For studerende højere matematik det skal vides, at mængden af et bestemt power serie, der tilhører konvergensintervallet for den serie, der er givet til os, viser sig at være et kontinuerligt og ubegrænset antal gange differentieret funktion. Spørgsmålet opstår: kan man sige, at det givne vilkårlig funktion f(x) er summen af nogle potensrækker? Det vil sige, under hvilke forhold kan funktionen f(x) afbildes? power serie? Betydningen af dette spørgsmål ligger i, at det er muligt tilnærmelsesvis at erstatte funktionen f(x) med summen af de første par led i en potensrække, det vil sige et polynomium. Denne funktion udskiftning er ganske enkelt udtryk- et polynomium - er også praktisk ved løsning af visse problemer, nemlig: ved løsning af integraler, ved beregning osv.
Det er blevet bevist, at for en bestemt funktion f(x), hvor det er muligt at beregne afledte op til (n+1)te orden, inklusive den sidste, i nærheden af (α - R; x 0 + R ) et punkt x = α, er det rigtigt, at formlen:
Denne formel er opkaldt efter den berømte videnskabsmand Brooke Taylor. Serien, der er opnået fra den forrige, kaldes Maclaurin-serien:
Reglen, der gør det muligt at udføre en udvidelse i en Maclaurin-serie:
- Bestem afledte af den første, anden, tredje... orden.
- Beregn hvad de afledte ved x=0 er lig med.
- Skriv Maclaurin-serien ned for denne funktion, og bestem derefter intervallet for dens konvergens.
- Bestem intervallet (-R;R), hvor resten af Maclaurin-formlen
R n (x) -> 0 ved n -> uendelig. Hvis en findes, skal funktionen f(x) i den falde sammen med summen af Maclaurin-rækken.
Lad os nu overveje Maclaurin-serien for individuelle funktioner.
1. Så den første vil være f(x) = e x. Naturligvis har en sådan funktion afledte af meget forskellige rækkefølger på grund af sine karakteristika, og f (k) (x) = e x , hvor k er lig med alle. Erstat x = 0. Vi får f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Baseret på ovenstående vil serien e x se således ud:
2. Maclaurin-rækken for funktionen f(x) = sin x. Lad os straks præcisere, at funktionen for alle ukendte vil have afledte, desuden f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), hvor k er lig med evt. naturligt tal. Det vil sige, efter at have lavet simple beregninger, kan vi komme til den konklusion, at rækken for f(x) = sin x vil være af følgende form:
3. Lad os nu prøve at overveje funktionen f(x) = cos x. For alle ubekendte har den afledte af vilkårlig rækkefølge, og |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Så vi har listet de vigtigste funktioner, der kan udvides i en Maclaurin-serie, men de er suppleret med Taylor-serien for nogle funktioner. Nu vil vi liste dem. Det er også værd at bemærke, at Taylor- og Maclaurin-serier er en vigtig del af det praktiske arbejde med at løse serier i højere matematik. Altså Taylor-serien.
1. Den første vil være rækken for funktionen f(x) = ln(1+x). Som i de foregående eksempler kan vi for den givne f(x) = ln(1+x) tilføje rækken ved at bruge den generelle form af Maclaurin-serien. Men til denne funktion kan Maclaurin-serien fås meget mere enkelt. Efter at have integreret en bestemt geometrisk række, får vi en serie for f(x) = ln(1+x) af en sådan prøve:
2. Og den anden, som vil være endelig i vores artikel, vil være serien for f(x) = arktan x. For x, der hører til intervallet [-1;1], er udvidelsen gyldig:
Det er alt. Denne artikel undersøgte de mest anvendte Taylor- og Maclaurin-serier i højere matematik, især på økonomiske og tekniske universiteter.
16.1. Udvidelse af elementære funktioner til Taylor-serier og
Maclaurin
Lad os vise, at hvis en vilkårlig funktion er defineret på et sæt 
, i nærheden af punktet 
har mange afledte og er summen af en potensrække:
så kan du finde koefficienterne for denne serie.
Lad os erstatte i en magtserie 
. Derefter 
.
Lad os finde den første afledede af funktionen 
:
På 
:
.
For den anden afledede får vi:
På 
:
.
Fortsætter denne procedure n når vi får: 
.
Således fik vi en potensrække af formen:
,
som hedder ved siden af Taylor til funktion 
i nærheden af punktet 
.
