MAOU "Lyceum of Innovative Technologies"

Polyedriske vinkler. Konvekse polyedre

Udarbejdet af 10B klasse elev: Alexey Burykin

Tjekket af: Dubinskaya I.A.

Khabarovsk

Polyhedral vinkel

Polyhedral vinkel er en figur dannet af plane vinkler, således at følgende betingelser er opfyldt:

1) ikke to vinkler har fælles punkter, undtagen deres fælles toppunkt eller hele side;

2) for hver af disse vinkler er hver af dens sider fælles med én og kun én anden sådan vinkel;

3) fra hvert hjørne kan du gå til hvert hjørne langs hjørner, der har en fælles side;

4) ingen to vinkler med fælles side ikke ligge i samme plan.

• Vinkler ASB, BSC,... kaldes flade vinkler eller kanter, deres sider SA, SB, ... kaldes ribben, og det fælles toppunkt S- top polyedrisk vinkel.

Sætning 1.

I en trihedral vinkel er hver plan vinkel mindre end summen af ​​de to andre plane vinkler.

Følge

• / ASC- / ASB/CSB; / ASC- / CSB/ASB.

I en trihedral vinkel er hver plan vinkel større end forskellen mellem de to andre vinkler .

Sætning 2.

• Summen af ​​værdierne af alle tre plane vinkler i en trihedrisk vinkel er mindre end 360° .

180°, hvilket betyder, at α + β + γ " width="640"

Bevis

Lad os betegne

så har vi fra trekanterne ASC, ASB, BSC

Nu tager uligheden form

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

hvoraf følger det

α + β + γ

De enkleste tilfælde af lighed af trihedriske vinkler

• 1) langs en lige stor dihedral vinkel indesluttet mellem to tilsvarende lige store og identisk adskilte plane vinkler , eller 2) langs en lige plan vinkel indesluttet mellem to tilsvarende ens og identisk placeret dihedrale vinkler .

Konveks polyedrisk vinkel

• En polyedrisk vinkel kaldes konveks, hvis den er helt placeret på den ene side af planet af hver af dens flader, som er forlænget i det uendelige.

Polyeder.

Polyeder, i tredimensionelt rum - en samling begrænset antal flade polygoner, sådan at hver side af en hvilken som helst af polygonerne samtidigt er siden af ​​en anden, kaldet ved siden af ​​den første.

Konvekse polyedre

Polyeder hedder konveks, hvis det ligger helt på den ene side af planet af nogen af ​​dets flader; så er dens kanter også konvekse.

Konveks polyeder skærer rummet i to dele - eksternt og internt. Dens indre del er en konveks krop. Omvendt, hvis overfladen af ​​en konveks krop er polyhedral, så er den tilsvarende polyhedron konveks.

Sætning. Summen af ​​alle de plane vinkler af en konveks polyedrisk vinkel er mindre end 360 grader.

Ejendom 1. I et konveks polyeder er alle ansigter konvekse polygoner.

Ejendom 2. Ethvert konveks polyeder kan være sammensat af pyramider med et fælles toppunkt, hvis basis danner overfladen af ​​polyederet.

En dihedral vinkel er en figur dannet af to halvplaner med en fælles lige linje, der begrænser dem. Halvplaner kaldes flader, og den rette linje, der begrænser dem, kaldes en kant af en dihedral vinkel.

Figur 142 viser en dihedral vinkel med kant a og flader a og (3.

Et plan vinkelret på kanten af ​​en dihedral vinkel skærer dens flader langs to halvlinjer. Vinklen dannet af disse halvlinjer kaldes den lineære vinkel for den dihedrale vinkel. Målet for en dihedral vinkel tages for at være målet for dens tilsvarende lineær vinkel. Hvis vi gennem punkt A på kant a af en dihedrisk vinkel tegner et plan y vinkelret på denne kant, så vil det skære planerne a og (3 langs halve linjer (fig. 142); den lineære vinkel for en given dihedral vinkel. gradmål for denne lineære vinkel er gradsmål dihedral vinkel. Målingen af ​​den dihedrale vinkel afhænger ikke af valget af den lineære vinkel.

