Два ъгъла, поставени на една и съща права и имащи един и същи връх, се наричат съседни.
В противен случай, ако сборът от два ъгъла на една права линия е равен на 180 градуса и те имат една обща страна, тогава това са съседни ъгли.
1 съседен ъгъл + 1 съседен ъгъл = 180 градуса.
Съседните ъгли са два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две страни обикновено образуват права линия.
Сборът от два съседни ъгъла винаги е 180 градуса. Например, ако един ъгъл е 60 градуса, тогава вторият непременно ще бъде равен на 120 градуса (180-60).
Ъглите AOC и BOC са съседни ъгли, тъй като са изпълнени всички условия за характеристиките на съседните ъгли:
1.OS - обща страна на два ъгъла
2.AO - страна на ъгъл AOS, OB - страна на ъгъл BOS. Заедно тези страни образуват права линия AOB.
3. Има два ъгъла и сборът им е 180 градуса.
Спомняйки си училищния курс по геометрия, можем да кажем следното за съседните ъгли:
съседните ъгли имат една обща страна, а другите две страни принадлежат на една и съща права линия, тоест те са на една и съща права линия. Ако според фигурата, тогава ъглите SOV и BOA са съседни ъгли, чиято сума винаги е равна на 180, тъй като те разделят прав ъгъл, а прав ъгъл винаги е равен на 180.
Съседните ъгли са лесна концепция в геометрията. Съседните ъгли, ъгъл плюс ъгъл, се събират до 180 градуса.
Два съседни ъгъла ще бъдат един разгънат ъгъл.
Има още няколко имота. Със съседни ъгли проблемите са лесни за решаване и теоремите са лесни за доказване.
Съседните ъгли се образуват чрез изчертаване на лъч от произволна точка на права линия. Тогава тази произволна точка се оказва върхът на ъгъла, лъчът е общата страна на съседни ъгли, а правата, от която е изтеглен лъчът, е двете останали страни на съседните ъгли. Съседните ъгли могат да бъдат еднакви при перпендикуляр или различни при наклонена греда. Лесно е да се разбере, че сумата от съседните ъгли е равна на 180 градуса или просто права линия. По друг начин този ъгъл може да се обясни с прост пример - първо сте вървели в една посока по права линия, след това сте размислили, решили сте да се върнете и, завъртайки се на 180 градуса, тръгвате по същата права линия в обратната посока.
И така, какво е съседен ъгъл? определение:
Два ъгъла с общ връх и една обща страна се наричат съседни, а другите две страни на тези ъгли лежат на една и съща права.
И кратък видео урок, който разумно показва за съседни ъгли, вертикални ъгли, плюс за перпендикулярни прави, които са частен случай на съседни и вертикални ъгли
Съседните ъгли са ъгли, в които едната страна е обща, а другата е една права.
Съседните ъгли са ъгли, които зависят един от друг. Тоест, ако общата страна е леко завъртяна, тогава единият ъгъл ще намалее с няколко градуса и автоматично вторият ъгъл ще се увеличи със същия брой градуси. Това свойство на съседните ъгли позволява да се решават различни задачи в геометрията и да се извършват доказателства на различни теореми.
Общата сума на съседните ъгли винаги е 180 градуса.
От курса по геометрия, (доколкото си спомням в 6-ти клас) два ъгъла се наричат съседни, в които едната страна е обща, а другите страни са допълнителни лъчи, сборът на съседните ъгли е 180. Всеки от двата съседните ъгли допълват другия до разширен ъгъл. Пример за съседни ъгли:
Съседни ъгли са два ъгъла с общ връх, едната от които е обща, а останалите страни лежат на една и съща права линия (не съвпадат). Сумата от съседните ъгли е сто и осемдесет градуса. Общо взето всичко това се намира много лесно в гугъл или учебник по геометрия.
Два ъгъла се наричат съседни, ако имат общ връх и една страна, а другите две страни образуват права линия. Сумата от съседните ъгли е 180 градуса.
На фигурата ъглите AOB и BOC са съседни.
Съседни ъгли са тези, които имат общ връх, една обща страна, а останалите страни са продължение една на друга и образуват разтегнат ъгъл. Забележително свойство на съседните ъгли е, че сборът от тези ъгли винаги е равен на 180 градуса.
Ъгли с общ връх и една обща страна в геометрията се наричат съседни
Сумата от съседните ъгли е 180 градуса
Трябва да се отбележи, че съседните ъгли имат равни синуси
За да научите повече за съседните ъгли, прочетете тук
Първи стъпки с ъгли
Нека са ни дадени два произволни лъча. Да ги сложим един върху друг. Тогава
Определение 1
Ще наричаме ъгъл два лъча, които имат еднакъв произход.