Et særligt tilfælde af Taylor-serien er Maclaurin-serien på 
:
Resten af Taylor (Maclaurin) serien fås ved at kassere hovedserien n første medlemmer og betegnes som 
. Derefter funktionen 
kan skrives som en sum n seriens første medlemmer 
og resten 
:,
.
Resten er normalt 
udtrykt i forskellige formler.
En af dem er i Lagrange-form:
, Hvor 
.
.
Bemærk, at Maclaurin-serien i praksis bruges oftere. Altså for at skrive funktionen 
i form af en potensseriesum er det nødvendigt:
1) find koefficienterne for Maclaurin (Taylor) serien;
2) find konvergensområdet for den resulterende potensrække;
3) bevis, at denne serie konvergerer til funktionen 
.
Sætning1
(en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for konvergensen af Maclaurin-serien). Lad radius af konvergens af serien 
. For at denne serie kan konvergere i intervallet 
at fungere 
, det er nødvendigt og tilstrækkeligt for at betingelsen er opfyldt: 
i det angivne interval.
Sætning 2. Hvis afledte af en hvilken som helst rækkefølge af funktionen 
i et eller andet interval 
begrænset i absolut værdi til det samme tal M, det er 
, så i dette interval funktionen 
kan udvides til en Maclaurin-serie.
Eksempel1
.
Udvid i en Taylor-serie omkring punktet 
fungere.
Løsning.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Konvergensregion 
.
Eksempel2
.
Udvid en funktion 
i en Taylor-serie omkring et punkt 
.
Løsning:
Find værdien af funktionen og dens afledte ved 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Lad os sætte disse værdier i en række. Vi får:
eller 
.
Lad os finde konvergensområdet for denne serie. Ifølge d'Alemberts test konvergerer en serie if
.
Derfor for evt 
denne grænse er mindre end 1, og derfor vil seriens konvergensinterval være: 
.
Lad os overveje flere eksempler på Maclaurin-seriens udvidelse af grundlæggende elementære funktioner. Husk at Maclaurin-serien:
.
konvergerer på intervallet 
at fungere 
.
Bemærk, at for at udvide en funktion til en serie er det nødvendigt:
a) find koefficienterne for Maclaurin-serien for denne funktion;
b) beregn konvergensradius for den resulterende serie;
c) bevis, at den resulterende række konvergerer til funktionen 
.
Eksempel 3. Overvej funktionen 
.
Løsning.
Lad os beregne værdien af funktionen og dens afledte ved 
.
Så har seriens numeriske koefficienter formen:
for enhver n. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få: 
Lad os finde konvergensradius for den resulterende serie, nemlig:
.
Derfor konvergerer serien på intervallet 
.
Denne serie konvergerer til funktionen 
for eventuelle værdier 
, fordi på ethvert interval 
fungere 
og dens absolutte værdiafledte er begrænset i antal 
.
Eksempel4
.
Overvej funktionen 
.
Løsning.
:
Det er let at se, at afledte af lige rækkefølge 
, og derivaterne er af ulige orden. Lad os erstatte de fundne koefficienter i Maclaurin-serien og få udvidelsen:
Lad os finde konvergensintervallet for denne serie. Ifølge d'Alemberts tegn:
for enhver 
. Derfor konvergerer serien på intervallet 
.
Denne serie konvergerer til funktionen 
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.
Eksempel5
.
.
Løsning.
Lad os finde værdien af funktionen og dens afledte ved 
:
Således er koefficienterne for denne serie: 
Og 
, derfor:
I lighed med den foregående række, området for konvergens 
. Serien konvergerer til funktionen 
, fordi alle dens derivater er begrænset til enhed.
Bemærk venligst, at funktionen 
ulige og serieudvidelse i ulige potenser, funktion 
– lige og udvidelse til en serie i lige magter.
Eksempel6
.
Binomial serie: 
.
Løsning.
Lad os finde værdien af funktionen og dens afledte ved 
:
Heraf kan det ses, at:
Lad os erstatte disse koefficientværdier i Maclaurin-serien og opnå udvidelsen af denne funktion til en potensrække:
Lad os finde konvergensradius for denne serie:
Derfor konvergerer serien på intervallet 
. Ved grænsepunkterne kl 
Og 
en serie kan eller kan ikke konvergere afhængigt af eksponenten 
.
Den undersøgte serie konvergerer på intervallet 
at fungere 
, altså summen af serien 
på 
.
Eksempel7
.
