Ikke-lineære ligninger med to ubekendte
Definition 1. Lad A være nogle sæt talpar (x; y). De siger, at mængden A er givet numerisk funktion z fra to variable x og y, hvis der er angivet en regel, ved hjælp af hvilken hvert par tal fra sæt A er knyttet til et bestemt tal.
Dyrke motion numerisk funktion z fra to variable x og y ofte betegne Så:
Hvor f (x , y) – enhver anden funktion end en funktion
f (x , y) = økse+ved+c ,
hvor a, b, c – givne tal.
Definition 3. Løsning af ligning (2) ring til et par numre ( x; y), for hvilken formel (2) er en sand lighed.
Eksempel 1. Løs ligningen
Da kvadratet af ethvert tal er ikke-negativt, følger det af formel (4), at de ukendte x og y opfylder ligningssystemet
løsningen som er et talpar (6; 3).
Svar: (6; 3)
Eksempel 2. Løs ligningen
Derfor er løsningen til ligning (6). uendeligt sæt par af tal venlig
(1 + y ; y) ,
hvor y er et hvilket som helst tal.
lineær
Definition 4. Løsning af et ligningssystem
ring til et par numre ( x; y), når vi substituerer dem i hver af ligningerne i dette system, får vi ægte ligestilling.
Systemer med to ligninger, hvoraf den ene er lineær, har formen
g(x , y)
Eksempel 4. Løs ligningssystem
Løsning . Lad os udtrykke det ukendte y fra den første ligning i system (7) gennem det ukendte x og erstatte det resulterende udtryk i systemets anden ligning:
Løsning af ligningen
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Derfor,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Systemer af to ligninger, hvoraf den ene er homogen
Systemer af to ligninger, hvoraf den ene er homogen, har formen
hvor a, b, c er givet tal, og g(x , y) – funktion af to variable x og y.
Eksempel 6. Løs ligningssystem
Løsning . Lad os løse den homogene ligning
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
behandler det som en andengradsligning med hensyn til det ukendte x:
.
I tilfælde af x = - 5y, fra den anden ligning i system (11) får vi ligningen
5y 2 = - 20 ,
som ikke har rødder.
I tilfælde af
fra den anden ligning i system (11) får vi ligningen
,
hvis rødder er tal y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Ved at finde den tilsvarende værdi x for hver af disse værdier y får vi to løsninger til systemet: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .
Svar: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Eksempler på løsning af ligningssystemer af andre typer
Eksempel 8. Løs et ligningssystem (MIPT)
Løsning . Lad os introducere nye ukendte u og v, som udtrykkes gennem x og y ifølge formlerne:
For at omskrive system (12) i form af nye ubekendte, udtrykker vi først de ukendte x og y i form af u og v. Af system (13) følger det
Lad os løse det lineære system (14) ved at eliminere variablen x fra den anden ligning i dette system. Til dette formål udfører vi følgende transformationer på systemet (14):
- Vi vil lade den første ligning af systemet være uændret;
- fra den anden ligning trækker vi den første ligning og erstatter systemets anden ligning med den resulterende forskel.
Som et resultat heraf transformeres system (14) til et ækvivalent system
hvorfra vi finder
Ved hjælp af formlerne (13) og (15) omskriver vi det oprindelige system (12) i formen
Den første ligning for system (16) er lineær, så vi kan ud fra den udtrykke det ukendte u gennem det ukendte v og erstatte dette udtryk med systemets anden ligning.
Lektionens emne: "Homogene trigonometriske ligninger"
(10. klasse)
Mål: introducere begrebet homogen trigonometriske ligninger I og II grader; formulere og udarbejde en algoritme til løsning af homogene trigonometriske ligninger af grader I og II; lære eleverne at løse homogene trigonometriske ligninger af grader I og II; udvikle evnen til at identificere mønstre og generalisere; stimulere interessen for emnet, udvikle en følelse af solidaritet og sund konkurrence.
Lektionstype: lektion i dannelse af ny viden.
Form: arbejde i grupper.
