ስኩዌር ሶስትዮሽ መጥረቢያ 2 + bx+cቀመሩን በመጠቀም ወደ መስመራዊ ሁኔታዎች ሊከፋፈሉ ይችላሉ-

መጥረቢያ 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)፣ የት x 1፣ x 2- የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች መጥረቢያ 2 +bx+c=0

ዘርጋ ኳድራቲክ ሶስትዮሽወደ መስመራዊ ምክንያቶች

ምሳሌ 1) 2x 2 -7x-15።

መፍትሄ። 2x 2 -7x-15=0።

ሀ=2; ለ=-7; ሐ= -15. ይህ አጠቃላይ ጉዳይለሙሉ ኳድራቲክ እኩልታ. አድሎአዊውን ማግኘት ዲ.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2>0; 2 እውነተኛ ሥሮች.

ቀመሩን እንተገብረው፡- ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)።

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5)። ይህንን ሶስትነት አስተዋውቀናል። 2x 2 -7x-15 2x+3እና x-5.

መልስ፡- 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5)።

ምሳሌ 2) 3x 2 +2x-8.

መፍትሄ።የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩን እንፈልግ፡-

ሀ=3; ለ=2;ሐ= -8. ይህ ልዩ ጉዳይለተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ከተመጣጣኝ ሁለተኛ መጠን ጋር ( ለ=2). አድሎአዊውን ማግኘት ዲ 1.

ቀመሩን እንተገብረው፡- ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)።

ሥላሴን አስተዋውቀናል። 3x 2 +2x-8እንደ ሁለትዮሽ ምርቶች x+2እና 3x-4.

መልስ፡- 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

ምሳሌ 3). 5x 2 -3x-2።

መፍትሄ።የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩን እንፈልግ፡-

ሀ=5; ለ=-3; ሐ= -2. ይህ ከሚከተለው ሁኔታ ጋር ለተሟላ ባለአራት እኩልታ ልዩ ጉዳይ ነው። a+b+c=0(5-3-2=0)። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ የመጀመሪያው ሥርሁሌም ከአንድ ጋር እኩል ነው።, ኤ ሁለተኛ ሥርበመጀመሪያው ኮፊሸን ከተከፋፈለው የነፃ ቃል ብዛት ጋር እኩል ነው።

ቀመሩን እንተገብረው፡- ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)።

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2)። ሥላሴን አስተዋውቀናል። 5x 2 -3x-2እንደ ሁለትዮሽ ምርቶች x-1እና 5x+2

መልስ፡- 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2)።

ምሳሌ 4) 6x 2 + x-5።

መፍትሄ።የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩን እንፈልግ፡-

ሀ=6; ለ=1; ሐ= -5. ይህ ከሚከተለው ሁኔታ ጋር ለተሟላ ባለአራት እኩልታ ልዩ ጉዳይ ነው። a-b+c=0(6-1-5=0)። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ የመጀመሪያው ሥርሁልጊዜ አንድ ሲቀነስ እኩል ነው, እና ሁለተኛ ሥርየነጻውን ቃል በመጀመሪያው ኮፊሸንት ከማካፈል ከተቀነሰው ዋጋ ጋር እኩል ነው።

ቀመሩን እንተገብረው፡- ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)።

ሥላሴን አስተዋውቀናል። 6x 2 + x-5እንደ ሁለትዮሽ ምርቶች x+1እና 6x-5.

መልስ፡- 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

ምሳሌ 5) x 2 -13x+12።

መፍትሄ።የተሰጠውን የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ መሠረት እንፈልግ፡-

x 2 -13x+12=0። መተግበር ይቻል እንደሆነ እንፈትሽ። ይህንን ለማድረግ, አድልዎ እንፈልግ እና መሆኑን ያረጋግጡ ፍጹም ካሬሙሉ ቁጥር.

ሀ=1; ለ=-13; ሐ=12. አድሎአዊውን ማግኘት ዲ.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

የቪዬታ ንድፈ ሐሳብን እንተገብረው፡ የሥሮቹ ድምር ከሁለተኛው ኮፊሸን ጋር እኩል መሆን አለበት። ተቃራኒ ምልክት, እና የሥሮቹ ምርት ከነጻው ቃል ጋር እኩል መሆን አለበት:

x 1 + x 2 = 13; x 1∙x 2 =12። ግልጽ ነው x 1 = 1; x 2 =12

ቀመሩን እንተገብረው፡- ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)።

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12)።

መልስ፡- x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

ምሳሌ 6) x 2 -4x-6።

መፍትሄ። የተሰጠውን የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ መሠረት እንፈልግ፡-

ሀ=1; ለ=-4; ሐ= -6. ሁለተኛ ኮፊሸን - ሙሉ ቁጥር. አድሎአዊውን D 1 ያግኙ።

አድልዎ የኢንቲጀር ፍጹም ካሬ አይደለም ፣ ስለሆነም የቪዬታ ቲዎሬም አይረዳንም ፣ እና ለሁለተኛው እኩልነት ቀመሮችን በመጠቀም ሥሮቹን እናገኛለን።

ቀመሩን እንተገብረው፡- መጥረቢያ 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) እና መልሱን ጻፍ.