Lad os udvide funktionen i Maclaurin-serien 
.
Løsning.
For at udvide denne funktion til en serie, bruger vi binomialrækken ved 
. Vi får: 
Baseret på egenskaben for potensrækker (en potensrække kan integreres i området for dens konvergens), finder vi integralet af venstre og højre side af denne serie:
Lad os finde konvergensområdet for denne serie: 
,
det vil sige, at området for konvergens af denne serie er intervallet 
. Lad os bestemme konvergensen af serien i enderne af intervallet. På 
. Denne serie er en harmonisk serie, det vil sige, den divergerer. På 
vi får en talrække med et fælles led 
.
Serien konvergerer ifølge Leibniz' test. Således er konvergensområdet for denne serie intervallet 
.
16.2. Anvendelse af potensrækker i omtrentlige beregninger
I omtrentlige beregninger spiller potensrækker en yderst vigtig rolle. Med deres hjælp er der udarbejdet tabeller over trigonometriske funktioner, tabeller over logaritmer, værditabeller for andre funktioner, som bruges i forskellige vidensområder, for eksempel i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Derudover er udvidelsen af funktioner til en potensrække nyttig til deres teoretiske undersøgelse. Hovedproblemet ved anvendelse af potensrækker i omtrentlige beregninger er spørgsmålet om at estimere fejlen, når summen af en serie erstattes med summen af dens første n medlemmer.
Lad os overveje to tilfælde:
funktionen udvides til en tegnskiftende serie;
funktionen udvides til en række konstanttegn.
Beregning ved hjælp af vekslende serier
Lad funktionen 
udvidet til en vekslende effektserie. Så når man beregner denne funktion for en bestemt værdi 
får vi en talserie, som vi kan anvende Leibniz-kriteriet på. I overensstemmelse med dette kriterium, hvis summen af en serie erstattes af summen af dens første n termer, så overstiger den absolutte fejl ikke det første led i resten af denne serie, det vil sige: 
.
Eksempel8
.
Beregn 
med en nøjagtighed på 0,0001.
Løsning.
Vi vil bruge Maclaurin-serien til 
, der erstatter vinkelværdien i radianer:
Hvis vi sammenligner det første og andet led i rækken med en given nøjagtighed, så: .
Tredje udvidelsesperiode:
mindre end den angivne beregningsnøjagtighed. Derfor at beregne 
det er nok at forlade to termer af serien, dvs
.
Dermed 
.
Eksempel9
.
Beregn 
med en nøjagtighed på 0,001.
Løsning.
Vi vil bruge binomialrækkeformlen. For at gøre dette, lad os skrive 
som: 
.
I dette udtryk 
,
Lad os sammenligne hver af termerne i serien med den nøjagtighed, der er angivet. Det er klart 
. Derfor at beregne 
det er nok at forlade tre termer af serien.
eller 
.
Beregning ved hjælp af positive serier
Eksempel10
.
Beregn antal 
med en nøjagtighed på 0,001.
Løsning.
På række for en funktion 
lad os erstatte 
. Vi får:
Lad os estimere fejlen, der opstår, når summen af en serie erstattes med summen af den første 
medlemmer. Lad os skrive den åbenlyse ulighed ned:
altså 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Ifølge problemet skal du finde n sådan at følgende ulighed gælder: 
eller 
.
Det er nemt at tjekke, hvornår n= 6:
.
Derfor, 
.
Eksempel11
.
Beregn 
med en nøjagtighed på 0,0001.
Løsning.
Bemærk, at man for at beregne logaritmer kunne bruge en række til funktionen 
, men denne serie konvergerer meget langsomt og for at opnå den givne nøjagtighed ville det være nødvendigt at tage 9999 termer! For at beregne logaritmer bruges derfor som regel en række for funktionen 
, som konvergerer på intervallet 
.
Lad os beregne 
ved at bruge denne serie. Lade 
, Derefter 
.
Derfor, 
,
For at beregne 
med en given nøjagtighed, tag summen af de første fire led: 
.
Resten af serien 
lad os kassere det. Lad os vurdere fejlen. Det er indlysende 
eller 
.
I rækken, der blev brugt til beregningen, var det således nok kun at tage de første fire led i stedet for 9999 i rækken for funktionen 
.
