\frac(15)(77)$

Hvis multiplikation af brøker resulterer i en reducerbar eller uægte brøk, skal du forenkle den.

Eksempel 2

Gang brøkerne $\frac(3)(8)$ og $\frac(1)(9)$.

Løsning.

Vi bruger reglen til at gange almindelige brøker:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Som et resultat fik vi en reducerbar brøk (baseret på division med 3$. Divider brøkens tæller og nævner med 3$, får vi:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kort løsning:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Svar:$\frac(1)(24).$

Når du multiplicerer brøker, kan du reducere tællere og nævnere, indtil du finder deres produkt. I dette tilfælde dekomponeres brøkens tæller og nævner i simple faktorer, hvorefter de gentagne faktorer annulleres, og resultatet findes.

Eksempel 3

Beregn produktet af brøkerne $\frac(6)(75)$ og $\frac(15)(24)$.

Løsning.

Lad os bruge formlen til at gange almindelige brøker:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Det er klart, at tælleren og nævneren indeholder tal, der kan reduceres parvis til tallene $2$, $3$ og $5$. Lad os indregne tælleren og nævneren i simple faktorer og lave en reduktion:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Svar:$\frac(1)(20).$

Når du multiplicerer brøker, kan du anvende den kommutative lov:

At gange en fælles brøk med et naturligt tal

Reglen for at gange en fælles brøk med et naturligt tal:

Resultatet af at gange en brøk med et naturligt tal er en brøk, hvor tælleren er lig med produktet af tælleren af den multiplicerede brøk med det naturlige tal, og nævneren er lig med nævneren af den multiplicerede brøk:

hvor $\frac(a)(b)$ er en almindelig brøk, er $n$ et naturligt tal.

Eksempel 4

Gang brøken $\frac(3)(17)$ med $4$.

Løsning.

Lad os bruge reglen til at gange en almindelig brøk med et naturligt tal:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Svar:$\frac(12)(17).$

Glem ikke at kontrollere resultatet af multiplikation med brøkens reduktionsevne eller med en ukorrekt brøk.

Eksempel 5

Gang brøken $\frac(7)(15)$ med tallet $3$.

Løsning.

Lad os bruge formlen til at gange en brøk med et naturligt tal:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Ved at dividere med tallet $3$) kan vi bestemme, at den resulterende brøk kan reduceres:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Resultatet var en forkert brøk. Lad os vælge hele delen:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kort løsning:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Brøker kunne også reduceres ved at erstatte tallene i tælleren og nævneren med deres faktoriseringer til primfaktorer. I dette tilfælde kunne løsningen skrives som følger:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Svar:$1\frac(2)(5).$

Når du multiplicerer en brøk med et naturligt tal, kan du bruge den kommutative lov:

Opdeling af brøker

Operationen af division er den inverse af multiplikation, og dens resultat er en brøk, som en kendt brøk skal ganges med for at opnå det kendte produkt af to brøker.

At dividere to almindelige brøker

Regel for at dividere almindelige brøker: Det er klart, tælleren og nævneren af den resulterende brøk kan faktoriseres og reduceres:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Som et resultat får vi en ukorrekt brøkdel, hvorfra vi vælger hele delen:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Svar:$1\frac(5)(9).$

§ 87. Tilføjelse af brøker.

Tilføjelse af brøker har mange ligheder med at tilføje hele tal. Addition af brøker er en handling, der består i, at flere givne tal (led) kombineres til ét tal (sum), der indeholder alle enheder og brøker af ledenhederne.

Vi vil overveje tre sager sekventielt:

1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere.
2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.
3. Tilføjelse af blandede tal.

1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere.

Overvej et eksempel: 1/5 + 2/5.

Lad os tage segment AB (fig. 17), tage det som ét og dele det i 5 lige store dele, så vil del AC af dette segment være lig med 1/5 af segment AB, og en del af samme segment CD vil være lig med 2/5 AB.

Fra tegningen er det klart, at hvis vi tager segmentet AD, vil det være lig med 3/5 AB; men segmentet AD er netop summen af segmenterne AC og CD. Så vi kan skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

I betragtning af disse vilkår og den resulterende sum, ser vi, at tælleren af summen blev opnået ved at tilføje tællere af vilkårene, og nævneren forblev uændret.

Fra dette får vi følgende regel: For at tilføje brøker med de samme nævnere, skal du tilføje deres tællere og lade den samme nævner stå.

Lad os se på et eksempel:

2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.

Lad os tilføje brøkerne: 3 / 4 + 3 / 8 Først skal de reduceres til den laveste fællesnævner:

Mellemleddet 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhedens skyld.

For at tilføje brøker med forskellige nævnere skal du derfor først reducere dem til den laveste fællesnævner, tilføje deres tællere og mærke fællesnævneren.

Lad os overveje et eksempel (vi vil skrive yderligere faktorer over de tilsvarende brøker):

3. Tilføjelse af blandede tal.

Lad os tilføje tallene: 2 3/8 + 3 5/6.

Lad os først bringe brøkdelene af vores tal til en fællesnævner og omskrive dem igen:

Nu tilføjer vi heltal og brøkdele sekventielt:

§ 88. Fradrag af brøker.

At trække brøker fra er defineret på samme måde som at trække hele tal fra. Dette er en handling, ved hjælp af hvilken, givet summen af to led og et af dem, findes et andet led. Lad os overveje tre sager efter hinanden:

1. Fratræk brøker med ens nævnere.
2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.
3. Subtraktion af blandede tal.

1. Fratræk brøker med ens nævnere.

Lad os se på et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

Lad os tage segmentet AB (fig. 18), tage det som en enhed og dele det i 15 lige store dele; så vil del AC af dette segment repræsentere 1/15 af AB, og del AD af samme segment vil svare til 13/15 AB. Lad os afsætte endnu et segment ED svarende til 4/15 AB.

Vi skal trække brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyder det, at segment ED skal trækkes fra segment AD. Som følge heraf forbliver segment AE, hvilket er 9/15 af segment AB. Så vi kan skrive:

Eksemplet vi lavede viser, at tælleren for forskellen blev opnået ved at trække tællerne fra, men nævneren forblev den samme.

Derfor, for at trække brøker med ens nævnere, skal du trække tælleren for subtrahenden fra tælleren i minuenden og lade den samme nævner være.

2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

Lad os først reducere disse brøker til den laveste fællesnævner:

Den mellemliggende 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhedens skyld, men kan springes over senere.

For at trække en brøk fra en brøk skal du altså først reducere dem til den laveste fællesnævner, derefter trække minuendens tæller fra minuendens tæller og underskrive fællesnævneren under deres differens.