ግቦች፡-

1. በርዕሱ ላይ እውቀትን እና ክህሎቶችን ስርዓት ማበጀት እና አጠቃላይ ማድረግ-የሶስተኛ እና አራተኛ ዲግሪ እኩልታዎች መፍትሄዎች።
2. ብዙ ስራዎችን በማጠናቀቅ እውቀትዎን ያሳድጉ, አንዳንዶቹም በአይነትም ሆነ በመፍትሔ ዘዴ የማይታወቁ ናቸው.
3. አዳዲስ የሂሳብ ምዕራፎችን በማጥናት የሒሳብ ፍላጎት መፍጠር፣ የእኩልታ ግራፎችን በመገንባት ግራፊክስ ባህልን ማሳደግ።

የትምህርት ዓይነት: የተጣመረ.

መሳሪያ፡ግራፊክ ፕሮጀክተር.

ታይነት፡ሰንጠረዥ "የቪዬት ቲዎረም".

በክፍሎቹ ወቅት

1. የቃል ቆጠራ

ሀ) ብዙ ቁጥር ያለው p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 በ binomial x-a ስንካፈል የቀረው ምንድን ነው?

ለ) የአንድ ኪዩቢክ እኩልታ ስንት ሥሮች ሊኖሩት ይችላል?

ሐ) የሶስተኛ እና አራተኛ ዲግሪ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንችላለን?

መ) በ quadratic equation ውስጥ እኩል ቁጥር ከሆነ የ D እና x 1 ዋጋ ምን ያህል ነው; x 2

2. ገለልተኛ ሥራ(በቡድን)

ሥሮቹ የሚታወቁ ከሆነ እኩልታ ይጻፉ (ለተግባር ምላሾች በኮድ ተቀምጠዋል) “የቪዬታ ቲዎረም” ጥቅም ላይ ይውላል።

1 ቡድን

ሥር፡ x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

ቀመር ይፍጠሩ፡

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; ሐ= -23

መ=6-12+36-18=12; d= -12

ሠ=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(ይህ እኩልነት በቦርዱ 2 ቡድን ይፈታል)

መፍትሄ . ከቁጥር 36 አካፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን።

р = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; 6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 ቁጥር 1 እኩልታውን ያሟላል ስለዚህ =1 የእኩልታ ስር ነው። በሆርነር እቅድ መሰረት

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0፣ x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 = -3፣ x 4 =6

መልስ፡- 1፤-2፤-3፤6 ሥሮች ድምር 2 (P)

2 ኛ ቡድን

ሥር፡ x 1 = -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 = 5

ቀመር ይፍጠሩ፡

B=-1+2+2+5-8; ለ = -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

ሠ=2(-1)2*5=-20፤ ሠ=-20

8+15+4x-20=0 (ቡድን 3 ይህን እኩልነት በቦርዱ ላይ ይፈታል)

р = ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 = 5

መልስ፡-1፤2፤2፤5 ስሮች ድምር 8(P)

3 ቡድን

ሥር፡ x 1 = -1; x 2 = 1; x 3 = -2; x 4 = 3

ቀመር ይፍጠሩ፡

В=-1+1-2+3=1፤В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

ሠ=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(ቡድን 4 ይህንን እኩልነት በኋላ በቦርዱ ላይ ይፈታል)

መፍትሄ። ከቁጥር 6 አካፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን።

р = ± 1; 2; ± 3; 6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 = 3

መልስ፡-1;1;-2;3 ድምር ሥሮች 1(ኦ)

4 ቡድን

ሥር፡ x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

ቀመር ይፍጠሩ፡

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

ሠ=-2*(-2)*(-3)*3=-36፤ ሠ=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ይህ እኩልነት በቦርዱ 5 ቡድን ተፈትቷል)

መፍትሄ። ከቁጥር -36 አካፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን

р = ± 1; ± 2; ± 3…

p (1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

መልስ፡-2; -2; -3; 3 ድምር ሥሮች-4 (ኤፍ)

5 ቡድን

ሥር፡ x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

እኩልታ ይጻፉ

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ይህ እኩልነት በቦርዱ 6 ቡድን ይፈታል)

መፍትሄ . ከቁጥር 24 አካፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን።

р = ± 1; ± 2; ± 3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

መልስ፡-1;-2;-3;-4 ድምር-10 (I)

6 ቡድን

ሥር፡ x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

እኩልታ ይጻፉ

B=1+1-3+8=7፤b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13 x 2 + 43x - 24 = 0 (ይህ እኩልነት በቦርዱ 1 ቡድን ይፈታል)

መፍትሄ . ከቁጥር -24 አካፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0

x 3 = -3፣ x 4 =8

መልስ፡ 1፤1፤-3፤8 ድምር 7 (ኤል)

3. ከመለኪያ ጋር እኩልታዎችን መፍታት

1. እኩልታውን ይፍቱ x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ከሥሮቹ አንዱ እኩል ከሆነ (-1)

መልሱን በከፍታ ቅደም ተከተል ጻፍ

R=P 3 (-1)=-1+3-ሜ-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

በሁኔታ x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

መልስ: - 1; -5; 3

በመውጣት ቅደም ተከተል፡ -5;-1;3. (b N S)