Selvdiagnose spørgsmål
1. Hvad er en Taylor-serie?
2. Hvilken form havde Maclaurin-serien?
3. Formuler en sætning om udvidelse af en funktion i en Taylor-række.
4. Skriv Maclaurin-seriens udvidelse af hovedfunktionerne ned.
5. Angiv konvergensområderne for den betragtede serie.
6. Hvordan estimerer man fejlen i omtrentlige beregninger ved hjælp af potensrækker?
I teorien om funktionelle serier er den centrale plads optaget af afsnittet om udvidelse af en funktion til en serie.
Dermed er opgaven sat: for en given funktion vi skal finde sådan en magtserie
som konvergerede på et bestemt interval og dets sum var lig med 
,
de der.
=
..
Denne opgave kaldes problemet med at udvide en funktion til en potensrække.
En nødvendig betingelse for nedbrydeligheden af en funktion i en potensrække er dens differentierbarhed et uendeligt antal gange - dette følger af egenskaberne for konvergerende potensrækker. Denne betingelse er som regel opfyldt for elementære funktioner i deres definitionsdomæne.
Så lad os antage, at funktionen 
har derivater af enhver rækkefølge. Er det muligt at udvide det til en power-serie?Hvis ja, hvordan kan vi finde denne serie? Den anden del af problemet er lettere at løse, så lad os starte med det.
Lad os antage, at funktionen 
kan repræsenteres som summen af en potensrække, der konvergerer i det interval, der indeholder punktet x 0 :
=
..
(*)
Hvor EN 0 ,EN 1 ,EN 2 ,...,EN P ,... – ukendte (endnu) koefficienter.
Lad os sætte værdien i lighed (*) x = x 0 , så får vi
.
Lad os differentiere potensrækken (*) led for led
=
..
og tro her x = x 0 , vi får
.
Med næste differentiering får vi serien
=
..
troende x = x 0 ,
vi får 
, hvor 
.
Efter P-multiple differentiering vi får
Forudsat i den sidste ligestilling x = x 0 ,
vi får 
, hvor
Så koefficienterne er fundet
,
,
,
…,
,….,
erstatter hvilken i serien (*), får vi
Den resulterende serie kaldes ved siden af Taylor
til funktion
.
Det har vi altså slået fast hvis funktionen kan udvides til en potensrække i potenser (x - x 0 ), så er denne udvidelse unik, og den resulterende serie er nødvendigvis en Taylor-serie.
Bemærk, at Taylor-serien kan fås for enhver funktion, der har afledte værdier af en hvilken som helst rækkefølge på punktet x = x 0 . Men det betyder ikke, at der kan placeres et lighedstegn mellem funktionen og den resulterende række, dvs. at summen af rækken er lig med den oprindelige funktion. For det første kan en sådan lighed kun give mening i konvergensområdet, og Taylor-rækken opnået for funktionen kan divergere, og for det andet, hvis Taylor-rækken konvergerer, så falder dens sum muligvis ikke sammen med den oprindelige funktion.
3.2. Tilstrækkelige betingelser for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie
Lad os formulere en erklæring, ved hjælp af hvilken opgaven skal løses.
Hvis funktionen
i et eller andet område af punkt x 0 har derivater op til (n+
1) af orden inklusive, så har vi i dette kvarterformel
Taylor
HvorR n (x)-det resterende led af Taylor-formlen - har formen (Lagrange-form)
Hvor prikξ ligger mellem x og x 0 .
Bemærk, at der er forskel på Taylor-serien og Taylor-formlen: Taylor-formlen er en endelig sum, dvs. P - fast antal.
Husk at summen af serien S(x) kan defineres som grænsen for en funktionel sekvens af delsummer S P (x) med et eller andet interval x:
.
Ifølge dette betyder at udvide en funktion til en Taylor-serie at finde en serie sådan, at for enhver xx
Lad os skrive Taylors formel i formen hvor
Læg mærke til det 
definerer den fejl, vi får, erstatter funktionen f(x)
polynomium S n (x).
Hvis 
, At 
,de der. funktionen udvides til en Taylor-serie. Omvendt, hvis 
, At 
.
Således beviste vi kriterium for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie.
For funktionenf(x) udvides til en Taylor-serie, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at på dette interval
, HvorR n (x) er resten af Taylor-serien.
Ved hjælp af det formulerede kriterium kan man opnå tilstrækkeligbetingelser for nedbrydeligheden af en funktion i en Taylor-serie.
Hvis inoget kvarter til punkt x 0 de absolutte værdier af alle afledede af funktionen er begrænset til det samme tal M≥ 0, dvs.
