የተግባር ማነቃቂያ ነጥቦች. የአንድ ተግባር ግራፍ ምልክቶች

አንድን ተግባር ስናጠና እና ግራፉን በሚገነባበት ጊዜ፣ በአንድ ደረጃ የመቀየሪያ ነጥቦችን እና የመወዛወዝ ክፍተቶችን እንወስናለን። እነዚህ መረጃዎች፣ ከመጨመር እና ከመቀነስ ክፍተቶች ጋር፣ በጥናት ላይ ያለውን ተግባር ግራፍ በሥርዓት እንዲወክሉ ያደርጉታል።

ተጨማሪው የዝግጅት አቀራረብ እስከ አንዳንድ ቅደም ተከተሎችን እና የተለያዩ ዓይነቶችን ማድረግ እንደሚችሉ ያስባል.

ይዘቱን ማጥናት እንጀምር አስፈላጊ ትርጓሜዎችእና ጽንሰ-ሐሳቦች. በመቀጠል፣ በአንድ የተወሰነ ክፍተት ላይ ባለው የሁለተኛው ተዋፅኦ እሴት እና በተዘዋዋሪ አቅጣጫ መካከል ያለውን ግንኙነት እናሰማለን። ከዚህ በኋላ, የተግባር ግራፉን የመቀየሪያ ነጥቦችን ለመወሰን በሚያስችሉ ሁኔታዎች ውስጥ እንቀጥላለን. በምንሰጠው ጽሑፍ መሰረት የተለመዱ ምሳሌዎችከዝርዝር መፍትሄዎች ጋር.

የገጽ አሰሳ።

መወዛወዝ፣ የተግባር መጨናነቅ፣ የመነካካት ነጥብ።

ፍቺ

ወደ ታች ማወዛወዝበክፍተቱ X ላይ ግራፉ ከታንጀንት በታች ካልሆነ በየትኛውም የጊዜ ክፍተት X ላይ የሚገኝ ከሆነ።

ፍቺ

የሚለየው ተግባር ይባላል ማወዛወዝበክፍተቱ X ላይ ግራፉ ከ ታንጀንት የማይበልጥ ከፍ ብሎ የሚገኝ ከሆነ በመካከል X ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ።

ብዙውን ጊዜ ወደ ላይ የሚወጣ ኮንቬክስ ተግባር ይባላል ኮንቬክስእና ወደ ታች ውጣ - ሾጣጣ.

እነዚህን ፍቺዎች የሚያብራራውን ሥዕል ተመልከት።

ፍቺ

ነጥቡ ይባላል የተግባር ግራፍ ጠቋሚ ነጥብ y=f(x) በአንድ የተወሰነ ቦታ ላይ የተግባሩ ግራፍ ላይ ታንጀንት ካለ (ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል) እና ነጥቡ ወደ ግራ እና ቀኝ ያለው ሰፈር አለ የተግባሩ ግራፍ የተለያዩ የመወዛወዝ አቅጣጫዎች አሉት.

በሌላ አገላለጽ ነጥብ M በዚህ ነጥብ ላይ ታንጀንት ካለ እና የተግባሩ ግራፍ የ convexity አቅጣጫውን በመቀየር በውስጡ የሚያልፍ ከሆነ የአንድ ተግባር ግራፍ ኢንፍሌክሽን ነጥብ ይባላል።

አስፈላጊ ከሆነ, ቀጥ ያለ እና ቀጥ ያለ ታንጀንት መኖሩን ሁኔታዎችን ለማስታወስ ክፍሉን ይመልከቱ.

ከዚህ በታች ያለው ምስል አንዳንድ የመቀየሪያ ነጥቦችን (በቀይ ነጠብጣቦች ምልክት የተደረገበት) ያሳያል። አንዳንድ ተግባራት ምንም የመቀየሪያ ነጥቦች ላይኖራቸው ይችላል, ሌሎች ደግሞ አንድ, ብዙ, ወይም ማለቂያ የሌላቸው ብዙ የመተላለፊያ ነጥቦች ሊኖራቸው እንደሚችል ልብ ይበሉ.

የአንድ ተግባር መወዛወዝ ክፍተቶችን መፈለግ።

የአንድን ተግባር መጨናነቅ ክፍተቶች ለመወሰን የሚያስችለንን ንድፈ ሃሳብ እንቅረፅ።

ቲዎረም.

ተግባር y=f(x) በ interval X ላይ የመጨረሻ ሁለተኛ ተዋፅኦ ካለው እና አለመመጣጠኑ ከቀጠለ ()፣ ከዚያ የተግባሩ ግራፍ በX ወደ ታች (ወደ ላይ) የሚመራ ዘንበል አለው።

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ የአንድን ተግባር መወዛወዝ እና መወዛወዝ ክፍተቶችን እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል ፣ እርስዎ ብቻ እኩል ያልሆኑትን መፍታት እና በቅደም ተከተል ፣ በዋናው ተግባር ትርጓሜ ጎራ ላይ ብቻ ያስፈልግዎታል።

ተግባር y=f(x) የተገለጸበት እና ሁለተኛው ተወላጅ የማይገኝባቸው ነጥቦች በኮንካቪቲ እና ኮንቬክሲቲ ክፍተቶች ውስጥ እንደሚካተቱ ልብ ሊባል ይገባል።

ይህንን በምሳሌ እንረዳው።

ለምሳሌ.

የተግባሩ ግራፍ በየትኞቹ ላይ ክፍተቶችን ይፈልጉ ወደላይ የሚመራ እና ወደ ታች የሚመራ ዘንበል አለው።

መፍትሄ።

የአንድ ተግባር ጎራ ሙሉው ስብስብ ነው። እውነተኛ ቁጥሮች.

ሁለተኛውን ተዋጽኦን እንፈልግ።

የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ ከዋናው ተግባር ፍቺ ጎራ ጋር ይዛመዳል ፣ ስለሆነም ፣ የ concavity እና convexity ክፍተቶችን ለማወቅ ፣ መፍታት እና በዚህ መሠረት በቂ ነው።

ስለዚህ, ተግባሩ በክፍተቱ ላይ ወደታች እና በመጠምዘዝ ወደ ላይ ሾጣጣ ነው.

ስዕላዊ መግለጫ.

በኮንቬክስ ክፍተት ውስጥ ያለው የተግባር ግራፍ ክፍል በሰማያዊ, እና በክንውኑ ክፍተት - በቀይ ይታያል.

አሁን የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ ከተግባሩ ፍቺ ጎራ ጋር የማይጣጣም ከሆነ አንድ ምሳሌ እንመልከት። በዚህ ሁኔታ፣ አስቀድመን እንደገለጽነው፣ ውሱን የሆነ ሁለተኛ ተዋጽኦ የሌለባቸው የትርጉም ጎራ ነጥቦች በኮንቬክሲቲ እና (ወይም) ውዝግቦች መካከል መካተት አለባቸው።

ለምሳሌ.

የተግባርን ግራፍ ሾጣጣ እና ሾጣጣ ክፍተቶችን ይፈልጉ።

መፍትሄ።

በተግባሩ ጎራ እንጀምር፡-

ሁለተኛውን መነሻ እናገኝ፡-

የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ ስብስብ ነው። . እንደምታየው፣ x=0 የዋናው ተግባር ጎራ ነው፣ ግን የሁለተኛው ተዋጽኦ ጎራ አይደለም። ስለዚህ ነጥብ አትርሳ፤ በኮንቬክሲቲ እና (ወይም) መጨናነቅ መካከል መካተት አለበት።

አሁን በዋናው ተግባር ፍቺ ጎራ ላይ አለመመጣጠን እንፈታለን። እንተገብረሎም። አገላለጽ ቁጥር ሰጪ ወደ ዜሮ ይሄዳል በ ወይም ፣ መለያ - በ x = 0 ወይም x = 1። እነዚህን ነጥቦች በቁጥር መስመር ላይ በማንፀባረቅ እና በዋናው ተግባር ፍቺ ጎራ ውስጥ በተካተቱት በእያንዳንዱ ክፍተቶች ላይ የገለጻውን ምልክት እናገኛለን (በታችኛው የቁጥር መስመር ላይ እንደ ጥላ ቦታ ይታያል)። ለአዎንታዊ እሴት የመደመር ምልክት እናስቀምጣለን ፣ ለአሉታዊ እሴት የመቀነስ ምልክት እናደርጋለን።

ስለዚህም

እና

ስለዚህ ነጥቡን x=0 በማካተት መልሱን እናገኛለን።

በ የተግባሩ ግራፍ ወደ ታች የሚመራ ኮንቬክስ አለው፣ ከ ጋር - ወደላይ የሚመራ ዘንበል.

ስዕላዊ መግለጫ.

በ convexity interval ላይ ያለው የተግባር ግራፍ ክፍል በሰማያዊ ይገለጻል ፣ በክንውኑ ክፍተቶች ላይ - በቀይ ፣ ጥቁር ነጠብጣብ መስመር ቀጥ ያለ asymptote ነው።

ለመተንፈስ አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታዎች.

ለኢንፌክሽን አስፈላጊ ሁኔታ.

እንቅረፅ ለመርገጥ አስፈላጊ ሁኔታተግባር ግራፊክስ.

