አን ሒሳብ ነው። የሒሳብ እድገት ድምር

ጠቃሚ ማስታወሻዎች!
1. ከቀመሮች ይልቅ gobbledygook ካዩ መሸጎጫዎን ያጽዱ። ይህንን በአሳሽዎ ውስጥ እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እዚህ ተጽፏል-
2. ጽሑፉን ማንበብ ከመጀመርዎ በፊት, ለአሳሳችን በጣም ትኩረት ይስጡ ጠቃሚ መገልገያለ

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ፣ እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:
ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ አሉ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ, ሁልጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር በቅደም ተከተል አንድ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው. በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ ኛ ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.
ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ ቃል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

በእኛ ሁኔታ፡-

በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል።
ለምሳሌ:

ወዘተ.
ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ይባላል።
“እድገት” የሚለው ቃል በ 6 ኛው ክፍለ ዘመን በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ አስተዋወቀ እና የበለጠ ተረድቷል ። በሰፊው ስሜትልክ እንደ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል። "ሒሳብ" የሚለው ስም በጥንታዊ ግሪኮች ከተጠናው ቀጣይነት ያለው ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብ ተላልፏል.

ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ወደ ተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው. ይህ ቁጥር የሒሳብ ዕድገት ልዩነት ተብሎ ይጠራል እና የተሰየመ ነው።

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? መልሶቻችንን እናወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደዚህ እንመለስ የተሰጠው እድገት() እና የእሱን አባል ዋጋ ለማግኘት ይሞክሩ። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

የሂደቱ ኛ ቃል እስክንደርስ ድረስ የሂደቱን ቁጥር ወደ ቀድሞው እሴት ማከል እንችላለን። ለማጠቃለል ብዙ ባይኖረን ጥሩ ነው - ሶስት እሴቶች ብቻ።

ስለዚህ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት ኛ ቃል እኩል ነው።

2. ዘዴ

የሂደቱን የ ኛ ቃል ዋጋ መፈለግ ብንፈልግስ? ማጠቃለያው ከአንድ ሰአት በላይ ይወስድብናል፣ እና ቁጥሮች ስንጨምር ስህተት እንደማንሰራ ሀቅ አይደለም።
እርግጥ ነው, የሂሳብ ሊቃውንት የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ ቀድሞው እሴት መጨመር የማያስፈልግበትን መንገድ ፈጥረዋል. የተሳለውን ምስል በጥሞና ተመልከት... በእርግጠኝነት አንድ የተወሰነ ስርዓተ-ጥለት አስተውለሃል፣ እሱም፡-

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ የሁለተኛው ቃል ዋጋ ምን እንደሚይዝ እንመልከት፡-


በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የሂሳብ እድገት አባል ዋጋ በዚህ መንገድ እራስዎን ለማግኘት ይሞክሩ።

አሰላለው? ማስታወሻዎችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሒሳብ ግስጋሴ ውሎችን በቅደም ተከተል ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ እንደ ቀደመው ዘዴ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ እባክዎ ልብ ይበሉ።
"ሰውን ለማሳጣት" እንሞክር ይህ ቀመር- እሷን እናመጣላት አጠቃላይ ቅፅእና እናገኛለን:

አርቲሜቲክ ግስጋሴ እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ሊሆኑ ይችላሉ.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
ይህንን በተግባር እንፈትሽ።
ያቀፈ የሂሳብ እድገት ተሰጥቶናል። የሚከተሉት ቁጥሮችለማስላት ቀመራችንን ከተጠቀምን የዚህ የሂሳብ እድገት ኛ ቁጥር ምን እንደሚሆን እንፈትሽ፡

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ስለዚህ፣ ቀመሩ የሚሠራው በመቀነስ እና በማደግ ላይ እንደሆነ እርግጠኞች ነን።
የዚህን የሂሳብ እድገት ኛ እና ኛ ውሎች እራስዎ ለማግኘት ይሞክሩ።

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

ችግሩን እናወሳስበው - የሂሳብ እድገትን ንብረት እናመጣለን.
የሚከተለው ሁኔታ ተሰጥቶናል እንበል።
- የሂሳብ እድገት ፣ እሴቱን ይፈልጉ።
ቀላል፣ እርስዎ በሚያውቁት ቀመር መሰረት ይናገሩ እና መቁጠር ይጀምሩ፡-

አህ፣ እንግዲያውስ፡-

ፍጹም ትክክል። መጀመሪያ ያገኘነው ከዚያም ወደ መጀመሪያው ቁጥር ጨምረን የምንፈልገውን አግኝተናል። እድገቱ በትንንሽ እሴቶች ከተወከለ, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ነገር ግን በሁኔታው ላይ ቁጥሮች ከተሰጠን? ይስማሙ, በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድል አለ.
አሁን ማንኛውንም ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በአንድ ደረጃ መፍታት ይቻል እንደሆነ ያስቡ? በእርግጥ አዎ, እና አሁን ለማውጣት የምንሞክረው ያ ነው.

የሚፈለገውን የሂሳብ ግስጋሴ ቃል እንጥቀስ ፣ እሱን ለማግኘት ቀመር ለእኛ የታወቀ ነው - ይህ በመጀመሪያ ላይ ያመጣነው ተመሳሳይ ቀመር ነው-
, ከዚያም:

• የቀደመው የሂደቱ ቃል፡-
• የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ተከታዩን የሂደቱን ውሎች እናጠቃልል።

የቀደመው እና ተከታይ የሂደቱ ድምር በመካከላቸው የሚገኘው የእድገት ቃል ድርብ እሴት ነው። በሌላ አገላለጽ ፣የእድገት ቃልን ከታወቁ ቀዳሚ እና ተከታታይ እሴቶች ጋር ለማግኘት ፣እነሱን ማከል እና መከፋፈል ያስፈልግዎታል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እንጠብቅ። ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ጥሩ ስራ! ስለ እድገት ሁሉንም ነገር ታውቃለህ! አንድ ቀመር ብቻ ለማወቅ ይቀራል ፣ እሱም በአፈ ታሪክ መሠረት ፣ በማንኛውም ጊዜ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት በአንዱ ፣ “የሂሳብ ሊቃውንት ንጉስ” - ካርል ጋውስ…

ካርል ጋውስ የ9 ዓመት ልጅ እያለ አንድ መምህር በሌሎች ክፍሎች ውስጥ ያሉ ተማሪዎችን ሥራ በመመርመር የተጠመደ፣ በክፍል ውስጥ የሚከተለውን ችግር ጠየቀ፡- “የሁሉም ድምርን አስላ። የተፈጥሮ ቁጥሮችከ (እንደሌሎች ምንጮች እስከ) አካታች። ከመምህሩ አንዱ (ይህ ካርል ጋውስ ነበር) ከአንድ ደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያህል እንደተገረመ አስቡት ፣ አብዛኛዎቹ የድፍረት ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ…

ወጣቱ ካርል ጋውስ እርስዎ በቀላሉ ሊያስተውሉት የሚችሉትን የተወሰነ ንድፍ ተመልክቷል።
-ኛ ቃላትን ያካተተ የሂሳብ ግስጋሴ አለን እንበል፡ የእነዚህን የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምር ማግኘት አለብን። እርግጥ ነው፣ ሁሉንም እሴቶቹን በእጃችን ማጠቃለል እንችላለን፣ ግን ጋውስ እንደሚፈልግ ስራው የውሎቹን ድምር ማግኘት ቢፈልግስ?

የተሰጠንን እድገት እናሳይ። የደመቁትን ቁጥሮች በጥልቀት ይመልከቱ እና ከእነሱ ጋር የተለያዩ የሂሳብ ስራዎችን ለመስራት ይሞክሩ።


ሞክረዋል? ምን አስተዋልክ? ቀኝ! ድምራቸው እኩል ነው።

አሁን ንገረኝ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ በአጠቃላይ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላት ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ ጥንዶች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት ያንን እናገኛለን አጠቃላይ ድምሩእኩል ነው፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

በአንዳንድ ችግሮች የኛን ቃል አናውቅም ነገር ግን የሂደቱን ልዩነት እናውቃለን። የቃሉን ቀመር ወደ ድምር ቀመር ለመተካት ይሞክሩ።
ምን አገኘህ?

ጥሩ ስራ! አሁን ወደ ካርል ጋውስ ወደ ተጠየቀው ችግር እንመለስ፡ ከ th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እኩል እንደሆነ እና ከ th ጀምሮ ያሉት የቁጥሮች ድምር ምን ያህል እንደሆነ ለራስዎ አስላ።

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የቃላቶቹ ድምር መሆኑን ደርሰውበታል። እርስዎ የወሰኑት እንደዚህ ነው?

እንደ እውነቱ ከሆነ፣ የሒሳብ ዕድገት ቃላቶች ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን እና በዚህ ጊዜ ሁሉ ተረጋግጧል። ብልህ ሰዎችየሂሳብ እድገትን ባህሪያት ሙሉ በሙሉ ተጠቅሟል.
ለምሳሌ አስቡት ጥንታዊ ግብፅእና በጣም ብዙ መጠነ ሰፊ ግንባታያ ጊዜ - የፒራሚድ ግንባታ ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል.