En trihedrisk vinkel er en figur, der består af tre flade vinkler (fig. 143). Disse vinkler kaldes flader af en trihedrisk vinkel, og deres sider kaldes kanter. Det fælles toppunkt for plane vinkler kaldes toppunktet for en triedrisk vinkel. De dihedriske vinkler dannet af fladerne og deres forlængelser kaldes de dihedriske vinkler af en trihedrisk vinkel.

Begrebet en polyedrisk vinkel defineres på samme måde som en figur, der består af flade vinkler (fig. 144). For en polyedrisk vinkel er begreberne flader, kanter og dihedriske vinkler defineret på samme måde som for en trihedral vinkel.

Et polyeder er et legeme, hvis overflade består af et begrænset antal flade polygoner (fig. 145).

Et polyeder kaldes konveks, hvis det er placeret på den ene side af hver polygons plan på dens overflade (fig. 145, a, b). en fælles del sådan et plan og overfladen af ​​et konveks polyeder kaldes et ansigt. Overfladerne på et konveks polyeder er konvekse polygoner. Siderne af siderne kaldes polyederens kanter, og hjørnerne kaldes polyederens hjørner.

Polyhedriske vinkler En polyedrisk vinkel er en rumlig analog til en polygon på et plan. Husk på, at en polygon på et plan er en figur dannet af en simpel lukket brudt linje i dette plan og det indre område begrænset af det.

Definition af polyedrisk vinkel En overflade dannet af et begrænset sæt af plane vinkler A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 med et fælles toppunkt S, hvor nabovinkler ikke har fælles punkter, bortset fra punkter af en fælles stråle, og ikke-nabohjørner ikke har fælles punkter, bortset fra et fælles toppunkt, vil blive kaldt en polyedrisk overflade. Figuren dannet af den specificerede overflade og en af ​​de to dele af rummet, der er begrænset af den, kaldes en polyedrisk vinkel. Det fælles toppunkt S kaldes toppunktet for en polyedrisk vinkel. Strålerne SA 1, ..., SAn kaldes kanterne af den polyedriske vinkel, og selve planvinklerne A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 – flader af en polyedrisk vinkel. En polyedrisk vinkel er angivet med bogstaverne SA 1...An, der angiver toppunktet og punkter på dets kanter.

Typer af polyedriske vinkler Afhængigt af antallet af flader er polyedriske vinkler triedriske, tetraedriske, femkantede osv.

Opgave 1 Giv eksempler på polyedre, hvis flader, der skærer hinanden ved hjørnerne, kun danner: a) triedriske vinkler; b) tetraedriske vinkler; c) femkantede vinkler. Svar: a) Tetrahedron, terning, dodekaeder; b) oktaeder; c) icosahedron.

Opgave 2 Giv eksempler på polyedre, hvis flader, der skærer hinanden ved hjørnerne, kun danner: a) triedriske og tetraedriske vinkler; b) triedriske og femkantede vinkler; c) tetraedriske og femkantede vinkler. Svar: a) firkantet pyramide, trekantet bipyramide; b) femkantet pyramide; c) femkantet bipyramide.

Trekantulighed For en trekant gælder følgende sætning. Sætning (Trekantulighed). Hver side af en trekant er mindre end summen af ​​de to andre sider. Lad os bevise, at for en trihedral vinkel gælder følgende: rumlig analog denne sætning. Sætning. Hver plan vinkel i en trihedrisk vinkel er mindre end summen af ​​dens to andre plane vinkler.

Bevis Overvej den triedriske vinkel SABC. Lad den største af dens plane vinkler være vinkel ASC. Så er ulighederne ASB ASC opfyldt

Skæringspunkt for halveringslinjer For en trekant gælder følgende sætning. Sætning. Halveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i et punkt - midten af ​​den indskrevne cirkel. Lad os bevise, at for en trihedrisk vinkel gælder den følgende rumlige analog af denne sætning. Sætning. Halveringsplanerne for de dihedriske vinkler i en trihedrisk vinkel skærer hinanden langs en ret linje.