2. ሁሉንም የ polynomial x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 ሥሮችን ያግኙ፣ ከክፍፍሉ ወደ ሁለትዮሽ x-1 እና x +2 ቀሪዎቹ እኩል ከሆኑ።

መፍትሄ፡ R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3) (x 2 -6) = 0

3) a=0፣ x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

ሀ > 0; x=1; x=a ± √a

2. እኩልታ ይጻፉ

1 ቡድን. ሥር፡ -4; -2; 1; 7;

2 ኛ ቡድን. ሥር፡ -3; -2; 1; 2;

3 ቡድን. ሥሮች: -1; 2; 6; 10;

4 ቡድን. ሥር፡ -3; 2; 2; 5;

5 ቡድን. ሥሮች: -5; -2; 2; 4;

6 ቡድን. ሥር፡ -8; -2; 6; 7.

መመሪያዎች

የመተካት MethodExpress አንድ ተለዋዋጭ እና ወደ ሌላ እኩልታ ይቀይሩት. ማንኛውንም ተለዋዋጭ በእርስዎ ምርጫ መግለጽ ይችላሉ። ለምሳሌ፣ yን ከሁለተኛው እኩልታ ይግለጹ፡-
x-y=2 => y=x-2ከዚያ ሁሉንም ነገር ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይቀይሩት፡-
2x+(x-2)=10 ሁሉንም ነገር ያለ "x" ወደ ቀኝ ጎኑ ያንቀሳቅሱ እና ያሰሉ፡-
2x+x=10+2
3x=12 በመቀጠል፣ x ለማግኘት፣ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ3 ይከፋፍሏቸው፡
x=4. ስለዚህ፣ “x. አግኝ "y. ይህንን ለማድረግ “y”ን በገለጹበት ቀመር ውስጥ “x”ን ይተኩ፡-
y=x-2=4-2=2
y=2.

ቼክ ያድርጉ። ይህንን ለማድረግ ውጤቱን ወደ እኩልታዎች ይተኩ-
2*4+2=10
4-2=2
ያልታወቁት በትክክል ተገኝተዋል!

እኩልታዎችን የመደመር ወይም የመቀነስ መንገድ ማንኛውንም ተለዋዋጭ ወዲያውኑ ያስወግዱ። በእኛ ሁኔታ, ይህን በ "y.
በ "y" ውስጥ "+" ምልክት ስላለ, እና በሁለተኛው "-" ውስጥ, ከዚያም የመደመር ክዋኔውን ማከናወን ይችላሉ, ማለትም. ግራ ጎንወደ ግራ ጨምረው ቀኙን ወደ ቀኝ ጨምሩበት፡
2x+y+(x-y)=10+2ቀይር፡
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”ን በማንኛውም እኩልታ ተካ እና “y”ን አግኝ፡-
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2በ1ኛው ዘዴ በትክክል መገኘታቸውን ማየት ትችላለህ።

በግልጽ የተቀመጡ ተለዋዋጮች ከሌሉ, እኩልታዎችን በትንሹ መቀየር አስፈላጊ ነው.
በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ "2x" አለን, እና በሁለተኛው ውስጥ በቀላሉ "x" አለን. በመደመር ወቅት x እንዲቀንስ፣ ሁለተኛውን እኩልታ በ2 ማባዛት፡-
x-y=2
2x-2y=4ከዚያም ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ስሌት ቀንስ።
2x+y-(2x-2y)=10-4 ከቅንፉ በፊት ተቀንሶ ካለ፣ከከፈቱ በኋላ ወደ ተቃራኒው ይቀይሩት።
2x+y-2x+2y=6
3у=6
ከማንኛውም እኩልታ በመግለጽ y=2x ፈልግ፣ ማለትም
x=4

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ጠቃሚ ምክር 2፡ መስመራዊ እኩልታ በሁለት ተለዋዋጮች እንዴት እንደሚፈታ

እኩልታው, በአጠቃላይ ቅፅ ax+bу+c=0 የተጻፈ ሲሆን ከሁለት ጋር መስመራዊ እኩልታ ይባላል ተለዋዋጮች. ይህ እኩልነት ራሱ ይዟል ማለቂያ የሌለው ስብስብመፍትሄዎች, ስለዚህ በችግሮች ውስጥ ሁልጊዜ በአንድ ነገር ይሟላል - ሌላ እኩልታ ወይም ገደብ ሁኔታዎች. በችግሩ በተሰጡት ሁኔታዎች ላይ በመመስረት, መስመራዊ እኩልታ በሁለት ይፍቱ ተለዋዋጮችመሆን አለበት። የተለያዩ መንገዶች.

ያስፈልግዎታል

• - መስመራዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር;
• - ሁለተኛ እኩልታ ወይም ተጨማሪ ሁኔታዎች.