እዚህ እድገት የት አለ ትላላችሁ? በጥንቃቄ ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ ረድፍ የፒራሚድ ግድግዳ ላይ የአሸዋ ብሎኮችን ቁጥር ይፈልጉ።


ለምን የሂሳብ እድገት አይሆንም? የማገጃ ጡቦች በመሠረቱ ላይ ከተቀመጡ አንድ ግድግዳ ለመሥራት ምን ያህል ብሎኮች እንደሚያስፈልግ አስሉ. ጣትዎን በተቆጣጣሪው ላይ ሲያንቀሳቅሱ እንደማይቆጥሩ ተስፋ አደርጋለሁ ፣ የመጨረሻውን ቀመር እና ስለ የሂሳብ እድገት የተናገርነውን ሁሉ ያስታውሳሉ?

ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይእድገት ይመስላል በሚከተለው መንገድ: .
የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
የሂሳብ እድገት ውሎች ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ብዛት በ 2 መንገዶች አስላ)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

እና አሁን በተቆጣጣሪው ላይ ማስላት ይችላሉ-የተገኙትን ዋጋዎች በእኛ ፒራሚድ ውስጥ ካሉት ብሎኮች ብዛት ጋር ያወዳድሩ። ገባኝ? ደህና አድርገሃል፣ የሂሳብ እድገትን n ኛ ውሎች ድምርን ተክተሃል።
በእርግጥ ፒራሚድ ከመሠረቱ ብሎኮች መገንባት አይችሉም ፣ ግን ከ? በዚህ ሁኔታ ግድግዳ ለመገንባት ምን ያህል የአሸዋ ጡቦች እንደሚያስፈልግ ለማስላት ይሞክሩ.
አስተዳድረዋል?
ትክክለኛው መልስ ብሎኮች ነው-

ስልጠና

ተግባራት፡

1. ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው። በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. ማሻ በመጀመሪያው የስልጠና ክፍለ ጊዜ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች በሳምንት ውስጥ ስንት ጊዜ ስኩዊቶችን ታደርጋለች?
2. የሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
3. ምዝግብ ማስታወሻዎችን በሚያከማቹበት ጊዜ ሎጊዎች እያንዳንዳቸው በሚያስችል መንገድ ይቆማሉ የላይኛው ሽፋንከቀዳሚው ያነሰ አንድ ሎግ ይዟል። የግንበኝነት መሰረቱ ግንድ ከሆነ በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት እንጨቶች አሉ?

መልሶች፡-

1. የሒሳብ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልጻለን። በዚህ ጉዳይ ላይ
   (ሳምንት = ቀናት)።

   መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ ስኩዊቶችን ማድረግ አለበት.

2. አንደኛ ኢተጋማሽ ቁጥር, የመጨረሻ ቁጥር.
   የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.
   በ ውስጥ ያሉት ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት ግማሽ ነው ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገትን ኛ ቃል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ እንፈትሽ።

   ቁጥሮች ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
   ያለውን መረጃ በቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።

3. ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር እናስታውስ። በእኛ ሁኔታ, ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, ከዚያም በአጠቃላይ የንብርብሮች ስብስብ አለ, ማለትም.
   ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካው፡-

   መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

እናጠቃልለው

1. - በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ሊሆን ይችላል.
2. ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ ኛ ቃል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
3. የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት- - በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ብዛት የት አለ?
4. የሒሳብ እድገት ውሎች ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-
   
   , የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. አማካይ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊሆኑ ይችላሉ. ግን ሁል ጊዜ የትኛው የመጀመሪያው ነው ፣ የትኛው ሁለተኛ ነው ፣ እና ሌሎችም ፣ ማለትም ፣ ልንቆጥራቸው እንችላለን ። ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

በሌላ አነጋገር, እያንዳንዱ ቁጥር ከተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር, እና ልዩ ከሆነ ጋር ሊዛመድ ይችላል. እና ይህን ቁጥር ከዚህ ስብስብ ወደ ሌላ ቁጥር አንሰጥም።

ቁጥር ያለው ቁጥር የተከታታይ ኛ አባል ይባላል።

እኛ ብዙውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል በተወሰነ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ፣) እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል ከዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ያለው ተመሳሳይ ፊደል ነው።

የተከታታዩ ኛ ቃል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ቀመርን ተደጋጋሚ ብለን እንጠራዋለን ፣ ይህም የሁለተኛውን ቃል ለማወቅ ቀዳሚውን ወይም ብዙ ቀዳሚዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

ለምሳሌ ይህንን ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን። ለምሳሌ, ይተውት. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

በእያንዳንዱ መስመር ውስጥ እንጨምራለን, በተወሰነ ቁጥር ተባዝተናል. የትኛው? በጣም ቀላል፡ ይህ የአሁን አባል ቁጥር ሲቀነስ ነው፡

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሒሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛውን ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. ልዩነቱ ምንድን ነው? እነሆ፡-

(ለዚህም ነው ልዩነት ተብሎ የሚጠራው ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ ውሎች ልዩነት ጋር እኩል ስለሆነ ነው).

ስለዚህ ቀመር፡-

ከዚያ የመቶኛው ቃል እኩል ነው፡-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት. ታላቅ የሂሳብ ሊቅካርል ጋውስ የ9 አመት ልጅ ሆኖ ይህን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል። የአንደኛውና የመጨረሻዎቹ ቁጥሮች ድምር እኩል መሆናቸውን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3 ኛ ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. በጠቅላላው ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉንም ድምር ያግኙ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች, ብዜቶች.

መፍትሄ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ተከታይ የሚገኘው ወደ ላይ በመጨመር ነው። ያለፈው ቀን. ስለዚህ እኛ የምንፈልጋቸው ቁጥሮች ከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ጋር የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ።

ለዚህ እድገት የኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በእድገት ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

1. በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን የበለጠ ሜትሮችን ይሮጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንት ውስጥ ስንት ጠቅላላ ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
2. አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ካለፈው ቀን የበለጠ ኪሎ ሜትሮችን ይጓዛል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል። አንድ ኪሎ ሜትር ለመጓዝ ስንት ቀናት መጓዝ ያስፈልገዋል? በመጨረሻው የጉዞው ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
3. በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

1. እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
   .
   መልስ፡-
2. እዚህ ተሰጥቷል:, መገኘት አለበት.
   በግልጽ እንደሚታየው ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም ያስፈልግዎታል ቀዳሚ ተግባር:
   .
   እሴቶቹን ይተኩ፡

   ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ ነው.
   የኛውን ቃል ቀመር በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን መንገድ እናሰላ።
   (ኪሜ)
   መልስ፡-

3. የተሰጠው፡. አግኝ፡.
   የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም፡-
   (ማሸት)።
   መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ይህ በአጎራባች ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገትሊጨምር ይችላል () እና እየቀነሰ ()።

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ለማግኘት ቀመር

በቀመር የተጻፈው በሂደት ላይ ያሉ የቁጥሮች ቁጥር የት ነው.

የሒሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአጎራባች ቃላቶቹ የሚታወቁ ከሆነ የእድገት ቃልን በቀላሉ እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል - በሂደቱ ውስጥ የቁጥሮች ብዛት የት አለ።

የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

መጠኑን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም ሰዎች 5% ብቻ አንድን ነገር በራሳቸው መቆጣጠር ይችላሉ. እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው?

ለስኬት የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ማለፍበበጀት ወደ ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ ደግሞ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

የተቀበሉ ሰዎች ጥሩ ትምህርት, ካልተቀበሉት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ. ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት በፊታቸው ብዙ ክፍት ስላለ ነው። ተጨማሪ እድሎችእና ሕይወት ብሩህ ይሆናል? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ ከመፍትሄዎች ጋር የግድ ዝርዝር ትንታኔ እና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበቡት ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሀፍ እድሜን ለማራዘም መርዳት አለቦት።

እንዴት? ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ -
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - የመማሪያ መጽሐፍ ይግዙ - 499 RUR

አዎን፣ በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና በውስጣቸው ያሉ ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ።

የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻ ለጣቢያው በሙሉ ህይወት ይሰጣል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!

የአርቲሜቲክ እድገት ድምር።

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀላል ነገር ነው። ሁለቱም በትርጉም እና በቀመር። ግን በዚህ ርዕስ ላይ ሁሉም አይነት ስራዎች አሉ. ከመሠረታዊ እስከ ጠንካራ።

በመጀመሪያ የብዛቱን ትርጉም እና ቀመር እንረዳ። እና ከዚያ እንወስናለን. ለራስህ ደስታ።) የገንዘቡ ትርጉም ልክ እንደ ሙን ቀላል ነው። የሒሳብ እድገት ድምርን ለማግኘት ሁሉንም ውሎቹን በጥንቃቄ ማከል ብቻ ያስፈልግዎታል። እነዚህ ውሎች ጥቂት ከሆኑ ያለ ምንም ቀመሮች ማከል ይችላሉ። ነገር ግን ብዙ ካለ ወይም ብዙ... መደመር ያናድዳል።) በዚህ ሁኔታ ቀመሩ ለማዳን ይመጣል።

የገንዘቡ ቀመር ቀላል ነው፡-

በቀመር ውስጥ ምን ዓይነት ፊደላት እንደሚካተቱ እንወቅ። ይህ ብዙ ነገሮችን ያጸዳል.