Bevis Overvej den triedriske vinkel SABC. Halveringsplanet SAD for den dihedriske vinkel SA er sted punkter af denne vinkel lige langt fra dens flader SAB og SAC. Tilsvarende er halveringsfladen SBE for en dihedral vinkel SB stedet for punkterne i denne vinkel lige langt fra dens flader SAB og SBC. Linjen i deres skæringspunkt SO vil bestå af punkter, der er lige langt fra alle flader af den triedriske vinkel. Følgelig vil halveringsfladen af ​​den dihedriske vinkel SC passere gennem den.

Skæringspunkt for vinkelrette halveringslinjer For en trekant gælder følgende sætning. Sætning. De vinkelrette halveringslinjer på siderne af trekanten skærer hinanden i et punkt - midten af ​​den omskrevne cirkel. Lad os bevise, at for en trihedrisk vinkel gælder den følgende rumlige analog af denne sætning. Sætning. Planer, der går gennem halveringslinjerne af flader i en trihedrisk vinkel og vinkelret på disse flader skærer langs en lige linje.

Bevis Overvej den triedriske vinkel SABC. Planet, der går gennem halveringslinjen SD af vinklen BSC og vinkelret på dets plan, består af punkter, der er lige langt fra kanterne SB og SC af den triedriske vinkel SABC. På samme måde består planet, der går gennem halveringslinjen SE af vinklen ASC og vinkelret på dets plan, af punkter lige langt fra kanterne SA og SC af den triedriske vinkel SABC. Linjen i deres skæringspunkt SO vil bestå af punkter, der er lige langt fra alle kanterne af den triedriske vinkel. Følgelig vil den være indeholdt af et plan, der går gennem halveringslinjen for vinkel ASB og vinkelret på dets plan.

Skæringspunkt for medianer For en trekant gælder følgende sætning. Sætning. Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt - midten af ​​den indskrevne cirkel. Lad os bevise, at for en trihedrisk vinkel gælder den følgende rumlige analog af denne sætning. Sætning. Planerne, der passerer gennem kanterne af en trihedrisk vinkel, og halveringslinjerne på modsatte flader skærer hinanden langs en lige linje.

Bevis Overvej den triedriske vinkel SABC. Vi lægger den på hans ribben lige store segmenter SA = SB = CS. Halveringslinjer SD, SE, SF af plane vinkler af en trihedrisk vinkel er medianerne af henholdsvis trekanter SBC, SAB. Derfor er AD, BE, CF medianer trekant ABC. Lad O være skæringspunktet for medianerne. Så vil den rette linje SO være skæringslinjen for de overvejede planer.

Skæringspunkt for højder For en trekant gælder følgende sætning. Sætning. Højderne af en trekant eller deres forlængelser skærer hinanden på et punkt. Lad os bevise, at for en trihedrisk vinkel gælder den følgende rumlige analog af denne sætning. Sætning. Planer, der passerer gennem kanterne af en trihedrisk vinkel og vinkelret på planerne af modsatte flader, skærer hinanden langs en lige linje.

Bevis Overvej den trihedriske vinkel Sabc. Lad d, e, f være skæringslinjerne for planerne af fladerne i en trihedrisk vinkel med planerne, der går gennem kanterne a, b, c af denne vinkel og vinkelret på de tilsvarende planer af fladerne. Lad os vælge et punkt C på kanten c. Lad os slippe perpendikulerne CD og CE fra den på henholdsvis linje d og e. Lad os med A og B betegne skæringspunkterne mellem linjerne CD og CE med linjerne SB og SA, henholdsvis. Linje d er ortogonal projektion direkte AD til BSC-planet. Da BC er vinkelret på linje d, er den også vinkelret på linje AD. På samme måde er linjen AC vinkelret på linjen BE. Lad O være skæringspunktet mellem linjerne AD og BE. Linje BC er vinkelret på plan SAD, derfor er den vinkelret på linje SO. På samme måde er linje AC vinkelret på plan SBE, og derfor er den vinkelret på linjen SO. Linjen SO er således vinkelret på linjerne BC og AC, derfor vinkelret på plan ABC, hvilket betyder, at den er vinkelret på linje AB. På den anden side er linjen CO vinkelret på linjen AB. Linjen AB er således vinkelret på plan SOC. Fly SAB passerer gennem linje AB, vinkelret på planet SOC er derfor i sig selv vinkelret på dette plan. Det betyder, at alle tre undersøgte planer skærer hinanden langs den rette linie SO.

