Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до геометрията. Таблиците за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерните калкулатори, не винаги са под ръка и понякога е необходимо да се реши синусът различни задачи. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидиране на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.

Игри с линийка и молив

Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дългата страна - хипотенузата. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.

Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да коригирате радиуса на компаса, приблизително равно на разстояниемежду точките и начертайте полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.

В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойност на синуса остър ъгъл.

Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°

За тъп ъгълзадачата не е много по-трудна. Трябва да начертаете лъч от върха до противоположната странас помощта на линийка образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. Полученият остър ъгъл трябва да се третира, както е описано по-горе, синуси съседни ъгли, образуващи заедно обратен ъгъл от 180°, са равни.

Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции

Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат с това. Нека да разгледаме общи примери.

Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.

Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първия тригонометрична идентичности чрез прости манипулации намаляваме уравнението до изчисляването на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса, ще трябва да извлечете корена на получения резултат.

Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, а също и чрез разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, реципрочна на тангенсспрямо числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също така да извлечете директна формула по аналогия с допирателната, която ще изглежда така по следния начин.

Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник

Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен, от две известни партииизползвайки тригонометричната функция на косинуса на срещуположния ъгъл. Тя изглежда така.

Е, синусът може да бъде допълнително изчислен от косинуса съгласно формулите по-горе.

Урок по темата „Синус, косинус и тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник“

Цели на урока:

образователни - въвеждат понятието синус, косинус, тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, изследват зависимостите и връзките между тези величини;

развитие - формиране на концепцията за синус, косинус, тангенс като функции на ъгъл, област на дефиниране на тригонометрични функции, развитие логично мислене, развитие на правилна математическа реч;

образователни - развитие на умения за самостоятелна работа, култура на поведение, точност при водене на записи.

Напредък на урока:

1. Организиране на времето

„Образованието не е броят взети уроци, а броят разбрани. Така че, ако искате да продължите напред, бързайте бавно и внимавайте."

2. Мотивация на урока.

Един мъдър човек каза: „ Върховно проявлениедухът е умът. Най-висшето проявление на разума е геометрията. Геометричната клетка е триъгълник. То е неизчерпаемо като Вселената. Кръгът е душата на геометрията. Познайте кръга и не само ще познаете душата на геометрията, но и ще издигнете душата си.”

Ще се опитаме да направим малко проучване заедно с вас. Нека споделим вашите идеи, които ви идват наум, и не се страхувайте да правите грешки, всяка мисъл може да ни даде нова посока за търсене. Нашите постижения може да не изглеждат големи за някого, но те ще бъдат наши собствени постижения!

3. Актуализиране на основни знания.

Какви ъгли може да има?

Какво представляват триъгълниците?

Кои са основните елементи, които определят триъгълника?

Какви видове триъгълници има в зависимост от страните?

Какви видове триъгълници има в зависимост от ъглите?

Какво е крак?

Какво е хипотенуза?

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник?

Какви връзки между страните и ъглите на този триъгълник знаете?

Защо трябва да знаете връзките между страни и ъгли?

Какви задачи в живота могат да доведат до необходимостта от пресмятане непознати странив триъгълник?

Терминът "хипотенуза" идва от гръцка дума„hypoinouse“, което означава „разтягане върху нещо“, „свиване“. Думата произлиза от изображението на древногръцките арфи, на които струните са опънати в краищата на две взаимно перпендикулярни стойки. Терминът "катетус" идва от гръцката дума "kathetos", което означава начало на "отвес", "перпендикуляр".

Евклид е казал: "Краката са страните, които ограждат прав ъгъл."

IN Древна Гърциявече беше известен метод за конструиране на правоъгълен триъгълник на земята. За да направят това, те използваха въже, на което бяха вързани 13 възела, на същото разстояние един от друг. При строежа на пирамидите в Египет по този начин са правени правоъгълни триъгълници. Вероятно затова се нарича правоъгълен триъгълник със страни 3,4,5 Египетски триъгълник.

