Для описания движения вертолета нужна система отсчета. Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения

Под мгновенной скоростью u понимают предел средней скоро­сти при стягивании интервала времени(Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю.) Dt в момент, в мгновение (при t = Dt ® 0), то есть u = lim DS/Dt = dS/dt = S¢ .

С формальной стороны мгновенная путевая скорость u = dS/dt представляет собой производную от пути по времени. В физике ее допускается трактовать как отношение элементарных (физически бесконечно малых) приращений пути dS и времени dt.

Мгновенная векторная скорость u понимается как предел отношения совершённого
телом перемещения Dr ко времени Dt его совершения, при условии, что Dt ® 0:

u = lim Dr /Dt = dr /dt = r ¢ - производная от радиус – вектора по времени , которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения dr и времени dt.

Так же, как и радиус – вектор r , мгновенная векторная скорость u может быть записана
через проекции на оси координат:

u = dr /dt = d/dt(i х + j у + k z) = i × dх/dt + j × dу/dt + k × dz/dt = i uх + j uу + k uz

Численное значение (модуль) скорости равно:

u = Ö(uх2 + uу2 + uz2). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элемен­тарного перемещения dr , направленного по вектору касательной t траектории в сторону перемещения тела :

u = dr /dt Þ u ­­ dr ; dr = lim Dr при Dt ® 0.

u = ut , где t - единичный вектор (ït ï = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.

Мгно­венная путевая скорость u = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости ïu ï = ïdr /dtï, так как при Dt ® 0 (при Dt = dt) длина дуги dS траекто­рии стремится к длине dr секущей.

Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной , называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости u по времени:

а = lim Du/Dt при Dt ® 0; а = du/dt = u¢ [а] = м/с2.

Т. к. вектор-скорость u = ut обладает как бы двумя степенями свободы - модулем u
и направлением (задаваемым вектором t ) , то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным (касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = du /dt = d/dt(ut ) = t (du/dt) + u×dt /dt = а t + а n, где а t = t (du/dt) - тангенциальное ускорение , численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению t , то есть по касательной к траектории в сторону
перемещения тела при (du/dt) > 0 и против t при (du/dt) < 0;

а n = u×dt /dt - нормальное ускорение , характеризующее быстроту изменения направления скорости .

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно u2/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке .

Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:

|а | = а = Ö(аt2 + аn2) = Ö[(du/dt)2 + u4/R2].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики , т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.

Кинематические уравнения движения (уравнения для скорости и радиус-вектора).

Для движения точки с постоянным ускорением

а = du /dt = const, ее скорость определится интегрированием соотношения du = а × dt:

òdu = òа × dt Þ u - u о = а t Þ u = u о + а t

Аналогично, зная скорость u = dr /dt, найдём радиус-вектор r , определяющий местоположение тела. Интегрируя соотношение dr = u dt, получим:

òdr = òu dt = ò(u о + а t)dt Þ r – r о = u оt + а t2/2 Þ r = r о + u оt + а t2/2

Кроме ускорения а , решение основной задачи механики, т. е. определение скорости u
и местонахождения r точки, требует знания начального сос­тояния движения точки, т. е. значений скорости u о и положения r о точки в начальный момент времени t = 0. Задача нахождения ускорения тела решается в следующем за кинематикой разделе механики - динамике.

На практике полученные векторные уравнения для скорости и радиус - век­тора используют обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат:х = хо + uохt + ахt2/2; у = уо + uоуt + ауt2/2; z = zо + uоzt + аzt2/2;

В прямолинейном одномерном движении можно записать следующие формулы для скорости и пути:

u = uо + аt и S = uоt + аt2/2, где путь S в однонаправленном движении равен модулю разности координат конечного и начального положений тела.

5,6. Абсолютно твердое тело. Виды движения абсолютно твердого тела. Кинематика вращательного движения . Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.

