Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу (советую повторить).

Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто)). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного важной и простой теории:

несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».

Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:

1. Перегорает первая и перегорает вторя
2. Перегорает первая и не перегорает вторая
3. Не перегорает первая и перегорает вторая
4. Не перегорает первая и перегорает вторая.

Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим...

Определение: События называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события.

О сумме вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.

Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:

Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.

*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:

Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:

Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).

Например:

Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.

События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.

Рассмотрим задачи:

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.

Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1

*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1. «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049

2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651

3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Непосредственный подсчет случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. При этом, однако, надо знать правила, которым подчиняются вероятности при комбинации событий. Именно к этим правилам и относятся упомянутые в названии параграфа теоремы.

Первая из них относится к подсчету вероятности того, что осуществится хотя бы одно из нескольких событий.

Теорема сложения.

Пусть А и В - два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

Доказательство. Пусть - полная группа попарно несовместных событий. Если то среди этих элементарных событий имеется ровно событий, благоприятствующих А, и ровно событий, благоприятствующих В. Так как события А и В несовместны, то никакое из событий не может благоприятствовать обоим этим событиям. Событию (А или В), состоящему в том, что наступает хотя бы одно из этих двух событий, благоприятствует, очевидно, как каждое из событий благоприятствующих А, так и каждое из событий

Благоприятствующих В. Поэтому общее число событий, благоприятствующих событию (А или В), равно сумме откуда следует:

что и требовалось доказать

Нетрудно видеть, что теорема сложения, сформулированная выше для случая двух событий, легко переносится на случай любого конечного числа их. Именно если попарно несовместные события, то

Для случая трех событий, например, можно написать

Важным следствием теоремы сложения является утверждение: если события попарно несовместны и единственно возможны, то

Действительно, событие или или или по предположению достоверно и его вероятность, как было указано в § 1, равна единице. В частности, если означают два взаимно противоположных события, то

Проиллюстрируем теорему сложения примерами.

Пример 1. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

Решение. Если событие А означает получение оценки «отлично», а событие В - получение оценки «хорошо», то

Пример 2. В урне, содержащей шаров белого, красного и черного цвета, находятся белых шаров и I красных. Какова вероятность вынуть шар не черного цвета?

Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В - красного шара, то появление шара не черного цвета

означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

то по теореме сложения вероятность появления шара не черного цвета равна;

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении черного шара. Число черных шаров равно так что Р (С) Появление шара не черного цвета является противоположным событием С, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем:

как и раньше.

Пример 3. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша и через В - вещевого, то из определения вероятности следует

Интересующее нас событие представляет (А или В), поэтому из теоремы сложения вытекает

Таким образом, вероятность какого-либо выигрыша равна 0,2.

Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным понятием - понятием условной вероятности. Для этой цели мы начнем с рассмотрения следующего примера.

Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причем на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором - 25%. Допустим, что среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определенного стандарта, а для продукции второго завода этот процент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

Заметим, что общее число имеющихся стандартных лампочек состоит из лампочек, изготовленных первым

заводом, и 63 лампочек, изготовленных вторым заводом, то есть равно 312. Так как выбор любой лампочки следует считать равновозможным, то мы имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, так что

где событие В состоит в том, что выбранная нами лампочка стандартна.

При этом подсчете не делалось никаких предположений о том, к продукции какого завода принадлежит выбранная нами лампочка. Если же какие-либо предположения такого рода сделать, то очевидно, что интересующая нас вероятность может измениться. Так, например, если известно, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе (событие А), то вероятность того, что она стандартна, будет уже не 0,78, а 0,83.

Такого рода вероятность, то есть вероятность события В при условии, что имеет место событие А, называют условной вероятностью события В при условии наступления события А и обозначают

Если мы в предыдущем примере обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе, то мы можем написать

Теперь мы можем сформулировать важную теорему, относящуюся к подсчету вероятности совмещения событий.

Теорема умножения.

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое имело место:

При этом под совмещением событий А и В понимается наступление каждого из них, то есть наступление как события А, так и события В.

Доказательство. Рассмотрим полную группу из равновозможных попарно несовместных событий каждое из которых может быть благоприятствующим или неблагоприятствующим как для события А, так и для события В.

