Bestemmelse af konveksiteten af ​​en polygon.

Kirus-Back-algoritmen antager tilstedeværelsen af ​​en konveks polygon, der bruges som et vindue.

Men i praksis opstår opgaven med at afskære en polygon meget ofte, og information om, hvorvidt den er konveks eller ej, gives i første omgang ikke. I dette tilfælde, før du starter skæreproceduren, er det nødvendigt at bestemme, hvilken polygon der er givet - konveks eller ej.

Lad os give nogle definitioner af konveksiteten af ​​en polygon

En polygon betragtes som konveks, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

1) i en konveks polygon er alle hjørner placeret på den ene side af linjen, der bærer en hvilken som helst kant (langs indersiden i forhold til en given kant);

2) alle indvendige vinkler af polygonen er mindre end 180°;

3) alle diagonaler, der forbinder hjørnerne af en polygon, ligger inden for denne polygon;

4) alle hjørner af polygonen gennemløbes i samme retning (fig. 3.3-1).

For at udvikle en analytisk repræsentation af det sidste konveksitetskriterium bruger vi vektorproduktet.

Vektor kunstværk W to vektorer -en Og b (Fig. 3.3-2 a) defineret som:

A x ,a y ,a z og b x ,b y ,b z er projektioner på henholdsvis koordinatakserne X ,Y ,Z for faktorvektorerne -en Og b,

- jeg, j, k– enhedsvektorer langs koordinatakserne X, Y, Z.

Ris.3.3 ‑ 1

Ris.3.3 ‑ 2

Hvis vi betragter den todimensionelle repræsentation af en polygon som dens repræsentation i koordinatplan XY tredimensionelt koordinatsystem X,Y,Z (fig. 3.3-2 b), derefter udtrykket for formationen vektor produkt vektorer U Og V, hvor vektorerne U Og V er tilstødende kanter, der danner et hjørne af en polygon, kan skrives som en determinant:

Krydsproduktets vektor er vinkelret på det plan, hvori faktorvektorerne er placeret. Retningen af ​​produktvektoren bestemmes af gimlet-reglen eller højre skrue-reglen.

For tilfældet præsenteret i fig. 3.3-2 b ), vektor W, svarende til vektorproduktet af vektorer V, U, vil have samme retning som retningen koordinatakse Z.

I betragtning af at projektionerne på Z-aksen af ​​faktorvektorerne i dette tilfælde er lig med nul, kan vektorproduktet repræsenteres som:

(3.3-1)

Enhedsvektor k altid positiv, deraf tegnet for vektoren w vektorprodukt vil kun blive bestemt af tegnet af determinanten D i ovenstående udtryk. Bemærk, at baseret på egenskaben af ​​vektorproduktet, når du udveksler faktorvektorerne U Og V vektor tegn w vil ændre sig til det modsatte.

Det følger, at hvis som vektorer V Og U overveje to tilstødende kanter af en polygon, så kan rækkefølgen af ​​opremsning af vektorerne i vektorproduktet sættes i overensstemmelse med krydsningen af ​​hjørnet af den overvejede polygon eller kanterne, der danner denne vinkel. Dette giver dig mulighed for at bruge følgende regel som et kriterium til at bestemme konveksiteten af ​​en polygon:

hvis for alle par af kanter af polygonen følgende betingelse er opfyldt:

Hvis tegnene for vektorprodukterne for individuelle vinkler ikke falder sammen, er polygonen ikke konveks.

Da kanterne af en polygon er specificeret i form af koordinater for deres endepunkter, er det mere bekvemt at bruge en determinant til at bestemme tegnet for vektorproduktet.

Disse geometriske former omgiver os overalt. Konvekse polygoner kan være naturlige, såsom en honeycomb, eller kunstige (menneskeskabte). Disse tal bruges i produktionen forskellige typer belægninger, inden for maleri, arkitektur, dekorationer mv. Konvekse polygoner har den egenskab, at alle deres punkter er placeret på den ene side af en lige linje, der passerer gennem et par tilstødende hjørner af denne geometriske figur. Der er andre definitioner. En konveks polygon er en, der er placeret i et enkelt halvplan i forhold til enhver ret linje, der indeholder en af ​​dens sider.