መመሪያዎች

የሁለት ስርዓት ከተሰጠ መስመራዊ እኩልታዎች, መፍታት በሚከተለው መንገድ. ቅንጅቶች ካሉበት እኩልታዎች ውስጥ አንዱን ይምረጡ ተለዋዋጮችአነስ ያለ እና ከተለዋዋጮች አንዱን ይግለጹ፣ ለምሳሌ x. ከዚያ ይህን y የያዘውን እሴት ወደ ሁለተኛው እኩልታ ይቀይሩት። በውጤቱ ቀመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ y ብቻ ይኖራል, ሁሉንም ክፍሎች በ y ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ እና ነፃ የሆኑትን ወደ ቀኝ ያንቀሳቅሱ. xን ለማግኘት yን ይፈልጉ እና በማንኛውም ኦሪጅናል እኩልታዎች ይተኩ።

የሁለት እኩልታዎች ስርዓትን ለመፍታት ሌላ መንገድ አለ. እንደ x ያሉ ከተለዋዋጮች ውስጥ የአንዱ ጥምርታ በሁለቱም እኩልታዎች አንድ አይነት እንዲሆን አንዱን እኩልታዎች በቁጥር ማባዛት። ከዚያም አንዱን እኩልታ ከሌላው ቀንስ (የቀኝ እጅ ከ 0 ጋር እኩል ካልሆነ, የቀኝ እጆችን በተመሳሳይ መንገድ መቀነስ አስታውስ). የ x ተለዋዋጭ ጠፍቶ አንድ y ተለዋዋጭ ብቻ እንደቀረ ታያለህ። የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ እና የተገኘውን የy እሴት ወደ ማናቸውም የመጀመሪያ እኩልታዎች ይተኩ። x ፈልግ

የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ለመፍታት ሦስተኛው መንገድ ግራፊክ ነው። የተቀናጀ ስርዓት ይሳሉ እና በስርዓትዎ ውስጥ እኩልታዎቻቸው የተሰጡ ሁለት ቀጥታ መስመሮችን ይሳሉ። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት x እሴቶችን ወደ ቀመር ይለውጡ እና ተዛማጅ y ያግኙ - እነዚህ የመስመሩ ንብረት የሆኑ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይሆናሉ። መስቀለኛ መንገድን ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር ለማግኘት በጣም ምቹው መንገድ በቀላሉ x=0 እና y=0 እሴቶችን መተካት ነው። የእነዚህ ሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ተግባራቶች ይሆናሉ.

በችግር ሁኔታዎች ውስጥ አንድ ቀጥተኛ እኩልታ ብቻ ካለ, ከዚያም እርስዎ መፍትሄ የሚያገኙበት ተጨማሪ ሁኔታዎች ተሰጥተዋል. እነዚህን ሁኔታዎች ለማግኘት ችግሩን በጥንቃቄ ያንብቡ. ከሆነ ተለዋዋጮች x እና y ርቀትን፣ ፍጥነትን፣ ክብደትን ያመለክታሉ - ገደቡን x≥0 እና y≥0 ለማዘጋጀት ነፃነት ይሰማዎ። ምናልባት x ወይም y የፖም ብዛትን ወዘተ ይደብቃል። - ከዚያ እሴቶቹ ብቻ ሊሆኑ ይችላሉ. x የልጁ ዕድሜ ከሆነ, እሱ ሊሆን እንደማይችል ግልጽ ነው ከአባት በላይ, ስለዚህ ይህንን በተግባራዊ ሁኔታዎች ውስጥ ያመልክቱ.

ምንጮች፡-

• ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታን እንዴት እንደሚፈታ

በራሱ እኩልታውከሶስት ጋር የማይታወቅብዙ መፍትሄዎች አሉት, ስለዚህ ብዙውን ጊዜ በሁለት ተጨማሪ እኩልታዎች ወይም ሁኔታዎች ይሟላል. በመጀመሪያዎቹ መረጃዎች ላይ በመመስረት, የውሳኔው ሂደት በአብዛኛው የተመካ ነው.

ያስፈልግዎታል

• - ከሶስት የማይታወቁ ጋር የሶስት እኩልታዎች ስርዓት።

መመሪያዎች

ከሶስቱ ስርዓቶች ሁለቱ ከሶስቱ የማይታወቁ ሁለቱ ብቻ ካላቸው፣ አንዳንድ ተለዋዋጮችን ከሌሎቹ አንፃር ለመግለጽ ይሞክሩ እና እነሱን በመተካት ይተኩ እኩልታውከሶስት ጋር የማይታወቅ. በዚህ ጉዳይ ላይ ግብዎ ወደ መደበኛው መለወጥ ነው እኩልታውከማይታወቅ ሰው ጋር. ይህ ከሆነ, ተጨማሪው መፍትሄ በጣም ቀላል ነው - የተገኘውን እሴት ወደ ሌሎች እኩልታዎች ይተኩ እና ሌሎች የማይታወቁትን ሁሉ ያግኙ.