Lad os se på et eksempel:

3. Subtraktion af blandede tal.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

Lad os reducere brøkdelene af minuenden og subtrahend til den laveste fællesnævner:

Vi trækker en hel fra en hel og en brøk fra en brøk. Men der er tilfælde, hvor brøkdelen af subtrahenden er større end brøkdelen af minuenden. I sådanne tilfælde skal du tage en enhed fra hele minuenden, opdele den i de dele, hvor brøkdelen er udtrykt, og tilføje den til brøkdelen af minuenden. Og så vil subtraktionen blive udført på samme måde som i det foregående eksempel:

§ 89. Multiplikation af brøker.

Når vi studerer brøkmultiplikation, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Gang en brøk med et helt tal.
2. Finde brøkdelen af et givet tal.
3. Gang et helt tal med en brøk.
4. Multiplicer en brøk med en brøk.
5. Multiplikation af blandede tal.
6. Rentebegrebet.
7. Finde procentdelen af et givet tal. Lad os overveje dem sekventielt.

1. Gang en brøk med et helt tal.

At gange en brøk med et helt tal har samme betydning som at gange et helt tal med et heltal. At gange en brøk (multiplikand) med et heltal (faktor) betyder at skabe en sum af identiske led, hvor hvert led er lig med multiplikanten, og antallet af led er lig med multiplikatoren.

Det betyder, at hvis du skal gange 1/9 med 7, så kan det gøres sådan her:

Vi opnåede let resultatet, da handlingen blev reduceret til at tilføje brøker med de samme nævnere. Derfor,

Overvejelse af denne handling viser, at gange en brøk med et helt tal svarer til at øge denne brøk så mange gange, som der er enheder i hele tallet. Og da forøgelse af en brøk opnås enten ved at øge dens tæller

eller ved at reducere dens nævner , så kan vi enten gange tælleren med et heltal eller dividere nævneren med det, hvis en sådan division er mulig.

Herfra får vi reglen:

For at gange en brøk med et helt tal, multiplicerer du tælleren med det hele tal og lader nævneren være den samme, eller hvis det er muligt, dividerer du nævneren med det tal, så tælleren forbliver uændret.

Ved multiplikation er forkortelser mulige, for eksempel:

2. Finde brøkdelen af et givet tal. Der er mange problemer, hvor du skal finde eller beregne en del af et givet tal. Forskellen mellem disse problemer og andre er, at de giver antallet af nogle objekter eller måleenheder, og du skal finde en del af dette tal, som også er angivet her med en bestemt brøkdel. For at lette forståelsen vil vi først give eksempler på sådanne problemer og derefter introducere en metode til at løse dem.

Opgave 1. Jeg havde 60 rubler; Jeg brugte 1/3 af disse penge på at købe bøger. Hvor meget kostede bøgerne?

Opgave 2. Toget skal køre en afstand mellem byerne A og B svarende til 300 km. Han har allerede tilbagelagt 2/3 af denne distance. Hvor mange kilometer er dette?

Opgave 3. Der er 400 huse i landsbyen, 3/4 af dem er mursten, resten er af træ. Hvor mange murstenshuse er der i alt?

Dette er nogle af de mange problemer, vi støder på for at finde en del af et givet tal. De kaldes normalt problemer for at finde brøkdelen af et givet tal.

Løsning på problem 1. Fra 60 rub. Jeg brugte 1/3 på bøger; Det betyder, at for at finde prisen på bøger skal du dividere tallet 60 med 3:

Løsning af problem 2. Pointen med problemet er, at du skal finde 2/3 af 300 km. Lad os først beregne 1/3 af 300; dette opnås ved at dividere 300 km med 3:

300: 3 = 100 (det er 1/3 af 300).

For at finde to tredjedele af 300 skal du fordoble den resulterende kvotient, dvs. gange med 2:

100 x 2 = 200 (det er 2/3 af 300).

Løsning af problem 3. Her skal du bestemme antallet af murstenshuse, der udgør 3/4 af 400. Lad os først finde 1/4 af 400,

400: 4 = 100 (det er 1/4 af 400).

For at beregne tre fjerdedele af 400 skal den resulterende kvotient tredobles, dvs. ganges med 3:

100 x 3 = 300 (det er 3/4 af 400).

Baseret på løsningen på disse problemer kan vi udlede følgende regel:

For at finde værdien af en brøk fra et givet tal, skal du dividere dette tal med nævneren af brøken og gange den resulterende kvotient med dens tæller.

3. Gang et helt tal med en brøk.

Tidligere (§ 26) blev det fastslået, at multiplikationen af heltal skulle forstås som addition af identiske led (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette afsnit (punkt 1) blev det fastslået, at multiplikation af en brøk med et heltal betyder, at man finder summen af identiske led, der er lig med denne brøk.

I begge tilfælde bestod multiplikationen i at finde summen af identiske led.

Nu går vi videre til at gange et helt tal med en brøk. Her vil vi for eksempel støde på multiplikation: 9 2 / 3. Det er klart, at den tidligere definition af multiplikation ikke gælder for dette tilfælde. Dette fremgår af det faktum, at vi ikke kan erstatte en sådan multiplikation ved at lægge lige tal sammen.

På grund af dette bliver vi nødt til at give en ny definition af multiplikation, dvs., med andre ord, besvare spørgsmålet om, hvad der skal forstås ved multiplikation med en brøk, hvordan denne handling skal forstås.

Betydningen af at gange et helt tal med en brøk fremgår klart af følgende definition: at gange et heltal (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyder at finde denne brøkdel af multiplikanden.

At gange 9 med 2/3 betyder nemlig at finde 2/3 af ni enheder. I det foregående afsnit blev sådanne problemer løst; så det er nemt at regne ud, at vi ender med 6.

Men nu opstår et interessant og vigtigt spørgsmål: hvorfor kaldes sådanne tilsyneladende forskellige operationer, såsom at finde summen af lige tal og finde brøkdelen af et tal, i aritmetik med det samme ord "multiplikation"?

Dette sker, fordi den forrige handling (gentagelse af et tal med udtryk flere gange) og den nye handling (at finde brøkdelen af et tal) giver svar på homogene spørgsmål. Det betyder, at vi her går ud fra de betragtninger, at homogene spørgsmål eller opgaver løses ved samme handling.

For at forstå dette, overvej følgende problem: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 4 m sådan klud koste?

Dette problem løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

Lad os tage det samme problem, men i det vil mængden af klud blive udtrykt som en brøkdel: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 3/4 m af et sådant klæde koste?"

Dette problem skal også løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (3/4).

Du kan ændre tallene i den flere gange uden at ændre betydningen af problemet, for eksempel tag 9/10 m eller 2 3/10 m osv.

Da disse problemer har det samme indhold og kun adskiller sig i tal, kalder vi de handlinger, der bruges til at løse dem, det samme ord - multiplikation.

Hvordan ganger man et helt tal med en brøk?

Lad os tage tallene i den sidste opgave:

Ifølge definitionen skal vi finde 3/4 af 50. Lad os først finde 1/4 af 50, og derefter 3/4.

1/4 af 50 er 50/4;

3/4 af tallet 50 er .

Derfor.

Lad os overveje et andet eksempel: 12 5 / 8 =?

