Lad et system af lineære algebraiske ligninger gives, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte xi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).
Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:
1) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har en enkelt løsning.
Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden ikke egnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, hvilken i alle tilfælde vil lede os til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer ens i alle tre tilfælde. Hvis Cramer- og matrixmetoderne kræver kendskab til determinanter, så behøver man for at anvende Gauss-metoden kun kendskab til aritmetiske operationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.
Augmented matrix transformationer ( dette er systemets matrix - en matrix kun sammensat af koefficienterne for de ukendte plus en kolonne med frie termer) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:
1) Med troki matricer Kan omarrangere nogle steder.
2) hvis der forekommer (eller findes) proportionale (som et specialtilfælde – identiske) rækker i matrixen, skal du slette fra matrixen alle disse rækker undtagen én.
3) hvis en nul-række vises i matricen under transformationer, så skal den også være det slette.
4) en række af matrixen kan være gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.
5) til en række af matrixen kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.
I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ligningssystemet.
Gauss-metoden består af to faser:
- "Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer, bring den udvidede matrix af et system af lineære algebraiske ligninger til en "trekant" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse). For eksempel til denne type:
For at gøre dette skal du udføre følgende trin:
1) Lad os betragte den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten for x 1 er lig med K. Den anden, tredje osv. vi transformerer ligningerne som følger: vi dividerer hver ligning (koefficienter for de ukendte, inklusive frie led) med koefficienten for den ukendte x 1, som er i hver ligning, og gange med K. Herefter trækker vi den første fra anden ligning (koefficienter af ukendte og frie led). For x 1 i den anden ligning får vi koefficienten 0. Fra den tredje transformerede ligning trækker vi den første ligning, indtil alle ligninger undtagen den første, for ukendt x 1, har en koefficient 0.
2) Lad os gå videre til næste ligning. Lad dette være den anden ligning og koefficienten for x 2 lig med M. Vi fortsætter med alle "lavere" ligninger som beskrevet ovenfor. Således vil der "under" den ukendte x 2 være nuller i alle ligninger.
3) Gå videre til næste ligning og så videre, indtil en sidste ukendt og det transformerede frie led er tilbage.
- Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n = B. I eksemplet ovenfor er x 3 = 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. Eksempelvis x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre indtil vi finder alle de ukendte.
Eksempel.
Lad os løse systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:
Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:
Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det:
1 trin
. Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.
Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med –1 (skift fortegn).
Trin 2 . Den første linje, ganget med 5, blev tilføjet til den anden linje. Den første linje, ganget med 3, blev tilføjet til den tredje linje.
Trin 3 . Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.
Trin 4 . Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med 2.
Trin 5 . Den tredje linje blev divideret med 3.
Et tegn, der angiver en fejl i beregninger (mer sjældent en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget i stil med (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der blev lavet en fejl under elementær transformationer.
Lad os gøre det omvendte; i udformningen af eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte træk, jeg minder dig om, virker nedefra og op. I dette eksempel var resultatet en gave:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Hvis vi multiplicerer anden og tredje ligning med 4, får vi:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divider den tredje ligning med 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Gang den tredje ligning med 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Hvis vi trækker den anden fra den tredje ligning, får vi en "trinnet" udvidet matrix:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Da fejlen akkumuleret under beregningerne, får vi x 3 = 0,96 eller cirka 1.
x 2 = 3 og x 1 = –1.
Ved at løse på denne måde bliver du aldrig forvirret i beregningerne og trods regnefejlene får du resultatet.
Denne metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for de specifikke egenskaber ved koefficienter for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) skal forholde sig til ikke-heltalskoefficienter.
Jeg ønsker dig succes! Vi ses i klassen! Lærer Dmitry Aystrakhanov.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.