Разобьем все эти события на четыре различные группы следующим образом. К первой группе отнесем те из событий которые благоприятствуют и событию А, и событию В; ко второй и третьей группам отнесем такие события которые благоприятствуют одному из двух интересующих нас событий и не благоприятствуют другому, например ко второй группе - те, которые благоприятствуют А, но не благоприятствуют В, а к третьей - те, которые благоприятствуют В, но не благоприятствуют А; наконец, к

четвертой группе отнесем те из событий которые не благоприятствуют ни А, ни В.

Так как нумерация событий не играет роли, то можно предположить, что это разбиение на четыре группы выглядит так:

I группа:

II группа:

III группа:

IV группа:

Таким образом, среди равновозможных и попарно несовместных событий имеется событий, благоприятствующих и событию А, и событию В, I событий, благоприятствующих событию А, но не благоприятствующих событию событий, благоприятствующих В, но не благоприятствующих А, и, наконец, событий, не благоприятствующих ни А, ни В.

Заметим, между прочим, что какая-либо из рассмотренных нами четырех групп (и даже не одна) может не содержать ни одного события. В этом случае соответствующее число, означающее количество событий в такой группе, будет равно нулю.

Произведенная нами разбивка на группы позволяет сразу написать

ибо совмещению событий А и В благоприятствуют события первой группы и только они. Общее число событий, благоприятствующих А, равно общему числу событий в первой и второй группах, а благоприятствующих В - общему числу событий в первой и третьей группах.

Подсчитаем теперь вероятность то есть вероятность события В при условии, что событие А имело место. Теперь события, входящие в третью и четвертую группы, отпадают, так как их появление противоречило бы наступлению события А, и число возможных случаев оказывается равным уже не . Из них событию В благоприятствуют лишь события первой группы, так что мы получаем:

Для доказательства теоремы достаточно теперь написать очевидное тождество:

и заменить в нем все три дроби вычисленными выше вероятностями. Мы придем к утверждавшемуся в теореме равенству:

Ясно, что написанное нами выше тождество имеет смысл лишь при что справедливо всегда, если только А не есть невозможное событие.

Так как события А и В равноправны, то, поменяв их местами, получим другую форму теоремы умножения:

Впрочем, это равенство можно получить тем же путем, что и предыдущее, если заметить, что воспользоваться тождеством

Сравнивая правые части двух выражений для вероятности Р(А и В), получим полезное равенство:

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие теорему умножения.

Пример 4. В продукции некоторого предприятия признаются годными (событие А) 96% изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие будет годным и принадлежит к первому сорту.

Решение. Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий А и В. По условию имеем: . Поэтому теорема умножения дает

Пример 5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2. Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы (т. е. в 2% случаев выстрела не

Решение. Пусть событие В состоит в том, что выстрел произойдет, а В означает противоположное событие. Тогда по условию и согласно следствию из теоремы сложения . Далее, по условию .

Поражение цели означает совмещение событий А и В (выстрел произойдет и даст попадание), поэтому по теореме умножения

Важный частный случай теоремы умножения можно получить, если воспользоваться понятием независимости событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступило другое.

Примерами независимых событий являются выпадение различного числа очков при повторном бросании игральной кости или той или иной стороны монет при повторном бросании монеты, так как очевидно, что вероятность выпадения герба при втором бросании равна независимо от того, выпал или не выпал герб в первом.

Аналогично, вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны с белыми и черными шарами, если вынутый первым шар предварительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой. Наоборот, если шар, вынутый первым, не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Здесь мы имеем пример зависимых событий.

Пользуясь обозначениями, принятыми для условных вероятностей, можно записать условие независимости событий А и В в виде

Воспользовавшись этими равенствами, мы можем привести теорему умножения для независимых событий к следующей форме.

Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий:

Действительно, достаточно в первоначальном выражении теоремы умножения положить , что вытекает из независимости событий, и мы получим требуемое равенство.

Рассмотрим теперь несколько событий: Будем называть их независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет

В случае событий, независимых в совокупности, теорема умножения может быть распространена на любое конечное число их, благодаря чему ее можно сформулировать так:

Вероятность совмещения событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 6. Рабочий обслуживает три автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправности, если станок остановится. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9. Та же вероятность для второго станка равна 0,8 и для третьего - 0,7. Определить вероятность того, что в течение часа рабочему не потребуется подойти ни к одному из обслуживаемых им станков.

Пример 7. Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом Какова вероятность уничтожения неприятельского самолета при одновременной стрельбе из 250 винтовок?