1/8 af tallet 12 er 12/8,

5/8 af tallet 12 er .

Derfor,

Herfra får vi reglen:

For at gange et helt tal med en brøk, skal du gange hele tallet med brøkens tæller og gøre dette produkt til tælleren, og underskrive nævneren af denne brøk som nævneren.

Lad os skrive denne regel med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at gange et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38

Det er vigtigt at huske, at før du udfører multiplikation, skal du gøre (hvis muligt) reduktioner, For eksempel:

4. Multiplicer en brøk med en brøk. At multiplicere en brøk med en brøk har samme betydning som at gange et helt tal med en brøk, dvs., når du multiplicerer en brøk med en brøk, skal du finde den brøk, der er i faktoren fra den første brøk (multipikanet).

At gange 3/4 med 1/2 (halvdelen) betyder nemlig at finde halvdelen af 3/4.

Hvordan ganger man en brøk med en brøk?

Lad os tage et eksempel: 3/4 ganget med 5/7. Det betyder, at du skal finde 5/7 af 3/4. Lad os først finde 1/7 af 3/4 og derefter 5/7

1/7 af tallet 3/4 vil blive udtrykt som følger:

5/7 tal 3/4 vil blive udtrykt som følger:

Dermed,

Et andet eksempel: 5/8 ganget med 4/9.

1/9 af 5/8 er,

4/9 af tallet 5/8 er .

Dermed,

Ud fra disse eksempler kan følgende regel udledes:

For at gange en brøk med en brøk, skal du gange tælleren med tælleren og nævneren med nævneren, og gøre det første produkt til tælleren, og det andet produkt til produktets nævner.

Denne regel kan skrives i generel form som følger:

Ved multiplikation er det nødvendigt at foretage (om muligt) reduktioner. Lad os se på eksempler:

5. Multiplikation af blandede tal. Da blandede tal nemt kan erstattes af uægte brøker, bruges denne omstændighed normalt ved multiplikation af blandede tal. Det betyder, at i tilfælde, hvor multiplikatoren eller multiplikatoren eller begge faktorer er udtrykt som blandede tal, erstattes de af uægte brøker. Lad os gange f.eks. blandede tal: 2 1/2 og 3 1/5. Lad os omdanne hver af dem til en uægte brøk og derefter gange de resulterende brøker i henhold til reglen for at gange en brøk med en brøk:

Herske. For at gange blandede tal skal du først konvertere dem til uægte brøker og derefter gange dem i henhold til reglen for at gange brøker med brøker.

Bemærk. Hvis en af faktorerne er et heltal, så kan multiplikationen udføres baseret på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrebet. Når vi løser opgaver og udfører forskellige praktiske beregninger, bruger vi alle slags brøker. Men det skal huskes, at mange mængder tillader ikke bare nogen, men naturlige opdelinger for dem. For eksempel kan du tage en hundrededel (1/100) af en rubel, det vil være en kopek, to hundrededele er 2 kopek, tre hundrededele er 3 kopek. Du kan tage 1/10 af en rubel, det vil være "10 kopek, eller et stykke ti kopek. Du kan tage en fjerdedel af en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (halvtreds kopek). Men de tager det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 af en rubel, fordi rublen ikke er opdelt i syvendedele.

Vægtenheden, altså kilogrammet, tillader primært decimaldelinger, for eksempel 1/10 kg eller 100 g. Og sådanne fraktioner af et kilogram som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke almindelige.

Generelt er vores (metriske) mål decimaler og tillader decimaldelinger.

Det skal dog bemærkes, at det er yderst nyttigt og bekvemt i en lang række tilfælde at bruge den samme (ensartede) metode til underinddeling af mængder. Mange års erfaring har vist, at en så velbegrundet opdeling er den "hundrede" division. Lad os overveje flere eksempler, der vedrører de mest forskellige områder af menneskelig praksis.

1. Prisen på bøger er faldet med 12/100 af den tidligere pris.

Eksempel. Den tidligere pris for bogen var 10 rubler. Det faldt med 1 rubel. 20 kopek

2. Sparekasser betaler indskydere 2/100 af det indskudte beløb til opsparing i løbet af året.

Eksempel. 500 rubler deponeres i kasseapparatet, indkomsten fra dette beløb for året er 10 rubler.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5/100 af det samlede antal elever.

EKSEMPEL Der var kun 1.200 elever på skolen, hvoraf 60 dimitterede.

Den hundrededel af et tal kaldes en procentdel.

Ordet "procent" er lånt fra latin, og dets rod "cent" betyder hundrede. Sammen med præpositionen (pro centum) betyder dette ord "for hundrede." Betydningen af dette udtryk følger af den kendsgerning, at renter oprindeligt i det gamle Rom blev navnet på de penge, som skyldneren betalte til långiveren "for hvert hundrede." Ordet "cent" høres i sådanne velkendte ord: centner (et hundrede kilo), centimeter (f.eks. centimeter).

For eksempel, i stedet for at sige, at anlægget i løbet af den seneste måned producerede 1/100 af alle produkter, som det producerede, var defekte, vil vi sige dette: I løbet af den seneste måned producerede anlægget én procent af fejlene. I stedet for at sige: anlægget producerede 4/100 flere produkter end den fastlagte plan, vil vi sige: anlægget overskred planen med 4 procent.

Ovenstående eksempler kan udtrykkes forskelligt:

1. Prisen på bøger er faldet med 12 procent af den tidligere pris.

2. Sparekasser betaler indskyderne 2 procent om året af det indskudte beløb på opsparing.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5 procent af alle skoleelever.

For at forkorte bogstavet er det sædvanligt at skrive %-symbolet i stedet for ordet "procent".

Du skal dog huske, at i beregninger skrives %-tegnet normalt ikke, det kan skrives i problemformuleringen og i det endelige resultat. Når du udfører beregninger, skal du skrive en brøk med en nævner på 100 i stedet for et helt tal med dette symbol.

Du skal være i stand til at erstatte et heltal med det angivne ikon med en brøk med en nævner på 100:

Omvendt skal du vænne dig til at skrive et heltal med det angivne symbol i stedet for en brøk med en nævner på 100:

7. Finde procentdelen af et givet tal.

Opgave 1. Skolen fik 200 kubikmeter. m brænde, hvor birkebrænde udgør 30 %. Hvor meget birkebrænde var der?

Meningen med denne problemstilling er, at birkebrænde kun udgjorde en del af det brænde, der blev leveret til skolen, og denne del er udtrykt i brøken 30/100. Det betyder, at vi har en opgave med at finde en brøkdel af et tal. For at løse det skal vi gange 200 med 30/100 (problemer med at finde brøkdelen af et tal løses ved at gange tallet med brøken.).

Det betyder, at 30 % af 200 er lig med 60.

Fraktionen 30/100, der stødes på i dette problem, kan reduceres med 10. Det ville være muligt at foretage denne reduktion helt fra begyndelsen; løsningen på problemet ville ikke have ændret sig.

