Многообразие чисел. Обозначение, запись и изображение числовых множеств


Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

  • N – множество всех натуральных чисел;
  • Z – множество целых чисел;
  • Q – множество рациональных чисел;
  • J – множество иррациональных чисел;
  • R – множество действительных чисел;
  • C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Числа разделяются на классы. Целые положительные числа - N = {1, 2, 3, … } - составляют множество натуральных чисел. Зачастую и 0 считают натуральным числом.

Множество целых чисел Z включает в себя все натуральные числа, число 0 и все натуральные числа, взятые со знаком минус: Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.

Каждое рациональное число x можно задать парой целых чисел (m, n), где m является числителем, n - знаменателем числа: x = m/n. Эквивалентным представлением рационального числа является его задание в виде числа, записанного в позиционной десятичной системе счисления, где дробная часть числа может быть конечной или бесконечной периодической дробью. Например, число x = 1/3 = 0,(3) представляется бесконечной периодической дробью.

Числа, задаваемые бесконечными непериодическими дробями, называются иррациональными числами . Таковыми являются, например, все числа вида vp, где p - простое число. Иррациональными являются известные всем числа и e.

Объединение множеств целых, рациональных и иррациональных чисел составляет множество вещественных чисел. Геометрическим образом множества вещественных чисел является прямая линия - вещественная ось, где каждой точке оси соответствует некоторое вещественное число, так что вещественные числа плотно и непрерывно заполняют всю вещественную ось.

Плоскость представляет геометрический образ множества комплексных чисел, где вводятся уже две оси - вещественная и мнимая. Каждое комплексное число, задаваемое парой вещественных чисел, представимо в виде: x = a+b*i, где a и b - вещественные числа, которые можно рассматривать как декартовы координаты числа на плоскости.

Делители и множители

Рассмотрим сейчас классификацию, которая делит множество натуральных чисел на два подмножества - простых и составных чисел. В основе этой классификации лежит понятие делимости натуральных чисел. Если n делится нацело на d, то говорят, что d "делит" n, и записывают это в виде: . Заметьте, это определение, возможно, не соответствует интуитивному пониманию: d "делит" n, если n делится на d, а не наоборот. Число d называется делителем числа n. У каждого числа n есть два тривиальных делителя - 1 и n. Делители, отличные от тривиальных, называются множителями числа n. Число n называется простым, если у него нет делителей, отличных от тривиальных. Простые числа делятся только на 1 и сами на себя. Числа, у которых есть множители, называются составными. Число 1 является особым числом, поскольку не относится ни к простым, ни к составным числам. Отрицательные числа также не относятся ни к простым, ни к составным, но всегда можно рассматривать модуль числа и относить его к простым или составным числам.

Любое составное число N можно представить в виде произведения его множителей: . Это представление не единственно, например 96 = 8*12 = 2*3*16. Однако для каждого составного числа N существует единственное представление в виде произведения степеней простых чисел: , где - простые числа и . Это представление называется разложением числа N на простые множители. Например .

Если и , то d является общим делителем чисел m и n. Среди всех общих делителей можно выделить наибольший общий делитель, обозначаемый как НОД(m,n). Если НОД(m,n) = 1, то числа m и n называются взаимно простыми. Простые числа взаимно просты, так что НОД(q,p) =1, если q и p - простые числа.

Если и , то A является общим кратным чисел m и n. Среди всех общих кратных можно выделить наименьшее общее кратное, обозначаемое как НОК(m,n). Если НОК(m,n) = m*n, то числа m и n являются взаимно простыми. НОК(q, p) =q*p, если q и p - простые числа.

Если через и обозначить множества всех простых множителей чисел m и n, то

Если получено разложение чисел m и n на простые множители, то, используя приведенные соотношения, нетрудно вычислить НОД(m,n) и НОК(m,n). Существуют и более эффективные алгоритмы, не требующие разложения числа на множители.