Определение 2
Точката, която е началото на лъчите в рамките на Определение 3, се нарича връх на този ъгъл.
Ъгълът ще означаваме със следните три точки: върха, точка на единия лъч и точка на другия лъч, като върхът на ъгъла се записва в средата на неговото обозначение (фиг. 1).
Нека сега определим каква е големината на ъгъла.
За да направим това, трябва да изберем някакъв "референтен" ъгъл, който ще приемем за единица. Най-често този ъгъл е ъгълът, който е равен на $\frac(1)(180)$ част от разгънатия ъгъл. Тази величина се нарича градус. След като изберем такъв ъгъл, сравняваме ъглите с него, чиято стойност трябва да се намери.
Има 4 вида ъгли:
Определение 3
Ъгъл се нарича остър, ако е по-малък от $90^0$.
Определение 4
Ъгълът се нарича тъп, ако е по-голям от $90^0$.
Определение 5
Ъгъл се нарича развит, ако е равен на $180^0$.
Определение 6
Ъгъл се нарича прав, ако е равен на $90^0$.
В допълнение към видовете ъгли, описани по-горе, можем да различим видове ъгли във връзка един с друг, а именно вертикални и съседни ъгли.
Съседни ъгли
Помислете за обратния ъгъл $COB$. От неговия връх изчертаваме лъч $OA$. Този лъч ще раздели оригиналния на два ъгъла. Тогава
Определение 7
Два ъгъла ще наричаме съседни, ако едната двойка от страните им е разгънат ъгъл, а другата двойка съвпада (фиг. 2).
В този случай ъглите $COA$ и $BOA$ са съседни.
Теорема 1
Сумата от съседните ъгли е $180^0$.
Доказателство.
Нека погледнем Фигура 2.
По определение 7 ъгълът $COB$ в него ще бъде равен на $180^0$. Тъй като втората двойка страни на съседни ъгли съвпада, лъчът $OA$ ще раздели разгънатия ъгъл на 2, следователно
$∠COA+∠BOA=180^0$
Теоремата е доказана.
Нека разгледаме разрешаването на проблема с помощта на тази концепция.
Пример 1
Намерете ъгъл $C$ от фигурата по-долу
По Определение 7 намираме, че ъглите $BDA$ и $ADC$ са съседни. Следователно, съгласно теорема 1, получаваме
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
По теоремата за сбора на ъглите в триъгълник имаме
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Отговор: $40^0$.
Вертикални ъгли
Разгледайте разгънатите ъгли $AOB$ и $MOC$. Нека подравним върховете им един с друг (т.е. да поставим точката $O"$ върху точката $O$), така че нито една страна на тези ъгли да не съвпада. Тогава
Определение 8
Ще наречем два ъгъла вертикални, ако двойките на страните им са разгънати ъгли и стойностите им съвпадат (фиг. 3).
В този случай ъглите $MOA$ и $BOC$ са вертикални и ъглите $MOB$ и $AOC$ също са вертикални.
Теорема 2
Вертикалните ъгли са равни един на друг.
Доказателство.
Нека да разгледаме Фигура 3. Нека докажем, например, че ъгълът $MOA$ е равен на ъгъла $BOC$.
Как да намерим съседен ъгъл?
Математиката е най-старата точна наука, която се изучава задължително в училища, колежи, институти и университети. Основните знания обаче винаги се дават в училище. Понякога на детето се дават доста сложни задачи, но родителите не могат да помогнат, защото просто са забравили някои неща от математиката. Например, как да намерите съседен ъгъл въз основа на размера на главния ъгъл и т.н. Проблемът е прост, но може да създаде трудности при решаването му поради незнание кои ъгли се наричат съседни и как да ги намерите.
Нека разгледаме по-подробно определението и свойствата на съседните ъгли, както и как да ги изчислим от данните в задачата.
Определение и свойства на съседни ъгли
Два лъча, излизащи от една точка, образуват фигура, наречена „равнинен ъгъл“. В този случай тази точка се нарича връх на ъгъла, а лъчите са неговите страни. Ако продължите един от лъчите извън началната точка по права линия, тогава се образува друг ъгъл, който се нарича съседен. Всеки ъгъл в този случай има два съседни ъгъла, тъй като страните на ъгъла са еквивалентни. Тоест винаги има съседен ъгъл от 180 градуса.
Основните свойства на съседните ъгли включват
- Съседните ъгли имат общ връх и една страна;
- Сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса или числото Pi, ако изчислението се извършва в радиани;
- Синусите на съседните ъгли винаги са равни;
- Косинусите и тангенсите на съседни ъгли са равни, но имат противоположни знаци.