ኤስ n - የሂሳብ እድገት ድምር። የመደመር ውጤት ሁሉም ሰውአባላት, ጋር አንደኛበ የመጨረሻ።አስፈላጊ ነው. በትክክል ይጨምራሉ ሁሉምአባላት በተከታታይ፣ ሳይዘለሉ ወይም ሳይዘለሉ። እና በትክክል ፣ ከ አንደኛ.እንደ ሦስተኛው እና ስምንተኛው ቃላት ድምር ወይም ከአምስተኛው እስከ ሃያኛው የቃላት ድምር ማግኘት ባሉ ችግሮች ውስጥ - ቀጥተኛ መተግበሪያቀመሮች ቅር ያሰኛሉ።)

ሀ 1 - አንደኛየእድገት አባል. እዚህ ሁሉም ነገር ግልጽ ነው, ቀላል ነው አንደኛየረድፍ ቁጥር.

አንድ n- የመጨረሻውየእድገት አባል. የተከታታዩ የመጨረሻ ቁጥር. በጣም የታወቀ ስም አይደለም, ነገር ግን መጠኑ ላይ ሲተገበር, በጣም ተስማሚ ነው. ከዚያ እራስዎ ያያሉ.

n - የመጨረሻው አባል ቁጥር. በቀመር ውስጥ ይህንን ቁጥር መረዳት አስፈላጊ ነው ከተጨመሩ ቃላት ብዛት ጋር ይዛመዳል.

ጽንሰ-ሐሳቡን እንግለጽ የመጨረሻአባል አንድ n. ተንኮለኛ ጥያቄ፡ የትኛው አባል ይሆናል። የመጨረሻውከተሰጠ ማለቂያ የሌለውየሂሳብ እድገት?)

በልበ ሙሉነት ለመመለስ፣ የሂሳብ እድገትን አንደኛ ደረጃ ትርጉም መረዳት እና... ስራውን በጥንቃቄ ያንብቡ!)

የሂሳብ እድገት ድምርን የማግኘት ተግባር ውስጥ ፣ የመጨረሻው ቃል ሁል ጊዜ ይታያል (በቀጥታ ወይም በተዘዋዋሪ) ፣ መገደብ ያለበት.አለበለዚያ, የመጨረሻ, የተወሰነ መጠን በቀላሉ የለም።ለመፍትሔው, እድገቱ ቢሰጥ ምንም ለውጥ የለውም: ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው. እንዴት እንደሚሰጥ ምንም ለውጥ አያመጣም: ተከታታይ ቁጥሮች, ወይም ለ nth ቃል ቀመር.

በጣም አስፈላጊው ነገር ቀመር ከመጀመሪያው የእድገት ቃል እስከ ቁጥር ያለው ቃል እንደሚሰራ መረዳት ነው n.በእውነቱ ፣ የቀመርው ሙሉ ስም ይህንን ይመስላል። የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ n ውሎች ድምር።የእነዚህ በጣም የመጀመሪያ አባላት ቁጥር, ማለትም. n, የሚወሰነው በተግባሩ ብቻ ነው. በአንድ ተግባር ውስጥ ፣ እነዚህ ሁሉ ጠቃሚ መረጃዎች ብዙውን ጊዜ የተመሰጠሩ ናቸው ፣ አዎ… ግን በጭራሽ ፣ ከዚህ በታች ባሉት ምሳሌዎች ውስጥ እነዚህን ምስጢሮች እንገልጣለን።)

በሂሳብ እድገት ድምር ላይ የተግባር ምሳሌዎች።

በመጀመሪያ, ጠቃሚ መረጃ:

የሂሳብ እድገት ድምርን በሚያካትቱ ተግባራት ውስጥ ዋነኛው ችግር ነው። ትክክለኛ ትርጉምየቀመርው አካላት.

የተግባር ፀሐፊዎቹ እነዚህን ተመሳሳይ ንጥረ ነገሮች በ ገደብ የለሽ ምናብ.) እዚህ ያለው ዋናው ነገር መፍራት አይደለም. የንጥረ ነገሮችን ይዘት በመረዳት በቀላሉ እነሱን መፍታት በቂ ነው። ጥቂት ምሳሌዎችን በዝርዝር እንመልከት። በእውነተኛ ጂአይኤ ላይ በተመሰረተ ተግባር እንጀምር።

1. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታው ይሰጣል-a n = 2n-3.5. የመጀመሪያዎቹን 10 ውሎች ድምርን ያግኙ።

ጥሩ ስራ. ቀላል.) ቀመሩን በመጠቀም መጠኑን ለመወሰን ምን ማወቅ አለብን? የመጀመሪያ አባል ሀ 1፣ የመጨረሻ ጊዜ አንድ n, አዎ የመጨረሻው አባል ቁጥር n.

የመጨረሻውን አባል ቁጥር የት ማግኘት እችላለሁ? n? አዎ ፣ እዚያ ፣ በሁኔታ! ድምርን ፈልግ ይላል። የመጀመሪያዎቹ 10 አባላት.ደህና ፣ ከየትኛው ቁጥር ጋር ይሆናል? የመጨረሻ፣አሥረኛው አባል?) አያምኑም, የእሱ ቁጥር አሥረኛ ነው!) ስለዚህ, በምትኩ አንድ nበቀመር ውስጥ እንተካለን። አንድ 10, እና በምትኩ n- አስር. እደግመዋለሁ፣ የመጨረሻው አባል ቁጥር ከአባላት ብዛት ጋር ይዛመዳል።

ለመወሰን ይቀራል ሀ 1እና አንድ 10. ይህ በችግር መግለጫው ውስጥ የተሰጠውን የ nth ቃል ቀመር በመጠቀም በቀላሉ ይሰላል። ይህን እንዴት ማድረግ እንዳለብዎት አታውቁም? ያለፈውን ትምህርት ይከታተሉ, ያለዚህ ምንም መንገድ የለም.

ሀ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

አንድ 10= 2 · 10 - 3.5 = 16.5

ኤስ n = ኤስ 10.

የሒሳብ ግስጋሴ ድምር የሁሉንም ንጥረ ነገሮች ትርጉም አግኝተናል። የቀረው እነሱን መተካት እና መቁጠር ብቻ ነው፡-

በቃ. መልስ፡ 75.

በጂአይኤ ላይ የተመሰረተ ሌላ ተግባር. ትንሽ የበለጠ የተወሳሰበ፡-

2. የሂሳብ እድገትን (a n) ከተሰጠ, ልዩነቱ 3.7; ሀ 1 = 2.3 የመጀመሪያዎቹን 15 ውሎች ድምርን ያግኙ።

ወዲያውኑ ድምርን ቀመር እንጽፋለን-

ይህ ቀመር የማንኛውንም ቃል ዋጋ በቁጥር እንድናገኝ ያስችለናል። ቀላል ምትክ እንፈልጋለን፡-

ሀ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በሂሳብ ቀመር ውስጥ ለመተካት እና መልሱን ለማስላት ይቀራል።

መልስ፡- 423.

በነገራችን ላይ, በምትኩ ድምር ቀመር ውስጥ ከሆነ አንድ nበቀላሉ የ nth term ፎርሙላውን በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ተመሳሳይ የሆኑትን እናምጣ፣ እናገኛለን አዲስ ቀመርየሒሳብ እድገት ውሎች ድምር፡-

እንደሚመለከቱት, እዚህ አያስፈልግም nth term አንድ n. በአንዳንድ ችግሮች ይህ ቀመር በጣም ይረዳል, አዎ ... ይህን ቀመር ማስታወስ ይችላሉ. ውስጥ ይቻላል? ትክክለኛው ጊዜእንደ እዚህ እሱን ለማሳየት ቀላል ነው። ደግሞም የድምሩ ቀመር እና ለ nth ቃል ቀመር ሁልጊዜ ማስታወስ አለብህ።)

አሁን ተግባሩ በአጭር ምስጠራ መልክ፡-

3. የሶስት ብዜት የሆኑትን ሁሉንም አዎንታዊ ባለ ሁለት አሃዞች ድምር ያግኙ።

ዋዉ! የመጀመሪያ አባልህ፣ የመጨረሻህ፣ ወይም እድገትህ በፍጹም... እንዴት መኖር ይቻላል!?

በጭንቅላታችሁ ማሰብ እና ሁሉንም የሒሳብ እድገት ድምርን ከሁኔታዎች ማውጣት አለቦት. ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ እናውቃለን። ሁለት ቁጥሮችን ያካተቱ ናቸው.) ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር ምን ያህል ይሆናል አንደኛ? 10፣ የሚገመተው።) ሀ የመጨረሻው ነገርባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር? 99 በእርግጥ! ባለ ሶስት አሃዝ ተከትለውታል...

ብዙ የሶስት... ሀም... እነዚህ ቁጥሮች ለሶስት የሚካፈሉ ናቸው እዚህ! አስሩ በሶስት አይካፈልም 11 አይከፋፈልም... 12... ይከፋፈላል! ስለዚህ, የሆነ ነገር ብቅ አለ. በችግሩ ሁኔታዎች መሠረት ተከታታይ መፃፍ ይችላሉ-

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ይህ ተከታታይ የሂሳብ እድገት ይሆናል? በእርግጠኝነት! እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው ጋር በጥብቅ በሦስት ይለያል። በአንድ ቃል ላይ 2 ወይም 4 ካከሉ, ውጤቱን ይበሉ, ማለትም. አዲሱ ቁጥር ከአሁን በኋላ በ 3 አይከፋፈልም. ወዲያውኑ የሂሳብ እድገትን ልዩነት መወሰን ይችላሉ. መ = 3.ጠቃሚ ሆኖ ይመጣል!)