В тех ситуациях, когда размерами и формой движущегося тела нельзя пренебречь, его часто можно смоделировать твёрдым телом – совокупностью материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При этом про­извольное движение такого тела обычно может быть разложено на такие бо­лее простые, независимые движе­ния, как поступательное и вращательное.

Под поступательным движением твёрдого тела понимают такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся при его движении параллельной самой себе (Поступательным является, прежде всего, прямолинейное движение, а также и такие виды криволинейного движения, движение в кабине колеса обозрения...). Существенно, что при поступательном движении все точки тела дви­жутся

эквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями.

Поэтому механика поступательного дви­жения твёрдого тела в целом не содержит в себе принципиальных отличий от механики точки и по существу сводится к ней. В качестве некоторой выделенной точки твердого тела выбирают его центр масс, который еще называют центром инерции.

Иначе обстоит дело с вращательным движением. Простейший его вид - вращение вокруг неподвижной оси. В нем все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вра­ щения. Во вращательном движении разные точки тела (разно удалённые от оси вращения) за одно и тоже время Dt совершают разные линейные перемещения Dr и, соответственно, обла­дают разными линейными скоростями и ускорениями. Одинаковыми же для всех точек вращающегося вокруг оси тела будут не линейные, а угловые кинема­тические характеристики (скорости и пути, перемещения). Они и будут адекватными (и удобными) характеристиками вращательного движения тела в целом. Вращающееся вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы. Линейное перемещение D r (или dr) пропорционально расстоянию R до оси вращения. Угло­вое же перемещение Dj (или dj), равное линейному Dr, делённому на радиус R соответствующей окружности, то есть dj = dr/R, не зависит от R.

Соответственно и быстрота w = dj/dt [рад/с = с-1] углового перемещения (или изменения утла поворота j), называемая угловой скоростью , и быстрота её изменения e = dw/dt [рад/с2 = с-2], называемая угловым ускорением , не зависят от радиуса окружности, то есть являются оди­наковыми для всех точек вращающегося тела.

Линейные и угловые характеристики точки, вращающейся по окружности радиуса R взаи­мосвязаны следующим образом:

w= dj/dt = (dr/R)/dt = u/R; Þ u = wR.

e = dw/dt = d/dt(u/R) = (1/R)du/dt = аt/R Þ аt = eR

аn = u2/R = (wR)2/R = w2R;

а = Ö(аt2 + аn2) = Ö(e2R2 + w4R2) = [Ö(e2 + w4)]/R.

Так как dr = Rdj = rsin q×dj, то в векторной форме dr = . Поделив полученное равенство на dt, получим: dr /dt = u = = [w , r ] Þ u = [w , r ].

а = du /dt = d/dt[w , r ] = + [w , dr /dt] = [e , r ] + [w , u ] = а t + [w , [w , r ]] = а t + а n, где

а t = [e , r ] и а n = [w , [w , r ]] = - w2R .

Направление векторов dj и w определяется правилом правого винта (буравчика), совпа­дая с его поступательным перемещением при вращении рукояти в направ­лении вращения тела.
Угловое же ускорение e = dw /dt совпадает, по направ­лению с элементарным приращением dw угловой скорости: e ­­dw . Оно, таким образом, направ­лено по направлению w при ускоренном
(dw/dt > 0) вращении и против направ­ления w при замедленном (dw/dt < 0) вращении.

Векторный характер w и e позволяет характеризовать с их помощью не только быстроту вращения, но и ориентацию оси вращения в пространстве, и направление вращения.

Так же, как и для линейных, для угловых кинематических характеристик справедливы аналогичные уравнения для скорости и перемещения во враще­нии с постоянным ускорением:
w = wо ± et и j = jо + wоt ± et2/2 , где знак ²плюс ² - для ускоренного вращения, а ²минус² - для замедленного вращения.