Summen af ​​plane vinkler Sætning. Summen af ​​de plane vinkler af en trihedrisk vinkel er mindre end 360°. Bevis. Lad SABC være den givne trihedriske vinkel. Overvej en triedrisk vinkel med top A dannet af flader ABS, ACS og vinkel BAC. På grund af trekantsuligheden holder uligheden BAC

Konvekse polyedriske vinkler En polyedrisk vinkel kaldes konveks, hvis den er det konveks figur, dvs. sammen med hvilke som helst af dens punkter, indeholder den helt det segment, der forbinder dem. Figuren viser eksempler på konvekse og ikke-konvekse polyedriske vinkler. Ejendom. Summen af ​​alle plane vinkler af en konveks polyedrisk vinkel er mindre end 360°. Beviset svarer til beviset for den tilsvarende egenskab for en trihedral vinkel.
Opgave 5 To plane vinkler af en trihedrisk vinkel er 70° og 80°. Hvad er grænserne for den tredje planvinkel? Svar: 10 o

Opgave 6 De plane vinkler for en trihedrisk vinkel er 45°, 45° og 60°. Find vinklen mellem planerne med planvinkler på 45°. Svar: 90 o.

Opgave 7 I en trihedrisk vinkel er to plane vinkler lig med 45°; den dihedrale vinkel mellem dem er ret. Find den tredje planvinkel. Svar: 60 o.

Opgave 8 De plane vinkler for en trihedrisk vinkel er 60°, 60° og 90°. Lige segmenter OA, OB, OC lægges på dets kanter fra toppunktet. Find den dihedrale vinkel mellem 90° vinkelplanet og ABC-planet. Svar: 90 o.

Øvelse 9 Hver plan vinkel i en trihedrisk vinkel er lig med 60°. På en af ​​dens kanter lægges et segment svarende til 3 cm fra toppen, og en vinkelret falder fra dens ende til den modsatte flade. Find længden af ​​denne vinkelret. Svar: se

Definitioner. Lad os tage flere vinkler (fig. 37): ASB, BSC, CSD, som støder op til hinanden sekventielt er placeret i samme plan omkring det fælles toppunkt S.

Lad os dreje vinkelplanet ASB omkring den fælles side SB, så dette plan danner en vis dihedral vinkel med planet BSC. Derefter, uden at ændre den resulterende dihedriske vinkel, roterer vi den omkring den lige linje SC, så BSC-planet laver en bestemt dihedral vinkel med CSD-planet. Lad os fortsætte denne sekventielle rotation omkring hver fælles side. Hvis den sidste side SF falder sammen med den første side SA, så dannes der en figur (fig. 38), som kaldes polyedrisk vinkel. Vinkler ASB, BSC,... kaldes flade vinkler eller kanter, deres sider SA, SB, ... kaldes ribben, og det fælles toppunkt S- top polyedrisk vinkel.

Hver kant er også en kant af en vis dihedral vinkel; derfor er der i en polyedrisk vinkel lige så mange dihedriske vinkler og lige så mange plane vinkler, som der er alle kanterne i den. Det mindste antal der er tre flader i en polyedrisk vinkel; denne vinkel kaldes trekantet. Der kan være tetraedriske, femkantede osv. vinkler.

En polyedrisk vinkel er enten angivet med et enkelt bogstav S placeret ved toppunktet eller med en række bogstaver SABCDE, hvoraf det første angiver toppunktet, og de andre - kanterne i rækkefølgen efter deres placering.

En polyedrisk vinkel kaldes konveks, hvis den er helt placeret på den ene side af planet af hver af dens flader, som er forlænget i det uendelige. Dette er for eksempel vinklen vist på tegning 38. Tværtimod kan vinklen på tegning 39 ikke kaldes konveks, da den er placeret på begge sider af ASB-kanten eller BCC-kanten.