Opgave 2. Der var 300 børn i forskellige aldre i lejren. Børn på 11 år udgjorde 21 %, børn på 12 år udgjorde 61 % og endelig udgjorde børn på 13 år 18 %. Hvor mange børn i hver alder var der i lejren?

I denne opgave skal du udføre tre beregninger, dvs. sekventielt finde antallet af børn på 11 år, derefter 12 år og til sidst 13 år.

Det betyder, at du her skal finde brøkdelen af tallet tre gange. Lad os gøre det:

1) Hvor mange 11-årige børn var der?

2) Hvor mange 12-årige børn var der?

3) Hvor mange 13-årige børn var der?

Efter at have løst problemet, er det nyttigt at tilføje de fundne tal; deres sum skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Det skal også bemærkes, at summen af procenterne i problemformuleringen er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette tyder på, at det samlede antal børn i lejren blev taget til 100 %.

3 a d a h a 3. Arbejderen modtog 1.200 rubler om måneden. Heraf brugte han 65 % på mad, 6 % på lejligheder og varme, 4 % på gas, el og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % sparet. Hvor mange penge blev der brugt på de behov, der er angivet i problemet?

For at løse dette problem skal du finde brøkdelen af 1.200 5 gange. Lad os gøre dette.

1) Hvor mange penge blev der brugt på mad? Problemet siger, at denne udgift er 65 % af den samlede indtjening, dvs. 65/100 af tallet 1.200. Lad os lave beregningen:

2) Hvor mange penge har du betalt for en lejlighed med varme? På samme måde som den foregående kommer vi frem til følgende beregning:

3) Hvor mange penge betalte du for gas, elektricitet og radio?

4) Hvor mange penge blev brugt på kulturelle behov?

5) Hvor mange penge sparede arbejderen?

For at kontrollere, er det nyttigt at lægge tallene sammen i disse 5 spørgsmål. Beløbet skal være 1.200 rubler. Al indtjening tages som 100 %, hvilket er let at kontrollere ved at lægge de procenttal, der er angivet i problemformuleringen sammen.

Vi løste tre problemer. På trods af at disse problemer handlede om forskellige ting (levering af brænde til skolen, antallet af børn i forskellige aldre, arbejderens udgifter), blev de løst på samme måde. Dette skete, fordi det i alle problemer var nødvendigt at finde flere procent af givne tal.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer brøkdeling, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Divider et heltal med et heltal.
2. At dividere en brøk med et helt tal
3. At dividere et helt tal med en brøk.
4. At dividere en brøk med en brøk.
5. Division af blandede tal.
6. At finde et tal fra dets givne brøk.
7. Find et tal ved dets procentdel.

Lad os overveje dem sekventielt.

1. Divider et heltal med et heltal.

Som det blev angivet i afdelingen for heltal, er division den handling, der består i, at givet produktet af to faktorer (dividende) og en af disse faktorer (divisor), findes en anden faktor.

Vi så på at dividere et heltal med et heltal i afsnittet om heltal. Vi stødte på to tilfælde af division der: division uden en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og division med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor sige, at i feltet med heltal er nøjagtig division ikke altid mulig, fordi udbyttet ikke altid er produktet af divisor med heltal. Efter at have introduceret multiplikation med en brøk, kan vi overveje ethvert tilfælde af at dividere heltal muligt (kun division med nul er udelukket).

For eksempel betyder at dividere 7 med 12 at finde et tal, hvis produkt med 12 ville være lig med 7. Et sådant tal er brøken 7 / 12, fordi 7 / 12 12 = 7. Et andet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.

For at dividere et helt tal med et helt tal skal du således oprette en brøk, hvis tæller er lig med udbyttet, og nævneren er lig med divisor.

2. At dividere en brøk med et helt tal.

Divider brøken 6 / 7 med 3. Ifølge definitionen af division ovenfor har vi her produktet (6 / 7) og en af faktorerne (3); det er nødvendigt at finde en anden faktor, der, når ganget med 3, ville give det givne produkt 6/7. Det skal naturligvis være tre gange mindre end dette produkt. Det betyder, at opgaven var at reducere brøken 6/7 med 3 gange.

Vi ved allerede, at reduktion af en brøk kan gøres enten ved at mindske dens tæller eller ved at øge dens nævner. Derfor kan du skrive:

I dette tilfælde er tælleren 6 delelig med 3, så tælleren skal reduceres med 3 gange.

Lad os tage et andet eksempel: 5 / 8 divideret med 2. Her er tælleren 5 ikke delelig med 2, hvilket betyder, at nævneren skal ganges med dette tal:

Ud fra dette kan der laves en regel: For at dividere en brøk med et helt tal, skal du dividere brøkens tæller med det hele tal.(hvis det er muligt), efterlader den samme nævner, eller gang brøkens nævner med dette tal, så den samme tæller efterlades.

3. At dividere et helt tal med en brøk.

Lad det være nødvendigt at dividere 5 med 1/2, dvs. find et tal, der efter at gange med 1/2 vil give produktet 5. Dette tal skal naturligvis være større end 5, da 1/2 er en egen brøk , og når man multiplicerer et tal, skal produktet af en egen brøk være mindre end produktet, der ganges. For at gøre dette klarere, lad os skrive vores handlinger som følger: 5: 1 / 2 = x , hvilket betyder x 1/2 = 5.

Sådan et nummer skal vi finde x , som, hvis ganget med 1/2, ville give 5. Da multiplicering af et bestemt tal med 1/2 betyder at finde 1/2 af dette tal, så derfor 1/2 af det ukendte tal x er lig med 5, og hele tallet x dobbelt så meget, dvs. 5 2 = 10.

Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Lad os tjekke:

Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at du vil dividere 6 med 2/3. Lad os først prøve at finde det ønskede resultat ved hjælp af tegningen (fig. 19).

Fig.19

Lad os tegne et segment AB svarende til 6 enheder, og opdele hver enhed i 3 lige store dele. I hver enhed er tre tredjedele (3/3) af hele segmentet AB 6 gange større, dvs. e. 18/3. Ved hjælp af små beslag forbinder vi de 18 resulterende segmenter af 2; Der vil kun være 9 segmenter. Det betyder, at brøkdelen 2/3 er indeholdt i 6 enheder 9 gange, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 gange mindre end 6 hele enheder. Derfor,

Hvordan får man dette resultat uden en tegning alene ved hjælp af beregninger? Lad os ræsonnere sådan her: vi skal dividere 6 med 2/3, dvs. vi skal besvare spørgsmålet, hvor mange gange 2/3 er indeholdt i 6. Lad os først finde ud af: hvor mange gange 1/3 er indeholdt i 6? I en hel enhed er der 3 tredjedele, og i 6 enheder er der 6 gange mere, altså 18 tredjedele; for at finde dette tal skal vi gange 6 med 3. Det betyder, at 1/3 er indeholdt i b-enheder 18 gange, og 2/3 er indeholdt i b-enheder ikke 18 gange, men halvt så mange gange, dvs. 18: 2 = 9 . Derfor gjorde vi følgende, når vi dividerede 6 med 2/3:

Herfra får vi reglen for at dividere et helt tal med en brøk. For at dividere et helt tal med en brøk, skal du gange dette hele tal med nævneren for den givne brøk, og for at gøre dette produkt til tælleren skal du dividere det med tælleren for den givne brøk.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at dividere et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38. Bemærk venligst, at den samme formel blev opnået der.

