Hvordan man konstruerer en given vinkel. Hvordan man konstruerer en vinkel svarende til en given

For at konstruere enhver tegning eller udføre plane markeringer af et emne før bearbejdning af det, er det nødvendigt at udføre en række grafiske operationer - geometriske konstruktioner.

I fig. Figur 2.1 viser en flad del - en plade. For at tegne sin tegning eller markere en kontur på en stålstrimmel til efterfølgende fremstilling, skal du gøre det på konstruktionsplanet, de vigtigste er nummereret med tal skrevet på pilene. I tal 1 angiver konstruktionen af indbyrdes vinkelrette linier, som skal udføres flere steder, med tallet 2 – tegning af parallelle linjer i tal 3 – parring af disse parallelle linjer med en bue med en vis radius, et tal 4 – konjugering af en bue og en lige bue givet radius, som i I dette tilfælde lig med 10 mm, nummer 5 – parring af to buer med en bue med en vis radius.

Som et resultat af udførelse af disse og andre geometriske konstruktioner vil delens kontur blive tegnet.

Geometrisk konstruktion er en metode til at løse et problem, hvor svaret opnås grafisk uden beregninger. Konstruktioner udføres med tegne- (eller markerings)værktøjer så omhyggeligt som muligt, fordi nøjagtigheden af løsningen afhænger af dette.

Linjer, givet af betingelser opgaver, såvel som konstruktioner, udføres som solide subtile, og resultaterne af konstruktion udføres som solide grundlæggende.

Når du begynder at lave en tegning eller markering, skal du først bestemme, hvilken af de geometriske konstruktioner, der skal anvendes i dette tilfælde, dvs. analysere den grafiske sammensætning af billedet.

Ris. 2.1.

Analyse af billedets grafiske sammensætning kaldet processen med at opdele udførelsen af en tegning i separate grafiske operationer.

At identificere de operationer, der kræves for at konstruere en tegning, gør det lettere at vælge, hvordan den skal udføres. Hvis du skal tegne f.eks. pladen vist i fig. 2.1, så fører analyse af konturen af dets billede os til den konklusion, at vi skal anvende følgende geometriske konstruktioner: i fem tilfælde, tegn indbyrdes vinkelrette midterlinjer (figur 1 i en cirkel), i fire tilfælde tegne parallelle linjer(nummer 2 ), tegn to koncentriske cirkler (0 50 og 70 mm), konstruer i seks tilfælde makkere af to parallelle lige linjer med buer med en given radius (figur 3 ), og i fire - parringen af en bue og en lige bue med en radius på 10 mm (figur 4 ), i fire tilfælde, konstruer en parring af to buer med en bue med radius 5 mm (nummer 5 i en cirkel).

For at udføre disse konstruktioner skal du huske eller gentage reglerne for at tegne dem fra lærebogen.

I dette tilfælde er det tilrådeligt at vælge en rationel måde at fuldføre tegningen på. Valg rationel måde at løse et problem reducerer tidsforbruget på arbejdet. For eksempel når man bygger ligesidet trekant, indskrevet i en cirkel, er en mere rationel metode at konstruere den ved hjælp af en tværstang og en firkant med en vinkel på 60° uden først at bestemme trekantens hjørner (se fig. 2.2, a, b). En mindre rationel måde at løse det samme problem på er at bruge et kompas og en tværstang med foreløbig bestemmelse af trekantens toppunkter (se fig. 2.2, V).

Opdeling af segmenter og konstruktion af vinkler

Konstruktion af rette vinkler

Det er rationelt at konstruere en 90° vinkel ved hjælp af en tværstang og en firkant (fig. 2.2). For at gøre dette er det nok at tegne en lige linje og genoprette en vinkelret på den ved hjælp af en firkant (fig. 2.2, EN). Det er rationelt at bygge en vinkelret på det skrå segment ved at bevæge sig (fig. 2.2, b) eller drejning (fig. 2.2, V) firkantet.

Ris. 2.2.

Konstruktion af stumpe og spidse vinkler

Rationelle metoder til at konstruere vinkler på 120, 30 og 150, 60 og 120, 15 og 165, 75 og 105,45 og 135° er vist i fig. 2.3, som viser placeringerne af kvadraterne til konstruktion af disse vinkler.

Ris. 2.3.

Opdeling af en vinkel i to lige store dele

Fra hjørnets toppunkt, beskriv en bue af en cirkel med vilkårlig radius (fig. 2.4).

Ris. 2.4.