Также как и в поступательном движении, для решения основной задачи механики вращательного движения (определе­ния угловой скорости и положения в любой момент времени) необходимо знать начальное состояние движения (характеристики jо и wо), а также угловое ускорение e. Задача определения ускорения движущегося тела ре­шается в следующем за кинематикой разделе механики, называемом динамикой. В практических задачах на анализ вращательного движения часто исполь­зуют такие
характеристика, как число оборотов N, связанное с угловым путем j очевидным соотношением
N = j/2p, и частота вращения n = dN/dt или для равномерного вращения n = N/t:

n = (dj/dt)/2p = w/2p Þ w = 2pn; j = 2pN.

Время одного оборота Т = 1/n называется периодом вращения:w = 2p/Т или Т = 2p/w.

7,8,9.Динамика материальной точки. Масса. Сила. Импульс(количество движения).Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона , утвер­ждает, что свободно движущееся тело, т. е. тело, на которое не действуют другие тела (или действие их взаимно скомпенсировано), относительно некоторых систем отсчета движется с неиз­менной скоростью (иногда говорят - движется по инерции). Первый закон Ньютона выделяет определенный класс систем отсчета , называемых инерциальными , в которых движение свободного тела имеет наиболее простой вид (происходит равномерно и прямолинейно , в частном случае – покоится),
и в которых только и верна механика Ньютона. Иногда его и формулируют в виде утверждения
о сущест­вовании инерциальных систем отсчёта (ИСО) . Если известна хотя бы одна ИСО, то все ИСО, движущиеся относительно неё с постоянной скоростью, также будут инерциальными.

Обычно в качестве ИСО выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй - геоцентрическую систему отсчёта. Её инерциальность приближенная, нарушаемая суточным вращением Земли вокруг своей оси. Большей степенью инерциальности обладает гелиоцентрическая СО, связываемая с Солнцем. На практике же, достаточной долей инерциальности обладает лабораторная система отсчета, связываемая с конкретным телом на Земле.

Согласно принципу относительности Галилея , все ИСО являются равноправными в отображении механических явлений, то есть все законы механики во всех ИСО имеют одинаковый вид и никакими механическими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя обнаружить движется она или покоится.

В ИСО все наблюдаемое ускорение тела объясняется воздействием на него со стороны конкретных, окружающих его тел. В качестве меры этого воздейст­вия, вызывающего ускорения тел в ИСО , в механике Ньютона выбирается величина, называемая силой F . Сила F является векторной функцией положения и/или скорости тела относи­тельно ИСО, то есть F = F (r , u ), и она прямо пропорциональна сообщаемому ею ускорению а тела:F (r , u ) ~ а или а ~ F

Если на тело действует несколько сил, их можно заменить геометрической результирующей F S = SF i - принцип суперпозиции сил (независимого наложения, сложения) сил.

Одна и та же сила сообщает разным телам разные ускорения. Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от внешних воздействий, но и от внутрен­них свойств тела, мерой которых в механике Ньютона выбрана величина, названная массой (Под массой тела Ньютон понимал величину, пропорциональную его плотности и объему, то есть: m = ρV.) m тела. Очевидно, что более массивные тела, обладающие большей массой, должны приобретать меньшие ускорения при одинаковых воздействиях (силах).

В результате можно связать ускорение с силой и массой в следующем виде: а = F S /m и утверждать, что ускорение а, приобретаемое точечным телом в ИСО прямо пропорционально действующей на него (или, как ещё говорят - приложенной к нему) результирующей силе F S и обратно пропорцио­нально массе m тела. Это утверждение и представляет собой основной закон динамики материальной точки (и поступательного движения твёрдого тела) - второй закон Ньютона .

В механике Ньютона имеет место однозначная линейная взаимосвязь между мерами движения и взаимодействия , порождающая однозначную причинность и предсказуемость движения, называемую еще лапласовским или механистическим детерминизмом .