Udstyr: computer, multimedieinstallation
Under timerne
Organisering af tid
Hils på studerende, mobilisering af opmærksomhed.
Ved lektionen rating system vidensvurdering (læreren forklarer videnvurderingssystemet og udfylder vurderingsarket af en uafhængig ekspert udvalgt af læreren blandt eleverne). Lektionen ledsages af et oplæg. .
Opdatering af grundlæggende viden.
Hjemmearbejde kontrolleres og bedømmes af en uafhængig ekspert og konsulenter før undervisningen og afsluttes evalueringspapir.
Læreren opsummerer forestillingen lektier.
Lærer: Vi fortsætter med at studere emnet "Trigonometriske ligninger". I dag i lektionen vil vi introducere dig til en anden type trigonometriske ligninger og metoder til at løse dem, og derfor vil vi gentage, hvad vi har lært. Når man løser alle typer trigonometriske ligninger, reduceres de til at løse de enkleste trigonometriske ligninger.
Individuelle lektier udført i grupper kontrolleres. Forsvar af præsentationen "Løsninger af de enkleste trigonometriske ligninger"
(Gruppens arbejde vurderes af en uafhængig ekspert)
Motivation til læring.
Lærer: Vi har arbejde at gøre for at løse krydsordet. Når vi har løst det, finder vi ud af navnet på en ny type ligninger, som vi skal lære at løse i dag i klassen.
Spørgsmål projiceres ind på tavlen. Eleverne gætter, og en uafhængig ekspert indtaster scorerne for de elever, der svarer, på resultatarket.
Efter at have løst krydsordet, vil børnene læse ordet "homogen".
Assimilering af ny viden.
Lærer: Emnet for lektionen er "Homogene trigonometriske ligninger."
Lad os skrive lektionens emne ned i en notesbog. Homogene trigonometriske ligninger er af første og anden grad.
Lad os nedskrive definitionen af en homogen ligning af første grad. Jeg viser et eksempel på løsning af denne type ligning; du laver en algoritme til at løse en homogen trigonometrisk ligning af første grad.
Formens ligning EN sinx + b cosx = 0 kaldes en homogen trigonometrisk ligning af første grad.
Lad os overveje løsningen til ligningen, når koefficienterne EN Og V er forskellige fra 0.
Eksempel: sinx + cosx = 0
R 
dividere begge sider af ligningsleddet med cosx, får vi
Opmærksomhed! Du kan kun dividere med 0, hvis dette udtryk ikke bliver til 0 nogen steder. Lad os analysere. Hvis cosinus er lig med 0, så vil sinus også være lig med 0, givet at koefficienterne er forskellige fra 0, men vi ved at sinus og cosinus går til nul i forskellige punkter. Derfor kan denne operation udføres, når man løser denne type ligning.
Algoritme til løsning af en homogen trigonometrisk ligning af første grad: at dividere begge sider af ligningen med cosx, cosx 0
Formens ligning EN sin mx +b cos mx = 0 også kaldet en homogen trigonometrisk ligning af første grad og løser også divisionen af begge sider af ligningen med cosinus mx.
Formens ligning -en synd 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 kaldes en homogen trigonometrisk ligning af anden grad.
Eksempel : synd 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Koefficient a er forskellig fra 0, og derfor er cosx, ligesom den foregående ligning, ikke lig med 0, og derfor kan man bruge metoden til at dividere begge sider af ligningen med cos 2 x.
Vi får tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Vi løser ved at indføre en ny variabel lad tgx = a, så får vi ligningen
a 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
a 1 = 1 a 2 = –3
Tilbage til udskiftning
Svar:
Hvis koefficienten a = 0, så vil ligningen have formen 2sinx cosx – 3cos2x = 0, vi løser det ved hjælp af subtraktionsmetoden fælles multiplikator cosx uden for parentes. Hvis koefficienten c = 0, så har ligningen formen sin2x +2sinx cosx = 0, vi løser det ved at tage den fælles faktor sinx ud af parentes. Algoritme til løsning af en homogen trigonometrisk ligning af første grad:
Se om ligningen indeholder asin2 x-leddet.