Fra point ΜηΝ skæring af buen med siderne af vinklen med en kompasløsning, mere end halvdelen buer ΜΝ, lav to, der krydser hinanden i et punkt EN seriffer.

Gennem det modtagne punkt EN og vinklens toppunkt tegner en ret linje (halveringslinjen af vinklen).

Opdeling af en ret vinkel i tre lige store dele

Fra toppen ret vinkel beskriv en bue af en cirkel med vilkårlig radius (fig. 2.5). Uden at ændre kompassets vinkel skal du lave hak fra skæringspunkterne mellem buen og vinklens sider. Gennem de modtagne point M Og Ν og vinklens toppunkt er tegnet af lige linjer.

Ris. 2.5.

På denne måde kan kun rette vinkler opdeles i tre lige store dele.

Konstruere en vinkel lig med en given. Fra toppen OM givet en vinkel, tegn en bue med vilkårlig radius R, skærer vinklens sider i punkter M Og N(Fig. 2.6, EN). Tegn derefter et lige segment, som vil tjene som en af siderne af den nye vinkel. Fra punkt OM 1 på denne lige linje med samme radius R tegne en bue, få et punkt Ν 1 (fig. 2.6, b). Fra dette punkt beskriv en bue med radius R 1, lig med akkorden MN. Skæringspunktet mellem buer giver et punkt Μ 1, som er forbundet med en ret linje til toppunktet for den nye vinkel (fig. 2.6, b).

Ris. 2.6.

Opdeling af et linjestykke i to lige store dele. Fra enderne givet segment med en kompasåbning større end halvdelen af dens længde, beskriv buerne (fig. 2.7). Lige linje, der forbinder de opnåede punkter M Og Ν, deler et segment i to lige store dele og er vinkelret på det.

Ris. 2.7.

Konstruktion af en vinkelret for enden af et lige linjestykke. Fra et vilkårligt punkt O taget over segmentet AB, beskriv en cirkel, der går gennem et punkt EN(enden af et linjestykke) og skærer linjen i punktet M(Fig. 2.8).

Ris. 2.8.

Gennem det modtagne punkt M og center OM cirkler tegner en lige linje, indtil de mødes modsatte side cirkel i et punkt N. Fuldt stop N forbinde en lige linje til et punkt EN.

At dividere et linjestykke med et vilkårligt tal lige dele. Fra enhver ende af et segment, for eksempel fra et punkt EN, tegne en lige linje i en spids vinkel til den. På den lagde de sig med et målekompas det rigtige nummer lige store segmenter af vilkårlig størrelse (fig. 2.9). Det sidste punkt er forbundet med den anden ende af det givne segment (til punktet I). Fra alle divisionspunkter skal du ved hjælp af en lineal og en firkant tegne lige linjer parallelt med den lige linje 9V, som vil opdele segmentet AB i givet nummer lige dele.

Ris. 2.9.

I fig. Figur 2.10 viser, hvordan man anvender denne konstruktion for at markere hullernes centre jævnt fordelt på en lige linje.

Når man bygger eller udvikler boligdesignprojekter, er det ofte nødvendigt at bygge en vinkel svarende til en eksisterende. Skabeloner kommer til undsætning skolekendskab geometri.

Instruktioner

En vinkel er dannet af to lige linjer, der udgår fra et punkt. Dette punkt vil blive kaldt vinklens toppunkt, og linjerne vil være siderne af vinklen.
Brug tre bogstaver til at repræsentere hjørner: en øverst, to i siderne. Vinklen navngives begyndende med bogstavet, der står på den ene side, derefter navngives bogstavet, der står i spidsen, og derefter bogstavet på den anden side. Brug andre måder at angive vinkler på, hvis du foretrækker andet. Nogle gange nævnes kun ét bogstav, som er øverst. Kan du markere vinklerne? græske bogstaver for eksempel α, β, y.
Der er situationer, hvor det er nødvendigt at tegne en vinkel, så den er lig med en allerede given vinkel. Hvis det ikke er muligt at bruge en vinkelmåler, når man konstruerer en tegning, kan man kun klare sig med lineal og kompas. Lad os sige, at på en ret linje markeret på tegningen med bogstaverne MN, skal du konstruere en vinkel i punktet K, så den er lig med vinkel B. Det vil sige, fra punkt K er det nødvendigt at tegne en ret linje, der danner en vinkel med linjen MN, som vil være lig med vinkel B.
Marker først et punkt på hver side af en given vinkel, for eksempel punkterne A og C, og forbind derefter punkterne C og A med en ret linje. Hent trekant ABC.
Konstruer nu den samme trekant på linjen MN, så dens toppunkt B er på linjen i punktet K. Brug reglen til at konstruere en trekant på tre sider. Afbryd segmentet KL fra punkt K. Det skal være lig med segmentet BC. Få L-punktet.
Fra punkt K tegnes en cirkel med en radius lig med segment BA. Fra L tegnes en cirkel med radius CA. Forbind det resulterende punkt (P) af skæringspunktet mellem to cirkler med K. Få trekant KPL, som vil være lig med trekant ABC. På denne måde får du vinkel K. Den vil være lig med vinkel B. For at gøre denne konstruktion mere bekvem og hurtigere skal du afsætte fra toppunkt B lige store segmenter, beskriv ved hjælp af en kompasåbning uden at flytte benene en cirkel med samme radius fra punktet K.