Jeg ved elementær geometri Kun simple polygoner tages altid i betragtning. For at forstå alle egenskaberne ved sådanne, er det nødvendigt at forstå deres natur. Først skal du forstå, at enhver linje, hvis ender falder sammen, kaldes lukket. Desuden kan figuren dannet af den have en række forskellige konfigurationer. En polygon er en simpel lukket brudt linje, hvor naboled ikke er placeret på samme lige linje. Dens led og spidser er henholdsvis siderne og spidserne af denne geometriske figur. En simpel polylinje bør ikke have selvskæringer.

En polygons hjørner kaldes tilstødende, hvis de repræsenterer enderne af en af ​​dens sider. En geometrisk figur, der har n'te nummer toppe, og derfor n'te mængde sider kaldes en n-gon. Selve den stiplede linje kaldes grænsen eller konturen af ​​denne geometriske figur. En polygonal plan eller flad polygon er den endelige del af ethvert plan, der er afgrænset af det. Tilstødende sider af denne geometriske figur er segmenter af en stiplet linje, der udgår fra et toppunkt. De vil ikke være tilstødende, hvis de kommer fra forskellige hjørner af polygonen.

Andre definitioner af konvekse polygoner

I elementær geometri er der flere definitioner, der svarer til betydningen, hvilket indikerer, hvilken polygon der kaldes konveks. Desuden er alle disse formuleringer i i samme grad er sande. En polygon betragtes som konveks, hvis den:

Hvert segment, der forbinder to punkter inde i det, ligger helt inden i det;

Alle dens diagonaler ligger inden i den;

Enhver indvendig vinkel overstiger ikke 180°.

En polygon opdeler altid et plan i 2 dele. En af dem er begrænset (den kan være indesluttet i en cirkel), og den anden er ubegrænset. Den første kaldes den indre region, og den anden er den ydre region af denne geometriske figur. Denne polygon er skæringspunktet (med andre ord den fælles komponent) af flere halvplaner. Desuden hører hvert segment, der har ender ved punkter, der hører til polygonen, fuldstændig til det.

Varianter af konvekse polygoner

Definitionen af ​​en konveks polygon indikerer ikke, at der er mange typer. Desuden har hver af dem visse kriterier. Konvekse polygoner, der har en indre vinkel lig med 180°, kaldes således svagt konvekse. En konveks geometrisk figur, der har tre hjørner, kaldes en trekant, fire - en firkant, fem - en femkant osv. Hver af de konvekse n-goner opfylder følgende vigtigste krav: n skal være lig med eller større end 3. Hver af trekanterne er konvekse. Geometrisk figur af denne type, hvis alle hjørner er placeret på den samme cirkel kaldes indskrevet i en cirkel. En konveks polygon kaldes omskrevet, hvis alle dens sider nær cirklen rører ved den. To polygoner siges kun at være kongruente, hvis de kan bringes sammen ved superposition. En plan polygon er et polygonalt plan (en del af et plan), der er begrænset af denne geometriske figur.

Regelmæssige konvekse polygoner

Regelmæssige polygoner er geometriske figurer med lige store vinkler og parterne. Inde i dem er der et punkt 0, som er placeret i samme afstand fra hvert af dets hjørner. Det kaldes midten af ​​denne geometriske figur. De segmenter, der forbinder midten med hjørnerne af denne geometriske figur, kaldes apotemer, og dem, der forbinder punktet 0 med siderne, er radier.

En regulær firkant er en firkant. Almindelig trekant kaldet ligesidet. For sådanne figurer er der følgende regel: hver vinkel i en konveks polygon er lig med 180° * (n-2)/n,

hvor n er antallet af hjørner af denne konvekse geometriske figur.

Område af evt regulær polygon bestemt af formlen:

hvor p er lig med halvdelen af ​​summen af ​​alle sider givet polygon, og h er lig med længden af ​​apotemet.

Egenskaber for konvekse polygoner

Konvekse polygoner har visse egenskaber. Således er et segment, der forbinder alle 2 punkter af en sådan geometrisk figur, nødvendigvis placeret i det. Bevis:

Lad os antage, at P er givet konveks polygon. Tag 2 vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som tilhører R. Po eksisterende definition af en konveks polygon, er disse punkter placeret på den ene side af linjen, som indeholder en hvilken som helst side P. Følgelig har AB også denne egenskab og er indeholdt i P. En konveks polygon kan altid opdeles i flere trekanter med absolut alle diagonaler, der er trukket fra et af dets hjørner.