Hvis udtrykket asin2 x er indeholdt i ligningen (dvs. en 0), så løses ligningen ved at dividere begge sider af ligningen med cos2x og derefter indføre en ny variabel.
Hvis udtrykket asin2 x ikke er indeholdt i ligningen (dvs. a = 0), så løses ligningen ved faktorisering: cosx er taget ud af parentes. Homogene ligninger på formen a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 løses på samme måde
Algoritmen til løsning af homogene trigonometriske ligninger er skrevet i lærebogen på side 102.
Idrætsminut
Dannelse af færdigheder til at løse homogene trigonometriske ligninger
Åbning af problembøger side 53
1. og 2. gruppe beslutter nr. 361-v
3. og 4. gruppe beslutter nr. 363-v
Vis løsningen på tavlen, forklar, suppler. En uafhængig ekspert evaluerer.
Løsningseksempler fra opgavebog nr. 361-v
sinx – 3cosx = 0
vi dividerer begge sider af ligningen med cosx 0, får vi 
nr. 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
divider begge sider af ligningen med cos2x, vi får tg2x + tanx – 2 = 0
løses ved at indføre en ny variabel
lad tgx = a, så får vi ligningen
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
tilbage til udskiftning
Selvstændigt arbejde.
Løs ligningerne.
2 cosx – 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
Ved afslutningen af selvstændigt arbejde skifter de job og tjekker indbyrdes. De rigtige svar projiceres på tavlen.
Så overdrager de det til en uafhængig ekspert.
Gør det selv løsning
Opsummering af lektionen.
Hvilken type trigonometriske ligninger lærte vi om i klassen?
Algoritme til løsning af trigonometriske ligninger af første og anden grad.
Lektier: § 20.3 læst. nr. 361(d), 363(b), øget sværhedsgrad desuden nr. 380(a).
Krydsord.
Hvis du kommer ind sande ord, så får du navnet på en af typerne af trigonometriske ligninger.
Værdien af den variabel, der gør ligningen sand? (Rod)
Måleenhed for vinkler? (Radian)
Numerisk faktor i et produkt? (koefficient)
Gren af matematik, der studerer trigonometriske funktioner? (Trigonometri)
Hvilken matematisk model nødvendig for indsættelse trigonometriske funktioner? (Cirkel)
Hvilken trigonometrisk funktion er lige? (Cosinus)
Hvad kaldes en ægte ligestilling? (Identitet)
Ligestilling med en variabel? (ligningen)
Ligninger der har identiske rødder? (tilsvarende)
Sæt af rødder til en ligning ? (Løsning)
Evalueringspapir
№
n\n
Efternavn, fornavn på læreren
Lektier
Præsentation
Kognitiv aktivitet
studerer
Løsning af ligninger
Uafhængig
Job
Hjemmearbejde – 12 point (3 ligninger 4 x 3 = 12 blev tildelt til lektier)
Præsentation – 1 point
Elevaktivitet – 1 svar – 1 point (maks. 4 point)
Løsning af ligninger 1 point
Selvstændigt arbejde – 4 point
Gruppevurdering:
"5" - 22 point eller mere
“4” – 18 – 21 point
“3” – 12 – 17 point
Hold op! Lad os prøve at forstå denne besværlige formel.
Den første variabel i potensen med en eller anden koefficient bør komme først. I vores tilfælde er det
I vores tilfælde er det. Som vi fandt ud af, betyder det, at graden ved den første variabel konvergerer. Og den anden variabel i første grad er på plads. Koefficient.
Vi har det.
Den første variabel er en potens, og den anden variabel er kvadratisk med en koefficient. Dette er det sidste led i ligningen.
Som du kan se, passer vores ligning til definitionen i form af en formel.
Lad os se på den anden (verbale) del af definitionen.
Vi har to ubekendte og. Det konvergerer her.
