Ortogonale og ortonormale systemer.

Definition 1. ) kaldes ortogonal, hvis alle dens elementer er parvis ortogonale:

Sætning 1. Et ortogonalt system af ikke-nul vektorer er lineært uafhængigt.

(Antag, at systemet er lineært afhængigt: og for at være sikker, Lad os skalarisk gange ligheden med . Under hensyntagen til systemets ortogonalitet får vi: }

Definition 2. System af vektorer i det euklidiske rum ( ) kaldes ortonormal, hvis den er ortogonal, og normen for hvert element er lig med én.

Det følger umiddelbart af sætning 1, at et ortonormalt system af elementer altid er lineært uafhængigt. Herfra følger til gengæld, at i n– i et dimensionelt euklidisk rum et ortonormalt system af n vektorer danner et grundlag (f.eks. i, j, k ) ved 3 x– dimensionelt rum). Sådan et system kaldes ortonormalt grundlag, og dets vektorer er basisvektorer.

Koordinaterne for en vektor på ortonormal basis kan let beregnes ved hjælp af skalarproduktet: hvis Faktisk multiplicerer ligheden på , får vi den angivne formel.

Generelt er alle de grundlæggende størrelser: skalarproduktet af vektorer, længden af en vektor, cosinus af vinklen mellem vektorer osv. have den enkleste form på ortonormal basis. Lad os overveje det skalære produkt: , siden

Og alle andre led er lig med nul. Herfra får vi straks: ,

* Overvej et vilkårligt grundlag. Det skalære produkt på dette grundlag vil være lig med:

(Her α i Og β j – koordinater af vektorer i basis ( f), og er skalære produkter af basisvektorer).

Mængder y ij danne en matrix G, hedder Gram matrix. Det skalære produkt i matrixform vil se sådan ud: *

Sætning 2. I enhver n– i det dimensionelle euklidiske rum er der et ortonormalt grundlag. Beviset for sætningen er af konstruktiv karakter og kaldes

9. Gram-Schmidt ortogonaliseringsproces.

lad ( a 1,...,a n ) − vilkårligt grundlag n– dimensionelt euklidisk rum (eksistensen af et sådant grundlag skyldes n– rummets dimension). Algoritmen til at konstruere en ortonormal baseret på et givet grundlag er som følger:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, fordi (e 1, a 2)- projektion en 2 på e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1 k(e i, en k)e i, e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Ved at fortsætte processen opnår vi et ortonormalt grundlag ( e 1,...,e n }.

Note 1. Ved hjælp af den betragtede algoritme er det muligt at konstruere en ortonormal basis for enhver lineær skal, for eksempel en ortonormal basis for den lineære skal af et system, der har en rang på tre og består af femdimensionelle vektorer.

Eksempel.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Note 2. Særlige tilfælde

Gram-Schmidt-processen kan også anvendes på en uendelig sekvens af lineært uafhængige vektorer.

Derudover kan Gram-Schmidt-processen anvendes på lineært afhængige vektorer. I dette tilfælde er det problem 0 (nul vektor) ved trin j , hvis en j er en lineær kombination af vektorer a1,...,a j-1 . Hvis dette kan ske, så for at bevare ortogonaliteten af outputvektorerne og for at forhindre division med nul under ortonormalisering, skal algoritmen tjekke for nulvektorer og kassere dem. Antallet af vektorer produceret af algoritmen vil være lig med dimensionen af underrummet genereret af vektorerne (dvs. antallet af lineært uafhængige vektorer, der kan skelnes mellem de originale vektorer).

10. Geometriske vektorrum R1, R2, R3.

Lad os understrege, at kun rum har direkte geometrisk betydning

R1, R2, R3. Rummet R n for n > 3 er et abstrakt rent matematisk objekt.

1) Lad et system af to vektorer være givet -en Og b . Hvis systemet er lineært afhængigt, så lad os sige en af vektorerne -en , er lineært udtrykt gennem en anden:

-en= k b.

To vektorer forbundet med en sådan afhængighed, som allerede nævnt, kaldes collineære. Så et system med to vektorer er lineært afhængigt hvis og kun

når disse vektorer er kollineære. Bemærk, at denne konklusion ikke kun gælder for R3, men også for ethvert lineært rum.

2) Lad systemet i R3 bestå af tre vektorer a, b, c . Lineær afhængighed betyder, at en af vektorerne f.eks -en , er lineært udtrykt gennem resten:

EN= k b+ l c . (*)

Definition. Tre vektorer a, b, c i R 3, der ligger i samme plan eller parallelt med samme plan kaldes coplanar

(i figuren til venstre er vektorerne vist a, b, c fra et plan, og til højre er de samme vektorer plottet fra forskellige oprindelser og er kun parallelle med et plan).

