B11 . По графикам зависимости координаты тел от времени (рис. 1) определите для каждого тела:

а) начальную координату;

б) координату через 4 с;

в) проекцию скорости;

г) уравнение координаты (уравнение движения);

д) когда координата будет равна 20 м?

Решение

а) Определите для каждого тела начальную координату.

Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с осью 0х (на рис. 2 а эти точки выделены):

x 01 = 30 м; x 02 = 10 м; x 03 = –10 м.

б) Определите для каждого тела координату через 4 с.

Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенным к оси 0t в точке t = 4 с (на рис. 2 б эти точки выделены): x 1 (4 с) = 0; x 2 (4 с) = 10 м; x 3 (4 с) ≈ 20 м.

Аналитический способ . Составьте уравнение движения и по нему определить значение координаты при t = 4 с (см. пункт г).

в) Определите для каждого тела проекцию скорости.

Графический способ . Проекция скорости \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2-t_1}\) , где α – угол наклона графика к оси 0t ; Δt = t 2 – t 1 – произвольный промежуток времени; Δυ = υ 2 – υ 1 – промежуток скоростей, соответствующий промежутку времени Δt = t 2 – t 1 .

Для графика 1: пусть t 2 = 4 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 0, x 1 = 30 м и υ 1x = (0 - 30 м)/(4 с - 0) = –7,5 м/с (рис. 3 а).

Для графика 2: пусть t 2 = 6 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 10 м, x 1 = 10 м и υ 2x = (10 м - 10 м)/(6 с - 0) = 0 (рис. 3 б).

Для графика 3: пусть t 2 = 5 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 30 м, x 1 = –10 м и υ 3x = (30 - (-10 м))/(5 с - 0) = 8 м/с (рис. 3 в).

Аналитический способ . Запишем уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде x = x 0 + υ x ·t . Используя значения начальной координаты (см. пункт а) и координаты при t = 4 с (см. пункт б), найдем значение проекции скорости\[~\upsilon_x = \frac{x - x_0}{t}\] .

г) Определите для каждого тела уравнение координаты.

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде "x = x 0 + υ x · t.

Для графика 1: т.к. x 01 = 30 м, υ 1x = –7,5 м/с, то x 1 = 30 – 7,5t . Проверим пункт б: x 1 (4 с) = 30 – 7,5·4 = 0, что соответствует ответу.

Для графика 2: т.к. x 02 = 10 м, υ 2x = 0, то x 2 = 10. Проверим пункт б: x 2 (4 с) = 10 (м), что соответствует ответу.

Для графика 3: т.к. x 03 = –10 м, υ 3x = 8 м/с, то x 3 = –10 + 8t . Проверим пункт б: x 3 (4 с) = –10 + 8·4 = 22 (м), что соответствует приблизительно ответу.

д) Определите, когда координата тела будет равна 20 м?

Графический способ . По графику находим значения времени точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенном к оси 0x в точке x = 20 м (на рис. 4 эти точки выделены): t 1 (20 м) ≈ 1,5 с; t 3 (20 м) ≈ 3,5 с.

График 2 параллелен перпендикуляру, следовательно, координата тела 2 никогда не будет равной 20 м.

Аналитический способ . Записать уравнение координаты для каждого тела и найти при каком значении времени t, координата станет равной 20 м.

«Физика - 10 класс»

Чем отличается равномерное движение от равноускоренного?
Чем отличается график пути при равноускоренном движении от графика пути при равномерном движении?
Что называется проекцией вектора на какую-либо ось?

В случае равномерного прямолинейного движения можно определить скорость по графику зависимости координаты от времени.

Проекция скорости численно равна тангенсу угла наклона прямой x(t) к оси абсцисс. При этом, чем больше скорость, тем больше угол наклона.

Прямолинейное равноускоренное движение.

На рисунке 1.33 изображены графики зависимости проекции ускорения от времени для трёх разных значений ускорения при прямолинейном равноускоренном движении точки. Они представляют собой прямые линии, параллельные оси абсцисс: а х = const. Графики 1 и 2 соответствуют движению, когда вектор ускорения направлен вдоль оси ОХ, график 3 - когда вектор ускорения направлен в противоположную оси ОХ сторону.

