Обратни тригонометрични функциисе използват широко в математическия анализ. Въпреки това, за повечето ученици в гимназията задачите, свързани с този тип функции, създават значителни трудности. Това се дължи най-вече на факта, че много учебници и учебни помагала обръщат твърде малко внимание на задачи от този тип. И ако учениците поне по някакъв начин се справят с проблемите на изчисляването на стойностите на обратните тригонометрични функции, тогава уравненията и неравенствата, съдържащи такива функции, в по-голямата си част объркват децата. Всъщност това не е изненадващо, защото практически нито един учебник не обяснява как се решават дори най-простите уравнения и неравенства, съдържащи обратни тригонометрични функции.
Нека да разгледаме няколко уравнения и неравенства, включващи обратни тригонометрични функции и да ги решим с подробни обяснения.
Пример 1.
Решете уравнението: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Решение.
Нека изразим обратната тригонометрична функция от уравнението, получаваме:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Сега нека използваме определението за арккосинус.
Аркосинусът на дадено число a, принадлежащ на сегмента от -1 до 1, е ъгъл y от сегмента от 0 до π, така че косинусът му да е равен на числото x. Следователно можем да го запишем така:
2x + 3 = cos 5π/6.
Нека напишем дясната страна на полученото уравнение, като използваме формулата за редукция:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Нека сведем дясната страна до общ знаменател.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
отговор: -(6 + √3) / 4 .
Пример 2.
Решете уравнението: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.
Решение.
Тъй като cos (arcсos x) = x с x, принадлежащ на [-1; 1], тогава това уравнение е еквивалентно на системата:
(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Нека решим уравнението, включено в системата.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Той е квадратен, така че получаваме това
x 2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Нека решим двойното неравенство, включено в системата.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Добавете 9 към всички части, имаме:
8 ≤ 4x ≤ 10. Разделяме всяко число на 4, получаваме:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Сега нека обединим отговорите, които получихме. Лесно се вижда, че коренът x = 7 не удовлетворява отговора на неравенството. Следователно единственото решение на уравнението е x = 2.
Отговор: 2.
Пример 3.
Решете уравнението: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Решение.
Тъй като tg (arctg x) = x за всички реални числа, това уравнение е еквивалентно на уравнението:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Нека решим полученото квадратно уравнение с помощта на дискриминанта, като първо сме го привели в стандартна форма.
x 2 – 3x + 2 = 0;
D = 9 – 4 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Отговор: 1; 2.
Пример 4.
Решете уравнението: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Решение.
Тъй като arcctg f(x) = arcctg g(x) ако и само ако f(x) = g(x), тогава 
2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Нека решим полученото квадратно уравнение:
4x – 2 = x 2 + x;
x 2 – 3x + 2 = 0.
По теоремата на Виета получаваме това
x = 1 или x = 2.
Отговор: 1; 2.
Пример 5.
Решете уравнението: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).
Решение.
Тъй като уравнение във формата arcsin f(x) = arcsin g(x) е еквивалентно на системата
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
тогава първоначалното уравнение е еквивалентно на системата:
(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Нека решим получената система:
(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
От първото уравнение, използвайки теоремата на Vieta, имаме, че x = 1 или x = 7. Решавайки второто неравенство на системата, намираме, че 7 ≤ x ≤ 8. Следователно само коренът x = 7 е подходящ за окончателното отговор.
Отговор: 7.
Пример 6.
Решете уравнението: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Решение.
Нека arccos x = t, тогава t принадлежи на сегмента и уравнението приема формата:
t 2 – 6t + 8 = 0. Решаваме полученото квадратно уравнение с помощта на теоремата на Vieta, намираме, че t = 2 или t = 4.
Тъй като t = 4 не принадлежи на сегмента, получаваме, че t = 2, т.е. arccos x = 2, което означава x = cos 2.
Отговор: cos 2.
Пример 7.
Решете уравнението: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Решение.
Нека използваме равенството arcsin x + arccos x = π/2 и напишем уравнението във формата
(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Нека arcsin x = t, тогава t принадлежи на сегмента [-π/2; π/2] и уравнението приема формата:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Нека решим полученото уравнение:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Умножавайки всеки член по 9, за да се отървем от дробите в уравнението, получаваме:
18t 2 – 9πt + π 2 = 0.