Как да намерим съседни ъгли
Обикновено се дават три варианта на задачи за намиране на големината на съседни ъгли
- Дадена е стойността на главния ъгъл;
- Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл;
- Дадена е стойността на вертикалния ъгъл.
Всяка версия на проблема има свое собствено решение. Нека ги разгледаме.
Дадена е стойността на главния ъгъл
Ако проблемът определя стойността на главния ъгъл, тогава намирането на съседния ъгъл е много лесно. За да направите това, просто извадете стойността на главния ъгъл от 180 градуса и ще получите стойността на съседния ъгъл. Това решение се основава на свойството на съседен ъгъл - сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса.
Ако стойността на главния ъгъл е дадена в радиани и задачата изисква намиране на съседния ъгъл в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на главния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равно на числото Пи.
Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл
Проблемът може да даде съотношението на главния и съседния ъгъл вместо градусите и радианите на главния ъгъл. В този случай решението ще изглежда като пропорционално уравнение:
- Означаваме пропорцията на главния ъгъл като променливата "Y".
- Дробта, свързана със съседния ъгъл, се обозначава като променливата "X".
- Броят на градусите, които попадат във всяка пропорция, ще бъде означен например с "а".
- Общата формула ще изглежда така - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
- Намираме общия множител на уравнението “a” по формулата a=180/(X+Y).
- След това умножаваме получената стойност на общия коефициент "а" по частта от ъгъла, който трябва да се определи.
По този начин можем да намерим стойността на съседния ъгъл в градуси. Ако обаче трябва да намерите стойност в радиани, тогава просто трябва да преобразувате градусите в радиани. За да направите това, умножете ъгъла в градуси по Pi и разделете всичко на 180 градуса. Получената стойност ще бъде в радиани.
Дадена е стойността на вертикалния ъгъл
Ако задачата не дава стойността на главния ъгъл, но е дадена стойността на вертикалния ъгъл, тогава съседният ъгъл може да се изчисли по същата формула, както в първия параграф, където е дадена стойността на главния ъгъл.
Вертикален ъгъл е ъгъл, който произхожда от същата точка като главния, но е насочен точно в обратната посока. Това води до огледален образ. Това означава, че вертикалният ъгъл е равен по големина на основния. От своя страна прилежащият ъгъл на вертикалния ъгъл е равен на прилежащия ъгъл на главния ъгъл. Благодарение на това може да се изчисли прилежащият ъгъл на главния ъгъл. За да направите това, просто извадете вертикалната стойност от 180 градуса и вземете стойността на съседния ъгъл на главния ъгъл в градуси.
Ако стойността е дадена в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на вертикалния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равна на числото Pi.
Можете също да прочетете нашите полезни статии и.
В процеса на изучаване на курс по геометрия понятията „ъгъл“, „вертикални ъгли“, „съседни ъгли“ се срещат доста често. Разбирането на всеки от термините ще ви помогне да разберете проблема и да го разрешите правилно. Какво представляват съседните ъгли и как се определят?
Съседни ъгли – определение на понятието
Терминът „съседни ъгли“ характеризира два ъгъла, образувани от общ лъч и две допълнителни полулинии, лежащи на една и съща права линия. И трите лъча излизат от една и съща точка. Една обща полуправа е едновременно страна на единия и на другия ъгъл.
Съседни ъгли – основни свойства
1. Въз основа на формулирането на съседни ъгли е лесно да се забележи, че сумата от такива ъгли винаги образува развит ъгъл, чиято градусна мярка е 180 °:
- Ако μ и η са съседни ъгли, тогава μ + η = 180°.
- Като знаете големината на един от съседните ъгли (например μ), можете лесно да изчислите градусната мярка на втория ъгъл (η), като използвате израза η = 180° – μ.
2. Това свойство на ъглите ни позволява да направим следното заключение: ъгъл, който е съседен на прав ъгъл, също ще бъде прав.
3. Отчитайки тригонометричните функции (sin, cos, tg, ctg), въз основа на формулите за редукция на съседни ъгли μ и η, е вярно следното:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Съседни ъгли - примери
Пример 1
Даден е триъгълник с върхове M, P, Q – ΔMPQ. Намерете ъглите, съседни на ъглите ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Нека разширим всяка страна на триъгълника с права линия.
- Знаейки, че съседните ъгли се допълват един друг до обратен ъгъл, откриваме, че:
съседен на ъгъл ∠QMP е ∠LMP,
съседен на ъгъл ∠MPQ е ∠SPQ,
съседен на ъгъл ∠PQM е ∠HQP.