При равноускоренном движении проекция скорости зависит от времени линейно: υ x = υ 0x + a x t. На рисунке 1.34 представлены графики этой зависимости для указанных трёх случаев. При этом начальная скорость точки одинакова. Проанализируем этот график.

Проекция ускорения Из графика видно, что, чем больше ускорение точки, тем больше угол наклона прямой к оси t и соответственно больше тангенс угла наклона, который определяет значение ускорения.

За один и тот же промежуток времени при разных ускорениях скорость изменяется на разные значения.

При положительном значении проекции ускорения за один и тот же промежуток времени проекция скорости в случае 2 увеличивается в 2 раза быстрее, чем в случае 1. При отрицательном значении проекции ускорения на ось ОХ проекция скорости по модулю изменяется на то же значение, что и в случае 1, но скорость уменьшается.

Для случаев 1 и 3 графики зависимости модуля скорости от времени будут совпадать (рис. 1.35).

Используя график зависимости скорости от времени (рис 1.36), найдём изменение координаты точки. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции, в данном случае изменение координаты за 4 с Δx = 16 м.

Мы нашли изменение координаты. Если необходимо найти координату точки, то к найденному числу нужно прибавить её начальное значение. Пусть в начальный момент времени х 0 = 2 м, тогда значение координаты точки в заданный момент времени, равный 4 с, равно 18 м. В данном случае модуль перемещения равен пути, пройденному точкой, или изменению её координаты, т. е. 16 м.

Если движение равнозамедленное, то точка в течение выбранного интервала времени может остановиться и начать двигаться в направлении, противоположном начальному. На рисунке 1.37 показана зависимость проекции скорости от времени для такого движения. Мы видим, что в момент времени, равный 2 с, направление скорости изменяется. Изменение координаты будет численно равно алгебраической сумме площадей заштрихованных треугольников.

Вычисляя эти площади, мы видим, что изменение координаты равно -6 м, это означает, что в направлении, противоположном оси ОХ, точка прошла большее расстояние, чем по направлению этой оси.

Площадь над осью t берём со знаком «плюс», а площадь под осью t, где проекция скорости отрицательна, - со знаком «минус».

Если в начальный момент времени скорость некоторой точки была равна 2 м/с, то координата её в момент времени, равный 6 с, равна -4 м. Модуль перемещения точки в данном случае также равен 6 м - модулю изменения координаты. Однако путь, пройденный этой точкой, равен 10 м - сумме площадей заштрихованных треугольников, показанных на рисунке 1.38.

Изобразим на графике зависимость координаты х точки от времени. Согласно одной из формул (1.14) кривая зависимости координаты от времени - x(t) - парабола.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости которой от времени изображён на рисунке 1.36, то ветви параболы направлены вверх, так как а х > 0 (рис. 1.39). По этому графику мы можем определить координату точки, а также скорость в любой момент времени. Так, в момент времени, равный 4 с, координата точки равна 18 м.

Для начального момента времени, проводя касательную к кривой в точке А, определяем тангенс угла наклона α 1 , который численно равен начальной скорости, т. е. 2 м/с.

Для определения скорости в точке В проведём касательную к параболе в этой точке и определим тангенс угла α 2 . Он равен 6, следовательно, скорость равна 6 м/с.

График зависимости пути от времени - такая же парабола, но проведённая из начала координат (рис. 1.40). Мы видим, что путь непрерывно увеличивается со временем, движение происходит в одну сторону.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости проекции которой от времени изображён на рисунке 1.37, то ветви параболы направлены вниз, так как а x < 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

Начиная с момента времени t = 2 с, тангенс угла наклона становится отрицательным, а его модуль увеличивается, это означает, что движение точки происходит в направлении, противоположном начальному, при этом модуль скорости движения увеличивается.

Модуль перемещения равен модулю разности координат точки в конечный и начальный моменты времени и равен 6 м.

График зависимости пройденного точкой пути от времени, показанный на рисунке 1.42 отличается от графика зависимости перемещения от времени (см. рис. 1.41).