አንዳንድ የእኩልታዎች ስርዓቶች ከአንድ እኩልታ በሌላ ሊቀነሱ ይችላሉ። ሁለት የማይታወቁ ነገሮች በአንድ ጊዜ እንዲሰረዙ አንዱን ወይም ተለዋዋጭ ማባዛት ይቻል እንደሆነ ይመልከቱ። እንደዚህ አይነት እድል ካለ, ይጠቀሙበት, ምናልባትም, ቀጣዩ መፍትሄ አስቸጋሪ አይሆንም. ያስታውሱ በቁጥር ሲባዙ ሁለቱንም በግራ እና በቀኝ በኩል ማባዛት አለብዎት። በተመሳሳይ፣ እኩልታዎችን በሚቀንሱበት ጊዜ፣ የቀኝ እጅ ደግሞ መቀነስ እንዳለበት ማስታወስ አለብዎት።

የቀደሙት ዘዴዎች ካልረዱ, ይጠቀሙ በአጠቃላይ መንገድከሶስት ጋር ለማንኛውም እኩልታዎች መፍትሄዎች የማይታወቅ. ይህንን ለማድረግ, እኩልታዎችን በ a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. አሁን ለx (A)፣ ያልታወቁ ማትሪክስ (X) እና የነጻ ተለዋዋጮች ማትሪክስ (B) የቁጥሮች ማትሪክስ ይፍጠሩ። እባክዎን የቁጥር ማትሪክስ በማይታወቁ ማትሪክስ በማባዛት የነጻ ቃላት ማትሪክስ ያገኛሉ፣ ማለትም A*X=B።

በመጀመሪያ በማግኘት ማትሪክስ Aን ወደ ሃይሉ (-1) ያግኙ፣ መሆን እንደሌለበት ልብ ይበሉ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።. ከዚህ በኋላ የተገኘውን ማትሪክስ በማትሪክስ B ማባዛት, በውጤቱም የተፈለገውን ማትሪክስ X ይቀበላሉ, ይህም ሁሉንም ዋጋዎች ያመለክታል.

እንዲሁም የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የሶስት እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ከስርዓቱ ማትሪክስ ጋር የሚዛመደውን የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ∆ ያግኙ። ከዚያ በተከታታይ ሶስት ተጨማሪ መወሰኛዎችን ያግኙ ∆1 ፣ ∆2 እና ∆3 ፣ ከተዛማጅ አምዶች እሴቶች ይልቅ የነፃ ቃላትን እሴቶች በመተካት። አሁን x: x1=∆1/∆፣ x2=∆2/∆፣ x3=∆3/∆ ፈልግ።

ምንጮች፡-

• ከሶስት የማይታወቁ ጋር እኩልታዎች መፍትሄዎች

የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ፈታኝ እና አስደሳች ነው። እንዴት ይበልጥ ውስብስብ ሥርዓት, እሱን ለመፍታት የበለጠ ትኩረት የሚስብ ነው. ብዙ ጊዜ በሂሳብ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትሁለት የማይታወቁ የእኩልታዎች ስርዓቶች አሉ፣ ግን በ ከፍተኛ የሂሳብተጨማሪ ተለዋዋጮች ሊኖሩ ይችላሉ. ስርዓቶች ብዙ ዘዴዎችን በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ.

መመሪያዎች

የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በጣም የተለመደው ዘዴ መተካት ነው። ይህንን ለማድረግ አንድ ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር መግለጽ እና በሁለተኛው ውስጥ መተካት ያስፈልግዎታል እኩልታውስርዓቶች, በዚህም ይመራሉ እኩልታውወደ አንድ ተለዋዋጭ. ለምሳሌ፣ የሚከተሉትን እኩልታዎች ሰጥተውታል፡- 2x-3y-1=0፤x+y-3=0።

ከሁለተኛው አገላለጽ ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን ለመግለጽ ምቹ ነው, የተቀረውን ሁሉ ወደ ትክክለኛው የገለፃው ክፍል በማንቀሳቀስ, የመለኪያውን ምልክት ለመቀየር አይረሳም: x = 3-y.

ቅንፎችን ይክፈቱ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. የተገኘውን እሴት y ወደ አገላለጽ እንተካለን: x=3-y;x=3-1;x=2 .

በመጀመሪያው አገላለጽ ሁሉም ቃላቶች 2 ናቸው, 2 ከቅንፍ ማውጣት ይችላሉ አከፋፋይ ንብረትማባዛት፡ 2*(2x-y-3)=0። አሁን ሁለቱም የገለጻው ክፍሎች በዚህ ቁጥር ሊቀነሱ እና y ተብለው ሊገለጹ ይችላሉ ምክንያቱም ለእሱ ያለው ሞጁል ኮፊሸን ከአንድ ጋር እኩል ነው: -y = 3-2x ወይም y = 2x-3.

ልክ እንደ መጀመሪያው ሁኔታ, እንተካለን ይህ አገላለጽበሁለተኛው ውስጥ እኩልታውእና እናገኛለን፡- 3x+2*(2x-3)-8=0፤3x+4x-6-8=0፤7x-14=0፤7x=14፤x=2። የተገኘውን እሴት ወደ አገላለጽ ይተኩ፡- y=2x -3፤ y=4-3=1።

የ y ንፅፅር በዋጋ አንድ አይነት ነገር ግን በምልክቱ የተለያየ መሆኑን እናያለን ስለዚህ እነዚህን እኩልታዎች ከጨመርን y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- ሙሉ በሙሉ እናስወግዳለን:: 14=0፤ x=2. የ x ዋጋን ወደ ማንኛውም የስርዓቱ ሁለት እኩልታዎች በመተካት y=1 ያግኙ።

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ባለ ሁለትዮሽ እኩልታውይወክላል እኩልታውአራተኛ ዲግሪ, አጠቃላይ ቅፅአክስ ^ 4 + bx^2 + c = 0 በሚለው አገላለጽ የተወከለው. የእሱ መፍትሔ የማይታወቁትን የመተካት ዘዴን በመጠቀም ላይ የተመሰረተ ነው. ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይ x^2 በሌላ ተለዋዋጭ ተተክቷል። ስለዚህም ውጤቱ ተራ ካሬ ነው እኩልታው, ይህም መፍትሄ ያስፈልገዋል.

