Cirklen i matematik er en af de vigtigste og vigtigste figurer. Det er nødvendigt for mange beregninger. Kendskab til egenskaberne ved denne figur fra skolepensum vil helt sikkert komme til nytte i livet. Omkredsen er påkrævet ved beregning af mange materialer med cirkulært tværsnit. At arbejde på tegninger, bygge et hegn nær et blomsterbed - dette vil kræve viden om en geometrisk figur og dens egenskaber.
Begrebet en cirkel og dens hovedelementer
En figur på et plan bestående af adskillige punkter placeret på lige stor afstand fra den centrale kaldes en cirkel. Et segment, der strækker sig fra midten og forbinder det med et af de punkter, der danner cirklen, kaldes en radius. En akkord er et segment, der forbinder et par punkter placeret langs omkredsen af en cirkel med hinanden. Hvis det er placeret, så det passerer gennem det centrale punkt, så er det også en diameter.
Længden af radius af en cirkel er lig med længden af diameteren, halveret. Et par divergerende punkter placeret på en cirkel deler den i to buer. Hvis et segment med ender i disse punkter passerer gennem det centrale punkt (derved er en diameter), så vil de dannede buer være halvcirkler.
Omkreds
Beregningen af omkredsen af en cirkel bestemmes på flere måder: gennem diameteren eller gennem radius. I praksis blev det opdaget, at omkredsen af en cirkel (l), når den divideres med dens diameter (d), altid giver ét tal. Dette er tallet π, som er lig med 3,141692666... Udregningen er lavet ved hjælp af formlen: π= l/d. Transformerer vi det, får vi omkredsen. Formlen er: l=πd.
For at finde den radius vi bruger følgende formel: d=2r. Dette blev muligt takket være opdeling. Radius er jo halvdelen af diameteren. Når vi har fået ovenstående værdier, kan vi ved hjælp af formlen beregne, hvad omkredsen er lig med følgende type: l=2πr.
Grundlæggende egenskaber
Arealet af en cirkel er altid større sammenlignet med arealet af andre lukkede kurver. En tangent er en linje, der kun berører cirklen i ét punkt. Hvis en linje skærer den to steder, så er det en sekant. Det punkt, hvor 2 forskellige cirkler rører hinanden, er altid på en linje, der går gennem deres midtpunkter. Cirkler, der skærer hinanden på et plan, er dem, der har 2 fælles punkter. Vinklen mellem dem beregnes som den vinkel, der dannes af tangenterne til kontaktpunkterne.
Hvis der gennem et punkt, der ikke er et punkt på en cirkel, tegnes to lige linjer, der sekanterer til det, vil vinklen dannet af dem være lig med forskellen i længderne af buerne, halveret. Denne regel gælder også i det modsatte tilfælde, når vi taler om omkring to akkorder. To krydsende akkorder danner en vinkel lig med summen buelængder reduceret til det halve. Buer i en sådan situation vælges i givet hjørne og hjørnet modsatte. Optisk egenskab cirkel siger følgende: lysstråler, der reflekteres fra spejle placeret rundt om cirklen, samles tilbage til dens centrum. I I dette tilfælde lyskilden skal installeres i midten af cirklen.
\[(\Large(\tekst(Central og indskrevne vinkler)))\]
Definitioner
En central vinkel er en vinkel, hvis toppunkt ligger i midten af cirklen.
En indskrevet vinkel er en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel.
Gradmålet for en cirkelbue er gradmålet midtervinkel som hviler på det.
Sætning
Gradmålet for en indskrevet vinkel er lig med halvdelen af gradmålet for den bue, den hviler på.