Vinkler af konvekse geometriske former

Vinklerne på en konveks polygon er vinklerne dannet af dens sider. Indvendige vinkler er placeret i det indre område af en given geometrisk figur. Vinklen dannet af dens sider, der mødes ved et toppunkt, kaldes vinklen på en konveks polygon. med indre vinkler af en given geometrisk figur kaldes ydre. Hver vinkel af en konveks polygon placeret inde i den er lig med:

hvor x er størrelsen af ​​den ydre vinkel. Det her simpel formel gælder for evt geometriske former af en sådan type.

I almindelig sag, Til udvendige hjørner eksisterer følgende regel: Hver vinkel i en konveks polygon er lig med forskellen mellem 180° og størrelsen af ​​den indre vinkel. Det kan have værdier fra -180° til 180°. Derfor, når den indre vinkel er 120°, vil den ydre vinkel være 60°.

Summen af ​​vinkler af konvekse polygoner

Sum indvendige hjørner konveks polygon bestemmes af formlen:

hvor n er antallet af hjørner af n-gonen.

Summen af ​​vinklerne af en konveks polygon beregnes ganske enkelt. Overvej enhver sådan geometrisk figur. For at bestemme summen af ​​vinkler inde i en konveks polygon skal du forbinde en af ​​dens hjørner med andre hjørner. Som et resultat af denne handling opnås (n-2) trekanter. Det er kendt, at summen af ​​vinklerne i alle trekanter altid er lig med 180°. Da deres antal i enhver polygon er (n-2), er summen af ​​de indre vinkler af en sådan figur lig med 180° x (n-2).

Summen af ​​vinklerne for en konveks polygon, nemlig to indvendige og tilstødende ydre vinkler, for en given konveks geometrisk figur vil altid være lig med 180°. Baseret på dette kan vi bestemme summen af ​​alle dens vinkler:

Summen af ​​indvendige vinkler er 180° * (n-2). Baseret på dette bestemmes summen af ​​alle ydre vinkler af en given figur af formlen:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Summen af ​​de ydre vinkler af enhver konveks polygon vil altid være 360° (uanset antallet af sider).

Den ydre vinkel af en konveks polygon er generelt repræsenteret af forskellen mellem 180° og værdien af ​​den indre vinkel.

Andre egenskaber ved en konveks polygon

Ud over de grundlæggende egenskaber ved disse geometriske former har de også andre, der opstår, når de manipuleres. Således kan enhver af polygonerne opdeles i flere konvekse n-goner. For at gøre dette skal du fortsætte hver af dens sider og skære denne geometriske figur langs disse lige linjer. Det er også muligt at opdele en hvilken som helst polygon i flere konvekse dele på en sådan måde, at hjørnerne af hvert stykke falder sammen med alle dets hjørner. Fra sådan en geometrisk figur kan du meget enkelt lave trekanter ved at tegne alle diagonalerne fra et toppunkt. Således kan enhver polygon i sidste ende opdeles i et vist antal trekanter, hvilket viser sig at være meget nyttigt til at løse forskellige opgaver forbundet med sådanne geometriske figurer.

Omkreds af en konveks polygon

De stiplede linjestykker, kaldet siderne af en polygon, er oftest betegnet med følgende bogstaver: ab, bc, cd, de, ea. Dette er siderne af en geometrisk figur med toppunkter a, b, c, d, e. Summen af ​​længderne af alle siderne af denne konvekse polygon kaldes dens omkreds.

Cirkel af en polygon

Konvekse polygoner kan være indskrevet eller omskrevet. En cirkel, der berører alle sider af denne geometriske figur, kaldes indskrevet i den. Sådan en polygon kaldes omskrevet. Centrum af en cirkel, der er indskrevet i en polygon, er skæringspunktet for halveringslinjen for alle vinkler inden for en given geometrisk figur. Arealet af en sådan polygon er lig med:

hvor r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af ​​den givne polygon.

En cirkel, der indeholder hjørnerne af en polygon, kaldes omskrevet omkring den. I dette tilfælde kaldes denne konvekse geometriske figur indskrevet. Centret af cirklen, der er beskrevet omkring en sådan polygon, er skæringspunktet for de såkaldte vinkelrette halveringslinjer på alle sider.