መመሪያዎች

ኳድራቲክን ይፍቱ እኩልታው, በመተካቱ ምክንያት. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ በቀመርው መሠረት እሴቱን ያሰሉ: D = b^2? 4ac. በዚህ ሁኔታ ተለዋዋጮች a, b, c የእኛ እኩልታዎች ናቸው.

ሥሮቹን ያግኙ የሁለትዮሽ እኩልታ. ይህንን ለማድረግ, የተገኙትን መፍትሄዎች ካሬ ሥር ይውሰዱ. አንድ መፍትሄ ከነበረ ፣ ከዚያ ሁለት ይሆናሉ - የካሬው ሥር አወንታዊ እና አሉታዊ እሴት። ሁለት መፍትሄዎች ካሉ, የሁለትዮሽ እኩልታ አራት ሥሮች ይኖረዋል.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶች ለመፍታት ከጥንታዊ ዘዴዎች አንዱ የጋውስ ዘዴ ነው። ውስጥ ይተኛል ወጥነት ያለው መገለልተለዋዋጮች ሲጠቀሙ የእኩልታዎች ስርዓት ቀላል ለውጦችከመጨረሻው ጀምሮ ሁሉም ተለዋዋጮች በቅደም ተከተል የተገኙበት ደረጃ በደረጃ ወደነበረበት ሥርዓት ተተርጉሟል።

መመሪያዎች

በመጀመሪያ, ሁሉም የማይታወቁ ነገሮች ጥብቅ በሆነ ቅደም ተከተል ውስጥ ሲሆኑ የእኩልታዎችን ስርዓት ወደ እንደዚህ ዓይነት መልክ ያመጣሉ. በተወሰነ ቅደም ተከተል. ለምሳሌ፣ ሁሉም ያልታወቁ Xዎች በእያንዳንዱ መስመር መጀመሪያ ላይ ይታያሉ፣ ሁሉም Y ከ X በኋላ ይመጣሉ፣ ሁሉም Z ከ Y በኋላ ይመጣሉ፣ ወዘተ። በእያንዳንዱ እኩልታ በቀኝ በኩል ምንም የማይታወቁ ነገሮች ሊኖሩ አይገባም. በአዕምሮአዊ ሁኔታ ከእያንዳንዱ የማይታወቅ ፊት ​​ለፊት ያሉትን ውህዶች, እንዲሁም በእያንዳንዱ እኩልታ በቀኝ በኩል ያሉትን መለኪያዎች ይወስኑ.

እኩልታዎችን በሞጁል እንዴት መፍታት እንደሚቻል ለመማር የሞጁሉን ፍቺ ማስታወስ እና መማር ያስፈልግዎታል።

ከትርጓሜው ግልጽ የሆነው የማንኛውም ቁጥር ሞጁል አሉታዊ ያልሆነ ነው. በተጨማሪም, ትርጉሙ እንዴት እንደሚቻል ያሳያል የሞጁሉን ምልክት ያስወግዱበኢ.ኩ.

በተግባር ይህ የሚከናወነው እንደሚከተለው ነው-

1) በሞጁል ምልክት ስር ያሉት መግለጫዎች ወደ ዜሮ የሚቀየሩበትን የተለዋዋጭ እሴቶችን ይፈልጉ።

2) ሁሉንም ዜሮዎች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ። ይህንን መስመር ወደ ጨረሮች እና ክፍተቶች ይከፋፍሏቸዋል ፣ በእሱ ላይ ሁሉም ንዑስ ሞዱል አገላለጾች ቋሚ ምልክት አላቸው።

3) የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ምልክቶች በእያንዳንዱ ክፍተት እንወስናለን እና ሁሉንም ሞጁሎች እናሰፋለን (በንዑስ ሞዱላር አገላለጾች በመደመር ምልክት ወይም በመቀነስ ምልክት በመተካት)።

4) በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት (እንደ ብዙ ክፍተቶች ፣ እንደ ብዙ እኩልታዎች) የሚፈጠሩትን እኩልታዎች እንፈታለን ። እባክዎን በአንድ የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያሉትን መፍትሄዎች ብቻ እንመርጣለን (የተፈጠሩት መፍትሄዎች የክፍለ ጊዜው ላይሆኑ ይችላሉ)።

በቂ ንድፈ ሐሳብ ቀድሞውኑ፣ ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ ለማየት ምሳሌዎችን ለመመልከት ጊዜው አሁን ነው። ቀለል ባለ ነገር እንጀምር።

ከሞዱሊ ጋር እኩልታዎችን መፍታት

ምሳሌ 1.እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።ከዛን ጊዜ ጀምሮ. ከሆነ ፣ ከዚያ ፣ እና ቀመር ቅጹን ከወሰደ።

ከዚህ እናገኛለን.