4. Изучаване на нов материал.

В древни времена хората са наблюдавали звездите и въз основа на тези наблюдения са водили календар, изчислявали са датите на сеитба и времето на разливането на реките; корабите в морето и караваните на сушата навигираха пътуването си от звездите. Всичко това доведе до необходимостта да се научим как да изчисляваме страните в триъгълник, чиито два върха са на земята, а третият е представен от точка на звездното небе. Въз основа на тази необходимост възниква науката тригонометрия - наука, която изучава връзките между страните на триъгълника.

Смятате ли, че връзките, които вече познаваме, са достатъчни за решаване на подобни проблеми?

Целта на днешния урок е да се изследват нови връзки и зависимости, да се изведат връзки, използвайки които в следващите уроци по геометрия ще можете да решавате такива задачи.

Нека се почувстваме като в ролята научни работниции следвайки гениите на древността Талес, Евклид, Питагор да вървим по пътятърсене на истината.

За това имаме нужда от теоретична основа.

Маркирайте ъгъл A и крак BC в червено.

Маркирайте зеленокрак AC.

Нека изчислим каква част е противоположната страна за остър ъгъл А към неговата хипотенуза, за това създаваме съотношението срещуположния краккъм хипотенузата:

Тази връзка има специално име - такова, че всеки човек във всяка точка на планетата го разбира ние говорим заоколо число, представляващо отношението на противоположната страна на остър ъгъл към хипотенузата. Тази дума е синус. Да го напишеш. Тъй като думата синус без името на ъгъла губи всякакво значение, математическата нотация е следната:

Сега установете връзка съседен краккъм хипотенузата за остър ъгъл A:

Това съотношение се нарича косинус. Математическата му нотация:

Нека разгледаме друго съотношение за остър ъгъл A: съотношението на срещуположната страна към съседната страна:

Това съотношение се нарича тангенс. Математическата му нотация:

5. Затвърдяване на нов материал.

Нека консолидираме нашите междинни открития.

Синус е...

Косинус е...

Тангенса е...

грях А =	грях ОТНОСНО =	грях А 1 =
cos A =	cos ОТНОСНО =	защото А 1 =
тен A =	tg ОТНОСНО =	тен А 1 =

Решете устно NoNo 88, 889, 892 (работа по двойки).

Използване на придобитите знания за решаване практически проблем:

„От кулата на фара, висока 70 м, се вижда кораб под ъгъл 3° спрямо хоризонта. Какво е като

разстояние от фара до кораба?

Проблемът се решава фронтално. По време на преговора правим рисунка и необходимите бележки на дъската и в тетрадките.

При решаването на проблема се използват таблици на Bradis.

Разгледайте решението на задачата стр.175.

Решете № 902 (1).

6. Упражнение за очите.

Без да обръщате глава, огледайте стената на класната стая около периметъра по посока на часовниковата стрелка, дъската около периметъра обратно на часовниковата стрелка, триъгълника, изобразен на стойката, по посока на часовниковата стрелка и равния триъгълник обратно на часовниковата стрелка. Обърнете главата си наляво и погледнете линията на хоризонта, а сега и върха на носа си. Затворете очи, пребройте до 5, отворете очи и...

Ще сложим длани на очите си,
Да разтворим силните си крака.
Обръщайки се надясно
Да се ​​огледаме величествено.
И вие също трябва да отидете наляво
Погледнете изпод дланите си.
И – надясно! И по-нататък
През лявото рамо!
Сега да продължим да работим.

7. Самостоятелна работастуденти.

Решете бр.

8. Обобщение на урока. Отражение. D/z.

Какви нови неща научихте? В урока:

обмислял ли си...

анализирал си...

Получихте …

заключихте...

сте попълнили лексиконследните условия...