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

4. At dividere en brøk med en brøk.

Lad os sige, at vi skal dividere 3/4 med 3/8. Hvad vil det tal, der er resultatet af division betyde? Det vil besvare spørgsmålet, hvor mange gange brøken 3/8 er indeholdt i brøken 3/4. For at forstå dette problem, lad os lave en tegning (fig. 20).

Lad os tage et segment AB, tage det som et, dele det i 4 lige store dele og markere 3 sådanne dele. Segment AC vil være lig med 3/4 af segment AB. Lad os nu dele hvert af de fire oprindelige segmenter i to, så vil segmentet AB blive delt i 8 lige store dele og hver sådan del vil være lig med 1/8 af segmentet AB. Lad os forbinde 3 sådanne segmenter med buer, så vil hvert af segmenterne AD og DC være lig med 3/8 af segmentet AB. Tegningen viser, at et segment lig med 3/8 er indeholdt i et segment lig med 3/4 nøjagtigt 2 gange; Det betyder, at resultatet af division kan skrives som følger:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at vi skal dividere 15/16 med 3/32:

Vi kan ræsonnere sådan her: Vi skal finde et tal, der efter at have ganget med 3/32 vil give et produkt lig med 15/16. Lad os skrive beregningerne sådan her:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ukendt nummer x er 15/16

1/32 af et ukendt antal x er,

32/32 numre x makeup .

Derfor,

For at dividere en brøk med en brøk, skal du gange tælleren for den første brøk med nævneren af den anden, og gange nævneren af den første brøk med tælleren i den anden, og gøre det første produkt til tælleren, og den anden nævneren.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

5. Division af blandede tal.

Ved deling af blandede tal skal de først omregnes til uægte brøker, og derefter skal de resulterende brøker deles efter reglerne for brøkdeling. Lad os se på et eksempel:

Lad os konvertere blandede tal til uægte brøker:

Lad os nu dele:

For at dividere blandede tal skal du konvertere dem til uægte brøker og derefter dividere ved hjælp af reglen for at dividere brøker.

6. At finde et tal fra dets givne brøk.

Blandt de forskellige brøkproblemer er der nogle gange dem, hvor værdien af en brøkdel af et ukendt tal er givet, og du skal finde dette tal. Denne type problem vil være det omvendte af problemet med at finde brøkdelen af et givet tal; der blev der givet et tal, og det var nødvendigt at finde en brøkdel af dette tal, her blev der givet en brøkdel af et tal, og det var påkrævet at finde dette tal selv. Denne idé vil blive endnu tydeligere, hvis vi vender os til at løse denne type problemer.

Opgave 1. Den første dag glaserede glarmestrene 50 vinduer, hvilket er 1/3 af alle vinduerne i det byggede hus. Hvor mange vinduer er der i dette hus?

Løsning. Problemet siger, at 50 glasruder udgør 1/3 af alle husets vinduer, hvilket betyder, at der er 3 gange flere vinduer i alt, dvs.

Huset havde 150 vinduer.

Opgave 2. Butikken solgte 1.500 kg mel, hvilket er 3/8 af det samlede mellager butikken havde. Hvad var butikkens oprindelige forsyning af mel?

Løsning. Af problemets forhold fremgår det klart, at 1.500 kg solgt mel udgør 3/8 af det samlede lager; Det betyder, at 1/8 af denne reserve vil være 3 gange mindre, dvs. for at beregne den skal du reducere 1500 med 3 gange:

1.500: 3 = 500 (dette er 1/8 af reserven).

Det er klart, at hele udbuddet vil være 8 gange større. Derfor,

5008 = 4.000 (kg).

Det oprindelige lager af mel i butikken var 4.000 kg.

Ud fra overvejelser om dette problem kan følgende regel udledes.

For at finde et tal fra en given værdi af dens brøk, er det nok at dividere denne værdi med brøkens tæller og gange resultatet med nævneren af brøken.

Vi løste to problemer ved at finde et tal givet dets brøk. Sådanne problemer, som det især tydeligt ses af den sidste, løses ved to handlinger: division (når en del findes) og multiplikation (når hele tallet findes).

Men efter at vi har lært brøkdelingen, kan ovenstående problemer løses med én handling, nemlig: division med brøk.

For eksempel kan den sidste opgave løses i én handling som denne:

I fremtiden vil vi løse problemer med at finde et tal fra dets brøk med én handling - division.

7. Find et tal ved dets procentdel.

I disse problemer skal du finde et tal, der kender nogle få procent af det tal.

Opgave 1. I begyndelsen af dette år modtog jeg 60 rubler fra sparekassen. indtægt fra det beløb, jeg lagde i opsparing for et år siden. Hvor mange penge har jeg lagt i sparekassen? (Kasseskrankerne giver indskydere et afkast på 2 % om året.)

Pointen med problemet er, at jeg lagde en vis sum penge i en sparekasse og blev der i et år. Efter et år modtog jeg 60 rubler fra hende. indkomst, hvilket er 2/100 af de penge, jeg indsatte. Hvor mange penge har jeg lagt ind?

Ved at kende en del af disse penge, udtrykt på to måder (i rubler og brøker), må vi følgelig finde hele det endnu ukendte beløb. Dette er et almindeligt problem med at finde et tal givet dets brøk. Følgende problemer løses ved division:

Det betyder, at der blev indsat 3.000 rubler i sparekassen.

Opgave 2. Fiskerne opfyldte den månedlige plan med 64 % på to uger og høstede 512 tons fisk. Hvad var deres plan?

Fra problemets forhold vides det, at fiskerne gennemførte en del af planen. Denne del svarer til 512 tons, hvilket er 64% af planen. Vi ved ikke, hvor mange tons fisk, der skal tilberedes efter planen. At finde dette nummer vil være løsningen på problemet.

Sådanne problemer løses ved division:

Det betyder, at der efter planen skal tilberedes 800 tons fisk.

Opgave 3. Toget gik fra Riga til Moskva. Da han passerede den 276. kilometer, spurgte en af passagererne en forbipasserende konduktør, hvor meget af rejsen de allerede havde tilbagelagt. Til dette svarede konduktøren: "Vi har allerede dækket 30% af hele rejsen." Hvad er afstanden fra Riga til Moskva?

Fra problemforholdene er det klart, at 30% af ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi skal finde hele afstanden mellem disse byer, dvs. for denne del skal vi finde helheden:

§ 91. Gensidige tal. At erstatte division med multiplikation.

