Lektionsplan.

1. Organisatorisk øjeblik.

2. Præsentation af materialet.

3. Hjemmearbejde.

4. Opsummering af lektionen.

Under timerne

I. Organisatorisk øjeblik.

II. Præsentation af materialet.

Motivering.

Udvidelsen af ​​sættet af reelle tal består i at tilføje nye tal (imaginære) til de reelle tal. Indførelsen af ​​disse tal skyldes, at det er umuligt at udtrække roden af ​​et negativt tal i mængden af ​​reelle tal.

Introduktion til begrebet et komplekst tal.

Imaginære tal, som vi supplerer reelle tal med, er skrevet i formen bi, Hvor jeg er en imaginær enhed, og i 2 = - 1.

Ud fra dette får vi følgende definition af et komplekst tal.

Definition. Et komplekst tal er et udtryk for formen a+bi, Hvor -en Og b- reelle tal. I dette tilfælde er følgende betingelser opfyldt:

a) To komplekse tal a 1 + b 1 i Og a 2 + b 2 i lige hvis og kun hvis a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Tilføjelsen af ​​komplekse tal bestemmes af reglen:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Multiplikation af komplekse tal bestemmes af reglen:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraisk form af et komplekst tal.

Skrive et komplekst tal i formen a+bi kaldes den algebraiske form af et komplekst tal, hvor EN- ægte del, bi er den imaginære del, og b– reelt tal.

Kompleks tal a+bi betragtes som lig med nul, hvis dens reelle og imaginære dele er lig med nul: a = b = 0

Kompleks tal a+bi på b = 0 anses for at være det samme som et reelt tal -en: a + 0i = a.

Kompleks tal a+bi på a = 0 kaldes rent imaginært og betegnes bi: 0 + bi = bi.

To komplekse tal z = a + bi Og = a – bi, der kun adskiller sig i tegnet af den imaginære del, kaldes konjugat.

Operationer på komplekse tal i algebraisk form.

Du kan udføre følgende operationer på komplekse tal i algebraisk form.

1) Tilføjelse.

Definition. Summen af ​​komplekse tal z 1 = a 1 + b 1 i Og z2 = a2 + b2i kaldes et komplekst tal z, hvis reelle del er lig med summen af ​​de reelle dele z 1 Og z 2, og den imaginære del er summen af ​​de imaginære dele af tal z 1 Og z 2, det er z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

Tal z 1 Og z 2 kaldes termer.

Tilføjelse af komplekse tal har følgende egenskaber:

1º. Kommutativitet: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Associativitet: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleks tal –a –bi kaldes det modsatte af et komplekst tal z = a + bi. Kompleks tal, modsat af komplekst tal z, angivet -z. Summen af ​​komplekse tal z Og -z lig med nul: z + (-z) = 0

Eksempel 1: Udfør tilføjelse (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Subtraktion.

Definition. Træk fra et komplekst tal z 1 komplekst tal z 2 z, Hvad z + z 2 = z 1.

Sætning. Forskellen mellem komplekse tal eksisterer og er unik.

Eksempel 2: Udfør en subtraktion (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Multiplikation.

Definition. Produkt af komplekse tal z1 =a1 +bi Og z2 =a2 +b2i kaldes et komplekst tal z, defineret af ligheden: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Tal z 1 Og z 2 kaldes faktorer.

Multiplikation af komplekse tal har følgende egenskaber:

1º. Kommutativitet: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Associativitet: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Fordeling af multiplikation i forhold til addition:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- reelt tal.

I praksis udføres multiplikation af komplekse tal efter reglen om at gange en sum med en sum og adskille de reelle og imaginære dele.

I det følgende eksempel vil vi overveje at gange komplekse tal på to måder: ved regel og ved at gange sum med sum.

Eksempel 3: Gør multiplikationen (2 + 3i) (5 – 7i).

1 vej. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Division.

Definition. Divider et komplekst tal z 1 til et komplekst tal z 2, betyder at finde et sådant komplekst tal z, Hvad z · z 2 = z 1.

Sætning. Kvotienten af ​​komplekse tal findes og er unik hvis z 2 ≠ 0 + 0i.

I praksis findes kvotienten af ​​komplekse tal ved at gange tæller og nævner med konjugatet af nævneren.

Lade z 1 = a 1 + b 1 i, z2 = a2 + b2i, Derefter

.