Решение. Вероятность того, что при одиночном выстреле самолет не будет сбит, по теореме сложения равна Тогда можно подсчитать с помощью теоремы умножения вероятность того, что самолет не будет сбит при 250 выстрелах, как вероятность совмещения событий. Она равна После этого мы можем снова воспользоваться теоремой сложения и найти вероятность того, что самолет будетсбит, как вероятность противоположного события

Отсюда видно, что, хотя вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом ничтожно мала, тем не менее при стрельбе из 250 винтовок вероятность сбить самолет оказывается уже весьма ощутимой. Она существенно возрастает, если число винтовок увеличить. Так, при стрельбе из 500 винтовок вероятность сбить самолет, как легко подсчитать, равна при стрельбе из 1000 винтовок - даже .

Доказанная выше теорема умножения позволяет несколько расширить теорему сложения, распространив ее на случай совместимых событий. Ясно, что если события А и В совместимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них не равна сумме их вероятностей. Например, если событие А означает выпадение четного

числа очков при бросании игральной кости, а событие В - выпадение числа очков, кратного трем, то событию (А или В) благоприятствует выпадение 2, 3, 4 и 6 очков, то есть

С другой стороны, то есть . Таким образом, в этом случае

Отсюда видно, что в случае совместимых событий теорема сложения вероятностей должна быть изменена. Как мы сейчас увидим, ее можно сформулировать таким образом, чтобы она была справедлива и для совместимых, и для несовместных событий, так что ранее рассмотренная теорема сложения окажется частным случаем новой.

Событий, которые А не благоприятствуют.

Все элементарные события, которые благоприятствуют событию (А или В), должны благоприятствовать либо только А, либо только В, либо и А и В. Таким образом, общее число таких событий равно

а вероятность

что и требовалось доказать.

Применяя формулу (9) к рассмотренному выше примеру выпадения числа очков при бросании игральной кости, получим:

что совпадает с результатом непосредственного подсчета.

Очевидно, что формула (1) является частным случаем (9). Действительно, если события А и В несовместны, то и вероятность совмещения

Примере. В электрическую цепь включены последовательно два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определим вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Решение. Так как события А и В, состоящие в выходе из строя первого и второго из предохранителей, совместимы, то искомая вероятность определится по формуле (9):

Упражнения

Изучение теории вероятности начинается с решения задач на сложение и умножение вероятностей. Стоит сразу упомянуть, что студент при освоении данной области знаний может столкнуться с проблемой: если физические или химические процессы можно представить визуально и понять эмпирически, то уровень математической абстракции очень высок, и понимание здесь приходит только с опытом.

Однако игра стоит свеч, ведь формулы - как рассматриваемые в данной статье, так и более сложные - используются сегодня повсеместно и вполне могут пригодиться в работе.

Происхождение

Как ни странно, толчком к развитию данного раздела математики стали… азартные игры. Действительно, игра в кости, бросание монетки, покер, рулетка - это типичные примеры, в которых используются сложение и умножение вероятностей. На примере задач в любом учебнике это можно увидеть наглядно. Людям было интересно узнать, как увеличить свои шансы на победу, и, надо сказать, некоторые в этом преуспели.

Например, уже в XXI веке один человек, чьего имени раскрывать мы не будем, использовал эти накопленные веками знания, чтобы буквально «обчистить» казино, выиграв в рулетку несколько десятков миллионов долларов.

Впрочем, несмотря на повышенный интерес к предмету, только к XX веку была разработана теоретическая база, делающая «теорвер» полноценной Сегодня же практически в любой науке можно встретить расчёты, использующие вероятностные методы.

Применимость

Важным моментом при использовании формул сложения и умножения вероятностей, условной вероятности является выполнимость центральной предельной теоремы. В противном случае хоть это и может и не осознаваться студентом, все вычисления, какими бы правдоподобными они ни казались, будут некорректны.

Да, у высокомотивированного учащегося возникает соблазн использовать новые знания при каждом удобном случае. Но в данном случае следует несколько притормозить и строго очертить рамки применимости.

Теория вероятности имеет дело со случайными событиями, которые в эмпирическом плане представляют собой результаты экспериментов: мы можем бросать кубик с шестью гранями, вытаскивать карту из колоды, предсказывать количество бракованных деталей в партии. Однако в некоторых вопросах использовать формулы из этого раздела математики категорически нельзя. Особенности рассмотрения вероятностей события, теорем сложения и умножения событий мы обсудим в конце статьи, а пока обратимся к примерам.