Bevis
Vi vil udføre beviset i to trin: For det første vil vi bevise gyldigheden af udsagnet for det tilfælde, hvor en af siderne af den indskrevne vinkel indeholder en diameter. Lad punktet \(B\) være toppunktet for den indskrevne vinkel \(ABC\) og \(BC\) være diameteren af cirklen:
Trekant \(AOB\) er ligebenet, \(AO = OB\) , \(\vinkel AOC\) er ekstern, så \(\vinkel AOC = \vinkel OAB + \vinkel ABO = 2\vinkel ABC\), hvor \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Overvej nu en vilkårlig indskrevet vinkel \(ABC\) . Lad os tegne diameteren af cirklen \(BD\) fra toppunktet af den indskrevne vinkel. Der er to mulige tilfælde:
1) diameteren skærer vinklen i to vinkler \(\angle ABD, \angle CBD\) (for hver af dem er sætningen sand som bevist ovenfor, derfor gælder den også for den oprindelige vinkel, som er summen af disse to og derfor lig med halvdelen af summen af de buer, som de er afhængige af, dvs lig med halvdelen bue, som den hviler på). Ris. 1.
2) diameteren skar ikke vinklen i to vinkler, så har vi yderligere to nye indskrevne vinkler \(\angle ABD, \angle CBD\), hvis side indeholder diameteren, derfor er sætningen sand for dem, så gælder også for den oprindelige vinkel (som er lig med forskellen mellem disse to vinkler, hvilket betyder, at den er lig med halvforskellen af de buer, de hviler på, dvs. lig med halvdelen af den bue, den hviler på) . Ris. 2.
Konsekvenser
1. Indskrevne vinkler, der spænder over den samme bue, er ens.
2. En indskrevet vinkel, der er underspændt af en halvcirkel, er en ret vinkel.
3. En indskrevet vinkel er lig med halvdelen af midtervinklen, der er dækket af den samme bue.
\[(\Large(\tekst(Tangent til cirklen)))\]
Definitioner
Der er tre typer relativ position lige linje og cirkel:
1) lige linje \(a\) skærer cirklen i to punkter. En sådan linje kaldes en sekantlinje. I dette tilfælde er afstanden \(d\) fra centrum af cirklen til den rette linje mindre end radius \(R\) af cirklen (fig. 3).
2) lige linje \(b\) skærer cirklen i et punkt. Sådan en linje kaldes en tangent, og deres fælles punkt \(B\) kaldes tangenspunktet. I dette tilfælde \(d=R\) (fig. 4).
Sætning
1. En tangent til en cirkel er vinkelret på radius tegnet til tangenspunktet.
2. Hvis en linje går gennem enden af en cirkels radius og er vinkelret på denne radius, så er den tangent til cirklen.
Følge
Tangentsegmenterne tegnet fra et punkt til en cirkel er ens.
Bevis
Lad os tegne to tangenter \(KA\) og \(KB\) til cirklen fra punktet \(K\):
Det betyder, at \(OA\perp KA, OB\perp KB\) er som radier. retvinklede trekanter\(\trekant KAO\) og \(\trekant KBO\) er lige store i ben og hypotenus, derfor \(KA=KB\) .
Følge
Centret af cirklen \(O\) ligger på halveringslinjen for vinklen \(AKB\) dannet af to tangenter tegnet fra samme punkt \(K\) .
\[(\Large(\tekst(Sætninger relateret til vinkler)))\]
Sætning om vinklen mellem sekanter
Vinklen mellem to sekanter tegnet fra samme punkt er lig med den halve forskel i gradmål af de større og mindre buer, de skærer.
Bevis
Lad \(M\) være det punkt, hvorfra to sekanter tegnes som vist på figuren:
Lad os vise det \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\vinkel DAB\) – udvendigt hjørne trekant \(MAD\) , så \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), hvor \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), men vinklerne \(\angle DAB\) og \(\angle MDA\) er indskrevet, så \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), hvilket var det, der skulle bevises.
Sætning om vinklen mellem krydsende akkorder
Vinklen mellem to krydsende akkorder er lig med halvdelen af summen af gradmålene for de buer, de skærer: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Bevis
\(\angle BMA = \angle CMD\) som lodret.
Fra trekant \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Men \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), hvoraf vi konkluderer \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smil\over(CD)).\]
Sætning om vinklen mellem en akkord og en tangent
Vinklen mellem tangenten og akkorden, der passerer gennem tangenspunktet, er lig med halvdelen af gradmålet for den bue, der er underspændt af akkorden.
