Числа 1, 2, 3 … - натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 2
3
4
,
9 Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.
10 Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: 1. Как можно измерить длину любого отрезка? 2. Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? 3. Какие числа окажутся в результате измерений?
11
12
13
16
Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366…
20
Иррациональные числа Натуральные числа Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Рациональные числа –6(3) 7, … 345 π π 1,24(53) 21
1. 276, 277, 281 (а, в, д) ,
1.Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А.Теляковского г. 2.Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т.Ю., Махонина А.А., 2012: CD; 3. html 4. gifhttp://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/80/35/ _ _skola1. gif 5. jp jpghttp:// jpg 7. Литература и Интернет–ресурсы: 27
Определение иррационального числа
Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.
Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.
Свойства иррациональных чисел
В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.
Числа, не являются иррациональными
Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.
Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.
Иррациональными числами не являются:
Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.
Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.
А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:
А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;
А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.
Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.
Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..
Урок математики в 8 классе
Тема урока: Иррациональные числа. Действительные числа.
Синиченкова Галина Алексеевна
учитель математики
МОУ Грибановская ООШ
Цели: - ввести понятие иррационального числа, действительного числа;- научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;- познакомить с четырехзначными математическими таблицами;- закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;- развивать память, мышление.Ход урока
I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 =
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 0,3(17) =
в) Карточка:Представить в виде обыкновенной дроби:1 вариант 2 вариант 3 вариант 7,4(31) 1,3(4) 4,7(13)
II Устные упражнения 1) Прочитайте дроби:0,(5); 3,(24); 15,2(57); -3,51(3)2) Вычислите:
3) Округлите данные числа:3,45; 10,59; 23,263; 0,892А) до единиц;Б) до десятых.
III Изучение нового материала 1. Сообщение темы и целей урока 2. Объяснение учителя Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.Например, дроби0,1010010001…0,123456…2,723614…Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Арифметические действия и правила сравнения для действительных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также свойства равенств и неравенств также как и для рациональных чисел.
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например
2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например
4. Сообщение «Из истории иррациональных чисел»
5. На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства. 1). Знакомство с четырехзначными математическими таблицами.(стр. 35)
Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2). В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример
IV Закрепление изученного материала
№322(1,3,5) Разбирают и записывают на доске.
6. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001
7. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси Стр. 89 (рис.30)
V Усвоение изученного материала Самостоятельная работа
Вариант 1
- Сравнить числа
Вариант 2
- Сравнить числа
VI Домашнее задание : п.21, №322(2,4,6), №323, дополнительное задание (карточки)
VII Итог урока и выставление оценок. - Какие числа называются иррациональными?- Какие числа образуют множество действительных чисел?
? Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.
? Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
? Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
- Проектор
- Компьютер
Ход урока
- Организационный момент
- Устная работа
- m / n , где m-целое число, n-натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=…….)
- Какие множества вы уже знаете? (натуральные -N, целые-Z, рациональные - Q,
- Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. ; 0,2020020002…; -p.
Натуральные -N
Рациональные - Q
7; 19; 235; -90
7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11)
А эти числа 0,2020020002…; -p куда следует отнести?
«НЕ» заменим приставкой «ИР».
Иррациональное число - десятичная бесконечная периодическая дробь.
где т - целое число, п - натуральное.
Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -p
Закрепление
1-я - задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.
2-я - задания на сравнение действительных чисел.
Тест с последующей проверкой
13) Число p является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа p.
15 правильных ответов - оценка «5»
12-14 правильных ответов - оценка «4»
Рефлексия
Домашнее задание
№278; 281; 282
Оценки за урок.
Спасибо за урок!
«План»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Тургеневская СОШ»
Учитель: Лойко Галина Алексеевна
План урока по теме
«Иррациональные числа»
«Числа не управляют миром,
ЦЕЛИ УРОКА:
Цели обучения:
развитие познавательного интереса через применение занимательных задач и примеров.
2. Цель воспитания:
воспитание осознанных мотивов учения и положительного отношения к знаниям.
Учебно-методическое обеспечение
● Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.
●Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
● Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
Необходимое оборудование и материалы для занятий :
Проектор
Компьютер
Ход урока
Какую тему мы изучили на прошлом уроке? (Рациональные числа)
Какие числа называются рациональными? (Числа, которые можно представить в виде дроби m / n , где m -целое число, n -натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=……..)
Какие множества вы уже знаете? (натуральные –N , целые-Z , рациональные – Q ,
Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. -7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11); 0,2020020002…; -.
Организационный момент
Устная работа
| Натуральные –N | Целые-Z | Рациональные – Q | |
| 7; 19; 235; -90 | 7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11) |
А эти числа 0,2020020002…; - куда следует отнести?
Наших знаний не хватает, чтобы что-то сказать о них. И вот сейчас мы переходим к изучению нового материала, а тема урока «Иррациональные числа», узнаете какие числа называются иррациональными и приведем примеры.
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь
Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным.
Значит эта дробь «не рациональное» число.
«НЕ» заменим приставкой «ИР».
Получим «иррациональное» число.
Иррациональное число
Рассмотрим примеры иррациональных чисел.
Иррациональное нельзя представить в виде дроби
где
т –
целое число,
п
– натуральное.
Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.
Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -
Обобщим знания о всех множествах чисел
Закрепление
Все задания из учебника можно разбить на 2 группы.
1-я – задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.
2-я – задания на сравнение действительных чисел.
Выполним номера: №276, 277, 279, 287.(устно)
Выполним номера: № 280, 283, 288 (у доски)
Тест с последующей проверкой
«+» - согласен с утверждением; «-» - не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число -7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.
8-11 правильных ответов - оценка «3»
менее 8 следует подучить теорию.
Рефлексия
Какие числа называются рациональными, иррациональными?
Из каких чисел состоит множество действительных чисел?
Домашнее задание
№278; 281; 282
Оценки за урок.
Спасибо за урок!
Просмотр содержимого документа
«Тест с последующей проверкой»
Тест с последующей проверкой
«+» - согласен с утверждением;
«-» - не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число -7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
13) Число является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа .
15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.
Ответы
| «Иррациональные числа» «Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им»  ЦЕЛИ УРОКА 1 Цели обучения:
2. Цель воспитания:
 Рассмотрим бесконечную десятичную дробь Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным. Значит эта дробь «не рациональное» число. «НЕ» заменим приставкой «ИР» . Получим «иррациональное» число. Иррациональное число – десятичная бесконечная периодическая дробь.  Рассмотрим примеры иррациональных чисел. Иррациональное нельзя представить в виде дроби где т – целое число, п – натуральное.  Действительные числа Рациональные числа Иррациональные числа Дробные числа Бесконечные непериодические дроби Целые числа Отрицательные числа Обыкновенные дроби Нуль Десятичные дроби Положительные числа Конечные Бесконечные периодические  Ключ к тесту  Оценка 15 правильных ответов – оценка «5» 12-14 правильных ответов – оценка «4» 8-11 правильных ответов - оценка «3» менее 8 следует подучить теорию.  Домашнее задание. № 278 № 281 № 282  |