የተግባሩ ግራፍ y=f(x) በአንድ ነጥብ ላይ ኢንፍሌክሽን ይኖረው እና ቀጣይነት ያለው ሁለተኛ ተዋፅኦ ይኖረው፣ ከዚያ እኩልነቱ ይቆያል።

ከዚህ ሁኔታ የሁለተኛው የተግባር አመጣጥ በሚጠፋባቸው ሰዎች መካከል የኢንፍሌክሽን ነጥቦችን (abcissa) መፈለግ አለበት ። ግን ይህ ሁኔታ በቂ አይደለም ፣ ማለትም ፣ የሁለተኛው ተዋጽኦ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነባቸው ሁሉም እሴቶች የመቀየሪያ ነጥቦች አቢሲሳዎች አይደሉም።

በተጨማሪም የኢንፍሌክሽን ነጥብ ትርጓሜ የታንጀንት መስመር ወይም ቀጥ ያለ መኖሩን እንደሚፈልግ ልብ ሊባል ይገባል. ይህ ምን ማለት ነው? እና ይህ ማለት የሚከተለው ማለት ነው-የአስቂኝ ነጥቦች አቢሲሳዎች ከተግባሩ ትርጓሜ ጎራ ሁሉም ነገር ሊሆን ይችላል ። እና . እነዚህ ብዙውን ጊዜ የመጀመሪያው ተዋጽኦ መለያ የሚጠፋባቸው ነጥቦች ናቸው።

የመጀመሪያው በቂ ሁኔታ ለመተንፈስ.

የ inflection ነጥቦች abcissas ሊሆን ይችላል ሁሉ በኋላ, መጠቀም አለብህ የመጀመሪያው በቂ ሁኔታ ለኢንፌክሽንተግባር ግራፊክስ.

ተግባሩ y=f(x) ነጥቡ ላይ ቀጣይ ይሁን፣ በላዩ ላይ ታንጀንት (ምናልባትም አቀባዊ) ይኑረው፣ እና ይህ ተግባር በአንዳንድ የነጥብ ሰፈር ውስጥ ሁለተኛ ተዋጽኦ እንዲኖረው ያድርጉ። ከዚያ፣ በዚህ ሰፈር ውስጥ ከ ግራ እና ቀኝ፣ ሁለተኛው ተወላጅ አለው። የተለያዩ ምልክቶች, ከዚያም የተግባር ግራፉ ጠቋሚ ነጥብ ነው.

እንደሚመለከቱት, የመጀመሪያው በቂ ሁኔታ በራሱ ነጥብ ላይ የሁለተኛው ተወላጅ መኖሩን አይፈልግም, ነገር ግን በነጥቡ አከባቢ ውስጥ መኖሩን ይጠይቃል.

አሁን ሁሉንም መረጃዎች በአልጎሪዝም መልክ እናጠቃልል.

የአንድ ተግባር ማነቃቂያ ነጥቦችን ለማግኘት አልጎሪዝም።

የተግባር ግራፍ (ወይም) ሊሆኑ የሚችሉ የመቀየሪያ ነጥቦችን ሁሉንም አቢሲሳዎች እናገኛለን እና ) እና ሁለተኛው ተወላጅ ለውጦች በየትኛው በኩል እንደሚፈርሙ በማለፍ ይወቁ. እንደነዚህ ያሉት ዋጋዎች የመቀየሪያ ነጥቦቹ አቢሲሳ ይሆናሉ ፣ እና ተጓዳኝ ነጥቦቹ የተግባር ግራፉ የመቀየሪያ ነጥቦች ይሆናሉ።

ለማብራራት የመገለጫ ነጥቦችን ለማግኘት ሁለት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ለምሳሌ.

የመቀየሪያ ነጥቦችን እና የመወዛወዝ ክፍተቶችን እና የአንድ ተግባር ግራፍ መጨናነቅ ይፈልጉ .

መፍትሄ።

የአንድ ተግባር ጎራ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው።

የመጀመሪያውን መነሻ እናገኝ፡-

የመጀመርያው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ እንዲሁ አጠቃላይ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው ፣ ስለሆነም እኩልነቶች እና ለማንም አልተሟላም .

ሁለተኛውን መነሻ እናገኝ፡-

የክርክሩ ዋጋ በየትኞቹ እሴቶች ላይ እንወቅ x ሁለተኛው ተዋጽኦ ወደ ዜሮ ይሄዳል፡

ስለዚህ ፣ ሊሆኑ የሚችሉ የመቀየሪያ ነጥቦች abcissas x=-2 እና x=3 ናቸው።

አሁን በቂ የሆነ የኢንፍሌክሽን ምልክት በመጠቀም መፈተሽ ይቀራል፣ ከእነዚህ ነጥቦች ውስጥ የሁለተኛው ተዋፅኦ ለውጦች ምልክት። ይህንን ለማድረግ, ነጥቦቹን x=-2 እና x=3 በቁጥር ዘንግ ላይ እና እንደ ውስጥ አጠቃላይ የጊዜ ክፍተት ዘዴ, በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ላይ የሁለተኛውን ተወላጅ ምልክቶችን እናስቀምጣለን. በእያንዲንደ ክፍተት ስር የተግባር ግራፉ የመገጣጠም አቅጣጫ በአርከሮች schematically ይታያል.

ሁለተኛው የመነሻ ለውጥ ከፕላስ ወደ ሲቀነስ፣ ነጥቡን x=-2 ከግራ ወደ ቀኝ በማለፍ፣ እና ሲቀነስ ወደ ፕላስ፣ በ x=3 በኩል ያልፋል። ስለዚህ፣ ሁለቱም x=-2 እና x=3 የተግባር ግራፍ የመቀየሪያ ነጥቦች abcissas ናቸው። እነሱ ከግራፍ ነጥቦቹ ጋር ይዛመዳሉ እና .

የቁጥር መስመርን እና የሁለተኛው ተዋጽኦ ምልክቶች በየእረፍተቶቹ ላይ ሌላ እይታ ስንመለከት ፣ ስለ ኮንቬክስ እና ሾጣጣ ክፍተቶች መደምደሚያ ላይ መድረስ እንችላለን። የአንድ ተግባር ግራፍ በክፍተቱ ላይ ሾጣጣ እና በቋሚዎቹ ላይ ሾጣጣ እና .

ስዕላዊ መግለጫ.

በኮንቬክስ ክፍተት ላይ ያለው የተግባር ግራፍ ክፍል በሰማያዊ፣ በክንውኑ ክፍተት ላይ - በቀይ፣ እና የመቀየሪያ ነጥቦች እንደ ጥቁር ነጥቦች ይታያሉ።

ለምሳሌ.

የተግባር ግራፉ ሁሉንም የመቀየሪያ ነጥቦችን abcissa ያግኙ .

መፍትሄ።

የዚህ ተግባር ፍቺ ጎራ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው።

ተዋጽኦውን እንፈልግ።

የመጀመሪያው ተዋጽኦ፣ ከመጀመሪያው ተግባር በተለየ፣ በ x=3 አልተገለጸም። ግን እና . ስለዚህ፣ በ abcissa x=3 ነጥብ ላይ ለዋናው ተግባር ግራፍ ቁመታዊ ታንጀንት አለ። ስለዚህ, x=3 የተግባር ግራፍ የመቀየሪያ ነጥብ abcissa ሊሆን ይችላል.

ሁለተኛውን ተዋጽኦ፣ የትርጉም ጎራውን እና የሚጠፋባቸውን ነጥቦች እናገኛለን፡-

ሁለት ተጨማሪ ሊሆኑ የሚችሉ የአስቂኝ ነጥቦችን አግኝተናል። ሶስቱን ነጥቦች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና በእያንዳንዱ የውጤት ክፍተቶች ላይ የሁለተኛውን የመነሻ ምልክት እንወስናለን.

በእያንዳንዱ ነጥብ ውስጥ በሚያልፉበት ጊዜ ሁለተኛው የመነሻ ለውጦች ምልክት ነው ፣ ስለሆነም ሁሉም የመቀየሪያ ነጥቦች አቢሲሳዎች ናቸው።

የአንድ ተግባር ግራፍ y=ረ(x)ተብሎ ይጠራል ኮንቬክስበጊዜ ክፍተት (ሀ; ለ), በዚህ ክፍተት ላይ ከማንኛውም ታንጀሮች በታች የሚገኝ ከሆነ.

የአንድ ተግባር ግራፍ y=ረ(x)ተብሎ ይጠራል ሾጣጣበጊዜ ክፍተት (ሀ; ለ), በዚህ ክፍተት ላይ ከማንኛውም ታንጀሮች በላይ የሚገኝ ከሆነ.

በሥዕሉ ላይ ኮንቬክስ የሆነ ኩርባ ያሳያል (ሀ; ለ)እና ላይ concave (ለ; ሐ).

ምሳሌዎች።

በአንድ የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለው የተግባር ግራፍ ሾጣጣ ወይም ሾጣጣ መሆን አለመሆኑን ለመወሰን የሚያስችለንን በቂ መስፈርት እንመልከት።

ቲዎረም. ፍቀድ y=ረ(x)ላይ ልዩነት (ሀ; ለ). በሁሉም የጊዜ ክፍተቶች ላይ ከሆነ (ሀ; ለ)የተግባሩ ሁለተኛ ተዋጽኦ y = ረ(x)አሉታዊ፣ ማለትም ረ ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же ረ""(x) > 0 - ሾጣጣ.

ማረጋገጫ. ለነገሩ ያንን እንገምታለን። ረ""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

በግራፉ ላይ ያሉትን ተግባራት እንውሰድ y = f(x)የዘፈቀደ ነጥብ ኤም 0ከ abscissa ጋር x 0 Î ( ሀ; ለ) እና በነጥቡ ይሳሉ ኤም 0ታንጀንት. የእርሷ እኩልታ። የተግባሩ ግራፍ ላይ መሆኑን ማሳየት አለብን (ሀ; ለ)ከዚህ ታንጀንት በታች ይተኛል፣ ማለትም በተመሳሳይ ዋጋ xየከርቭ ordinate y = f(x)ከታንጀንት ordinate ያነሰ ይሆናል.