Lad os tage brøken 2/3 og erstatte tælleren i stedet for nævneren, vi får 3/2. Vi har det omvendte af denne brøk.

For at få det omvendte af en given brøk, skal du sætte dens tæller i stedet for nævneren, og nævneren i stedet for tælleren. På denne måde kan vi få den gensidige af enhver brøk. For eksempel:

3/4, omvendt 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker, der har den egenskab, at tælleren af den første er nævneren af den anden, og nævneren af den første er tælleren af den anden, kaldes indbyrdes omvendt.

Lad os nu tænke på, hvilken brøkdel der vil være den gensidige af 1/2. Det vil naturligvis være 2/1, eller bare 2. Ved at lede efter den omvendte brøkdel af den givne, fik vi et heltal. Og denne sag er ikke isoleret; tværtimod, for alle brøker med en tæller på 1 (en), vil de reciproke tal være heltal, for eksempel:

1/3, omvendt 3; 1/5, omvendt 5

Da vi ved at finde gensidige brøker også stødte på heltal, vil vi i det følgende ikke tale om gensidige brøker, men om gensidige tal.

Lad os finde ud af, hvordan man skriver det omvendte af et heltal. For brøker kan dette løses enkelt: du skal sætte nævneren i stedet for tælleren. På samme måde kan du få det omvendte af et heltal, da ethvert heltal kan have en nævner på 1. Det betyder, at det inverse af 7 bliver 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil det omvendte være 1/10, da 10 = 10/1

Denne idé kan udtrykkes anderledes: det reciproke af et givet tal fås ved at dividere et med et givet tal. Dette udsagn gælder ikke kun for hele tal, men også for brøker. Faktisk, hvis vi skal skrive det omvendte af brøken 5/9, så kan vi tage 1 og dividere det med 5/9, dvs.

Lad os nu påpege én ting ejendom gensidige tal, som vil være nyttige for os: produktet af gensidige tal er lig med en. Ja:

Ved at bruge denne egenskab kan vi finde gensidige tal på følgende måde. Lad os sige, at vi skal finde det omvendte af 8.

Lad os betegne det med bogstavet x , derefter 8 x = 1, derfor x = 1/8. Lad os finde et andet tal, der er det omvendte af 7/12 og angive det med bogstavet x , derefter 7/12 x = 1, derfor x = 1: 7 / 12 eller x = 12 / 7 .

Vi introducerede her begrebet gensidige tal for lidt at supplere informationen om at dividere brøker.

Når vi dividerer tallet 6 med 3/5, gør vi følgende:

Vær særlig opmærksom på udtrykket og sammenlign det med det givne: .

Hvis vi tager udtrykket separat, uden sammenhæng med det foregående, så er det umuligt at løse spørgsmålet om, hvor det kom fra: ved at dividere 6 med 3/5 eller fra at gange 6 med 5/3. I begge tilfælde sker det samme. Derfor kan vi sige at dividere et tal med et andet kan erstattes ved at gange udbyttet med det omvendte af divisoren.

De eksempler, vi giver nedenfor, bekræfter fuldt ud denne konklusion.

KOM ALLEREDE OVER DISSE RIVER! 🙂

Multiplicere og dividere brøker.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget. »
Og for dem, der "i høj grad. ")

Denne operation er meget mere behagelig end addition og subtraktion! For det er nemmere. Som en påmindelse, for at gange en brøk med en brøk, skal du gange tællere (dette vil være tælleren for resultatet) og nævnerne (dette vil være nævneren). Det er:

Alt er ekstremt enkelt. Og led venligst ikke efter en fællesnævner! Der er ikke brug for ham her...

For at dividere en brøk med en brøk, skal du vende anden(dette er vigtigt!) brøk og gange dem, dvs.:

Hvis du støder på multiplikation eller division med heltal og brøker, er det okay. Ligesom med addition laver vi en brøk af et helt tal med en i nævneren - og gå videre! For eksempel:

I gymnasiet skal du ofte beskæftige dig med tre-etagers (eller endda fire-etagers!) brøker. For eksempel:

Hvordan kan jeg få denne fraktion til at se anstændig ud? Ja, meget simpelt! Brug to-punkts division:

Men glem ikke rækkefølgen af opdeling! I modsætning til multiplikation er dette meget vigtigt her! Vi vil selvfølgelig ikke forveksle 4:2 eller 2:4. Men det er nemt at lave en fejl i en tre-etagers brøk. Bemærk f.eks.:

I det første tilfælde (udtryk til venstre):

I det andet (udtryk til højre):

Mærker du forskellen? 4 og 1/9!

Hvad bestemmer rækkefølgen af division? Enten med parenteser eller (som her) med længden af vandrette linjer. Udvikl dit øje. Og hvis der ikke er nogen parenteser eller bindestreger, som:

divider og gange derefter i rækkefølge, fra venstre mod højre!

Og en anden meget enkel og vigtig teknik. I handlinger med grader vil det være så nyttigt for dig! Lad os dividere en med en hvilken som helst brøk, for eksempel med 13/15:

Skuddet er vendt! Og dette sker altid. Når man dividerer 1 med en hvilken som helst brøk, er resultatet den samme brøk, kun på hovedet.

Det er det for operationer med fraktioner. Sagen er ret enkel, men den giver mere end nok fejl. Tag praktiske råd i betragtning, så bliver der færre af dem (fejl)!

1. Det vigtigste, når man arbejder med brøkudtryk, er nøjagtighed og opmærksomhed! Det er ikke generelle ord, ikke gode ønsker! Dette er en dyb nødvendighed! Udfør alle beregninger på Unified State Exam som en fuldgyldig opgave, fokuseret og klar. Det er bedre at skrive to ekstra linjer i din kladde end at rode, når du laver hovedberegninger.

2. I eksempler med forskellige typer brøker går vi videre til almindelige brøker.

3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil de stopper.

4. Vi reducerer brøkudtryk på flere niveauer til almindelige udtryk ved hjælp af division gennem to punkter (vi følger rækkefølgen af division!).

Her er de opgaver, som du helt sikkert skal udføre. Der gives svar efter alle opgaver. Brug materialerne om dette emne og praktiske tips. Estimer, hvor mange eksempler du var i stand til at løse korrekt. Den første gang! Uden lommeregner! Og drag de rigtige konklusioner.

Husk - det rigtige svar er modtaget fra anden (især tredje) gang tæller ikke! Sådan er det barske liv.

Så, løse i eksamenstilstand ! Dette er forresten allerede forberedelse til Unified State-eksamenen. Vi løser eksemplet, tjek det, løser det næste. Vi besluttede alt - tjekkede igen fra først til sidst. Men kun Derefter se på svarene.

Vi leder efter svar, der matcher dine. Jeg skrev dem bevidst ned i uorden, så at sige væk fra fristelser. Her er de, svarene, adskilt af semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nu drager vi konklusioner. Hvis alt fungerede, er jeg glad på dine vegne! Grundlæggende beregninger med brøker er ikke dit problem! Du kan gøre mere seriøse ting. Hvis ikke.