ስለዚህ ፣ አንዳንድ የእድገት መለኪያዎችን በደህና መፃፍ እንችላለን-

ቁጥሩ ምን ይሆን? nየመጨረሻው አባል? 99 ገዳይ ነው ብሎ የሚያስብ ሰው... ቁጥሮቹ ሁልጊዜ በተከታታይ ይሄዳሉ ነገር ግን አባሎቻችን ከሦስት በላይ ዘለው ይገኛሉ። አይዛመዱም።

እዚህ ሁለት መፍትሄዎች አሉ. አንዱ መንገድ ልዕለ ታታሪው ነው። ግስጋሴውን, ሙሉውን ተከታታይ ቁጥሮችን መጻፍ እና የአባላቱን ቁጥር በጣትዎ መቁጠር ይችላሉ.) ሁለተኛው መንገድ ለአሳቢዎች ነው. ለ Nth ቃል ቀመር ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ቀመሩን ለችግራችን ከተጠቀምንበት 99 የሂደቱ ሠላሳኛ ቃል ሆኖ እናገኘዋለን። እነዚያ። n = 30

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀመርን እንመልከት፡-

እንመለከታለን እና ደስ ይለናል.) መጠኑን ለማስላት አስፈላጊውን ሁሉ ከችግሩ መግለጫ አውጥተናል.

ሀ 1= 12.

አንድ 30= 99.

ኤስ n = ኤስ 30.

የቀረው የአንደኛ ደረጃ ስሌት ነው። ቁጥሮቹን ወደ ቀመር እንተካለን እና እናሰላለን-

መልስ፡- 1665

ሌላ ታዋቂ የእንቆቅልሽ አይነት፡-

4. ከሂሳብ እድገት አንጻር፡-

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ከሃያኛው እስከ ሠላሳ አራት ያለውን የቃላት ድምር ያግኙ።

የገንዘቡን ፎርሙላ እናያለን እና... እንበሳጫለን።) ቀመሩን ላስታውስህ፣ መጠኑን ያሰላል። ከመጀመሪያውአባል. እና በችግሩ ውስጥ ድምርን ማስላት ያስፈልግዎታል ከሃያኛው...ቀመሩ አይሰራም።

እርግጥ ነው, አጠቃላይ ሂደቱን በተከታታይ መፃፍ እና ከ 20 እስከ 34 ያሉትን ውሎች ማከል ይችላሉ. ግን ... በሆነ መልኩ ሞኝነት ነው እና ረጅም ጊዜ ይወስዳል, አይደል?)

ሌሎችም አሉ። የሚያምር መፍትሄ. ተከታታዮቻችንን በሁለት ከፍለን እንየው። የመጀመሪያው ክፍል ይሆናል ከመጀመሪያው ቃል እስከ አስራ ዘጠነኛው.ሁለተኛ ክፍል፡- ከሃያ እስከ ሠላሳ አራት.የመጀመሪያውን ክፍል ውሎች ድምርን ካሰላን ግልጽ ነው ኤስ 1-19፣ ከሁለተኛው ክፍል ውሎች ድምር ጋር እንጨምር ኤስ 20-34, ከመጀመሪያው ቃል እስከ ሠላሳ አራተኛ ያለውን የእድገት ድምር እናገኛለን ኤስ 1-34. ልክ እንደዚህ:

ኤስ 1-19 + ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34

ከዚህ በመነሳት ድምርን እናገኛለን ኤስ 20-34ይችላል ቀላል መቀነስ

ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34 - ኤስ 1-19

በቀኝ በኩል ሁለቱም መጠኖች ግምት ውስጥ ይገባል ከመጀመሪያውአባል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ለእነሱ በጣም ተስማሚ መደበኛ ቀመርመጠኖች. እንጀምር?

ከችግር መግለጫው የእድገት መለኪያዎችን እናወጣለን-

መ = 1.5.

ሀ 1= -21,5.

የመጀመሪያዎቹን 19 እና የመጀመሪያዎቹ 34 ቃላት ድምርን ለማስላት 19 ኛ እና 34 ኛ ቃላት እንፈልጋለን። በችግር 2 ላይ እንደሚታየው ለ nኛው ቃል ቀመር በመጠቀም እናሰላቸዋለን፡-

ሀ 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

አ 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

የቀረ ነገር የለም። ከ 34 ቃላቶች ድምር የ 19 ቃላት ድምርን ቀንስ።

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

መልስ፡ 262.5

አንድ ጠቃሚ ማስታወሻ! ይህንን ችግር ለመፍታት በጣም ጠቃሚ ዘዴ አለ. በቀጥታ ስሌት ሳይሆን የሚያስፈልግህ (S 20-34)፣ቆጥረን ነበር የማያስፈልግ የሚመስል ነገር - S 1-19.ከዚያም ወሰኑ ኤስ 20-34, አላስፈላጊውን ከተሟላ ውጤት በማስወገድ. እንዲህ ዓይነቱ “በጆሮዎ ላይ መበላሸት” ብዙውን ጊዜ ከመጥፎ ችግሮች ያድንዎታል።)

በዚህ ትምህርት የሒሳብ እድገት ድምርን ትርጉም ለመረዳት በቂ የሆነባቸውን ችግሮች ተመልክተናል። ደህና፣ ሁለት ቀመሮችን ማወቅ አለብህ።)

ተግባራዊ ምክር:

የሂሳብ ግስጋሴ ድምርን የሚያካትት ማንኛውንም ችግር በሚፈታበት ጊዜ, ከዚህ ርዕስ ሁለቱን ዋና ቀመሮች ወዲያውኑ እንዲጽፉ እመክራለሁ.

ፎርሙላ ለ nኛው ቃል፡-

እነዚህ ቀመሮች ችግሩን ለመፍታት ምን መፈለግ እንዳለባቸው እና በምን አቅጣጫ እንደሚያስቡ ወዲያውኑ ይነግሩዎታል. ይረዳል።

እና አሁን ለገለልተኛ መፍትሄ ስራዎች.

5. ለሶስት የማይከፋፈሉት የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ድምር ያግኙ።

አሪፍ?) ፍንጭው በማስታወሻው ውስጥ ተደብቋል ወደ ችግር 4. ደህና, ችግር 3 ይረዳል.

6. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታው ይሰጣል-a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. የመጀመሪያዎቹን 24 ውሎች ድምር ያግኙ።

ያልተለመደ?) ይህ የድግግሞሽ ቀመር. በቀደመው ትምህርት ውስጥ ስለ እሱ ማንበብ ይችላሉ. አገናኙን ችላ አትበሉ, እንደዚህ አይነት ችግሮች ብዙውን ጊዜ በስቴት የሳይንስ አካዳሚ ውስጥ ይገኛሉ.

7. ቫስያ ለበዓል ገንዘብ አጠራቅማለች። እስከ 4550 ሩብልስ! እናም የምወደውን ሰው (ራሴን) ለጥቂት ቀናት ደስታን ለመስጠት ወሰንኩኝ. እራስዎን ምንም ነገር ሳትክዱ በሚያምር ሁኔታ ኑሩ። በመጀመሪያው ቀን 500 ሮቤል ያወጣል, እና በእያንዳንዱ ቀጣይ ቀን ከቀዳሚው 50 ሬብሎች የበለጠ ያሳልፋሉ! ገንዘቡ እስኪያልቅ ድረስ. ቫሳያ ስንት ቀናት የደስታ ቀን ነበረው?

አስቸጋሪ ነው?) ይረዳል? ተጨማሪ ቀመርከተግባር 2.

መልሶች (በተዘበራረቀ)፡ 7፣ 3240፣ 6።

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

የትምህርት ዓይነት፡ ስለ አዲስ ቁሳቁስ መማር።

የትምህርቱ ዓላማ፡ የሒሳብ ግስጋሴ ፅንሰ-ሀሳብን እንደ ቅደም ተከተሎች እንደ አንዱ መመስረት፣ ለ Nth ቃል ቀመር መፈጠር፣ የሂሳብ እድገት አባላትን የባህሪ ባህሪያት መተዋወቅ። ችግር ፈቺ.

የትምህርት ዓላማዎች፡-

• ትምህርታዊ- የሂሳብ እድገት ጽንሰ-ሀሳቦችን ማስተዋወቅ; n ኛ ቃል ቀመሮች; ባህሪይ ንብረት፣ የሂሳብ እድገቶች አባላት የያዙት።
• ልማታዊ- የማወዳደር ችሎታን ማዳበር የሂሳብ ጽንሰ-ሐሳቦችተመሳሳይነቶችን እና ልዩነቶችን ይፈልጉ ፣ የመመልከት ችሎታ ፣ ቅጦችን ያስተውሉ ፣ በአመሳሳዩ ምክንያት; የመገንባት እና የመተርጎም ችሎታን ማዳበር የሂሳብ ሞዴልአንዳንድ እውነተኛ ሁኔታ.
• ትምህርታዊ- በሂሳብ እና በመተግበሪያው ፣ በእንቅስቃሴው ላይ ፍላጎትን ማሳደግ ፣ የግንኙነት ችሎታዎችአስተያየቶቻችሁን በምክንያት ተሟገቱ።

መሳሪያዎች፡ ኮምፒውተር፣ መልቲሚዲያ ፕሮጀክተር፣ አቀራረብ (አባሪ 1)

የመማሪያ መጽሃፍት: አልጀብራ 9, ዩ.ኤን. ማካሪቼቭ, ኤንጂ ሚንዲዩክ, ኬ.ኤን. ኔሽኮቭ, ኤስ.ቢ. ሱቮሮቭ, በኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ, በሞስኮ የመማሪያ መጽሀፍቶች OJSC, 2010 ተስተካክሏል.