Bevis
Lad den rette linje \(a\) røre ved cirklen ved punktet \(A\), \(AB\) er akkorden i denne cirkel, \(O\) er dens centrum. Lad linjen indeholdende \(OB\) skære \(a\) i punktet \(M\) . Lad os bevise det \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Lad os betegne \(\vinkel OAB = \alpha\) . Da \(OA\) og \(OB\) er radier, så \(OA = OB\) og \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Dermed, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Da \(OA\) er radius tegnet til tangentpunktet, så er \(OA\perp a\), det vil sige \(\angle OAM = 90^\circ\), derfor, \(\vinkel BAM = 90^\cirkel - \vinkel OAB = 90^\cirkel - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Sætning om buer underspændt af lige akkorder
Lige akkorder spænder lige store buer, mindre halvcirkler.
Og omvendt: lige buer er dæmpet af lige akkorder.
Bevis
1) Lad \(AB=CD\) . Lad os bevise, at de mindre halvcirkler af buen.
På tre sider derfor \(\vinkel AOB=\vinkel COD\) . Men fordi \(\angle AOB, \angle COD\) - centrale vinkler understøttet af buer \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) i overensstemmelse hermed altså \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Hvis \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), At \(\trekant AOB=\trekant COD\) på to sider \(AO=BO=CO=DO\) og vinklen mellem dem \(\vinkel AOB=\vinkel COD\) . Derfor og \(AB=CD\) .
Sætning
Hvis radius halverer akkorden, så er den vinkelret på den.
Det omvendte er også sandt: Hvis radius er vinkelret på akkorden, så halverer den den i skæringspunktet.
Bevis
1) Lad \(AN=NB\) . Lad os bevise, at \(OQ\perp AB\) .
Overvej \(\trekant AOB\): det er ligebenet, fordi \(OA=OB\) – radius af cirklen. Fordi \(ON\) er medianen trukket til basen, så er det også højden, derfor \(ON\perp AB\) .
2) Lad \(OQ\perp AB\) . Lad os bevise, at \(AN=NB\) .
På samme måde er \(\trekant AOB\) ligebenet, \(ON\) er højden, derfor er \(ON\) medianen. Derfor \(AN=NB\) .
\[(\Large(\tekst(Sætninger relateret til længderne af segmenter)))\]
Sætning om produktet af akkordsegmenter
Hvis to akkorder i en cirkel skærer hinanden, så er produktet af segmenterne i den ene akkord lig med produktet af segmenterne i den anden akkord.
Bevis
Lad akkorderne \(AB\) og \(CD\) skære hinanden i punktet \(E\) .
Overvej trekanter \(ADE\) og \(CBE\) . I disse trekanter er vinklerne \(1\) og \(2\) lige store, da de er indskrevet og hviler på den samme bue \(BD\), og vinklerne \(3\) og \(4\) er lige store som lodret. Trekanter \(ADE\) og \(CBE\) er ens (baseret på det første kriterium for trekanters lighed).
Derefter \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), hvorfra \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Tangent- og sekantsætning
Kvadrat af tangentsegment lig med produktet sekanter til dens ydre del.
Bevis
Lad tangenten passere gennem punktet \(M\) og berør cirklen ved punktet \(A\) . Lad sekanten passere gennem punktet \(M\) og skær cirklen i punkterne \(B\) og \(C\) således at \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Overvej trekanterne \(MBA\) og \(MCA\) : \(\vinkel M\) er almindelig, \(\vinkel BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Ifølge sætningen om vinklen mellem en tangent og en sekant, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Således er trekanter \(MBA\) og \(MCA\) ens i to vinkler.
Fra ligheden mellem trekanter \(MBA\) og \(MCA\) har vi: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), hvilket svarer til \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Følge
Produktet af en sekant tegnet fra punktet \(O\) af dens ydre del afhænger ikke af valget af sekanten tegnet fra punktet \(O\) .
“Og jeg blev forelsket i cirklen og slog mig ned på den.”
Informations- og uddannelsesprojekt.