Алгоритм Эвклида

Эффективный алгоритм вычисления НОД(m,n) предложен еще Эвклидом. Он основывается на следующих свойствах НОД(m,n), доказательство которых предоставляется читателю:

Если , то по третьему свойству его можно уменьшить на величину n. Если же , то по второму свойству аргументы можно поменять местами и вновь придти к ранее рассмотренному случаю. Когда же в результате этих преобразований значения аргументов сравняются, то решение будет найдено. Поэтому можно предложить следующую схему:

while(m != n) { if(m < n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Здесь процедура swap выполняет обмен значениями аргументов.

Если немного подумать, то становится ясно, что вовсе не обязательно обмениваться значениями - достаточно на каждом шаге цикла изменять аргумент с максимальным значением. В результате приходим к схеме:

while(m != n) { if(m > n) m = m - n; else n = n - m; } return(m);

Если еще немного подумать, то можно улучшить и эту схему, перейдя к циклу с тождественно истинным условием:

while(true) { if(m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; else return(m); }

Последняя схема хороша тем, что в ней отчетливо видна необходимость доказательства завершаемости этого цикла. Доказать завершаемость цикла нетрудно, используя понятие варианта цикла . Для данного цикла вариантом может служить целочисленная функция - max(m,n) , которая уменьшается на каждом шаге, оставаясь всегда положительной.

Достоинством данной версии алгоритма Эвклида является и то, что на каждом шаге используется элементарная и быстрая операция над целыми числами - вычитание. Если допустить операцию вычисления остатка при делении нацело, то число шагов цикла можно существенно уменьшить. Справедливо следующее свойство:

Это приводит к следующей схеме:

int temp; if(n>m) temp = m; m = n; n = temp; //swap(m,n) while(m != n) { temp = m; m = n; n = temp%n; }

Если немного подумать, то становится ясно, что вовсе не обязательно выполнять проверку перед началом цикла. Это приводит к более простой схеме вычисления НОД, применяемой обычно на практике:

int temp; while(m != n) { temp = m; m = n; n = temp%n; }

Для вычисления НОК(m, n) можно воспользоваться следующим соотношением:

А можно ли вычислить НОК(m, n), не используя операций умножения и деления? Оказывается, можно одновременно с вычислением НОД(m,n) вычислять и НОК(m,n). Вот соответствующая схема:

int x = v = m, y = u = n,; while(x != y) { if(x > y){ x = x - y; v = v + u;} else {y = y - x; u = u + v;} } НОД = (x + y)/2; НОК = (u+v)/2;

Доказательство того, что эта схема корректно вычисляет НОД, следует из ранее приведенных свойств НОД. Менее очевидна корректность вычисления НОК. Для доказательства заметьте, что инвариантом цикла является следующее выражение:

Это соотношение выполняется после инициализации переменных до начала выполнения цикла. По завершении цикла, когда x и y становятся равными НОД, из истинности инварианта следует корректность схемы. Нетрудно проверить, что операторы тела цикла оставляют утверждение истинным. Детали доказательства оставляются читателям.

Понятие НОД и НОК можно расширить, определив их для всех целых чисел. Справедливы следующие соотношения:

Расширенный алгоритм Эвклида

Иногда полезно представлять НОД(m,n) в виде линейной комбинации m и n:

В частности, вычисление коэффициентов a и b необходимо в алгоритме RSA - шифрования с открытым ключом. Приведу схему алгоритма, позволяющую вычислить тройку - d, a, b - наибольший общий делитель и коэффициенты разложения. Алгоритм удобно реализовать в виде рекурсивной процедуры

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

которая по заданным входным аргументам m и n вычисляет значения аргументов d, a, b. Нерекурсивная ветвь этой процедуры соответствует случаю n = 0, возвращая в качестве результата значения: d = m, a = 1, b = 0. Рекурсивная ветвь вызывает

ExtendedEuclid(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

и затем изменяет полученные в результате вызова значения a и b следующим образом:

Доказательство корректности этого алгоритма построить нетрудно. Для нерекурсивной ветви корректность очевидна, а для рекурсивной ветви нетрудно показать, что из истинности результата, возвращаемого при рекурсивном вызове, следует его истинность для входных аргументов после пересчета значений a и b.

