Et konveks sæt punkter på et plan.
Mange punkter på et fly eller i tredimensionelt rum hedder konveks, hvis to punkter i dette sæt kan forbindes med et linjestykke, der ligger helt i dette sæt.
Sætning 1. Vejkryds begrænset antal af konvekse sæt er et konveks sæt.
Følge. Skæringspunktet mellem et endeligt antal konvekse mængder er et konveks sæt.
Hjørnepunkter.
Grænsepunkt konveks sæt hedder kantet, hvis det er muligt at tegne et segment igennem det, hvis alle punkter ikke hører til det givne sæt.
Sæt af forskellige former kan have endelige eller uendeligt antal hjørnepunkter.
Konveks polygon.
Polygon hedder konveks, hvis den ligger på den ene side af hver lige linje, der går gennem to af den nabotoppe.
Sætning: Summen af vinkler konveks n-gon lig med 180˚ *(n-2)
6) Løsning af systemer m lineære uligheder med to variable
Givet et system af lineære uligheder med to variable
Tegnene på nogle eller alle uligheder kan være ≥.
Lad os overveje den første ulighed i X1OX2-koordinatsystemet. Lad os bygge en lige linje
som er grænselinjen.
Denne rette linje deler planet i to halvplaner 1 og 2 (fig. 19.4).
Halvplan 1 indeholder oprindelsen, halvplan 2 indeholder ikke oprindelsen.
For at bestemme, hvilken side af grænselinjen en given halvplan er placeret på, skal du tage et vilkårligt punkt på planet (helst origo) og erstatte koordinaterne for dette punkt i uligheden. Hvis uligheden er sand, så vender halvplanet mod dette punkt; hvis det ikke er sandt, så i retning modsat punktet.
Retningen af halvplanet er vist i figurerne med en pil.
Definition 15. Løsningen på hver ulighed i systemet er et halvplan, der indeholder grænselinjen og placeret på den ene side af den.
Definition 16. Skæringspunktet mellem halvplaner, som hver især er bestemt af systemets tilsvarende ulighed, kaldes systemets løsningsdomæne (SO).
Definition 17. Løsningsarealet af et system, der opfylder ikke-negativitetsbetingelserne (xj ≥ 0, j =) kaldes arealet af ikke-negative eller tilladelige løsninger (ADS).
Hvis systemet af uligheder er konsistent, så kan OR og ODR være et polyeder, et ubegrænset polyederområde eller et enkelt punkt.
Hvis systemet med uligheder er inkonsekvent, så er OR og ODR et tomt sæt.
Eksempel 1. Find OR og ODE for ulighedssystemet og bestem koordinaterne for hjørnepunkterne af ODE
Løsning. Lad os finde OR for den første ulighed: x1 + 3x2 ≥ 3. Lad os konstruere grænselinjen x1 + 3x2 – 3 = 0 (fig. 19.5). Lad os erstatte koordinaterne for punktet (0,0) i uligheden: 1∙0 + 3∙0 > 3; da koordinaterne for punktet (0,0) ikke opfylder det, så er løsningen på uligheden (19.1) en halvplan, der ikke indeholder punktet (0,0).
Lad os på samme måde finde løsninger på de resterende uligheder i systemet. Vi opnår, at OR og ODE af ulighedssystemet er konveks polyeder ABCD.
Vi finder hjørnepunkter polyeder. Vi definerer punkt A som skæringspunktet mellem linjer
Ved at løse systemet får vi A(3/7, 6/7).
Vi finder punkt B som skæringspunktet mellem linjer
Fra systemet får vi B(5/3, 10/3). På samme måde finder vi koordinaterne for punkterne C og D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Eksempel 2. Find OR og ODE for systemet af uligheder
Løsning. Lad os konstruere rette linjer og bestemme løsninger på uligheder (19.5)-(19.7). OR og ODR er uafgrænsede polyhedriske områder, henholdsvis ACFM og ABDEKM (fig. 19.6).