Så du har et af to problemer. Eller begge dele på én gang.) Mangel på viden og (eller) uopmærksomhed. Men. Det her løselig Problemer.

Alle disse (og flere!) eksempler diskuteres i det særlige afsnit 555 "Brøker". Med detaljerede forklaringer på hvad, hvorfor og hvordan. Denne analyse hjælper meget med mangel på viden og færdigheder!

Ja, og der er noget om det andet problem.) Ganske praktiske råd, hvordan man bliver mere opmærksom. Ja Ja! Råd, der kan anvendes hver.

Ud over viden og opmærksomhed kræver succes en vis automatik. Hvor kan jeg få det? Jeg hører et tungt suk... Ja, kun i praksis, ingen andre steder.

Du kan gå til webstedet 321start.ru for træning. Der i "Prøv" muligheden er der 10 eksempler for alle. Med øjeblikkelig verifikation. For registrerede brugere - 34 eksempler fra simple til svære. Dette er kun i brøkdele.

Hvis du kan lide denne side.

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Her kan du øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Og her kan du stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Regel 1.

For at gange en brøk med et naturligt tal, skal du gange dens tæller med dette tal og lade nævneren være uændret.

Regel 2.

For at gange en brøk med en brøk:

1. find produktet af tællere og produktet af nævnerne af disse brøker

2. Skriv det første produkt som tæller, og det andet som nævneren.

Regel 3.

For at gange blandede tal skal du skrive dem som uægte brøker og derefter bruge reglen til at gange brøker.

Regel 4.

For at dividere en brøk med en anden, skal du gange udbyttet med divisorens gensidige.

Eksempel 1.

Beregn

Eksempel 2.

Beregn

Eksempel 3.

Beregn

Eksempel 4.

Beregn

Matematik. Andre materialer

At hæve et tal til en rationel magt. (

At hæve et tal til en naturlig magt. (

Generaliseret intervalmetode til løsning af algebraiske uligheder (forfatter A.V. Kolchanov)

Metode til at erstatte faktorer ved løsning af algebraiske uligheder (Forfatter Kolchanov A.V.)

Tegn på delelighed (Lungu Alena)

Test dig selv om emnet 'Multiplikation og division af almindelige brøker'

Multiplikation af brøker

Vi vil overveje multiplikationen af almindelige brøker i flere mulige muligheder.

At gange en almindelig brøk med en brøk

Dette er det enkleste tilfælde, hvor du skal bruge følgende regler for multiplikation af brøker.

Til gange brøk for brøk, nødvendigt:

gange tælleren for den første brøk med tælleren for den anden brøk og skriv deres produkt ind i tælleren for den nye brøk;

gange nævneren af den første brøk med nævneren af den anden brøk og skriv deres produkt ind i nævneren af den nye brøk;

Før du multiplicerer tællere og nævnere, skal du kontrollere, om brøkerne kan reduceres. At reducere brøker i beregninger vil gøre dine beregninger meget nemmere.

At gange en brøk med et naturligt tal

At lave en brøk gange med et naturligt tal Du skal gange brøkens tæller med dette tal og lade nævneren for brøken være uændret.

Hvis resultatet af multiplikation er en ukorrekt brøk, så glem ikke at gøre det til et blandet tal, det vil sige fremhæve hele delen.

Multiplikation af blandede tal

For at gange blandede tal skal du først omdanne dem til uægte brøker og derefter gange efter reglen for at gange almindelige brøker.

En anden måde at gange en brøk med et naturligt tal

Nogle gange, når du laver beregninger, er det mere praktisk at bruge en anden metode til at gange en fælles brøk med et tal.

For at gange en brøk med et naturligt tal skal du dividere brøkens nævner med dette tal og lade tælleren være den samme.

Som det fremgår af eksemplet, er denne version af reglen mere praktisk at bruge, hvis nævneren af brøken er delelig med et naturligt tal uden en rest.

At dividere en brøk med et tal

Hvad er den hurtigste måde at dividere en brøk med et tal? Lad os analysere teorien, drage en konklusion og bruge eksempler til at se, hvordan man kan dividere en brøk med et tal ved hjælp af en ny kort regel.

At dividere en brøk med et tal følger typisk reglen for at dividere brøker. Vi gange det første tal (brøk) med det omvendte af det andet. Da det andet tal er et heltal, er dets inverse en brøk, hvis tæller er lig med en, og nævneren er lig med det givne tal. Skematisk ser det sådan ud at dividere en brøk med et naturligt tal:

Heraf konkluderer vi:

For at dividere en brøk med et tal, skal du gange nævneren med det tal og lade tælleren være den samme. Reglen kan formuleres endnu mere kort:

Når man dividerer en brøk med et tal, går tallet ind i nævneren.

Divider en brøk med et tal:

For at dividere en brøk med et tal, omskriver vi tælleren uændret og gange nævneren med dette tal. Vi reducerer 6 og 3 med 3.

Når vi dividerer en brøk med et tal, omskriver vi tælleren og multiplicerer nævneren med det tal. Vi reducerer 16 og 24 med 8.

Når man dividerer en brøk med et tal, går tallet ind i nævneren, så vi lader tælleren være den samme og gange nævneren med divisor. Vi reducerer 21 og 35 med 7.

Multiplicere og dividere brøker

Sidste gang lærte vi, hvordan man tilføjer og subtraherer brøker (se lektionen "At tilføje og trække brøker fra"). Den sværeste del af disse handlinger var at bringe brøker til en fællesnævner.

For at gange to brøker skal du gange deres tællere og nævnere hver for sig. Det første tal vil være tælleren for den nye brøk, og det andet vil være nævneren.

For at dividere to brøker skal du gange den første brøk med den "omvendte" anden brøk.

Opgave. Find betydningen af udtrykket:

Per definition har vi:

Multiplicer brøker med hele dele og negative brøker

Hvis brøker indeholder en heltalsdel, skal de konverteres til ukorrekte - og først derefter ganges i henhold til skemaerne skitseret ovenfor.

Hvis der er et minus i tælleren af en brøk, i nævneren eller foran den, kan det tages ud af multiplikationen eller fjernes helt efter følgende regler:

Plus ved minus giver minus;
To negativer gør en bekræftende.

Vi krydser negativerne ud i par, indtil de helt forsvinder. I ekstreme tilfælde kan et minus overleve - den, som der ikke var nogen makker til;
Hvis der ikke er minusser tilbage, er operationen fuldført - du kan begynde at gange. Hvis det sidste minus ikke er streget over, fordi der ikke var et par for det, tager vi det uden for multiplikationsgrænserne. Resultatet er en negativ brøkdel.