Diagonaler af konvekse geometriske former

Diagonalerne af en konveks polygon er de segmenter, der forbinder nabotoppe. Hver af dem ligger inde i denne geometriske figur. Antallet af diagonaler af en sådan n-gon bestemmes af formlen:

N = n (n - 3)/2.

Antallet af diagonaler af en konveks polygon spiller vigtig rolle i elementær geometri. Antallet af trekanter (K), som hver konveks polygon kan opdeles i, beregnes ved hjælp af følgende formel:

Antallet af diagonaler af en konveks polygon afhænger altid af antallet af dens hjørner.

Opdeling af en konveks polygon

I nogle tilfælde at løse geometriske problemer det er nødvendigt at opdele en konveks polygon i flere trekanter med usammenhængende diagonaler. Dette problem kan løses ved at udlede en bestemt formel.

Definition af problemet: lad os kalde en bestemt partition korrekt konveks n-gon i flere trekanter med diagonaler, der kun skærer hinanden i hjørnerne af denne geometriske figur.

Løsning: Antag, at P1, P2, P3..., Pn er hjørnerne af denne n-gon. Tallet Xn er antallet af dets partitioner. Lad os nøje overveje den resulterende diagonal af den geometriske figur Pi Pn. I nogen af korrekte skillevæggeР1 Pn tilhører en bestemt trekant Р1 Pi Pn, som har 1

Lad i = 2 være én gruppe af regulære partitioner, der altid indeholder diagonalen P2 Pn. Antallet af partitioner, der er inkluderet i det, falder sammen med antallet af partitioner af (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Det er med andre ord lig med Xn-1.

Hvis i = 3, så vil denne anden gruppe af partitioner altid indeholde diagonalerne P3 P1 og P3 Pn. I dette tilfælde vil antallet af regulære partitioner i denne gruppe falde sammen med antallet af partitioner af (n-2)-gon P3 P4... Pn. Med andre ord vil det være lig med Xn-2.

Lad i = 4, så vil den korrekte partition blandt trekanterne helt sikkert indeholde trekanten P1 P4 Pn, som støder op til firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gonen P4 P5... Pn. Antallet af regulære partitioner af en sådan firkant er X4, og antallet af partitioner af en (n-3)-gon er Xn-3. Baseret på alt ovenstående kan vi sige, at det samlede antal almindelige partitioner i denne gruppe er lig med Xn-3 X4. Andre grupper, for hvilke i = 4, 5, 6, 7... vil indeholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... almindelige partitioner.

Lad i = n-2, så vil antallet af korrekte partitioner i denne gruppe falde sammen med antallet af partitioner i gruppen, for hvilke i=2 (med andre ord lig med Xn-1).

Da X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., så er antallet af alle partitioner i en konveks polygon lig med:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Antal regulære skillevægge, der skærer en diagonal indeni

Når man kontrollerer særlige tilfælde, kan man komme til den antagelse, at antallet af diagonaler af konvekse n-goner er lig med produktet af alle partitioner af denne figur i (n-3).

Bevis for denne antagelse: forestil dig, at P1n = Xn * (n-3), så kan enhver n-gon opdeles i (n-2)-trekanter. Desuden kan der dannes en (n-3)-firkant af dem. Sammen med dette vil hver firkant have en diagonal. Da der kan tegnes to diagonaler i denne konvekse geometriske figur, betyder det, at yderligere (n-3) diagonaler kan tegnes i alle (n-3)-firkanter. Baseret på dette kan vi konkludere, at i enhver almindelig partition er det muligt at tegne (n-3)-diagonaler, der opfylder betingelserne for dette problem.

Område med konvekse polygoner

Ofte, når man løser forskellige problemer med elementær geometri, bliver det nødvendigt at bestemme arealet af en konveks polygon. Antag, at (Xi. Yi), i = 1,2,3...n er en sekvens af koordinater for alle nabospidser af en polygon, der ikke har selvskæringspunkter. I dette tilfælde beregnes dens areal ved hjælp af følgende formel:

S = ½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)),

hvor (X1, Y1) = (Xn+1, Yn+1).

Et konveks sæt punkter på et plan.

Et sæt punkter på et plan eller i tredimensionelt rum kaldes konveks, hvis to punkter i dette sæt kan forbindes med et linjestykke, der ligger helt i dette sæt.

Sætning 1. Skæringspunktet mellem et endeligt antal konvekse mængder er et konveks sæt.