Такая динамическая характеристика тела, как его масса , выступает, мерой его инертности, неподатливости к изме­нению скорости, к изменению состояния движения. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при воздействии одной и той же силы, т. е. тем медленнее изменяется его скорость. Инертность и выража­ет собой невозможность мгновенного изменения скорости тела, растяну­тость этого изменения во времени, т. е. замедленность изменения скорости тела . Измерение массы как меры инертности тела может быть осуществлено путём измерения и сравнения приобретаемых разными телами ускорений при воздействии на них одной и той же силы . Выбрав одно из тел за эталон массы, можно через его массу выразить массы других тел. Единица массы - килограмм (кг) является основной в СИ. Масса является аддитивной характеристикой тела, т. е. масса mS совокупности тел, частиц равна сумме масс этих тел (частиц) по отдельности: mS = Smi.

Сила, как векторная мера взаимодействия тел, измеряется производи­мым ею эффектом, численно равным произведению массы тела на его ускорение: F = mа.
Единица силы в СИ - ньютон - сила, сообщающая телу массой в 1 кг ускорение в 1 м/с2.

При решении конкретных задач динамики 2-ой закон Ньютона записывают обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат соответствующей ИСО:

ах = Fх/m mах = Fх

а = F /m Þ ау = Fу/m или mау = Fу

аz = Fz/m mаz = Fz

При этом предполагается справедливость принципа суперпозиции (независимости действия и векторного характера сложения) сил , согласно которому результирующее ускорение, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых телу действующими на него силами по отдельности.

2-ой закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение а тела массой m, если известен
характер действующих на него сил, то есть их зависимость от координат и скорости.
В зависимости от характера этой зависимости различают ряд следующих видов сил:

- сила тяжести

F = mg - направлена вертикально вниз и, так как она прямо пропорциональна массе тела, сообщает всем телам одинаковое ускорение g » 9,8 м/с2 (ускорение свободного падения); масса m здесь уже не инертная, а тяжелая - мера силы тяжести.

- сила гравитационного взаимодействия

Fгр = G×m1m2/r2 - опре­деляет притяжение двух тел
с массами m1 и m2, разделённых расстоя­нием r. Коэффициент G = 6,67×10-11 Н×м2/кг2 – называется гравитационной постоянной. Масса здесь также тяжелая, выступающая в роли гравитационного заряда (двоякий смысл массы - мера инертности и мера гравитации).

- сила упругости

F у = - kх , где х – вектор линейной деформации упругого тела (вектор приращения длины относительно ее недеформированного, равновесного значе­ния), а k - коэффициент упругости или в применении к пружине - жёст­кость пружины.

- сила вязкого сопротивления

F = - r×u , где u - скорость тела в вязкой среде, r - коэффициент сопротивления среды (обычно жидкой или газо­образной).

Кроме названных выше сил большое значение в решении задач механики имеют такие силы, как вес тела и сила трения, которые не имеют явного выражения через коорди­наты или скорости:

- весом тела Р называют силу, с которой тело действует на подвес или опору;

- силой трения скольжения Fтр называют силу, прямо пропорциональную силе Fнд нормального давления (Обычно ее заменяют на численно равную ей силу N реакции опоры, то есть Fтр = μN.), т. е. составляющей веса тела, нормальной к поверхности опоры: Fтр = mFнд, где m - коэффициент трения скольжения тела о поверхность. Сила трения скольжения направлена против перемещения тела и является составляющей силы реакции опоры.

Исторически исходной (ньютоновской) формулировкой 2 - го закона Ньютона была следующая: F = dР /dt, где Р = mu - импульс тела . Эта форма записи второго закона Ньютона является более общей, сводящейся к известной ранее F = mа при условии независимости массы m тела от скорости u его движения. F = dР /dt = d(mu )/dt = m×du /dt = mа .

Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек в инерциальной системе отсчета: равны по модулю;
противоположны по направлению; и действуют вдоль прямой, соединяющей точки

F 12 = - F 21

F 12 - сила, действующая на первое тело со стороны второго тела; F 21 - сила, действующая на второе тело со стороны первого тела. Этот закон вместе с первыми двумя законами Ньютона, позволяет осуществить переход от динамики точки к динамике системы точек.

10. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим простейшую замкнутую (Замкнутой называют такую систему тел, на которую не действуют внешние тела (силы), и тела которой взаимодействуют лишь между собой, посредством сил, называемых внутренними.) систему из двух материальных точек. Исходя из смысла силы как быстроты изменения импульса, третий закон Ньютона можно записать в виде:

dР1 /dt = - dР2 /dt Þ dР1 = - dР2 Þ d(Р 1 + Р 2) = 0 Þ Р 1 + Р 2 = const

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса (ЗСИ) замкнутой системы из двух материальных точек, т. е. точек, взаимодействующих лишь между собой. Общий (суммарный, результирующий) импульс двух тел остается при их движении постоянным, и может при их движении лишь перераспределяться между ними .

Движение может лишь передаваться от одних тел к другим, так что общее его количество в замкнутой системе тел остается неизменным, то есть сохраняется. Полученный выше для двух точек закон сохранения импульса легко обобщается на замк­нутую систему из произвольного числа N материальных точек, и его можно сформулировать так: при любом движении замкнутой системы материальных точек полный её импульс остаётся неизменным : SР i = const; внутри системы воз­можны лишь перераспределения импульса между отдельными точками .

Рассмотрим систему из n материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для i - ой точки: dР i /dt = F i. Результирующую силу F i, действующую на i - ую точку системы представим в виде суммы внешних и внутренних сил: F i = F i внеш + SF ik, где F ik – внутренняя сила, дейст­вующая на i - ую точку системы со стороны ее k – ой точки. Полученное равенство dР i /dt = F i внеш + SF ik, выражающее второй закон Ньютона для i - ой точки системы, просуммируем по всем ее n точкам: SdР i /dt = SF i внеш + SSF ik. По третьему закону Ньютона силы воздействия i - ой и k – ой точек друг на друга равны по величине и противоположны по направлению, то есть F ik = - F ki. Поэтому при суммировании внутренних сил по всем точкам системы они взаимно скомпенсируют друга, так что SSF ik = 0. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек запишется в виде: SdР i /dt = d/dtSР i = dР S/dt = SF i внеш = F S внеш. Или окончательно dР S/dt = F S внеш

Если система замкнута, то есть результирующая действующих на нее внешних сил равная нулю: F S внеш = 0, то dР S/dt = 0, откуда следует Р S = SР i = const – закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.

Сохране­ние импульса - величины векторной - означает сохранение и любой его состав­ляющей, проекции на любую ось, любое направление в пространстве. В конкретных задачах
динамики векторный закон сохранения импульса за­писывают в скалярной форме, проецируя его на соответствующие направления.

Закон сохранения импульса является эффективным средством, методом реше­ния основ­ной задачи механики (ОЗМ), т. к. он выражает собой взаимосвязь мер (коли­честв) движения взаимодействующих тел. Особенно плодотворным его применение оказывается для кратковре­менных взаимодействий типа удара, взрыва-разрыва, выброса тел, где труд­но задать характер сил, то есть использовать под­ход к решению ОЗМ с непосредственным использованием законов Ньютона. Зная, например, импульсы Р 1 и Р 2 двух тел до удара и импульс Р i¢ одного из тел после удара, можно, пользуясь законом сохранения импульса, рассчитать импульс другого тела после удара.

11. Система материальных точек. Центр масс. Движение центра масс замкнутой системы.

При поступательном движении системы материальных точек /твёрдого тела/ все точки системы движутся с одинаковыми мгновенными линейными скоростями и ускорениями,
и движение всей системы /тела/ эквивалентно движению любой её точки. Обычно в качестве точки, моделирующей движе­ние всей системы, выбирается точка С, называемая центром масс системы. Она задаётся радиусом - вектором r С, определяемым через радиус - векторы r i материальных точек системы, об­ладающих массами mi, следующим выражением:

r С = Smir i/М, где М = Smi - полная масса системы из N точек.