, To i dette kvarter udvides funktionen til en Taylor-serie.
Af ovenstående følger algoritmefunktionsudvidelse f(x) i Taylor-serien i nærheden af et punkt x 0 :
1. Finde afledte funktioner f(x):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…
2. Beregn værdien af funktionen og værdierne af dens afledte ved punktet x 0
f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f'"(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Vi skriver formelt Taylor-serien og finder konvergensområdet for den resulterende potensrække.
4. Vi kontrollerer opfyldelsen af tilstrækkelige betingelser, dvs. vi fastslår for hvilket x fra konvergensregionen, resterende sigt R n (x)
har en tendens til nul som 
eller
.
Udvidelsen af funktioner til en Taylor-serie ved hjælp af denne algoritme kaldes udvidelse af en funktion til en Taylor-serie per definition eller direkte nedbrydning.
"Find Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen f(x)"- præcis sådan lyder opgaven i højere matematik, som nogle elever kan klare, mens andre ikke kan klare eksemplerne. Der er flere måder at udvide en serie i potenser på; her vil vi give en teknik til at udvide funktioner til en Maclaurin-serie. Når du udvikler en funktion i en serie, skal du være god til at beregne afledte.
Eksempel 4.7 Udvid en funktion i potenser af x
Beregninger: Vi udfører udvidelsen af funktionen efter Maclaurin-formlen. Lad os først udvide funktionens nævner til en serie 
Til sidst ganges udvidelsen med tælleren.
Det første led er værdien af funktionen ved nul f (0) = 1/3.
Lad os finde de afledte af funktionen af den første og højere orden f (x) og værdien af disse afledte i punktet x=0 
Dernæst, baseret på mønsteret af ændringer i værdien af afledte ved 0, skriver vi formlen for den n'te afledede 
Så vi repræsenterer nævneren i form af en udvidelse i Maclaurin-serien 
Vi ganger med tælleren og opnår den ønskede udvidelse af funktionen i en række i potenser af x 
Som du kan se, er der ikke noget kompliceret her.
Alle nøglepunkter er baseret på evnen til at beregne derivater og hurtigt generalisere værdien af den højere ordens derivative ved nul. De følgende eksempler hjælper dig med at lære, hvordan du hurtigt arrangerer en funktion i en serie.
Eksempel 4.10 Find Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen
Beregninger: Som du måske har gættet, vil vi sætte cosinus i tælleren i en serie. For at gøre dette kan du bruge formler for uendelige små mængder eller udlede udvidelsen af cosinus gennem derivater. Som et resultat kommer vi til følgende række i potenser af x 
Som du kan se, har vi et minimum af beregninger og en kompakt repræsentation af serieudvidelsen.
Eksempel 4.16 Udvid en funktion i potenser af x:
7/(12-x-x^2)
Beregninger: I denne slags eksempler er det nødvendigt at udvide brøken gennem summen af simple brøker.
Vi vil ikke vise, hvordan man gør dette nu, men ved hjælp af ubestemte koefficienter kommer vi frem til summen af brøker.
Dernæst skriver vi nævnerne i eksponentiel form 
Det er tilbage at udvide vilkårene ved hjælp af Maclaurin-formlen. Ved at opsummere led i de samme potenser af "x", komponerer vi en formel for det generelle udtryk for udvidelsen af en funktion i en række 
Den sidste del af overgangen til serien i starten er svær at implementere, da det er svært at kombinere formlerne for parrede og uparrede indekser (grader), men med øvelse bliver du bedre til det.
Eksempel 4.18 Find Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen
Beregninger: Lad os finde den afledede af denne funktion: 
Lad os udvide funktionen til en serie ved hjælp af en af McLarens formler: 
Vi summerer serien termin for termin baseret på det faktum, at begge er absolut identiske. Efter at have integreret hele rækken led for led, opnår vi udvidelsen af funktionen til en række i potenser af x 
Der er en overgang mellem de sidste to linjer i udvidelsen, hvilket vil tage meget af din tid i begyndelsen. At generalisere en serieformel er ikke let for alle, så du skal ikke bekymre dig om ikke at kunne få en flot, kompakt formel.