Så hvis tre vektorer i R3 er lineært afhængige, så er de koplanære. Det omvendte er også sandt: hvis vektorerne a, b, c fra R3 er koplanære, så er de lineært afhængige.

Vektor kunstværk vektor en, til vektor b i rummet kaldes en vektor c , der opfylder følgende krav:

Betegnelse:

Overvej en ordnet tripel af ikke-koplanære vektorer a, b, c i tredimensionelt rum. Lad os kombinere oprindelsen af disse vektorer ved punktet EN(det vil sige, at vi vælger et punkt vilkårligt i rummet EN og flyt hver vektor parallelt, så dens oprindelse falder sammen med punktet EN). Enderne af vektorer kombineret med deres begyndelse i et punkt EN, ikke ligger på samme linje, da vektorerne er ikke-koplanære.

Bestilt tredobbelt af ikke-koplanære vektorer a, b, c i tredimensionelt rum kaldes højre, hvis fra slutningen af vektoren c korteste sving fra en vektor -en til vektor b synlig for iagttageren mod uret. Omvendt, hvis den korteste tur ses med uret, så kaldes triplen venstre.

En anden definition er relateret til højre hånd person (se billede), hvor navnet kommer fra.

Alle højrehåndede (og venstrehåndede) tripler af vektorer kaldes identisk orienterede.

Lige til nul:

Et ortogonalt system, hvis det er komplet, kan bruges som grundlag for plads. I dette tilfælde kan nedbrydningen af ethvert element beregnes ved hjælp af formlerne: , hvor .

Tilfældet, hvor normen for alle elementer kaldes et ortonormalt system.

Ortogonalisering

Ethvert komplet lineært uafhængigt system i et endeligt-dimensionelt rum er et grundlag. Fra et simpelt grundlag kan man derfor gå til et ortonormalt grundlag.

Ortogonal nedbrydning

Ved nedbrydning af vektorerne i et vektorrum efter et ortonormalt grundlag forenkles beregningen af skalarproduktet: , hvor og .

se også

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Ortogonalt system" er i andre ordbøger:

1) Åh... Matematisk encyklopædi

- (græsk orthogonios rektangulær) et endeligt eller tælleligt system af funktioner, der hører til det (adskillelige) Hilbert-rum L2(a,b) (kvadratisk integrerbare funktioner) og opfylder betingelserne F tion g(x) kaldet. vejer O. s. f.,* betyder... ... Fysisk encyklopædi

System af funktioner??n(x)?, n=1, 2,..., specificeret på segmentet ORTHOGONAL TRANSFORMATION lineær transformation af euklidisk vektorrum, bevarer uændrede længder eller (som svarer til dette) skalarprodukter af vektorer . .. Stor encyklopædisk ordbog

Et system af funktioner (φn(x)), n = 1, 2, ..., defineret på intervallet [a, b] og som opfylder følgende ortogonalitetsbetingelse: for k≠l, hvor ρ(x) er en funktion kaldet vægt. For eksempel er det trigonometriske system 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... encyklopædisk ordbog

Et system af funktioner ((фn(х)), n=1, 2, ..., defineret på intervallet [a, b] og som opfylder sporet, ortogonalitetsbetingelsen for k er ikke lig med l, hvor p(x) ) er en bestemt funktion kaldet vægt. For eksempel trigonometrisk system 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. med vægt... ... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

System af funktioner ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalt med vægten ρ (x) på segmentet [a, b], dvs. sådan at Eksempler. Trigonometrisk system 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. med vægt 1 på segmentet [π, π]. Bessel... Store sovjetiske encyklopædi

Ortogonale koordinater er dem, hvor den metriske tensor har en diagonal form. hvor d I ortogonale koordinatsystemer q = (q1, q², …, qd) er koordinatfladerne ortogonale i forhold til hinanden. Især i det kartesiske koordinatsystem... ... Wikipedia

ortogonalt multikanalsystem- - [L.G. Sumenko. Engelsk-russisk ordbog om informationsteknologi. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Emner informationsteknologi generelt EN ortogonal multiplex ...

koordinatsystem for et (fotogrammetrisk) billede- Højre ortogonalt rumligt koordinatsystem, fikseret på et fotogrammetrisk billede af billeder af referencemærker. [GOST R 51833 2001] Emner: fotogrammetri... Teknisk oversættervejledning

system- 4.48-system: En kombination af interagerende elementer organiseret for at opnå et eller flere specificerede mål. Note 1 Et system kan betragtes som et produkt eller de tjenester, det leverer. Note 2 I praksis... ... Ordbogsopslagsbog med vilkår for normativ og teknisk dokumentation

Definition. Vektorer-en Ogb kaldes ortogonale (vinkelrette) på hinanden, hvis deres skalarprodukt er lig med nul, dvs.-en × b = 0.