Пример 2
Стойността на един съседен ъгъл е 35°. Каква е градусната мярка на втория съседен ъгъл?
- Два съседни ъгъла дават сбор от 180°.
- Ако ∠μ = 35°, тогава прилежащата към него ∠η = 180° – 35° = 145°.
Пример 3
Определете стойностите на съседните ъгли, ако е известно, че градусната мярка на един от тях е три пъти по-голяма от градусната мярка на другия ъгъл.
- Нека означим големината на един (по-малък) ъгъл с – ∠μ = λ.
- Тогава, според условията на задачата, стойността на втория ъгъл ще бъде равна на ∠η = 3λ.
- Въз основа на основното свойство на съседните ъгли, μ + η = 180° следва
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Това означава, че първият ъгъл е ∠μ = λ = 45°, а вторият ъгъл е ∠η = 3λ = 135°.
Способността да използвате терминология, както и познаването на основните свойства на съседните ъгли, ще ви помогне да решите много геометрични задачи.
2) Колко общи точки могат да имат 2 прави линии?
3) Обяснете какво е сегмент?
4) Обяснете какво е лъч?
5) Коя фигура се нарича ъгъл? Обяснете какво представляват върха и страните на ъгъла?
6)Кой ъгъл се нарича разгънат?
7) Кои фигури се наричат равни?
8) Обяснете как да сравните 2 сегмента
9) Коя точка се нарича среда на отсечката?
10) Обяснете как се сравняват 2 ъгъла.
11) Кой лъч се нарича ъглополовяща на ъгъл?
12) Точка C разделя отсечката AB на 2 отсечки. Как да се намери дължината на отсечката AB, ако са известни дължините на отсечките AC и CB?
13) Какви инструменти се използват за измерване на разстояния?
14) Каква е градусната мярка на ъгъл?
15) Лъч OS разделя ъгъл AOB на 2 ъгъла. Как да намерим градусната мярка на ъгъл AOB, ако градусните мерки на ъглите AOC и COB са известни?
16) Кой ъгъл се нарича тъп?
17) Кои ъгли се наричат съседни? Каква е сумата от съседните ъгли?
18) Какви ъгли се наричат вертикални? Какви свойства имат вертикалните ъгли?
19) Кои прави се наричат перпендикулярни?
20) Обяснете защо 2 прави, перпендикулярни на 3-тата, не се пресичат?
21) Какви инструменти се използват за конструиране на прави ъгли на земята?
2 Колко общи точки могат да имат две прави линии?
3обяснете какво е сегмент
4обяснете какво е лъч? Как се обозначават лъчите?
5 каква фигура се нарича ъгъл? обяснете какво са връх и страни на ъгъл
6 Кой ъгъл се нарича прав ъгъл?
7кои фигури се наричат равни
8 обяснете как да сравните два сегмента
9коя точка се нарича среда на отсечката
10 обяснете как да сравнявате два ъгъла
11кой лъч се нарича ъглополовяща
12 точка c разделя отсечката ab на две отсечки. Как да намерим дължината на отсечката ab, ако са известни дължините на отсечките ac и sb
13 какви инструменти се използват за измерване на разстояния
14 каква е градусовата мярка на ъгъла
15 лъч oc разделя ъгъла aob на два ъгъла. Как да намерим градусната мярка на ъгъла aob, ако са известни мерките на ъглите aoc
16Кой ъгъл се нарича остър?, прав?, тъп?.
17 Кои ъгли се наричат съседни?
18Какви ъгли се наричат вертикални?Какви свойства имат вертикалните ъгли?
19кои прави се наричат перпендикулярни
20 обяснете защо две прави, перпендикулярни на третата, не се пресичат
21Какви уреди се използват за конструиране на прави ъгли на земята?
какво свойство имат вертикалните ъгли 5)
Помощ, моля!! plzz=**7. Докажете, че ако две успоредни прави се пресекат от трета права, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180 градуса.
8. Докажете, че две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.
9. Докажете, че сборът от ъглите на триъгълник е 180 градуса.
10. Докажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
11. Какъв е външният ъгъл на триъгълник?
12. Докажете, че външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
13. Докажете, че външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.
14. Кой триъгълник се нарича правоъгълен?
15. Каква е сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник?
16. Коя страна на правоъгълен триъгълник се нарича хипотенуза? Кои страни се наричат крака?
17. Формулирайте тест за равенство на правоъгълни триъгълници по хипотенуза и катет.
18. Докажете, че от всяка точка, която не лежи на дадена права, можете да пуснете перпендикуляр на тази права и то само един.
19. Как се нарича разстоянието от точка до права?
20. Обяснете какво е разстоянието между успоредните прави.