Eksempel 4.28 Find Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen:
Lad os skrive logaritmen som følger 
Ved hjælp af Maclaurins formel udvider vi logaritmefunktionen i en række i potenser af x 
Den endelige foldning er kompleks ved første øjekast, men når du skifter tegn vil du altid få noget lignende. Input lektion om emnet planlægning af funktioner i en række er afsluttet. Andre lige så interessante nedbrydningsskemaer vil blive diskuteret i detaljer i de følgende materialer.
Hvis funktionen f(x) har afledede af alle ordener på et bestemt interval, der indeholder punkt a, kan Taylor-formlen anvendes på den:
,
Hvor r n– det såkaldte restled eller resten af serien, det kan estimeres ved hjælp af Lagrange-formlen:
, hvor tallet x er mellem x og a.
Regler for indtastning af funktioner:
Hvis for en vis værdi x r n→0 kl n→∞, så i grænsen bliver Taylor-formlen konvergent for denne værdi Taylor-serien:
,
Således kan funktionen f(x) udvides til en Taylor-serie på det punkt x, der overvejes, hvis:
1) den har derivater af alle ordrer;
2) den konstruerede serie konvergerer på dette tidspunkt.
Når a = 0 får vi en serie kaldet nær Maclaurin:
,
Udvidelse af de enkleste (elementære) funktioner i Maclaurin-serien:
Eksponentielle funktioner
, R=∞
Trigonometriske funktioner 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funktionen actgx udvider sig ikke i potenser af x, fordi ctg0=∞
Hyperbolske funktioner
Logaritmiske funktioner
, -1
Binomial serie
.
Eksempel nr. 1. Udvid funktionen til en potensrække f(x)= 2x.
Løsning. Lad os finde værdierne af funktionen og dens afledte ved x=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Ved at erstatte de opnåede værdier af derivaterne i Taylor-seriens formlen får vi:
Konvergensradius for denne serie er lig med uendelig, derfor er denne udvidelse gyldig for -∞<x<+∞.
Eksempel nr. 2. Skriv Taylor-serien i magter ( x+4) for funktion f(x)= e x.
Løsning. Find afledede af funktionen e x og deres værdier på det punkt x=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Derfor har den nødvendige Taylor-serie af funktionen formen:
Denne udvidelse er også gyldig for -∞<x<+∞.
Eksempel nr. 3. Udvid en funktion f(x)=ln x i en række i magter ( X- 1),
(dvs. i Taylor-serien i nærheden af punktet x=1).
Løsning. Find de afledte af denne funktion.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Ved at erstatte disse værdier i formlen får vi den ønskede Taylor-serie:
Ved hjælp af d'Alemberts test kan du verificere, at serien konvergerer ved ½x-1½<1 . Действительно,
Serien konvergerer hvis ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 får vi en alternerende serie, der opfylder Leibniz-kriteriets betingelser. Når x=0 er funktionen ikke defineret. Således er konvergensområdet for Taylor-serien det halvåbne interval (0;2].
Eksempel nr. 4. Udvid funktionen til en potensrække. Eksempel nr. 5. Udvid funktionen til en Maclaurin-serie. Kommentar
.
Denne metode er baseret på teoremet om det unikke ved udvidelsen af en funktion i en potensrække. Essensen af denne teorem er, at der i nærheden af det samme punkt ikke kan opnås to forskellige potensrækker, der ville konvergere til den samme funktion, uanset hvordan dens ekspansion udføres. Eksempel nr. 5a. Udvid funktionen i en Maclaurin-serie og angiv konvergensområdet. Brøken 3/(1-3x) kan betragtes som summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression med en nævner på 3x, hvis |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Eksempel nr. 6. Udvid funktionen til en Taylor-række i nærheden af punktet x = 3. Eksempel nr. 7. Skriv Taylor-rækken i potenser (x -1) af funktionen ln(x+2) . Eksempel nr. 8. Udvid funktionen f(x)=sin(πx/4) til en Taylor-række i nærheden af punktet x =2. Eksempel nr. 1. Beregn ln(3) til nærmeste 0,01. Eksempel nr. 2. Beregn til nærmeste 0,0001. Eksempel nr. 3. Beregn integralet ∫ 0 1 4 sin (x) x inden for 10 -5 . Eksempel nr. 4. Beregn integralet ∫ 0 1 4 e x 2 med en nøjagtighed på 0,001.