Følge. Skæringspunktet mellem et endeligt antal konvekse mængder er et konveks sæt.

Hjørnepunkter.

Grænsepunktet for en konveks mængde kaldes kantet, hvis det er muligt at tegne et segment igennem det, hvis alle punkter ikke hører til det givne sæt.

Sæt af forskellige former kan have et begrænset eller uendeligt antal hjørnepunkter.

Konveks polygon.

Polygon hedder konveks, hvis den ligger på den ene side af hver linje, der går gennem to af dens nabospidser.

Sætning: Summen af ​​vinklerne af en konveks n-gon er 180˚ *(n-2)

6) Løsning af systemer med m lineære uligheder med to variable

Givet et system af lineære uligheder med to variable

Tegnene på nogle eller alle uligheder kan være ≥.

Lad os overveje den første ulighed i X1OX2-koordinatsystemet. Lad os bygge en lige linje

som er grænselinjen.

Denne rette linje deler planet i to halvplaner 1 og 2 (fig. 19.4).

Halvplan 1 indeholder oprindelsen, halvplan 2 indeholder ikke oprindelsen.

For at bestemme hvilken side af grænselinjen en given halvplan er placeret på, skal du tage et vilkårligt punkt på planet (helst origo) og erstatte koordinaterne for dette punkt i uligheden. Hvis uligheden er sand, så vender halvplanet mod dette punkt, hvis det ikke er sandt, så i retning modsat punktet.

Retningen af ​​halvplanet er vist i figurerne med en pil.

Definition 15. Løsningen på hver ulighed i systemet er et halvplan, der indeholder grænselinjen og placeret på den ene side af den.

Definition 16. Skæringspunktet mellem halvplaner, som hver især er bestemt af systemets tilsvarende ulighed, kaldes systemets løsningsdomæne (SO).

Definition 17. Løsningsarealet af et system, der opfylder ikke-negativitetsbetingelserne (xj ≥ 0, j =) kaldes arealet af ikke-negative eller tilladelige løsninger (ADS).

Hvis systemet af uligheder er konsistent, så kan OR og ODR være et polyeder, et ubegrænset polyederområde eller et enkelt punkt.

Hvis systemet med uligheder er inkonsekvent, så er OR og ODR et tomt sæt.

Eksempel 1. Find OR og ODE for ulighedssystemet og bestem koordinaterne for hjørnepunkterne af ODE

Løsning. Lad os finde OR for den første ulighed: x1 + 3x2 ≥ 3. Lad os konstruere grænselinjen x1 + 3x2 – 3 = 0 (fig. 19.5). Lad os erstatte koordinaterne for punktet (0,0) i uligheden: 1∙0 + 3∙0 > 3; da koordinaterne for punktet (0,0) ikke opfylder det, så er løsningen på uligheden (19.1) en halvplan, der ikke indeholder punktet (0,0).

Lad os på samme måde finde løsninger på de resterende uligheder i systemet. Vi opnår, at OR og ODE af ulighedssystemet er et konveks polyeder ABCD.

Lad os finde hjørnepunkterne på polyederet. Vi definerer punkt A som skæringspunktet mellem linjer

Løser vi systemet, får vi A(3/7, 6/7).

Vi finder punkt B som skæringspunktet mellem linjer

Fra systemet får vi B(5/3, 10/3). På samme måde finder vi koordinaterne for punkterne C og D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Eksempel 2. Find OR og ODE for systemet af uligheder

Løsning. Lad os konstruere rette linjer og bestemme løsninger på uligheder (19.5)-(19.7). OR og ODR er uafgrænsede polyhedriske områder, henholdsvis ACFM og ABDEKM (fig. 19.6).

Eksempel 3. Find OR og ODE for systemet af uligheder

Løsning. Lad os finde løsninger på uligheder (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OR repræsenterer den ubegrænsede polyedriske region ABC; ODR - punkt B.

Eksempel 4. Find OP og ODP for ulighedssystemet

Løsning. Ved at konstruere rette linjer vil vi finde løsninger på systemets uligheder. OR og ODR er inkompatible (fig. 19.8).

ØVELSER

Find OR og ODE for ulighedssystemer

Sætning. Hvis xn ® a, så .

Bevis. Af xn ® a følger det . På samme tid:

, dvs. , dvs. . Sætningen er bevist.