I det følgende eksempel udfører vi division ved hjælp af formlen og multiplikationsreglen med tallet konjugeret med nævneren.

Eksempel 4. Find kvotienten .

5) Hæve til en positiv helhedskraft.

a) Potenser af den imaginære enhed.

At udnytte ligestillingen i2 = -1, er det let at definere enhver positiv heltalstyrke for den imaginære enhed. Vi har:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Dette viser, at gradværdierne i n, Hvor n– et positivt heltal, der gentages med jævne mellemrum, efterhånden som indikatoren stiger med 4 .

Derfor for at hæve antallet jeg til en positiv helmagt skal vi dividere eksponenten med 4 og bygge jeg til en potens, hvis eksponent er lig med resten af ​​divisionen.

Eksempel 5: Beregn: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) At hæve et komplekst tal til en positiv heltalspotens udføres efter reglen for at hæve et binomium til den tilsvarende potens, da det er et specialtilfælde af multiplikation af identiske komplekse faktorer.

Eksempel 6: Beregn: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Komplekse tal er en udvidelse af sættet af reelle tal, normalt betegnet med . Ethvert komplekst tal kan repræsenteres som en formel sum , hvor og er reelle tal og er den imaginære enhed.

At skrive et komplekst tal på formen , , kaldes den algebraiske form af et komplekst tal.

Egenskaber for komplekse tal. Geometrisk fortolkning af et komplekst tal.

Handlinger på komplekse tal givet i algebraisk form:

Lad os overveje reglerne for, hvilke aritmetiske operationer udføres på komplekse tal.

Hvis der er givet to komplekse tal α = a + bi og β = c + di, så

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (elleve)

Dette følger af definitionen af ​​operationerne til addition og subtraktion af to ordnede par reelle tal (se formlerne (1) og (3)). Vi har modtaget reglerne for at addere og subtrahere komplekse tal: For at tilføje to komplekse tal skal vi separat addere deres reelle dele og dermed deres imaginære dele; For at trække et andet fra et komplekst tal, er det nødvendigt at trække deres reelle og imaginære dele fra henholdsvis.

Tallet – α = – a – bi kaldes det modsatte af tallet α = a + bi. Summen af ​​disse to tal er nul: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

For at få reglen for multiplikation af komplekse tal bruger vi formel (6), det vil sige, at i2 = -1. Tager vi denne relation i betragtning, finder vi (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, dvs.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)

Denne formel svarer til formel (2), som bestemte multiplikationen af ​​ordnede par af reelle tal.

Bemærk, at summen og produktet af to komplekse konjugerede tal er reelle tal. Faktisk, hvis α = a + bi, = a – bi, så er α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, dvs.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Når man dividerer to komplekse tal på algebraisk form, skal man forvente, at kvotienten også er udtrykt ved et tal af samme type, det vil sige α/β = u + vi, hvor u, v R. Lad os udlede reglen for at dividere komplekse tal . Lad tallene α = a + bi, β = c + di være givet, og β ≠ 0, dvs. c2 + d2 ≠ 0. Den sidste ulighed betyder, at c og d ikke forsvinder samtidigt (tilfældet er udelukket, når c = 0 d = 0). Ved at anvende formel (12) og den anden af ​​ligheder (13), finder vi:

Derfor er kvotienten af ​​to komplekse tal bestemt af formlen:

svarende til formel (4).

Ved at bruge den resulterende formel for tallet β = c + di, kan du finde dets omvendte tal β-1 = 1/β. Hvis vi antager a = 1, b = 0 i formel (14), får vi

Denne formel bestemmer det inverse af et givet komplekst tal andet end nul; dette tal er også komplekst.

For eksempel: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operationer på komplekse tal i algebraisk form.

55. Argument for et komplekst tal. Trigonometrisk form for at skrive et komplekst tal (afledning).

Arg.com.numbers. – mellem den positive retning af den reelle X-akse og vektoren, der repræsenterer det givne tal.