Emne: cirkel
Projektmål: At studere egenskaber, typer forskellige kredse og sætninger forbundet med dem.
Jeg begyndte mit arbejde med at studere egenskaberne af en cirkel i et skolegeometrikursus ved hjælp af A.V. Pogorelovs lærebog "Geometry 7-9" og materiale derudover skoleforløb. Ved indsamling af oplysninger fra forskellige kilder og mens jeg arbejdede på projektet, udvidede jeg min viden og vil fortsætte med at studere dette emne og dele viden med klassekammerater og alle, der er interesserede.
Cirkel - sted punkter i planet med samme afstand fra et givet punkt, kaldet centrum, i en given afstand, der ikke er nul, kaldet dets radius. Ond cirkel uden intern plads. 
Andre definitioner
En cirkel med diameter AB er en figur, der består af punkterne A, B og alle punkter i planet, hvorfra segment AB er synligt i rette vinkler.
En cirkel er en figur, der består af alle punkter i planet, for hver af hvilke forholdet mellem afstandene og to givne punkter er det samme givet nummer, forskellig fra enhed. (se Circle of Apollonius)
Også en figur bestående af alle sådanne punkter, for hver af hvilke summen af kvadraterne af afstandene til to givne punkter er lig med givet værdi, mere end halvdelen kvadratet af afstanden mellem disse punkter.
Radius- ikke kun afstanden, men også et segment, der forbinder midten af cirklen med et af dens punkter.
Et segment, der forbinder to punkter på en cirkel, kaldes dets akkord. En akkord, der går gennem midten af en cirkel kaldes diameter.
Cirklen kaldes enkelt, hvis dens radius lig med én. Enhedscirklen er et af hovedobjekterne for trigonometri.
Alle to divergerende punkter på en cirkel deler den i to dele. Hver af disse dele kaldes en cirkelbue. Buen kaldes halvcirkel, hvis segmentet, der forbinder dets ender, er en diameter.
Ptolemæus' sætning.
Claudius Ptolemæus(), som levede i slutningen af det første - begyndelsen af det andet århundrede e.Kr., var en oldgræsk astronom, matematiker, astrolog, geograf, optiker og musikteoretiker. Han er kendt som kommentator på Euklid. Ptolemæus forsøgte at bevise det berømte femte postulat. Ptolemæus' hovedværk er "Almagest", hvor han præsenterede information om astronomi. Inkluderet "Almagest" og et katalog over stjernehimlen.
Ptolemæus' sætning. En cirkel kan beskrives omkring en firkant, hvis og kun hvis produktet af dens diagonaler er lig med summen af produkterne af dens modsatte sider.
Bevis for nødvendighed. Da en firkant er indskrevet i en cirkel, så
Fra trekanten finder vi ved hjælp af cosinussætningen
På samme måde fra en trekant:
Summen af disse cosinus er nul:
Herfra udtrykker vi:
Lad os se på trekanterne og finde:
Q.E.D.
Undervejs beviste vi endnu et udsagn. For en firkant indskrevet i en cirkel,
Bevis for tilstrækkelighed. Lad ligestillingen holde
Lad os bevise, at en cirkel kan omskrives omkring en firkant.
Lad os betegne med radius af cirklen beskrevet omkring . Fra et punkt falder vi vinkelrette på linjer og og og betegner disse linjers skæringspunkter og vinkelrette på dem gennem hhv. Ved at bruge Sins-sætningen for en trekant får vi (diameteren af den omskrevne cirkel for denne trekant er lig med):
Ved sinusloven for en trekant har vi
Derfor,
På samme måde, når vi betragter trekanter, får vi relationerne
Derfor har vi erstattet disse udtryk med den oprindelige lighed
hvoraf det følger, at punkterne og ligger på samme rette linie.
Lad os nu bevise, at det følger af dette, at en cirkel kan beskrives omkring en firkant ( tilstrækkelig stand Simsons teorem).