ስለዚህ, የኩርባው እኩልታ ነው y = f(x). ከአብሲሳ ጋር የሚዛመደውን የታንጀንት ሹመት እንጠቁም። x. ከዚያም. በውጤቱም, ለተመሳሳይ እሴት ከርቭ እና ታንጀንት መካከል ያለው ልዩነት xይሆናል ።

ልዩነት ረ(x) – ረ(x 0)በ Lagrange ቲዎሪ መሠረት መለወጥ ፣ የት ሐመካከል xእና x 0.

ስለዚህም

በድጋሚ የ Lagrange ንድፈ ሐሳብን በካሬ ቅንፎች ውስጥ ያለውን አገላለጽ እንተገብራለን:, የት ሐ 1መካከል ሐ 0እና x 0. እንደ ንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች ረ ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

ስለዚህ ከርቭ ላይ ያለ ማንኛውም ነጥብ ከታንጀንት በታች እስከ ጥምዝ ድረስ ለሁሉም እሴቶች ይገኛል። xእና x 0 Î ( ሀ; ለ), ይህም ማለት ኩርባው ኮንቬክስ ነው. የቲዎሬም ሁለተኛ ክፍል በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል.

ምሳሌዎች.

የግራፍ ነጥብ ቀጣይነት ያለው ተግባር, የእሱን ሾጣጣ ክፍል ከኮንቴክ ክፍል መለየት, ይባላል የመነካካት ነጥብ.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በማጠፊያው ቦታ, ታንጀንት, ካለ, ኩርባውን ያቋርጣል, ምክንያቱም በዚህ ነጥብ በአንደኛው በኩል ኩርባው ከታንጀንት በታች, እና በሌላኛው በኩል - ከሱ በላይ.

ለዚያ እውነታ በቂ ሁኔታዎችን እንወስን የተሰጠው ነጥብኩርባው የመቀየሪያ ነጥብ ነው.

ቲዎረም. ኩርባው በቀመር ይገለጽ y = f(x). ከሆነ ረ ""(x 0) = 0 ወይም ረ ""(x 0) በእሴቱ ውስጥ በሚያልፉበት ጊዜ እንኳን የለም x = x 0ተዋጽኦ ረ ""(x) ምልክትን ይለውጣል, ከዚያም በግራፍ ውስጥ ያለው ነጥብ ከ abcissa ጋር x = x 0የማስተላለፊያ ነጥብ አለ.

ማረጋገጫ. ፍቀድ ረ ""(x) < 0 при x < x 0እና ረ ""(x) > 0 በ x > x 0. ከዚያም በ x < x 0ኩርባው ኮንቬክስ ነው, እና መቼ x > x 0- ሾጣጣ. ስለዚህ, ነጥቡ ሀ, ከርቭ ላይ ተኝቶ, abscissa ጋር x 0የማስተላለፊያ ነጥብ አለ. ሁለተኛው ጉዳይ በተመሳሳይ ሁኔታ ሊቆጠር ይችላል, መቼ ረ ""(x) > 0 በ x < x 0እና ረ ""(x) < 0 при x > x 0.

ስለዚህ፣ የመቀየሪያ ነጥቦችን መፈለግ የሚኖርባቸው የሁለተኛው ተዋጽኦ ከጠፋባቸው ወይም ከሌሉባቸው ነጥቦች መካከል ብቻ ነው።

ምሳሌዎች።የመቀየሪያ ነጥቦችን ይፈልጉ እና የክርን እና የክርን መጨናነቅ ክፍተቶችን ይወስኑ።

የተግባር ግራፍ ምልክቶች

አንድን ተግባር በሚያጠኑበት ጊዜ የግራፉን ቅርጽ ከመነሻው የግራፍ ነጥብ ገደብ በሌለው ርቀት ላይ ማቋቋም አስፈላጊ ነው.

ልዩ ትኩረት የሚስበው የአንድ ተግባር ግራፍ፣ ተለዋዋጭ ነጥቡ ወደ ማለቂያ ሲወገድ፣ ላልተወሰነ ጊዜ ወደ አንድ ቀጥተኛ መስመር ሲቃረብ ነው።

ቀጥተኛ መስመር ተጠርቷል አሲምፕቶትተግባር ግራፊክስ y = ረ(x), ከተለዋዋጭ ነጥብ ርቀቱ ከሆነ ኤምአንድ ነጥብ ሲያስወግዱ ወደዚህ መስመር ግራፊክስ ኤምወሰን አልባ ወደ ዜሮ ያዛባል፣ ማለትም በአንድ ተግባር ግራፍ ላይ ያለ ነጥብ፣ ወደ ወሰን አልባነት ሲሄድ፣ ወደ asymptote ላልተወሰነ ጊዜ መቅረብ አለበት።

አንድ ኩርባ በአንድ በኩል ወይም ከእሱ ጋር ሲቆይ ወደ asymptote ሊጠጋ ይችላል። የተለያዩ ጎኖች, ማለቂያ የሌለው ስብስብአንዴ አሲምፕቶት ከተሻገሩ እና ከአንዱ ጎን ወደ ሌላው ሲንቀሳቀሱ.

ከነጥቡ ያለውን ርቀት በ d ከጠቆምን ኤምወደ asymptote ማጠፍ፣ ከዚያም ነጥቡ ሲርቅ d ወደ ዜሮ እንደሚሄድ ግልጽ ነው። ኤምማለቂያ የሌለው።

በአቀባዊ እና በግድ ምልክቶች መካከል ያለውን ልዩነት የበለጠ እንለያለን።

ቋሚ አስመሳይ

እስቲ በ x→ x 0ከማንኛውም የጎን ተግባር y = ረ(x)በፍፁም ዋጋ ያለገደብ ይጨምራል፣ ማለትም ወይም ወይም . ከዚያም ከአሲምፖት ፍቺው ቀጥታ መስመር ይከተላል x = x 0አሲምፕቶት ነው። ተቃራኒው ደግሞ ግልጽ ነው, መስመር ከሆነ x = x 0 asymptote ነው፣ ማለትም .

ስለዚህ, የተግባሩ ግራፍ አቀባዊ asymptote y = f(x)ከሆነ ቀጥተኛ መስመር ይባላል ረ(x)→ ∞ ቢያንስ በአንዱ ቅድመ ሁኔታ x→ x 0- 0 ወይም x → x 0 + 0, x = x 0

ስለዚህ, የተግባርን ግራፍ አቀባዊ ምልክቶችን ለማግኘት y = ረ(x)እነዚያን እሴቶች ማግኘት አለብዎት x = x 0, ተግባሩ ወደ ማለቂያነት የሚሄድበት (በማይወሰን መቋረጥ ይሰቃያል). ከዚያ ቀጥ ያለ አሲምፖት እኩልታ አለው። x = x 0.

ምሳሌዎች።

SLANT ASYMPTOTES

asymptote ቀጥተኛ መስመር ስለሆነ, ከዚያም ኩርባው ከሆነ y = ረ(x)አስገዳጅ አሲምፕቶት አለው፣ ከዚያ እኩልታ ይሆናል። y = kx + ለ. የእኛ ተግባር ኮፊፊሴቲቭን መፈለግ ነው። ክእና ለ.

ቲዎረም. ቀጥታ y = kx + ለእንደ oblique asymptote በ x→ +∞ ለተግባሩ ግራፍ y = ረ(x)ከዚያ እና መቼ ብቻ . ተመሳሳይ መግለጫ ለ እውነት ነው x → –∞.

ማረጋገጫ. ፍቀድ MP- የክፍሉ ርዝመት; ከርቀት ጋር እኩል ነውከነጥብ ኤምወደ asymptote. በሁኔታ። በ φ የ asymptote ወደ ዘንግ ያለውን ዝንባሌ አንግል እንጠቁም ኦክስ. ከዚያም ከ ΔMNPያንን ይከተላል. φ ቋሚ አንግል ስለሆነ (φ ≠ π/2)፣ ከዚያ፣ ግን

አንድን ተግባር ግራፍ ስናደርግ የኮንቬክሲቲካል ክፍተቶችን እና የመቀየሪያ ነጥቦችን መለየት አስፈላጊ ነው። ተግባሩን በሥዕላዊ መልኩ በግልጽ ለማሳየት ከመቀነስ እና ከመጨመር ክፍተቶች ጋር ያስፈልጉናል።

ይህንን ርዕስ ለመረዳት የአንድ ተግባር አመጣጥ ምን እንደሆነ እና እንዴት በተወሰነ ቅደም ተከተል መገምገም እንዳለበት እንዲሁም የመፍታት ችሎታን ይጠይቃል። የተለያዩ ዓይነቶችአለመመጣጠን

በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ተገልጸዋል. ከዚያም በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ በኮንቬክሲቲው አቅጣጫ እና በሁለተኛው ተወላጅ እሴት መካከል ምን ግንኙነት እንዳለ እናሳያለን. በመቀጠልም የግራፉን የመቀየሪያ ነጥቦችን የሚወስኑበትን ሁኔታዎችን እናሳያለን. ሁሉም ክርክሮች በችግር መፍትሄዎች ምሳሌዎች ይገለፃሉ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 ትርጉም 1

በዚህ ክፍተት ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ የእሱ ግራፍ ከታንጀንት በታች በሚገኝበት ጊዜ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ወደ ታች አቅጣጫ።