Основные понятия

Под случайным событием подразумевается некоторый процесс или результат, который может проявиться, а может и не проявиться в результате эксперимента. Например, мы подбрасываем бутерброд - он может упасть маслом вверх или маслом вниз. Любой из двух исходов будет являться случайным, и мы заранее не знаем, какой из них будет иметь место.

При изучении сложения и умножения вероятностей нам понадобятся ещё два понятия.

Совместными называются такие события, появление одного из которых не исключает появления другого. Скажем, два человека одновременно стреляют по мишени. Если один из них произведет успешный никак не отразится на возможности второго попасть в «яблочко» или промахнуться.

Несовместными будут такие события, появление которых одновременно является невозможным. Например, вытаскивая из коробки только один шарик, нельзя достать сразу и синий, и красный.

Обозначение

Понятие вероятности обозначается латинской заглавной буквой P. Далее в скобках следуют аргументы, обозначающие некоторые события.

В формулах теоремы сложения, условной вероятности, теоремы умножения вы увидите в скобках выражения, например: A+B, AB или A|B. Рассчитываться они будут различными способами, к ним мы сейчас и обратимся.

Сложение

Рассмотрим случаи, в которых используются формулы сложения и умножения вероятностей.

Для несовместных событий актуальна самая простая формула сложения: вероятность любого из случайных исходов будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов.

Предположим, что есть коробка с 2 синими, 3 красными и 5 жёлтыми шариками. Итого в коробке имеется 10 предметов. Какова доля истинности утверждения, что мы вытащим синий или красный шар? Она будет равна 2/10 + 3/10, т. е. пятьдесят процентов.

В случае же несовместных событий формула усложняется, поскольку добавляется дополнительное слагаемое. Вернемся к нему через один абзац, после рассмотрения ещё одной формулы.

Умножение

Сложение и умножение вероятностей независимых событий используются в разных случаях. Если по условию эксперимента нас устраивает любой из двух возможных исходов, мы посчитаем сумму; если же мы хотим получить два некоторых исхода друг за другом, мы прибегнем к использованию другой формулы.

Возвращаясь к примеру из предыдущего раздела, мы хотим вытащить сначала синий шарик, а затем - красный. Первое число нам известно - это 2/10. Что происходит дальше? Шаров остается 9, красных среди них всё столько же - три штуки. Согласно расчётам получится 3/9 или 1/3. Но что теперь делать с двумя числами? Правильный ответ - перемножать, чтобы получилось 2/30.

Совместные события

Теперь можно вновь обратиться к формуле суммы для совместных событий. Для чего мы отвлекались от темы? Чтобы узнать, как перемножаются вероятности. Сейчас нам это знание пригодится.

Мы уже знаем, какими будут первые два слагаемых (такие же, как и в рассмотренной ранее формуле сложения), теперь же потребуется вычесть произведение вероятностей, которое мы только что научились рассчитывать. Для наглядности напишем формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Получается, что в одном выражении используется и сложение, и умножение вероятностей.

Допустим, мы должны решить любую из двух задач, чтобы получить зачёт. Первую мы можем решить с вероятностью 0,3, а вторую - 0,6. Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Заметьте, просто просуммировать числа здесь будет недостаточно.

Условная вероятность

Наконец, существует понятие условной вероятности, аргументы которой обозначаются в скобках и разделяются вертикальной чертой. Запись P(A|B) читается следующим образом: «вероятность события A при условии события B».

Посмотрим пример: друг дает вам некоторый прибор, пусть это будет телефон. Он может быть сломан (20 %) или исправен (80 %). Любой попавший в руки прибор вы в состоянии починить с вероятностью 0,4 либо не в состоянии этого сделать (0,6). Наконец, если прибор находится в рабочем состоянии, вы можете дозвониться до нужного человека с вероятностью 0,7.

Легко заметить, как в данном случае проявляется условная вероятность: вы не сможете дозвониться до человека, если телефон сломан, а если он исправен, вам не требуется его чинить. Таким образом, чтобы получить какие-либо результаты на «втором уровне», нужно узнать, какое событие выполнилось на первом.

Расчёты

Рассмотрим примеры решения задач на сложение и умножение вероятностей, воспользовавшись данными из предыдущего абзаца.

Для начала найдем вероятность того, что вы почините отданный вам аппарат. Для этого, во-первых, он должен быть неисправен, а во-вторых, вы должны справиться с починкой. Это типичная задача с использованием умножения: получаем 0,2*0,4 = 0,08.