For ikke-nul vektorer -en Og b ligheden af det skalære produkt til nul betyder, at cos j= 0, dvs. . Nulvektoren er ortogonal til enhver vektor, fordi -en × 0 = 0.

Dyrke motion. Lad og være ortogonale vektorer. Så er det naturligt at betragte diagonalen af et rektangel med sider og . Bevis det

de der. kvadratet af længden af diagonalen af et rektangel er lig med summen af kvadraterne af længderne af dets to ikke-parallelle sider(Pythagoras sætning).

Definition. Vektor system-en 1 ,…, -en m kaldes ortogonal, hvis to vektorer i dette system er ortogonale.

Således for et ortogonalt system af vektorer -en 1 ,…,-en m ligheden er sand: -en jeg × -en j= 0 kl jeg¹ j, jeg= 1,…, m; j= 1,…,m.

Sætning 1.5. Et ortogonalt system bestående af vektorer uden nul er lineært uafhængigt. .

□ Vi udfører beviset ved modsigelse. Antag, at det ortogonale system af vektorer, der ikke er nul -en 1 , …, -en m lineært afhængig. Derefter

l 1 -en 1 + …+ l m-en m= 0 , hvori . (1,15)

Lad f.eks. l 1 ¹ 0. Gang med -en 1 begge sider af ligestilling (1,15):

l 1 -en 1× -en 1 + …+ l m -en m × -en 1 = 0.

Alle led undtagen den første er lig med nul på grund af systemets ortogonalitet -en 1 , …, -en m. Så l 1 -en 1× -en 1 = 0, som følger -en 1 = 0 , hvilket strider mod betingelsen. Vores antagelse viste sig at være forkert. Dette betyder, at det ortogonale system af vektorer, der ikke er nul, er lineært uafhængigt. ■

Følgende sætning gælder.

Sætning 1.6. I rummet Rn er der altid en basis bestående af ortogonale vektorer (ortogonal basis)
(ingen bevis).

Ortogonale baser er praktiske, primært fordi ekspansionskoefficienterne for en vilkårlig vektor over sådanne baser simpelthen bestemmes.

Antag, at vi skal finde nedbrydningen af en vilkårlig vektor b på ortogonal basis e 1 ,…,e n. Lad os komponere en udvidelse af denne vektor med stadig ukendte udvidelseskoefficienter til dette grundlag:

Lad os gange begge sider af denne lighed skalært med vektoren e 1 . I kraft af aksiomer 2° og 3° for skalarproduktet af vektorer får vi

Siden basisvektorerne e 1 ,…,e n er indbyrdes ortogonale, så er alle skalarprodukter af basisvektorerne, med undtagelse af den første, lig med nul, dvs. koefficienten bestemmes af formlen

Ved at multiplicere lighed (1.16) en efter en med andre basisvektorer opnår vi simple formler til beregning af vektorudvidelseskoefficienterne b :

. (1.17)

Formler (1.17) giver mening, fordi .

Definition. Vektor-en kaldes normaliseret (eller enhed), hvis dens længde er lig med 1, dvs. (-en , -en )= 1.

En hvilken som helst ikke-nul vektor kan normaliseres. Lade -en ¹ 0 . Derefter , og vektoren er en normaliseret vektor.

Definition. Vektor system e 1 ,…,e n kaldes ortonormal, hvis den er ortogonal, og længden af hver vektor i systemet er lig med 1, dvs.

(1.18)

Da der altid er en ortogonal basis i rummet Rn og vektorerne for denne basis kan normaliseres, så er der altid en ortonormal basis i Rn.

Et eksempel på en ortonormal basis af rummet R n er systemet af vektorer e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) med det skalære produkt defineret ved lighed (1.9). På ortonormal basis e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formel (1.17) for at bestemme koordinaterne for vektornedbrydningen b har den enkleste form:

Lade -en Og b – to vilkårlige vektorer af rummet R n med en ortonormal basis e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Lad os betegne vektorernes koordinater -en Og b i grundlaget e 1 ,…,e n tilsvarende igennem -en 1 ,…,-en n Og b 1 ,…, b n og find udtrykket for skalarproduktet af disse vektorer gennem deres koordinater i dette grundlag, dvs. Lad os lade som om

, .

Fra den sidste lighed får vi i kraft af de skalære produktaksiomer og relationer (1.18)

Endelig har vi

. (1.19)

Dermed, på ortonormal basis er skalarproduktet af to vektorer lig med summen af produkterne af de tilsvarende koordinater af disse vektorer.

Lad os nu overveje en fuldstændig vilkårlig (generelt set, ikke ortonormal) basis i det n-dimensionelle euklidiske rum R n og finde et udtryk for skalarproduktet af to vilkårlige vektorer -en Og b gennem koordinaterne for disse vektorer i det angivne grundlag.

system af funktioner ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonal med vægt ρ ( x) på segmentet [ EN, b], altså sådan at

Eksempler. Trigonometrisk system 1, cos nx,synd nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. med vægt 1 på segmentet [-π, π]. Bessel funktioner n = 1, 2,..., J ν ( x), form for hver ν > - 1/2 O. s. f. med vægt x på segmentet.