Скорость u с движения центра масс равна:

u с = dr С/dt = d/dt(Smidr i /М) = Smiu i/М = Р С/М,

где Р С = Smiu i - полный импульс системы.

Закон изменения скорости центра масс системы (или уравнение движения центра масс) - естественное обобщение основ­ного уравнения динамики точки на систему частиц, твёрдое тело:

а с = du с /dt = (1/М)×dР С/dt = F S внеш/М –

- центр масс механической системы движется как материа­льная точка, масса которой равна массе М системы, под действием результирующей F S внеш внешних сил, приложенных к системе . Эта теорема о движении центра масс показывает, что при поступательном движении твердого тела можно не учитывать его размеры и форму, т. к. все его точки движутся идентично. Если результирующая внешних сил равна нулю: F S внеш=0, то центр масс системы точек движется с постоянной скоростью, сохраняя состояние своего движения, в частном случае – покоя. Внутренние взаимодействия не меняют положения центра масс; это утверждение часто используется при решении задач механики замкнутой системы тел

13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики вращательного движения.

Различают два основных вида вращательного движения твердого тела:

1) вращение вокруг неподвижной точки О , при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О ;

2) вращение вокруг неподвижной оси Z; здесь все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения Z .

Угловые характеристики : путь j, скорость w = dj /dt и ускорение e = dw /dt.

Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М , а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки mi относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L i , называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r i материальной точки на ее импульс р i = miu i: L i = [r i, р i]

Вектор L i направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L i поворот вектора r i к вектору р i виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L i, составляющих систему (тело) точек: L = SL i = S[r i, р i]

Тема урока. Механическое движение и его виды. Основная задача механики и способы её решения в кинематике. Физическое тело и материальная точка. Система отсчета. Траектория движения. Путь и перемещение. Относительность механического движения.

Цель: ввести понятие механического движения, ознакомить учеников с основными пон ятиями, которые характеризуют механическое движение, дать представление об относительности механического движения.

Тип урока: комбинированный урок.

^ Оборудование и наглядные пособия: тележка, маятник, фотографии траектории движения самолета, след ов на снегу и т. п.

Демонстрации: демонстрации движения разных тел, исследования относительности движения, компьютерное моделирование (движение материальной точки), фотографии траектории движения самолета, следов на снеге и т. п.

^ ХОД УРОКА

I. Организационный этап

II. Актуализация опорных знаний и умений

• 
  Приведите примеры тел, которые двигаются, и неподвижных тел.
• 
  Чем тела, которые двигаются, отличаются от тел неподвижных?

План изучения новой темы

• 
  Определение механики.
• 
  Механическое движение.
• 
  Виды движения.
• 
  Основная задача механики.
• 
  Относительность механического движения.
• 
  Тело отсчета.
• 
  Системы координат.
• 
  Система отсчета.
• 
  Векторные и скалярные величины.
• 
  Траектория.
• 
  Путь.
• 
  Перемещение.
• 
  Материальная точка.

Механическое движение - это изменение в пространстве с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

^ Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени.

Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчёта . Оно считается неподвижным (для данной задачи).

^ Положение тела в пространстве описывается с помощью системы координат. Реальное пространство трёхмерно, и положение материальной точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами - её координатами в выбранной системе отсчета.

Как правило, используют прямоугольную, или декартову, систему координат 1 . Для описания движения точки, кроме тела отсчёта и системы координат, необходимо ещё иметь часы – устройство, с помощью которого можно измерять различные отрезки времени.

Тело отсчёта, система координат и связанные с ней часы образуют систему отсчета.

Рисунок 2

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является матери­альная точка - тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче мож­но пренебречь. Понятие материальной точ­ки - абстрактное, но его введение облег­чает решение практических задач. Напри­мер, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за мате­риальные точки.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изме­нять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель - абсолютно твердое тело. Абсолютно твер­дым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформиро­ваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается по­стоянным.