Как работает эта процедура? Вначале происходит рекурсивный спуск, пока n не станет равно нулю.

В этот момент впервые будет вычислено значение d и значения параметров a и b. После этого начнется подъем и будут перевычисляться параметры a и b.

Задачи
  • 49. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
  • 50. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОК(m, n).
  • 51. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
  • 52. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
  • 53. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
  • 54. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях используйте операцию взятия остатка от деления нацело.
  • 55. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях используйте операцию взятия остатка от деления нацело.
  • 56. Даны m и n - целые числа. Вычислите тройку чисел - (d, a, b), используя расширенный алгоритм Эвклида.
  • 57. Даны m и n - натуральные числа. Представьте НОД(m, n) в виде линейной комбинации m и n.
  • 58. Даны m и n - целые числа. Представьте НОД(m, n) в виде линейной комбинации m и n.
  • 59. Даны m и n - целые числа. Проверьте, являются ли числа m и n взаимно простыми.
Простые числа

Среди четных чисел есть только одно простое число - это 2. Простых нечетных чисел сколь угодно много. Нетрудно доказать, что число , где - подряд идущие простые числа, является простым. Так что, если построено простых чисел, то можно построить еще одно простое число , большее . Отсюда следует, что множество простых чисел неограниченно. Пример: число N = 2*3*5*7 + 1 = 211 является простым числом.

Решето Эратосфена

Как определить, что число N является простым? Если допустима операция N % m, дающая остаток от деления числа N на число m, то простейший алгоритм состоит в проверке того, что остаток не равен нулю при делении числа N на все числа m, меньшие N. Очевидным улучшением этого алгоритма является сокращение диапазона проверки - достаточно рассматривать числа m в диапазоне .

Еще в 3-м веке до н.э. греческий математик Эратосфен предложил алгоритм нахождения простых чисел в диапазоне , не требующий операций деления. Этот алгоритм получил название "Решето Эратосфена". В компьютерном варианте идею этого алгоритма можно описать следующим образом. Построим массив Numbers, элементы которого содержат подряд идущие нечетные числа, начиная с 3. Вначале все числа этого массива считаются невычеркнутыми. Занесем первое невычеркнутое число из этого массива в массив SimpleNumbers - и это будет первое нечетное простое число (3). Затем выполним просеивание, проходя по массиву Numbers с шагом, равным найденному простому числу, вычеркивая все попадающиеся при этом проходе числа. При первом проходе будет вычеркнуто число 3 и все числа, кратные 3. На следующем проходе в таблицу простых чисел будет занесено следующее простое число 5, а из массива Numbers будут вычеркнуты числа, кратные 5. Процесс повторяется, пока не будут вычеркнуты все числа в массиве Numbers. В результате массив SimpleNumbers будет содержать таблицу первых простых чисел, меньших N.

Этот алгоритм хорош для нахождения сравнительно небольших простых чисел. Но если потребуется найти простое число с двадцатью значащими цифрами, то памяти компьютера уже не хватит для хранения соответствующих массивов. Замечу, что в современных алгоритмах шифрования используются простые числа, содержащие несколько сотен цифр.

Плотность простых чисел

Мы показали, что число простых чисел неограниченно. Понятно, что их меньше, чем нечетных чисел, но насколько меньше? Какова плотность простых чисел? Пусть - это функция, возвращающая число простых чисел, меньших n. Точно задать эту функцию не удается, но для нее есть хорошая оценка. Справедлива следующая теорема:

Функция асимптотически сверху приближается к своему пределу, так что оценка дает слегка заниженные значения. Эту оценку можно использовать в алгоритме решета Эратосфена для выбора размерности массива SimpleNumbers, когда задана размерность массива Numbers, и, наоборот, при заданной размерности таблицы простых чисел можно выбрать подходящую размерность для массива Numbers.