Hvis hver funktion φ ( x) fra O. s. f. er det x) efter nummer

Systematisk undersøgelse af O. s. f. blev startet i forbindelse med Fourier-metoden til løsning af grænseværdiproblemer af matematisk fysiks ligninger. Denne metode fører for eksempel til at finde løsninger på Sturm-Liouville-problemet (se Sturm-Liouville-problemet) for ligningen [ρ( x) y" ]" + q(x) y = λ på, der opfylder grænsebetingelserne på(EN) + hej"(-en) = 0, y(b) + hej"(b) = 0, hvor h Og N- permanent. Disse beslutninger er de såkaldte. opgavens egenfunktioner danner O.s. f. med vægt ρ ( x) på segmentet [ -en, b].

En yderst vigtig klasse af O. s. f. - Ortogonale polynomier - blev opdaget af P. L. Chebyshev i hans undersøgelser af interpolation ved mindste kvadraters metode og problemet med momenter. I det 20. århundrede forskning på O. s. f. udføres hovedsageligt på grundlag af integralteori og Lebesgue-mål. Dette bidrog til adskillelsen af disse undersøgelser i en selvstændig gren af matematikken. En af hovedopgaverne i teorien om O. s. f. - problem med nedbrydning af en funktion f(x) i en række af formen p ( x)) - O. s. f. Hvis vi siger det formelt P ( x)) - normaliseret O. s. f., og tillad muligheden for term-for-term integration, multiplicer derefter denne række med φ P(x) ρ( x) og integrere fra EN Før b, vi får:

Odds S p kaldet Fourier-koefficienterne for funktionen i forhold til systemet (φ n(x)), har følgende ekstremal egenskab: lineær form x):

har den mindste værdi sammenlignet med fejlene givet for samme n andre lineære udtryk for formen

Serie ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) med odds S p, beregnet ved hjælp af formel (*), kaldes Fourier-rækken af funktionen f(x) ifølge den normaliserede O. s. f. (φ n(x)). For applikationer er spørgsmålet af primær betydning, om funktionen er entydigt defineret f(x) ved deres Fourier-koefficienter. O. s. f., for hvilke dette sker, kaldes fuldstændige eller lukkede. Betingelser for lukkede O. s. f. kan gives i flere tilsvarende former. 1) Enhver kontinuerlig funktion f(x) kan tilnærmes i gennemsnit med en hvilken som helst grad af nøjagtighed ved lineære kombinationer af funktioner φ k(x), dvs. C n φ n (x) konvergerer i gennemsnit til funktionen f(x)]. 2) Til enhver funktion f(x), hvis kvadrat vi integrerer med hensyn til vægten ρ( x), er Lyapunov-Steklov lukkethedsbetingelsen opfyldt:

3) Der er ingen ikke-nul funktion med integrerbar på intervallet [ -en, b] kvadrat vinkelret på alle funktioner φ n(x), n = 1, 2,....

Hvis vi betragter funktioner med en integrerbar firkant som elementer i et Hilbert-rum (Se Hilbert-rum), så er den normaliserede O.S. f. vil være systemer af koordinatenhedsvektorer af dette rum, og serieudvidelsen i normaliserede O.s. f. - ekspansion af vektoren i enhedsvektorer. Med denne tilgang, mange begreber i teorien om normaliserede operationelle systemer. f. få en klar geometrisk betydning. For eksempel betyder formel (*), at projektionen af vektoren på enhedsvektoren er lig med skalarproduktet af vektoren og enhedsenheden; Lyapunov - Steklov-ligheden kan fortolkes som Pythagoras sætning for et uendeligt dimensionelt rum: kvadratet på længden af en vektor er lig med summen af kvadraterne af dens projektioner på koordinatakserne; isolation O. s. f. betyder, at det mindste lukkede underrum, der indeholder alle vektorerne i dette system, falder sammen med hele rummet osv.

Lit.: Tolstov G.P., Fourier-serien, 2. udgave, M., 1960; Natanson I.P., Constructive theory of functions, M. - L., 1949; af ham, Theory of functions of a real variabel, 2. udg., M., 1957; Jackson D., Fourierrækker og ortogonale polynomier, trans. fra engelsk, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Theory of ortogonal series, trans. fra German, M., 1958.