Как бы ни была направлена скорость, путь, пройденный точкой, непрерывно увеличивается.

Выведем зависимость координаты точки от проекции скорости. Скорость υx = υ 0x + a x t, отсюда

В случае x 0 = 0 а х > 0 и υ x > υ 0x график зависимости координаты от скорости представляет собой параболу (рис. 1.43).

При этом, чем больше ускорение, тем ветвь параболы будет менее крутой. Это легко объяснить, так как, чем больше ускорение, тем меньше расстояние, которое должна пройти точка, чтобы скорость увеличилась на то же значение, что и при движении с меньшим ускорением.

В случае а х < 0 и υ 0x > 0 проекция скорости будет уменьшаться. Перепишем уравнение (1.17) в виде где а = |а x |. График этой зависимостимости - парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 1.44).

Ускоренное движение.

По графикам зависимости проекции скорости от времени можно определить координату и проекцию ускорения точки в любой момент времени при любом типе движения.

Пусть проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рисунке 1.45. Очевидно, что в промежутке времени от 0 до t 3 движение точки вдоль оси X происходило с переменным ускорением. Начиная с момента времени, равного t 3 , движение равномерное с постоянной скоростью υ Dx . По графику мы видим, что ускорение, с которым двигалась точка, непрерывно уменьшалось (сравните угол наклона касательной в точках В и С).

Изменение координаты х точки за время t 1 численно равно площади криволинейной трапеции OABt 1 , за время t 2 - площади OACt 2 и т. д. Как видим по графику зависимости проекции скорости от времени можно определить изменение координаты тела за любой промежуток времени.

По графику зависимости координаты от времени можно определить значение скорости в любой момент времени, вычисляя тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей данному моменту времени. Из рисунка 1.46 следует, что в момент времени t 1 проекция скорости положительна. В промежутке времени от t 2 до t 3 скорость равна нулю, тело неподвижно. В момент времени t 4 скорость также равна нулю (касательная к кривой в точке D параллельна оси абсцисс). Затем проекция скорости становится отрицательной, направление движения точки изменяется на противоположное.

Если известен график зависимости проекции скорости от времени, можно определить ускорение точки, а также, зная начальное положение, определить координату тела в любой момент времени, т. е. решить основную задачу кинематики. По графику зависимости координаты от времени можно определить одну из самых важных кинематических характеристик движения - скорость. Кроме этого, по указанным графикам можно определить тип движения вдоль выбранной оси: равномерное, с постоянным ускорением или движение с переменным ускорением.

Как по графику зависимости координаты

от времени х = х (t ) построить график

зависимости пути от времени s = s (t )?

Отметим следующие особенности графика s = s (t ):

1) график s = s (t ) всегда начинается из начала координат, так как в начальный момент пройденный путь всегда равен нулю;

2) график s = s (t ) всегда не убывает: он либо возрастает, если тело движется, либо не меняется, если тело стоит;

3) функция s = s (t ) нe может принимать отрицательное значение.

Из сказанного следует, что график х = х (t ) совпадает с графиком s = s (t ) только в том случае, если х (0) = 0 и x (t ) все время не убывает, т.е. тело движется только в положительном направлении либо стоит на месте.

Приведем несколько примеров построения графиков s = s (t ) по данным графикам х = х (t ).

Пример 4.2. По графику х = = х (t ) на рис. 4.4,а построить график s = s (t ).

График х = х (t ) возрастает, но начинается не в начале координат, а в точке (0, х 0). Для того чтобы получить график s = s (t ) необходимо опустить график х = х (t ) на x 0 вниз (рис. 4.4,б ).

Пример 4.3. По графику х = х (t ) на рис. 4.5,а построить график s = s (t ).

В данном случае х (0) = 0, но тело движется в отрицательном направлении оси х . В данном случае справедливо s (t ) = |x (t )|, и для построения графика s = s (t ) достаточно отобразить график х = х (t ) зеркально на верхнюю полуплоскость (рис. 4.5,б ).

Рис. 4.5

Пример 4.4. По графику х = х (t ) на рис. 4.6,а построить график s = s (t ).