Lad os overveje alle vilkårene. I dem skal summen af graderne af de ukendte være den samme.
Summen af graderne er lig.
Summen af potenserne er lig med (ved og ved).
Summen af graderne er lig.
Som du kan se, passer alt!!!
Lad os nu øve os i at definere homogene ligninger.
Bestem hvilken af ligningerne der er homogene:
Homogene ligninger - ligninger med tal:
Lad os betragte ligningen separat.
Hvis vi deler hvert led ved at faktorisere hvert led, får vi
Og denne ligning falder fuldstændig ind under definitionen af homogene ligninger.
Hvordan løser man homogene ligninger?
Eksempel 2.
Lad os dividere ligningen med.
Ifølge vores tilstand kan y ikke være lige. Derfor kan vi roligt dividere med
Ved at lave substitutionen får vi en simpel andengradsligning:
Da dette er en reduceret andengradsligning, bruger vi Vietas sætning:
Efter at have foretaget den omvendte substitution, får vi svaret
Svar:
Eksempel 3.
Lad os dividere ligningen med (efter betingelse).
Svar:
Eksempel 4.
Find evt.
Her skal du ikke dividere, men gange. Lad os gange hele ligningen med:
Lad os lave en erstatning og løse andengradsligningen:
Efter at have foretaget den omvendte substitution får vi svaret:
Svar:
Løsning af homogene trigonometriske ligninger.
Løsning af homogene trigonometriske ligninger er ikke forskellig fra løsningsmetoderne beskrevet ovenfor. Kun her skal du blandt andet kunne lidt trigonometri. Og kunne løse trigonometriske ligninger (hertil kan du læse afsnittet).
Lad os se på sådanne ligninger ved hjælp af eksempler.
Eksempel 5.
Løs ligningen.
Vi ser det typiske homogen ligning: og er ukendte, og summen af deres magter i hvert led er lig.
Sådanne homogene ligninger er ikke svære at løse, men før ligningerne opdeles i, overveje tilfældet, når
I dette tilfælde vil ligningen have formen: , så. Men sinus og cosinus kan ikke være ens på samme tid, for dybest set trigonometrisk identitet. Derfor kan vi roligt opdele det i:
Da ligningen er givet, så ifølge Vietas sætning:
Svar:
Eksempel 6.
Løs ligningen.
Som i eksemplet skal du dividere ligningen med. Lad os overveje sagen, når:
Men sinus og cosinus kan ikke være ens på samme tid, fordi det ifølge den grundlæggende trigonometriske identitet. Derfor.
Lad os lave en erstatning og løse andengradsligningen:
Lad os gøre den omvendte erstatning og finde og:
Svar:
Løsning af homogene eksponentialligninger.
Homogene ligninger løses på samme måde som dem, der er diskuteret ovenfor. Hvis du har glemt, hvordan du beslutter dig eksponentielle ligninger- se på det tilsvarende afsnit ()!
Lad os se på et par eksempler.
Eksempel 7.
Løs ligningen
Lad os forestille os det sådan her:
Vi ser en typisk homogen ligning med to variable og en sum af potenser. Lad os opdele ligningen i:
Som du kan se, ved at foretage substitutionen, får vi den andengradsligning nedenfor (der er ingen grund til at være bange for at dividere med nul - den er altid strengt taget større end nul):
Ifølge Vietas sætning:
Svar: .
Eksempel 8.
Løs ligningen
Lad os forestille os det sådan her:
Lad os opdele ligningen i:
Lad os lave en erstatning og løse andengradsligningen:
Roden opfylder ikke betingelsen. Lad os gøre den omvendte erstatning og finde:
Svar:
HOMOGENE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU
Lad mig først minde dig om ved at bruge eksemplet på et problem hvad er homogene ligninger og hvad er løsningen af homogene ligninger.
Løs problemet:
Find evt.
Her kan du bemærke en mærkelig ting: Hvis vi dividerer hvert led med, får vi:
Det vil sige, nu er der ingen separate og, - nu er variablen i ligningen den ønskede værdi. Og dette er en almindelig andengradsligning, der let kan løses ved hjælp af Vietas sætning: produktet af rødderne er lig, og summen er tallene og.