ፍቺ 2

የሚለየው ተግባር ኮንቬክስ ነውየአንድ የተወሰነ ተግባር ግራፍ በዚህ ክፍተት ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ ካለው ታንጀንት የማይበልጥ ከሆነ ከተወሰነ የጊዜ ክፍተት በላይ ወደ ላይ።

ቁልቁል ኮንቬክስ ተግባር ኮንካቭ ተግባር ተብሎም ሊጠራ ይችላል። ሁለቱም ፍቺዎች ከታች ባለው ግራፍ ላይ በግልፅ ይታያሉ፡-

ፍቺ 3

የአንድ ተግባር ማነቃቂያ ነጥብ- ይህ ነጥብ M (x 0; f (x 0)) ነው, በእሱ ላይ በተግባሩ ግራፍ ላይ ታንጀንት አለ, በ x 0 አካባቢ, ከግራ በኩል ከየትኛው ቦታ ላይ ተውሳክ መኖሩን ግምት ውስጥ ማስገባት. እና በቀኝ በኩልየተግባሩ ግራፍ የተለያዩ አቅጣጫዎችን ይወስዳል።

በቀላል አነጋገር፣ ኢንፍሌክሽን ነጥብ ማለት ታንጀንት ባለበት ግራፍ ላይ ያለ ቦታ ሲሆን በዚህ ቦታ ሲያልፍ የግራፍ ውሱንነት አቅጣጫ አቅጣጫውን ይለውጠዋል። ቋሚ እና ቋሚ ያልሆነ ታንጀንት መኖር በምን ሁኔታዎች ውስጥ ካላስታወሱ በአንድ ነጥብ ላይ የአንድ ተግባር ግራፍ ታንጀንት ላይ ያለውን ክፍል መድገም እንመክራለን።

ከዚህ በታች በቀይ የደመቁ በርካታ የመገለጫ ነጥቦች ያለው የተግባር ግራፍ ነው። የኢንፌክሽን ነጥቦች መገኘት ግዴታ አለመሆኑን እናብራራለን. በአንድ ተግባር ግራፍ ላይ አንድ ፣ ሁለት ፣ ብዙ ፣ ማለቂያ የሌለው ብዙ ወይም ምንም ሊኖር ይችላል።

በዚህ ክፍል ውስጥ, በአንድ የተወሰነ ተግባር ግራፍ ላይ ያለውን የንፅፅር ክፍተቶችን መወሰን ስለሚችሉበት ቲዎሪ እንነጋገራለን.

ፍቺ 4

ተጓዳኝ ተግባር y = f (x) በተጠቀሰው የጊዜ ክፍተት x ላይ ሁለተኛ የመጨረሻ ውፅዓት ካለው የአንድ ተግባር ግራፍ ወደ ታች ወይም ወደ ላይ ከፍ ያለ ይሆናል ፣ ይህም እኩልነት f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f) "" (x) ≤ 0∀ x ∈ X) እውነት ይሆናል።

በመጠቀም ይህ ቲዎሪ, በማናቸውም የተግባር ግራፍ ላይ የእንቆቅልሽ እና የመወዛወዝ ክፍተቶችን ማግኘት ይችላሉ. ይህንን ለማድረግ, በተዛማጅ ተግባር ፍቺ ጎራ ላይ በቀላሉ f "" (x) ≥ 0 እና f" (x) ≤ 0 እኩል ያልሆኑትን መፍታት ያስፈልግዎታል.

የሁለተኛው ተዋጽኦ የማይገኝባቸው ነጥቦች ግን y = f (x) የተገለፀው በኮንቬክስ እና በተጨባጭ ክፍተቶች ውስጥ እንደሚካተቱ ግልጽ እናድርግ።

አንድ ምሳሌ እንመልከት የተለየ ተግባርይህንን ጽንሰ-ሐሳብ እንዴት በትክክል መተግበር እንደሚቻል.

ምሳሌ 1

ሁኔታ፡የተሰጠው ተግባር y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . በየትኞቹ ክፍተቶች ላይ ግራፉ ጠመዝማዛ እና ሾጣጣነት ይኖረዋል።

መፍትሄ

የዚህ ተግባር ፍቺ ጎራ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው። ሁለተኛውን ተዋጽኦ በማስላት እንጀምር።

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺው ጎራ ከተግባሩ ራሱ ጋር ሲገጣጠም እናያለን ይህ ማለት የተዘበራረቀ ክፍተቶችን ለመለየት f "" (x) ≥ 0 እና f "" (x) አለመመጣጠንን መፍታት አለብን ማለት ነው ። ) ≤ 0

y "" 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

ያንን መርሐግብር አግኝተናል የተሰጠው ተግባርበክፍሉ ላይ ሾጣጣ ይኖረዋል [2; + ∞) እና በክፋዩ ላይ ውዝግቦች (- ∞; 2] .

ግልጽ ለማድረግ, የተግባርን ግራፍ እንሳበው እና ኮንቬክስ ክፍሉን በሰማያዊ እና በቀይ ቀለም ላይ ምልክት ያድርጉ.

መልስ፡-የተሰጠው ተግባር ግራፍ በክፍሉ ላይ ሾጣጣ ይኖረዋል [2; + ∞) እና በክፋዩ ላይ ውዝግቦች (- ∞; 2] .

ነገር ግን የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ ከተግባሩ ፍቺ ጎራ ጋር ካልተጣመረ ምን ማድረግ አለበት? እዚህ ላይ ከላይ የተጠቀሰው አስተያየት ይጠቅመናል፡ እንዲሁም በኮንቬክስ እና ኮንቬክስ ክፍሎች ውስጥ ውሱን ሁለተኛ አመጣጥ የማይገኙባቸውን ነጥቦች እናጨምራለን.

ምሳሌ 2

ሁኔታ፡የተሰጠው ተግባር y = 8 x x - 1. በየትኞቹ ክፍተቶች ውስጥ ግራፉ ሾጣጣ እንደሚሆን እና በውስጡም ሾጣጣ እንደሚሆን ይወስኑ።

መፍትሄ

በመጀመሪያ፣ የተግባሩን ፍቺ ጎራ እንወቅ።

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [0; 1) ∪ (1፤ +∞)

አሁን ሁለተኛውን አመጣጥ እናሰላለን-

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ ስብስብ x ∈ (0; 1) ∪ (1; + ∞) ነው። x ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ የዋናው ተግባር ጎራ እንጂ የሁለተኛው ተዋጽኦ ጎራ እንዳልሆነ እናያለን። ይህ ነጥብ በክንውኑ ወይም በኮንቬክስ ክፍል ውስጥ መካተት አለበት.

ከዚህ በኋላ, በተሰጠው ተግባር ፍቺ ጎራ ላይ f "" (x) ≥ 0 እና f "" (x) ≤ 0 እኩል ያልሆኑትን መፍታት ያስፈልገናል. ለዚህ የክፍለ ጊዜ ዘዴን እንጠቀማለን-በ x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 ወይም x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 አሃዛዊ 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 0 ይሆናል ፣ እና መለያው 0 በ x ፣ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።ወይም ክፍል.

በግራፉ ላይ የተገኙትን ነጥቦች እንይ እና በሁሉም ክፍተቶች ላይ የገለጻውን ምልክት በዋናው ተግባር ፍቺ ጎራ ውስጥ የሚካተቱትን እንወስን። ይህ ቦታ በግራፍ ላይ በማጥላላት ይገለጻል. እሴቱ አዎንታዊ ከሆነ, ክፍተቱን በፕላስ, አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም በመቀነስ ምልክት እናደርጋለን.

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ረ "" (x) ≥ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) እና ረ "" (x) ≤ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1)

ከዚህ ቀደም ምልክት የተደረገበትን ነጥብ x = 0 ጨምረን የተፈለገውን መልስ አግኝተናል። የዋናው ተግባር ግራፍ በ 0 ወደ ታች ኮንቬክስ ይሆናል. - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) እና ወደላይ - ለ x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1)

ሾጣጣውን ክፍል በሰማያዊ እና ሾጣጣውን ክፍል በቀይ ምልክት በማድረግ ግራፍ እንሳል። አቀባዊ asymptoteበጥቁር ነጠብጣብ መስመር ምልክት የተደረገበት.

መልስ፡-የዋናው ተግባር ግራፍ በ 0 ወደ ታች ኮንቬክስ ይሆናል. - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) እና ወደላይ - ለ x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1)

የተግባር ግራፍ ለመተጣጠፍ ሁኔታዎች

ለአንድ የተወሰነ ተግባር ግራፍ ለመገጣጠም አስፈላጊውን ሁኔታ በመቅረጽ እንጀምር.

ፍቺ 5

ተግባር y = f (x) አለን እንበል፣ ግራፉም የመቀየሪያ ነጥብ አለው። በ x = x 0 ላይ ቀጣይነት ያለው ሁለተኛ ተዋጽኦ አለው, ስለዚህ እኩልነት f "" (x 0) = 0 ይይዛል.

ግምት ውስጥ በማስገባት ይህ ሁኔታ, ሁለተኛው ተወላጅ ወደ 0 በሚቀየርባቸው መካከል የመቀየሪያ ነጥቦችን መፈለግ አለብን። ይህ ሁኔታ በቂ አይሆንም: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ነጥቦች ለእኛ ተስማሚ አይደሉም.