En af de enkleste måder at løse et system af lineære ligninger på er en teknik baseret på beregning af determinanter ( Cramers regel). Dens fordel er, at det giver dig mulighed for straks at registrere løsningen; det er især praktisk i tilfælde, hvor systemets koefficienter ikke er tal, men nogle parametre. Dens ulempe er besværligheden af beregninger i tilfælde af et stort antal ligninger, desuden er Cramers regel ikke direkte anvendelig på systemer, hvor antallet af ligninger ikke er sammenfaldende med antallet af ukendte. I sådanne tilfælde bruges det normalt Gaussisk metode.
Systemer af lineære ligninger med det samme sæt af løsninger kaldes tilsvarende. Det er klart, at mængden af løsninger af et lineært system ikke ændres, hvis nogen ligninger byttes om, eller hvis en af ligningerne multipliceres med et tal, der ikke er nul, eller hvis en ligning lægges til en anden.
Gauss metode (metode til sekventiel eliminering af ukendte) er, at systemet ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trintype. Først ved hjælp af den 1. ligning eliminerer vi x 1 af alle efterfølgende ligninger i systemet. Så, ved hjælp af den 2. ligning, eliminerer vi x 2 fra 3. og alle efterfølgende ligninger. Denne proces, kaldet direkte gaussisk metode, fortsætter, indtil der kun er én ukendt tilbage på venstre side af den sidste ligning x n. Herefter er det gjort omvendt af Gauss-metoden– at løse den sidste ligning, finder vi x n; derefter, ved hjælp af denne værdi, fra den næstsidste ligning, vi beregner x n-1 osv. Vi finder den sidste x 1 fra den første ligning.
Det er praktisk at udføre gaussiske transformationer ved at udføre transformationer ikke med ligningerne selv, men med matricerne for deres koefficienter. Overvej matrixen:
hedder udvidet matrix af systemet, fordi det ud over systemets hovedmatrix indeholder en kolonne med frie termer. Den Gaussiske metode er baseret på at reducere systemets hovedmatrix til en trekantet form (eller trapezform i tilfælde af ikke-kvadratiske systemer) ved hjælp af elementære rækketransformationer (!) af systemets udvidede matrix.
Eksempel 5.1. Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:
Løsning. Lad os skrive systemets udvidede matrix ud, og ved hjælp af den første række nulstiller vi derefter de resterende elementer:
vi får nuller i 2., 3. og 4. række i den første kolonne:
Nu skal alle elementer i den anden kolonne under 2. række være lig med nul. For at gøre dette kan du gange den anden linje med –4/7 og tilføje den til den 3. linje. Men for ikke at beskæftige os med brøker, lad os oprette en enhed i 2. række i den anden kolonne og kun
Nu, for at få en trekantet matrix, skal du nulstille elementet i den fjerde række i den 3. kolonne; for at gøre dette kan du gange den tredje række med 8/54 og tilføje den til den fjerde. Men for ikke at beskæftige os med brøker, vil vi bytte 3. og 4. række og 3. og 4. kolonne, og først efter det nulstiller vi det angivne element. Bemærk, at når du omarrangerer kolonnerne, skifter de tilsvarende variable plads, og dette skal huskes; andre elementære transformationer med kolonner (addition og multiplikation med et tal) kan ikke udføres!
Den sidste forenklede matrix svarer til et ligningssystem svarende til det oprindelige:
Herfra, ved at bruge det omvendte af Gauss-metoden, finder vi fra den fjerde ligning x 3 = -1; fra den tredje x 4 = –2, fra den anden x 2 = 2 og fra den første ligning x 1 = 1. På matrixform skrives svaret som
Vi overvejede sagen, når systemet er bestemt, dvs. når der kun er én løsning. Lad os se, hvad der sker, hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.