Svar:
Formens ligninger
kaldes homogen. Det vil sige, at dette er en ligning med to ubekendte, hvor hvert led har den samme sum af potenser af disse ukendte. For eksempel er dette beløb i eksemplet ovenfor lig med. Homogene ligninger løses ved at dividere med en af de ukendte i denne grad:
Og den efterfølgende udskiftning af variabler: . Således får vi en potensligning med en ukendt:
Oftest vil vi støde på ligninger af anden grad (det vil sige kvadratisk), og vi ved, hvordan vi løser dem:
Bemærk, at vi kun kan dividere (og gange) hele ligningen med en variabel, hvis vi er overbevist om, at denne variabel ikke kan være lig med nul! For eksempel, hvis vi bliver bedt om at finde, forstår vi det med det samme, da det er umuligt at dele. I tilfælde, hvor dette ikke er så indlysende, er det nødvendigt at kontrollere sagen separat, når denne variabel er lig med nul. For eksempel:
Løs ligningen.
Løsning:
Vi ser her en typisk homogen ligning: og er ukendte, og summen af deres potenser i hvert led er lig.
Men før vi dividerer med og får en andengradsligning relativ, skal vi overveje tilfældet hvornår. I dette tilfælde vil ligningen have formen: , hvilket betyder . Men sinus og cosinus kan ikke være lig med nul på samme tid, for ifølge den grundlæggende trigonometriske identitet:. Derfor kan vi roligt opdele det i:
Jeg håber denne løsning er helt klar? Hvis ikke, så læs afsnittet. Hvis det ikke er klart, hvor det kom fra, skal du vende tilbage endnu tidligere - til afsnittet.
Bestem selv:
- Find evt.
- Find evt.
- Løs ligningen.
Her vil jeg kort skrive direkte løsningen til homogene ligninger:
Løsninger:
Svar: .
Men her skal vi gange i stedet for at dividere:
Svar:
Hvis du ikke har taget trigonometriske ligninger endnu, kan du springe dette eksempel over.
Da vi her skal dividere med, så lad os først sikre os, at det ikke er hundrede lig med nul:
Og dette er umuligt.
Svar: .
HOMOGENE LIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING
Løsningen af alle homogene ligninger reduceres til division med en af de ukendte til potens og yderligere ændring af variable.
Algoritme:
"En mands storhed ligger i hans evne til at tænke."
Blaise Pascal.
Lektionens mål:
1) Pædagogisk– introducere eleverne til homogene ligninger, overveje metoder til at løse dem og fremme udviklingen af færdigheder i at løse tidligere studerede typer af trigonometriske ligninger.
2) Udviklingsmæssige– udvikle elevernes kreative aktivitet, deres kognitiv aktivitet, logisk tænkning, hukommelse, evne til at arbejde i problematisk situation, at opnå evnen til korrekt, konsekvent, rationelt at udtrykke sine tanker, udvide elevernes horisont og øge niveauet af deres matematiske kultur.
3) Pædagogisk– at dyrke et ønske om selvforbedring, hårdt arbejde, at udvikle evnen til kompetent og præcist at udføre matematiske noter, at dyrke aktivitet, at hjælpe med at stimulere interessen for matematik.
Lektionstype: kombineret.
Udstyr:
- Hulkort til seks elever.
- Kort til uafhængige og individuelt arbejde studerende.
- Står "Løsning af trigonometriske ligninger", "Numerisk enhedscirkel".
- Elektrificerede trigonometritabeller.
- Præsentation til lektionen (Bilag 1).
Under timerne
1. Organisationsstadie(2 minutter)
Gensidig hilsen; kontrollere elevernes parathed til lektionen ( arbejdsplads, udseende); organisering af opmærksomhed.
Læreren fortæller eleverne lektionens emne, mål (dias 2) og forklarer, at i løbet af lektionen vil den ene blive brugt Uddel, som står på skrivebordene.