Табличный алгоритм определения простоты чисел

Если хранить таблицу простых чисел SimpleNumbers, в которой наибольшее простое число равно M, то достаточно просто определить, является ли число N, меньшее , простым. Если N меньше M, то достаточно проверить, находится ли число N в таблице SimpleNumbers. Если N больше M, то достаточно проверить, делится ли число N на числа из таблицы SimpleNumbers, не превосходящие значения vN. Понятно, что если у числа N нет простых множителей, меньших vN, то число N является простым.

Использование таблицы простых чисел требует соответствующей памяти компьютера, а следовательно, ограничивает возможности этого алгоритма, не позволяя использовать его для нахождения больших простых чисел.

Тривиальный алгоритм

Если N - нечетное число, то проверить, что оно является простым, можно на основе определения простоты числа. При этом не требуется никакой памяти для хранения таблиц чисел, - но, как всегда, выигрывая в памяти, мы проигрываем во времени. Действительно, достаточно проверить, делится ли нацело число N на подряд идущие нечетные числа в диапазоне . Если у числа N есть хоть один множитель, то оно составное, иначе - простое.

Все рассмотренные алгоритмы перестают эффективно работать, когда числа выходят за пределы разрядной сетки компьютера, отведенной для представления чисел, так что если возникает необходимость работы с целыми числами, выходящими за пределы диапазона System.Int64, то задача определения простоты такого числа становится совсем не простой. Существуют некоторые рецепты, позволяющие определить, что число является составным. Вспомним хотя бы известные со школьных времен алгоритмы. Если последняя цифра числа делится на 2, то и число делится на 2. Если две последние цифры числа делятся на 4, то и число делится на 4. Если сумма цифр делится на 3 (на 9), то и число делится на 3 (на 9). Если последняя цифра равна 0 или 5, то число делится на 5. Математики затратили много усилий, доказывая, что то или иное число является (или не является) простым числом. Сейчас есть особые приемы, позволяющие доказать, что числа некоторого вида являются простыми. Наиболее подходящими кандидатами на простоту являются числа вида , где p - это простое число. Например, доказано, что число , имеющее более 6000 цифр, является простым, но нельзя сказать, какие простые числа являются ближайшими соседями этого числа.

Задачи

Проекты

  • 67. Построить класс "Температура", позволяющий задавать температуру в разных единицах измерения. Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
  • 68. Построить класс "Расстояния", позволяющий использовать разные системы мер. Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
  • 69. Построить класс "Простые числа". Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
  • 70. Построить класс "Системы счисления". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления в заданной системе счисления.
  • 71. Построить класс "Рациональные числа". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления с этими числами.
  • 72. Построить класс "Комплексные числа". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления с этими числами.

Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой. Координаты. Свойство координат точек. Центр числовой окружности. От окружности к тригонометру. Найдите на числовой окружности точки. Точки с абсциссой. Тригонометр. На числовой окружности укажите точку. Числовая окружность на координатной плоскости. Числовая окружность. Точки с ординатой. Назвать координату точки. Назвать линию и координату точки.

««Производные» 10 класс алгебра» - Применение производной для исследования функций. Производная равна нулю. Найдите точки. Обобщаем информацию. Характер монотонности функции. Применение производной к исследованию функций. Теоретическая разминка. Закончите формулировки утверждений. Выберите верное утверждение. Теорема. Сравните. Производная положительна. Сравните формулировки теорем. Функция возрастает. Достаточные условия экстремума.

««Тригонометрические уравнения» 10 класс» - Значения из промежутка. X= tg х. Укажите корни. Верно ли равенство. Серии корней. Уравнение ctg t = a. Определение. Cos 4x. Найти корни уравнения. Уравнение tg t = a. Sin х. Имеет ли смысл выражение. Sin x =1. Не делай никогда того, чего не знаешь. Продолжите фразу. Сделаем выборку корней. Решите уравнение. Ctg x = 1. Тригонометрические уравнения. Уравнение.