Eksempel 3. Find OR og ODE for systemet af uligheder
Løsning. Lad os finde løsninger på uligheder (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OR repræsenterer den ubegrænsede polyedriske region ABC; ODR - punkt B.
Eksempel 4. Find OP og ODP for ulighedssystemet
Løsning. Ved at konstruere rette linjer vil vi finde løsninger på systemets uligheder. OR og ODR er inkompatible (fig. 19.8).
ØVELSER
Find OR og ODE for ulighedssystemer
Sætning. Hvis xn ® a, så .
Bevis. Af xn ® a følger det . På samme tid:
, dvs. , dvs. . Sætningen er blevet bevist.
Sætning. Hvis xn ® a, så er sekvensen (xn) afgrænset.
Det skal bemærkes, at det omvendte udsagn ikke er sandt, dvs. afgrænsningen af en sekvens indebærer ikke dens konvergens.
For eksempel rækkefølgen 
har dog ingen grænse
Udvidelse af funktioner til potensrækker.
Udvidelse af funktioner i power serie Det har stor betydning for løsninger forskellige opgaver forskning af funktioner, differentiering, integration, løsninger differentialligninger, beregning af grænser, beregning af omtrentlige værdier af en funktion.
Definition 1. En brudt linje kaldes sidste rækkefølge segmenter, således at en af enderne af det første segment tjener som slutningen af det andet, den anden ende af det andet segment tjener som slutningen af det tredje osv.
De segmenter, der udgør brudt linje, kaldes links. Tilstødende segmenter ligger ikke på samme lige linje. Hvis enderne af en brudt linje falder sammen, så kaldes den lukket. En polylinje kan skære sig selv, røre ved sig selv og hvile på sig selv. Hvis en brudt linje ikke har sådanne funktioner, så kaldes den enkel.
Definition 2. En simpel lukket stiplet linje sammen med den del af planet, der er afgrænset af den, kaldes en polygon.
Selve den stiplede linje kaldes polygonens grænse, den stiplede linjes led kaldes fester polygon, er enderne af linkene polygonens toppunkter. To tilstødende sider af en polygon danner en vinkel. Antallet af vinkler i en polygon er lig med antallet af sider. Hver polygon har vinkler mindre end 180°. En polygons sider og vinkler kaldes elementer polygon.
Et linjestykke, der forbinder to ikke-tilstødende hjørner af en polygon, kaldes en diagonal. Enhver n-gon kan have n-2 diagonaler.
Definition 3. Polygonen kaldes konveks, hvis den ligger på den ene side af hver linje, der indeholder dens side. Polygoner, der ikke opfylder denne betingelse, kaldes ikke-konvekse.
Egenskaber for konvekse polygoner.
Ejendom 1. En konveks polygon har alle vinkler mindre end 180°.
Bevis: Tag en hvilken som helst vinkel A på en konveks polygon P, og dens side a kommer fra toppunktet A. Lad l være en ret linje, der indeholder side a. Da polygonen P er konveks, ligger den på den ene side af linjen l. Derfor ligger vinkel A på den ene side af den rette linie l. Følgelig er vinkel A mindre end den udfoldede, dvs. ÐA< 180°.
Ejendom 2. Et linjestykke, der forbinder to vilkårlige punkter i en konveks polygon, er indeholdt i denne polygon.
Bevis: Tag to vilkårlige punkter M og N af en konveks polygon P. Polygonen P er skæringspunktet mellem flere halvplaner. Segmentet MN ligger i hvert af disse halvplaner. Derfor er det også indeholdt i polygonen R.
Ejendom 3. Summen af vinklerne for en konveks polygon er (n – 2)∙180°.
Bevis: Tag et vilkårligt punkt O inde i den konvekse polygon P og forbind det med alle polygonens hjørner. Der dannes N trekanter, summen af vinklerne af hver af dem er 180°. Vinklerne ved toppunktet O summerer til 360° = 2∙180°. Derfor er summen af vinklerne for en polygon n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Begrebet et parallelogram. Egenskaber for et parallelogram.