Нека намерим дискриминанта и решим полученото уравнение:
D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 18 или t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 или t = 12π/36.
След намаление имаме:
t = π/6 или t = π/3. Тогава
arcsin x = π/6 или arcsin x = π/3.
Така, x = sin π/6 или x = sin π/3. Тоест, x = 1/2 или x =√3/2.
Отговор: 1/2; √3/2.
Пример 8.
Намерете стойността на израза 5nx 0, където n е броят на корените, а x 0 е отрицателният корен на уравнението 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.
Решение.
Тъй като -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, тогава -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Освен това, (x + 1) 2 ≥ 0 за всички реални x,
тогава -(x + 1) 2 ≤ 0 и -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
По този начин уравнението може да има решение, ако двете му страни едновременно са равни на –π, т.е. уравнението е еквивалентно на системата:
(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.
Нека решим получената система от уравнения:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
От второто уравнение имаме, че x = -1, съответно n = 1, тогава 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Отговор: -5.
Както показва практиката, способността за решаване на уравнения с обратни тригонометрични функции е необходимо условие за успешно полагане на изпити. Ето защо обучението за решаване на такива проблеми е просто необходимо и задължително при подготовката за Единния държавен изпит.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!
blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.
Уроци 32-33. Обратни тригонометрични функции
09.07.2015 5917 0цел: разгледайте обратните тригонометрични функции и тяхното използване за писане на решения на тригонометрични уравнения.
I. Съобщаване на темата и целта на уроците
II. Учене на нов материал
1. Обратни тригонометрични функции
Нека започнем нашето обсъждане на тази тема със следния пример.
Пример 1
Нека решим уравнението:а) sin x = 1/2; б) sin x = a.
а) На ординатната ос нанасяме стойността 1/2 и построяваме ъглитех 1 и x2, за коитогрях х = 1/2. В този случай x1 + x2 = π, откъдето x2 = π –х 1 . Използвайки таблицата със стойности на тригонометричните функции, намираме стойността x1 = π/6, след това
Нека вземем предвид периодичността на функцията синус и запишем решенията на това уравнение:
където k ∈ Z.
б) Очевидно алгоритъмът за решаване на уравнениетогрях x = a е същото като в предходния параграф. Разбира се, сега стойността a се нанася по ординатната ос. Необходимо е по някакъв начин да се обозначи ъгълът x1. Разбрахме се да обозначим този ъгъл със символа arcsin А. Тогава решенията на това уравнение могат да бъдат записани във форматаТези две формули могат да бъдат комбинирани в една:в същото време 
Останалите обратни тригонометрични функции се въвеждат по подобен начин.
Много често е необходимо да се определи големината на ъгъл от известната стойност на неговата тригонометрична функция. Такава задача е многозначна - има безброй ъгли, чиито тригонометрични функции са равни на една и съща стойност. Следователно, въз основа на монотонността на тригонометричните функции, се въвеждат следните обратни тригонометрични функции за еднозначно определяне на ъгли.
Арксинус на числото a (arcsin , чийто синус е равен на a, т.е.
Арккосинус на число a(arccos a) е ъгъл a от интервала, чийто косинус е равен на a, т.е.
Арктангенс на число a(arctg а) - такъв ъгъл а от интервалачийто тангенс е равен на а, т.е.
tg a = a.
Аркотангенс на число a(arcctg a) е ъгъл a от интервала (0; π), чийто котангенс е равен на a, т.е. ctg a = a.