«Алгебра «Производные»» - Уравнение касательной. Происхождение терминов. Решить задачу. Производная. Материальная точка. Формулы дифференцирования. Механический смысл производной. Критерии оценок. Функция производная. Касательная к графику функции. Определение производной. Уравнение касательной к графику функции. Алгоритм отыскания производной. Пример нахождения производной. Структура изучения темы. Точка движется прямолинейно.

«Кратчайший путь» - Путь в орграфе. Пример двух разных графов. Ориентированные графы. Примеры ориентированных графов. Достижимость. Кратчайший путь из вершины A в вершину D. Описание алгоритма. Преимущества иерархического списка. Взвешенные графы. Путь в графе. Программа “ProGraph”. Смежные вершины и рёбра. Степень вершины. Матрица смежности. Длина пути во взвешенном графе. Пример матрицы смежности. Нахождение кратчайшего пути.

«История тригонометрии» - Якоб Бернулли. Техника оперирования с тригонометрическими функциями. Учение об измерении многогранников. Леонард Эйлер. Развитие тригонометрии с XVI века до нашего времени. Ученику приходится встречаться с тригонометрией трижды. До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась. Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний. Проходит время, и тригонометрия возвращается к школьникам.

Рисунок 3 Организационная диаграмма

Добавление организационной диаграммы выполнено с помощью кнопки Добавить диаграмму или организационную диаграмму, в её блоках заменён исходный тест, после чего весь объект сжат по вертикали.

1.1 Программа WordArt

Программа предназначена для ввода в документ художественных надписей, их редактирования, размещения в тексте и др.

Вставка объекта выполняется следующим образом:

    сделать щелчок левой мышью по клавише Добавить объект Word Art , выбрать вид надписи, нажать клавишу ОК;

    в появившемся окне Изменение текста WordArt задать тип шрифта, его размер и начертание (полужирный, курсив), ввести текст и нажать клавишу ОК .

    появится панель WordArt , имеющая вид (рис. 4):

Рисунок 4 Панель инструментов WordArt

Панель содержит кнопки: Добавить объект WordArt ,Изменить текст…, Коллекция WordArt , Формат объекта WordArt (цвета и линии, размер, положение на экране, обтекание, рисунок, надпись), Меню Текст-Фигура (формы надписей), Вертикальный текст и др.

Размеры текста можно изменить с помощью белых кружков контура выделения. Перемещение текста выполняется мышью, при этом нужно ухватить текст за его середину или линию контура выделения. Вращение объекта выполняется с помощью зелёных кружков, наклон надписи –

с помощью жёлтых ромбиков. Цвет и другие параметры объекта изменяются с помощью кнопки Формат объекта WordArt или с основной панели Рисование, с которой дополнительно можно задать эффекты затенения и объёмности.

Например, название газеты "Знамя " после ввода и настройки с помощью программы WordArt может иметь вид (рис. 5):

Пример 3

Рисунок 5 Надпись "Знамя"

2 Разработка настенного объявления

При его разработке используются текстовые поля, которые создаются с помощью кнопки Надпись. Надпись – это кадр, "заплата", которая накладывается на документ и может содержать любые данные – текст, таблицу, картинки и другие объекты. Такое объявление обычно состоит из рисунка, текста объявления, названия организации и листков "отрывных телефонов". Все элементы объявления вводятся в свои текстовые поля №1-№5:

Пример 4: Последовательность действий (возможная) при создании настенного объявления с использованием текстовых полей:

    С помощью кнопки Надпись панели инструментов Рисование создайте текстовое поле №1, совпадающее по размерам с объявлением.

    В меню Формат выберите пункт Границы и заливка и создайте рамку вокруг текстового поля №1 – это размерные границы объявления. Рамка может быть двойной, полужирной, пунктирной и т.п.

    В левом верхнем углу поля №1 создайте поле №2 (без обрамления), в

котором будет размещаться название организации.

    В панели Рисование выберите пункт Добавить объект WordArt .

    На экране появится окно WordArt, выберите выпуклую надпись, нажмите ОК. В поле Ввод текста наберите название организации "студент". Задайте тип шрифта Arial, размер 18, начертание- полужирный, курсив, нажмите OK . В текстовом поле №2 появится название организации, выгнутое дугой, растяните его по вертикали.