Definition 1. firkant, modsatte sider som er parvis parallelle kaldes et parallelogram.
Hvert parallelogram har fire hjørner, fire sider og fire hjørner. To sider har fælles mål, hedder tilstødende. Hvert parallelogram har to diagonaler - segmenter forbinder modsatte hjørner parallelogram. Summen af vinklerne i et parallelogram er 360°.
Egenskaber for et parallelogram.
Ejendom 1. Et parallelogram har modsatte sider lig med og modsatte vinkler parvis lige.
Bevis: Lad os tegne diagonalen AC. AC – generelt;
РВАС = РАСD (indvendig på tværs liggende ved AB II BC og sekant AC);
РВСА = РСАD (indvendig på tværs liggende ved AD II BC og sekant AC);
Þ DABC = DADC (baseret på 2 karakteristika).
AB = CD; BC = AD; РВ = РD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
Ejendom 2. I et parallelogram er vinkler, der støder op til den ene side, op til 180°.
Bevis:
РВ + РА =180° (indvendig ensidig med BC II AD og sekant AB).
ÐB + ÐС =180° (indvendig ensidig med AB II CD og sekant BC).
ÐD + ÐC =180° (indvendig ensidig med BC II AD og sekant CD).
ÐA + ÐD =180° (indvendig ensidet med AB II CD og sekant AD).
Ejendom 3. Diagonalerne i et parallelogram er delt i to af skæringspunktet.
Bevis: Lad os tegne diagonalerne AC og BD, der skærer hinanden ved punkt O.
AB = CD (ifølge det første parallelogram);
ÐABO = ÐODC (indvendig på tværs liggende ved AB II CD og sekant BD);
РБАО = РОСD (indvendig på tværs liggende ved AB II CD og sekant AC);
Þ DABO = DODC (baseret på 2 karakteristika).
BO = OD; AO = OC.
Tegn på et parallelogram.
Tegn 1. Hvis to sider af en firkant er lige store og parallelle, så er firkanten et parallelogram.
Givet: ABCD – firkant; AD II f.Kr.,
I denne lektion vil vi begynde nyt emne og introducere et nyt koncept for os: "polygon". Vi vil se på de grundlæggende begreber forbundet med polygoner: sider, topvinkel, konveksitet og ikke-konveksitet. Så vil vi bevise de vigtigste fakta såsom sumsætningen indvendige hjørner polygon, sumsætning udvendige hjørner polygon. Som et resultat vil vi komme tæt på at studere specielle tilfælde af polygoner, som vil blive overvejet i yderligere lektioner.
Emne: Firkanter
Lektion: Polygoner
På geometrikurset studerer vi geometriske figurers egenskaber og har allerede undersøgt de enkleste af dem: trekanter og cirkler. Samtidig diskuterede vi også specifikke specialtilfælde af disse figurer, såsom højre, ligebenede og regulære trekanter. Nu er det tid til at tale om mere generelt og komplekse figurer - polygoner.
Med et særligt tilfælde polygoner vi er allerede bekendt - dette er en trekant (se fig. 1).
Ris. 1. Trekant
Selve navnet understreger allerede, at der er tale om en figur med tre vinkler. Derfor i polygon der kan være mange af dem, dvs. mere end tre. Lad os for eksempel tegne en femkant (se fig. 2), dvs. figur med fem hjørner.
Ris. 2. Pentagon. Konveks polygon
Definition.Polygon- en figur bestående af flere punkter (mere end to) og et tilsvarende antal segmenter, der sekventielt forbinder dem. Disse punkter kaldes toppe polygon, og segmenterne er fester. I dette tilfælde ligger ingen to tilstødende sider på den samme lige linje, og ingen to ikke-tilstødende sider skærer hinanden.
Definition.Regelmæssig polygon- Det her konveks polygon, hvor alle sider og vinkler er lige store.
Nogen polygon opdeler flyet i to områder: internt og eksternt. Det indre område kaldes også polygon.