Sætning. Hvis xn ® a, så er sekvensen (xn) afgrænset.

Det skal bemærkes, at det omvendte udsagn ikke er sandt, dvs. afgrænsningen af ​​en sekvens indebærer ikke dens konvergens.

For eksempel rækkefølgen har dog ingen grænse

Udvidelse af funktioner til potensrækker.

Udvidelse af funktioner til potensrækker er af stor betydning for løsning af forskellige problemer med at studere funktioner, differentiering, integration, løsning af differentialligninger, beregning af grænser, beregning af omtrentlige værdier af en funktion.

Polygon koncept

Definition 1

Polygon er en geometrisk figur i et plan, der består af segmenter forbundet i par, hvor de tilstødende ikke ligger på samme lige linje.

I dette tilfælde kaldes segmenterne sider af polygonen og deres ender - polygonens hjørner.

Definition 2

En $n$-gon er en polygon med $n$ hjørner.

Typer af polygoner

Definition 3

Hvis en polygon altid ligger på samme side af en linje, der går gennem dens sider, kaldes polygonen konveks(Fig. 1).

Figur 1. Konveks polygon

Definition 4

Hvis en polygon ligger på modsatte sider af mindst én ret linje, der går gennem dens sider, kaldes polygonen ikke-konveks (fig. 2).

Figur 2. Ikke-konveks polygon

Summen af ​​vinkler af en polygon

Lad os introducere en sætning om summen af ​​vinklerne i en trekant.

Sætning 1

Summen af ​​vinklerne i en konveks trekant bestemmes som følger

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bevis.

Lad os få en konveks polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Lad os forbinde dets toppunkt $A_1$ med alle andre toppunkter i denne polygon (fig. 3).

Figur 3.

Med denne forbindelse får vi $n-2$ trekanter. Ved at summere deres vinkler får vi summen af ​​vinklerne for en given -gon. Da summen af ​​vinklerne i en trekant er lig med $(180)^0,$ får vi, at summen af ​​vinklerne i en konveks trekant bestemmes af formlen

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Sætningen er bevist.

Begrebet en firkant

Ved at bruge definitionen af ​​$2$ er det let at introducere definitionen af ​​en firkant.

Definition 5

En firkant er en polygon med $4$ hjørner (fig. 4).

Figur 4. Firkant

For en firkant er begreberne en konveks firkant og en ikke-konveks firkant defineret på samme måde. Klassiske eksempler på konvekse firkanter er kvadrat, rektangel, trapez, rombe, parallelogram (fig. 5).

Figur 5. Konvekse firkanter

Sætning 2

Summen af ​​vinklerne på en konveks firkant er $(360)^0$

Bevis.

Ved sætning $1$ ved vi, at summen af ​​vinklerne af en konveks -gon bestemmes af formlen

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Derfor er summen af ​​vinklerne på en konveks firkant lig med

\[\venstre(4-2\højre)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Sætningen er bevist.

Gået i stykker

Definition

brudt linje eller kort sagt, brudt linje, er en endelig sekvens af segmenter, således at en af ​​enderne af det første segment tjener som slutningen af ​​det andet, den anden ende af det andet segment tjener som slutningen af ​​det tredje osv. I dette tilfælde ligger tilstødende segmenter ikke på den samme lige linje. Disse segmenter kaldes links af den stiplede linje.

Typer af polyline

Den stiplede linje kaldes lukket, hvis begyndelsen af ​​det første segment falder sammen med slutningen af ​​det sidste.

En brudt linje kan krydse sig selv, røre ved sig selv eller overlappe sig selv. Hvis der ikke er sådanne singulariteter, kaldes en sådan brudt linje enkel.

Polygoner

Definition

En simpel lukket stiplet linje sammen med en del af planet afgrænset af det kaldes polygon.

Kommentar

Ved hvert hjørne af en polygon definerer dens sider en bestemt vinkel på polygonen. Det kan enten være mindre udvidet eller mere udvidet.

Ejendom

Hver polygon har en vinkel mindre end $180^\circ$.

Bevis

Lad en polygon $P$ være givet.

Lad os tegne en lige linje, der ikke skærer den. Vi vil flytte den parallelt med polygonen. På et tidspunkt vil vi for første gang få en linje $a$, der har mindst ét ​​fælles punkt med polygonen $P$. Polygonen ligger på den ene side af denne linje (nogle af dens punkter ligger på linjen $a$).