- gruppen af alle lineære transformationer af det n-dimensionelle vektorrum V over feltet k, der bevarer en fast ikke-degenereret kvadratisk form Q på V)=Q for enhver)...
Matematisk encyklopædi
- en matrix over en kommutativ ring R med enhed 1, for hvilken den transponerede matrix falder sammen med det omvendte. Determinanten for O. m. er lig med +1...
Matematisk encyklopædi
- et netværk, hvor tangenterne i et bestemt punkt til linjer i forskellige familier er ortogonale. Eksempler på operationelle systemer: asymptotisk netværk på en minimal overflade, linjekrumningsnetværk. A.V. Ivanov...
Matematisk encyklopædi
- 1) Åh....
Matematisk encyklopædi
- en ortogonal matrix, OA - en matrix af størrelsen kx N, hvis elementer er tallene 1, 2, .....
Matematisk encyklopædi
- se Isogonal bane...
Matematisk encyklopædi
- et ortonormalt system af funktioner (j) af et bestemt Hilbert-rum H, således at der i H ikke eksisterer en funktion ortogonal til alle funktioner i en given familie...
Matematisk encyklopædi
- se projektion...
Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary
- bestemmelse af underordningen af funktionerne af forskellige objekter...
Ordbog over forretningsudtryk
- styrkelse af funktioner, en af kap. måder til progressiv transformation af organer under dyrenes udvikling. Hvis. normalt forbundet med komplikationen af strukturen af organer og kroppen som helhed...
Biologisk encyklopædisk ordbog
- styrkelse af funktioner, en af de vigtigste måder til progressiv transformation af organer under dyrenes udvikling. Hvis. er forbundet med en komplikation af strukturen af organer og fører til en generel stigning i niveauet af vital aktivitet...
- ordre n Matrix...
Store sovjetiske encyklopædi
- et særligt tilfælde af parallel projektion, når projektionernes akse eller plan er vinkelret på projektionsretningen...
Store sovjetiske encyklopædi
- et system af funktioner (), n = 1, 2,..., ortogonalt med vægten ρ på segmentet, dvs. sådan, at Eksempler. Trigonometrisk system 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. med vægt 1 på segmentet...
Store sovjetiske encyklopædi
- et sådant system af funktioner Ф = (φ), defineret på et interval, at der ikke er nogen funktion f, for hvilken,...
Store sovjetiske encyklopædi
- ORTOGONALT system af FUNKTIONER - system af funktioner??n?, n=1, 2,.....
Stor encyklopædisk ordbog

"Ortogonalt system af funktioner" i bøger

Afsnit XXIV Det gamle system med skyttegravskrig og det moderne system med marcher

Fra bogen Strategy and Tactics in the Art of War forfatter Zhomini Genrikh Veniaminovich

Afsnit XXIV Det gamle system af positionskrig og det moderne system af marcher. Ved positionssystemet menes den gamle metode til at føre metodisk krigsførelse, med hære, der sover i telte, har forsyninger ved hånden, engageret i at observere hinanden; en hær

19. Begrebet "skattesystemet i Den Russiske Føderation". Forholdet mellem begreberne "skattesystem" og "skattesystem"

Fra bogen Skatteret forfatter Mikidze S G

19. Begrebet "skattesystemet i Den Russiske Føderation". Forholdet mellem begreberne "skattesystem" og "skattesystem" Skattesystemet er et sæt føderale skatter, regionale og lokale skatter etableret i Den Russiske Føderation. Dens struktur er nedfældet i art. 13–15 Den Russiske Føderations skattelov i overensstemmelse med

Fra bogen How It Really Happened. Genopbygning af sand historie forfatter Nosovsky Gleb Vladimirovich

23. Ptolemæus' geocentriske system og Tycho Brahes (og Copernicus' heliocentriske system) Verdenssystemet ifølge Tycho Brahe er vist i fig. 90. I centrum af verden er Jorden, som Solen kredser om. Men alle andre planeter kredser allerede om Solen. Nemlig

23. Ptolemæus' geocentriske system og Tycho Brahes (og Copernicus) heliocentriske system

Fra forfatterens bog

Komplet system af funktioner

Fra bogen Great Soviet Encyclopedia (PO) af forfatteren TSB

Ortogonal matrix

TSB

Ortografisk projektion

Fra bogen Great Soviet Encyclopedia (OR) af forfatteren TSB

Ortogonalt funktionssystem

Fra bogen Great Soviet Encyclopedia (OR) af forfatteren TSB

Tip 46: Send funktionsobjekter til algoritmer i stedet for funktioner

Fra bogen Using STL Effectively af Meyers Scott

Tip 46: Send funktionsobjekter til algoritmer i stedet for funktioner Det siges ofte, at øget abstraktionsniveau for sprog på højt niveau får den genererede kode til at blive mindre effektiv. Alexander Stepanov, opfinderen af STL, udviklede engang et lille kompleks