Eksempel 5.2. Udforsk systemet ved hjælp af Gauss-metoden:
Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix
Vi skriver et forenklet system af ligninger:
Her viser det sig i den sidste ligning, at 0=4, dvs. modsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenelig. à
Eksempel 5.3. Udforsk og løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:
Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix:
Som et resultat af transformationerne indeholder den sidste linje kun nuller. Det betyder, at antallet af ligninger er faldet med én:
Efter forenklinger er der således to ligninger tilbage, og fire ubekendte, dvs. to ukendte "ekstra". Lad dem være "overflødige", eller, som de siger, frie variabler, vil x 3 og x 4 . Derefter
Troende x 3 = 2-en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–-en Og x 1 = 2b–-en; eller i matrixform
En løsning skrevet på denne måde kaldes generel, fordi, at give parametre -en Og b forskellige værdier, kan alle mulige løsninger af systemet beskrives. -en
Siden begyndelsen af det 16.-18. århundrede er matematikere intensivt begyndt at studere funktioner, takket være hvilke så meget i vores liv har ændret sig. Computerteknologi ville simpelthen ikke eksistere uden denne viden. Forskellige begreber, teoremer og løsningsteknikker er blevet skabt til at løse komplekse problemer, lineære ligninger og funktioner. En af sådanne universelle og rationelle metoder og teknikker til løsning af lineære ligninger og deres systemer var Gauss-metoden. Matricer, deres rang, determinant - alt kan beregnes uden at bruge komplekse operationer.
Hvad er SLAU
I matematik er der begrebet SLAE - et system af lineære algebraiske ligninger. Hvordan er hun? Dette er et sæt af m ligninger med de nødvendige n ukendte størrelser, normalt betegnet som x, y, z eller x 1, x 2 ... x n eller andre symboler. At løse et givet system ved hjælp af Gauss-metoden betyder at finde alle de ukendte ukendte. Hvis et system har det samme antal ubekendte og ligninger, så kaldes det et n. ordenssystem.
De mest populære metoder til at løse SLAE'er
I uddannelsesinstitutioner for sekundær uddannelse studeres forskellige metoder til løsning af sådanne systemer. Oftest er disse simple ligninger bestående af to ubekendte, så enhver eksisterende metode til at finde svaret på dem vil ikke tage meget tid. Dette kan være som en substitutionsmetode, når en anden er afledt af en ligning og substitueret i den oprindelige. Eller metoden med term-for-term subtraktion og addition. Men Gauss-metoden betragtes som den nemmeste og mest universelle. Det gør det muligt at løse ligninger med et vilkårligt antal ubekendte. Hvorfor anses denne særlige teknik for rationel? Det er simpelt. Det gode ved matrixmetoden er, at den ikke kræver omskrivning af unødvendige symboler flere gange som ukendte; det er nok at udføre aritmetiske operationer på koefficienterne - og du får et pålideligt resultat.
Hvor bruges SLAE'er i praksis?
Løsningen på SLAE'er er skæringspunkterne for linjer på graferne for funktioner. I vores højteknologiske computeralder skal folk, der er tæt forbundet med udviklingen af spil og andre programmer, vide, hvordan man løser sådanne systemer, hvad de repræsenterer, og hvordan man kontrollerer rigtigheden af det resulterende resultat. Oftest udvikler programmører specielle lineære algebra-beregnerprogrammer, som også omfatter et system af lineære ligninger. Gauss-metoden giver dig mulighed for at beregne alle eksisterende løsninger. Andre forenklede formler og teknikker bruges også.
SLAU-kompatibilitetskriterium
Et sådant system kan kun løses, hvis det er kompatibelt. For klarhedens skyld, lad os repræsentere SLAE i formen Ax=b. Den har en løsning, hvis rang(A) er lig med rang(A,b). I dette tilfælde er (A,b) en udvidet formmatrix, der kan fås fra matrix A ved at omskrive den med frie termer. Det viser sig, at det er ret nemt at løse lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.