Lad os konstruere cirkler på segmenter og som på diametre. Den første af dem passerer gennem punkterne og (vinkler og lige linjer), og den anden - gennem punkterne og ( 
). Vinkler og er lig med lodrette vinkler, hvilket betyder, at , og derfor . Herfra , og der kan tegnes en cirkel rundt om firkanten.
Eulers formel opkaldt efter Leonhard Euler, der introducerede det, og relaterer den komplekse eksponent til trigonometriske funktioner. 
Eulers formel angiver det for ethvert reelt tal x følgende ligestilling gælder:
Hvor e- base naturlig logaritme,
jeg- imaginær enhed.
Vinklen dannet af en cirkelbue, der er lig med radius i længden, tages som 1 radian
Længden af en enhedshalvcirkel er angivet med π.
Det geometriske sted for punkter i planet, hvorfra afstanden til et givet punkt ikke er større end en given afstand, der ikke er nul, kaldes Over det hele .
En ret linje, der har præcis ét fælles punkt med en cirkel, kaldes tangent til en cirkel, og deres fælles punkt kaldes linjens og cirklens tangency point.
En lige linje, der går gennem to forskellige punkter på en cirkel kaldes sekant
.
Central vinkel - en vinkel med et toppunkt i midten af cirklen. Den centrale vinkel er lig med gradmålet for den bue, den hviler på.
I dette tilfælde er vinkel AOB central. 
Indskrevet vinkel
- en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer denne cirkel. Den indskrevne vinkel er lig med halvdelen af gradmålet af den bue, den hviler på. I dette tilfælde vinkel ABC er indskrevet. 
To cirkler har generelt center, hedder koncentrisk
.
To cirkler, hvis radier skærer hinanden i rette vinkler, kaldes
ortogonal.
Omkreds: C = 2∙π∙R = π∙D
Cirkelradius: R = C/(2∙π) = D/2
Cirkeldiameter: D = C/π = 2∙R
To cirkler givet ved ligninger:
er koncentriske (det vil sige har et fælles centrum), hvis og kun hvis A1 = A2 og B1 = B2.
To cirkler er ortogonale (det vil sige skærende i rette vinkler), hvis og kun hvis betingelsen
Indskrevet cirkel
En cirkel kaldes indskrevet i en vinkel, hvis den ligger inde i vinklen og rører dens sider. Centrum af en cirkel indskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen af denne vinkel.
En cirkel siges at være indskrevet i konveks polygon hvis hun ligger inde givet polygon og rører ved alle lige linjer, der går igennem den sider.
I en trekant
Egenskaber for den indskrevne cirkel:
halveringslinjen af T er de vinkelrette halveringslinjer af T 1
Lad T 2 - ortotrekant T 1 . Så er dens sider parallelle med siderne af den oprindelige trekant T.
Lad T 3 - midterste trekant T 1 . Så er halveringslinjen af T højden af T 3 .
Hver trekant kan passe til en cirkel, og kun én.
Hvis en linje, der går gennem punkt O parallelt med side AB, skærer siderne BC og CA i punkterne A 1 og B 1 , At EN 1 B 1 = EN 1 B + AB 1 .
Tangentpunkterne i en cirkel indskrevet i en trekant T er forbundet med segmenter - en trekant T opnås 1
Centrum O af incirkelen kaldes incenter; det er lige langt fra alle sider og er skæringspunktet for trekantens halveringslinjer.
Radius af en cirkel indskrevet i en trekant er lig med
I en polygon
Hvis en cirkel kan indskrives i en given konveks polygon, så skærer halveringslinjen for alle vinkler af den givne polygon hinanden i et punkt, som er midten af den indskrevne cirkel.
Radius af en cirkel indskrevet i en polygon lig med forholdet dets areal til semiperimeter
Omskrevet cirkel.
Omkreds
- en cirkel, der indeholder alle hjørnerne af en polygon. Centrum er et punkt (normalt betegnet
O
) skæringen af vinkelrette halveringslinjer på polygonens sider.
Ejendomme
Circumcenter konveks n-gon ligger i skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer til dens sider. Som en konsekvens: hvis en cirkel er omskrevet ved siden af en n-gon, så skærer alle de vinkelrette halveringslinjer på dens sider i et punkt (cirklens centrum).