    Создайте текстовое поле №3, по размеру вписывающегося в дугу слова "студент". Разместите рисунок внутри выгнутого дугой текста. Для этого в меню Вставка выберите пункт Рисунок\ Картинки , в открывшемся диалоговом окне в списке файлов выберите подходящую картинку и нажмите кнопку OK . Вставленный рисунок окружён рамкой с белыми квадратиками. Если рисунок не совпадает по размеру с полем №3, то его можно уменьшить, переместив мышью эти квадратики, при этом рисунок обрезается. Чтобы он уменьшался пропорционально, нужно щелкнуть по картинке мышью, появится рамка с чёрными квадратиками, с помощью которых можно подстроить размеры рисунка без обрезания.

    Создайте текстовое поле №4 и наберите в нем текст объявления "Рефераты, курсовые, дипломные работы: ПЕЧАТЬ, ОФОРМЛЕНИЕ". Выделите и отформатируйте текст по размеру поля №4 шрифтом Arial Narrow, кегль16, полужирный, расположение по ширине, цвета тёмнокрасный, тёмносиний и автоцвет (чёрный).

    Создайте текстовое поле №5 в строке, где будет располагаться первый слева отрывной телефон. Добавьте в него объект WordArt с эффектом вертикального текста, введите номер телефона.

    Скопируйте текстовое поле №5 с номером телефона с помощью мыши при нажатой клавише Ctrl столько раз, сколько оно поместиться по ширине в текстовом поле №1. Можно воспользоваться буфером обмена, т.е. выделить объект, скопировать его в буфер командой Правка\ Копировать или кнопкой Копировать на панели Стандартная , затем поставить курсор на место вставки и выполнить команду Правка\Вставить или кнопкой Вставить , но при вставке копии наложатся друг на друга и их придётся дополнительно перемещать в ряд вручную.

    Группировка всех объектов, чтобы в дальнейшем использовать их как единый объект, например, при копировании. Если этого не сделать, то каждый объект (картинка, ярлык телефона, название…) будет копироваться отдельно. Группировка объектов может быть выполнена двумя способами:

Удерживая нажатой клавишу Shift , щелкните мышью по каждому из объектов, так они окажутся выделенными все одновременно. Затем

раскройте панель инструментов Рисование и нажмите кнопку Группировать . Вокруг объектов появится общая рамка (они станут единым объектом);

Нажать кнопку Выбор объектов на панели Рисование и растянуть сетку вокруг всех объектов объявления, они все одновременно выделятся и нажать нажмите кнопку Группировать . При необходимости объекты можно будет разгруппировать, используя кнопку Разгруппировать .

    Мышью с клавишей Ctrl или через буфер обмена, как указано в п. 9.

Теперь страницу с объявлениями можно распечатать и разрезать, на

листе формата А4 помещается 8 объявлений такого размера.

    Сохраните полученное настенное объявление (рис. 6) на дискете командой Файл\Сохранить как… .

Следует заметить, что рисунки и текстовые поля можно накладывать друг на друга в несколько слоёв в разной последовательности, а также размещать их сверху или позади основного уровня - текста. С этой целью используются 6 команд панели инструментов Рисование\Порядок .

Объекты, созданные вWordArt, можно в дальнейшем редактиро-вать. Для этого достаточно щелк-нуть мышью по объекту, раскро-ется меню WordArt, и изменить в нём текстовой эффект, шрифт и т.д.

Для вставки объекта в текст нужно выделить объект и в меню Формат , команда Границы и заливка , в окне Формат объекта

во вкладке Положение выбрать

нужное обтекание текстом.

Рисунок 6 Настенное объявление

е Формат объекта и заливкалением вокруг рамки? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Для рис. 6 выполнено обтекание " по контуру".

Рассмотренная последовательность действий при создании настенного объявления не является единственной и оптимальной. Однако она позволяет получить опыт использования программы WordArt

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

    $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

    $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

    $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

    $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

  1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
  2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
  3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.