እንዲሁም ልብ ይበሉ, መሠረት አጠቃላይ ትርጉም, የታንጀንት መስመር, አቀባዊ ወይም ቀጥተኛ ያልሆነ ያስፈልገናል. በተግባር ፣ ይህ ማለት የመቀየሪያ ነጥቦችን ለማግኘት ፣ የሁለተኛው የተግባር አመጣጥ ወደ 0 የሚቀየርበትን መውሰድ አለብዎት። ስለዚህ, የ inflection ነጥቦች መካከል abscissa ለማግኘት, እኛ ተግባር ፍቺ ጎራ, ሊም x → x 0 - 0 ረ "(x) = ∞ እና ሊም x → x 0 + 0 ሁሉ x 0 መውሰድ ይኖርብናል. ረ" (x) = ∞. ብዙውን ጊዜ፣ እነዚህ የመጀመርያው ተዋጽኦ መለያ 0 የሚሆኑባቸው ነጥቦች ናቸው።

በአንድ ተግባር ግራፍ ውስጥ የመነካካት ነጥብ መኖር የመጀመሪያው በቂ ሁኔታ

እንደ የመቀየሪያ ነጥቦች እንደ abcissas ሊወሰዱ የሚችሉትን ሁሉንም የ x 0 እሴቶች አግኝተናል። ከዚህ በኋላ የመጀመሪያውን በቂ የኢንፌክሽን ሁኔታን መተግበር አለብን.

ትርጉም 6

በ M (x 0; f (x 0)) ቀጣይነት ያለው ተግባር y = f (x) አለን እንበል። ከዚህም በላይ በዚህ ነጥብ ላይ ታንጀንት አለው, እና ተግባሩ ራሱ በዚህ ነጥብ x 0 አካባቢ ሁለተኛ ተዋጽኦ አለው. በዚህ ሁኔታ, በግራ እና በቀኝ በኩል ሁለተኛው ተወላጅ ያገኛል ተቃራኒ ምልክቶች, ከዚያ ይህ ነጥብ እንደ ማነቃቂያ ነጥብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል.

ይህ ሁኔታ ሁለተኛ ተዋጽኦ የግድ በዚህ ጊዜ እንዲኖር የማይፈልግ መሆኑን እናያለን፤ በ x 0 አካባቢ መገኘቱ በቂ ነው።

ከላይ የተነገረውን ሁሉ በቅደም ተከተል በድርጊት መልክ ለማቅረብ አመቺ ነው.

1. በመጀመሪያ ሁሉንም አቢሲሳ x 0 ማግኘት አለቦት በተቻለ መጠን የመቀየሪያ ነጥቦች፣ የት f "" (x 0) = 0 ፣ lim x → x 0 - 0 f" (x) = ∞ ፣ lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. ተዋጽኦው በየትኞቹ ነጥቦች ላይ ምልክት እንደሚቀይር እንወቅ። እነዚህ እሴቶች የመቀየሪያ ነጥቦቹ abcissas ናቸው, እና ነጥቦቹ M (x 0; f (x 0)) ከነሱ ጋር የሚዛመዱ ነጥቦቹ እራሳቸው ናቸው.

ግልጽ ለማድረግ, ሁለት ችግሮችን እንመረምራለን.

ምሳሌ 3

ሁኔታ፡የተሰጠው ተግባር y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. የዚህ ተግባር ግራፍ የመቀየሪያ ነጥቦች እና የተዛባ ነጥቦች የት እንደሚኖሩ ይወስኑ።

መፍትሄ

የተገለጸው ተግባር በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ይገለጻል። የመጀመሪያውን አመጣጥ እናሰላለን-

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

አሁን የመጀመሪያውን ተዋጽኦ ፍቺ ጎራ እንፈልግ። እንዲሁም የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው። ይህ ማለት እኩልነት ሊም x → x 0 - 0 ረ" (x) = ∞ እና ሊም x → x 0 + 0 ረ" (x) = ∞ ለማንኛውም የ x 0 እሴቶች ሊሟሉ አይችሉም።

ሁለተኛውን አመጣጥ እናሰላለን-

y "" = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 ዲ = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ የማስተላለፊያ ነጥቦችን abcissa አግኝተናል - 2 እና 3። እኛ የምናደርገው ነገር ቢኖር ተዋጽኦው ምልክቱን የሚቀይርበትን ጊዜ ማረጋገጥ ነው። የቁጥር መስመርን እናስቀምጠው እና እነዚህን ነጥቦች በእሱ ላይ እናስቀምጠው, ከዚያ በኋላ የሁለተኛውን ተወላጅ ምልክቶች በተፈጠሩት ክፍተቶች ላይ እናስቀምጣለን.

ቅስቶች በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ውስጥ የግራፉን ሾጣጣ አቅጣጫ ያሳያሉ.

ሁለተኛው የመነሻ ለውጦች ምልክት ወደ ተቃራኒው (ከፕላስ ወደ ሲነስ) ከ ​​abcissa 3 ጋር ፣ ከግራ ወደ ቀኝ በማለፍ ፣ እና እንዲሁም ይህንን (ከመቀነስ ወደ ፕላስ) በ abcissa 3 ነጥብ ላይ ያደርጋል። ይህ ማለት እኛ x = - 2 እና x = 3 የተግባር ግራፍ ኢንፍሌክሽን ነጥቦች abcissas ናቸው ብለን መደምደም እንችላለን. እነሱ ከግራፍ ነጥቦች ጋር ይዛመዳሉ - 2; - 4 3 እና 3; - 15 8 .

የቁጥሩን ዘንግ ምስል እና በመካከላቸው ያለውን የውጤት ምልክቶች እንደገና እንመልከታቸው ፣ ስለ መጎሳቆል እና መወዛወዝ ቦታዎች ድምዳሜ ላይ ለመድረስ። ሾጣጣው በክፍሉ ላይ እንደሚገኝ ተለወጠ - 2; 3, እና በክፍሎቹ ላይ ያለው መጨናነቅ (- ∞; - 2] እና [3; + ∞).

የችግሩ መፍትሄ በግራፉ ላይ በግልፅ ይታያል፡- ሰማያዊ ቀለም- መወዛወዝ, ቀይ - ሾጣጣ, ጥቁር ቀለም ማለት የመቀየሪያ ነጥቦች ማለት ነው.

መልስ፡-ሾጣጣው በክፍሉ ላይ ይቀመጣል - 2; 3, እና በክፍሎቹ ላይ ያለው መጨናነቅ (- ∞; - 2] እና [3; + ∞).

ምሳሌ 4

ሁኔታ፡የተግባሩ ግራፍ የሁሉንም የመቀየሪያ ነጥቦች አቢሲሳ ያሰሉ y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

መፍትሄ

የአንድ የተወሰነ ተግባር ትርጓሜ ጎራ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው። ተዋጽኦውን እናሰላለን፡-

y" = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5" = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2" · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

ከተግባር በተለየ የመጀመርያው ተዋጽኦው ከ 3 ጋር እኩል በሆነ ዋጋ አይገለጽም ነገር ግን፡-

ሊም x → 3 - 0 y" (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ ሊም x → 3 + 0 y" (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

ይህ ማለት ወደ ግራፉ የቆመ ታንጀንት በዚህ ነጥብ ውስጥ ያልፋል ማለት ነው። ስለዚህ, 3 የኢንፍሌክሽን ነጥብ abcissa ሊሆን ይችላል.

ሁለተኛውን ተወላጅ እናሰላለን. እንዲሁም የትርጉሙን ጎራ እና ወደ 0 የሚዞርባቸውን ነጥቦች እናገኛለን፡-

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5" = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5, x ∈ (- ∞; 3) ∪ (3; + ∞ ) y" " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 ዲ = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 0.4675

አሁን ሁለት ተጨማሪ የማስተላለፊያ ነጥቦች አሉን። ሁሉንም በቁጥር መስመር ላይ እንይዛቸው እና የተፈጠሩትን ክፍተቶች በምልክቶች ምልክት ያድርጉ።

ምልክቱ በእያንዳንዱ በተጠቆመው ነጥብ ውስጥ ሲያልፍ ይለወጣል, ይህም ማለት ሁሉም የመቀየሪያ ነጥቦች ናቸው.

መልስ፡-የተግባርን ግራፍ እንሳል፣ በቀይ፣ ውዝግቦች በሰማያዊ እና የመገለጫ ነጥቦችን በጥቁር ምልክት እናደርጋለን።

ለኢንፌክሽኑ የመጀመሪያውን በቂ ሁኔታ ማወቅ, የሁለተኛው ተወላጅ መገኘት አስፈላጊ የማይሆንባቸውን አስፈላጊ ነጥቦች መወሰን እንችላለን. በዚህ መሠረት, የመጀመሪያው ሁኔታ በጣም ሁለንተናዊ እና ለመፍታት ተስማሚ ነው ተብሎ ሊወሰድ ይችላል የተለያዩ ዓይነቶችተግባራት.

ሁለት ተጨማሪ የኢንፍሌክሽን ሁኔታዎች እንዳሉ ልብ ይበሉ, ነገር ግን ሊተገበሩ የሚችሉት በተጠቀሰው ነጥብ ላይ ውሱን አመጣጥ ሲኖር ብቻ ነው.

f "" (x 0) = 0 እና f "" (x 0) ≠ 0 ካለን x 0 የግራፍ y = f (x) የመቀየሪያ ነጥብ abcissa ይሆናል።

ምሳሌ 5

ሁኔታ፡ተግባሩ y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 ተሰጥቷል። የተግባሩ ግራፍ ነጥብ 3 ላይ የመነካካት ነጥብ ይኖረው እንደሆነ ይወስኑ; 45 .