2. Gentagelse teoretisk materiale(15 minutter)
Hulkort opgaver(6 personer) . Arbejdstid ved brug af hulkort – 10 min (Bilag 2)
Efter at have løst opgaverne lærer eleverne, hvor de søger trigonometriske beregninger. Følgende svar opnås: triangulering (en teknik, der gør det muligt at måle afstande til nærliggende stjerner i astronomi), akustik, ultralyd, tomografi, geodæsi, kryptografi.
(dias 5)
Frontal undersøgelse.
- Hvilke ligninger kaldes trigonometriske?
- Hvilke typer trigonometriske ligninger kender du?
- Hvilke ligninger kaldes de enkleste trigonometriske ligninger?
- Hvilke ligninger kaldes kvadratisk trigonometriske?
- Formuler definitionen af arcsinus af a.
- Formuler definitionen af buecosinus af a.
- Formuler definitionen af arctangensen af en.
- Formuler definitionen af buecotangensen af tallet a.
Spil "Gæt det krypterede ord"
Blaise Pascal sagde engang, at matematik er så seriøs en videnskab, at man ikke bør gå glip af en mulighed for at gøre det lidt mere underholdende. Derfor foreslår jeg at spille. Efter at have løst eksemplerne, bestemme rækkefølgen af tal, der bruges til at komponere det krypterede ord. På latin betyder dette ord "sinus". (dias 3)
2) bue tg (-√3)
4) tg (arc cos (1/2))
5) tg (bue ctg √3)
Svar: "Bøj"
Spil "Abstract Mathematician"»
Opgaver til mundtligt arbejde projiceres på skærmen:
Tjek at ligningerne er løst korrekt.(det rigtige svar vises på sliden efter elevens svar). (dias 4)
Svar med fejl |
rigtige svar |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± π/3+2πn |
|
x = π/3+πn |
x = (-1) nπ/3+πn |
|
tg x = π/4 |
x = 1 +πn |
tg x =1, x = π/4+πn |
x = ±π/6+ π n |
x = ± π/6+2πn |
|
x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
x = (-1)n arcsin1/3+ πn |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± 5π/6+2πn |
|
fordi x = π/3 |
x = ± 1/2 +2πn |
cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn |
Tjek lektier.
Læreren fastslår rigtigheden og bevidstheden om, at lektier udføres af alle elever; identificerer huller i viden; forbedrer elevernes viden, færdigheder og evner inden for løsning af simple trigonometriske ligninger.
1 ligning. Eleven kommenterer løsningen til ligningen, hvis linjer vises på sliden i rækkefølgen af kommentaren). (dias 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3;
2х= arktan 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
x= π/12 + π/2 n, n ∈Z.
2 ligning. Løsning h skrevet til eleverne i bestyrelsen.
2 sin 2 x + 3 cosx = 0.
3. Opdatering af ny viden (3 minutter)
Eleverne husker efter anmodning fra læreren måder at løse trigonometriske ligninger på. De vælger de ligninger, som de allerede ved, hvordan de skal løse, navngiv metoden til løsning af ligningen og det resulterende resultat. . Svarene vises på sliden. (dias 7) .
Introduktion af en ny variabel:
nr. 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.
Lad sinx = t, så:
2t 2 – 7t + 3 = 0.
Faktorisering:
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;
сos4x(3sinx – 1) = 0;
cos4x = 0 eller 3 sinx – 1 = 0; ...
nr. 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
nr. 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Lærer: Du ved stadig ikke, hvordan du løser de sidste to typer ligninger. De er begge den samme art. De kan ikke reduceres til en ligning vedr funktioner sinx eller cosx. Hedder homogene trigonometriske ligninger. Men kun den første er en homogen ligning af første grad, og den anden er en homogen ligning af anden grad. I dag i lektionen vil vi stifte bekendtskab med sådanne ligninger og lære at løse dem.