Пример 2
Да намерим:
Като вземем предвид дефинициите на обратните тригонометрични функции, получаваме:
Пример 3
Нека изчислим 
Нека ъгъл a = arcsin 3/5, тогава по дефиниция sin a = 3/5 и . Следователно трябва да намерим cos А. Използвайки основната тригонометрична идентичност, получаваме:
Взема се предвид, че cos a ≥ 0. Така че, 
Функционални свойства | функция |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = арктан х | y = arcctg x |
|
Област на дефиниция | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Диапазон от стойности | y ∈ [ -π/2 ; π /2] | y ∈ | y ∈ (-π/2; π/2) | y ∈ (0;π) |
Паритет | Странно | Нито четно, нито нечетно | Странно | Нито четно, нито нечетно |
Функционални нули (y = 0) | При x = 0 | При x = 1 | При x = 0 | y ≠ 0 |
Интервали на знакопостоянство | y > 0 за x ∈ (0; 1], при< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 за x ∈ [-1; 1) | y > 0 за x ∈ (0; +∞), при< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 за x ∈ (-∞; +∞) |
Монотонен | Увеличава се | Спускане | Увеличава се | Спускане |
Връзка с тригонометричната функция | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
График | ||||
Нека дадем няколко по-характерни примера, свързани с дефинициите и основните свойства на обратните тригонометрични функции.
Пример 4
Нека намерим областта на дефиниция на функцията
За да бъде дефинирана функцията y, е необходимо да е изпълнено неравенството
което е еквивалентно на системата от неравенства
Решението на първото неравенство е интервалът x∈
(-∞; +∞), секунда -Тази празнина и е решение на системата от неравенства и следователно областта на дефиниране на функцията
Пример 5
Нека намерим областта на промяна на функцията
Нека разгледаме поведението на функцията z = 2x - x2 (вижте снимката).
Ясно е, че z ∈ (-∞; 1]. Като се има предвид, че аргументът z функцията на аркотангенса се променя в рамките на посочените граници, от данните в таблицата получаваме това
Така че областта на промяната
Пример 6
Нека докажем, че функцията y = arctg х странно. Нека
Тогава tg a = -x или x = - tg a = tg (- a) и 
Следователно, - a = arctg x или a = - arctg X. Така виждаме товат.е. y(x) е нечетна функция.
Пример 7
Нека изразим чрез всички обратни тригонометрични функции
Нека 
Очевидно е, че 
Тогава оттогава
Нека представим ъгъла 
защото 
това 
По същия начин следователно 
и 
така че
Пример 8
Нека построим графика на функцията y = cos(arcsin x).
Тогава нека означим a = arcsin x 
Нека вземем предвид, че x = sin a и y = cos a, т.е. x 2 + y2 = 1 и ограничения върху x (x∈
[-1; 1]) и y (y ≥ 0). Тогава графиката на функцията y = cos(arcsin x) е полукръг.
Пример 9
Нека построим графика на функцията y = arccos (cos x).
Тъй като функцията cos x промени на интервала [-1; 1], тогава функцията y е дефинирана на цялата числена ос и варира на отсечката . Нека имаме предвид, че y = arccos(cosx) = x върху сегмента; функцията y е четна и периодична с период 2π. Като се има предвид, че функцията има тези свойства cos x Сега е лесно да създадете графика.
Нека отбележим някои полезни равенства:
Пример 10
Нека намерим най-малката и най-голямата стойност на функциятаНека обозначим 
Тогава 
Да вземем функцията 
Тази функция има минимум в точката z = π/4 и е равно на 
Най-голямата стойност на функцията се постига в точката z = -π/2 и е равно 
По този начин и
Пример 11
Да решим уравнението
Нека вземем предвид това 
Тогава уравнението изглежда така:
или 
където По дефиницията на арктангенса получаваме:
2. Решаване на прости тригонометрични уравнения
Подобно на пример 1, можете да получите решения на най-простите тригонометрични уравнения.
Уравнение | Решение |
tgx = а | |
ctg x = a |
Пример 12
Да решим уравнението 
Тъй като функцията синус е нечетна, записваме уравнението във формата
Решения на това уравнение:
от къде го намираме? 
Пример 13
Да решим уравнението 
Използвайки дадената формула, записваме решенията на уравнението:
и ще намерим 
Имайте предвид, че в специални случаи (a = 0; ±1) при решаване на уравненията sin x = a и cos x = и е по-лесно и по-удобно да използвате не общи формули, а да записвате решения въз основа на единичната окръжност:
за уравнението sin x = 1 решение
за уравнението sin x = 0 решения x = π k;
за уравнението sin x = -1 решение 
за cos уравнението x = 1 решения x = 2π k;
за уравнението cos x = 0 решение
за уравнението cos x = -1 решение 
Пример 14
Да решим уравнението 
Тъй като в този пример има частен случай на уравнението, ще напишем решението с помощта на подходящата формула:
откъде можем да го намерим? 