Trigon formel. Tal: ,

DEFINITION

Den algebraiske form af et komplekst tal er at skrive det komplekse tal \(\z\) på formen \(\z=x+i y\), hvor \(\x\) og \(\y\) er reelle tal , \(\i\ ) - imaginær enhed, der opfylder relationen \(\i^(2)=-1\)

Tallet \(\ x \) kaldes den reelle del af det komplekse tal \(\ z \) og er betegnet med \(\ x=\operatørnavn(Re) z \)

Tallet \(\y\) kaldes den imaginære del af det komplekse tal \(\z\) og betegnes med \(\y=\operatørnavn(Im) z\)

For eksempel:

Det komplekse tal \(\ z=3-2 i \) og dets tilliggende tal \(\ \overline(z)=3+2 i \) er skrevet i algebraisk form.

Den imaginære størrelse \(\ z=5 i \) er skrevet i algebraisk form.

Derudover kan du afhængigt af det problem, du løser, konvertere et komplekst tal til et trigonometrisk eller eksponentielt tal.

Opgave

Skriv tallet \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) i algebraisk form, find dets reelle og imaginære dele, samt dets konjugerede tal.

Løsning.

Ved at bruge udtrykket deling af brøker og reglen om at lægge brøker sammen får vi:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Derfor er den reelle del af det komplekse tal \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) tallet \(\ x=\operatørnavn(Re) z= \frac(59) (4) \) , den imaginære del er tallet \(\ y=\operatørnavn(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugeret tal: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Svar

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatørnavn(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatørnavn(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Handlinger af komplekse tal i algebraisk formsammenligning

To komplekse tal \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) siges at være lige store, hvis \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) dvs. Deres virkelige og imaginære dele er lige store.

Opgave

Bestem for hvilke x og y de to komplekse tal \(\ z_(1)=13+y i \) og \(\ z_(2)=x+5 i \) er ens.

Løsning

Per definition er to komplekse tal ens, hvis deres reelle og imaginære dele er lige store, dvs. \(\x=13\), \(\y=5\).

Svar \(\x=13\), \(\y=5\)

tilføjelse

Tilføjelse af komplekse tal \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) gøres ved direkte at summere de reelle og imaginære dele:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\venstre(x_(1)+x_(2)\højre) +i\venstre(y_(1)+y_(2)\højre) \)

Opgave

Find summen af ​​komplekse tal \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Løsning.

Den reelle del af et komplekst tal \(\ z_(1)=-7+5 i \) er tallet \(\ x_(1)=\operatørnavn(Re) z_(1)=-7 \) , det imaginære del er tallet \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . De reelle og imaginære dele af det komplekse tal \(\ z_(2)=13-4 i \) er lig med \(\ x_(2)=\operatørnavn(Re) z_(2)=13 \) og \( \ y_(2) henholdsvis )=\operatørnavn(Im) z_(2)=-4 \) .

Derfor er summen af ​​komplekse tal:

\(\z_(1)+z_(2)=\venstre(x_(1)+x_(2)\højre)+i\venstre(y_(1)+y_(2)\højre)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Svar

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Læs mere om tilføjelse af komplekse tal i en separat artikel: Tilføjelse af komplekse tal.

Subtraktion

Subtraktion af komplekse tal \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) og \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) udføres ved direkte at subtrahere de virkelige og imaginære dele:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\venstre(x_(2)+i y_(2)\højre)=x_(1)-x_(2) +\venstre(i y_(1)-i y_(2)\right)=\venstre(x_(1)-x_(2)\right)+i\venstre(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Opgave

find forskellen på komplekse tal \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Løsning.

Find de reelle og imaginære dele af komplekse tal \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatørnavn(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatørnavn(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatørnavn(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatørnavn(Im) z_(2)=5 \)

Derfor er forskellen mellem komplekse tal:

\(\z_(1)-z_(2)=\venstre(x_(1)-x_(2)\højre)+i\venstre(y_(1)-y_(2)\højre)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Svar

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) multiplikation

Multiplikation af komplekse tal \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) og \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) udføres ved direkte at skabe tal i algebraisk form under hensyntagen til egenskaben af ​​den imaginære enhed \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\venstre(x_(1)+i y_(1)\højre) \cdot\venstre(x_(2)+i y_(2)\højre)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\venstre(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)=\)

\(\ =\venstre(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\venstre(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)

Opgave

Find produktet af komplekse tal \(\ z_(1)=1-5 i \)

Løsning.