Lektionens mål:

Dannelse af evnen til at analysere det studerede materiale og færdighederne til at anvende det til at løse problemer;
Vis betydningen af de begreber, der undersøges;
Udvikling kognitiv aktivitet og uafhængighed i at erhverve viden;
At dyrke interessen for emnet og en følelse af skønhed.

Lektionens mål:

Udvikl færdigheder i at konstruere en vinkel svarende til en given vinkel ved hjælp af en målestokslineal, kompas, vinkelmåler og tegnetrekant.
Test elevernes problemløsningsevner.

Lektionsplan:

Gentagelse.
Konstruere en vinkel lig med en given.
Analyse.
Konstruktionseksempel først.
Konstruktionseksempel to.

Gentagelse.

Hjørne.

Flad vinkel- en ubegrænset geometrisk figur dannet af to stråler (sider af en vinkel), der kommer ud fra et punkt (vinkelspids).

En vinkel kaldes også en figur dannet af alle punkter i planet indesluttet mellem disse stråler (Generelt svarer to sådanne stråler til to vinkler, da de deler planet i to dele. En af disse vinkler kaldes konventionelt indre, og andet - eksternt.
Nogle gange kaldes vinklen for kortheds skyld vinkelmålet.

Der er et generelt accepteret symbol til at betegne en vinkel: , foreslået i 1634 af den franske matematiker Pierre Erigon.

Hjørne er en geometrisk figur (fig. 1), dannet af to stråler OA og OB (vinklens sider), der udgår fra et punkt O (vinklens toppunkt).

En vinkel er angivet med et symbol og tre bogstaver, der angiver enderne af strålerne og vinklens toppunkt: AOB (og toppunktets bogstav er det midterste). Vinkler måles ved mængden af rotation af stråle OA omkring toppunkt O, indtil stråle OA bevæger sig til position OB. Der er to meget brugte enheder til måling af vinkler: radianer og grader. For radianmåling af vinkler, se nedenfor i afsnittet "Arc Length", samt i kapitlet "Trigonometri".

Gradsystem til måling af vinkler.

Her er måleenheden en grad (dens betegnelse er °) - dette er en rotation af strålen med 1/360 af en fuld omdrejning. Dermed, fuld omgang stråle er lig med 360 o. En grad er opdelt i 60 minutter (symbol '); et minut – henholdsvis i 60 sekunder (betegnelse “). En vinkel på 90° (fig. 2) kaldes ret; en vinkel mindre end 90° (fig. 3) kaldes spids; en vinkel større end 90° (fig. 4) kaldes stump.

Lige linjer, der danner en ret vinkel, kaldes gensidigt vinkelrette. Hvis linjerne AB og MK er vinkelrette, så betegnes dette: AB MK.

Konstruere en vinkel lig med en given.

Før du begynder at bygge eller løse et problem, uanset emnet, skal du udføre analyse. Forstå hvad opgaven siger, læs den med omtanke og langsomt. Hvis du efter den første gang er i tvivl eller noget ikke var klart eller klart, men ikke helt, anbefales det at læse det igen. Hvis du laver en opgave i klassen, kan du spørge læreren. I Ellers din opgave, som du har misforstået, bliver måske ikke løst korrekt, eller du kan finde noget, der ikke er det, der blev krævet af dig, og det vil blive betragtet som forkert, og du bliver nødt til at lave det om. For mig - Det er bedre at bruge lidt mere tid på at studere opgaven end at lave opgaven om igen.

Analyse.