መፍትሄ

ማድረግ ያለብዎት የመጀመሪያው ነገር ይህ ነጥብ በአጠቃላይ የዚህ ተግባር ግራፍ ውስጥ መሆኑን ማረጋገጥ ነው.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

የተሰጠው ተግባር እውነተኛ ቁጥሮች ለሆኑት ሁሉም ነጋሪ እሴቶች ይገለጻል። የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ተዋጽኦዎች እናሰላለን፡-

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

x ከ 0 ጋር እኩል ከሆነ ሁለተኛው ተዋጽኦ ወደ 0 እንደሚሄድ ደርሰንበታል። ይህ ማለት ለዚህ ነጥብ አስፈላጊው የኢንፌክሽን ሁኔታ ይሟላል ማለት ነው. አሁን ሁለተኛውን ሁኔታ እንጠቀማለን-ሦስተኛውን ተዋጽኦ ይፈልጉ እና ወደ 0 በ 3 እንደሚቀየር ይወቁ፡

y """ = 1 10 (x - 3) " = 1 10

ሶስተኛው ተዋጽኦ ለማንኛውም የ x እሴት አይጠፋም። ስለዚህ, ይህ ነጥብ የተግባር ግራፍ ጠቋሚ ነጥብ ይሆናል ብለን መደምደም እንችላለን.

መልስ፡-መፍትሄውን በምሳሌው ላይ እናሳየው፡-

f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 እና f (n + 1) (x 0) ≠ 0 እንውሰድ. በዚህ ሁኔታ ፣ ለ n እንኳን ፣ x 0 የግራፍ y = f (x) የመቀየሪያ ነጥብ abcissa መሆኑን እናገኛለን።

ምሳሌ 6

ሁኔታ፡የተሰጠው ተግባር y = (x - 3) 5 + 1። የግራፉን የመቀየሪያ ነጥቦችን አስላ።

መፍትሄ

ይህ ተግባር በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ይገለጻል። ተዋጽኦውን እናሰላለን: y" = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . ለሁሉም ሰው ስለሚወሰን እውነተኛ እሴቶችክርክር ፣ ከዚያ በግራፉ ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ የማይቆም ታንጀንት ይኖራል።

አሁን የሁለተኛው ተዋጽኦ ወደ 0 የሚሸጋገርባቸውን እሴቶች እናሰላለን።

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

በ x = 3 የተግባሩ ግራፍ የመቀየሪያ ነጥብ ሊኖረው እንደሚችል አግኝተናል። ይህንን ለማረጋገጥ ሶስተኛውን ሁኔታ እንጠቀም፡-

y """ = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2, y " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) ፣ y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 ፣ y (5) (3) ) = 120 ≠ 0

በሦስተኛው በቂ ሁኔታ n = 4 አለን. ይህ ሙሉ ቁጥርይህም ማለት x = 3 የመቀየሪያ ነጥብ abcissa እና የተግባሩ ግራፍ ነጥብ (3; 1) ከእሱ ጋር ይዛመዳል ማለት ነው.

መልስ፡-የዚህ ተግባር ግራፍ ከኮንቬክሲስቶች፣ ሾጣጣዎች እና የመቀየሪያ ነጥብ ጋር ምልክት የተደረገበት ይኸውና፡-

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

ከግምት ውስጥ መግባት አለበት የግራፍ መወዛወዝ, መወዛወዝ እና ኪንክስ. ጎብኚዎች በጣም በሚወዷቸው ጣቢያዎች እንጀምር አካላዊ እንቅስቃሴ. እባኮትን ተነሱ እና ወደ ፊት ወይም ወደ ኋላ ዘንበል። ይህ እብጠት ነው። አሁን እጆቻችሁን ከፊትህ ዘርግተህ መዳፍህን ወደ ላይ ዘርግተህ በደረትህ ላይ ትልቅ ግንድ እንደያዝክ አስብ.. . . ምዝግብ ማስታወሻውን ካልወደድክ የሆነ ነገር/ሌላ ሰው እንዲሰራው አድርግ = ) ይህ ግርዶሽ ነው። በርካታ ምንጮች ተመሳሳይ ቃላትን ይይዛሉ መጎተትእና ወደ ታች ጎበጥእኔ ግን የአጭር ርዕሶች አድናቂ ነኝ።

! ትኩረት : አንዳንድ ደራሲዎች በትክክል ተቃራኒውን ኮንቬክስ እና ኮንቬክስ ይወስኑ. ይህ ደግሞ በሂሳብ እና በሎጂክ ትክክል ነው፣ ነገር ግን ብዙውን ጊዜ ከትክክለኛ እይታ አንጻር ሲታይ ሙሉ በሙሉ ትክክል አይደለም፣ የእኛ ተራ ሰው ስለ ቃላቶቹ ያለውን ግንዛቤ ደረጃ ጨምሮ። ስለዚህ, ለምሳሌ, ቲዩበርክሎዝ ያለው ሌንስ ቢኮንቬክስ ሌንስ ይባላል, ነገር ግን ከዲፕሬሽን (ቢኮንኬቭ) ጋር አይደለም.
እና ፣ “የተጣበቀ” አልጋ ይበሉ - አሁንም በግልጽ “አይጣበቅም” =) (ነገር ግን ፣ ከሱ ስር ከወጡ ፣ ከዚያ ስለ ውዝዋዜ እንነጋገራለን ፤ =)) ከተፈጥሮ ጋር የሚዛመድ አቀራረብን እከተላለሁ የሰዎች ማህበራት.

የግራፍ መወዛወዝ እና መወዛወዝ መደበኛ ትርጓሜ ለሻይ ማሰሮ በጣም ከባድ ነው ፣ ስለሆነም እራሳችንን በጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ላይ እንገድባለን ። የተወሰኑ ምሳሌዎች. የዚያን ተግባር ግራፍ አስቡበት ቀጣይነት ያለውበጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ:

አብሮ መገንባት ቀላል ነው። የጂኦሜትሪክ ለውጦች, እና ምናልባትም, ብዙ አንባቢዎች ከኩቢክ ፓራቦላ እንዴት እንደሚገኙ ያውቃሉ.

እንጥራ ኮርድመስመር ማገናኘት ሁለት የተለያዩ ነጥቦች ግራፊክ ጥበቦች.

የአንድ ተግባር ግራፍ ነው። ኮንቬክስበተወሰነ ጊዜ ውስጥ, የሚገኝ ከሆነ ያነሰ አይደለምማንኛውም የተወሰነ የጊዜ ክፍተት። የሙከራው መስመር ሾጣጣ ነው፣ እና በግልጽ፣ እዚህ ማንኛውም የግራፉ ክፍል ከሱ በላይ ይገኛል። ኮርድ. ትርጉሙን ለማብራራት ሶስት ጥቁር መስመሮችን አወጣሁ.

የግራፍ ተግባራት ናቸው። ሾጣጣበክፍለ ጊዜው ላይ, የሚገኝ ከሆነ ከፍ ያለ አይደለምየዚህ የጊዜ ክፍተት ማንኛውም ገመድ። እየተገመገመ ባለው ምሳሌ, በሽተኛው በየተወሰነ ጊዜ ሾጣጣ ነው. ጥንድ ቡናማ ክፍሎች እዚህ ማንኛውም የግራፍ ቁራጭ ከሱ ስር እንደሚገኝ አሳማኝ በሆነ መልኩ ያሳያሉ ኮርድ.

በግራፉ ላይ ያለው ነጥብ ከኮንቬክስ ወደ ሾጣጣነት ይለወጣል ወይምወደ ኮንቬክሲሽን መጋለጥ ይባላል የመነካካት ነጥብ. በአንድ ነጠላ ቅጂ (የመጀመሪያው ጉዳይ) ውስጥ አለን, እና በተግባር, በተገላቢጦሽ ነጥቡ, በመስመሩ ላይ ያለውን አረንጓዴ ነጥብ እና የ "X" እሴት ማለት እንችላለን.

አስፈላጊ!የግራፉ ኪንኮች በጥንቃቄ መሳል አለባቸው እና በጣም ለስላሳ. ሁሉም ዓይነት "ሥርዓተ-አልባነት" እና "ሸካራነት" ተቀባይነት የላቸውም. ትንሽ ስልጠና ብቻ ነው የሚወስደው።

በንድፈ ሀሳብ ውስጥ convexity/concavity ለመወሰን ሁለተኛው አካሄድ በታንጀንት በኩል ይሰጣል፡-

ኮንቬክስበግራፉ መካከል ባለው የጊዜ ክፍተት ላይ ከፍ ያለ አይደለምታንጀንት ወደ እሱ ተሳበ በ የዘፈቀደ ነጥብየዚህ ክፍተት. ኮንካቭበክፍተቱ ግራፍ ላይ - ያነሰ አይደለምበዚህ ክፍተት ላይ ማንኛውንም ታንጀንት.

ሃይፐርቦላ በክፍተቱ ላይ ሾጣጣ እና ሾጣጣ ነው፡-

በመጋጠሚያዎች አመጣጥ ውስጥ በሚያልፉበት ጊዜ, ሾጣጣው ወደ ኮንቬክስ, ነገር ግን ነጥቡ ይለወጣል አትቁጠርየ inflection ነጥብ, ተግባር ጀምሮ አልተወሰነም።በ ዉስጥ.

በርዕሱ ላይ የበለጠ ጥብቅ መግለጫዎች እና ንድፈ ሃሳቦች በመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ይገኛሉ እና ወደ ጠንከር ያለ ተግባራዊ ክፍል እንቀጥላለን፡-

የተዘበራረቀ ክፍተቶችን ፣ የድንበር ክፍተቶችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል
እና የግራፉ ጠቋሚ ነጥቦች?