Vi konverterer alle brøker til uægte, og tager så minusserne ud af multiplikationen. Vi multiplicerer, hvad der er tilbage efter de sædvanlige regler. Vi får:

Reduktion af fraktioner i farten

I alle eksempler er de tal, der er blevet reduceret, og hvad der er tilbage af dem markeret med rødt.

Brug dog aldrig denne teknik, når du tilføjer og trækker brøker! Ja, nogle gange er der lignende tal, som du bare vil reducere. Se her:

Det kan du ikke!

Der er simpelthen ingen andre grunde til at reducere fraktioner, så den korrekte løsning på det forrige problem ser sådan ud:

Som du kan se, viste det rigtige svar sig ikke at være så smukt. Generelt skal du være forsigtig.

Opdeling af brøker.

At dividere en brøk med et naturligt tal.

Eksempler på at dividere en brøk med et naturligt tal

At dividere et naturligt tal med en brøk.

Eksempler på at dividere et naturligt tal med en brøk

Division af almindelige brøker.

Eksempler på at dividere almindelige brøker

Opdeling af blandede tal.

konvertere blandede fraktioner til ukorrekte fraktioner;
gange den første brøk med den gensidige af den anden;
reducere den resulterende fraktion;
Hvis du får en uægte brøk, skal du konvertere den uægte brøk til en blandet brøk.

Eksempler på at dividere blandede tal

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Eventuelle obskøne kommentarer vil blive slettet, og deres forfattere vil blive sortlistet!

Velkommen til OnlineMSschool.
Mit navn er Dovzhik Mikhail Viktorovich. Jeg er ejer og forfatter af dette websted, jeg skrev alt det teoretiske materiale og udviklede også online øvelser og regnemaskiner, som du kan bruge til at studere matematik.

Brøker. Multiplicere og dividere brøker.

At gange en almindelig brøk med en brøk.

For at gange almindelige brøker skal du gange tælleren med tælleren (vi får produktets tæller) og nævneren med nævneren (vi får produktets nævner).

Formel til at gange brøker:

Før du begynder at gange tællere og nævnere, skal du kontrollere, om brøken kan reduceres. Hvis du kan reducere brøken, vil det være lettere for dig at foretage yderligere beregninger.

Bemærk! Der er ingen grund til at lede efter en fællesnævner her!!

At dividere en almindelig brøk med en brøk.

At dividere en almindelig brøk med en brøk sker således: du vender den anden brøk om (dvs. ændrer tæller og nævner), og derefter ganges brøkerne.

Formel til at dividere almindelige brøker:

At gange en brøk med et naturligt tal.

Bemærk! Når man multiplicerer en brøk med et naturligt tal, ganges brøkens tæller med vores naturlige tal, og nævneren for brøken forbliver den samme. Hvis resultatet af produktet er en ukorrekt fraktion, skal du sørge for at fremhæve hele delen og forvandle den ukorrekte fraktion til en blandet fraktion.

At dividere brøker, der involverer naturlige tal.

Det er ikke så skræmmende, som det ser ud til. Som ved addition omregner vi hele tallet til en brøk med én i nævneren. For eksempel:

Multiplicer blandede fraktioner.

Regler for at gange brøker (blandet):

konvertere blandede fraktioner til ukorrekte fraktioner;
gange tællere og nævnere af brøker;
reducere fraktionen;
Hvis du får en uægte brøk, så konverterer vi den uægte brøk til en blandet brøk.

Bemærk! For at gange en blandet brøk med en anden blandet brøk, skal du først konvertere dem til form af uægte brøker og derefter gange i henhold til reglen for at gange almindelige brøker.

Den anden måde at gange en brøk med et naturligt tal.

Det kan være mere praktisk at bruge den anden metode til at gange en fælles brøk med et tal.

Bemærk! For at gange en brøk med et naturligt tal, skal du dividere brøkens nævner med dette tal og lade tælleren være uændret.

Fra eksemplet ovenfor er det klart, at denne mulighed er mere praktisk at bruge, når nævneren af en brøk divideres uden en rest med et naturligt tal.

Fleretagers brøker.

I gymnasiet støder man ofte på tre-etagers (eller flere) brøker. Eksempel:

For at bringe en sådan brøk til sin sædvanlige form, brug division gennem 2 punkter:

Bemærk! Når man deler brøker, er rækkefølgen af division meget vigtig. Vær forsigtig, det er nemt at blive forvirret her.

Bemærk, For eksempel:

Når man dividerer en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøk, kun omvendt:

Praktiske tips til at gange og dividere brøker:

1. Det vigtigste, når man arbejder med brøkudtryk, er nøjagtighed og opmærksomhed. Foretag alle beregninger omhyggeligt og præcist, koncentreret og klart. Det er bedre at skrive et par ekstra linjer i din kladde end at fare vild i hovedberegninger.

2. I opgaver med forskellige typer brøker, gå til typen af almindelige brøker.

3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil det ikke længere er muligt at reducere.

4. Vi transformerer brøkudtryk på flere niveauer til almindelige ved hjælp af division gennem 2 punkter.

Under- og under- Omarbejdet sang "Forårstango" (Tiden kommer - fugle flyver fra syd) - musik. Valery Milyaev Jeg hørte ikke nok, jeg forstod ikke, jeg forstod det ikke, i den forstand, at jeg ikke gættede, jeg skrev alle verberne med uadskilleligt, jeg vidste ikke om præfikset nedo. Det sker, […]
Siden blev ikke fundet Ved tredje slutbehandling blev der vedtaget en pakke af regeringsdokumenter, der sørger for oprettelse af særlige administrative regioner (SAR). Som et resultat af at forlade Den Europæiske Union vil Storbritannien ikke blive inkluderet i det europæiske momsområde og […]
Det fælles efterforskningsudvalg vil dukke op i efteråret Det fælles efterforskningsudvalg vil dukke op i efteråret. Efterforskningen af alle retshåndhævende myndigheder vil blive samlet under ét tag i det fjerde forsøg Allerede i efteråret 2014, ifølge Izvestia, præsident Vladimir Putin [ …]
Et patent på en algoritme Sådan ser et patent på en algoritme ud Hvordan et patent på en algoritme udarbejdes At udarbejde tekniske beskrivelser af metoder til lagring, bearbejdning og transmission af signaler og/eller data specifikt til patenteringsformål giver normalt ingen særlige vanskeligheder, og […]
HVAD ER VIGTIGT AT VIDE OM DET NYE PENSIONSFORSLUTNING 12. december 1993 FORfatning FOR DEN RUSSISKE FØDERATION (under hensyntagen til ændringer foretaget af Den Russiske Føderations love om ændringer af Den Russiske Føderations forfatning dateret 30. december 2008 N 6- FKZ, dateret 30. december 2008 N 7-FKZ, […]
Sjove ting om en kvindes pension til dagens helt, mænd til dagens helt, mænd - i kor for dagens helt, kvinder - dedikation til pensionister, kvinder, sjovt. Konkurrencer for pensionister vil være interessante. Oplægsholder : Kære venner! Lige et øjeblik! Sensation! Kun […]