Lad a være den givne stråle med toppunkt A, og vinklen (ab) være den ønskede. Lad os vælge punkt B og C på henholdsvis strålerne a og b. Ved at forbinde punkt B og C får vi trekant ABC. I lige store trekanter de tilsvarende vinkler er ens, og derfor følger konstruktionsmetoden. Hvis vi på siderne af en given vinkel vælger punkterne C og B på en passende måde, og fra en given stråle ind i et givet halvplan konstruerer vi en trekant AB 1 C 1 lig med ABC (og dette kan gøres, hvis vi ved alle trekantens sider), så vil problemet være løst.

Ved udførelse af evt konstruktioner Vær yderst forsigtig og prøv at udføre alle konstruktioner omhyggeligt. Da eventuelle uoverensstemmelser kan resultere i en form for fejl, afvigelser, som kan føre til et forkert svar. Og hvis opgaven af denne type udføres for første gang, vil fejlen være meget svær at finde og rette.

Konstruktionseksempel først.

Lad os tegne en cirkel med centrum i denne vinkels toppunkt. Lad B og C være skæringspunkterne mellem cirklen og vinklens sider. Med radius AB tegner vi en cirkel med centrum i punktet A 1 - startpunktet for denne stråle. Lad os betegne skæringspunktet for denne cirkel med denne stråle som B 1 . Lad os beskrive en cirkel med centrum i B 1 og radius BC. Skæringspunktet C 1 af de konstruerede cirkler i det angivne halvplan ligger på siden af den ønskede vinkel.

Trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 er lige store på tre sider. Vinklerne A og A 1 er de tilsvarende vinkler for disse trekanter. Derfor er ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

For større klarhed kan du overveje de samme konstruktioner mere detaljeret.

Konstruktionseksempel to.

Opgaven tilbagestår også at afsætte en vinkel svarende til en given vinkel fra en given halvlinje til et givent halvplan.

Konstruktion.

Trin 1. Lad os tegne en cirkel med vilkårlig radius og centrerer ved toppunkt A i en given vinkel. Lad B og C være skæringspunkterne mellem cirklen og vinklens sider. Og lad os tegne segment BC.

Trin 2. Lad os tegne en cirkel med radius AB med centrum i punktet O - startpunktet for denne halvlinje. Lad os betegne skæringspunktet for cirklen med strålen som B 1 .

Trin 3. Nu beskriver vi en cirkel med centrum B 1 og radius BC. Lad punktet C 1 være skæringspunktet mellem de konstruerede cirkler i det angivne halvplan.

Trin 4. Lad os tegne en stråle fra punkt O gennem punkt C 1. Vinkel C 1 OB 1 vil være den ønskede.

Bevis.

Trekanter ABC og OB 1 C 1 er kongruente trekanter med tilsvarende sider. Og derfor er vinkler CAB og C 1 OB 1 ens.

Interessant fakta:

I tal.

I den omgivende verdens genstande lægger du først og fremmest mærke til dem enkelte ejendomme der adskiller et objekt fra et andet.

Overflod af private enkelte ejendomme slører de generelle egenskaber, der ligger i absolut alle objekter, og det er derfor altid vanskeligere at opdage sådanne egenskaber.

En af de vigtigste generelle egenskaber ved objekter er, at alle objekter kan tælles og måles. Vi afspejler dette almen ejendom objekter i talbegrebet.

Folk mestrede processen med at tælle, det vil sige talbegrebet, meget langsomt, gennem århundreder, i en vedvarende kamp for deres eksistens.

For at tælle skal man ikke kun have genstande, der kan tælles, men også allerede have evnen til at abstrahere, når man betragter disse genstande fra alle deres andre egenskaber undtagen antal, og denne evne er resultatet af en lang historisk udvikling baseret på erfaring .

Ethvert menneske lærer nu at tælle ved hjælp af tal umærkeligt i barndommen, næsten samtidig med det tidspunkt, han begynder at tale, men denne tælling, som er velkendt for os, har gennemgået en lang udviklingsvej og har taget forskellige former.

Der var engang, hvor kun to tal blev brugt til at tælle objekter: en og to. I processen med yderligere udvidelse af talsystemet blev dele involveret menneskelige legeme og først og fremmest fingrene, og hvis den slags "tal" ikke var nok, så også pinde, sten og andre ting.

N. N. Miklouho-Maclay i sin bog "Rejser" taler om en sjov tællemetode brugt af de indfødte i New Guinea:

Spørgsmål:

Definere vinkel?
Hvilke typer vinkler findes der?
Hvad er forskellen mellem diameter og radius?