ምሳሌ 2.እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።ከሒሳብ ቀመር ይከተላል።

ስለዚህ፣፣፣ እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል ወይም።

ጀምሮ፣ የመጀመሪያው እኩልታ ሥር የለውም።

መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.

ምሳሌ 3.እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።እኩልታውን በተመጣጣኝ መልክ እንደገና እንፃፍ።

የተገኘው እኩልታ የአይነት እኩልታዎች ነው።

የዚህ ዓይነቱ እኩልታ እኩልነት ካለው እኩልነት ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል. ስለዚህ, እዚህ አለን ወይም.

መልስ፡- .

ይህን አይነት እኩልነት በሞጁል እንዴት እንደሚፈታ አስቀድመህ አውቀሃል ብዬ አስባለሁ። ለመቋቋም እንሞክር የበለጠ ውስብስብ እኩልታ.

ምሳሌ 4. እኩልታውን ይፍቱ፡ |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|

የንዑስ ሞዱላር አባባሎች ዜሮዎችን ማግኘት፡-

x 2 + 2x = 0, x (x + 2) = 0, x = 0 ወይም x = ‒ 2. በዚህ ሁኔታ, ፓራቦላ y = x 2 + 2x በየእረፍቱ ላይ አዎንታዊ ነው (–∞; -2) እና (0; +∞)፣ እና በመካከላቸው (-2; 0) አሉታዊ ነው (ሥዕሉን ይመልከቱ)።

x 2 ‒ x = 0፣ x(x – 1) = 0፣ x = 0 ወይም x = 1. ይህ ፓራቦላ y = x 2 ‒ x በየእረፍቱ (–∞; 0) እና (1; +∞) አዎንታዊ ነው። , እና በመካከላቸው (0; 1) አሉታዊ ነው (ሥዕሉን ይመልከቱ).

2 - x = 0, x = 2, ሞጁሉ በጊዜ ክፍተት ላይ አዎንታዊ ነው (–∞; 0) እና ይወስዳል. አሉታዊ እሴቶችበጊዜ መካከል (2; +∞) (ሥዕሉን ይመልከቱ).

አሁን እኩልታዎችን በየተወሰነ ጊዜ እንፈታለን-

1) x ≤‒2፡ x = 1/2

2) -2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x፣ x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2 ‒ x፣ ‒2 x 2 = 2፣ x 2 = -1, ምንም መፍትሄዎች የሉም.

3) 0 ≤ x<1: x 2 + 2x ‒ (2 – x) = ‒ (x 2‒ x)፣ x 2 + 2x ‒ 2 + x = ‒x 2 + x፣ 2x 2 + 2x – 2 = 0፣ x 2 + x – 1 = 0፣ √D = √5፣
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 እና x 2 = (‒1 + √5)/2.

የመጀመርያው ሥር ኔጌቲቭ ስለሆነ ክፍተታችን ውስጥ አይደለም፣ ሁለተኛው ሥር ደግሞ ከዜሮ የሚበልጥ እና ከአንድ ያነሰ ነው፤ በዚህ ክፍተት ላይ የእኛ መፍትሔ ይህ ነው።

4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x፣ x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x፣ 4x = 2፣ x= 1/2(በግምት ውስጥ ባለው ጊዜ ውስጥ አልተካተተም)

5) x ≥ 2፡ x 2 + 2x – (‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = - 1(በግምት ውስጥ ባለው ጊዜ ውስጥ አልተካተተም).

መልስ፡- (‒1 + √5)/2 .

ይህ እኩልነት ልክ እንደ ቀዳሚዎቹ በተመሳሳይ መንገድ እንደሚፈታ አስተውለሃል, ልዩነቱ በ ክፍተቶች ብዛት ላይ ነው. በሞጁሉ ስር አራት ማዕዘን መግለጫዎች ስላሉ, ብዙ ሥሮች አሉ, እና በዚህ መሠረት, ተጨማሪ ክፍተቶች አሉ.

ግን ሞጁሉ በሞጁሉ ስር የሚገኝበትን እኩልታ እንዴት መፍታት ይቻላል? አንድ ምሳሌ እንመልከት።

ምሳሌ 5. እኩልታውን ይፍቱ |3 – |x – 2|| = 1

ንዑስ ሞዱላር አገላለጽ እሴቱን 1 ወይም - 1 ሊወስድ ይችላል። ሁለት እኩልታዎችን እናገኛለን።

3 ‒ |x‒ 2|= 1ወይም 3 ‒ |x‒ 2|= 1

እያንዳንዱን እኩልታ በተናጠል እንፈታዋለን.

1) 3 ‒ |x‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 - 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x‒ 2= 4 ወይም x ‒ 2= - 4፣ ከምንገኝበት x 1 = 6፣ x 2 = ‒2.