Какова вероятность, что вы сразу дозвонитесь до нужного человека? Проще простого: 0,8*0,7 = 0,56. В этом случае вы обнаружили, что телефон исправен и успешно совершили звонок.

Наконец, рассмотрим такой вариант: вы получили сломанный телефон, починили его, после чего набрали номер, и человек на противоположном конце взял трубку. Здесь уже требуется перемножение трёх составляющих: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

А что делать, если у вас сразу два нерабочих телефона? С какой вероятностью вы почините хотя бы один из них? на сложение и умножение вероятностей, поскольку используются совместные события. Решение: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Таким образом, если вам в руки попадёт два сломанных аппарата, вы справитесь с починкой в 64% случаев.

Внимательное использование

Как говорилось в начале статьи, использование теории вероятности должно быть обдуманным и осознанным.

Чем больше серия экспериментов, тем ближе подходит теоретически предсказываемое значение к полученному на практике. Например, мы бросаем монетку. Теоретически, зная о существовании формул сложения и умножения вероятностей, мы можем предсказать, сколько раз выпадет «орёл» и «решка», если мы проведем эксперимент 10 раз. Мы провели эксперимент, и по стечению обстоятельств соотношение выпавших сторон составило 3 к 7. Но если провести серию из 100, 1000 и более попыток, окажется, что график распределения всё ближе подбирается к теоретическому: 44 к 56, 482 к 518 и так далее.

А теперь представьте, что данный эксперимент проводится не с монеткой, а с производством какого-нибудь новейшего химического вещества, вероятности получения которого мы не знаем. Мы провели бы 10 экспериментов и, не получив успешного результата, могли бы обобщить: «вещество получить невозможно». Но кто знает, проведи мы одиннадцатую попытку - достигли бы мы цели или нет?

Таким образом, если вы обращаетесь к неизведанному, к неисследованной области, теория вероятности может оказаться неприменима. Каждая последующая попытка в этом случае может оказаться успешной и обобщения типа «X не существует» или «X является невозможным» будут преждевременны.

Заключительное слово

Итак, мы рассмотрели два вида сложения, умножение и условные вероятности. При дальнейшем изучении данной области необходимо научиться различать ситуации, когда используется каждая конкретная формула. Кроме того, нужно представлять, применимы ли вообще вероятностные методы при решении вашей задачи.

Если вы будете практиковаться, то через некоторое время начнете осуществлять все требуемые операции исключительно в уме. Для тех, кто увлекается карточными играми, этот навык можно считать крайне ценным - вы значительно увеличите свои шансы на победу, всего лишь рассчитывая вероятность выпадения той или иной карты или масти. Впрочем, полученным знаниям вы без труда найдете применение и в других сферах деятельности.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Зависимые и независимые события

Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам – тонкостей тоже хватает. В добрый путь:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий : вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого) , равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :

Теорема-мечта =) Однако, и такая мечта подлежит доказательству, которое можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана.

Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:

Зависимые и независимые события

Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:

Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы.

Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-й орёл.

Заметьте, что события образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: . Потренируемся на конкретных примерах:

Задача 3

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению:
– соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ : 0,504

После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:

Задача 4

В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» ;-) Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.

Зависимые события . Событие называют зависимым , если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:

– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.

Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным . Таким образом, событие является зависимым .

Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость/независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: .

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .

Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.

! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.

Способ третий : события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий ). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.

Ответ :

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:

Решение : по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ :

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.

Похожие задачи для самостоятельного решения:

Задача 6

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу , найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения) .

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами)

Задача 7

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления.

Знакомьтесь – он самый, который настрогал для вас немереное количество деталей =):

Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение : коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

Один из читателей обнаружил тут прикольную опечатку, даже исправлять не буду =)

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или :
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или :
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует .

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.

Ответ :

Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .

Задача 9

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.

Решение и ответ в конце урока.

И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.

В заключение статьи разберём ещё одну распространённую головоломку:

Задача 10

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение : обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ : 0,7

Просто и изящно.

В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:

Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция для студентов землеустроительного факультета

заочной формы обучения

Горки, 2012

Сложение и умножение вероятностей. Повторные

независимые испытания

Сложение вероятностей

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

Из данной теоремы следует:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
.

Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение . Обозначим события:

A ={извлечён цветной шар};

B ={извлечён белый шар};

C ={извлечён красный шар};

D ={извлечён синий шар}.

Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

Решение . Обозначим события:

A ={вынуты шары одного цвета};

B ={вынуты шары белого цвета};

C ={вынуты шары чёрного цвета}.

Так как A = B + C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
. Вероятность событияВ равна
, где
4,

. Подставим k и n в формулу и получим
Аналогично найдём вероятность событияС :
, где
,
, т.е.
. Тогда
.

Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

Решение . Обозначим события:

A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

B ={среди вынутых карт три туза};

C ={среди вынутых карт четыре туза}.

Так как A = B + C , а события В и С несовместны, то
. Найдём вероятности событийВ и С :

,
. Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

0.0022.

Умножение вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие С , состоящее в совместном наступлении этих событий:
. Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События ,, … ,называютсянезависимыми в совокупности , если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

A ={первый стрелок попал в цель};

B ={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение . Обозначим события:

A

B

C ={оба стрелка попадут в цель}.

Так как
, а событияА и В независимы, то
, т.е..

События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается
или
.

Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

A ={извлечён белый шар} ;

B ={извлечён чёрный шар}.

Перед началом извлечения шаров из урны
. Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность событияА после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность событияА зависит от события В , т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т.е. или.

Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

Решение . Обозначим события:

A ={первым извлечён чёрный шар};

B ={вторым извлечён чёрный шар}.

События А и В зависимы, так как
, а
. Тогда
.

Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение . Обозначим события:

A ={произойдут два попадания в цель};

B ={первый стрелок попадёт в цель};

C ={второй стрелок попадёт в цель};

D ={третий стрелок попадёт в цель};

={первый стрелок не попадёт в цель};

={второй стрелок не попадёт в цель};

={третий стрелок не попадёт в цель}.

По условию примера
,
,
,

,
,
. Так как, то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

Пусть события
образуют полную группу событий некоторого испытания, а событииА может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятностисобытияА , то вероятность события А вычисляется по формуле:

или
. Эта формула называетсяформулой полной вероятности , а события
гипотезами .

Пример 9 . На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

Решение . Обозначим события:

A ={взятая деталь будет бракованной};

={деталь изготовлена на первом станке};

={деталь изготовлена на втором станке}.

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна
. Для второго станка
. По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна
. Для второго станка эта вероятность равна
. Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А , то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой
, равна
, где
- полная вероятность событияА . Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий
после того, как стало известно, что событиеА уже наступило.

Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

Решение . Обозначим события:

A ={куплена стандартная деталь};

={деталь изготовлена на первом заводе};

={деталь изготовлена на втором заводе}.

По условию примера
,
,
и
. Вычислим полную вероятность событияА : 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:

.

Задания для самостоятельной работы

Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% - со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .

Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

Формула Бернулли

Испытания называются независимыми , если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью
, не зависящей от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях. Вероятность противоположного событияв этом случае равна
.

Пример 11 . Бросается игральный кубик n раз. Обозначим событие A ={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, произошло или не произошло это событие в других испытаниях. Поэтому эти испытания являются независимыми. Вероятность противоположного события
{не выпадение трёх очков} равна
.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле
, где
. Эта формула называетсяформулой Бернулли и удобна она в том случае, если число испытаний n не слишком велико.

Пример 12 . Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.

Решение . По условию примера .

а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна

0.132.

б) Обозначим событие A ={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:

0.297.

Следовательно,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Теоремы Лапласа и Пуассона

По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.

Локальная теорема Лапласа . Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле

, где
, а значения функции
приведены в таблице.

Основными свойствами функции
являются:

Функция
определена и непрерывна в интервале
.

Функция
положительна, т.е.
>0.

Функция
чётная, т.е.
.

Так как функция
чётная, то в таблице приведены её значения только для положительных значенийх .

Пример 13 . Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.

Решение . По условию примера n =100, k =90, p =0.8, q =1-0.8=0.2. Тогда
. По таблице найдём значение функции
:
. Вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90, равна
0.0044.

При решении практических задач возникает необходимость найти вероятность наступления события А при n независимых испытаниях не менее раз и не болеераз. Такая задача решается с помощьюинтегральной теоремы Лапласа : Пусть вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие наступит не менее раз и не болеераз при достаточно большом числе испытаний, вычисляется по формуле

Где
,
.

Функция
называетсяфункцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Значения этой функции приведены в специальных таблицах.

Основными свойствами функции
являются:

.

Функция
возрастает в интервале
.

при
.

Функция
нечётная, т.е.
.

Пример 14 . Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.

Решение . Обозначим . Вычислим
,