Løsning. I ekspansion (1) erstatter vi x med -x 2, vi får:
, -∞
Løsning. Vi har
Ved hjælp af formel (4) kan vi skrive:
erstatter –x i stedet for x i formlen, får vi:
Herfra finder vi: ln(1+x)-ln(1-x) = -
At åbne parenteserne, omarrangere vilkårene for serien og bringe lignende vilkår, får vi
. Denne serie konvergerer i intervallet (-1;1), da den er opnået fra to serier, som hver konvergerer i dette interval.
Formlerne (1)-(5) kan også bruges til at udvide de tilsvarende funktioner til en Taylor-serie, dvs. til udvidelse af funktioner i positive heltalspotenser ( Ha). For at gøre dette er det nødvendigt at udføre sådanne identiske transformationer på en given funktion for at opnå en af funktionerne (1)-(5), hvori i stedet x koster k( Ha) m , hvor k er et konstant tal, m er et positivt heltal. Det er ofte praktisk at foretage en ændring af variabel t=Ha og udvide den resulterende funktion med hensyn til t i Maclaurin-serien.
Løsning. Først finder vi 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x), .
til elementært:
med konvergensregion |x|< 1/3.
Løsning. Dette problem kan løses, som før, ved hjælp af definitionen af Taylor-serien, for hvilken vi skal finde funktionens afledte og deres værdier ved x=3. Det bliver dog nemmere at bruge den eksisterende udvidelse (5):
=
Den resulterende serie konvergerer ved eller –3
Løsning.
Serien konvergerer ved , eller -2< x < 5.
Løsning. Lad os erstatte t=x-2:
Ved at bruge ekspansion (3), hvor vi erstatter π / 4 t i stedet for x, får vi:
Den resulterende serie konvergerer til den givne funktion ved -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Tilnærmede beregninger ved hjælp af potensrækker
Power-serier er meget brugt i omtrentlige beregninger. Med deres hjælp kan du beregne værdierne af rødder, trigonometriske funktioner, logaritmer af tal og bestemte integraler med en given nøjagtighed. Serier bruges også ved integration af differentialligninger.
Overvej udvidelsen af en funktion i en potensrække:
For at beregne den omtrentlige værdi af en funktion på et givet punkt x, der tilhører den angivne series konvergensregion, er de første tilbage i sin ekspansion n medlemmer ( n– et endeligt tal), og de resterende led kasseres:
For at estimere fejlen i den opnåede omtrentlige værdi er det nødvendigt at estimere den kasserede rest rn (x) . For at gøre dette skal du bruge følgende teknikker:
Løsning. Lad os bruge udvidelsen, hvor x=1/2 (se eksempel 5 i det forrige emne):
Lad os kontrollere, om vi kan kassere resten efter de første tre led af udvidelsen; For at gøre dette vil vi evaluere det ved hjælp af summen af en uendeligt faldende geometrisk progression:
Så vi kan kassere denne rest og få
Løsning. Lad os bruge binomialrækken. Da 5 3 er terningen af et heltal tættest på 130, er det tilrådeligt at repræsentere tallet 130 som 130 = 5 3 +5. 
da allerede det fjerde led i den resulterende alternerende serie, der opfylder Leibniz-kriteriet, er mindre end den krævede nøjagtighed:
, så det og vilkårene efter det kan kasseres.
Mange praktisk talt nødvendige bestemte eller ukorrekte integraler kan ikke beregnes ved hjælp af Newton-Leibniz formlen, fordi dens anvendelse er forbundet med at finde antiderivatet, som ofte ikke har et udtryk i elementære funktioner. Det sker også, at det er muligt at finde et antiderivat, men det er unødvendigt arbejdskrævende. Men hvis integrandfunktionen udvides til en potensrække, og integrationsgrænserne hører til denne series konvergensintervall, så er en omtrentlig beregning af integralet med en forudbestemt nøjagtighed mulig.
Løsning. Det tilsvarende ubestemte integral kan ikke udtrykkes i elementære funktioner, dvs. repræsenterer et "ikke-permanent integral". Newton-Leibniz-formlen kan ikke anvendes her. Lad os beregne integralet tilnærmelsesvis.
Opdeling af led for led rækken for synd x på x, vi får: 
Ved at integrere denne serie term for term (dette er muligt, eftersom grænserne for integration hører til intervallet for konvergens af denne serie), får vi:
Da den resulterende serie opfylder Leibnizs betingelser, og det er nok at tage summen af de to første led for at opnå den ønskede værdi med en given nøjagtighed.
Således finder vi 
.
Løsning.
. Lad os tjekke, om vi kan kassere resten efter den anden periode i den resulterende serie.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.