ቁሱ ቀላል፣ ስቴንስል እና መዋቅራዊ በሆነ መልኩ ይደገማል ለአንድ አክራሪ ተግባር ጥናት.

የግራፉ መወዛወዝ/ኮንካቬትነት ይገለጻል።ሁለተኛ ተዋጽኦ ተግባራት.

በአንዳንድ ክፍተቶች ላይ ተግባሩ ሁለት ጊዜ የሚለያይ ይሁን። ከዚያም፡-

- ሁለተኛው ተዋጽኦ በጊዜ ክፍተት ላይ ከሆነ, በዚህ ክፍተት ላይ የተግባሩ ግራፍ ሾጣጣ ነው;

- ሁለተኛው ተዋጽኦ በጊዜ ክፍተት ላይ ከሆነ፣ የተግባሩ ግራፍ በዚህ ክፍተት ላይ ሾጣጣ ነው።

ክፍተቶችን በተመለከተ የሁለተኛው ተዋጽኦ ምልክቶችን በተመለከተ የትምህርት ተቋማትየቅድመ ታሪክ ማህበር እየተራመደ ነው፡- “-” የሚያሳየው “ውሃ ወደ ተግባር ግራፍ ማፍሰስ አትችልም” (ኮንቬክሲቲ)፣
እና "+" - "እንዲህ ዓይነቱን እድል ይሰጣል" (ኮንክቬት).

የኢንፌክሽን አስፈላጊ ሁኔታ

በአንድ ነጥብ ላይ በተግባሩ ግራፍ ውስጥ የመቀየሪያ ነጥብ ካለ፣ ያ፡
ወይም እሴቱ የለም(እናውጣው፣ አንብብ!).

ይህ ሐረግተግባር መሆኑን ያመለክታል ቀጣይነት ያለውበአንድ ነጥብ እና በጉዳዩ - በአንዳንድ አከባቢዎች ሁለት ጊዜ ልዩነት አለው.

የሁኔታው አስፈላጊነት ንግግሩ ሁልጊዜ እውነት እንዳልሆነ ይጠቁማል. ማለትም ከእኩልነት (ወይም የእሴት አለመኖር) ገና መሆን የለበትምበተግባሩ ግራፍ ውስጥ በነጥብ ላይ የመነካካት መኖር . ነገር ግን በሁለቱም ሁኔታዎች ይጠራሉ የሁለተኛው ተወላጅ ወሳኝ ነጥብ.

ለመተንፈስ በቂ ሁኔታ

የሁለተኛው ተወላጅ ለውጦች በአንድ ነጥብ ውስጥ በሚያልፉበት ጊዜ ምልክት ካደረጉ, በዚህ ጊዜ በተግባሩ ግራፍ ውስጥ ኢንፍሌሽን አለ.

ምንም የማስተላለፊያ ነጥቦች ላይኖሩ ይችላሉ (ምሳሌ አስቀድሞ ተሟልቷል)፣ እና በዚህ መልኩ አንዳንድ የመጀመሪያ ደረጃ ምሳሌዎች አመላካች ናቸው። ሁለተኛውን የተግባር አመጣጥ እንመርምር፡-

አወንታዊ ቋሚ ተግባር ተገኝቷል, ማለትም ለማንኛውም የ"x" ዋጋ. ላይ ላዩን የተዘረጉ እውነታዎች፡- ፓራቦላ በጠቅላላው የተወጠረ ነው። የትርጉም ጎራ, ምንም የማስተላለፊያ ነጥቦች የሉም. በ "ፓራቦላ" ላይ ያለው አሉታዊ ቅንጅት "ተገላቢጦሽ" እና ኮንቬክስ (እንደ ሁለተኛው ተወላጅ, አሉታዊ ቋሚ ተግባር እንደሚነግረን) በቀላሉ መገንዘብ ይቻላል.

ገላጭ ተግባርእንዲሁም በ:

ለማንኛውም የ "x" ዋጋ.

እርግጥ ነው, ግራፉ ምንም የመቀየሪያ ነጥቦች የሉትም.

ግራፉን እንመረምራለን ለኮንቬክስ / ኮንካቭ ሎጋሪዝም ተግባር :

ስለዚህ, የሎጋሪዝም ቅርንጫፍ በጊዜ ክፍተት ላይ ኮንቬክስ ነው. ሁለተኛው ተዋጽኦ እንዲሁ በጊዜ ክፍተት ላይ ይገለጻል, ግን ግምት ውስጥ ያስገቡ የተከለከለ ነው።, ምክንያቱም የተሰጠው ክፍተትውስጥ አልተካተተም። ጎራተግባራት መስፈርቱ ግልጽ ነው - እዚያ ምንም ሎጋሪዝም ግራፍ ስለሌለ, በተፈጥሮ, ስለማንኛውም ውዝግቦች / መወዛወዝ / ማጋጠሚያዎች ምንም ንግግር የለም.

እንደሚመለከቱት ፣ ሁሉም ነገር በእውነቱ ከታሪኩ ጋር በጣም የሚያስታውስ ነው። እየጨመረ, እየቀነሰ እና የተግባር ጽንፍ. ከራሴ ጋር ተመሳሳይ የአንድ ተግባር ግራፍ ለማጥናት አልጎሪዝምለኮንቬክስ, ለቆንጣጣ እና ለኪንክስ መገኘት:

2) በመፈለግ ላይ ወሳኝ እሴቶች. ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን ተውሳክ ይውሰዱ እና እኩልታውን ይፍቱ. 2ኛ ተዋጽኦ የሌሉባቸው፣ ነገር ግን በተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጥ የተካተቱት ነጥቦችም ወሳኝ ተደርገው ይወሰዳሉ!

3) በቁጥር መስመር ላይ ሁሉንም የተገኙትን የማቋረጥ ነጥቦችን እና ወሳኝ ነጥቦች (አንድም ሆነ ሌላ ላይኖር ይችላል - ከዚያ ምንም ነገር መሳል አያስፈልግም (እንደዚሁ ቀላል ጉዳይ)) በጽሑፍ አስተያየት ብቻ መወሰን በቂ ነው). የጊዜ ክፍተት ዘዴበሚመጡት ክፍተቶች ላይ ምልክቶችን ይወስኑ. ልክ እንደተገለጸው, አንድ ሰው ግምት ውስጥ ማስገባት አለበት እነዚያን ብቻበተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጥ የተካተቱ ክፍተቶች። ስለ የተግባር ግራፉ መወዛወዝ / መወዛወዝ እና የመቀየሪያ ነጥቦች መደምደሚያ ላይ እናቀርባለን. መልሱን እንሰጣለን.

ስልተ ቀመሩን ወደ ተግባራት በቃል ለመተግበር ይሞክሩ . በሁለተኛው ጉዳይ ላይ, በነገራችን ላይ, ወሳኝ በሆነው ቦታ ላይ በግራፉ ውስጥ ምንም የመቀየሪያ ነጥብ በማይኖርበት ጊዜ ምሳሌ አለ. ሆኖም፣ በጥቂቱ እንጀምር አስቸጋሪ ስራዎች:

ምሳሌ 1

መፍትሄ:
1) ተግባሩ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ይገለጻል እና ቀጣይ ነው. በጣም ጥሩ.

2) ሁለተኛውን አመጣጥ እንፈልግ። በመጀመሪያ የኩብ ግንባታ ማከናወን ይችላሉ, ግን ለመጠቀም የበለጠ ትርፋማ ነው ውስብስብ ተግባራትን ለመለየት ደንብ:

እባክዎ ያንን ያስተውሉ , ይህም ማለት ተግባሩ ነው የማይቀንስ. ምንም እንኳን ይህ ከሥራው ጋር ምንም ግንኙነት ባይኖረውም, ሁልጊዜም ለእንደዚህ ዓይነቶቹ እውነታዎች ትኩረት መስጠቱ ተገቢ ነው.

የሁለተኛው ተዋጽኦ ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ፡-

- ወሳኝ ነጥብ

3) አፈፃፀሙን እንፈትሽ በቂ ሁኔታኢንፌክሽኑ በሚመጡት ክፍተቶች ላይ የሁለተኛውን የመነሻ ምልክቶችን እንወስን.

ትኩረት!አሁን የምንሰራው ከሁለተኛው ተዋጽኦ ጋር ነው (እና ከተግባር ጋር አይደለም!)

በውጤቱም, አንድ ወሳኝ ነጥብ ተገኝቷል.

3) በቁጥር መስመር ላይ ሁለት የማቋረጥ ነጥቦችን ምልክት ያድርጉበት፣ ወሳኝ ነጥብ፣ እና የሁለተኛውን ተዋጽኦ ምልክቶች በውጤቱ ክፍተቶች ላይ ይወስኑ።

አስታውሳችኋለሁ አስፈላጊ ቴክኒክ የጊዜ ክፍተት ዘዴ, መፍትሄውን በከፍተኛ ሁኔታ ለማፋጠን ያስችልዎታል. ሁለተኛ ተዋጽኦ በጣም አስቸጋሪ ሆኖ ተገኝቷል, ስለዚህ እሴቶቹን ማስላት አስፈላጊ አይደለም, በእያንዳንዱ ጊዜ "ግምት" ማድረግ በቂ ነው. ለምሳሌ የግራ ክፍተት የሆነውን ነጥብ እንምረጥ።
እና መተኪያውን ያከናውኑ:

አሁን ማባዣዎቹን እንመርምር፡-

ሁለት "መቀነስ" እና "ፕላስ" "ፕላስ" ይሰጣሉ, ስለዚህ, ይህም ማለት ሁለተኛው ተዋጽኦ በጠቅላላው የጊዜ ክፍተት ላይ አዎንታዊ ነው.