Med andre ord, når de for eksempel taler om en femkant, mener de både hele dens indre region og dens grænse. Og det indre område omfatter alle punkter, der ligger inde i polygonen, dvs. punktet henviser også til femkanten (se fig. 2).
Polygoner kaldes også nogle gange n-goner for at understrege, at det generelle tilfælde af tilstedeværelsen af et ukendt antal vinkler (n stykker) overvejes.
Definition. Polygon omkreds- summen af længderne af polygonens sider.
Nu skal vi stifte bekendtskab med typerne af polygoner. De er opdelt i konveks Og ikke-konveks. For eksempel kan polygonen vist i fig. 2 er konveks, og i fig. 3 ikke-konvekse.
Ris. 3. Ikke-konveks polygon
Definition 1. Polygon hedder konveks, hvis når man tegner en lige linje gennem nogen af dens sider, hele polygon ligger kun på den ene side af denne lige linje. Ikke-konveks er alle andre polygoner.
Det er let at forestille sig, at når en hvilken som helst side af femkanten i fig. 2 vil det hele være på den ene side af denne lige linje, dvs. den er konveks. Men når man tegner en lige linje gennem en firkant i fig. 3 ser vi allerede, at den deler den i to dele, dvs. den er ikke konveks.
Men der er en anden definition af konveksiteten af en polygon.
Definition 2. Polygon hedder konveks, hvis når du vælger to af dets indre punkter og forbinder dem med et segment, er alle punkter i segmentet også indvendige punkter i polygonen.
En demonstration af brugen af denne definition kan ses i eksemplet med at konstruere segmenter i fig. 2 og 3.
Definition. Diagonal af en polygon er ethvert segment, der forbinder to ikke-tilstødende hjørner.
For at beskrive egenskaberne ved polygoner er der to vigtigste teoremer om deres vinkler: sætning om summen af indvendige vinkler af en konveks polygon Og sætning om summen af ydre vinkler af en konveks polygon. Lad os se på dem.
Sætning. På summen af indvendige vinkler af en konveks polygon (n-gon).
Hvor er antallet af dens vinkler (sider).
Bevis 1. Lad os afbilde i Fig. 4 konvekse n-gon.
Ris. 4. Konveks n-gon
Fra toppunktet tegner vi alle mulige diagonaler. De deler n-gonen i trekanter, fordi hver af polygonens sider danner en trekant, bortset fra de sider, der støder op til toppunktet. Det er let at se på figuren, at summen af vinklerne for alle disse trekanter vil være nøjagtigt lig med summen af n-gonens indre vinkler. Da summen af vinklerne i en trekant er , så er summen af de indre vinkler af en n-gon:
Q.E.D.
Bevis 2. Et andet bevis for denne sætning er muligt. Lad os tegne en lignende n-gon i fig. 5 og forbind et hvilket som helst af dets indre punkter med alle hjørner.
Ris. 5.
Vi har fået en opdeling af n-gonen i n trekanter (lige så mange sider, som der er trekanter). Summen af alle deres vinkler er lig med summen af polygonens indre vinkler og summen af vinklerne ved indre punkt, og dette er vinklen. Vi har:
Q.E.D.
Bevist.
Ifølge den beviste sætning er det klart, at summen af vinklerne for en n-gon afhænger af antallet af dens sider (på n). For eksempel i en trekant, og summen af vinklerne er . I en firkant, og summen af vinklerne er osv.
Sætning. På summen af ydre vinkler af en konveks polygon (n-gon).
Hvor er antallet af dens vinkler (sider), og , …, er de ydre vinkler.
Bevis. Lad os afbilde en konveks n-gon i fig. 6 og angive dens indre og ydre vinkler.
Ris. 6. Konveks n-gon med udpegede udvendige vinkler
Fordi Det ydre hjørne er forbundet med det indre som tilstødende, så 
og tilsvarende for de resterende udvendige hjørner. Derefter:
Under transformationerne brugte vi den allerede beviste sætning om summen af indre vinkler af en n-gon.