^ Физическая величина – это характеристика, которая является общей для нескольких материальных объектов или явлений в качественном отношении, но может принимать индивидуальные значения для каждого из них.

Измерить физическую величину – значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу.

Примеры физических величин – путь, время, масса, плотность, сила, температура, давление, напряжение, освещённость и т.п.

^ Физические величины бывают скалярные и векторные. Скалярные физические величины характеризуются только численным значением, тогда как векторные определяются и числом (модулем), и направлением. Скалярными физическими величинами являются время, температура, масса, векторны­ми - скорость, ускорение, сила.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

^ Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t . Путь – скалярная величина.

Рисунок 3

Радиус-вектор точки М – направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчёта О с точкой М. (Рис.3)

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Рисунок 4

Определение положения точки с помощью координат x = x (t ), y = y (t ) и z = z (t ) и радиус-вектора. – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Рисунок 5.

Пройденный путь и вектор перемещения при криволинейном движении тела. a и b – начальная и конечная точки пути

^ IV. Закрепления новых знаний и умений

• 
  Человек едет в трамвае. Назовите тела, относительно которых человек находится в состоянии покоя, а относительно которых - двигается.
• 
  Зависит ли форма траектории от выбора тела отсчета? Проиллюстрируйте ответ примерами.
• 
  Приведите примеры ситуаций, в которых тело можно считать материаль­ной точкой.

• 
  Спортсмен проплывает водную дорожку в бассейне 2 раза. Найдите путь и перемещение спортсмена, если длина дорожки в бассейне равна 50 м.
• 
  Эскалатор поднимает неподвижного пассажира за 1 минуту. Если эска­латор неподвижный, то пассажир поднимается за 3 минуты. За какое время пассажир поднимается по эскалатору, который двигается вверх?

1. 
   Подведение итогов урока
2. 
   Домашнее задание

• 
  Задание по учебнику. Выучить §
• 
  Задание по задачнику. Решить №
• 
  Дополнительное задание. Начертите траекторию движения точки обода колеса автомобиля относительно водителя и относительно человека, который стоит около дороги.

1 Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил

Механическое движение всегда относительно , поскольку положение тела в пространстве можно определить только по отношениюк какому-либо другому телу, которое можно рассматривать в качестве тела отсчета . С телом отсчета жестко связывают систему координат, позволяющую определить координаты тела в различные моменты времени. Тело отсчета вместе с системой координат называют системой отсчета . Механическое движение всегда наблюдают (рассматривают) в той или иной системе отсчета, при этом одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета.

Тело отсчета - произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Система отсчета - совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

Наиболее употребительная система координат - прямоугольная (декартовая), т. е. ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами , проведенными из начала координат.

Тогда положение точки в пространстве можно описать двумя способами:

1) векторным, т. е. задать радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в данный момент времени находится материальная точка;

2) координатным ‑ задать три координаты: x, y, z (рис. 1).

Положение точки А характеризуется радиус-вектором

где – единичные векторы (орты), совпадающие с положительными направлениями соответствующих осей; – проекции радиус-вектора и одновременно координаты материальной точки.

Модуль радиус-вектора определяется выражением

Движение материальной точки полностью определено, если декартовы координаты материальной точки заданы как функции времени:

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки . Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки:

Вектор перемещения - вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени). Тогда вектор перемещения материальной точки из точки A в точку B определяется формулой (рис. 2)

Модуль вектора перемещения

Линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией . Уравнение траектории можно получить, исключив параметр t из кинематических уравнений. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Длиной пути точки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времени . Длина пути является скалярной функцией времени. Величины и совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В пределе Δt →0 длина пути по хорде ΔS и длина хорды будут все меньше отличаться от пути, поэтому: .

Скорость

Скорость - это векторнаявеличина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости(перемещения) за интервал времени Δt называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt

Направлениевектора средней скорости совпадает с направлением . Единица скорости - м/с.

