Вы, как родители, в процессе обучения своего ребенка, не раз столкнетесь с необходимостью помощи в решении домашних задач по математике, алгебре и геометрии. И одно из базовых умений, которое необходимо усвоить — как найти значение выражения. Многие заходят в тупик, ведь сколько лет прошло с того момента, как мы учились в 3-5 классах? Многое уже забылось, а что-то не училось. Сами правила математических действий - просты и вы легко их вспомните. Начнем с самых основ, что такое математическое выражение.
Определение выражения
Математическое выражение - совокупность чисел, знаков действий (=, +,-, *, /), скобок, переменных. Кратко - это формула, значение которой нужно будет найти. Такие формулы как раз встречаются в курсе математики еще со школы, а потом преследуют и студентов, которые выбрали для себя специальности, связанные с точными науками. Математические выражения разделяются на тригонометрические, алгебраические и так далее, не будем забегать в самые «дебри».
- Делайте любые вычисления сначала на черновике, а после переписывайте в рабочую тетрадь. Таким образом вы избежите лишних перечеркиваний и грязи;
- Пересчитайте общее количество математических действий, которые нужно будет выполнить в выражении. Обратите внимание, что согласно правилам, вначале выполняются действия в скобках, потом деление и умножение и в самом конце вычитание и сложение. Рекомендуем выделить все действия карандашом и поставить цифры над действиями в порядке очередности их выполнения. В этом случае и вам и ребенку будет легче сориентироваться;
- Начинайте производить расчеты строго придерживаясь порядка выполнения действий. Пусть ребенок, если расчет простой, старается выполнять его в уме, если же это сложно, то ставьте карандашом цифру, соответствующую порядковому номеру выражения и выполняйте вычисление в письменном виде под формулой;
- Как правило, найти значение простого выражения не составляет труда, если все расчеты выполнены в соответствии с правилами и правильным порядком. Большинство сталкиваются с проблемой именно на данном этапе нахождения значения выражения, потому будьте внимательны и не допускайте ошибок;
- Запрещайте калькулятор. Сами математические формулы и задачи в жизни вашему ребенка может и не пригодятся, но не в этом цель изучения предмета. Главное - развитие логическое мышления. Если пользоваться калькуляторами, то смысл всего будет потерян;
- Ваша задача как родителя - не решать за ребенка задачи, а помогать ему в этом, направлять. Пусть он сам производит все вычисления, а вы следите за тем, чтобы он не допускал ошибок, объясняйте, почему нужно делать так, а не иначе.
- После того, как ответ на выражение найден, запишите его после знака «=»;
- Откройте последнюю страницу учебника по математике. Обычно, там есть ответы под каждое упражнение в книге. Не мешает свериться, верно ли все посчитано.
Найти значение выражения - с одной стороны, простая процедура, главное вспомнить основные правила, которые мы проходили в школьном курсе математики. Однако, с другой стороны, когда вам нужно помочь малышу справиться с формулами и решением задач, вопрос осложняется. Ведь вы теперь не ученик, а учитель и на ваших плечах лежит воспитание будущего Эйнштейна.
Надеемся, что наша статья помогла вам найти ответ на вопрос, как найти значение выражения, и вы с легкостью раскусите любую формулу!
Формула
Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:
+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,
- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,
∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,
: (читаем "разделить ") - знак операции деления.
Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.
Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.
Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .
Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.
Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!
В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.
Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.
Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:
p = a + b + c + d + e + f + g
При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.
При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.
Блок 1. Словарь
Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.
- Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.
2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «: » (разделить).
3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.
4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.
5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.
6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).
7. Общее название букв в буквенном выражении.
8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.
9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.
10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.
11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.
12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.
Блок 2. Установите соответствие
Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…
Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения
Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.
- Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
- Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
- Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
- Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
- Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
- Сумма двух чисел больше второго числа на 15
- Разность меньше уменьшаемого на 7
- Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
- Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
- m = 8, n = 10, k = 5
- m = 6, n = 8, k = 15
- t = 121, x = 1458
- Значение данного выражения
- Буквенное выражение для периметра имеет вид
- Периметр, выраженный в сантиметрах
- Формула пути s, пройденного автомобилем
- Формула скорости v, движения туриста
- Формула времени t, движения туриста
- Путь, пройденный автомобилем в километрах
- Скорость туриста в километрах в час
- Время движения туриста в часах
- Первое число равно…
- Вычитаемое равно….
- Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
- Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
- Буквенное выражение для возраста Кати
- Возраст Кати
- Координата точки В, если координата точки С равна t
- Координата точки D, если координата точки С равна t
- Координата точки А, если координата точки С равна t
- Длина отрезка BD на числовом луче
- Длина отрезка CА на числовом луче
- Длина отрезка DА на числовом луче
Начальный уровень
Преобразование выражений. Подробная теория (2019)
Преобразование выражений
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».