Hvis vi skærer alle flader af en polyedrisk vinkel med et plan, dannes en polygon i sektionen ( abcde ). I en konveks polyedrisk vinkel er denne polygon også konveks.

Vi vil kun overveje konvekse polyedriske vinkler.

Sætning. I en trihedral vinkel er hver plan vinkel mindre end summen af ​​de to andre plane vinkler.

Lad den største af planvinklerne i den trihedriske vinkel SABC (Fig. 40) være vinklen ASC.

Lad os på denne vinkel plotte vinklen ASD, lig med vinklen ASB, og tegne en ret linje AC, der skærer SD i et punkt D. Lad os plotte SB = SD. Ved at forbinde B med A og C får vi \(\Delta\)ABC, hvori

AD+DC< АВ + ВС.

Trekanter ASD og ASB er kongruente, fordi de hver indeholder en lige stor vinkel imellem lige sider: derfor AD = AB. Derfor, hvis vi i den afledte ulighed kasserer de lige udtryk AD og AB, opnår vi den DC< ВС.

Nu bemærker vi, at i trekanter SCD og SCB er to sider af den ene lig med to sider af den anden, men de tredje sider er ikke ens; i dette tilfælde ligger den større vinkel modsat den største af disse sider; Midler,

∠CSD< ∠ CSВ.

Ved at tilføje vinklen ASD til venstre side af denne ulighed, og vinklen ASB lig med den til højre, opnår vi den ulighed, der skulle bevises:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Vi har bevist, at selv den største plane vinkel er mindre end summen af ​​de to andre vinkler. Det betyder, at teoremet er bevist.

Følge. Træk fra begge sider af den sidste ulighed med vinkel ASB eller vinkel CSB; vi får:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

I betragtning af disse uligheder fra højre til venstre og under hensyntagen til den vinkel ASC som den største af tre hjørner større end forskellen på de to andre vinkler, kommer vi til den konklusion, at i en trihedral vinkel er hver plan vinkel større end forskellen mellem de to andre vinkler.

Sætning. I en konveks polyedrisk vinkel er summen af ​​alle plane vinkler mindre end 4d (360°) .

Lad os krydse kanterne (fig. 41) konveks vinkel SABCDE på et eller andet plan; heraf får vi et konvekst tværsnit n-gon ABCDE.

Ved at anvende det tidligere beviste sætning på hver af de trihedriske vinkler, hvis toppunkter er placeret i punkterne A, B, C, D og E, pacholymer vi:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Lad os lægge alle disse uligheder sammen efter sigt. Så på venstre side får vi summen af ​​alle vinkler af polygonen ABCDE, som er lig med 2 dn - 4d , og til højre - summen af ​​vinklerne for trekanter ABS, SBC osv., bortset fra de vinkler, der ligger i toppunktet S. Betegner summen af ​​disse sidste vinkler med bogstavet x , får vi efter tilføjelse:

2dn - 4d < 2dn - x .

Siden i forskelle 2 dn - 4d og 2 dn - x minuenderne er de samme, så for at den første forskel skal være mindre end den anden, er det nødvendigt, at subtrahend 4 d var mere end selvrisikoen x ; det betyder 4 d > x , dvs. x < 4d .

De enkleste tilfælde af lighed af trihedriske vinkler

Sætninger. Triedriske vinkler er ens, hvis de har:

1) langs en lige stor dihedral vinkel indesluttet mellem to tilsvarende lige store og identisk adskilte plane vinkler, eller

2) langs en lige plan vinkel indesluttet mellem to tilsvarende lige store og identisk adskilte dihedriske vinkler.

1) Lad S og S 1 være to trihedriske vinkler (fig. 42), for hvilke ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (og disse lige store vinkler identisk placeret), og den dihedriske vinkel AS er lig med den dihedriske vinkel A1S1.