Средней (путевой) скоростью называется отношение пройденного точкой пути к времени движения

.

Средняя путевая скорость является скаляром.

Мгновенная скорость - это векторная величина, равная первой производной по времени от радиуса-вектора рассматриваемой точки:

где – проекции вектора мгновенной скорости на оси , , , соответственно. Данная скорость является основной физической величиной, определяющей характер и направление движения.

Модуль вектора мгновенной скорости

.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательнойк траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости (скалярнаявеличина) равен первой производной пути по времени.

Из этой формулы получается важное следствие: .

Длина пути S , пройденного точкой за промежуток времени от t 1 до t 2 , задается интегралом: /

При прямолинейном движении точки направление вектора скорости сохраняется неизменным. Движение точки называется равномерным , если модуль ее скорости не изменяется с течением времени (v = const), для него

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным , если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным .

Ускорение

Ускорение - это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение в интервале времени Δt - векторная величина, равная отношению изменения скорости Δυ к интервалу времени Δt :

Мгновенным ускорением материальной точки называется векторная величина, определяемая следующим выражением:

где – проекции ускорения на оси , , , соответственно.

Единица ускорения - м/с 2 .

Модуль вектора мгновенного ускорения

Легко показать, что мгновенное ускорение является второй производной от радиус-вектора

В общем случае вектор мгновенного ускорения тоже может быть функцией времени , тогда вводятся в рассмотрение производные по времени более высокого порядка, например

Поскольку во многих случаях направление вектора ускорения заранее неизвестно, вектор ускорения удобно представить в виде векторной суммы

В этом случае вектор мгновенного ускорения называют полным ускорением. Тогда называется нормальным (центростремительным) ускорением и определяется следующим образом:

где – радиус кривизны траектории в данной точке, численно равный радиусу окружности, которая сливается с траекторией на бесконечно малом ее участке; – единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны.

Модуль вектора нормального ускорения

Нормальное ускорение направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.

Второе слагаемое полного ускорения называется тангенциальным ускорением

где – единичный вектор, связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории по вектору скорости .

Модуль вектора тангенциального ускорения

Тангенциальноеускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис. 4). Вектор тангенциального ускорения может быть как сонаправлен с вектором мгновенной скорости (равноускоренное движение), так и противоположен ей (равнозамедленное движение). Очевидно, если – движение ускоренное; – движение замедленное.

Модуль вектора полного ускорения при криволинейном движении

Покажем как величина нормального ускорения связана со скоростью υ движения по кругу и величиной радиуса R (рис. 5, а и б).

Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени Δt (рис. 5,а). Перенесем вектор υ 2 параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по модулю вектору υ 1 , получим точку 3 (рис. б ). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух векторов . При Δt→ 0 углы α и β стремятся соответственно к 0° и 90°, поэтому вектор , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор будет перпендикулярен к . Следовательно,

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 5, а ) при малых Δt→ dt будут равны dl 1,2 = dS 1,2 = v dt . Из подобия треугольников Δ10 2 (рис. 1.3а ) и Δ1v 1 3 (рис. 5, б ) следует

Радиус кривизны траектории представляет собой радиус окружности, которая совпадает с ней на данном участке траектории на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки кривой. Если элемент участка траектории равен DS , то радиус кривизны траектории в данной точке определяют выражением:

где ‑ угол, в пределах которого заключен участок траектории DS . При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует, так как при этом радиус кривизны R ®¥. Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной :

Рис. 6. Примеры различных радиусов кривизны траектории

Основной задачей кинематики является определение состояния материальной точки (ее радиус-вектора и скорости в произвольный момент времени t ). Для этого необходимо, задать, во-первых, начальные условия – радиус-вектор и скорость в начальный момент времени t = t 0 и, во-вторых, зависимость ускорения от времени t. Тогда, используя понятия интеграла, для и можно записать следующие выражения:

, , .