2) 3 ‒ |x‒ 2|= 1፣ ‒|x ‒ 2|= 1‒ 3፣ ‒|x – 2|= ‒2፣ |x – 2|= 2፣
x – 2 = 2 ወይም x – 2 = ‒2፣
x 3 = 4፣ x 4 = 0።

ይህንን ጽሑፍ ካጠኑ በኋላ የሞዱሎ እኩልታዎችን በተሳካ ሁኔታ መፍታት እንደሚችሉ ተስፋ አደርጋለሁ። ማንኛቸውም ጥያቄዎች ካሉዎት ከእኔ ጋር ለትምህርት ይመዝገቡ። አስተማሪ ቫለንቲና ጋሊኔቭስካያ.

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።

ሂሳብን ለመፍታት. በፍጥነት ያግኙ የሂሳብ እኩልታን መፍታትሁነታ ላይ መስመር ላይ. ድህረ ገጹ www.site ይፈቅዳል እኩልታውን መፍታትየተሰጠው ማለት ይቻላል አልጀብራ, ትሪግኖሜትሪክወይም transcendental እኩልነት መስመር ላይ. የትኛውንም የሂሳብ ክፍል በተለያዩ ደረጃዎች ስታጠና መወሰን አለብህ እኩልታዎች በመስመር ላይ. ወዲያውኑ መልስ ለማግኘት እና ከሁሉም በላይ ትክክለኛ መልስ ለማግኘት ይህንን እንዲያደርጉ የሚያስችልዎ ምንጭ ያስፈልግዎታል። ለጣቢያው ምስጋና ይግባው www.site በመስመር ላይ እኩልታዎችን መፍታትጥቂት ደቂቃዎችን ይወስዳል. ሒሳብን በሚፈታበት ጊዜ የ www.site ዋነኛ ጥቅም እኩልታዎች በመስመር ላይ- ይህ የቀረበው ምላሽ ፍጥነት እና ትክክለኛነት ነው. ጣቢያው ማንኛውንም መፍታት ይችላል በመስመር ላይ የአልጀብራ እኩልታዎች, ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በመስመር ላይ, ትራንስሰንትታል እኩልታዎች በመስመር ላይ, እና እኩልታዎችሁነታ ውስጥ የማይታወቁ መለኪያዎች ጋር መስመር ላይ. እኩልታዎችእንደ ኃይለኛ የሂሳብ መሣሪያ ሆኖ ያገለግላል መፍትሄዎችተግባራዊ ችግሮች. በእርዳታው የሂሳብ እኩልታዎችበአንደኛው እይታ ግራ የሚያጋቡ እና ውስብስብ የሚመስሉ እውነታዎችን እና ግንኙነቶችን መግለጽ ይቻላል. ያልታወቁ መጠኖች እኩልታዎችውስጥ ያለውን ችግር በመቅረጽ ማግኘት ይቻላል የሂሳብቋንቋ በቅጹ እኩልታዎችእና መወሰንሁነታ ውስጥ ተግባር ተቀብለዋል መስመር ላይበድረ-ገጽ www.site. ማንኛውም የአልጀብራ እኩልታ, ትሪግኖሜትሪክ እኩልታወይም እኩልታዎችየያዘ ተሻጋሪበቀላሉ የሚችሏቸው ባህሪያት መወሰንመስመር ላይ እና ትክክለኛውን መልስ ያግኙ. የተፈጥሮ ሳይንስን በምታጠናበት ጊዜ ፍላጎቱን ማግኘቱ አይቀርም እኩልታዎችን መፍታት. በዚህ ጉዳይ ላይ መልሱ ትክክለኛ መሆን አለበት እና ወዲያውኑ በሞዱ ውስጥ መገኘት አለበት መስመር ላይ. ስለዚህ ለ በመስመር ላይ የሂሳብ እኩልታዎችን መፍታትለርስዎ አስፈላጊ ካልኩሌተር የሚሆነውን www.site ን እንመክራለን በመስመር ላይ የአልጀብራ እኩልታዎችን መፍታት, ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በመስመር ላይ, እና ትራንስሰንትታል እኩልታዎች በመስመር ላይወይም እኩልታዎችከማይታወቁ መለኪያዎች ጋር. የተለያዩ ሥሮችን ለማግኘት ለተግባራዊ ችግሮች የሂሳብ እኩልታዎች resource www.. መፍታት እኩልታዎች በመስመር ላይእራስዎን, የተቀበለውን መልስ በመጠቀም መፈተሽ ጠቃሚ ነው የመስመር ላይ እኩልታ መፍታትበድረ-ገጽ www.site. እኩልታውን በትክክል መጻፍ እና ወዲያውኑ ማግኘት ያስፈልግዎታል የመስመር ላይ መፍትሄ, ከዚያ በኋላ የሚቀረው መልሱን ከመፍትሔዎ ጋር ወደ እኩልታው ማወዳደር ነው. መልሱን መፈተሽ ከአንድ ደቂቃ በላይ አይፈጅም, በቂ ነው በመስመር ላይ እኩልታ መፍታትእና መልሶቹን ያወዳድሩ. ይህ ስህተቶችን ለማስወገድ ይረዳዎታል ውሳኔእና መልሱን በጊዜ አስተካክል በመስመር ላይ እኩልታዎችን መፍታትወይ አልጀብራ, ትሪግኖሜትሪክ, ተሻጋሪወይም እኩልታውከማይታወቁ መለኪያዎች ጋር.