የትምህርት እቅድ፡-

1. የማደራጀት ጊዜ, የችግሩ መፈጠር
2. እውቀትን ማዘመን የቃል ሥራ
3. አዲስ ቁሳቁስ መማር
4. ዋና ማጠናከሪያ
5. ትምህርቱን በማጠቃለል
6. የቤት ስራ

ከቁሳቁሱ ጋር አብሮ ለመስራት ግልጽነት እና ቀላልነት ለመጨመር ትምህርቱ ከአቀራረብ ጋር አብሮ ይመጣል። ነገር ግን ይህ መስፈርት አይደለም እና የመልቲሚዲያ መሳሪያዎች ባልተሟሉ ክፍሎች ውስጥ ተመሳሳይ ትምህርት ሊሰጥ ይችላል. ለዚሁ ዓላማ, አስፈላጊውን መረጃ በቦርዱ ላይ ወይም በጠረጴዛዎች እና በፖስተሮች መልክ ማዘጋጀት ይቻላል.

በክፍሎቹ ወቅት

I. ድርጅታዊ ጊዜ, የችግር መግለጫ.

ሰላምታ.

የዛሬው ትምህርት ርዕስ የሂሳብ እድገት ነው። በዚህ ትምህርት ውስጥ የሂሳብ ግስጋሴ ምን እንደሆነ እንማራለን, ምን ዓይነት አጠቃላይ ቅርፅ እንዳለው, የሂሳብ እድገትን ከሌሎች ቅደም ተከተሎች እንዴት እንደሚለይ እና የሒሳብ እድገቶችን ባህሪያት የሚጠቀሙ ችግሮችን እንዴት እንደሚፈታ እንማራለን.

II. እውቀትን ማዘመን፣ የቃል ስራ።

ቅደም ተከተል () በቀመርው ተሰጥቷል: =. የዚህ ተከታታይ አባል 144 ከሆነ ምን ቁጥር አለው? 225? 100? ቁጥሮች የዚህ ተከታታይ አባላት 48 ናቸው? 49? 168?

ስለ ቅደም ተከተል () እንደሚታወቀው ይታወቃል, . ይህ ቅደም ተከተልን የመግለጽ ዘዴ ምን ይባላል? የዚህን ቅደም ተከተል የመጀመሪያዎቹን አራት ቃላት ያግኙ።

ስለ ቅደም ተከተል () እንደሚታወቀው ይታወቃል. ይህ ቅደም ተከተልን የመግለጽ ዘዴ ምን ይባላል? ከሆነ አግኝ?

III. አዲስ ቁሳቁስ መማር።

ግስጋሴ የብዛቶች ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ በቀድሞው ላይ የተወሰነ ጥገኛ ነው, ለጠቅላላው እድገት የተለመደ ነው. ቃሉ አሁን በአብዛኛው ጊዜ ያለፈበት እና በ "የሂሳብ እድገት" እና "ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ" ጥምረት ውስጥ ብቻ ይገኛል.

"ግስጋሴ" የሚለው ቃል የላቲን አመጣጥ ነው (ግስጋሴ ማለትም "ወደ ፊት መሄድ" ማለት ነው) እና በሮማዊው ደራሲ Boethius (6ኛው ክፍለ ዘመን) አስተዋወቀ። በሂሳብ ፣ ይህ ቃል ቀደም ሲል ይህ ቅደም ተከተል በአንድ አቅጣጫ ላልተወሰነ ጊዜ እንዲቀጥል በሚያስችለው ሕግ መሠረት የተገነቡትን የቁጥሮች ቅደም ተከተል ለማመልከት ጥቅም ላይ ውሏል። በአሁኑ ጊዜ "እድገት" የሚለው ቃል በመነሻው ሰፊ ትርጉሙ ጥቅም ላይ አልዋለም. ሁለት አስፈላጊ ልዩ የእድገት ዓይነቶች - ሒሳብ እና ጂኦሜትሪክ - ስማቸውን ይዘው ቆይተዋል።

የቁጥሮችን ቅደም ተከተል አስቡባቸው-

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

የመጀመሪያው ቅደም ተከተል ሦስተኛው ቃል ምንድን ነው? ቀጣይ አባል? የቀድሞ አባል? በሁለተኛው እና በመጀመሪያው ቃላት መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው? ሦስተኛው እና ሁለተኛው አባላት? አራተኛ እና ሦስተኛው?

ቅደም ተከተላቸው በተመሳሳዩ ህግ መሰረት ከተገነቡ, በመጀመሪያው ቅደም ተከተል በስድስተኛው እና በአምስተኛው ውሎች መካከል ያለው ልዩነት ምን ይሆናል? በሰባት እና በስድስት መካከል?

የእያንዳንዱን ቅደም ተከተል ቀጣዮቹን ሁለት ቃላት ይሰይሙ። ለምን አንዴዛ አሰብክ?

(የተማሪዎች መልሶች)

ምንድን የጋራ ንብረትእነዚህ ቅደም ተከተሎች አሏቸው? ይህንን ንብረት ይግለጹ።

(የተማሪዎች መልሶች)

የቁጥር ቅደም ተከተሎችይህ ንብረት መኖሩ የሂሳብ ግስጋሴዎች ይባላሉ። ትርጉሙን ራሳቸው ለማዘጋጀት ተማሪዎችን ይጋብዙ።

የሒሳብ ግስጋሴ ፍቺ፡- የሒሳብ ግስጋሴ ማለት እያንዳንዱ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ ወደ ተመሳሳይ ቁጥር ከተጨመረው ጋር እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው።

(- የሂሳብ እድገት ፣ ከሆነ ፣ የተወሰነ ቁጥር የት አለ።

ቁጥር መየሚቀጥለው አባል ከቀዳሚው ምን ያህል እንደሚለይ በማሳየት የእድገት ልዩነት ይባላል።

እንደገና ቅደም ተከተሎችን እንመልከታቸው እና ስለ ልዩነቶቹ እንነጋገር. እያንዳንዱ ቅደም ተከተል ምን ባህሪዎች አሉት እና ከምን ጋር ይዛመዳሉ?

በሂሳብ እድገት ውስጥ ያለው ልዩነት አዎንታዊ ከሆነ, እድገቱ እየጨመረ ነው: 2, 6, 10, 14, 18,:. (

በሂሳብ ግስጋሴ ውስጥ ልዩነቱ አሉታዊ ከሆነ (, ከዚያም እድገቱ እየቀነሰ ነው: 11, 8, 5, 2, -1,:.)

ልዩነቱ ዜሮ () ከሆነ እና ሁሉም የሂደቱ ቃላቶች ከተመሳሳይ ቁጥር ጋር እኩል ከሆኑ, ቅደም ተከተላቸው ቋሚ ይባላል: 5, 5, 5, 5,:.

የሂሳብ እድገትን እንዴት ማዘጋጀት ይቻላል? እስቲ የሚከተለውን ችግር እናስብ።

ተግባር በ 1 ኛው መጋዘን ውስጥ 50 ቶን የድንጋይ ከሰል ነበር. ለአንድ ወር በየቀኑ 3 ቶን የድንጋይ ከሰል ያለው መኪና ወደ መጋዘኑ ይደርሳል። በዚህ ጊዜ ውስጥ ከመጋዘን ውስጥ ምንም የድንጋይ ከሰል ካልበላ በ 30 ኛው ቀን በመጋዘን ውስጥ ምን ያህል የድንጋይ ከሰል ይኖራል.

በእያንዳንዱ ቁጥር ውስጥ ያለውን የድንጋይ ከሰል መጠን ከጻፍን, የሂሳብ እድገትን እናገኛለን. ይህንን ችግር እንዴት መፍታት ይቻላል? በወሩ ውስጥ በእያንዳንዱ ቀን የድንጋይ ከሰል መጠን በትክክል ማስላት አለቦት? ያለዚህ በሆነ መንገድ ማድረግ ይቻላል? በ 30 ኛው 29 የድንጋይ ከሰል ያላቸው መኪኖች ወደ መጋዘኑ እንደሚመጡ እናስተውላለን. ስለዚህ በ 30 ኛው ቀን በመጋዘን ውስጥ 50 + 329 = 137 ቶን የድንጋይ ከሰል ይኖራል.

ስለዚህ፣ የሂሳብ ግስጋሴውን የመጀመሪያ ቃል ብቻ እና ልዩነቱን በማወቅ፣ የትኛውንም ተከታታይ ቃል ማግኘት እንችላለን። ይህ ሁልጊዜ ነው?

እያንዳንዱ የቅደም ተከተል ቃል በመጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱ ላይ እንዴት እንደሚወሰን እንመርምር፡-

ስለዚህ, የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ቀመር አግኝተናል.

ምሳሌ 1. ቅደም ተከተል () የሂሳብ እድገት ነው። ከሆነ ይፈልጉ እና።

ፎርሙላውን ለኒኛ ቃል እንጠቀም ,

መልስ፡ 260.

የሚከተለውን ችግር አስቡበት፡-

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ቃላቶቹ ተሰርዘዋል፡ 3,:, 7,:, 13: የጠፉትን ቁጥሮች መመለስ ይቻላል?

ተማሪዎች በመጀመሪያ የሂደቱን ልዩነት ያሰላሉ እና ከዚያም ያልታወቁትን የሂደቱን ቃላት ያገኛሉ። ከዚያም በቅደም ተከተል, በቀድሞው እና በሚቀጥለው መካከል ባልታወቀ አባል መካከል ያለውን ግንኙነት እንዲፈልጉ መጠየቅ ይችላሉ.