Måske er nogle af symbolerne ikke helt klare, så det er nødvendigt at overveje alt med et eksempel. Lad os sige, at der er et system: x+y=1; 2x-3y=6. Den består kun af to ligninger, hvori der er 2 ubekendte. Systemet vil kun have en løsning, hvis rangeringen af dets matrix er lig med rangeringen af den udvidede matrix. Hvad er rang? Dette er antallet af uafhængige linjer i systemet. I vores tilfælde er rangeringen af matricen 2. Matrix A vil bestå af koefficienter placeret nær de ukendte, og koefficienterne placeret bag "=" tegnet passer også ind i den udvidede matrix.
Hvorfor kan SLAE'er repræsenteres i matrixform?
Baseret på kompatibilitetskriteriet ifølge den gennemprøvede Kronecker-Capelli-sætning kan et system af lineære algebraiske ligninger repræsenteres i matrixform. Ved hjælp af den Gaussiske kaskademetode kan du løse matrixen og få et enkelt pålideligt svar for hele systemet. Hvis rangeringen af en almindelig matrix er lig med rangeringen af dens udvidede matrix, men er mindre end antallet af ukendte, så har systemet et uendeligt antal svar.
Matrix transformationer
Før du går videre til at løse matricer, skal du vide, hvilke handlinger der kan udføres på deres elementer. Der er flere elementære transformationer:
- Ved at omskrive systemet i matrixform og løse det, kan du gange alle elementer i rækken med den samme koefficient.
- For at omdanne matrixen til kanonisk form, kan du bytte to parallelle rækker. Den kanoniske form indebærer, at alle matrixelementer, der er placeret langs hoveddiagonalen, bliver til enere, og de resterende bliver nuller.
- De tilsvarende elementer af parallelle rækker af matrixen kan tilføjes til hinanden.
Jordan-Gauss metode
Essensen af at løse systemer af lineære homogene og inhomogene ligninger ved hjælp af Gauss-metoden er gradvist at eliminere de ukendte. Lad os sige, at vi har et system af to ligninger, hvor der er to ubekendte. For at finde dem skal du tjekke systemet for kompatibilitet. Ligningen løses meget enkelt ved Gauss-metoden. Det er nødvendigt at nedskrive koefficienterne placeret nær hver ukendt i matrixform. For at løse systemet skal du skrive den udvidede matrix ud. Hvis en af ligningerne indeholder et mindre antal ubekendte, skal "0" sættes i stedet for det manglende element. Alle kendte transformationsmetoder anvendes på matrixen: multiplikation, division med et tal, tilføjelse af de tilsvarende elementer i serien til hinanden og andre. Det viser sig, at det i hver række er nødvendigt at efterlade en variabel med værdien "1", resten skal reduceres til nul. For en mere præcis forståelse er det nødvendigt at overveje Gauss-metoden med eksempler.
Et simpelt eksempel på løsning af et 2x2 system
Til at begynde med, lad os tage et simpelt system af algebraiske ligninger, hvor der vil være 2 ubekendte.
Lad os omskrive det til en udvidet matrix.
For at løse dette system af lineære ligninger kræves der kun to operationer. Vi skal bringe matricen til kanonisk form, så der er dem langs hoveddiagonalen. Så når vi overfører fra matrixformen tilbage til systemet, får vi ligningerne: 1x+0y=b1 og 0x+1y=b2, hvor b1 og b2 er de resulterende svar i løsningsprocessen.
- Den første handling ved løsning af en udvidet matrix vil være denne: den første række skal ganges med -7 og tilføjes tilsvarende elementer til den anden række for at slippe af med en ukendt i den anden ligning.
- Da løsning af ligninger ved hjælp af Gauss-metoden involverer at reducere matricen til kanonisk form, så er det nødvendigt at udføre de samme operationer med den første ligning og fjerne den anden variabel. For at gøre dette trækker vi den anden linje fra den første og får det krævede svar - løsningen af SLAE. Eller, som vist på figuren, multiplicerer vi den anden række med en faktor på -1 og tilføjer elementerne i den anden række til den første række. Det er det samme.