Linjen $a$ indeholder mindst et toppunkt af polygonen. To af dens sider, placeret på den ene side af linjen $a$, konvergerer i den (inklusive tilfældet, hvor en af ​​dem ligger på denne linje). Det betyder, at ved dette toppunkt er vinklen mindre end den udfoldede.

Definition

Polygonen kaldes konveks, hvis den ligger på den ene side af hver linje, der indeholder dens side. Hvis en polygon ikke er konveks, kaldes den ikke-konveks.

Kommentar

En konveks polygon er skæringspunktet mellem halvplaner afgrænset af linjer, der indeholder polygonens sider.

Egenskaber for en konveks polygon

En konveks polygon har alle vinkler mindre end $180^\circ$.

Et linjestykke, der forbinder to vilkårlige punkter i en konveks polygon (især enhver af dens diagonaler), er indeholdt i denne polygon.

Bevis

Lad os bevise den første egenskab

Tag en hvilken som helst vinkel $A$ af en konveks polygon $P$, og dens side $a$ kommer fra toppunktet $A$. Lad $l$ være en linje, der indeholder siden $a$. Da polygonen $P$ er konveks, ligger den på den ene side af linjen $l$. Dens vinkel $A$ ligger derfor også på den ene side af denne linje. Dette betyder, at vinklen $A$ er mindre end den udviklede vinkel, det vil sige mindre end $180^\cirkel$.

Lad os bevise den anden egenskab

Tag to vilkårlige punkter $A$ og $B$ af den konvekse polygon $P$. Polygonen $P$ er skæringspunktet mellem flere halvplaner. Segmentet $AB$ er indeholdt i hvert af disse halvplaner. Derfor er den også indeholdt i polygonen $P$.

Definition

Diagonal af en polygon kaldet et segment, der forbinder dets ikke-tilstødende hjørner.

Sætning (om antallet af diagonaler af en n-gon)

Antallet af diagonaler af en konveks $n$-gon beregnes ved formlen $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bevis

Fra hvert hjørne af en n-gon er det muligt at tegne $n-3$ diagonaler (du kan ikke tegne en diagonal til nabospidser eller til selve dette toppunkt). Hvis vi tæller alle sådanne mulige segmenter, så vil der være $n\cdot(n-3)$ af dem, da der er $n$ hjørner. Men hver diagonal tælles to gange. Således er antallet af diagonaler af en n-gon lig med $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Sætning (om summen af ​​vinklerne af en n-gon)

Summen af ​​vinklerne for en konveks $n$-gon er $180^\circ(n-2)$.

Bevis

Overvej $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Lad os tage et vilkårligt punkt $O$ inde i denne polygon.

Summen af ​​vinklerne for alle trekanter $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ er lig med $180^\circ\cdot n$.

På den anden side er denne sum summen af ​​alle polygonens indre vinkler og den samlede vinkel $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Så er summen af ​​vinklerne for den betragtede $n$-gon lig med $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Følge

Summen af ​​vinklerne for en ikke-konveks $n$-gon er $180^\circ(n-2)$.

Bevis

Overvej polygonen $A_1A_2\ldots A_n$, hvis eneste vinkel $\angle A_2$ er ikke-konveks, det vil sige $\angle A_2>180^\circ$.

Lad os betegne summen af ​​hans fangst som $S$.

Lad os forbinde punkterne $A_1A_3$ og betragte polygonen $A_1A_3\ldots A_n$.

Summen af ​​vinklerne for denne polygon er:

$180^\cirkel\cdot(n-1-2)=S-\vinkel A_2+\vinkel 1+\vinkel 2=S-\vinkel A_2+180^\cirkel-\vinkel A_1A_2A_3=S+180^\cirkel-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Derfor er $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Hvis den oprindelige polygon har mere end én ikke-konveks vinkel, kan den ovenfor beskrevne operation udføres med hver sådan vinkel, hvilket vil føre til, at udsagnet bliver bevist.

Sætning (om summen af ​​ydre vinkler af en konveks n-gon)

Summen af ​​de ydre vinkler af en konveks $n$-gon er $360^\circ$.

Bevis

Den ydre vinkel ved toppunktet $A_1$ er lig med $180^\cirkel-\vinkel A_1$.

Summen af ​​alle ydre vinkler er lig med:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\cirkel$.