Световната наука започва с геометрията. Човек не може истински да се развие културно и духовно, ако не е учил геометрия в училище. Геометрията е възникнала не само от практическите, но и от духовните потребности на човека.

Така поетично тя обясни любовта си към геометрията

Обичам геометрията...

Преподавам геометрия, защото я обичам

Имаме нужда от геометрия, без нея не можем да стигнем никъде.

Синус, косинус, обиколка - всичко е важно тук,

Всичко е необходимо тук

Просто трябва да научите и разберете всичко много ясно,

Изпълнявайте задачите и тестовете навреме.

Синусът и косинусът първоначално възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.

Така бяха въведени понятията синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата, а косинусът е отношението на страната, съседна на хипотенузата.

Теореми за косинуси и синуси

Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл или страна на всеки триъгълник, достатъчно е да приложите теоремата за косинусите и синусите.

Косинусовата теорема е доста проста: „Квадратът на страната на триъгълник равно на суматаквадратите на другите две страни минус два пъти произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.”

Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според малкия: „В триъгълника ъглите са пропорционални противоположни страни». Тази теоремачесто се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълник: „В триъгълник ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“

Деривати

Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция спрямо промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.

Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.

Приложение в математиката

Синусите и косинусите се използват особено често при решаване на правоъгълни триъгълници и задачи, свързани с тях.

Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Беше лесно да се оценят ъгли и страни, като се използват теоремите за косинусите и синусите, разбивайки сложни фигурии обекти в „прости“ триъгълници. Инженерите често се занимават с изчисления на пропорциите и степенни мерки, прекара много време и усилия, за да изчисли косинусите и синусите на нетабличните ъгли.

Тогава на помощ дойдоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси различни ъгли. IN съветско временякои учители принуждаваха своите ученици да запомнят страници от таблиците на Брадис.

радиан - ъглова величинадъги, дължина равен на радиусаили 57.295779513° градуса.

Степен (в геометрията) - 1/360 част от окръжност или 1/90 част прав ъгъл.

π = 3,141592653589793238462… ( приблизителна стойностПи числа).

Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ъгъл x (в градуси)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Ъгъл x (в радиани)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстровано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

При проблеми правилният ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в това

и в това

Какво е хубавото на правоъгълния триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: има два катета и има само една хипотенуза(един единствен, единствен и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Питагор го доказа напълно незапомнени временаи оттогава донесе много ползи на тези, които я познават. И най-хубавото е, че е просто.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме същите тези питагорови панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема или по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площи на квадрати, построен върху краката, е равен на квадратна площ, построен върху хипотенузата."

Наистина ли звучи малко по-различно? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, това е точно тази картина, която се получава.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да могат децата да запомнят по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли този виц за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема?

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да помнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълните триъгълници беше обсъдена. Ако ви интересува как се доказва, прочетете следващите нива на теория, а сега да продължим... към тъмна гора... тригонометрия! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Гледай внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

На какво е равна площта? по-голям квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синус на остър ъгъл равно на съотношениетопротивоположната страна на хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Разгледайте темата “и обърнете внимание, че за равенство на “обикновените” триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво се знае за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но подобни триъгълницивсички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна. Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:

Учителите вярват, че всеки ученик трябва да може да извършва изчисления, да знае тригонометрични формули, но не всеки учител обяснява какво е синус и косинус. Какво е тяхното значение, къде се използват? Защо говорим за триъгълници, а в учебника е показан кръг? Нека се опитаме да свържем всички факти заедно.

Учебен предмет

Изучаването на тригонометрия обикновено започва в 7-8 клас гимназия. По това време на учениците се обяснява какво е синус и косинус и се иска да ги решат геометрични задачиизползвайки тези функции. Още се появяват по-късно сложни формулии изрази, които трябва да бъдат алгебрично трансформирани (формули на двойно и половин ъгъл, мощностни функции), работата се извършва с тригонометричен кръг.