12.3.5. Funktionsadaptere til funktionsobjekter

Fra C++ bogen for begyndere af Lippman Stanley

12.3.5. Funktionsadaptere til funktionsobjekter Standardbiblioteket indeholder også en række funktionsadaptere til at specialisere og udvide både unære og binære funktionsobjekter. Adaptere er specialklasser opdelt i følgende to

19/11/2. Kaldning af funktioner fra en funktionsfil

Fra bogen Linux and UNIX: shell programmering. Udviklervejledning. af Tainsley David

19/11/2. Kaldning af funktioner fra en funktionsfil Vi har allerede set på, hvordan funktioner kaldes fra kommandolinjen. Disse typer funktioner bruges normalt af hjælpeprogrammer, der opretter systemmeddelelser. Lad os nu bruge funktionen beskrevet ovenfor igen, men i dette tilfælde

Systemet med objektiv (positiv) ret og lovgivningssystemet: begrebernes forhold

Fra bogen Jurisprudence forfatter Mardaliev R.T.

Systemet med objektiv (positiv) ret og lovgivningssystemet: forholdet mellem begreber Systemet med objektiv (positiv) ret er lovens interne struktur, der opdeler den i grene, undersektorer og institutioner i overensstemmelse med emnet og metoden af juridisk

31. Fransk regeringssystem, valgret og valgsystem

Fra bogen Constitutional Law of Foreign Countries forfatter Imasheva E G

31. Fransk regeringssystem, valgret og valgsystem I Frankrig er der en blandet (eller semi-præsidentiel) republikansk regering. Regeringssystemet i Frankrig er bygget på princippet om magtadskillelse.Det moderne Frankrig

Terapeutiske bevægelser for at genoprette motoriske funktioner og mod rygsmerter Genoprettelse af motoriske funktioner

Fra bogen Encyclopedia of therapeutic movements for diverse sygdomme forfatter Astashenko Oleg Igorevich

Terapeutiske bevægelser for at genoprette motoriske funktioner og mod rygsmerter Gendannelse af motoriske funktioner Der er mange øvelser til at genoprette rygsøjlen. Du kan enten finde på dem selv, eller finde dem i en række forskellige former for gymnastik. Dog simpelt

Terapeutiske bevægelser for at genoprette motoriske funktioner og for rygsmerter motoriske funktioner

Fra bogen Overhaling for rygsøjlen forfatter Astashenko Oleg Igorevich

Terapeutiske bevægelser for at genoprette motoriske funktioner og motoriske funktioner for rygsmerter Gendannelse af motoriske funktioner Der er mange øvelser til at genoprette rygsøjlen. Du kan enten finde på dem selv, eller finde dem i en række forskellige former for gymnastik.

x =λ 0 e +z, hvorz L. For at beregne λ 0 multiplicerer vi skalært begge sider af ligheden med e. Da (z ,e ) = 0, får vi (x ,e ) =λ 0 (e ,e ) =λ 0 .

Ortogonale og ortonormale systemer

Definition 5.5. Hvis L er et underrum af et Hilbert-rum H, kaldes samlingen M af alle elementer fra H, der er ortogonale på L,

ortogonalt komplement til L.

Lad os bevise, at M også er et underrum.

1) Af egenskab 3) for ortogonale elementer følger det, at M er en lineær delmængde af rummet H.

2) Lad z n M og z n → z . Per definition er M z n y for enhver y L , og ved egenskab 4) for ortogonale elementer har vi z y . Derfor er z M og M lukkede.

For enhver x H er der ved sætning 5.3 en unik udvidelse

af formen x =y +z, hvor y L,z M, dvs. underrum L og M form

ortogonal nedbrydning af rummet H.

Lemma 5.1. Lad et endeligt eller tælligt sæt af parvise ortogonale underrum Ln være givet, og lad elementet x H være repræsenteret i formen

x = ∑ y n , hvor y L . Så er en sådan repræsentation unik og y n = Pr L n x .

Definition 5.6. Et system af ortogonale underrum L n kaldes komplet, hvis der i rummet H ikke er noget ikke-nul-element ortogonalt i forhold til alle L n .

Definition 5.7. Et endeligt eller tælleligt system af elementer h n af et Hilbert-rum H kaldes ortogonalt, hvis h n h m for n ≠m. Definition 5.8. Det ortogonale system h n kaldes ortonormale, hvis ||h n || = 1.

Definition 5.9. Et ortogonalt system h n kaldes komplet, hvis der ikke er noget ikke-nul element x H, således at x h n for alle n .

Det kan du tjekke ikke-nul elementer i det ortogonale system er lineært uafhængige.

Et eksempel på et komplet ortonormalt system i l 2 er systemet af alle koordinatenhedsvektorer.


Genereret af elementer h n	endimensionel		underrum L n
ortogonal. Elementprojektioner				underrum
beregnet med formlen		x = anhn.
	PrL n
Tallene α n = (x ,h n ) kaldes	koefficienter			Fourier elementx
i forhold til systemet af elementer h n.