Bevist.
Af den beviste sætning følger det interessant fakta, at summen af de ydre vinkler af en konveks n-gon er lig med 
på antallet af dens vinkler (sider). Forresten, i modsætning til summen af indre vinkler.
Bibliografi
- Alexandrov A.D. m.fl.. Geometri, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Lektier
Disse geometriske former omgiver os overalt. Konvekse polygoner kan være naturlige, såsom en honeycomb, eller kunstige (menneskeskabte). Disse tal bruges i produktionen forskellige typer belægninger, inden for maleri, arkitektur, dekorationer mv. Konvekse polygoner har den egenskab, at alle deres punkter er placeret på den ene side af en linje, der går gennem et par tilstødende hjørner af denne geometrisk figur. Der er andre definitioner. En konveks polygon er en, der er placeret i et enkelt halvplan i forhold til enhver ret linje, der indeholder en af dens sider.
Jeg ved elementær geometri betragtes altid udelukkende simple polygoner. For at forstå alle egenskaberne ved sådanne, er det nødvendigt at forstå deres natur. Først bør du forstå, at enhver linje, hvis ender falder sammen, kaldes lukket. Desuden kan figuren dannet af den have en række forskellige konfigurationer. En polygon er en simpel lukket stiplet linje, hvor naboled ikke er placeret på den samme lige linje. Dens led og spidser er henholdsvis siderne og spidserne af denne geometriske figur. En simpel polylinje bør ikke have selvskæringer.
En polygons hjørner kaldes tilstødende, hvis de repræsenterer enderne af en af dens sider. En geometrisk figur, der har n'te nummer toppe, og derfor n'te mængde sider kaldes en n-gon. Selve den stiplede linje kaldes grænsen eller konturen af denne geometriske figur. En polygonal plan eller flad polygon er den endelige del af ethvert plan, der er afgrænset af det. Tilstødende sider af denne geometriske figur er segmenter af en stiplet linje, der udgår fra et toppunkt. De vil ikke være tilstødende, hvis de kommer fra forskellige hjørner af polygonen.
Andre definitioner af konvekse polygoner
I elementær geometri er der flere definitioner, der svarer til betydningen, hvilket indikerer, hvilken polygon der kaldes konveks. Desuden er alle disse formuleringer i i samme grad er sande. En polygon betragtes som konveks, hvis den:
Hvert segment, der forbinder to punkter inde i det, ligger helt inden i det;
Alle dens diagonaler ligger inden i den;
Enhver indvendig vinkel overstiger ikke 180°.
En polygon opdeler altid et plan i 2 dele. En af dem er begrænset (den kan være omsluttet i en cirkel), og den anden er ubegrænset. Den første kaldes den indre region, og den anden er den ydre region af denne geometriske figur. Denne polygon er skæringspunktet (med andre ord den fælles komponent) af flere halvplaner. Desuden hører hvert segment, der har ender ved punkter, der hører til polygonen, fuldstændig til det.
Varianter af konvekse polygoner
Definitionen af en konveks polygon indikerer ikke, at der er mange typer. Desuden har hver af dem visse kriterier. Således kaldes konvekse polygoner, der har en indre vinkel lig med 180°, svagt konvekse. En konveks geometrisk figur, der har tre hjørner, kaldes en trekant, fire - en firkant, fem - en femkant osv. Hver af de konvekse n-goner opfylder følgende vigtigste krav: n skal være lig med eller større end 3. Hver af trekanterne er konvekse. Geometrisk figur af denne type, hvis alle hjørner er placeret på den samme cirkel kaldes indskrevet i en cirkel. En konveks polygon kaldes omskrevet, hvis alle dens sider nær cirklen rører ved den. To polygoner siges kun at være kongruente, hvis de kan bringes sammen ved superposition. En plan polygon er et polygonalt plan (en del af et plan), der er begrænset af denne geometriske figur.