Som vi kan se, blev vores system løst ved Jordan-Gauss-metoden. Vi omskriver det i den påkrævede form: x=-5, y=7.
Et eksempel på en 3x3 SLAE-løsning
Antag, at vi har et mere komplekst system af lineære ligninger. Gauss-metoden gør det muligt at beregne svaret selv for det mest tilsyneladende forvirrende system. For at dykke dybere ned i beregningsmetoden kan du derfor gå videre til et mere komplekst eksempel med tre ubekendte.
Som i det foregående eksempel omskriver vi systemet i form af en udvidet matrix og begynder at bringe det til dets kanoniske form.
For at løse dette system skal du udføre meget flere handlinger end i det foregående eksempel.
- Først skal du lave den første kolonne til et enhedselement og resten nuller. For at gøre dette skal du gange den første ligning med -1 og lægge den anden ligning til den. Det er vigtigt at huske, at vi omskriver den første linje i sin oprindelige form, og den anden i en ændret form.
- Dernæst fjerner vi den samme første ukendte fra den tredje ligning. For at gøre dette skal du gange elementerne i den første række med -2 og tilføje dem til den tredje række. Nu er den første og anden linje omskrevet i deres oprindelige form, og den tredje - med ændringer. Som du kan se fra resultatet, fik vi den første i begyndelsen af matrixens hoveddiagonal og de resterende nuller. Et par trin mere, og ligningssystemet ved den Gaussiske metode vil blive løst pålideligt.
- Nu skal du udføre operationer på andre elementer i rækkerne. Den tredje og fjerde handling kan kombineres til én. Vi skal dividere anden og tredje linje med -1 for at slippe af med minuserne på diagonalen. Vi har allerede bragt den tredje linje til den ønskede form.
- Dernæst bringer vi den anden linje til kanonisk form. For at gøre dette multiplicerer vi elementerne i den tredje række med -3 og tilføjer dem til den anden række i matrixen. Af resultatet er det klart, at den anden linje også er reduceret til den form, vi har brug for. Det er tilbage at udføre et par flere operationer og fjerne koefficienterne for de ukendte fra den første linje.
- For at lave 0 fra det andet element i en række, skal du gange den tredje række med -3 og tilføje det til den første række.
- Det næste afgørende trin vil være at tilføje de nødvendige elementer fra den anden række til den første række. På denne måde får vi den kanoniske form af matricen, og dermed svaret.
Som du kan se, er det ret simpelt at løse ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.
Et eksempel på løsning af et 4x4 ligningssystem
Nogle mere komplekse ligningssystemer kan løses ved hjælp af Gauss-metoden ved hjælp af computerprogrammer. Det er nødvendigt at indtaste koefficienterne for de ukendte i de eksisterende tomme celler, og selve programmet vil trin for trin beregne det krævede resultat og detaljeret beskrive hver handling.
Trin-for-trin instruktioner til løsning af et sådant eksempel er beskrevet nedenfor.
I det første trin indtastes frie koefficienter og tal for ukendte i tomme celler. Dermed får vi den samme udvidede matrix, som vi skriver manuelt.
Og alle de nødvendige aritmetiske operationer udføres for at bringe den udvidede matrix til sin kanoniske form. Det er nødvendigt at forstå, at svaret på et ligningssystem ikke altid er heltal. Nogle gange kan løsningen være fra brøktal.
Kontrol af rigtigheden af løsningen
Jordan-Gauss-metoden giver mulighed for at kontrollere rigtigheden af resultatet. For at finde ud af, om koefficienterne er beregnet korrekt, skal du blot erstatte resultatet i det oprindelige ligningssystem. Venstre side af ligningen skal matche højre side bag lighedstegnet. Hvis svarene ikke stemmer overens, skal du genberegne systemet eller prøve at anvende en anden metode til at løse SLAE'er, du kender, såsom substitution eller term-for-term subtraktion og addition. Matematik er jo en videnskab, der har et stort antal forskellige løsningsmetoder. Men husk: resultatet skal altid være det samme, uanset hvilken løsningsmetode du har brugt.