Kompleks af komplekse tal:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\venstre(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\højre)+i\venstre(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Svar

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) division

Faktoren for komplekse tal \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) og \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) bestemmes ved at gange tælleren og nævneren til det konjugerede tal med nævneren:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\venstre (x_(1)+i y_(1)\højre)\venstre(x_(2)-i y_(2)\højre))(\venstre(x_(2)+i y_(2)\højre)\venstre (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

Opgave

At dividere tallet 1 med det komplekse tal \(\z=1+2i\).

Løsning.

Da den imaginære del af det reelle tal 1 er nul, er faktoren:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Svar

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Komplekse tal

Imaginært Og komplekse tal. Abscisse og ordinat

komplekst tal. Konjuger komplekse tal.

Operationer med komplekse tal. Geometrisk

repræsentation af komplekse tal. Kompleks fly.

Modulus og argument for et komplekst tal. Trigonometrisk

kompleks talform. Operationer med komplekse

tal i trigonometrisk form. Moivres formel.

Grundlæggende information om imaginært Og komplekse tal er angivet i afsnittet "Imaginære og komplekse tal". Behovet for disse tal af en ny type opstod ved løsning af andengradsligninger for sagenD< 0 (здесь D– diskriminant af en andengradsligning). I lang tid fandt disse tal ikke fysisk anvendelse, hvorfor de blev kaldt "imaginære" tal. Men nu er de meget udbredt inden for forskellige fysikområder.

og teknologi: elektroteknik, hydro- og aerodynamik, elasticitetsteori mv.

Komplekse tal er skrevet i form:a+bi. Her -en Og b – reelle tal , A jeg – imaginær enhed, dvs. e. jeg 2 = –1. Nummer -en hedder abscisse, a b – ordinatkomplekst tala + bi.To komplekse tala+bi Og a–bi hedder konjugat komplekse tal.

Hovedaftaler:

1. Reelt talENkan også skrives i skemaetkomplekst tal:a+ 0 jeg eller en – 0 jeg. Registrerer f.eks. 5 + 0jeg og 5-0 jegbetyder det samme tal 5 .

2. Kompleks tal 0 + bihedder rent imaginært nummer. Optagebibetyder det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tala+bi Ogc + dianses for lige hvisa = c Og b = d. Ellers komplekse tal er ikke ens.

Tilføjelse. Summen af ​​komplekse tala+bi Og c + dikaldes et komplekst tal (a+c ) + (b+d ) jeg.Dermed, ved tilføjelse komplekse tal, deres abscisse og ordinater tilføjes separat.

Denne definition svarer til reglerne for operationer med almindelige polynomier.

Subtraktion. Forskellen mellem to komplekse tala+bi(formindsket) og c + di(subtrahend) kaldes et komplekst tal (a–c ) + (b-d ) jeg.

Dermed, Når du trækker to komplekse tal fra, trækkes deres abscisse og ordinater fra hver for sig.

Multiplikation. Produkt af komplekse tala+bi Og c + di kaldes et komplekst tal:

(ac–bd ) + (ad+bc ) jeg.Denne definition følger af to krav:

1) tal a+bi Og c + diskal ganges som algebraisk binomialer,

2) nummer jeghar hovedegenskaben:jeg 2 = – 1.

EKSEMPEL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Derfor, arbejde

to konjugerede komplekse tal er lig med det reelle

et positivt tal.

Division. Divider et komplekst tala+bi (deles) med en andenc + di(deler) - betyder at finde det tredje tale + f i(chat), som når ganget med en divisorc + di, resulterer i udbyttea + bi.

Hvis divisor ikke er nul, er division altid muligt.

EKSEMPEL Find (8+jeg ) : (2 – 3 jeg) .

Løsning Lad os omskrive dette forhold som en brøk:

Multiplicer dens tæller og nævner med 2 + 3jeg

OG Efter at have udført alle transformationerne får vi:

Geometrisk repræsentation af komplekse tal. Reelle tal er repræsenteret ved punkter på tallinjen:

Her er pointen ENbetyder tallet –3, prikB– nummer 2, og O- nul. I modsætning hertil er komplekse tal repræsenteret af punkter på koordinatplanet. Til dette formål vælger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Derefter det komplekse tala+bi vil blive repræsenteret med en prik P med abscisse a og ordinat b (se billede). Dette koordinatsystem kaldes komplekst plan .

modul komplekst tal er længden af ​​vektorenOP, der repræsenterer et komplekst tal på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus af et komplekst tala+bi betegnet | a+bi| eller brev r