Regelmæssige konvekse polygoner
Regelmæssige polygoner er geometriske figurer med lige store vinkler og parterne. Inde i dem er der et punkt 0, som er placeret i samme afstand fra hvert af dets hjørner. Det kaldes midten af denne geometriske figur. De segmenter, der forbinder midten med hjørnerne af denne geometriske figur, kaldes apotemer, og dem, der forbinder punktet 0 med siderne, er radier.
En regulær firkant er en firkant. Almindelig trekant kaldet ligesidet. For sådanne figurer er der følgende regel: hver vinkel af en konveks polygon er lig med 180° * (n-2)/n,
hvor n er antallet af hjørner af denne konvekse geometriske figur.
Område af evt regulær polygon bestemt af formlen:
hvor p er lig med halvdelen af summen af alle sider af en given polygon, og h er lig med længden af apotemet.
Egenskaber for konvekse polygoner
Konvekse polygoner har visse egenskaber. Således er et segment, der forbinder 2 punkter af en sådan geometrisk figur, nødvendigvis placeret i det. Bevis:
Lad os antage, at P er en given konveks polygon. Tag 2 vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som tilhører R. Po eksisterende definition af en konveks polygon, er disse punkter placeret på den ene side af linjen, som indeholder en hvilken som helst side P. Følgelig har AB også denne egenskab og er indeholdt i P. En konveks polygon kan altid opdeles i flere trekanter med absolut alle diagonaler, der er trukket fra et af dets hjørner.
Vinkler af konvekse geometriske former
Vinklerne på en konveks polygon er vinklerne dannet af dens sider. Indvendige vinkler er placeret i det indre område af en given geometrisk figur. Vinklen dannet af dens sider, der mødes ved et toppunkt, kaldes vinklen på en konveks polygon. med indre vinkler af en given geometrisk figur kaldes ydre. Hver vinkel af en konveks polygon placeret inde i den er lig med:
hvor x er størrelsen af den ydre vinkel. Det her simpel formel gælder for alle geometriske figurer af denne type.
I almindelig sag, for udvendige vinkler er der følgende regel: Hver vinkel i en konveks polygon er lig med forskellen mellem 180° og størrelsen af den indre vinkel. Det kan have værdier fra -180° til 180°. Derfor, når den indre vinkel er 120°, vil den ydre vinkel være 60°.
Summen af vinkler af konvekse polygoner
Summen af de indre vinkler af en konveks polygon bestemmes af formlen:
hvor n er antallet af hjørner af n-gonen.
Summen af vinklerne af en konveks polygon beregnes ganske enkelt. Overvej enhver sådan geometrisk figur. For at bestemme summen af vinkler inde i en konveks polygon skal du forbinde en af dens hjørner med andre hjørner. Som et resultat af denne handling opnås (n-2) trekanter. Det er kendt, at summen af vinklerne i alle trekanter altid er lig med 180°. Da deres antal i enhver polygon er (n-2), er summen af de indre vinkler af en sådan figur lig med 180° x (n-2).
Summen af vinklerne for en konveks polygon, nemlig to indvendige og tilstødende ydre vinkler, for en given konveks geometrisk figur vil altid være lig med 180°. Baseret på dette kan vi bestemme summen af alle dens vinkler:
Summen af indvendige vinkler er 180° * (n-2). Baseret på dette bestemmes summen af alle ydre vinkler af en given figur af formlen:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Summen af de ydre vinkler af enhver konveks polygon vil altid være 360° (uanset antallet af sider).
Den ydre vinkel af en konveks polygon er generelt repræsenteret af forskellen mellem 180° og værdien af den indre vinkel.
Andre egenskaber ved en konveks polygon
Ud over de grundlæggende egenskaber ved disse geometriske former har de også andre, der opstår, når de manipuleres. Således kan enhver af polygonerne opdeles i flere konvekse n-goner. For at gøre dette skal du fortsætte hver af dens sider og skære denne geometriske figur langs disse lige linjer. Det er også muligt at opdele enhver polygon i flere konvekse dele på en sådan måde, at hjørnerne af hvert stykke falder sammen med alle dets hjørner. Fra sådan en geometrisk figur kan du meget enkelt lave trekanter ved at tegne alle diagonalerne fra et toppunkt. Således kan enhver polygon i sidste ende opdeles i et vist antal trekanter, hvilket viser sig at være meget nyttigt til at løse forskellige problemer forbundet med sådanne geometriske figurer.