Gauss-metoden: de mest almindelige fejl ved løsning af SLAE'er
Ved løsning af lineære ligningssystemer opstår der oftest fejl såsom forkert overførsel af koefficienter til matrixform. Der er systemer, hvor nogle ubekendte mangler i en af ligningerne; så, når data overføres til en udvidet matrix, kan de gå tabt. Som et resultat, når du løser dette system, svarer resultatet muligvis ikke til det faktiske.
En anden stor fejl kan være at skrive det endelige resultat forkert. Det er nødvendigt klart at forstå, at den første koefficient svarer til den første ukendte fra systemet, den anden - til den anden og så videre.
Gauss-metoden beskriver i detaljer løsningen af lineære ligninger. Takket være det er det nemt at udføre de nødvendige operationer og finde det rigtige resultat. Derudover er dette et universelt værktøj til at finde et pålideligt svar på ligninger af enhver kompleksitet. Måske er det derfor, det så ofte bruges, når man løser SLAE'er.
Her kan du gratis løse et system af lineære ligninger Gauss metode online store størrelser i komplekse tal med en meget detaljeret løsning. Vores lommeregner kan online løse både de sædvanlige bestemte og ubestemte systemer af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde vil du i svaret modtage afhængigheden af nogle variable gennem andre, frie. Du kan også tjekke ligningssystemet for konsistens online ved hjælp af den Gaussiske løsning.
Om metoden
Når du løser et system af lineære ligninger online ved hjælp af Gauss-metoden, udføres følgende trin.
- Vi skriver den udvidede matrix.
- Faktisk er løsningen opdelt i frem- og tilbageskridt af Gauss-metoden. Det direkte trin i den Gaussiske metode er reduktionen af en matrix til en trinvis form. Det modsatte af Gauss-metoden er reduktionen af en matrix til en speciel trinvis form. Men i praksis er det mere bekvemt straks at nulstille, hvad der er placeret både over og under det pågældende element. Vores lommeregner bruger netop denne tilgang.
- Det er vigtigt at bemærke, at når man løser ved hjælp af Gauss-metoden, indikerer tilstedeværelsen i matrixen af mindst én nul række med en IKKE-nul højre side (søjle med frie termer) inkonsistensen af systemet. I dette tilfælde eksisterer der ikke en løsning på det lineære system.
For bedst at forstå, hvordan den Gaussiske algoritme fungerer online, skal du indtaste et hvilket som helst eksempel, vælge "meget detaljeret løsning" og se dens løsning online.
En af de universelle og effektive metoder til løsning af lineære algebraiske systemer er Gaussisk metode , bestående i sekventiel eliminering af ukendte.
Husk, at de to systemer kaldes tilsvarende (ækvivalent), hvis mængderne af deres løsninger er sammenfaldende. Med andre ord er systemer ækvivalente, hvis hver løsning af den ene af dem er en løsning af den anden og omvendt. Tilsvarende systemer opnås når elementære transformationer systemets ligninger:
at gange begge sider af ligningen med et andet tal end nul;
tilføjelse til en ligning af de tilsvarende dele af en anden ligning, ganget med et andet tal end nul;
omarrangere to ligninger.
Lad et ligningssystem være givet
Processen med at løse dette system ved hjælp af Gauss-metoden består af to trin. I det første trin (direkte bevægelse) reduceres systemet ved hjælp af elementære transformationer til trinvist , eller trekantet form, og på det andet trin (omvendt) er der en sekventiel, startende fra det sidste variabeltal, bestemmelse af de ukendte fra det resulterende trinsystem.
Lad os antage, at koefficienten af dette system 
, ellers kan den første række i systemet byttes med en hvilken som helst anden række, så koefficienten kl 
var anderledes end nul.