አስተያየት የተሰጣቸው ድርጊቶች በቃላት ለማከናወን ቀላል ናቸው። በተጨማሪም ፣ ነገሩን ሙሉ በሙሉ ችላ ማለት ጠቃሚ ነው - ለማንኛውም “x” አዎንታዊ ነው እና የሁለተኛው ተዋጽኦችን ምልክቶች ላይ ተጽዕኖ አያሳድርም።

ታዲያ ምን መረጃ ሰጡን?

መልስ: የተግባሩ ግራፍ ሾጣጣ ነው እና convex on . በመነሻው (ይህ ግልጽ ነው)በግራፉ ውስጥ የመቀየሪያ ነጥብ አለ.

ነጥቦችን በሚያልፉበት ጊዜ የሁለተኛው ተዋጽኦ እንዲሁ ምልክትን ይለውጣል ፣ ግን ተግባሩ በእነሱ ላይ ስለሚሠቃይ እንደ ማነቃቂያ ነጥብ አይቆጠሩም ። ማለቂያ የሌላቸው እረፍቶች.

በተተነተነው ምሳሌ, የመጀመሪያው ተወላጅ በአጠቃላይ ስለ ተግባሩ እድገት ያሳውቀናል። የትርጉም ጎራ. ሁልጊዜ እንደዚህ ያለ ነፃ ሰው ይኖራል =) በተጨማሪም, ሶስት መኖራቸው ግልጽ ነው አሲምፕቶት. ብዙ ውሂብ ተገኝቷል, ይህም ይፈቅዳል ከፍተኛ ዲግሪአሁን ያለው አስተማማኝነት መልክግራፊክ ጥበቦች. ወደ ክምር፣ ተግባሩ እንዲሁ እንግዳ ነው። በተቀመጡት እውነታዎች ላይ በመመስረት, ረቂቅ ንድፍ ለማውጣት ይሞክሩ. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ስዕል.

ምደባ ለ ገለልተኛ ውሳኔ:

ምሳሌ 6

የተግባርን ግራፍ ለመወዛወዝ፣ ለመጨናነቅ ይመርምሩ እና የግራፉን ማዛመጃ ነጥቦች ካሉ ይፈልጉ።

በናሙና ውስጥ ምንም ስዕል የለም, ነገር ግን መላምት ማስቀመጥ አይከለከልም;)

የአልጎሪዝም ነጥቦችን ሳንቆጥር ቁሳቁሱን እንፈጫለን-

ምሳሌ 7

የተግባርን ግራፍ ለመወዛወዝ፣ ለመጠምዘዝ ይመርምሩ እና የመቀየሪያ ነጥቦች ካሉ ይፈልጉ።

መፍትሄተግባር ይታገሣል። ማለቂያ የሌለው ክፍተትነጥብ ላይ .

እንደተለመደው ሁሉም ነገር ከእኛ ጋር ጥሩ ነው፡-

ተዋጽኦዎች በጣም አስቸጋሪ አይደሉም, ዋናው ነገር በ "ፀጉራቸው" ላይ ጥንቃቄ ማድረግ ነው.
በተፈጠረው ማራቶን ውስጥ፣ የሁለተኛው ተዋፅኦ ሁለት ወሳኝ ነጥቦች ተገለጡ።

በሚመጡት ክፍተቶች ላይ ምልክቶችን እንወስን-

በግራፉ ላይ በአንድ ነጥብ ላይ የመቀየሪያ ነጥብ አለ፤ የነጥቡን ድርድር እንፈልግ፡-

በአንድ ነጥብ ውስጥ ሲያልፉ, ሁለተኛው ተወላጅ ምልክቱን አይቀይርም, ስለዚህ, በግራፉ ውስጥ ምንም ማዛባት የለም.

መልስየተዛባ ክፍተቶች፡- ; የመርከስ ክፍተት:; መገለጥ፡.

እስቲ እናስብ የመጨረሻ ምሳሌዎችከተጨማሪ ደወሎች እና ፉጨት ጋር፡

ምሳሌ 8

የግራፊኩን የመወዛወዝ፣ የመወዛወዝ እና የመነካካት ክፍተቶችን ይፈልጉ

መፍትሄከማግኘት ጋር የትርጉም ጎራምንም ልዩ ችግሮች የሉም:
, ተግባሩ በነጥቦች ላይ መቋረጥ ሲያጋጥመው.

በተመታ መንገድ እንሂድ፡-

- ወሳኝ ነጥብ.

ምልክቱን እንገልፅ እና ክፍተቶቹን እናስብ ከተግባር ጎራ ብቻ:

በግራፉ ላይ በአንድ ነጥብ ላይ የመቀየሪያ ነጥብ አለ፤ ዲያቢሎስን እናሰላው፡-

መመሪያዎች

ነጥቦች ኢንፌክሽኑ ተግባራትበመጀመሪያ መገኘት ያለበት የትርጉሙ ጎራ መሆን አለበት። መርሐግብር ተግባራትቀጣይነት ያለው ወይም እረፍቶች ያሉት፣ በብቸኝነት የሚቀንስ ወይም የሚጨምር፣ ዝቅተኛ ወይም ከፍተኛ ያለው መስመር ነው። ነጥቦች(asymptotes)፣ ኮንቬክስ ወይም ሾጣጣ ይሁኑ። ባለፉት ሁለት ግዛቶች ውስጥ ከፍተኛ ለውጥ ኢንፍሌክሽን ነጥብ ይባላል.

ቅድመ ሁኔታመኖር ኢንፌክሽኑ ተግባራትከሁለተኛ እስከ ዜሮ ያለውን እኩልነት ያካትታል. ስለዚህ, ተግባሩን ሁለት ጊዜ በመለየት እና የተገኘውን አገላለጽ ከዜሮ ጋር በማመሳሰል, ሊሆኑ የሚችሉ ነጥቦችን abcissa ማግኘት እንችላለን. ኢንፌክሽኑ.

ይህ ሁኔታ የግራፍ (ግራፍ) መወዛወዝ እና የመገጣጠም ባህሪያት ፍቺ ይከተላል ተግባራት፣ ማለትም እ.ኤ.አ. አሉታዊ እና አዎንታዊ እሴትሁለተኛ ተዋጽኦ. ነጥብ ላይ ኢንፌክሽኑ ድንገተኛ ለውጥእነዚህ ንብረቶች፣ ይህ ማለት ተዋጽኦው የዜሮ ምልክቱን ያልፋል ማለት ነው። ሆኖም፣ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን ኢንፍሌክሽን ለማመልከት ገና በቂ አይደለም።

በቀድሞው ደረጃ የተገኘው አቢሲሳ የነጥቡ ንብረት የሆነው ሁለት በቂ ሁኔታዎች አሉ። ኢንፌክሽኑበዚህ ነጥብ አማካኝነት ታንጀንት መሳል ይችላሉ ተግባራት. ሁለተኛው ተወላጅ ከሚጠበቀው በቀኝ እና በግራ በኩል የተለያዩ ምልክቶች አሉት ነጥቦች ኢንፌክሽኑ. ስለዚህ ፣ በነጥቡ ላይ ያለው ሕልውና ራሱ አስፈላጊ አይደለም ፣ በእሱ ላይ ምልክትን እንደሚቀይር መወሰን በቂ ነው ። ሁለተኛ አመጣጥ ተግባራትከዜሮ ጋር እኩል ነው, እና ሶስተኛው አይደለም.

መፍትሄ: አግኝ. ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይምንም ገደቦች የሉም ፣ ስለሆነም ፣ የእውነተኛ ቁጥሮች አጠቃላይ ቦታ ነው። የመጀመሪያውን መገኛ አስላ፡ y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)²።

ትኩረት ይስጡ. ከዚህ በመነሳት የመነጩ ፍቺው ጎራ የተገደበ ነው። ነጥቡ x = 5 የተበሳ ነው, ይህም ማለት ታንጀንት በእሱ ውስጥ ማለፍ ይችላል, ይህም በከፊል ከመጀመሪያው በቂ ምልክት ጋር ይዛመዳል. ኢንፌክሽኑ.

ውጤቱን ለ x → 5 – 0 እና x → 5 + 0 ይወስኑ። ከ -∞ እና +∞ ጋር እኩል ናቸው። ቀጥ ያለ ታንጀንት በ x=5 ነጥብ ውስጥ እንደሚያልፍ አረጋግጠዋል። ይህ ነጥብ አንድ ነጥብ ሊሆን ይችላል ኢንፌክሽኑበመጀመሪያ ግን ሁለተኛውን አስላ፡ Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² - 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5።

ነጥቡን x = 5ን ከግምት ውስጥ ስላስገባህ መለያየቱን ተወው። እኩልታውን 2 x – 22 = 0 ን መፍታት አንድ ስር x = 11 ነው። የመጨረሻው ደረጃ ማረጋገጥ ነው። ነጥቦች x=5 እና x=11 ነጥቦች ናቸው። ኢንፌክሽኑ. በአካባቢያቸው ያለውን የሁለተኛው ተወላጅ ባህሪን ይተንትኑ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በ x = 5 ላይ ምልክትን ከ "+" ወደ "-" ይለውጣል, እና በ x = 11 - በተቃራኒው. ማጠቃለያ፡- ሁለቱም ነጥቦችነጥቦች ናቸው። ኢንፌክሽኑ. የመጀመሪያው በቂ ሁኔታ ረክቷል.