መፍትሄ፡-በሂሳብ እድገት ውስጥ በአጎራባች ቃላት መካከል ያለው ልዩነት የማያቋርጥ የመሆኑን እውነታ እንጠቀም። የተፈለገውን ተከታታይ አባል ይሁኑ. ከዚያም

.

አስተያየት. ይህ ንብረትየሂሳብ ግስጋሴው የባህሪ ንብረቱ ነው። ይህ ማለት በማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ እያንዳንዱ ቃል ከሁለተኛው ጀምሮ፣ ከቀደምት እና ከተከታዮቹ የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው። . እና፣ በተቃራኒው፣ እያንዳንዱ ቃል፣ ከሁለተኛው ጀምሮ፣ ከቀደምት እና ተከታይ ከሆኑት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል የሆነበት ማንኛውም ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ነው።

IV. ዋና ማጠናከሪያ።

• ቁጥር ፭፻፶፯ አብ - በቃል
• ቁጥር 576 avd - በቃል
• ቁጥር 577 ለ - ራሱን ችሎ ከማረጋገጥ ጋር

ቅደም ተከተላቸው (የሂሳብ እድገት ነው። ካለ አግኝ እና

ፎርሙላውን ለኒኛ ቃል እንጠቀም፣

መልስ፡-24.2.

የሂሳብ እድገትን 23 ኛ እና n ኛ ቃላትን ይፈልጉ -8; -6.5; :

መፍትሄ፡-የሒሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃል -8 ነው። የሒሳብ ግስጋሴውን ልዩነት እንፈልግ፤ ይህንን ለማድረግ የቀደመውን ከቀጣዩ ተከታታይ ቃል መቀነስ አለብን፡ -6.5-(-8) = 1.5።

ፎርሙላውን ለኒኛ ቃል እንጠቀም።

በርዕሱ ላይ ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ: "የቁጥር ቅደም ተከተሎች. አርቲሜቲክ እድገት"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 9 ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሐፍት በመስመር ላይ መደብር ውስጥ የትምህርት መርጃዎች "Integral".
ማካሪቼቫ ዩ.ኤን. አሊሞቫ ሸ.ኤ. ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ. ሙራቪና ጂ.ኬ.

ስለዚህ የሂሳብ እድገት ምንድን ነው?

ከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የቀደመው እና የተወሰነ ቋሚ ቁጥር የሂሳብ እድገት ይባላል።

የሂሳብ ግስጋሴ በተደጋጋሚ የተገለጸ የቁጥር እድገት ነው።

ተደጋጋሚ ቅጹን እንፃፍ፡- $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$፣ ቁጥር d - የሂደት ልዩነት። a እና d የተወሰኑ የተሰጡ ቁጥሮች ናቸው።

ለምሳሌ. 1,4,7,10,13,16... የሂሳብ እድገት በ$a=1፣ d=3$።

ለምሳሌ. 3፣0፣-3፣-6፣-9... በ$a=3፣ d=-3$ የሂሳብ እድገት።

ለምሳሌ. 5፣5፣5፣5፣5... የሂሳብ እድገት በ$a=5፣ d=0$።

የሒሳብ ግስጋሴ የነጠላነት ባህሪያት አሉት፡ የሂደቱ ልዩነት ከዜሮ በላይ ከሆነ ቅደም ተከተል እየጨመረ ይሄዳል, የሂደቱ ልዩነት ከዜሮ ያነሰ ከሆነ, ቅደም ተከተል እየቀነሰ ይሄዳል.

የሒሳብ ግስጋሴ የተወሰነ ቁጥር ያለው ንጥረ ነገር ካለው፣ እድገቱ ውሱን የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል።

ቅደም ተከተል $a_(n)$ ከተሰጠ፣ እና እሱ የሂሳብ ግስጋሴ ከሆነ፡- $a_(1)፣ a_(2)፣ …፣ a_(n)፣ …$ን ማመላከት የተለመደ ነው።

ለ 1 ኛ ጊዜ የሂሳብ እድገት ቀመር

የሂሳብ እድገት በ ውስጥም ሊገለጽ ይችላል። የትንታኔ ቅጽ. ይህን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እንይ፡-
$a_(1)=a_(1)$
$a_(2)=a_(1)+d$።
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$።
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$።
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$።
ስርዓተ-ጥለትን በቀላሉ እናስተውላለን፡ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$።
የኛ ቀመር የ nth ቃል የሂሳብ እድገት ቀመር ይባላል።

ወደ ምሳሌዎቻችን እንመለስና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ቀመራችንን እንፃፍ።

ለምሳሌ. 1፣4፣7፣10፣13፣16... አርቲሜቲክ ግስጋሴ፣ በዚህ ውስጥ a=1፣ d=3። $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$።

ለምሳሌ. 3፣0፣-3፣-6፣-9... አርቲሜቲክ ግስጋሴ፣ ለዚህም a=3፣ d=-3። $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$።

ለምሳሌ. ከሒሳብ እድገት አንጻር፡ $a_(1)፣ a_(2)፣ …፣ a_(n)፣ …$።
ሀ) እንደሚታወቀው $a_(1)=5$፣$d=3$። $a_(23)$ ያግኙ።
ለ) እንደሚታወቀው $a_(1)=4$፣$d=5$፣$a_(n)=109$። ን ያግኙ.
ሐ) $d=-1$፣$a_(22)=15$ መሆኑ ይታወቃል። $a_(1)$ ያግኙ።
መ) እንደሚታወቀው $a_(1)=-3$፣ $a_(10)=24$። አግኝ መ.
መፍትሄ።
ሀ) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$።
ለ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$።
$5n=110=>n=22$።
ሐ) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$።
መ) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>መ=3$።

ለምሳሌ. የሒሳብ ዕድገት ዘጠነኛውን ቃል በሁለተኛው ቃል ሲካፈል ሒሳቡ 7 ይቀራል፣ ዘጠነኛውን ቃል በአምስተኛው ሲካፈል ሒሳቡ 2 ሲሆን ቀሪው 5 ነው። የሂደቱን ሠላሳኛው ቃል ይፈልጉ።
መፍትሄ።
የእድገታችንን ቀመሮች 2፣5 እና 9 ቅደም ተከተሎች እንፃፍ።
$a_(2)=a_(1)+d$።
$a_(5)=a_(1)+4d$።
$a_(9)=a_(1)+8d$።
እኛም ከሁኔታው እናውቃለን፡-
$a_(9)=7a_(2)$።
$a_(9)=2a_(5)+5$።
ወይም፡-
$a_(1)+8d=7(a_(1)+መ)$።
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4መ)+5$።
የእኩልታዎች ስርዓት እንፍጠር፡-
$\ጀማሪ(ጉዳይ)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\መጨረሻ(ጉዳይ)$።
$\ጀማሪ (ጉዳይ) d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\መጨረሻ(ጉዳይ)$።
ስርዓቱን ከፈታን በኋላ: $d=6, a_(1)=1$.
$a_(30)$ን እናገኝ።
$a_(30)=a_(1)+29d=175$።

የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ድምር

ውሱን የሆነ የሂሳብ እድገት ይኑረን። ጥያቄው የሚነሳው የሁሉንም አባላት ድምር ማስላት ይቻላል?
ይህንን ጉዳይ ለመረዳት እንሞክር.
የተወሰነ የሂሳብ እድገት ይስጥ፡$a_(1)፣a_(2)፣…a_(n-1)፣a_(n)$።
ለቃላቶቹ ድምር ማስታወሻውን እናስተዋውቀው፡ $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$።
እስቲ እንመልከት የተለየ ምሳሌ፣ ድምር ምንድነው?

የሒሳብ እድገት 1፣2፣3፣4፣5...100 ይሰጠን።
የአባላቱን ድምር እንደሚከተለው እናቅርብ።
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
ግን ተመሳሳይ ቀመር ለማንኛውም የሂሳብ እድገት ተግባራዊ ይሆናል፡
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$።
ቀመራችንን ወደ ውስጥ እንፃፍ አጠቃላይ ጉዳይ: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$፣ የት $k<1$.
የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምርን ለማስላት ቀመር እናውጣ፣ ቀመሩን በተለያየ ቅደም ተከተል ሁለት ጊዜ ጻፍ፡-
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$።
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$።
እነዚህን ቀመሮች አንድ ላይ እንጨምር፡-
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_) (n)+a_(1))$
በእኩልነታችን በቀኝ በኩል n ውሎች አሉ፣ እና እያንዳንዳቸው ከ$a_(1)+a_(n)$ ጋር እኩል መሆናቸውን እናውቃለን።
ከዚያም፡-
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n))))(2)$።
የእኛ ቀመር እንዲሁ በቅጹ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡ ከ$a_(n)=a_(1)+(n-1)d$፣ ጀምሮ
ከዚያ $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$።
ብዙውን ጊዜ ይህንን ልዩ ቀመር ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው, ስለዚህ እሱን ማስታወስ ጥሩ ነው!