Sætning 5.4. Hvis element x H kan repræsenteres som

x = ∑ λ n h n , så er denne repræsentation unik og koefficienterne λ n er ens

Dette er en forestilling x kaldes Fourier-udvidelsen (ortogonal udvidelse) af elementet x ind i elementerne hn.

Sætning 5.5. For at ethvert element x H skal repræsenteres af dets Fourier-udvidelse over elementerne h n i et ortonormalt system, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dette system er komplet.

Af denne sætning følger det, at i et n-dimensionelt Hilbert-rum skal et komplet ortonormalt system bestå af n elementer. På den anden side, hvis der i et n-dimensionelt Hilbert-rum er givet et vilkårligt grundlag, bestående af parvise ortogonale elementer, så følger det af sætning 5.5, at dette system er komplet.

Definition 5.10. Et komplet ortogonalt system af elementer kaldes

ortonormalt grundlag Hilbert plads.

Definition 5.11. Forhold

	∑ α n 2=
	∑ α n 2=

hvor α n	– Fourierkoefficienter for element x, kaldet ligning
isolation.

Sætning 5.6.

For et vilkårligt ortonormalt system (h n ), er følgende udsagn vedrørende elementerne x H ækvivalente:

1) for elementet x H er Fourier-udvidelsen (5.7) gyldig;

2) elementet x H er inkluderet i underrummet genereret af sættet af elementer (h n);

3) For elementet x H er lukkethedsligningen (5.8) opfyldt. Af sætning 5.5 og 5.6 følger det, at for at et ortonormalt system kan være komplet, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at

for enhver x H var lukkelighedsligningen opfyldt.

Sætning 5.7. Hvis elementetx H kan repræsenteres ved dets Fourier-udvidelse (5.7) over elementerne i det ortonormale system (h n ), så for enhver y H

(x ,y )= ∑ α n β n ,

hvor α n er Fourier-koefficienterne for elementx, β n er Fourier-koefficienterne for elementært i forhold til systemet (h n).

Sætning 5.8. Et endeligt-dimensionelt normeret rum kan adskilles Sætning 5.9. Ethvert rum med et tælleligt grundlag kan adskilles.

Af sætning 5.8 og 5.9 følger det, at en endelig eller tællig ortonormal basis kun kan eksistere i adskillelige rum.

Ortogonalisering af et system af lineært uafhængige elementer

Lad et Hilbertrum H få et endeligt eller tælleligt system af lineært uafhængige elementer g 1 , g 2 , ... Lad os konstruere et ortonormalt system af elementer h 1 , h 2 , ... således at hver h n har formen

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
og hver g n har formen
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Lad os først konstruere et ortogonalt system af elementer f 1 , f 2 , ... , idet vi antager sekventielt

k = 1

Koefficienterne λ ik skal vælges på en sådan måde, at elementerne f 1 , f 2 , ... er parvis ortogonale. Lad koefficienterne λ ik for elementerne f 1 , f 2 , ..., f n- 1 allerede er fundet. Så når jeg

n- 1		n- 1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).
k = 1		k = 1
Siden f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 allerede	er ortogonale, så (f k , f i ) = 0 for		k ≠ i,
vi får	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
(fn	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
Siden hvert element		er en lineær kombination lineært
uafhængige elementer g 1,	g 2 , ..., g n , og koefficienten		ved g n

enhed, så f n ≠ 0. For at betingelsen (f n ,f i ) = 0 skal være opfyldt, skal koefficienten λ ni bestemmes af formlen

λni=	g n,	f i)

Vi har konstrueret et ortogonalt system f 1 ,f 2 , .... Lad os nu sætte

h n=

Elementerne h 1 , h 2 , ... er parvis ortogonale, ||h n || = 1 og hvert element h n er en lineær kombination af elementer g 1 ,g 2 , ..., g n har derfor den krævede form (5.9). På den anden side er det fra formel (5.11) klart, at hver g n er en lineær kombination af elementerne f 1, f 2, ..., f n, og derfor elementerne h 1, h 2, ..., h n , dvs. har formen (5.10). Således har vi opnået det nødvendige ortonormale system.

Desuden, hvis det oprindelige system (gn) var uendeligt, så består ortogonaliseringsprocessen af et uendeligt antal trin, og systemet (hn) vil også være uendeligt. Hvis det oprindelige system består af m elementer, vil det resulterende system have det samme tal.

Bemærk, at af betingelser (5.9) og (5.10) følger, at de lineære skaller af systemerne af elementer (gn) og (hn) falder sammen.