Прочитал? Если да, то теперь ты готов.
Базовые операции упрощения
Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них - это
1. Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме подобные слагаемые - это и.
Вспомнил?
Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы. Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .
А теперь попробуй такое выражение: .
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, - это (как обычно) стул, а - это стол. Тогда:
стула стола стул столов стульев стульев столов
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами . Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.
Итак, правило приведения подобных:
Примеры:
Приведите подобные:
Ответы:
2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).
2. Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):
Решения:
3. Сокращение дроби.
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Все просто:
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить.
Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.
Еще пример: сократить.
«Самые умные» сделают так: .
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: .
Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:
Можно и сразу поделить на:
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров :
Ответы:
1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:
Первым действием должно быть разложение на множители:
4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:
Ответы:
1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:
2. Здесь общий знаменатель равен:
3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
a) Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Попробуй сам:
b) Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
· в первую очередь мы определяем общие множители;
· затем выписываем все общие множители по одному разу;
· и домножаем их на все остальные множители, не общие.
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
Это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
· раскладываем знаменатели на множители;
· определяем общие (одинаковые) множители;
· выписываем все общие множители по одному разу;
· домножаем их на все остальные множители, не общие.
Итак, по порядку:
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:
Кстати, есть одна хитрость:
Например: .
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
в степени
в степени
в степени
в степени.
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Давай вспомним основное свойство дроби:
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить, чтобы получить?
Вот на и домножай. А домножай на:
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.
Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?
Нет, поскольку его можно разложить на множители:
(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).
Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:
Еще пример:
Решение:
Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :
Отлично! Тогда:
Еще пример:
Решение:
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:
Так и напишем:
То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.
Теперь приводим к общему знаменателю:
Усвоил? Сейчас проверим.
Задачи для самостоятельного решения:
Ответы:
Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:
Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .
А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:
Что делать, если дробей аж три штуки?
Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:
Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:
Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?
Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:
То, что нужно!
5. Умножение и деление дробей.
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Посчитал?
Должно получиться.
Итак, напоминаю.
Первым делом вычисляется степень.
Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение.
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
2) Получаем:
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Упрости выражение.
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:
Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.
Вот тебе задачи для самостоятельного решения:
И обещанная в самом начале:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Теперь вперед к обучению!
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Базовые операции упрощения:
- Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
- Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
- Сокращение дроби
: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.ВАЖНО: сокращать можно только множители!
- Сложение и вычитание дробей:
; - Умножение и деление дробей:
;
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем - деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Определите порядок действий. Первое действие выполните во внутренних скобках 489–296=193. Затем, умножьте 193∙8=1544 и 34∙10=340. Следующее действие: 340+1544=1884. Далее выполните деление 1884:4=461 и затем вычитание 461–410=60. Вы нашли значение данного выражения.
Пример. Найдите значение выражения 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Упростите данное выражение. Для этого воспользуйтесь формулой tg α∙ctg α=1. Получите: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Известно, что sin 30º=1/2 и cos 30º=√3/2. Следовательно, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Вы нашли значение данного выражения.
Значение алгебраического выражения от . Чтобы найти значение алгебраического выражения при заданных переменных, упростите выражение. Подставьте вместо переменных определенные значения. Выполните необходимые действия. В итоге вы получите число, которое и будет значением алгебраического выражения при заданных переменных.
Пример. Найдите значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10. Упростите данное выражение, получите: a–2y. Подставьте соответствующие значения переменных и вычислите: a–2y=21–2∙10=1. Это и есть значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10.
Обратите внимание
Существуют алгебраические выражения, не имеющие смысла при некоторых значениях переменных. Например, выражение x/(7–a) не имеет смысла, если a=7, т.к. при этом знаменатель дроби обращается в нуль.
Источники:
- найдите наименьшее значение выражения
- Найди значения выражений при с 14
Научиться упрощать выражения в математике просто необходимо, чтобы правильно и быстро решать задачи, различные уравнения. Упрощение выражения подразумевает уменьшение количества действий, что облегчает вычисления и экономит время.
Инструкция
Научитесь вычислять степени с . При умножении степеней с получают числа, основание которого прежним, а показатели степеней складываются b^m+b^n=b^(m+n). При делении степеней с одинаковыми основаниями получают степень числа, основание которого остается прежним, а показатели степеней вычитаются, причем из показателя делимого вычитается показатель делителя b^m:b^n=b^(m-n). При возведении степени в степень получается степень числа, основание которого остается прежним, а показатели перемножаются (b^m)^n=b^(mn)При возведении в степень в эту степень возводится каждый множитель.(abc)^m=a^m*b^m*c^m
Раскладывайте многочлены на множители, т.е. представляйте их в виде произведения нескольких сомножителей – и одночленов. Выносите общий множитель за скобки. Выучите основные формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат разности, сумму , разность кубов, куб суммы и разности. Например, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Именно эти формулы являются основными в упрощении . Используйте способ выделения полного квадрата в трехчлене вида ax^2+bx+c.