Lad os transformere systemet ved at eliminere det ukendte 
i alle ligninger undtagen den første. For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med 
og tilføj led for led med systemets anden ligning. Gang derefter begge sider af den første ligning med 
og føj det til den tredje ligning i systemet. Ved at fortsætte denne proces opnår vi det tilsvarende system
Her 
– nye værdier af koefficienter og frie termer, der opnås efter det første trin.
På samme måde i betragtning af hovedelementet 
, udelukke det ukendte 
fra alle systemets ligninger undtagen den første og anden. Lad os fortsætte denne proces så længe som muligt, og som et resultat vil vi få et trinvist system
,
Hvor 
,
,…,
– hovedelementer i systemet 
.
Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår ligninger, dvs. formens ligheder 
, de kasseres, da de er opfyldt af ethvert sæt tal 
. Hvis kl 
Hvis der vises en ligning af formen, som ikke har nogen løsninger, indikerer dette systemets inkompatibilitet.
Under det omvendte slag udtrykkes den første ukendte fra den sidste ligning af det transformerede trinsystem 
gennem alle de andre ukendte 
som kaldes gratis
.
Derefter det variable udtryk 
fra den sidste ligning i systemet substitueres i den næstsidste ligning og variablen udtrykkes ud fra den 
. Variabler defineres sekventielt på en lignende måde 
. Variabler 
, udtrykt gennem frie variable, kaldes grundlæggende
(afhængig). Resultatet er en generel løsning til systemet af lineære ligninger.
At finde privat løsning
systemer, gratis ukendt 
i den generelle løsning tildeles vilkårlige værdier, og værdierne af variablerne beregnes 
.
Det er teknisk mere bekvemt at underkaste elementære transformationer ikke selve systemligningerne, men systemets udvidede matrix
.
Gauss-metoden er en universel metode, der giver dig mulighed for at løse ikke kun kvadratiske, men også rektangulære systemer, hvor antallet af ukendte 
ikke lig med antallet af ligninger 
.
Fordelen ved denne metode er også, at vi i processen med at løse samtidigt undersøger systemet for kompatibilitet, da vi har givet den udvidede matrix 
til trinvis form er det let at bestemme rækkerne af matrixen 
og udvidet matrix 
og ansøg Kronecker-Capelli teorem
.
Eksempel 2.1 Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden
Løsning. Antal ligninger 
og antallet af ukendte 
.
Lad os skabe en udvidet matrix af systemet ved at tildele koefficienter til højre for matricen 
gratis medlemmer kolonne 
.
Lad os præsentere matrixen 
til en trekantet visning; For at gøre dette får vi "0" under elementerne placeret på hoveddiagonalen ved hjælp af elementære transformationer.
For at få "0" i den anden position i den første kolonne skal du gange den første række med (-1) og tilføje den til den anden række.
Vi skriver denne transformation som tallet (-1) mod den første linje og angiver den med en pil, der går fra den første linje til den anden linje.
For at få "0" i den tredje position i den første kolonne skal du gange den første række med (-3) og lægge til den tredje række; Lad os vise denne handling ved hjælp af en pil, der går fra den første linje til den tredje.
.
I den resulterende matrix, skrevet på andenpladsen i kæden af matricer, får vi "0" i den anden kolonne i den tredje position. For at gøre dette multiplicerede vi den anden linje med (-4) og tilføjede den til den tredje. I den resulterende matrix skal du gange den anden række med (-1), og dividere den tredje med (-8). Alle elementer i denne matrix, der ligger under de diagonale elementer, er nuller.
Fordi , systemet er samarbejdende og defineret.
Ligningssystemet svarende til den sidste matrix har en trekantet form:
Fra den sidste (tredje) ligning 
. Sæt ind i den anden ligning og få 
.
Lad os erstatte 
Og 
ind i den første ligning, finder vi 
.