Hvis L er et endeligt dimensionelt underrum af rummet H, og g 1 ,g 2 , ...,g n er dets vilkårlige grundlag, så vil vi ved at anvende ortogonaliseringsprocessen på systemet (g n ), konstruere en ortonormal basis af underrummet

Isomorfi af et vilkårligt adskilleligt Hilbert-rum med mellemrummet l²

Sætning 5.10. I et adskilleligt Hilbert-rum H, der indeholder ikke-nul-elementer, eksisterer der en endelig eller tællig ortonormal basis.

Bevis.

Ved definitionen af adskillelighed eksisterer der en tællig overalt tæt mængde A i H. Lad os omnummerere alle elementer i sæt A. Lad os vælge fra A et endeligt eller tælleligt system B af lineært uafhængige elementer, hvis lineære spænd falder sammen med det lineære spænd i mængden A. I dette tilfælde er alle elementer smidt ud fra A lineære kombinationer af elementer i system B. Vi vil udsætte system B for ortogonaliseringsprocessen og konstruere et endeligt eller tælligt ortonormalt system af elementer h n . Lad os bevise

at den er fuld.

Lad x H være ortogonal på alle h n . Da elementerne i system B er lineære kombinationer af elementer h n , er tox ortogonal til alle elementer

systemer B. Sæt A adskiller sig fra B ved, at det indeholder nogle flere elementer, der er repræsenteret som lineære kombinationer af elementer i system B. Derfor er x ortogonal til alle elementer i mængden A. Men da A er tæt overalt iH, er thenx = 0 ved egenskab 5) for ortogonale elementer. Således er fuldstændigheden af systemet af elementer h n bevist.

Lad os overføre definitionerne af algebraisk isomorfi og isometri for euklidiske rum til alle normerede rum.

Definition 5.12. To normerede rum E og E 1 kaldes

algebraisk isomorf og isometrisk , hvis der kan etableres en en-til-en korrespondance mellem deres elementer, således at:

a) algebraiske operationer på elementer fra E svarer til de samme operationer på deres billeder i E 1 ;

b) normerne for de tilsvarende elementer fra E og fra E 1 er ens.

Sætning 5.11. Ethvert uendeligt dimensionelt adskilleligt Hilbert-rum H er algebraisk isomorft og isometrisk i forhold til rummet l 2 .

Bevis.

Ved sætning 5.10 er der en tællig ortonormal basis i H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Ved sætning 5.5, for enhver x H udvidelsen til

x = ∑ α n hn.

sammenlignelig

n= 1

rækkefølgen af dens koefficienter

(an), dvs.

n= 1

Vektoren a og vil blive kaldt billedet af elementerne.

Hvis α n er Fourier-koefficienterne for grundstofferne, og β n er koefficienterne

summen af billederne af elementerne x og y. På samme måde er det verificeret, at hvis a er billedet af elementerne, så er λ a billedet af elementet λ x. Det betyder, at algebraiske operationer på elementer fra H svarer til de samme operationer på deres billeder inl 2.

Lad os vise, at hver vektor a = (α n )l 2 er billedet af nogle

x H . For at gøre dette, givet den givne værdi, komponerer vi rækken ∑ α n h n . Siden medlemmerne af serien

er parvis ortogonale, og		n= 1
er parvis ortogonale, og

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n 2< +∞,
n= 1	n= 1

derefter konvergerer rækken ved sætning 5.2. Hvis vi angiver dets sum med x, så vil ved sætning 5.4α n være Fourier-koefficienterne for dette, derfor,

den givne vektor a vil være dens billede.

Lad os nu kontrollere, at den etablerede overensstemmelse mellem elementer fra H og vektorer fra l 2 er en-til-en. Faktisk, hvis vektorerne a og b er billeder af elementer i henholdsvis y, så er a – b ifølge det beviste et billede af elementer i – y og ved (5.12) a − b = x − y. Derfor, ifx ≠ y, så er ia ≠ b.

Med andre ord, hvis det ortonormale system er komplet, og to elementer x og y har henholdsvis de samme Fourier-koefficienter, så er x = y. Dette gælder ikke for et ufuldstændigt system.

Vi har således etableret en overensstemmelse mellem elementer fra H og vektorer fra l 2, som repræsenterer en algebraisk isomorfi og ifølge (5.12) isometrisk. Sætningen er blevet bevist.

Nu beviser vi, at isomorfien mellem H og l 2 også er etableret med

bevare værdien af det skalære produkt.

Sætning 5.12. Med isomorfien mellem rummene H og l 2 etableret i sætning 5.11, er det skalære produkt af to vilkårlige elementer i H . er lig med skalarproduktet af deres billeder inl 2.

Bevis . Lad vektorerne a og b være billeder af elementerne uy,


følgelig a= (α n), b= (β n). Så: x = ∑ α n h n , y =∑ β n h n .
n= 1	n= 1

Under hensyntagen til sætning 5.7 og definitionen af skalarproduktet i l 2, finder vi