III. Контролни въпроси (фронтално проучване)
1. Дефинирайте и избройте основните свойства на обратните тригонометрични функции.
2. Дайте графики на обратни тригонометрични функции.
3. Решаване на прости тригонометрични уравнения.
IV. Задание на урока
§ 15, № 3 (а, б); 4 (c, d); 7(а); 8(а); 12 (b); 13(а); 15 (c); 16(а); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, № 4 (a, b); 7(а); 8 (b); 16 (a, b); 18(а); 19 (c, d);
§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Домашна работа
§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(а); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, № 4 (c, d); 7(b); 8(а); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).
VI. Творчески задачи
1. Намерете домейна на функцията:
Отговори:
2. Намерете диапазона на функцията:
Отговори:
3. Начертайте графика на функцията:
VII. Обобщаване на уроците
Дадени са дефиниции на обратни тригонометрични функции и техните графики. Както и формули за свързване на обратни тригонометрични функции, формули за сбор и разлики.
Дефиниция на обратни тригонометрични функции
Тъй като тригонометричните функции са периодични, техните обратни функции не са уникални. И така, уравнението y = грях х, за дадено , има безкрайно много корени. Наистина, поради периодичността на синуса, ако x е такъв корен, значи е такъв x + 2πn(където n е цяло число) също ще бъде коренът на уравнението. по този начин обратните тригонометрични функции са многозначни. За по-лесна работа с тях се въвежда понятието за основните им значения. Помислете например за синус: y = грях х. грях хАко ограничим аргумента x до интервала, тогава върху него функцията y = нараства монотонно. Следователно той има уникална обратна функция, която се нарича арксинус: x =.
arcsin y
Освен ако не е посочено друго, под обратни тригонометрични функции разбираме техните основни стойности, които се определят от следните определения. арксинус ( y =) arcsin x е обратната функция на синус ( x =
сини арксинус ( Аркосинус () arccos x е обратната функция на синус ( е обратната функция на косинус (защото у
), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности. арксинус ( Арктангенс () арктан х е обратната функция на синус ( е обратната функция на тангенса (защото у
tg y арксинус ( аркотангенс () arcctg x е обратната функция на синус ( е обратната функция на котангенса (защото у
ctg y
Графики на обратни тригонометрични функции
арксинус ( y =
арксинус ( Аркосинус (
арксинус ( Арктангенс (
арксинус ( аркотангенс (
Графиките на обратните тригонометрични функции се получават от графики на тригонометрични функции чрез огледално отражение спрямо правата линия y = x.
Вижте разделите Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
Основни формулиТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
arcsin(sin x) = x
приТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = xТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
Формули, свързващи обратни тригонометрични функции
Формули за сбор и разлика
при или
Формули, свързващи обратни тригонометрични функции
Формули за сбор и разлика
при или
при и
при и
при и
при и
Функциите sin, cos, tg и ctg винаги са придружени от арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Едното е следствие от другото и двойките функции са еднакво важни за работа с тригонометрични изрази.
Помислете за чертеж на единична окръжност, която графично показва стойностите на тригонометричните функции.
Ако изчислим дъги OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, тогава всички те ще бъдат равни на стойността на ъгъл α. Формулите по-долу отразяват връзката между основните тригонометрични функции и съответните им дъги.
За да разберете повече за свойствата на арксинуса, е необходимо да разгледате неговата функция. График има формата на асиметрична крива, минаваща през координатния център.
Свойства на арксинуса:
Ако сравним графиките гряхи arcsin, две тригонометрични функции могат да имат общи модели.
аркосинус
Arccos на число е стойността на ъгъла α, косинусът на който е равен на a.
Извивка y = arcos xотразява графиката на arcsin x, като единствената разлика е, че минава през точката π/2 на оста OY.
Нека разгледаме функцията арк косинус по-подробно:
- Функцията е дефинирана на интервала [-1; 1].
- ОДЗ за arccos - .
