Для того чтобы выяснить, как найти высоту параллелепипеда, сначала разберемся с понятиями.
Определения:
Параллелепипедом называется многогранник, имеющий шесть сторон, каждая из которых представляет из себя параллелограмм.
- Параллелепипеды могут быть наклонными или прямыми.
- Наклонный параллелепипед - это такой параллелепипед, в котором грани не перпендикулярны основанию.
- Прямоугольный параллелепипед - это частный случай, где все грани фигуры являются не просто параллелограммами, а прямоугольниками, и они перпендикулярны основанию.
- Высота параллелепипеда - это расстояние между двумя его противоположными плоскостями (отрезок, перпендикулярный основаниям).
Рассмотрим разные способы, как находить высоту параллелепипеда.
Способы решения:
Обозначим высоту буквой h.
Способ 1. Даны объем и площадь основания
Формула:
- h = V/S
- Где, V - объем параллелепипеда
- S - площадь основания, к которому проведена высота.
Пример:
Объем наклонного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 36 см 3 , площадь основания ABCD, к которому проведена высота равна 9 см 2 . Найдите высоту.
Решение:
- h = 36/9 = 4 (см)
- Ответ: 4 см.
Способ 2: даны объем и длины граней
Пример:
Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 36 см 3 , длина основания ABCD к которому проведена высота равна 4 см, ширина равна 3 см. Найдите высоту.
Решение:
Формула для высоты остается та же:
- h = V/S
S - это площадь основания и мы можем найти ее по формуле:
- S = a*b,
где a и b - стороны параллелограмма, в нашем случае AB и BC. Исходя из этого, мы можем изменить вид формулы, подставив вместо S выражение a*b
У нас получится формула: h=V/ (a*b)
Подставляем числа:
- h = 36/ (3*4)= 36/12 = 3 (см)
- Ответ: 3 см
Способ 3: прямоугольный параллелепипед
Как мы уже выяснили выше, такой параллелепипед является частным случаем. Как найти высоту прямоугольного параллелепипеда? Очень просто - в нем высота всегда совпадает 
с одной из граней. Поэтому, чтобы ее найти, не требуется специальных формул. Здесь понадобятся формулы для нахождения длины граней. Например, формула объема параллелепипеда:
- V = a*b*c, где a, b и с - грани фигуры.
Любую из граней можно найти по формуле:
- a = V / (b*c), а так как h в данном случае равна а, то
- h = V / (b*c)
И вопрос этот не простой, смотрите сами:
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?
Вопрос, конечно, не простой - что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое - прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.
Как видите, прямоугольный параллелепипед - это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната - это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.
И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.
"Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины..." - собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a , b и c . Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.
Следующая фраза "... равны 1, 2, 3" обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.
Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост - в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину ? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.
разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат
одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат
Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико - меняются числа. Крутим другое колесико - меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.
Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это , одинаковая для всех.
В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.
Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.
Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания - это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности - это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь - это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.
Теперь смотрим в условие задачи и определяем, "чё тебе надобно, старче?". А надобно ему (ей, им) "площадь поверхности". Если уточнений типа "боковой" или "основания" нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.
Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.
По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву "P", поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.
Спонсор страницы: был, да сплыл.
Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основаниях которой лежат параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его основаниями. На рисунке высота показана отрезком . Различают два вида параллелепипедов: прямой и наклонный. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения для призмы, а затем переносит их на параллелепипед. Мы сделаем также.
Напомню, что призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, если перпендикулярности нет – призму называют наклонной. Эту терминологию наследует и параллелепипед. Прямой параллелепипед – ни что иное, как разновидность прямой призмы, боковое ребро которой совпадает с высотой. Сохраняются определения таких понятий, как грань, ребро и вершина, являющиеся общими для всего семейства многогранников. Появляются понятие противоположные грани. У параллелепипеда 3 пары противоположных граней, 8 вершин ти 12 ребер.
Диагональ параллелепипеда (диагональ призмы) — отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий ни в одной из его граней.
Диагональное сечение – сечение параллелепипеда, проходящее через его диагональ и диагональ его основания.
Свойства наклонного параллелепипеда
:
1) Все его грани – параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
2)
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точки пополам.
3)
Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать их ученику репетитор по математике должен отрезать от параллелепепеда половинку его диагональным сечением и разбить ее отдельно на 3 пирамиды. Их основания должны лежать в разных гранях исходного паралеллепипеда. Репетитор математики найдет применение этого свойства в аналитической геометрии. Оно используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.
Формулы объема параллелепипеда
:
1) , где — площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро .
Репетитору по математике
: Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) , где –объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если , то
Площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней:
Полная поверхность параллелепипеда – это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади основания: .
О работе репетитора с наклонным параллелепипедом
:
Задачами на наклонный параллелепипед репетитор по математике занимается не часто. Вероятность их появления на ЕГЭ достаточно мала, а дидактика неприлично бедная. Более-менее приличная задача на объем наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с пределением расположения точки Н — основания его высоты. В этом случае репетитору по математике можно посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести его пирамид (о которых идет речь в свойстве №3), попробовать найти ее объем и умножить его на 6.
Если боковое ребро параллелепипеда имеет равные углы со сторонами основания, то Н лежит на биссектрисе угла A основания ABCD. И если, например, ABCD — ромб, то
Задачи репетитора по математике
:
1) Грани параллелепипеда равные роибы со стороной 2см и острым углом . Найти объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 5см. Сечение, перпендикулярное ему, является четырехугольником со взаимно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 8 см. Вычислить объем паралеллепипеда.
3) В наклонном параллелепипеде известно, что , а в онованием ABCD является ромб со стороной 2см и уголом . Определите объем параллелепипеда.
Репетитор по математике, Александр Колпаков