Liste over anvendte kilder:

Mazur K. I. "Løsning af de vigtigste konkurrenceproblemer i matematik i samlingen redigeret af M. I. Skanavi"
Matematisk kyndige. B.A. Kordemsky. Moskva.
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: lærebog for uddannelsesinstitutioner"

Arbejdede på lektionen:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Stil et spørgsmål vedr moderne uddannelse, udtrykke en idé eller løse et presserende problem, kan du Pædagogisk forum, hvor på internationalt niveau går pædagogisk råd ny tanke og handling. At have skabt blog, Du vil ikke kun forbedre din status som kompetent lærer, men også yde et væsentligt bidrag til udviklingen af fremtidens skole. Lauget af pædagogiske ledereåbner døre for top-rangerede specialister og inviterer dem til at samarbejde om at skabe de bedste skoler i verden.

Fag > Matematik > Matematik 7. klasse

I konstruktionsproblemer vil vi overveje konstruktionen geometrisk figur hvilket kan gøres ved hjælp af lineal og kompas.

Ved hjælp af en lineal kan du:

vilkårlig lige linje;

en vilkårlig lige linje, der går gennem et givet punkt;

en ret linje, der går gennem to givne punkter.

Ved hjælp af et kompas kan du beskrive en cirkel med en given radius fra et givet centrum.

Ved hjælp af et kompas kan du plotte et segment på en given linje fra et givet punkt.

Lad os overveje de vigtigste byggeopgaver.

Opgave 1. Konstruer en trekant med givne sider a, b, c (fig. 1).

Løsning. Brug en lineal til at tegne en vilkårlig lige linje og tage på den vilkårligt punkt B. Ved hjælp af en kompasåbning lig med a beskriver vi en cirkel med centrum B og radius a. Lad C være punktet for dets skæringspunkt med linjen. Med en kompasåbning lig med c beskriver vi en cirkel fra centrum B, og med en kompasåbning lig med b beskriver vi en cirkel fra centrum C. Lad A være skæringspunktet for disse cirkler. Trekant ABC har sider lig med a, b, c.

Kommentar. For at tre lige segmenter skal fungere som sider i en trekant, er det nødvendigt, at den største af dem er mindre end summen af de to andre (og< b + с).

Opgave 2.

Løsning. Denne vinkel med toppunkt A og strålen OM er vist i figur 2.

Lad os tegne en vilkårlig cirkel med centrum i toppunktet A af den givne vinkel. Lad B og C være skæringspunkterne mellem cirklen og vinklens sider (fig. 3, a). Med radius AB tegner vi en cirkel med centrum i punktet O - startpunktet for denne stråle (fig. 3, b). Lad os betegne skæringspunktet for denne cirkel med denne stråle som C 1 . Lad os beskrive en cirkel med centrum C 1 og radius BC. Punkt B 1 i skæringspunktet mellem to cirkler ligger på siden af den ønskede vinkel. Dette følger af ligheden Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tegn på lighed i trekanter).

Opgave 3. Konstruer halveringslinjen for denne vinkel (fig. 4).

Løsning. Fra toppunktet A i en given vinkel, som fra midten, tegner vi en cirkel med vilkårlig radius. Lad B og C være punkterne for dets skæringspunkt med vinklens sider. Fra punkt B og C beskriver vi cirkler med samme radius. Lad D være deres skæringspunkt, forskelligt fra A. Stråle AD halverer vinkel A. Dette følger af ligheden Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriterium for trekanters lighed).

Opgave 4. Tegn en halveringslinje vinkelret på dette segment (fig. 5).

Løsning. Ved hjælp af en vilkårlig men identisk kompasåbning (større end 1/2 AB) beskriver vi to buer med centre i punkterne A og B, som vil skære hinanden i nogle punkter C og D. Den rette linie CD vil være den ønskede vinkelret. Som det ses af konstruktionen, er hvert af punkterne C og D faktisk lige langt fra A og B; derfor skal disse punkter ligge på den vinkelrette halveringslinje til segment AB.

Opgave 5. Dele dette segment i halv. Det løses på samme måde som opgave 4 (se fig. 5).

Opgave 6. Gennem et givet punkt tegne en linje vinkelret på den givne linje.

Løsning. Der er to mulige tilfælde:

1) givet point O ligger på en given ret linje a (fig. 6).

Fra punkt O tegner vi en cirkel med vilkårlig radius, der skærer linje a ved punkt A og B. Fra punkt A og B tegner vi cirkler med samme radius. Lad O 1 være punktet for deres skæringspunkt, forskellig fra O. Vi får OO 1 ⊥ AB. Faktisk er punkterne O og O 1 lige langt fra enderne af segmentet AB og ligger derfor på den vinkelrette halveringslinje til dette segment.