- Графиката е разположена изцяло в първата и втората четвърт, а самата функция не е нито четна, нито нечетна.
- Y = 0 при x = 1.
- Кривата намалява по цялата си дължина. Някои свойства на арккосинуса съвпадат с функцията косинус.
Някои свойства на арккосинуса съвпадат с функцията косинус.
Може би учениците ще намерят такова „подробно“ изучаване на „арките“ за ненужно. В противен случай обаче някои елементарни стандартни изпитни задачи могат да доведат студентите в задънена улица.
Задача 1.Посочете функциите, показани на фигурата.
отговор:ориз. 1 – 4, фиг. 2 – 1.
В този пример акцентът е върху малките неща. Обикновено учениците са много невнимателни към изграждането на графики и външния вид на функциите. Наистина, защо да помним вида на кривата, ако тя винаги може да бъде начертана с помощта на изчислени точки. Не забравяйте, че при тестови условия времето, прекарано за рисуване на проста задача, ще бъде необходимо за решаване на по-сложни задачи.
Арктангенс
Arctgчислата a са стойността на ъгъл α, така че тангенсът му да е равен на a.
Ако разгледаме графиката на арктангенса, можем да подчертаем следните свойства:
- Графиката е безкрайна и дефинирана на интервала (- ∞; + ∞).
- Арктангенсът е нечетна функция, следователно, arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 при x = 0.
- Кривата нараства в целия диапазон на дефиниция.
Нека представим кратък сравнителен анализ на tg x и arctg x под формата на таблица.
Аркотангенс
Arcctg на число - приема стойност α от интервала (0; π), така че котангенсът му да е равен на a.
Свойства на функцията аркотангенс:
- Интервалът на дефиниране на функцията е безкраен.
- Диапазонът от приемливи стойности е интервалът (0; π).
- F(x) не е нито четно, нито нечетно.
- По цялата си дължина графиката на функцията намалява.
Много е лесно да сравните ctg x и arctg x; просто трябва да направите два чертежа и да опишете поведението на кривите.
Задача 2.Свържете графиката и формата на запис на функцията.
Ако разсъждаваме логично, от графиките става ясно, че и двете функции нарастват. Следователно и двете фигури показват определена арктан функция. От свойствата на арктангенса е известно, че y=0 при x = 0,
отговор:ориз. 1 – 1, фиг. 2 – 4.
Тригонометрични идентичности arcsin, arcos, arctg и arcctg
По-рано вече идентифицирахме връзката между арките и основните функции на тригонометрията. Тази зависимост може да бъде изразена чрез редица формули, които позволяват да се изрази, например, синусът на аргумент чрез неговия арксинус, аркосинус или обратно. Познаването на такива идентичности може да бъде полезно при решаването на конкретни примери.
Има също връзки за arctg и arcctg:
Друга полезна двойка формули задава стойността на сумата от arcsin и arcos, както и arcctg и arcctg на същия ъгъл.
Примери за решаване на проблеми
Задачите по тригонометрия могат да бъдат разделени на четири групи: изчисляване на числовата стойност на конкретен израз, конструиране на графика на дадена функция, намиране на нейната област на дефиниране или ODZ и извършване на аналитични трансформации за решаване на примера.
Когато решавате първия тип проблем, трябва да се придържате към следния план за действие:
При работа с функционални графики основното е познаването на техните свойства и външния вид на кривата. Решаването на тригонометрични уравнения и неравенства изисква таблици за идентичност. Колкото повече формули си спомня ученикът, толкова по-лесно намира отговора на задачата.
Да кажем, че в Единния държавен изпит трябва да намерите отговора на уравнение като:
Ако правилно трансформирате израза и го доведете до желаната форма, тогава решаването му е много просто и бързо. Първо, нека преместим arcsin x в дясната страна на равенството.
Ако си спомняте формулата arcsin (sin α) = α, тогава можем да намалим търсенето на отговори до решаване на система от две уравнения:
Ограничението върху модела x възниква, отново от свойствата на arcsin: ODZ за x [-1; 1]. Когато a ≠0, част от системата е квадратно уравнение с корени x1 = 1 и x2 = - 1/a. Когато a = 0, x ще бъде равно на 1.