ለምሳሌ. የተወሰነ የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል።
አግኝ፡
ሀ) $s_(22)፣ a_(1)=7 ከሆነ፣ d=2$።
b) d,$a_(1)=9$፣$s_(8)=144$ ከሆነ።
መፍትሄ።
ሀ) ሁለተኛውን ድምር ቀመር $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) እንጠቀም። *22 = 616 ዶላር
ለ) በዚህ ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያውን ቀመር $ S_(8)=\frac (8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$ እንጠቀማለን።
$144=36+4a_(8)$
$a_(8)=27$
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$።
$d=2\frac(4)(7)$

ለምሳሌ. ሁሉንም ያልተለመዱ ባለ ሁለት አሃዞች ድምር ያግኙ።
መፍትሄ።
የእድገታችን ውሎች፡- $a_(1)=11$፣ $a_(2)=13$፣ …፣ $a_(n)=99$ ናቸው።
የሂደቱን የመጨረሻ ቃል ቁጥር እንፈልግ፡-
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$።
$99=11+2(n-1)$
$n=45$
አሁን ድምርን እንፈልግ: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=$2475።

ለምሳሌ. ሰዎቹ በእግር ጉዞ ሄዱ። በመጀመሪያ ሰዓት 500 ሜትር በእግር መሄዳቸው የሚታወቅ ሲሆን ከዚያ በኋላ ከመጀመሪያው ሰዓት 25 ሜትር ያነሰ የእግር ጉዞ ማድረግ እንደጀመሩ ይታወቃል። 2975 ሜትር ለመሸፈን ምን ያህል ሰአት ይፈጅባቸዋል?
መፍትሄ።
በእያንዳንዱ ሰአት የተጓዘው መንገድ እንደ የሂሳብ እድገት ሊወከል ይችላል፡-
$a_(1)=500$፣ $a_(2)=475$፣ $a_(3)=450…$።
የሒሳብ ዕድገት ልዩነት $d=-25$ ነው።
በ 2975 ሜትር ውስጥ የተሸፈነው ርቀት የሒሳብ ግስጋሴ ውሎች ድምር ነው.
$S_(n)=2975$፣ በጉዞ ላይ የሚያጠፉት ሰዓቶች የት ነው።
ከዚያም፡-
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$፣ $n=2975$።
$1000n-25(n-1)n=$5950።
ሁለቱንም ጎኖች በ 25 ይከፋፍሏቸው.
$40n-(n-1) n=$238።
$n^2-41n+238=0$።
$n_(1)=7$፣ $n_(2)=34$።
$n=7$ን መምረጥ የበለጠ ምክንያታዊ እንደሆነ ግልጽ ነው።
መልስ። ሰዎቹ ለ 7 ሰዓታት በመንገድ ላይ ነበሩ.

የሒሳብ እድገት የባህሪ ባህሪ

ጓዶች፣ የሂሳብ ግስጋሴ ከተሰጠን፣ የዘፈቀደ ሶስት ተከታታይ የሂደቱን ቃላት እናስብ፡$a_(n-1)$፣ $a_(n)$፣ $a_(n+1)$።
ያንን እናውቃለን፡-
$a_(n-1)=a_(n)-d$።
$a_(n+1)=a_(n)+d$።
አባባሎቻችንን አንድ ላይ እናድርግ፡-
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$።
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$።

ግስጋሴው ውሱን ከሆነ፣ ይህ እኩልነት ከመጀመሪያው እና ከመጨረሻው በስተቀር ለሁሉም ውሎች ይቆያል።
ቅደም ተከተል ምን ዓይነት ቅርጽ እንዳለው አስቀድሞ ካልታወቀ ነገር ግን እንደሚታወቀው፡ $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$።
ከዚያ ይህ የሂሳብ እድገት ነው ብለን በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን።

የቁጥር ቅደም ተከተል የሒሳብ ግስጋሴ ሲሆን እያንዳንዱ የዚህ ግስጋሴ አባል ከሁለቱ ጎረቤት የእድገታችን አባላት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ሲሆን (ለተወሰነ እድገት ይህ ሁኔታ ለእድገቱ የመጀመሪያ እና የመጨረሻ አባል እንደማይረካ አይርሱ) .

ለምሳሌ. እንደ $3x+2$ x ፈልግ; $ x-1$; $4x+3$ - የሶስት ተከታታይ የሂሳብ እድገት ውሎች።
መፍትሄ። የእኛን ቀመር እንጠቀም፡-
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$።
$2x-2=7x+5$።
$-5x=7$
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$።
እንፈትሽ፣ አገላለጾቻችን ቅጹን ይወስዳሉ፡ -2,2; -2.4; -2.6.
በግልጽ እንደሚታየው እነዚህ የሂሳብ እድገት ውሎች እና $d=-0.2$ ናቸው።

በተናጥል ለመፍታት ችግሮች

1. የሃያ አንደኛውን የሒሳብ ግስጋሴ ቃል ያግኙ 38፤30፤22…
2. የአስራ አምስተኛውን የሒሳብ ሂደት ፈልግ 10፣21፣32...
3. እንደሚታወቀው $a_(1)=7$፣$d=8$። $a_(31)$ ያግኙ።
4. እንደሚታወቀው $a_(1)=8$፣$d=-2$፣$a_(n)=-54$። ን ያግኙ.
5. የመጀመሪያዎቹን አስራ ሰባት የአርቲሜቲክ ሂደቶች ድምርን ያግኙ 3;12;21….
6. x እንዲህ ያለውን $2x-1$ ፈልግ; $3x+1$; $5x-7$ - የሶስት ተከታታይ የሂሳብ እድገት ውሎች።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል \ (2\); (5\); (8\); \(አስራ አንድ\); \(14\)... የሂሳብ ግስጋሴ ነው፣ ምክንያቱም እያንዳንዱ ተከታይ አካል ከቀዳሚው አንድ በሦስት ስለሚለያይ (ከቀደመው አንድ ሶስት በመጨመር ማግኘት ይቻላል)።

በዚህ እድገት ውስጥ, ልዩነቱ \ (d \) አዎንታዊ ነው (ከ \(3\) ጋር እኩል ነው), እና ስለዚህ እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ከቀዳሚው ይበልጣል. እንደዚህ ያሉ እድገቶች ይባላሉ እየጨመረ ነው።.

ሆኖም፣ \(መ) አሉታዊ ቁጥርም ሊሆን ይችላል። ለምሳሌ, በሂሳብ እድገት \(16\); (10\); (4\); (-2\); \(-8\)...የእድገት ልዩነት \(መ) ከስድስት ሲቀነስ ጋር እኩል ነው።

እናም በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱ ቀጣይ አካል ከቀዳሚው ያነሰ ይሆናል. እነዚህ እድገቶች ይባላሉ እየቀነሰ ነው።.

አርቲሜቲክ እድገት ምልክት

ግስጋሴው በትንሽ የላቲን ፊደል ይገለጻል።

እድገትን የሚፈጥሩ ቁጥሮች ተጠርተዋል አባላት(ወይም ንጥረ ነገሮች)።

እንደ የሂሳብ ግስጋሴ በተመሳሳይ ፊደል ይገለጻሉ, ነገር ግን በቅደም ተከተል ከኤለመንት ቁጥር ጋር እኩል የሆነ የቁጥር መረጃ ጠቋሚ ጋር.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ ግስጋሴ \(a_n = \ ግራ \ ( 2; 5; 8; 11; 14 ... \ ቀኝ \) \) ንጥረ ነገሮችን ያካትታል \(a_1=2 \); \(a_2=5\); \(a_3=8\) እና ሌሎችም።

በሌላ አነጋገር፣ ለእድገት \(a_n = \ ግራ\(2; 5; 8; 11; 14…\ቀኝ\)\)

የሂሳብ እድገት ችግሮችን መፍታት

በመርህ ደረጃ፣ ከዚህ በላይ ያለው መረጃ ማንኛውንም የሂሳብ እድገት ችግር ለመፍታት በቂ ነው (በ OGE የቀረቡትን ጨምሮ)።

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል \(b_1=7; d=4\)። አግኝ \(b_5\)።
መፍትሄ፡-

መልስ፡- (b_5=23\)

ምሳሌ (OGE) የመጀመሪያዎቹ ሦስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተሰጥተዋል፡- \(62፤ 49፤ 36…\) የዚህን ግስጋሴ የመጀመሪያ አሉታዊ ቃል ዋጋ ያግኙ።
መፍትሄ፡-

	በቅደም ተከተል የመጀመሪያዎቹ አካላት ተሰጥቶናል እና እሱ የሂሳብ እድገት መሆኑን እናውቃለን። ያም ማለት እያንዳንዱ ንጥረ ነገር ከጎረቤቱ በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል. የቀደመውን ከቀጣዩ አካል በመቀነስ የትኛው እንደሆነ እንወቅ፡- \(d=49-62=-13\)።
	አሁን እድገታችንን ወደምንፈልገው (የመጀመሪያው አሉታዊ) አካል መመለስ እንችላለን።
	ዝግጁ። መልስ መጻፍ ትችላለህ.

መልስ፡- \(-3\)

ምሳሌ (OGE) በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ አካሎች ከተሰጠው፡- \(...5፤ x; 10፤ 12.5...
መፍትሄ፡-

	\(x\) ለማግኘት የሚቀጥለው አካል ከቀዳሚው ምን ያህል እንደሚለይ ማወቅ አለብን በሌላ አነጋገር የእድገት ልዩነት። ከሁለት የታወቁ ጎረቤት አካላት እናገኘው፡- \(d=12.5-10=2.5\)።
	እና አሁን የምንፈልገውን በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡ \(x=5+2.5=7.5\)።
	ዝግጁ። መልስ መጻፍ ትችላለህ.

መልስ፡- \(7,5\).