Omkring enhver regulær polygon Du kan beskrive en cirkel, og kun én.
For en trekant
:
Omkring enhver trekant kan du beskrive en cirkel, og kun én. Dens centrum vil være skæringspunktet vinkelrette halveringslinjer.
U spids trekant midten af den omskårne cirkel ligger inde i trekanten, for en stump trekant ligger den uden for trekanten, og for en rektangulær cirkel ligger den i midten af hypotenusen.
3 af 4 cirkler afgrænset omkring de mediale trekanter (dannet de midterste linjer i trekanten) skærer hinanden i et punkt inde i trekanten. Dette punkt er omkredsen af hovedtrekanten.
Centret af cirklen afgrænset om trekanten tjener som ortocenter trekant med toppunkter i midtpunkterne af siderne i den givne trekant.
Afstand fra trekantens toppunkt til ortocenter to gange afstanden fra centrum omkredse til den modsatte side.
Radius
Radius af den omskrevne cirkel kan findes ved hjælp af formlerne
Hvor:
-en , b , c - sider af trekanten,
α - vinkel modsat siden -en ,
S - areal af en trekant.
Placering af det omskrevne center
Lad radiusvektorerne for trekantens hjørner være radiusvektoren for midten af den omskrevne cirkel. Derefter
Hvor
Omskæringsligning
Lad koordinaterne for trekantens hjørner i nogle Cartesisk system koordinater på flyet, 
- koordinater for midten af den omskrevne cirkel. Derefter
og ligningen for den omskrevne cirkel har formen
For punkter, der ligger inde i cirklen, er determinanten negativ, og for punkter uden for den er den positiv.
Eulers formel: Hvis d - afstanden mellem centrum af de indskrevne og omskrevne cirkler og deres radier er lige store r Og R i overensstemmelse hermed altså d 2 = R 2 − 2 Rr .
For en firkant.
En indskrevet simpel (uden selvskæring) firkant er nødvendigvis konveks.
En cirkel kan beskrives omkring en konveks firkant, hvis og kun hvis summen af dens indre modsatte hjørner lig med 180° (π radianer).
Du kan beskrive en cirkel omkring:
ethvert rektangel ( særlig situation firkant)
enhver ligebenet trapez
For en firkant indskrevet i en cirkel er produktet af længderne af diagonalerne lig med summen af produkterne af længderne af par af modsatte sider:
|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Apollonius' kreds - det geometriske sted for punkter på planet, forholdet mellem afstandene, hvorfra til to givne punkter er en konstant værdi, ikke lig med enhed.
Bipolære koordinater - ortogonalt system koordinater på et plan, baseret på Apollonius-cirkler.
Lad to point gives på flyet EN Og B . Lad os overveje alle punkter P dette fly, for hver af dem
,
Hvor
k
- fast positivt tal. På
k
= 1 disse punkter udfylder midten vinkelret på segmentet
AB
; i andre tilfælde kaldes den angivne geometriske placering en cirkel
Apollonius cirkel
.
Cirkler af Apollonius. Hver blå cirkel skærer hver rød cirkel i rette vinkler. Hver rød cirkel passerer gennem to punkter (C og D), og hver blå cirkel omgiver kun et af disse punkter
Radius af Apollonius' cirkler er
:
Enhedscirkel er en cirkel med radius 1 og centrum ved origo. Begrebet en enhedscirkel kan let generaliseres til n-dimensionelt rum ( n 2). I dette tilfælde bruges udtrykket "enhedssfære".
For alle punkter på cirklen er det gyldigt at være enig med Pythagoras sætning: x 2 + y 2 = 1.
Forveksle ikke udtrykkene "cirkel" og "cirkel"!
Cirkel på givet afstand fra et givet punkt, på et plan - en kurve.
Cirkel - geometrisk lokus af punkter placeret ikke længere end en cirkel , på et plan - en figur.
Også et udsnit af algebra, såsom trigonometri, kan tilskrives enhedscirklen.