Учителите обаче не винаги могат ясно да обяснят значението на използваните понятия и приложимостта на формулите. Следователно ученикът често не вижда смисъл в този предмет, а запомнената информация бързо се забравя. Въпреки това си струва да обясните веднъж на гимназист, например, връзката между функцията и осцилаторно движение, И логическа връзкаще се помни дълги години, а шегите за безполезността на артикула ще останат в миналото.

Използване

Заради любопитството, нека разгледаме различни клонове на физиката. Искате ли да определите обсега на снаряд? Или изчислявате силата на триене между обект и определена повърхност? Да въртите махалото, да наблюдавате лъчите, преминаващи през стъклото, да изчислявате индукцията? Тригонометричните концепции се появяват в почти всяка формула. И така, какво са синус и косинус?

Дефиниции

Синусът на ъгъл е отношението на срещуположната страна към хипотенузата, косинусът е отношението на съседната страна към същата хипотенуза. Тук няма абсолютно нищо сложно. Може би учениците обикновено са объркани от значенията, които виждат в тригонометрична таблица, защото там се появяват квадратни корени. Да, получаването на десетични числа от тях не е много удобно, но кой каза, че всички числа в математиката трябва да са равни?

Всъщност можете да намерите забавен намек в задачите по тригонометрия: повечето от отговорите тук са четни и в най-лошия случайсъдържа корен от две или три. Изводът е прост: ако отговорът ви се окаже „многоетажна“ дроб, проверете отново решението за грешки в изчисленията или разсъжденията. И най-вероятно ще ги намерите.

Какво да запомните

Като всяка наука, тригонометрията има данни, които трябва да се научат.

Първо, трябва да запомните числови стойностиза синуси, косинуси на правоъгълен триъгълник 0 и 90, както и 30, 45 и 60 градуса. Тези показатели се срещат в девет от десет училищни задачи. Разглеждайки тези стойности в учебника, ще загубите много време и няма да има къде да ги разгледате изобщо по време на тест или изпит.

Трябва да се помни, че стойността на двете функции не може да надвишава единица. Ако някъде във вашите изчисления получите стойност извън диапазона 0-1, спрете и опитайте проблема отново.

Сборът от квадратите на синус и косинус е равен на едно. Ако вече сте намерили една от стойностите, използвайте тази формула, за да намерите оставащата.

Теореми

Има две основни теореми в основната тригонометрия: синуси и косинуси.

Първият гласи, че съотношението на всяка страна на триъгълник към синуса на противоположния ъгъл е еднакво. Второто е, че квадратът на всяка страна може да се получи чрез добавяне на квадратите на двете останали страни и изваждане на двойното им произведение, умножено по косинуса на ъгъла, разположен между тях.

Така, ако заместим стойността на ъгъл от 90 градуса в косинусовата теорема, получаваме... Питагоровата теорема. Сега, ако трябва да изчислите площта на фигура, която не е правоъгълен триъгълник, вече не е нужно да се притеснявате - двете обсъдени теореми значително ще опростят решението на проблема.

Цели и задачи

Изучаването на тригонометрията ще стане много по-лесно, когато осъзнаете един прост факт: всички действия, които извършвате, са насочени към постигане само на една цел. Всички параметри на триъгълник могат да бъдат намерени, ако знаете минималната информация за него - това може да бъде стойността на един ъгъл и дължината на две страни или, например, три страни.

За да определите синуса, косинуса, тангенса на всеки ъгъл, тези данни са достатъчни и с тяхна помощ можете лесно да изчислите площта на фигурата. Почти винаги отговорът изисква една от споменатите стойности и те могат да бъдат намерени с помощта на същите формули.

Несъответствия в изучаването на тригонометрията

Един от озадачаващите въпроси, които учениците предпочитат да избягват, е откриването на връзката между различни концепциив тригонометрията. Изглежда, че триъгълниците се използват за изучаване на синусите и косинусите на ъглите, но по някаква причина символите често се намират на фигурата с кръг. Освен това има напълно неразбираема вълнообразна графика, наречена синусоида, която няма външна прилика нито с кръг, нито с триъгълници.