4. Forklaring af nyt materiale (25 minutter)
Læreren giver eleverne definitioner af homogene trigonometriske ligninger og introducerer metoder til at løse dem.
Definition. En ligning af formen a sinx + b cosx =0, hvor a ≠ 0, b ≠ 0 kaldes homogen trigonometrisk ligning af første grad.(dias 8)
Et eksempel på en sådan ligning er ligning nr. 3. Vi skriver det ud generel form ligningen og analyser den.
a sinx + b cosx = 0.
Hvis cosx = 0, så er sinx = 0.
– Kunne sådan en situation ske?
- Nej. Vi har fået en modsigelse til den grundlæggende trigonometriske identitet.
Dette betyder cosx ≠ 0. Lad os udføre led-for-led division med cosx:
a tgx + b = 0
tgx = –b / a– den enkleste trigonometriske ligning.
Konklusion: Homogene trigonometriske ligninger af første grad løses ved at dividere begge sider af ligningen med cosx (sinx).
For eksempel: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Fordi cosx ≠ 0, så
tgx = 3/2 ;
x = arktan (3/2) +πn, n ∈Z.
Definition. En ligning af formen a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, hvor a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 kaldes trigonometrisk ligning af anden grad. (dias 8)
Et eksempel på en sådan ligning er ligning nr. 4. Lad os nedskrive den generelle form af ligningen og analysere den.
a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.
Hvis cosx = 0, så er sinx = 0.
Igen fik vi en modsigelse til den grundlæggende trigonometriske identitet.
Det betyder cosx ≠ 0. Lad os udføre led-for-led division med cos 2 x:
og tg 2 x + b tgx + c = 0 er en ligning, der reduceres til en andengrad.
Konklusion: Åh homogene trigonometriske ligninger af anden grad løses ved at dividere begge sider af ligningen med cos 2 x (sin 2 x).
For eksempel: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Fordi cos 2 x ≠ 0, så
3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Inviter eleven til at gå hen til tavlen og færdiggøre ligningen selvstændigt).
Udskiftning: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y 1 = 1 eller y 2 = 1/3
tgx = 1 eller tgx = 1/3
x = arktan (1/3) + πn, n ∈Z.
x = arctan + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Trin for at kontrollere elevernes forståelse af nyt materiale (1 min.)
Vælg den ulige ud:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
(dias 9)
6. Konsolidering af nyt materiale (24 min).
Eleverne løser sammen med besvarerne ligninger på tavlen nyt materiale. Opgaverne skrives på en slide i form af en tabel. Når man løser en ligning, åbnes den tilsvarende del af billedet på diaset. Som et resultat af at udfylde 4 ligninger, præsenteres eleverne for et portræt af en matematiker, som havde en væsentlig indflydelse på udviklingen af trigonometri. (studerende vil genkende portrættet af François Vieta, en stor matematiker, der ydede et stort bidrag til trigonometri, som opdagede egenskaben ved rødderne til de reducerede andengradsligning og arbejdede med kryptografi) . (dias 10)
1) √3sinx + cosx = 0,
Fordi cosx ≠ 0, så
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
x = arktan (–1/√3) + πn, n ∈Z.
x = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.
Fordi cos 2 x ≠ 0, derefter tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0
Udskiftning: tgx = y.
y 2 – 10 y + 21 = 0
y 1 = 7 eller y 2 = 3
tgx = 7 eller tgx = 3
x = arctan7 + πn, n ∈Z
x = arctan3 + πn, n ∈Z
3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.
Fordi cos 2 2x ≠ 0, derefter 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0
Udskiftning: tg2x = y.
3у 2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
y 1 = 5 eller y 2 = 1
tg2x = 5 eller tg2x = 1
2х = arctan5 + πn, n ∈Z
x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctan1 + πn, n ∈Z
x = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.
5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.
Fordi cos 2 x ≠0, derefter 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0
Udskiftning: tg x = y.