Trigonometri.
Sinus og cosinus kan beskrives på følgende måde: forbinder ethvert punkt (
x
,
y
) på enhedscirklen med origo (0,0) får vi et segment placeret i en vinkel α i forhold til abscissens positive halvakse. Så sandelig:
cos α = x
sin α = y
Substitution af disse værdier i ovenstående ligning x 2 + y 2 = 1, vi får:
cos 2 α + sin 2 α = 1
Bemærk den almindelige stavemåde cos 2 x = (cos x ) 2 .
Frekvensen er også tydeligt beskrevet her. trigonometriske funktioner, da segmentets vinkel ikke afhænger af antallet af " fulde omdrejninger»:
synd( x + 2 π k ) = synd( x )
fordi( x + 2 π k ) = cos( x )
for alle heltal k , med andre ord, k hører til Z .
Kompleks fly.
I det komplekse plan enhedscirkel beskriver sættet:
En masse G opfylder betingelserne for en multiplikativ gruppe (med et neutralt element e jeg 0 = 1).
Sekantsætningen - Planimetrisætning. Formuleret som følger:
Hvis to sekanter tegnes fra et punkt, der ligger uden for cirklen, så er produktet af den ene sekant og dens ydre del lig med produktet af den anden sekant og dens ydre del.
Hvis vi oversætter denne erklæring til bogstaver (ifølge figuren til højre), får vi følgende:
Et særligt tilfælde af sekantsætningen er Tangent- og sekantsætning:
Hvis en tangent og en sekant tegnes til en cirkel fra et punkt, så er produktet af hele sekanten og dens ydre del lig med kvadratet af tangenten.
Brugte internetressourcer:
www.wikipedia.org
Og også litteratur: Geometri karakterer 7-11 Definitioner, egenskaber, metoder til løsning af opgaver i tabeller E.P. Nelin
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål såsom revision, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, V forsøg, og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt fortrolighedspraksis.
Lad os først forstå forskellen mellem en cirkel og en cirkel. For at se denne forskel er det nok at overveje, hvad begge tal er. Disse er et uendeligt antal punkter på flyet, placeret i samme afstand fra en enkelt midtpunkt. Men hvis cirklen også består af indre rum, så hører den ikke til cirklen. Det viser sig, at en cirkel både er en cirkel, der begrænser den (cirkel(r)), og et utalligt antal punkter, der er inde i cirklen.
For ethvert punkt L, der ligger på cirklen, gælder ligheden OL=R. (Længden af segmentet OL er lig med radius af cirklen).
Et segment, der forbinder to punkter på en cirkel, er dets akkord.
En akkord, der går direkte gennem midten af en cirkel er diameter denne cirkel (D). Diameteren kan beregnes ved hjælp af formlen: D=2R
Omkreds beregnet med formlen: C=2\pi R
Arealet af en cirkel: S=\pi R^(2)
Cirkelbue kaldes den del af den, der er placeret mellem dens to punkter. Disse to punkter definerer to cirkelbuer. Akkord-cd'en har to buer: CMD og CLD. Identiske akkorder har lige store buer.
Central vinkel En vinkel der ligger mellem to radier kaldes.
Buens længde kan findes ved hjælp af formlen:
- Ved brug af gradsmål: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Brug af radianmål: CD = \alpha R
Diameteren, som er vinkelret på akkorden, deler akkorden og de buer, der er kontraheret af den, i to.
Hvis akkorderne AB og CD i cirklen skærer hinanden i punktet N, så er produkterne af segmenterne af akkorderne adskilt af punktet N lig med hinanden.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangent til en cirkel
Tangent til en cirkel Det er sædvanligt at kalde en ret linje, der har ét fælles punkt med en cirkel.
Hvis en linje har to fælles punkter, kaldes den sekant.
Hvis du tegner radius til tangentpunktet, vil den være vinkelret på tangenten til cirklen.
Lad os tegne to tangenter fra dette punkt til vores cirkel. Det viser sig, at tangentsegmenterne vil være lig med hinanden, og midten af cirklen vil være placeret på halveringslinjen af vinklen med toppunktet på dette punkt.
