Равноускоренное движение - это движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту.
Рассмотрим последний случай более подробно. В любой точке траектории на камень действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y - равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.
Формула для скорости при равноускоренном движении:
Здесь v 0 - начальная скорость тела, a = c o n s t - ускорение.
Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v (t) имеет вид прямой линии.
Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.
Для первого графика: v 0 = - 2 м с; a = 0 , 5 м с 2 .
Для второго графика: v 0 = 3 м с; a = - 1 3 м с 2 .
По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?
Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .
Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t .
Мы знаем, что v - v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того, чтобы найти координату нахождения тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты при равноускоренном движении выражает закон равноускоренного движения.
Закон равноускоренного движения
Закон равноускоренного движенияy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Еще одна распространенная задача, которая возникает при анализе равноускоренного движения - нахождение перемещения при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.
Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:
s = v 2 - v 0 2 2 a .
По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:
v = v 0 2 + 2 a s .
При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
Важно!
Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1. Ускорением называют величину, характеризующую изменение скорости в единицу времени. Зная ускорение тела и его начальную скорость, можно найти скорость тела в любой момент времени.
2. При любом неравномерном движении изменяется скорость. Как ускорение характеризует это изменение?
2. Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоняется) или быстро теряет ее (при торможении).
3. Чем отличается «замедленное» прямолинейное движение от «ускоренного»?
3. Движение с возрастающей по модулю скоростью называют «ускоренным» движением. Движение с убывающей скоростью «замедленным» движением.
4. Что такое равноускоренное движение?
4. Движение тела, при котором его скорость за любые промежутки времени изменяется одинаково, называется равноускоренным движением.
5. Может ли тело двигаться с большой скоростью, но с малым ускорением?
5. Может. Так как ускорение не зависит от значения скорости, а характеризует только ее изменение.
6. Как направлен вектор ускорения при прямолинейном неравномерном движении?
6. При прямолинейном неравномерном движении вектор ускорения а лежит на одной прямой с векторами V 0 и V .
7. Скорость - векторная величина, и изменяться может как модуль скорости, так и направление вектора скорости. Что именно изменяется при прямолинейном равноускоренном движении?
7. Модуль скорости. Так как векторы V и a лежат на одной прямой и знаки их проекций совпадают.
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).
> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
Рис. 1.8. Среднее ускорение.
В СИ единица ускорения
– это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть
V 2 > v 1
а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости
Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть
V 2 < v 1
то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.
При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
В общем случае равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения . Для кинематического описания движения камня систему координат удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY , была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений - прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т. е. вдоль оси OX (рис. 1.4.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины.
|
|
|
Рисунок 1.4.1. Проекции векторов скорости и ускорения на координатные оси. a x = 0, a y = -g |
При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой
(*)
В этой формуле υ 0 - скорость тела при t = 0 (начальная скорость ), a = const - ускорение. На графике скорости υ (t ) эта зависимость имеет вид прямой линии (рис. 1.4.2).
|
|
|
Рисунок 1.4.2. Графики скорости равноускоренного движения |
По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.4.2 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC :
Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ 0 = -2 м/с, a = 1/2 м/с 2 .
Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = -1/3 м/с 2
График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t . Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt . Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt . Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt . Это перемещение равно площади заштрихованной полоски (рис. 1.4.2). Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt , получим, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF . Соответствующие построения выполнены для графика II на рис. 1.4.2. Время t принято равным 5,5 с.
Так как υ - υ 0 = at , окончательная формула для перемещения s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:
(**)
Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к начальной координате y 0 прибавить перемещение за время t :
(***)
Это выражение называют законом равноускоренного движения .
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ 0 и конечной υ скоростей и ускорения a . Эта задача может быть решена с помощью уравнений, написанных выше, путем исключения из них времени t . Результат записывается в виде
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости υ тела, если известны начальная скорость υ 0 , ускорение a и перемещение s :
Если начальная скорость υ 0 равна нулю, эти формулы принимают вид
Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ 0 , υ, s , a , y 0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
При прямолинейном равноускоренном движении тело
- двигается вдоль условной прямой линии,
- его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
- за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.
Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .
Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.
Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:
При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:
Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:
Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:
Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:
Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:
at = v – v 0
a = (v – v 0)/t
В случае торможения:
at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t
В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:
Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:
Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.
При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.
Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:
s = ½ * (v 0 + v) * t
Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Итак, пройденный путь определяется по формуле:
s = v 0 t + at 2 /2
(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)
Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.
Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.