5у 2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
y 1 = 1/5 eller y 2 = –1
tg x = 1/5 eller tg x = –1
x = arctan1/5 + πn, n ∈Z
x = arctan(–1) + πn, n ∈Z
x = –π/4 + πn, n ∈Z
Derudover (på kortet):
Løs ligningen, og vælg én mulighed blandt de fire foreslåede, gæt navnet på den matematiker, der udledte reduktionsformlerne:
2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.
Mulige svar:
x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev
x = arktan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid
x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya
x = arctan2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler
Korrekt svar: Leonhard Euler.
7. Differentieret selvstændigt arbejde (8 min.)
Den store matematiker og filosof for mere end 2500 år siden foreslog en måde at udvikle tankeevner på. "Tænkning begynder med undren," sagde han. I dag har vi gentagne gange set, at disse ord er korrekte. Efter at have gennemført selvstændigt arbejde med 2 muligheder, vil du være i stand til at vise, hvordan du mestrer materialet og finde ud af navnet på denne matematiker. For selvstændigt arbejde, brug de uddelingskopier, der er på dine borde. Du kan selv vælge en af de tre foreslåede ligninger. Men husk det ved at løse ligningen svarende til gul farve, kan du kun få "3" ved at løse ligningen svarende til den grønne farve - "4", den røde farve - "5". (Bilag 3)
Uanset hvilken sværhedsgrad eleverne vælger, efter den rigtige beslutning Den første version af ligningen producerer ordet "ARIST", den anden - "HOTEL". Ordet på diasset er: "ARIST-HOTEL." (dias 11)
Blade med selvstændigt arbejde indsendes til verifikation. (Bilag 4)
8. Optagelse af lektier (1 min)
D/z: §7.17. Opstil og løs 2 homogene ligninger af første grad og 1 homogen ligning af anden grad (brug Vietas sætning til at komponere). (dias 12)
9. Opsummering af lektionen, karaktergivning (2 minutter)
Læreren henleder endnu en gang opmærksomheden på de typer ligninger og de teoretiske fakta, der blev genkaldt i lektionen, og taler om behovet for at lære dem.
Eleverne svarer på spørgsmålene:
- Hvilken type trigonometriske ligninger kender vi?
- Hvordan løses disse ligninger?
Læreren noterer mest succesfuldt arbejde i de enkelte elevers lektion, giver karakterer.
Det betyder at finde vinklen mellem denne linje og dens projektion på et givet plan.
En rumlig model, der illustrerer opgaven, er præsenteret i figuren.
Problemløsningsplan:
1. Fra vilkårligt punkt EN∈-en sænk vinkelret på planet α
;
2. Bestem mødepunktet for denne vinkelrette med planet α
. Prik A α - ortografisk projektion EN til flyet α
;
3. Find linjens skæringspunkt -en med fly α
. Prik a α- lige spor -en på overfladen α
;
4. Vi udfører ( A α a α) - projektion af en ret linje -en til flyet α
;
5. Bestem den reelle værdi ∠ Aa α A α, dvs. ∠ φ
.
Løsningen af problemet find vinklen mellem en linje og en plan kan forenkles meget, hvis vi ikke definerer ∠ φ mellem en ret linje og et plan, og komplementær til 90° ∠ γ . I dette tilfælde er der ikke behov for at bestemme projektionen af punktet EN og lige linjeprojektioner -en til flyet α . At kende størrelsen γ , beregnet ved formlen:
$ φ = 90° - γ $
-en og fly α , defineret af parallelle linjer m Og n.
-en α
Roterer rundt i vandret givet ved point 5 og 6 bestemmer vi den faktiske størrelse ∠ γ
. At kende størrelsen γ
, beregnet ved formlen:
$ φ = 90° - γ $
Bestemmelse af vinklen mellem en ret linje -en og fly α , givet af en trekant BCD.
Fra et vilkårligt punkt på en linje -en sænk vinkelret på planet α
Ved at dreje rundt om den vandrette linje angivet af punkt 3 og 4, bestemmer vi den naturlige størrelse ∠ γ
. At kende størrelsen γ
, beregner vi ved hjælp af formlen.