AC = CB
Lad os nu tegne en tangent og en sekant til cirklen fra vores punkt. Vi opnår, at kvadratet af længden af tangentsegmentet vil være lig med produktet af hele sekantsegmentet og dets ydre del.
AC^(2) = CD \cdot BC
Vi kan konkludere: produktet af et helt segment af den første sekant og dens ydre del er lig med produktet af et helt segment af den anden sekant og dens ydre del.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Vinkler i en cirkel
Gradmålene for den centrale vinkel og den bue, den hviler på, er lige store.
\angle COD = \kop CD = \alpha ^(\circ)
Indskrevet vinkel er en vinkel, hvis toppunkt er på en cirkel, og hvis sider indeholder akkorder.
Du kan beregne det ved at kende størrelsen af buen, da den er lig med halvdelen af denne bue.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Baseret på en diameter, indskrevet vinkel, ret vinkel.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Indskrevne vinkler, der ligger under den samme bue, er identiske.
Indskrevne vinkler, der hviler på en akkord, er identiske, eller deres sum er lig med 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
På den samme cirkel er hjørnerne af trekanter med identiske vinkler og en given base.
En vinkel med et toppunkt inde i en cirkel og placeret mellem to akkorder er identisk med halvdelen af summen vinkelværdier buer af en cirkel, der er indeholdt inden for en given og lodret vinkel.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \venstre (\kop DmC + \kop AlB \right)
En vinkel med et toppunkt uden for cirklen og placeret mellem to sekanter er identisk med halvdelen af forskellen i vinkelværdierne af cirklens buer, der er indeholdt i vinklen.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \venstre (\kop DmC - \kop AlB \right)
Indskrevet cirkel
Indskrevet cirkel er en cirkel, der tangerer siderne af en polygon.
På det punkt, hvor halveringslinjen af hjørnerne af en polygon skærer hinanden, er dens centrum placeret.
En cirkel må ikke være indskrevet i hver polygon.
Arealet af en polygon med en indskrevet cirkel findes ved formlen:
S = pr,
p er polygonens halvperimeter,
r er radius af den indskrevne cirkel.
Det følger, at radius af den indskrevne cirkel er lig med:
r = \frac(S)(p)
Summen af længderne af modstående sider vil være identiske, hvis cirklen er indskrevet i konveks firkant. Og omvendt: en cirkel passer ind i en konveks firkant, hvis summen af længderne af modstående sider er identiske.
AB + DC = AD + BC
Det er muligt at indskrive en cirkel i enhver af trekanterne. Kun en enkelt. På det punkt, hvor halveringslinjerne skærer hinanden indvendige hjørner figur, vil midten af denne indskrevne cirkel ligge.
Radius af den indskrevne cirkel beregnes med formlen:
r = \frac(S)(p) ,
hvor p = \frac(a + b + c)(2)
Omkreds
Hvis en cirkel passerer gennem hvert hjørne af en polygon, kaldes en sådan cirkel normalt beskrevet om en polygon.
I skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på siderne af denne figur vil være midten af den omskrevne cirkel.
Radius kan findes ved at beregne den som radius af cirklen, der er omskrevet omkring trekanten defineret af 3 vilkårlige hjørner af polygonen.
Spise næste tilstand: en cirkel kan kun beskrives omkring en firkant, hvis summen af dens modstående vinkler er lig med 180^( \cirkel) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Omkring enhver trekant kan du beskrive en cirkel, og kun én. Centrum af en sådan cirkel vil være placeret på det punkt, hvor de vinkelrette halveringslinjer af trekantens sider skærer hinanden.
Radius af den omskrevne cirkel kan beregnes ved hjælp af formlerne:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c er længderne af trekantens sider,
S er arealet af trekanten.
Ptolemæus' sætning
Overvej endelig Ptolemæus' sætning.
Ptolemæus' sætning siger, at produktet af diagonaler er identisk med summen af produkterne af modsatte sider af en cyklisk firkant.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)