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሚከተሉት ሁኔታዎች ይገለጻል: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) የዚህን እድገት የመጀመሪያዎቹ ስድስት ውሎች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

	የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሂደቱን ውሎች ድምር ማግኘት አለብን። ግን ትርጉማቸውን አናውቅም፤ የተሰጠን የመጀመሪያው አካል ብቻ ነው። ስለዚህ በመጀመሪያ የተሰጠንን በመጠቀም እሴቶቹን አንድ በአንድ እናሰላለን፡- \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) እና የምንፈልጋቸውን ስድስት ንጥረ ነገሮች ካሰላን በኋላ ድምራቸውን እናገኛለን።
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	የሚፈለገው መጠን ተገኝቷል.

መልስ፡- \(S_6=9\)።

ምሳሌ (OGE) በሂሳብ እድገት \(a_(12)=23\); (ሀ_(16)=51\)። የዚህን እድገት ልዩነት ይፈልጉ.
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(መ=7\)።

ለሂሳብ እድገት አስፈላጊ ቀመሮች

እንደሚመለከቱት ፣ በሂሳብ ግስጋሴ ላይ ያሉ ብዙ ችግሮች ዋናውን ነገር በመረዳት በቀላሉ ሊፈቱ ይችላሉ - የሂሳብ ግስጋሴ የቁጥሮች ሰንሰለት ነው ፣ እና በዚህ ሰንሰለት ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር የሚገኘው ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ቁጥር በመጨመር ነው (እ.ኤ.አ. የሂደቱ ልዩነት)።

ሆኖም ግን, አንዳንድ ጊዜ "ራስ ላይ" ሲወስኑ በጣም የማይመች ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ በመጀመሪያው ምሳሌ አምስተኛውን አካል \(b_5\) ሳይሆን ሦስት መቶ ሰማንያ ስድስተኛውን \(b_(386)\) መፈለግ እንዳለብን አስብ። አራት \(385\) ጊዜ እንጨምር? ወይም በአስደናቂው ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያዎቹን ሰባ-ሦስት ንጥረ ነገሮች ድምር ማግኘት እንዳለቦት አስቡ። መቁጠር ሰልችቶሃል...

ስለዚህ, እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ ነገሮችን "በፊት" አይፈቱም, ነገር ግን ለሂሳብ እድገት የተገኙ ልዩ ቀመሮችን ይጠቀሙ. እና ዋናዎቹ የሂደቱ n ኛ ቃል ቀመር እና የ \(n\) የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር ናቸው።

የ \(n\) ኛ ቃል ቀመር፡ \(a_n=a_1+(n-1)d\)፣ \(a_1 \) የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል ሲሆን፤
\ (n\) - የሚፈለገው አካል ቁጥር;
\(a_n\) - የሂደቱ ቃል ከቁጥር \(n\) ጋር።

ይህ ቀመር የመጀመሪያውን እና የሂደቱን ልዩነት ብቻ በማወቅ ሶስት መቶ ወይም ሚሊዮናዊውን ንጥረ ነገር በፍጥነት እንድናገኝ ያስችለናል.

ለምሳሌ. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል: \(b_1=-159\); \(መ=8.2\)። አግኝ \(b_(246)\)።
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(b_(246)=1850\)።

ፎርሙላ ለመጀመሪያዎቹ n ውሎች ድምር፡- \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)፣ የት

\(a_n\) - የመጨረሻው ድምር ቃል;

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች \(a_n=3.4n-0.6\) ይገለጻል። የዚህን እድገት የመጀመሪያ \(25\) ውሎች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		የመጀመሪያዎቹን ሃያ አምስት ቃላት ድምርን ለማስላት የአንደኛውን እና የሃያ አምስተኛውን ቃላት ዋጋ ማወቅ አለብን። እድገታችን በ n ኛው ቃል ቀመር እንደ ቁጥሩ (ለተጨማሪ ዝርዝሮች, ይመልከቱ) ይሰጣል. የመጀመሪያውን ክፍል በ \(n\) በመተካት እናሰላው።
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		አሁን በ \(n\) ፈንታ ሃያ አምስትን በመተካት ሃያ አምስተኛውን ቃል እንፈልግ።
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ደህና, አሁን አስፈላጊውን መጠን በቀላሉ ማስላት እንችላለን.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		መልሱ ዝግጁ ነው።

መልስ፡- \(S_(25)=1090\)።

ለመጀመሪያዎቹ ቃላቶች ድምር \(n (\cdot 25 \ ) በ \(a_n \) ምትክ ቀመሩን ይተኩ \(a_n=a_1+(n-1)d\)። እናገኛለን፡-

የመጀመሪያ n ውሎች ድምር ቀመር፡ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)፣ የት

\(S_n\) - የሚፈለገው የ \(n\) የመጀመሪያ አካላት ድምር;
\(a_1 \) - የመጀመሪያው ድምር ቃል;
\ (መ) - የእድገት ልዩነት;
\ (n\) - በጠቅላላው የንጥረ ነገሮች ብዛት።

ለምሳሌ. የመጀመሪያውን \(33\) -የቀድሞ የሂሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምርን ያግኙ፡ \(17\); (15.5 \); (14)…
መፍትሄ፡-

መልስ፡- \(S_(33)=-231\)።

የበለጠ ውስብስብ የሂሳብ እድገት ችግሮች

አሁን ማንኛውንም የሂሳብ እድገት ችግር ለመፍታት የሚያስፈልግዎ መረጃ ሁሉ አለዎት። ቀመሮችን መተግበር ብቻ ሳይሆን ትንሽም አስብበት (በሂሳብ ይህ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል ☺) ችግሮችን በማጤን ርዕሱን እንጨርስ።

ምሳሌ (OGE) የእድገቱን ሁሉንም አሉታዊ ቃላት ድምርን ያግኙ: \ (-19.3 \); (-19\); (-18.7\)…
መፍትሄ፡-

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ተግባሩ ከቀዳሚው ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው። ተመሳሳይ ነገር መፍታት እንጀምራለን በመጀመሪያ \(d \) እናገኛለን.
\(መ=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		አሁን \(d \)ን ለመደመር ቀመር ውስጥ መተካት እፈልጋለሁ… እና እዚህ ትንሽ ንፅፅር ታየ - እኛ አናውቅም \(n \)። በሌላ አነጋገር፣ ምን ያህል ቃላቶች መጨመር እንዳለባቸው አናውቅም። እንዴት ለማወቅ? እናስብ። የመጀመሪያውን አወንታዊ አካል ስንደርስ አባሎችን መጨመር እናቆማለን። ያም ማለት የዚህን ንጥረ ነገር ቁጥር ማወቅ ያስፈልግዎታል. እንዴት? ማንኛውንም የሂሳብ ግስጋሴን ክፍል ለማስላት ቀመርን እንፃፍ፡- \(a_n=a_1+(n-1)d\) ለጉዳያችን።
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ከዜሮ በላይ ለመሆን \(a_n\) እንፈልጋለን። \(n\) ይህ ምን እንደሚሆን እንወቅ።
(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
((n-1) · 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		የእኩልነት ሁለቱንም ጎኖች በ \ (0.3 \) እንከፍላለን.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ምልክቶቹን መቀየር ሳንረሳ አንዱን ሲቀነስ እናስተላልፋለን።
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		እንቆጥረው...
(n>65,333…\)		እና የመጀመሪያው አወንታዊ አካል ቁጥር \(66\) ይኖረዋል። በዚህ መሠረት, የመጨረሻው አሉታዊ \(n=65\) አለው. እንደዚያ ከሆነ፣ ይህንን እንፈትሽ።
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) · 0.3=-0.1\) \(n=66፤\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) · 0.3=0.2\)		ስለዚህ የመጀመሪያዎቹን \(65\) ንጥረ ነገሮች መጨመር ያስፈልገናል.
\(S__(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\ (\cdot 65 \) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		መልሱ ዝግጁ ነው።

መልስ፡- \(S_(65)=-630.5\)።

ምሳሌ (OGE) የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይገለጻል: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)። ከ \(26\) ኛ እስከ \(42\) ኤለመንት አካታች ድምርን ያግኙ።
መፍትሄ፡-

\(a_1=-33፤\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	በዚህ ችግር ውስጥ የንጥረ ነገሮች ድምርን ማግኘት አለብዎት, ነገር ግን ከመጀመሪያው ሳይሆን ከ \(26\) ኛ ጀምሮ. ለእንደዚህ አይነት ጉዳይ ቀመር የለንም. እንዴት መወሰን እንደሚቻል? ቀላል ነው - ድምርን ከ \(26\) ኛ እስከ \(42\) ኛ ለማግኘት በመጀመሪያ ከ \(1\) ኛ እስከ \(42\) ኛ ድምርን መፈለግ እና ከዚያ መቀነስ አለብዎት ። ከእሱ ድምር ከመጀመሪያው እስከ \(25\) ኛ (ሥዕሉን ይመልከቱ)።
	ለእድገታችን \(a_1=-33\) እና ልዩነቱ \(d=4\) (ከሁሉም በኋላ ቀጣዩን ለማግኘት አራቱን ወደ ቀዳሚው አካል እንጨምራለን)። ይህንን በማወቅ የመጀመሪያዎቹን \(42\) -y ንጥረ ነገሮች ድምርን እናገኛለን።
(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	አሁን የመጀመሪያዎቹ \(25\) ንጥረ ነገሮች ድምር።
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	እና በመጨረሻም መልሱን እናሰላለን.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

መልስ፡- (S=1683)።

ለሂሳብ እድገት, ዝቅተኛ ተግባራዊ ጠቀሜታቸው ምክንያት በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያልተመለከትናቸው በርካታ ተጨማሪ ቀመሮች አሉ. ይሁን እንጂ በቀላሉ ልታገኛቸው ትችላለህ.