Сначала опустим график х = х (t ) на х 0 вниз, чтобы х (0) = 0, как мы это делали в примере 4.2, а затем прямую 2 (рис. 4.6,б ) зеркально отобразим на верхнюю полуплоскость, как мы это сделали в примере 4.3.

Рис. 4.6

Пример 4.5. По графику х = х (t ) на рис. 4.7,а построить график s = s (t ).

Рис. 4.7

График х = х (t ) состоит из двух участков: на первом участке х (t ) воз­растает, а на втором участке – убывает, т.е. тело движется в отрицательном направлении оси х . Поэтому для построения графика s = s (t ) первую часть графика х = х (t ) мы оставляем без изменения, а вторую часть зеркально отражаем относительно прямой, проходящей через точку поворота (2t, 2х 0) параллельно оси t (рис. 4.7,б).

СТОП! Решите самостоятельно: С2 (а, б, в).

Утверждение. Пусть дан график зави­симости υ х (t ), х (t 1) = x 0 (рис. 4.8). Значения площадей над графиком s + и под гра­фиком s – , выраженные с учетом масшта­бов в единицах длины, известны. Тогда путь, пройденный за промежуток времени [t 1 , t 2 ], равен:

s = s – + s + . (4.2)

Координата в момент времени t 2 равна:

х (t 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

Задача 4.2 . По графику зави­симости координаты от времени (рис. 4.9,а ) построить графики зависимостей υ х = υ х (t ) и υ = υ (t ).

Решение . Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = = 1 м, Dt = 1 с, отсюда = 1 м/с, υ = = |υ х | = 1 м/с.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = 0, значит, υ х = υ = 0.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = (–2) – 1 = = –3 м, Dt = 1 с, значит, = –3 м/с, υ = |υ х | = 3 м/с.

Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке Dх = 0, следовательно, υ х = υ = 0.

Графики приведены на рис. 4.9,б и 4.9,в .

СТОП! Решите самостоятельно: В3 (а,б,в).

Задача 4.3 . По графику зависимости υ х = υ х (t ) (рис. 4.10) найти значения пройденного пути и координаты в моменты времени 1c, 2 с, 3 с, 4 с, 5 с, если х (0) = 2,0 м.

Решение.

1. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке υ х (t ) убывала от 1 м/с до 0, т.е. тело двигалось вдоль оси х замедленно и в момент t = 1 с остановилось. Пройденный путь равен площади под графиком на участке : м. Координата в момент t = 1 с равна х (1) = х (0) + s 01 = 2,0 м + 0,5 м = 2,5 м.

2. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке υ х уменьшалась от 0 до –1 м/с, т.е. тело разгонялось из состояния покоя в направлении, противоположном направлению оси х . Путь, пройденный за этот промежуток вре­мени, равен площади над графиком υ х = υ х (t ) на промежутке : м. Следовательно, общий путь, пройденный телом в момент t = 2 с, равен s (2) = s (1) + s 12 = 0,5 м + 0,5 м = 1,0 м. Координата в момент t = 1 с равна х (2) = х (1) – s 12 = 2,5 м – 0,5 м = 2,0 м.

3. Рассмотрим промежуток времени . На этом промежутке тело движется равномерно в отрицательном направлении оси х с путевой скоростью υ = 1 м/с. Пройденный путь равен s 23 = (1 м/с)´ ´(1 с) = 1,0 м. Следовательно, путь, пройденный к моменту t = 3 с, равен s (3) = s (2) + s 23 = 1,0 м + 1,0 м = 2,0 м.

Координата же за этот промежуток времени уменьшалась на величину пройденного пути, так как тело двигалось в обратную сторону: х (3) = х (2) – s 23 = 2,0 м – 1,0 м = 1,0 м.

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

V cp = v

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

V x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

S = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Х = x 0 + vt

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Х = x 0 - vt

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна

V = s 1 / t 1 = tg α

где α – угол наклона графика к оси времени.Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости:

Tg α = v

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

Tg α 1 > tg α 2

следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3 < 0

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть

Х = х 0

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.