Как можно чаще сокращайте дроби. Например, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Но помните, что сокращать можно только множители. Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножать на одно и то же число, отличное от нуля, то при этом значение дроби не изменится. Преобразовывать выражения можно двумя способами: цепочкой и по действиям. Предпочтительней второй способ, т.к. легче проверить результаты промежуточных действий.
Нередко в выражениях необходимо извлекать корни. Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных выражений или чисел. Корни нечетной степени извлекаются из любых выражений.
Источники:
- упрощение выражений со степенями
Тригонометрические функции вначале возникли как инструменты абстрактных математических вычислений зависимостей величин острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. Сейчас они очень широко применяются как в научных, так и в технических областях человеческой деятельности. Для практических вычислений тригонометрических функций от заданных аргументов можно использовать разные инструменты - ниже описано несколько наиболее доступных из них.
Инструкция
Воспользуйтесь, например, устанавливаемой по умолчанию вместе с операционной системой программой-калькулятором. Она открывается выбором пункта «Калькулятор» в папке «Служебные» из подраздела «Стандартные», помещенного в раздел «Все программы». Этот раздел можно , открыв щелчком по кнопке «Пуск» главное меню операционной . Если вы используете версию Windows 7, то имеете возможность просто ввести «Калькулятор» в поле «Найти программы и файлы» главного меню, а затем щелкнуть по соответствующей ссылке в результатах поиска.
Посчитайте количество необходимых действий и подумайте, в каком порядке их следует выполнять. Если вас затрудняет данный вопрос, обратите внимание, что прежде других выполняются действия, заключенные в скобки, затем – деление и умножение; и вычитание производятся в последнюю очередь. Чтобы было легче запомнить алгоритм выполняемых действий, в выражении над каждым знаком-оператором действий (+,-,*,:) тонким карандашом проставьте цифры, соответствующие выполнения действий.
Приступайте к выполнению первого действия, придерживаясь установленного порядка. Считайте в уме, если действия легко выполнить устно. Если же требуются вычисления (в столбик), осуществляйте их запись под выражением, указывая порядковый номер действия.
Четко отслеживайте последовательность выполняемых действий, оценивайте, что из чего нужно вычесть, что на что разделить и т.п. Очень часто ответ в выражении получается неверным из-за допущенных ошибок на данном этапе.
Отличительной особенностью выражения является наличие математических действий. Оно обозначаются определенными знаками (умножения, деления, вычитания или сложения). Последовательность выполнения математических действий при необходимости корректируется скобками. Выполнить математические действия – значит найти .
Что не является выражением
Не всякую математическую запись можно отнести к числу выражений.
Равенства не являются выражениями. Присутствуют при этом в равенстве математические действия или нет, не имеет значения. Например, a=5 – это равенство, а не выражение, но и 8+6*2=20 тоже нельзя считать выражением, хотя в нем и присутствуют умножение . Этот пример тоже принадлежит к категории равенств.
Понятия выражения и равенства не являются взаимоисключающими, первое входят в состав второго. Знак равенства соединяет два выражения:
5+7=24:2
Можно это равенство упростить:
5+7=12
Выражение всегда предполагает, что представленные в нем математические действия могут быть выполнены. 9+:-7 – это не выражение, хотя здесь есть знаки математических действий, ведь выполнить эти действия невозможно.
Существуют и такие математические , которые формально являются выражениями, но не имеют смысла. Пример такого выражения:
46:(5-2-3)
Число 46 необходимо разделить на результат действий в скобках, а он равен нулю. На нуль же делить нельзя, действие считается запретным.
Числовые и алгебраические выражения
Существует два вида математических выражений.
Если выражение содержит только числа и знаки математических действий, такое выражение называется числовым. Если же в выражении наряду с числами присутствуют переменные, обозначаемые буквами, или чисел нет вообще, выражение состоит только из переменных и знаков математических действий, оно называется алгебраическим.
Принципиальное отличие числового значения от алгебраического состоит в том, что у числового выражения значение только одно. Например, значение числового выражения 56–2*3 всегда будет равно 50, ничего изменить нельзя. У алгебраического же выражения значений может быть много, ведь вместо можно подставить любое число. Так, если в выражении b–7 вместо b подставить 9, значение выражения будет равно 2, а если 200 – оно будет составлять 193.
Источники:
- Числовые и алгебраические выражения