Освен това ъглите се измерват или в градуси, или в радиани, а числото Pi, написано просто като 3,14 (без единици), по някаква причина се появява във формулите, съответстващи на 180 градуса. Как е свързано всичко това?

Единици

Защо Пи е точно 3,14? Помните ли какво е това значение? Това е броят на радиусите, които се вписват в дъга на половин окръжност. Ако диаметърът на кръга е 2 сантиметра, обиколката ще бъде 3,14 * 2 или 6,28.

Втора точка: може би сте забелязали приликата между думите „радиан“ и „радиус“. Факт е, че един радиан е числено равно на стойносттаъгълът, спускан от центъра на окръжността върху дъга с дължина един радиус.

Сега ще обединим придобитите знания и ще разберем защо „Pi наполовина“ е написано отгоре на координатната ос в тригонометрията, а „Pi“ е написано отляво. Това е ъглова стойност, измерена в радиани, тъй като полукръгът е 180 градуса или 3,14 радиана. И където има градуси, има синуси и косинуси. Лесно е да начертаете триъгълник от желаната точка, отделяйки сегменти до центъра и до координатната ос.

Да погледнем в бъдещето

Тригонометрия, изучавана в училище, се занимава с праволинейна системакоординати, където, колкото и странно да звучи, правата си е права линия.

Но има още сложни начиниработа с пространството: сумата от ъглите на триъгълника тук ще бъде повече от 180 градуса, а правата линия в нашия изглед ще изглежда като истинска дъга.

Да преминем от думи към дела! Вземете ябълка. Направете три разреза с нож, така че погледнато отгоре да получите триъгълник. Извадете полученото парче ябълка и погледнете "ребрата", където свършва кората. Изобщо не са прави. Плодът в ръцете ви може условно да се нарече кръгъл, но сега си представете колко сложни трябва да бъдат формулите, с които можете да намерите площта на отрязаното парче. Но някои специалисти решават такива проблеми всеки ден.

Тригонометрични функции в живота

Забелязали ли сте, че най-краткият маршрут за самолет от точка А до точка Б на повърхността на нашата планета има ясно изразена дъгообразна форма? Причината е проста: Земята е сферична, което означава, че не можете да изчислявате много с триъгълници - трябва да използвате по-сложни формули.

Не можете да правите без синус/косинус на остър ъгъл при всякакви въпроси, свързани с пространството. Интересното е, че тук се събират много фактори: тригонометрични функцииса необходими при изчисляване на движението на планети в кръгове, елипси и различни траектории с повече от сложни форми; процесът на изстрелване на ракети, сателити, совалки, разкачване на изследователски апарати; наблюдение далечни звездии изследване на галактики, които хората няма да могат да достигнат в обозримо бъдеще.

Като цяло полето на дейност за човек, който познава тригонометрията, е много широко и очевидно ще се разширява само с времето.

Заключение

Днес научихме или поне повторихме какво е синус и косинус. Това са понятия, от които не трябва да се страхувате - просто ги искате и ще разберете тяхното значение. Не забравяйте, че тригонометрията не е цел, а само инструмент, който може да се използва за задоволяване на реални човешки потребности: строете къщи, осигурявайте безопасност на движението, дори изследвайте необятността на вселената.

Наистина, самата наука може да изглежда скучна, но веднага щом откриете в нея начин за постигане на собствените си цели и себереализация, процесът на обучение ще стане интересен и личната ви мотивация ще се увеличи.

Като домашна работаОпитайте се да намерите начини да приложите тригонометрични функции в област на дейност, която ви интересува лично. Представете си, използвайте въображението си и тогава вероятно ще откриете, че новите знания ще ви бъдат полезни в бъдеще. И освен това математиката е полезна за общо развитиемислене.