Omkreds af en konveks polygon
De stiplede linjestykker, kaldet siderne af en polygon, er oftest betegnet med følgende bogstaver: ab, bc, cd, de, ea. Dette er siderne af en geometrisk figur med toppunkter a, b, c, d, e. Summen af længderne af alle siderne af denne konvekse polygon kaldes dens omkreds.
Cirkel af en polygon
Konvekse polygoner kan være indskrevet eller omskrevet. En cirkel, der berører alle sider af denne geometriske figur, kaldes indskrevet i den. Sådan en polygon kaldes omskrevet. Centrum af en cirkel, der er indskrevet i en polygon, er skæringspunktet for halveringslinjen for alle vinkler inden for en given geometrisk figur. Arealet af en sådan polygon er lig med:
hvor r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af den givne polygon.
En cirkel, der indeholder hjørnerne af en polygon, kaldes omskrevet omkring den. I dette tilfælde kaldes denne konvekse geometriske figur indskrevet. Cirklens centrum, som er beskrevet omkring en sådan polygon, er skæringspunktet for de såkaldte vinkelrette halveringslinjer på alle sider.
Diagonaler af konvekse geometriske former
Diagonalerne af en konveks polygon er segmenter, der forbinder ikke-tilstødende hjørner. Hver af dem ligger inde i denne geometriske figur. Antallet af diagonaler af en sådan n-gon bestemmes af formlen:
N = n (n - 3)/2.
Antallet af diagonaler af en konveks polygon spiller vigtig rolle i elementær geometri. Antallet af trekanter (K), som hver konveks polygon kan opdeles i, beregnes ved hjælp af følgende formel:
Antallet af diagonaler af en konveks polygon afhænger altid af antallet af dens hjørner.
Opdeling af en konveks polygon
I nogle tilfælde at løse geometriske problemer det er nødvendigt at opdele en konveks polygon i flere trekanter med usammenhængende diagonaler. Dette problem kan løses ved at udlede en bestemt formel.
Definition af problemet: lad os kalde korrekt en bestemt partition af en konveks n-gon i flere trekanter med diagonaler, der kun skærer hinanden i hjørnerne af denne geometriske figur.
Løsning: Antag, at P1, P2, P3..., Pn er hjørnerne af denne n-gon. Tallet Xn er antallet af dets partitioner. Lad os nøje overveje den resulterende diagonal af den geometriske figur Pi Pn. I nogen af korrekte skillevæggeР1 Pn tilhører en bestemt trekant Р1 Pi Pn, som har 1 Lad i = 2 være én gruppe af regulære partitioner, der altid indeholder diagonalen P2 Pn. Antallet af partitioner, der er inkluderet i det, falder sammen med antallet af partitioner af (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Det er med andre ord lig med Xn-1. Hvis i = 3, så vil denne anden gruppe af partitioner altid indeholde diagonalerne P3 P1 og P3 Pn. I dette tilfælde vil antallet af regulære partitioner i denne gruppe falde sammen med antallet af partitioner af (n-2)-gon P3 P4... Pn. Med andre ord vil det være lig med Xn-2. Lad i = 4, så vil den korrekte partition blandt trekanterne helt sikkert indeholde trekanten P1 P4 Pn, som støder op til firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Antallet af regulære partitioner af en sådan firkant er X4, og antallet af partitioner af en (n-3)-gon er Xn-3. Baseret på alt ovenstående kan vi sige, at det samlede antal almindelige partitioner i denne gruppe er lig med Xn-3 X4. Andre grupper, for hvilke i = 4, 5, 6, 7... vil indeholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... almindelige partitioner. Lad i = n-2, så vil antallet af korrekte partitioner i denne gruppe falde sammen med antallet af partitioner i