Lad os indsætte vinklen S 1 i vinklen S, så deres punkter S 1 og S, rette linjer S 1 A 1 og SA og planer A 1 S 1 B 1 og ASB falder sammen. Så vil kanten S 1 B 1 gå langs SB (på grund af ligheden mellem vinklerne A 1 S 1 B 1 og ASB), planet A 1 S 1 C 1 vil gå langs ASC (i kraft af ligheden af ​​dihedriske vinkler ) og kanten S 1 C 1 vil gå langs kanten SC (på grund af ligheden mellem vinklerne A 1 S 1 C 1 og ASC). Således vil de trihedriske vinkler falde sammen med alle deres kanter, dvs. de vil være lige.

2) Det andet tegn, ligesom det første, bevises ved indlejring.

Symmetriske polyedriske vinkler

Som bekendt, lodrette vinkler er ens, når vi taler om vinkler dannet af rette linjer eller planer. Lad os se, om dette udsagn er sandt i forhold til polyedriske vinkler.

Lad os fortsætte (fig. 43) alle kanterne af vinklen SABCDE ud over toppunktet S, så dannes endnu en polyedrisk vinkel SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, som kan kaldes lodret i forhold til den første vinkel. Det er let at se, at begge vinkler har lige store flade og dihedrale vinkler, men begge er placeret i omvendt rækkefølge. Faktisk, hvis vi forestiller os en iagttager, der ser udefra en polyedrisk vinkel på dens toppunkt, så vil kanterne SA, SB, SC, SD, SE for ham synes at være placeret i retning mod uret, mens han ser på vinklen SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, han ser kanterne SA 1, SB 1, ..., placeret i urets retning.

Polyedriske vinkler med tilsvarende lige plane og dihedriske vinkler, men placeret i modsat rækkefølge, kan generelt ikke kombineres, når de er indlejret; det betyder, at de ikke er lige. Sådanne vinkler kaldes symmetrisk(i forhold til toppunktet S). Symmetrien af ​​figurer i rummet vil blive diskuteret mere detaljeret nedenfor.

Andre materialer

Lad os betragte tre stråler a, b, c, der udgår fra samme punkt og ikke ligger i samme plan. En trihedrisk vinkel (abc) er en figur, der består af tre flade vinkler (ab), (bc) og (ac) (fig. 2) Disse vinkler kaldes flader af en trihedrisk vinkel, og deres sider kaldes kanter; det fælles toppunkt for flade vinkler kaldes toppunktet for en trihedrisk vinkel. De dihedriske vinkler dannet af flader af en trihedrisk vinkel kaldes dihedriske vinkler af en trihedrisk vinkel.

Begrebet en polyedrisk vinkel er defineret på samme måde (fig. 3).

Polyeder

I stereometri studeres figurer i rummet kaldet kroppe. En visuel (geometrisk) krop skal forestilles som en del af rummet optaget fysisk krop og begrænset af overfladen.

Et polyeder er et legeme, hvis overflade består af et begrænset antal flade polygoner (fig. 4). Et polyeder kaldes konveks, hvis det er placeret på den ene side af planet af hver plan polygon på dens overflade. Den fælles del af et sådant plan og overfladen af ​​et konveks polyeder kaldes et ansigt. Overfladerne på et konveks polyeder er flade konvekse polygoner. Siderne af siderne kaldes polyederens kanter, og hjørnerne kaldes polyederens hjørner.

Lad os forklare dette ved at bruge eksemplet med en velkendt terning (fig. 5). En terning er et konveks polyeder. Dens overflade består af seks firkanter: ABCD, BEFC, .... Disse er dens ansigter. Terningens kanter er siderne af disse firkanter: AB, BC, BE,.... Hjørnerne på en terning er hjørnerne af kvadraterne: A, B, C, D, E, .... Terningen har seks flader, tolv kanter og otte hjørner.

For de enkleste polyedre - prismer og pyramider, som vil være hovedobjektet for vores undersøgelse - vil vi give definitioner, der i det væsentlige ikke bruger begrebet krop. De vil blive defineret som geometriske figurer angiver alle de punkter i rummet, der tilhører dem. Koncept geometrisk krop og dens overflade i almindelig sag vil blive givet senere.