gruppen, for hvilke i=2 (med andre ord lig med Xn-1). Da X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., så er antallet af alle partitioner i en konveks polygon lig med: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Når man kontrollerer særlige tilfælde, kan man komme til den antagelse, at antallet af diagonaler af konvekse n-goner er lig med produktet af alle partitioner af denne figur i (n-3). Bevis for denne antagelse: forestil dig, at P1n = Xn * (n-3), så kan enhver n-gon opdeles i (n-2)-trekanter. Desuden kan en (n-3)-firkant dannes af dem. Sammen med dette vil hver firkant have en diagonal. Da der kan tegnes to diagonaler i denne konvekse geometriske figur, betyder det, at yderligere (n-3) diagonaler kan tegnes i alle (n-3)-firkanter. Baseret på dette kan vi konkludere, at i enhver almindelig partition er det muligt at tegne (n-3)-diagonaler, der opfylder betingelserne for dette problem. Ofte, når man løser forskellige problemer med elementær geometri, bliver det nødvendigt at bestemme arealet af en konveks polygon. Antag, at (Xi. Yi), i = 1,2,3...n er en sekvens af koordinater for alle nabospidser af en polygon, der ikke har selvskæringspunkter. I dette tilfælde beregnes dens areal ved hjælp af følgende formel: S = ½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), hvor (X1, Y1) = (Xn+1, Yn+1). Polygon koncept Definition 1 Polygon er en geometrisk figur i et plan, som består af segmenter forbundet i par, de tilstødende ligger ikke på samme lige linje. I dette tilfælde kaldes segmenterne sider af polygonen og deres ender - polygonens hjørner. Definition 2 En $n$-gon er en polygon med $n$ hjørner. Definition 3 Hvis en polygon altid ligger på samme side af en linje, der går gennem dens sider, kaldes polygonen konveks(Fig. 1). Figur 1. Konveks polygon Definition 4 Hvis en polygon ligger på modsatte sider af mindst én ret linje, der går gennem dens sider, kaldes polygonen ikke-konveks (fig. 2). Figur 2. Ikke-konveks polygon Lad os introducere en sætning om summen af vinklerne i en trekant. Sætning 1 Summen af vinklerne i en konveks trekant bestemmes som følger \[(n-2)\cdot (180)^0\] Bevis. Lad os få en konveks polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Lad os forbinde dets toppunkt $A_1$ med alle andre hjørner af denne polygon (fig. 3). Figur 3. Med denne forbindelse får vi $n-2$ trekanter. Ved at summere deres vinkler får vi summen af vinklerne for en given -gon. Da summen af vinklerne i en trekant er lig med $(180)^0,$ får vi, at summen af vinklerne i en konveks trekant bestemmes af formlen \[(n-2)\cdot (180)^0\] Sætningen er blevet bevist. Ved at bruge definitionen af $2$ er det nemt at introducere definitionen af en firkant. Definition 5 En firkant er en polygon med $4$ hjørner (fig. 4). Figur 4. Firkant For en firkant er begreberne en konveks firkant og en ikke-konveks firkant defineret på samme måde. Klassiske eksempler på konvekse firkanter er kvadrat, rektangel, trapez, rombe, parallelogram (fig. 5). Figur 5. Konvekse firkanter Sætning 2 Summen af vinklerne på en konveks firkant er $(360)^0$ Bevis. Ved sætning $1$ ved vi, at summen af vinklerne af en konveks -gon bestemmes af formlen \[(n-2)\cdot (180)^0\] Derfor er summen af vinklerne på en konveks firkant lig med \[\venstre(4-2\højre)\cdot (180)^0=(360)^0\] Sætningen er blevet bevist.Antal regulære skillevægge, der skærer en diagonal indeni
Område med konvekse polygoner
Typer af polygoner
Summen af vinkler af en polygon
Begrebet en firkant
